函数隐性零点的处理技巧

函数隐性零点的处理技巧

一、隐性零点问题示例及简要分析： 1.求参数的最值或取值范围

例1（2012年全国I 卷）设函数f （x ）=e x

﹣ax ﹣2． （1）求f （x ）的单调区间；

（2）若a=1，k 为整数，且当x ＞0时，（x ﹣k ）f ′（x ）+x+1＞0，求k 的最大值．

2.不等式的证明

例2.（湖南部分重点高中联考试题）已知函数f （x ）=2

)

(ln a x x

，其中a 为常数． （1）若a=0，求函数f （x ）的极值；

（2）若函数f （x ）在（0，﹣a ）上单调递增，求实数a 的取值范围；

（3）若a=﹣1，设函数f （x ）在（0，1）上的极值点为x 0，求证：f （x 0）＜﹣2．

3.对极值的估算

例3已知函数f （x ）=ax 2

﹣ax ﹣xlnx ，且f （x ）≥0． （1）求a ；

（2）证明：f （x ）存在唯一的极大值点x 0，且e ﹣2

＜f （x 0）＜2﹣2

．

二、针对性演练：

1．已知函数 f （x ）=22

ln )2

1(

ax x x x ++（a∈R），曲线y=f （x ）在x=1处的切线与直线x+2y ﹣1=0垂直．

（1）求a 的值，并求f （x ）的单调区间；

（2）若λ是整数，当x ＞0时，总有f （x ）﹣（3+λ）x 221x >

-λlnx+24

1

x ，求λ的最大值．

2．设函数f （x ）=e 2x

﹣alnx ．

（Ⅰ）讨论f （x ）的导函数f′（x ）零点的个数； （Ⅱ）证明：当a ＞0时，f （x ）≥2a+aln a

2

．

答 案

函数隐性零点的处理技巧

一、隐性零点问题示例及简要分析： 1.求参数的最值或取值范围

例1（2012年全国I 卷）设函数f （x ）=e x

﹣ax ﹣2． （1）求f （x ）的单调区间；

（2）若a=1，k 为整数，且当x ＞0时，（x ﹣k ）f ′（x ）+x+1＞0，求k 的最大值． 解析：（1）（略解）若a≤0，则f ′（x ）＞0，f （x ）在R 上单调递增； 若a ＞0，则f （x ）的单调减区间是（﹣∞，lna ），增区间是（lna ，+∞）． （2）由于a=1，所以（x ﹣k ）f′（x ）+x+1=（x ﹣k ）（e x

﹣1）+x+1． 故当x ＞0时，（x ﹣k ）f ′（x ）+x+1＞0等价于k ＜

1

1

-+x

e x +x （x ＞0）（*）， 令g （x ）=1

1

-+x e x +x ，则g′（x ）=2)1()2(---x x x e x e e ，

而函数f （x ）=e x

﹣x ﹣2在（0，+∞）上单调递增，①f （1）＜0，f （2）＞0， 所以f （x ）在（0，+∞）存在唯一的零点．故g ′（x ）在（0，+∞）存在唯一的零点． 设此零点为a ，则a∈（1，2）．当x∈（0，a ）时，g ′（x ）＜0；当x∈（a ，+∞）时，g ′（x ）＞0．所以g （x ）在（0，+∞）的最小值为g （a ）．

③所以g （a ）=a+1∈（2，3）．由于（*）式等价于k ＜g （a ），故整数k 的最大值为2． 点评：从第2问解答过程可以看出，处理函数隐性零点三个步骤： ①确定零点的存在范围（本题是由零点的存在性定理及单调性确定）； ②根据零点的意义进行代数式的替换； ③结合前两步，确定目标式的范围。

2.不等式的证明

例2.（湖南部分重点高中联考试题）已知函数f （x ）=2

)

(ln a x x

+，其中a 为常数． （1）若a=0，求函数f （x ）的极值；

（2）若函数f （x ）在（0，﹣a ）上单调递增，求实数a 的取值范围；

（3）若a=﹣1，设函数f （x ）在（0，1）上的极值点为x 0，求证：f （x 0）＜﹣2． 解析（1）略解f （x ）极大值=f （e ）=

e

21

，无极小值； （2）可得a≤﹣

e

2

；

（3）证明：a=﹣1，则f （x ）=

2

)

1(ln -x x

导数为f′（x ）=3

)1(1

ln 21---x x x ，

①设函数f （x ）在（0，1）上的极值点为x 0，②可得01

ln 210

0=-

-x x ，即有

01

1ln 2x x -

=，要证f （x 0）＜﹣2，即

2

00)

1(ln -x x +2＜0，由于

2

00

)

1(21

1--

x x +2=

)1(21

00-x x +2=)

1(2)21(002

0--x x x ，由于x 0∈（0，1），且x 0=21，2lnx 0=1﹣01x 不成立，

③则

02)

1(ln 2

00<+-x x ，故f （x 0）＜﹣2成立．

点评：处理函数隐性零点的三个步骤清晰可见。

3.对极值的估算

例3.（2017年全国课标1）已知函数f （x ）=ax 2

﹣ax ﹣xlnx ，且f （x ）≥0． （1）求a ；

（2）证明：f （x ）存在唯一的极大值点x 0，且e ﹣2

＜f （x 0）＜2﹣2

．

解析（1）因为f （x ）=ax 2

﹣ax ﹣xlnx=x （ax ﹣a ﹣lnx ）（x ＞0），则f （x ）≥0等价于