几何概型的概率
考点五十 几何概型学生
考点五十 几何概型知识梳理1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）3．几何概型的两个特点几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性．4．几何概型与古典概型的区别古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，而几何概型则是无限个．典例剖析题型一 与长度有关的几何概型例1 (2014·高考湖南卷)在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( ) A. 45 B. 35 C. 25 D. 15变式训练 (2015山东文)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A. 34B. 23C. 13D. 14解题要点 基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．题型二 与面积有关的几何概型例2 (2014·高考辽宁卷) 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A. π2B. π4C. π6D. π8变式训练 (2015福建文)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A. 16B. 14C. 38D. 12解题要点 求解与面积有关的几何概型的注意点：求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解． 题型三 与体积有关的几何概型例3 在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A. π12 B ．1－π12 C. π6 D ．1－π6变式训练 有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解题要点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．当堂练习1．(2015陕西文)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A. 34＋12π B. 12＋1π C. 14－12π D. 12－1π2．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A. 4π81B. 81－4π81C. 127D. 8273. 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个x ，sin x 的值介于－12与12之间的概率为( ) A. 13 B. 2π C. 12 D. 234．在[－2,3]上随机取一个数x ，则(x ＋1)(x －3)≤0的概率为( )A. 25B. 14C. 35D. 455．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＞0”发生的概率为__________．课后作业一、 选择题1．在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm 2与49cm 2之间的概率为( )A. 25 B ．15、 C. 45 D ．3102．在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a ，则这个实数a <13的概率是( ) A. 13 B ．17 C. 310 D ．7103．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为( )A. 16 B ．13 C. 23 D ．454．如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机的撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为( )A. 235 B ．215 C. 195 D ．1655．假设△ABC 为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC 内的概率( )A. 334π B ．2π C. 4π D ．33π46．一只蚂蚁在一直角边长为1cm 的等腰直角三角形ABC (∠B ＝90°)的边上爬行，则蚂蚁距A 点不超过1cm 的概率为( )A ．22B ．23C ．2－ 3D ．2－ 2 7．(2015湖北文)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( ) A ．p 1<p 2<12 B ．p 2<12<p 1 C.12<p 2<p 1 D ．p 1<12<p 2 二、填空题8．在区间[20,80]内任取一个实数m ，则实数m 落在区间[50,75]内的概率为________．9．(2013·湖北卷)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.10． (2014·福建文)如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．11．取一个边长为2a 的正方形及其内切圆如图，随机向正方形内丢一粒豆子，豆子落入圆内的概率为______________________．三、解答题12．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0.(1)若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；(2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率．13．已知集合A ＝[－2，2]，B ＝[－1，1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率；(2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率．。
几何概型的概率及其求解策略
几何概型的概率及其求解策略作者：马公仕来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2009年第11期摘要:本文主要阐述了几何概型的意义、特点以及几何概型应用中的求解策略,希望对各位同仁、学生有所帮助.关键词:几何概型;概率;求解几何概型的定义(北师大版P155)向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M,若点M落在子区域G1?哿G的概率与G1的面积成正比,而与G的形状、位置无关,即P(点M落在G1内)=,则称这种模型为几何概型.几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域,相应的概率是体积之比或长度之比.几何概型的特点(1)无限性:在每次试验中,可能出现的结果有无穷多个,即基本事件有无限多个.(2)等可能性:在每次试验中,每个结果出现的可能性相等,即基本事件的发生是等可能的.几何概率的基本性质(1)0≤P(A)≤1.(2)P(G)=1,P(?准)=0.(3)有限可加性:设A1,A2,…An是n个两两互斥的事件,则有P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).(4)互补性:P(A)=1-P().用几何概型概率公式计算概率问题时,关键是构造出随机事件所对应的几何图形,并对几何图形进行相应的几何度量. 对于一些简单的几何概型问题,可以快捷地找到解决办法.例题详解例1 公交车每隔10分钟来一辆. 假定乘客在接连两辆车之间的任何时刻随机地到达车站,试求乘客候车时间不超过3分钟的概率.解析从前一辆公交车开出起计算时间,乘客到达车站的时刻t可以是[0,10)中的任何一点,即G={t0≤t例2 (会面问题)甲、乙两人相约在0到T这段时间内在预定地点会面. 先到的人等候另一个人,经过时间t(t解析从0点开始计时,设两人到达的时刻分别为x,y,则G={(x,y)0≤x≤T,0≤y≤T｝. 假定两人到达时刻是随机的,则问题归结为几何概型. 设A表示“两人能会面”事件,则G1={(x,y)0≤x≤T,0≤y≤T,x-y≤t｝(图中的阴影部分),则P(A)===1-1-.点评例1和例2题目的意思简单明了,但如何转化为数学模型进行求解却比较困难,需要我们先从实际问题中分析得到几何概型,并适当地引入变量(例1引入一个变量,例2引入两个变量). 然后把变量满足的条件写成集合形式,并把所研究事件A的集合也分析出来. 把变量集合用区间长度(例1)或区域面积(例2)表示,特别注意二元一次不等式所表示的区域. 要表示y>ax+b的平面区域,按两步解决:(1)作出直线y=ax+b;(2)取直线y=ax+b上方部分区域(若y根据以上的解法和分析,可以总结得到求解几何概型概率问题的以下五步:(1)选择适当的观察角度(从等可能性的角度观察).(2)引入变量,通常情况下一个变量对应为区间长度,两个变量对应为区域面积,三个变量对应为空间体积.(3)集合表示,用相应的集合分别表示出试验的全部结果G和事件A所包含的试验结果,一般来说,两个集合都是一元二次不等式的交集.(4)作出区域,并分别求出两个区域的测度.(5)计算求解,代入公式P(A)=.例3如图所示,在△ABC中,∠B=60°,∠C=45°,高AD=,在∠BAC内作射线AM交BC于M 点,求BM误解在Rt△ADB和Rt△ADC中,AD=,∠B=60°,∠C=45°,所以BD==×=1,DC=.所以P(BM误解分析题中M点是由∠BAC内作射线AM与BC相交得到,因此,本题中的基本事件是∠BAC内的射线(每一条射线的产生都是等可能的),而由此得到的M点在BC上并不是等可能的.正解以A点为起点作射线AM是随机的,且射线AM落在∠BAC内的任何位置都是等可能的,故BM在Rt△ADB和Rt△ADC中,AD=,∠B=60°,∠C=45°,所以∠BAC=75°,∠BAD=30°,P(A)==.思维拓展例4某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.分析收音机每小时报时一次,某人午觉醒来的时刻在两次整点报时之间都是等可能的,且醒来的时刻有无限多个,因而适合几何概型.设A={等待的时间不多于10分钟｝,事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内发生.解法1(利用[50,60]时间段所占的弧长):P(A)==.解法2 (利用[50,60]时间段所占的圆心角):P(A)===.解法3 (利用[50,60]时间段所占的面积):P(A)==.解法4将时间转化成长60的线段,研究事件A位于[50,60]之间的线段的概率.所以P(A)==.点评几何概型问题不仅指与几何图形有关的概率问题,还包括可以抽象成几何概型的概率问题,如关于时间、实数等的随机问题.几何概型的应用例5(蒲丰投针试验)1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针试验问题. 平面上画有等距离为a(a>0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为b(b解析以x表示针投到半平面上,针的中点M到最近的一条平行直线的距离. φ表示针与该平行直线的夹角,那么针落在平面上的位置可由(x,φ)完全确定. 投针试验的所有可能结果与矩形区域G=(x,φ)0≤x≤,0≤φ≤π?摇中的所有点一一对应.由投掷的任意性可知,这是一个几何概型问题,所关心的事件A={针与任一平行直线相交｝发生的充分必要条件为G中的点满足0≤x≤sinφ,0≤φ≤π.所以P(A)=====.蒲丰投针试验的应用及意义:P(A)=.根据频率的稳定性,当投针试验次数n很大时,算出针与平行直线相交的次数m,则频率值即可作为P(A)的近似值代入上式,那么≈,所以π≈. 利用上式可以计算圆周率π的近似值.。
几何概型概率的研究
几 何 概 型 概 率 的 研 究
■吴 志峰
几何 概型是普通高 中课程人教版必 修 ３的 内容 ，
是继古典概型之后的一个新 的概率模型 ．是新课标新
称这样 的概率模型为几何概率模型 ． 简称几何概 型． 在 几何概型 中， 事件 Ａ 的概率的计算公式如下 ：
Ｐ （ Ａ） ＝
．
综上 ， 由①② ， 可得△ ｏ Ａ 曰 面积的最大值为
．
【 上
设Ｑ （ ｘ ， ｙ ） 为 直 线ｚ 上 任 意 一点， 则 ｊ ＿ 葡， 即
． ：
（ 作者单位 江苏省太仓高级 中学 ）
责任 编 校 徐 国坚
０．
离中 ２ ０ １ ３年第 １ ０期
数 学有数
＋
ｆ
１０ ｙ ｏ ｙ 一 ，
＝
１ ，
得
１ ， ≥０ ） 的离 心 率 为
，
（ ２ ｘ ￣ ＋ ｙ ｏ Ｅ ） ｘ 一 ４ ０ ＋ ２ — ２ ｙ ｏ ２ ＝ ０ ，Ｂ 口 （ ｘ ｏ ２ ＋ １ ） ｘ ２ － ４ ｘ ｃ ｘ ＋ ２ ｘ ｏ ２ ＝ Ｏ ．
Ｄ
与长度有关 的几何 概型是最基础 的问题 ， 线 段上
表 示 ， 的 区 域 为 Ｑ ．
取点和 区间上 取值 是常见类 型 ， 这一类 问题 常常结合 不等式 、 平 面几何等知识点进行考查 ． 例２ ． （ ２ ０ １ ３年高考 山东卷 ） 在 区间 ［ 一 ３ ， ３ ］ 上 随机
析吧．
、
准确 把握 概 念 本 质 ． 分 清 概 率模 型
几何概型 的概念如下 ：如果每个事件发生 的概率 只与构成该事件 区域 的长 度（ 面积或体积 ） 成 比例 。 则
几何概型的常见类型
1、几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
2、几何概型的概率公式：P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体积）；
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
3、几何概型的特点：
1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
2）每个基本事件出现的可能性相等、
4、几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关，即试验结果具有无限性，是不可数的。
这是二者的不同之处；另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。
通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要核是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。
因此，用几何概型求解的
概率问题和古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形的长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之比来表示。
下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。
高三概率(文)
概率专题【知识脉络】【知识点总结】 一、随机事件 1、事件的分类： （1）随机事件（2）确定性事件：必然事件和不可能事件2、随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()nm A P ≈， 3、概率的基本性质：（1）对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P（2）用Ω和Φ分别表示必然事件和不可能事件，则有()1=ΩP ，()0=ΦP （3）如果事件A 和事件B 互斥，则有()()()B P A P B A P +=+ 二、古典概型与几何概型 1、古典概型（1）古典概型的定义：①所有基本事件有限个；②每个基本事件发生的可能性都相等。
我们将满足这两个特点的概率模型成为古典概率模型，简称古典概型。
（2）古典概型的概率公式：总的基本事件个数包含的基本事件数A A P =)(2、几何概型 （1）几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
（2）几何概型的概率公式：积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成的长度（面积或体积）构成事件A A P =)(【随机事件】1、在12件同类产品中，有10件正品，2件次品，从中任意抽取3件，下列事件中的必然事件是（ ）A ．有3件正品B ．至少有一件次品C ．3件都是次品D ．至少有一件正品2、下列说法正确的是（ ）A ．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率是0.5，因此掷一枚硬币10次，恰好出现5次正面向上B ．连续四次掷一颗骰子，都出现6点是不可能事件C ．一个射手射击一次，命中环数大于9与命中环数小于8是互斥事件D ．若P （A+B ）=1，则事件A 与B 为对立事件3、下列叙述错误的是（ ）A ．频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 B.若随机事件发生的概率为，则 C.互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件D ．张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同4、下列说法正确的是（ ）①必然事件的概率等于1； ②互斥事件一定是对立事件；③球的体积与半径的关系是正相关； ④汽车的重量和百公里耗油量成正相关． A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．③④5、下列说法正确的是（ ）A ．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率是0.5，因此掷一枚硬币10次，恰好出现5次正面向上B ．连续四次掷一颗骰子，都出现6点是不可能事件C ．一个射手射击一次，命中环数大于9与命中环数小于8是互斥事件D ．若P （A+B ）=1，则事件A 与B 为对立事件 6、从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 .①至少有1个白球，都是红球 ②至少有1个白球，至多有1个红球 ③恰有1个白球，恰有2个白球 ④至多有1个白球，都是红球A ()A p ()10≤≤A p 5【古典概型】1、从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是.A 41 .B 21 .C 81 .D 322、在1、2、3、4四个数中，任选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是（ ）A32 B 21 C 31 D 813、在4张卡片上分别写有数字4321、、、，然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的四位数能被2整除的概率是.A 41 .B 32 .C 21 .D 314、若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在2522=+y x 内的概率是（ ） A187 B 367 C 1813 D36135、从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是________.6、从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是__________.7、从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，则 mn等于__________.【几何概型】1、若x 可以在13x +≤的条件下任意取值，则x 是负数的概率是 .2、在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，则AM 的长小于AC 的长的概率为______.3、如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于____________.4、在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为___________.5、如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是______________.6、甲乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜内任意时刻到达，甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．【综合演练】1、一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是( ) A.83 B.32 C.31 D.411-1、4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．341-2、将一枚硬币连掷3次，则恰有连续2次出现正面向上的概率为____________1-3、（上海卷7）在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）2、在面积为S 的三角形ABC 的边AC 上任取一点P ，“使三角形PBC 的面积大于3S”的概率为（ ） A 、31 B 、32 C 、94 D 、91 2-1、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ．2-2、甲、乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过3天以后方可离开，若他们在限期内到达目的的地的时间是随机的，则甲、乙两人能会面的概率为（ ） A ．103 B ．107 C ．10049 D ．10051 3、（2010年山东高考）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4 （1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率（2）先从袋中随机去一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n<m+2的概率3-1、（2009年山东高考）一汽车厂生产A 、B 、C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）（1） 求z 的值（2） 用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（3） 用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2。
几何概型的概率计算公式
几何概型的概率计算公式
几何概型是指在随机试验中，样本空间中的事件是由几何图形表示的情况。
比如投掷一枚硬币，其几何概型为一个二元组成的集合{正面，反面}，用几何图形表示就是一个圆，圆内分别标有正面和反面。
对于几何概型，我们可以使用概率计算公式来计算事件发生的概率。
下面介绍两种常见的几何概型及其概率计算公式。
一、均匀分布的几何概型
均匀分布的几何概型是指样本空间中所有可能的事件发生概率相等的情况。
比如扔一个骰子，其几何概型为{1,2,3,4,5,6}，每个数字出现的概率都是1/6。
对于均匀分布的几何概型中的某个事件A，其概率计算公式为：
P(A) = 面积(A) / 面积(样本空间)
其中，面积(A)是事件A所对应的几何图形的面积，面积(样本空间)是样本空间所对应的几何图形的面积，两者都必须是可测量的。
二、正态分布的几何概型
正态分布的几何概型是指事件在一个连续的区间内发生的概率，符合正态分布的概率密度函数。
比如身高和体重等连续型随机变量的分布，常常使用正态分布的几何概型进行概率计算。
对于正态分布的几何概型，设事件A在区间[a,b]内发生的概率为P(A)，则其概率计算公式为：
P(A) = ∫a~b f(x) dx
其中，f(x)是正态分布的概率密度函数，a和b分别是区间的上下界，∫a~b代表对x从a到b的积分。
通过以上公式，我们可以对几何概型中的事件概率进行准确计算。
几何概型概率
几何概型概率（实用版）目录1.几何概型概率的定义与性质2.几何概型概率的计算方法3.几何概型概率的应用举例正文一、几何概型概率的定义与性质几何概型概率是概率论中的一种概率类型，它是研究随机现象在几何空间中的分布规律。
几何概型概率具有以下性质：1.有限性：试验结果的数量是有限的。
2.等可能性：每个试验结果发生的可能性相等。
二、几何概型概率的计算方法几何概型概率的计算方法通常使用概率公式：P(A) = 满足条件 A 的试验结果数 / 所有可能的试验结果数。
例如，从 n 个不同元素中任选 2 个进行组合，可以得到的组合数为C(n, 2)，那么组合的概率为 P(C(n, 2)) = C(n, 2) / C(n, n) = (n*(n-1)) / (2*1) = n*(n-1) / 2。
三、几何概型概率的应用举例几何概型概率在实际应用中有很多例子，下面举两个常见的例子：1.投针问题：在平面上随机投掷一根针，求针与 x 轴正半轴的夹角小于等于θ的概率。
解答：假设针的长度为 1，投针点距离 x 轴正半轴的距离为 d，则根据三角函数的性质，有 d = 2 * sin(θ/2)。
因为针的长度为 1，所以投针点在以原点为圆心、半径为 1 的圆内。
因此，针与 x 轴正半轴的夹角小于等于θ的概率为θ/2。
2.随机分割问题：将一个边长为 1 的正方形随机分割成两个三角形，求分割后两个三角形的面积比值小于等于 k 的概率。
解答：假设分割线段的长度为 x，其中一个三角形的面积为 S1 = (1-x)^2/2，另一个三角形的面积为 S2 = x^2/2。
因此，S1/S2 = (1-x)^2 / x^2 = (1-2x+x^2) / x^2 = 1 - 2x/x^2 + x^2/x^2 = 1 - 2/x + 1/x^2。
要求S1/S2 <= k，即 1 - 2/x + 1/x^2 <= k，解得 x >= 2/sqrt(k) 或x <= -2/sqrt(k)。
几何概型的概率公式
几何概型的概率公式
几何概率公式是统计学中一种重要的概率模型，它用来描述一个事件中重复发生的概率。
几何概率公式可以用来计算一个事件的重复发生次数，以及在多次尝试后发生的频率。
几何概率公式可以用来分析一个事件的概率分布，也可以用于预测一个事件的发生概率。
几何概率公式是一种概率模型，它可以用来计算一个事件发生的概率，假设该事件在每次尝试中只有两种结果：成功或失败。
几何概率公式可以用来确定一个事件具备多少次成功的概率，它可以用来计算一次尝试中成功的概率，也可以用来计算一次尝试中失败的概率。
几何概率公式的具体表达式如下：P(S) = 1 - (1 - p)^n，其中S表示成功的概率，p表示每次尝试中成功的概率，n表示尝试的次数。
几何概率公式的意义在于，如果每次尝试中成功的概率都相同，那么在多次尝试后，总成功概率就可以用几何概率公式来计算。
几何概率公式可以应用于许多不同的领域，例如抽奖、娱乐场游戏、网络投票、社会调查等。
几何概率公式还可以用来计算一个企业在某段时间内产品故障发生的概率，以及一个投资者获得收益的概率等。
几何概率公式是一种重要的概率模型，它可以用来预测一个事件的
重复发生的概率，也可以用来分析一个事件的发生概率分布，为解决各种实际问题提供重要的参考依据。
归纳与技巧：几何概型(含解析)
归纳与技巧：几何概型基础知识归纳1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).基础题必做1．(教材习题改编)设A (0,0)，B (4,0)，在线段AB 上任投一点P ，则|P A |＜1的概率为( ) A.12 B.13 C.14D.15解析：选C 满足|P A |＜1的区间长度为1，故所求其概率为14.2． 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A 中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13.3.分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )A.4－π2B.π－22C.4－π4D.π－24解析：选B 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P ＝2π－44＝π－22.4．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是________．解析：试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故P ＝0.05.答案：0.055.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.答案：16解题方法归纳1.几何概型的特点：几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．2．几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果．与长度、角度有关的几何概型典题导入[例1] 已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________． [自主解答] (1)根据点到直线的距离公式得d ＝255＝5；(2)设直线4x ＋3y ＝c 到圆心的距离为3，则|c |5＝3，取c ＝15，则直线4x ＋3y ＝15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是23，则可得直线4x ＋3y ＝15截得的圆弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.[答案] 5 16本例条件变为：“已知圆C ：x 2＋y 2＝12，设M 为此圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN .”求弦MN 的长超过26的概率．解：如图，在图上过圆心O 作OM ⊥直径CD .则MD ＝MC ＝2 6. 当N 点不在半圆弧CM D 上时，MN ＞2 6. 所以P (A )＝π×232π×23＝12.解题方法归纳求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．确定点的边界位置是解题的关键．以题试法1．(1) 已知A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A ′，则AA ′的长度小于半径的概率为________．(2)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2.在BC 边上任取一点M ，则∠AMB ≥90°的概率为________．解析：(1)如图，满足AA ′的长度小于半径的点A ′位于劣弧BA C 上，其中△ABO 和△ACO 为等边三角形，可知∠BOC ＝2π3，故所求事件的概率P＝2π32π＝13. (2)如图，在Rt △ABC 中，作AD ⊥BC ，D 为垂足，由题意可得BD ＝12，且点M 在BD 上时，满足∠AMB ≥90°，故所求概率P ＝BD BC ＝122＝14. 答案：(1)13 (2)14与面积有关的几何概型典题导入[例2] (1) 如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，x ≤a (a ＞0)表示平面区域M ，若点P (x ，y )在所给的平面区域M 内，则点P 落在M 的内切圆内的概率为( )A.(2－1)4πB ．(3－22)πC ．(22－2)πD.2－12π [自主解答] (1)法一：设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC .不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1，所以整体图形中空白部分面积S 2＝2.又因为S 扇形OAB＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.法二：连接AB ，设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，令OA ＝2. 由题意知C ∈AB 且S 弓形AC ＝S 弓形B C ＝S 弓形O C ， 所以S 空白＝S △OAB ＝12×2×2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以S 阴影＝π－2.所以P ＝S 阴影S 扇形OAB＝π－2π＝1－2π.(2)由题知平面区域M 为一个三角形，且其面积为S ＝a 2.设M 的内切圆的半径为r ，则12(2a ＋22a )r ＝a 2，解得r ＝(2－1)a .所以内切圆的面积S 内切圆＝πr 2＝π[(2－1)·a ]2＝(3－22)πa 2.故所求概率P ＝S 内切圆S＝(3－22)π.[答案] (1)A (2)B解题方法归纳求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率．这类问题常与线性规划[(理)定积分]知识联系在一起．以题试法2． 点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离|P A |≤1的概率为( )A.14B.12C.π4D ．π解析：选C 如图，满足|P A |≤1的点P 在如图所示阴影部分运动，则动点P 到顶点A 的距离|P A |≤1的概率为S 阴影S 正方形＝14×π×121×1＝π4.与体积有关的几何概型典题导入[例3] (1) 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12C.π6D ．1－π6(2)一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为( )A.18B.116C.127D.38[自主解答] (1)点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球的外部．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则P (A )＝23－12×4π3×1323＝1－π12. (2)由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为103303＝127.[答案] (1)B (2)C解题方法归纳与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为立体模式，至此，我们可以总结如下：对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域．以题试法3． 在体积为V 的三棱锥S —ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S —APC 的体积大于V3的概率是________． 解析：如图，三棱锥S —ABC 的高与三棱锥S —APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM 、BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S —APC V S —ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN ，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB ＞13时，满足条件．设AD AB ＝13，则P 在BD 上，所求的概率P ＝BD BA ＝23. 答案：231． 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个x ，sin x 的值介于－12与12之间的概率为( ) A.13 B.2π C.12D.23解析：选A 由－12＜sin x ＜12，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 得－π6＜x ＜π6.所求概率为π6－⎝⎛⎭⎫－π6π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝13.2． 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45解析：选C 设AC ＝x cm ，CB ＝(12－x )cm,0<x <12，所以矩形面积小于32 cm 2即为x (12－x )<32⇒0<x <4或8<x <12，故所求概率为812＝23.3． 在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( ) A.12 B.23 C.34D.14解析：选C 要使该函数无零点，只需a 2－4b 2＜0，即(a ＋2b )(a －2b )＜0. ∵a ，b ∈[0,1]，a ＋2b ＞0， ∴a －2b ＜0. 作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b ＜0的可行域，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.4． 已知函数f (x )＝kx ＋1，其中实数k 随机选自区间[－2,1]．∀x ∈[0,1]，f (x )≥0的概率是( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选C 由∀x ∈[0,1]，f (x )≥0得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)≥0，f (1)≥0，有－1≤k ≤1，所以所求概率为1－(－1)1－(－2)＝23. 5． 在水平放置的长为5米的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端的距离都大于2米的概率为( )A.15B.25C.35D.12解析：选A 如图，线段AB 长为5米，线段AC 、BD 长均为2米，线段CD 长为1米，满足题意的悬挂点E 在线段CD 上，故所求事件的概率P ＝15.6． 一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点的距离小于2的概率为( )A.π12 B.π10 C.π6D.π24解析：选A 记昆虫所在三角形区域为△ABC ，且AB ＝6，BC ＝8，CA ＝10，则有AB 2＋BC 2＝CA 2，AB ⊥BC ，该三角形是一个直角三角形，其面积等于12×6×8＝24.在该三角形区域内，到三角形任一顶点的距离小于2的区域的面积等于A ＋B ＋C 2π×π×22＝π2×22＝2π，因此所求的概率等于2π24＝π12.7． 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －3≤0表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．解析：∵y ＝x 与y ＝－x 互相垂直，∴M 的面积为3，而N 的面积为π4，所以概率为π43＝π12.答案：π128． 如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．解析：设题图1长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h(2h ＋2)(2h ＋1)＝14，解得h ＝3或h ＝－12(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3. 答案：39. 投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为12米的小方块．试验是向板中投镖，事件A 表示投中阴影部分，则事件A 发生的概率为________．解析：∵事件A 所包含的基本事件与阴影正方形中的点一一对应，事件组中每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应．∴由几何概型的概率公式得P (A )＝⎝⎛⎭⎫12212＝14. 答案：1410．已知|x |≤2，|y |≤2，点P 的坐标为(x ，y )，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．解：如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．故所求的概率P 1＝14π×224×4＝π16.11．已知集合A ＝[－2,2]，B ＝[－1,1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． 解：(1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.因x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y |2≤22即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分，面积S 2＝4，所求概率为P ＝S 2S ＝12.12． 已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b ＜0的概率．解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36个；由a·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)共3个．故满足a·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；满足a·b ＜0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6，且－2x ＋y ＜0}； 画出图形， 矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a·b ＜0的概率为2125.1．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为( ) A.14 B.13 C.12D.23解析：选C 由sin x ＋3cos x ≤1得2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1， 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12. 由于x ∈[0，π]，故x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，因此当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12时，x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤5π6，4π3，于是x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π. 由几何概型公式知事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为P ＝π－π2π－0＝12.2．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝2π3.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为2π32π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.答案：233． 设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段． (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率； (2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率． 解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13.(2)设其中两条线段长度分别为x ，y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜6－x －y ＜6，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜x ＋y ＜6所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形， 则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞6－x －y ，x ＋6－x －y ＞y ，y ＋6－x －y ＞x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞3，y ＜3，x ＜3所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.1.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.23解析：选C 由题意知，可设事件A 为“点Q 落在△ABE 内”，构成试验的全部结果为矩形ABCD 内所有点，事件A 为△ABE 内的所有点，又因为E 是CD 的中点，所以S △ABE ＝12AD ×AB ，S 矩形ABCD ＝AD ×AB ，所以P (A )＝12.2．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实数根的概率为________．解析：由题意得Δ＝4a 2－4b 2≥0， ∵a ，b ∈[0,1]，∴a ≥b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a ≥b ，画出该不等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)．故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为12.答案：123． 设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4解析：选D 不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(x ，y )，则随机事件：在区域D 内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x 2＋y 2＝4的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为4－π4.为( )A.14 B.34 C.964D.2764解析：选C 设事件A 在每次试验中发生的概率为x ，由题意有1－C 33(1－x )3＝6364，得x ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝⎛⎭⎫1－342＝964.。
第5讲 几何概型
第5讲 几何概型一、知识梳理 1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）常用结论在几何概型中，如果A 是确定事件，(1)若A 是不可能事件，则P (A )＝0肯定成立；如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积和体积都是0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件，因此由P (A )＝0不能推出A 是不可能事件．(2)若A 是必然事件，则P (A )＝1肯定成立；如果一个随机事件所在的区域是从全部区域中扣除一个单点，则它出现的概率是1，但它不是必然事件，因此由P (A )＝1不能推出A 是必然事件．二、教材衍化1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A.因为P (A )＝38，P (B )＝14，P (C )＝13，P (D )＝13，所以P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．2．在线段[0，3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为________．解析：坐标小于1的区间为[0，1)，长度为1，[0，3]的区间长度为3，故所求概率为13.答案：133．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率为________．解析：如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4.答案：1－π4一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) (3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ选用的几何测度不准确导致出错.在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________．解析：由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当0<m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m <4时，由题意得m －（－2）6＝56，解得m ＝3.答案：3与长度(角度)有关的几何概型(师生共研)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D ，在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D的概率是________．【解析】 由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2，3]，则所求概率为3－（－2）5－（－4）＝59. 【答案】 59与长度、角度有关的几何概型的求法解答关于长度、角度的几何概型问题，只要将所有基本事件及事件A 包含的基本事件转化为相应长度或角度，即可利用几何概型的概率计算公式求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．1．从区间[－2，2]中随机选取一个实数a ，则函数f (x )＝4x －a ·2x ＋1＋1有零点的概率是( )A.14 B ．13C.12D ．23解析：选A.令t ＝2x，函数有零点就等价于方程t 2－2at ＋1＝0有正根，进而可得⎩⎨⎧Δ≥0t 1＋t 2>0t 1t 2>0⇒a ≥1，又a ∈[－2，2]，所以函数有零点的实数a 应满足a ∈[1，2]，故P＝14，选A.2.如图，扇形AOB 的圆心角为120°，点P 在弦AB 上，且AP ＝13AB ，延长OP 交弧AB 于点C ，现向扇形AOB 内投一点，则该点落在扇形AOC 内的概率为________．解析：设OA ＝3，则AB ＝33，所以AP ＝3，由余弦定理可求得OP ＝3，∠AOP ＝30°，所以扇形AOC 的面积为3π4，扇形AOB 的面积为3π，从而所求概率为3π43π＝14.答案：14与面积有关的几何概型(多维探究) 角度一 与平面图形面积有关的几何概型(1)(2020·黑龙江齐齐哈尔一模)随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，有了新的用武之地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形．如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为三部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3，宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为( )A.π24＋9π B ．4π24＋9πC.π18＋9πD ．4π18＋9π(2)(2020·辽宁五校联考)古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图，已知直线x ＝2交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点．点A ，B 在y 轴上的射影分别为D ，C .从长方形ABCD 中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为( )A.12 B ．13C.23D ．25【解析】 (1)图标第一部分的面积为8×3×1＝24，图标第二部分的面积为π×(32－22)＝5π，图标第三部分的面积为π×22＝4π，故此点取自图标第三部分的概率为4π24＋9π.故选B.(2)在抛物线y 2＝4x 中，取x ＝2，可得y ＝±22，所以S 矩形ABCD ＝82，由阿基米德理论可得弓形面积为43×12×42×2＝1623，则阴影部分的面积为82－1623＝823.由概率比为面积比可得，点位于阴影部分的概率为82382＝13.故选B.【答案】 (1)B (2)B角度二 与线性规划交汇命题的几何概型(2020·陕西咸阳模拟)已知集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，2x －y －3≤0表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离不大于1的概率为( )A.π3 B ．π12C.π24D ．3π32【解析】 因为集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，2x －y －3≤0表示的平面区域为Ω，所以作出平面区域Ω为如图所示的△AOB .直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直，故∠AOB ＝π2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2x －y －3＝0，得点A (1，－1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x －y －3＝0，得点B (3，3)．OA ＝12＋（－1）2＝2，OB ＝32＋32＝32，在区域Ω内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离不大于1的区域是如图所示的半径为1的14圆，即扇形OCD ，所以由几何概型得点到坐标原点的距离不大于1的概率P ＝S 扇形OCDS △AOB ＝14×π×1212×2×32＝π12.故选B. 【答案】 B角度三 与定积分交汇命题的几何概型(2020·洛阳第一次联考)如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是( )A.4π2 B ．4π3C.2π2 D ．2π3【解析】 由题意知圆O 的面积为π3，正弦曲线y ＝sin x ，x ∈[－π，π]与x 轴围成的区域记为M ，根据图形的对称性得区域M 的面积S ＝2⎠⎛0πsin x d x ＝－2cos x ⎪⎪⎪π0＝4，由几何概型的概率计算公式可得，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率P ＝4π3，故选B.【答案】 B角度四 与随机模拟相关的几何概型从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n m B ．2n mC.4m nD ．2m n【解析】 设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤10≤y n ≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n ＜1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝π41＝m n ，所以π＝4mn，故选C.【答案】 C求与面积有关的几何概型的概率的方法(1)确定所求事件构成的区域图形，判断是否为几何概型；(2)分别求出Ω和所求事件对应的区域面积，用几何概型的概率计算公式求解．1．(2020·江西八校联考)小华爱好玩飞镖，现有如图所示的两个边长都为2的正方形ABCD 和OPQR 构成的标靶图形，如果O 点正好是正方形ABCD 的中心，而正方形OPQR 可以绕点O 旋转，则小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是( )A.13 B ．14C.19D ．17解析：选D.如图，连接OB ，OA ，可得△OBM 与△OAN 全等，所以S 四边形MONB ＝S △AOB＝12×2×1＝1，即正方形ABCD 和OPQR 重叠的面积为1.又正方形ABCD 和OPQR 构成的标靶图形面积为4＋4－1＝7，故小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是17，故选D.2．(一题多解)如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2，在圆O 内，将线段MN 绕点N 按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将新线段NM 绕新点M 按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动，…点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分．若在圆O 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为( )A ．4π－6 3B ．1－332πC ．π－332D ．332π解析：选B.法一：依题意，得阴影部分的面积S ＝6×[16(π×22)－12×2×2×32]＝4π－63，所求概率P ＝4π－63π·22＝1－332π，故选B.法二：依题意得阴影部分的面积S ＝π×22－6×12×2×2×32＝4π－63，所求概率P＝4π－63π·22＝1－332π，故选B.与体积有关的几何概型(师生共研)已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ABC <12V S ABC 的概率是 ( )A.34 B ．78C.12D ．14【解析】 由题意知，当点P 在三棱锥的中截面以下时，满足V P ABC <12V S ABC ，故使得V P ABC <12V S ABC 的概率：P ＝大三棱锥的体积－小三棱锥的体积大三棱锥的体积＝78.【答案】 B与体积有关的几何概型的求法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．1．(2020·山西太原五中模拟)已知四棱锥P -ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，P A ＝AB ＝2.现在球O 的内部任取一点，则该点取自四棱锥P -ABCD 内部的概率为________．解析：把四棱锥P -ABCD 扩展为正方体，则正方体的体对角线的长是外接球的直径R ，即23＝2R ，R ＝3，则四棱锥的体积为13×2×2×2＝83，球的体积为43×π(3)3＝43π，则该点取自四棱锥P -ABCD内部的概率P ＝8343π＝239π.答案：239π2．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF -BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F -AMCD 内的概率为________．解析：因为V FAMCD＝13×S四边形AMCD×DF＝14a3，V ADFBCE＝12a3，所以它飞入几何体F-AMCD内的概率为14a312a3＝12.答案：12[基础题组练]1．(2020·江西九江模拟)星期一，小张下班后坐公交车回家，公交车有1，10两路．每路车都是间隔10分钟一趟，1路车到站后，过4分钟10路车到站．不计停车时间，则小张坐1路车回家的概率是()A.12B．13C.25D．35解析：选D.由题意可知小张下班后坐1路公交车回家的时间段是在10路车到站与1路车到站之间，共6分钟．设“小张坐1路车回家”为事件A，则P(A)＝610＝35.故选D.2．(2020·河南洛阳二模)在边长为2的正三角形内部随机取一个点，则该点到三角形3个顶点的距离都不小于1的概率为()A．1－36B．1－3π6C．1－33D．1－3π3解析：选B.若点P到三个顶点的距离都不小于1，则分别以A，B，C为圆心作半径为1的圆，则P的位置位于阴影部分，如图所示．在三角形内部的三个扇形的面积之和为12×3×π3×12＝π2，△ABC的面积S＝12×22×sin 60°＝3，则阴影部分的面积S＝3－π2，则对应的概率P＝3－π23＝1－3π6.故选B.3．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )A ．1－π4B ．π12C.π4D ．1－π12解析：选A.鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4，故选A.4.(2020·河北衡水联考)在如图所示的几何图形中，四边形ABCD 为菱形，C 为EF 的中点，EC ＝CF ＝3，BE ＝DF ＝4，BE ⊥EF ，DF ⊥EF .若在几何图形中任取一点，则该点取自Rt △BCE 的概率为( )A.19 B ．18C.17D ．16解析：选D.因为EC ＝3，BE ＝4，BE ⊥EC ，所以BC ＝5.又由题可知BD ＝EF ＝6，AC ＝2BE ＝8，所以S △BCE ＝S △DFC ＝12×3×4＝6，S四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝24.由几何概型概率公式可得，所求概率P ＝624＋6＋6＝16，即该点取自Rt △BCE 的概率为16.故选D.5.(2020·湖南宁乡一中、攸县一中联考)将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，使得其中较长的一段AC 是全长AB 与另一段CB 的比例中项，即满足AC AB ＝BCAC ＝5－12≈0.618，后人把这个数称为黄金分割，把点C 称为线段AB 的黄金分割点．图中在△ABC 中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，在△ABC 内任取一点M ，则点M 落在△APQ 内的概率为( )A.5－12 B ．5－2 C.5－14D ．5－22解析：选B.所求概率为S △APQ S △ABC ＝PQ BC ＝BQ －BP BC ＝5－12BC －⎝⎛⎭⎪⎫1－5－12BC BC ＝5－2.故选B.6.如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线y ＝1x ，y ＝－1x ，y ＝x ，y ＝－x 及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．解析：根据图象的对称性知，黑色部分图形的面积为圆面积的四分之一，在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是14.答案：147．已知平面区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤π，0≤y ≤1}，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线y ＝sin 2x 下方的概率是________．解析：y ＝sin 2x ＝12－12cos 2x ，所以⎠⎛0π⎝⎛⎭⎫12－12cos 2x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －14sin 2x ⎪⎪⎪π0＝π2，区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤π，0≤y ≤1}的面积为π，所以向区域Ω内任意掷点，该点落在曲线y ＝sin 2x 下方的概率是π2π＝12.答案：128．已知O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2)，C⎝⎛⎭⎫35，－15，动点P(x，y)满足0≤OP→·OA→≤2且0≤OP→·OB→≤2，则点P到点C的距离大于14的概率为________．解析：因为O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2)，C⎝⎛⎭⎫35，－15，动点P(x，y)满足0≤OP→·OA→≤2且0≤OP→·OB→≤2，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x＋y≤2，0≤x－2y≤2.如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x＋y≤2，0≤x－2y≤2对应的平面区域为正方形OEFG及其内部，|CP|>14对应的平面区域为阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x－2y＝0，2x＋y＝2解得⎩⎨⎧x＝45，y＝25，即E⎝⎛⎭⎫45，25，所以|OE|＝⎝⎛⎭⎫452＋⎝⎛⎭⎫252＝255，所以正方形OEFG的面积为45，则阴影部分的面积为45－π16，所以根据几何概型的概率公式可知所求的概率为45－π1645＝1－5π64.答案：1－5π649.如图所示，圆O的方程为x2＋y2＝4.(1)已知点A 的坐标为(2，0)，B 为圆周上任意一点，求AB ︵的长度小于π的概率； (2)若N (x ，y )为圆O 内任意一点，求点N 到原点的距离大于2的概率． 解：(1)圆O 的周长为4π，所以AB ︵的长度小于π的概率为2π4π＝12.(2)记事件M 为N 到原点的距离大于2，则Ω(M )＝{(x ，y )|x 2＋y 2>2}，Ω＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，所以P (M )＝4π－2π4π＝12.10．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1，0，1，2}，y ∈{－1，0，1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1，2]，y ∈[－1，1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．解：(1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .所有基本事件为(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)，共12个基本事件．其中A ＝{(0，0)，(2，1)}，包含2个基本事件．则P (A )＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a ·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .基本事件为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，－1≤y ≤1所表示的区域， B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y ，如图，区域B 为图中的阴影部分去掉直线x －2y ＝0上的点， 所以，P (B )＝12×⎝⎛⎭⎫12＋32×23×2＝13，即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13.[综合题组练]1．(2020·安徽合肥模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝4与y 轴负半轴交于点M ，圆C 与直线l ：x －y ＋1＝0相交于A ，B 两点，那么在圆C 内随机取一点，则该点落在△ABM 内的概率为( )A.378π B ．374πC.328πD ．324π解析：选A.由图可知，由点到直线距离公式得|OC |＝|1|2＝22，则|AB |＝222－⎝⎛⎭⎫222＝14，同理可得|MD |＝|0＋2＋1|2＝322，所以S △MAB ＝12|AB |·|MD |＝372，由几何概型知，该点落在△ABM 内的概率为S △MAB S 圆＝372π×22＝378π，故选A.2．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是 ( )A.14 B ．13C.23D ．12解析：选D.以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2 P A →＝0，所以PB →＋PC →＝－2P A →，得PD →＝－2P A →，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的12，所以S △PBC ＝12S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为S △PBC S △ABC ＝12.3．两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面， 且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，若15分钟后还未见面便离开，则这两位同学能够见面的概率是________．解析：如图所示，以5：30作为原点O ，建立平面直角坐标系，设两位同学到达的时刻分别为x ，y ，设事件A 表示两位同学能够见面，所构成的区域为A ＝{(x ，y )||x －y |≤15}，即图中阴影部分，根据几何概型概率计算公式得P (A )＝30×30－2×12×15×1530×30＝34.答案：344．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐标系中，圆O 被函数y ＝3sin π6x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．解析：根据题意，大圆的直径为函数y ＝3sin π6x 的最小正周期T ，又T ＝2ππ6＝12，所以大圆的面积S ＝π·⎝⎛⎭⎫1222＝36π，一个小圆的面积S ′＝π·12＝π，故在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P ＝2S ′S ＝2π36π＝118.答案：1185．某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入，精确到0.1米)以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6个小组的频数是7.(1)求进入决赛的人数；(2)经过多次测试后发现，甲的成绩均匀分布在8～10米之间，乙的成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲、乙各跳一次，求甲比乙跳得远的概率．解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，所以总人数为70.14＝50.由图易知第4，5，6组的学生均进入决赛，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36，即进入决赛的人数为36.(2)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x ，y 米，则基本事件满足⎩⎪⎨⎪⎧8≤x ≤109.5≤y ≤10.5， 设事件A 为“甲比乙跳得远”，则x >y ，作出可行域如图中阴影部分所示．所以由几何概型得P (A )＝12×12×121×2＝116，即甲比乙跳得远的概率为116.6．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1，2，3}和Q ＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解：(1)因为函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2ba ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2ba≤1，即2b ≤a .若a ＝1，则b ＝－1； 若a ＝2，则b ＝－1，1； 若a ＝3，则b ＝－1，1.所以事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5，因为事件“分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ”的个数是15. 所以所求事件的概率为515＝13.(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎨⎧（a ，b ）⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ＋b －8≤0，a >0，b >0，构成所求事件的区域为如图所示的三角形BOC 部分．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标C ⎝⎛⎭⎫163，83， 故所求事件的概率P ＝S △BOC S △AOB ＝12×8×8312×8×8＝13.。
几何概型的概率公式
几何概型的概率公式
几何概率：
1、定义：
几何概率（Geometric Probability）是计算概率的概念，用来描述某一
状态前面发生的概率。
比如说，如果抛掷一个骰子4次，那么几何概
率就是描述得到4的情况发生的概率。
2、公式：
几何概率的公式是：Pr(X=k) = (1-p) ^ (k-1) * p，其中，k是几何概率的
参数，p是你需要研究的概率。
3、形式：
几何概率的形式为：Pr(X=k) = (1-p) ^ (k-1) * p，其中，X表示参数，k
表示发生的概率，p表示你需要研究的概率。
4、例子：
举一个简单的例子来说，假设抛掷一个六面骰子，让我们来计算出第
三次抛掷出现1的概率。
根据几何概率的公式，可以得到：Pr(X=3) = (1-1/6) ^ (3-1) * 1/6 = 1/36。
即第三次投掷出现1的概率是1/36。
5、应用：
几何概率被广泛应用于统计学，以及信息理论、语言学、数学等领域。
几何概率可用来估计特定事件的概率，对于金融市场中的风险测量也非常有用。
同时，几何概率也经常被用来分析一系列的观测事件的出现规律。
几何概型与概率如何理解几何概型与计算概率
几何概型与概率如何理解几何概型与计算概率几何概型与概率是数学中重要的概念，在统计学与概率论中起到了至关重要的作用。
几何概型是一种利用图形之间的空间关系来描述和解决问题的方法；而计算概率则是通过数学计算的方法，计算事件发生的可能性。
本文将从几何概型的理解和计算概率的角度，对几何概型与概率的关系进行探讨。
一、几何概型的理解几何概型是一种将问题转化为图形的方法，通过图形来解决问题，从而便于我们理解和分析问题。
在几何概型中，我们将问题中的要素抽象为几何图形，通过观察图形之间的关系，得出问题的解答。
例如，我们考虑一个实验，抛掷一枚公正的骰子，求得到1点的概率。
在几何概型中，我们可以将骰子抽象为一个立方体，立方体的每个面上分别标有1-6的数字。
问题转化为找到骰子上标有1的面的概率，即几何概型中的一个点。
通过观察立方体的几何形状，我们可以发现骰子上标有1的面只有一个，而骰子一共有六个面，因此得到1点的概率为1/6。
几何概型的优势在于通过图形直观地展示问题的解法，便于我们理解和记忆。
通过将问题与具体的几何图形对应起来，可以更加深入地理解问题本质，为问题的解答提供了方便。
二、计算概率的方法计算概率是通过数学计算的方法，确定事件发生的可能性。
计算概率的方法有很多种，根据具体的情况选择合适的计算方法对于求解问题至关重要。
1.数学定义法数学定义法是最常见的计算概率的方法，根据概率的数学定义求解。
概率的数学定义是事件发生的次数与试验次数的比值。
例如，抛掷一枚公正的硬币，求出现正面的概率。
假设对硬币进行N次试验，观察到正面的次数为M次，那么正面出现的概率为M/N。
2.等可能性原理等可能性原理是计算概率的常用方法之一，该原理认为在一组等可能性的情况下，每个事件发生的概率是相等的。
例如，从一副扑克牌中抽取一张牌，求抽到红心牌的概率。
在52张牌中，红心牌一共有13张，而总共的牌数是52张，因此抽到红心牌的概率为13/52，即1/4。
古典概型、几何概型与概率的区别与联系
古典概型、⼏何概型与概率的区别与联系课本上没有讲古典概型与概率的联系，这⾥补充⼀下。
古典概型：有限个事件，等可能发⽣。
放宽条件后得到⼏何概型：⽆限个事件，等可能发⽣；再放宽条件得到概率：⽆限个事件，不⼀定等可能发⽣。
古典概率古典概率讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形，即基本空间由有限个元素或基本事件组成，其个数记为n，每个基本事件发⽣的可能性是相同的。
若事件A包含m个基本事件，则定义事件A发⽣的概率为p（A）＝m／n，也就是事件A发⽣的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数，这是P.-S.拉普拉斯的古典概率定义，或称之为概率的古典定义。
历史上古典概率是由研究诸如掷骰⼦⼀类赌博游戏中的问题引起的。
计算古典概率，可以⽤穷举法列出所有基本事件，再数清⼀个事件所含的基本事件个数相除，即借助组合计算可以简化计算过程。
⼏何概率若随机试验中的基本事件有⽆穷多个，且每个基本事件发⽣是等可能的，这时就不能使⽤古典概率，于是产⽣了⼏何概率。
⼏何概率的基本思想是把事件与⼏何区域对应，利⽤⼏何区域的度量来计算事件发⽣的概率，布丰投针问题是应⽤⼏何概率的⼀个典型例⼦。
概率的频率定义随着⼈们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同⼀事件，可以从不同的等可能性⾓度算出不同的概率，从⽽产⽣了种种悖论。
另⼀⽅⾯，随着经验的积累，⼈们逐渐认识到，在做⼤量重复试验时，随着试验次数的增加，⼀个事件出现的频率，总在⼀个固定数的附近摆动，显⽰⼀定的稳定性。
R.von⽶泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。
从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。
A.H.柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义。
高中数学六种概率模型
高中数学六种概率模型高中数学中，概率是一个重要的概念。
它用来描述事件发生的可能性大小。
在概率论中，有六种常见的概率模型，它们分别是等可能概型、几何概型、排列概型、组合概型、条件概型和分布概型。
下面将逐个介绍这六种概率模型。
一、等可能概型：等可能概型是指每个基本事件发生的可能性相等。
比如抛硬币，硬币正面和反面出现的概率都是1/2。
再比如掷骰子，每个点数出现的概率都是1/6。
在等可能概型中，我们可以通过计算事件的个数与样本空间的大小来求解概率。
二、几何概型：几何概型是指在几何空间中进行概率计算。
比如说，我们可以通过几何概型来计算平面内的点落在某个区域的概率。
在几何概型中，我们可以通过计算区域的面积或体积与几何空间的大小来求解概率。
三、排列概型：排列概型是指在排列问题中的概率计算。
比如说，从n个元素中取出r个元素进行排列，那么排列的个数就是n个元素的全排列数，即n!。
在排列概型中，我们可以通过计算事件的个数与样本空间的大小来求解概率。
四、组合概型：组合概型是指在组合问题中的概率计算。
比如说，从n个元素中取出r个元素进行组合，那么组合的个数就是n个元素的组合数，即C(n,r)。
在组合概型中，我们可以通过计算事件的个数与样本空间的大小来求解概率。
五、条件概型：条件概型是指在已知某些条件下的概率计算。
比如说，已知某个事件A发生的条件下，另一个事件B发生的概率。
在条件概型中，我们可以通过计算事件A与事件B同时发生的概率与事件A发生的概率之比来求解概率。
六、分布概型：分布概型是指在统计分布中的概率计算。
比如说，正态分布、泊松分布、二项分布等等。
在分布概型中，我们可以通过计算随机变量的取值与概率密度函数或概率质量函数之间的关系来求解概率。
高中数学中的概率有六种常见的概率模型，它们分别是等可能概型、几何概型、排列概型、组合概型、条件概型和分布概型。
每种概率模型都有其独特的应用场景和计算方法。
熟练掌握这些概率模型，有助于我们更好地理解和应用概率论的知识，解决实际生活和工作中的问题。
几何概型概率
几何概型概率一、介绍在数学中，几何概型概率是一种基于几何形状的概率计算方法。
它与传统的计数概率方法不同，不需要对样本空间中的元素进行计数，而是通过几何形状的性质来计算概率。
几何概型概率在解决一些复杂的概率问题时具有独特的优势，并且可以提供直观的解释。
二、基本概念在讨论几何概型概率之前，我们先来了解一些基本的概率概念。
1. 概率概率是用来描述一个事件发生的可能性的数值，通常用0到1之间的数表示。
概率为0表示事件不可能发生，概率为1表示事件一定发生。
2. 样本空间样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。
例如，抛一枚硬币的样本空间为{正面，反面}。
3. 事件事件是样本空间的子集，表示随机试验中我们感兴趣的结果。
例如，抛一枚硬币出现正面为一个事件。
三、几何概型概率的原理几何概型概率的计算基于几何形状的性质。
它使用几何图形来表示事件和样本空间，通过计算几何图形的面积或体积来计算概率。
1. 一维情况在一维情况下，我们可以使用线段来表示样本空间和事件。
假设有一个长度为1的线段，我们可以通过将事件所占的线段长度与总长度进行比较来计算概率。
2. 二维情况在二维情况下，我们可以使用平面图形来表示样本空间和事件。
常见的平面图形包括矩形、圆形等。
通过计算事件所占的平面图形的面积与总面积的比值，我们可以计算概率。
3. 三维情况在三维情况下，我们可以使用立体图形来表示样本空间和事件。
常见的立体图形包括长方体、球体等。
通过计算事件所占的立体图形的体积与总体积的比值，我们可以计算概率。
四、几何概型概率的应用几何概型概率在解决一些复杂的概率问题时具有独特的优势。
1. 独立事件的概率计算对于独立事件，几何概型概率可以通过计算几何图形的面积或体积来计算概率。
例如，抛一枚硬币两次，求两次都出现正面的概率。
我们可以将样本空间表示为一个正方形，然后计算两次都出现正面所占的面积与总面积的比值。
2. 复杂事件的概率计算对于复杂事件，几何概型概率可以通过将事件分解为多个简单事件，然后计算每个简单事件的概率，并进行求和来计算概率。
概率初步.几何概型
本节内容「、几何概型及其概率公式(1 )几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.(2)几何概型的概率公式设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域门，事件A 所对应的区域用 A 表示(A 二)，A 的几何度量 门的几何度量二、几何概型中概率为 0和1的理解如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为 0，则它的概率为0，但它不是不可能事件，即概率为0的事件不一定是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它的概率为 1，但它不是必然事件，即概率为 1的事件不一定为必然事件.本节例题在区间1.0,10 1中任意取一个数，则它与 4之和大于10的概率为两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于 1m的概率为((2)黄灯；(3)不是红灯.BOP > 75°的概率为点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点 B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为几何概型题型一维情形【例1】 【例2】 【例3】 一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为 30秒, 黄灯亮的时间为 5秒，绿灯亮的时间为 40秒,当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是.(1)红灯;【例4】 平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm ，把一枚半径为1cm 的硬币任意投掷在这个平面上, 则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是(【例5】 在圆心角为 150°的扇形AOB 中，过圆心O 作射线交弧 AB 于P ，则同时满足：• AOP > 45。
且【例6】题型二二维情形11 11A .B . —C . —D.-13 9 4 2【例8】 在边长为1的正方形ABCD 内任取一点P ,则点P 到点A 的距离小于1的概率为 __________________ . 【例9】 在直角坐标系xOy 中，设集合门-\(x, y)0 < x < 1,0 < y < 1?，在区域门内任取一点P(x,y),则满足x y w1的概率为 _____________【例10】如图，在边长为25的正方形中挖去边长为 23的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在 正方形，问粒子落在中间带形区域的概率为 __________________ .【例11】在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于 1的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率为 __________ .【例12】向面积为S 的ABC 内任投一点P ，则随机事件 “PBC 的面积小于-”的概率为3【例13】如右图，向圆内投镖，如果每次都投入圆内，那么投中正方形区域的概率为__________ .21 A .n B. n21 C 3D . 3【例14】如下图所示，ABCD 是正方形，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 、CD 的中点，三只麻雀分别落在这三个正方形木板上休息，它们落在所在木板的任何地方是等可能的，麻雀落在甲、 乙、丙三块木板中阴影部分的概率分别是P 1、P 2、P 3,则()的概率为 ___________ . 【例16】设有关于x 的一元二次方程x22ax • b 2二0.若a 是从区间［0, 3］任取的一个数，b 是从区间［0 , 2］任取的一个数，则上述方程有实根的概率为 ____________【例7】 某人向一个半径为6的圆形标靶射击， 假设他每次射击必定会中靶,且射中靶内各点是随机的,则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为(A . P 1<P 2= P 3B . P 1<P 2<P 3C . P 1 = P 2= P 3D . P 1>P 2= P 3【例15】已知函数f x - -x 2，ax-b.若a 、b 都是从区间［0, 4］内任取的一个数，则 f ( 1)>0成立FB F C屮【例17】平面上一长12 cm ，宽10 cm 的矩形ABCD 内有一半径为1 cm 的圆0 （圆心O 在矩形对角线交点处）•把一枚半径为1 cm 的硬币任意掷在矩形内（硬币完全落在矩形内），则硬币不与圆0相碰的概率为 ____________ •【例18】小明的爸爸下班驾车经过小明学校门口，时间是下午6:00到6:30，小明放学后到学校门口的候车点候车，能乘上公交车的时间为5:50到6:10，如果小明的爸爸到学校门口时，小明还没乘上车，就正好坐他爸爸的车回家，问小明能乘到他爸的车的概率为__________ •【例19】甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即离去，则两人能会面的概率为 ____________ •题型三三维情形【例20】在500 mL 的水中有一个细菌， 现从中随机取出2mL 水样放到显微镜下观察， 则发现这个细菌的概率是（） A • 0.004B •0.002C . 0.04D • 0.02【例21】在棱长为a 的正方体 ABCD — A 1 B 1C 1D 1 内任取 一点 P , 则点P 到点A 的距离小于等于 a 的概率为（)A.三B•21 C •- DJI 2266【例22】一只小蜜蜂在一个棱长为 30的正方体玻璃容器内随机飞行•若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10,则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器 6个表面的距离均大于 10,则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容 器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（）课堂练习【练1】 长为1米得木棍折成任意长三段，这三段构成三角形的概率为 【练2】 实数a,b 满足a 2+ b 2< 1 ,则关于x 的方程x2-2x • a • b = 0无实数根的概率为 ___________! T ：：： x :: 122【练3】用计算机产生随机二元数组成区域 _2 ... y ... 2，对每个二元数组（X, y ），用计算机计算x 2y 2的值，记’（X, y ）满足x2__________________________________________ y 2<1"为事件A ，则事件A发生的概率为在区域 门内随机取一点P ，则点P 在区域M 内的概率为 _______________16C .27【练4】 y 乞x 1不等式组」y 兰0表示的平面区域为 X <1'■-1，不等式组 J y兰—冈十1表示的平面区域为 y-0M •若C .课后练习【题1】已知一个正方形及其它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为 __________ .【题2】 已知-' x, y x 亠0, y 亠0,x y 三6』,A = x, y x 込4, y 亠0,x - 2y 亠0』,若向区域内随机投一点P ,则点P 落在区域A 内的概率为 _______________ .【题3】在1万平方千米的大陆架海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率为 ____________ .【题4】设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点P 与A 连结，求弦长超过半径的、、3倍的概率为 ___________ .S【题5】 在面积为S 的厶ABC 的边AB 上任取一点，则△ PBC 的面积大于一的概率为 ________________ .4【题6】 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则该正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为 ___________ .【题7】一只蚂蚁在三边长分别为 3?4?5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为 _____________ .【例23】在［T ,］上任取两实数a ,b ，求方程x 2+2ax+b 2=0的两根都为实数的概率为 __________________【练5】 某游戏规则如下：随机地往半径为 1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于1 、，则成绩2 1 1 1 为及格；若飞标到圆心的距离小于 一，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于 一且小于一，442贝倣绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为__________ .【练6】 利用计算机产生0〜1之间的均匀随机数 a ，则时间3a_1 .0”发生的概率为 ______________ 【练7】在区间1^,3上随机取一个数 x ，使得x ・1 一仪-2|_1成立的概率为 【练8】 已知X 可以在区间［-2t,3t ］ ( t 0)上任意取值，则1 B . 一2 1 C.—6【练9】 已知函数 f (x)二 ax 2 _2bx -1 , 其中实数 a b - 6 _ 0 Ia ,b 满足a 0b 0则函数y f (x)在区间2, ::上是增函数的概率是(。
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几何概型的概率
几何概型的概率：
一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D
的测度的测度
. 说明：
(1)D 的测度不为0；
(2)其中＂测度＂的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积.
(3)区域为＂开区域＂；
(4)区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关.
要点诠释：
几种常见的几何概型
(1)设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点，若落在线段l 上的点数与线段l 的长度成正比，而与线段l 在线段L 上的相对位置无关，则点落在线段l 上的概率为：
P=l 的长度/L 的长度
(2)设平面区域g 是平面区域G 的一部分，向区域G 上任投一点，若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比，而与区域g 在区域G 上的相对位置无关，则点落在区域g 上概率为：
P=g 的面积/G 的面积
(3)设空间区域上v是空间区域V的一部分，向区域V上任投一点，若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比，而与区域v在区域V上的相对位置无关，则点落在区域v上的概率为：
P=v的体积/V的体积。