一阶偏微分方程求解方法

3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
加权余数的定义：
目标函数：
wj R d w*j R d， j 1,2,....
加权函数的选取方法很多：如点重合、子域重合、最小二乘法、迦辽金法。 效果较好的、运用较多的是迦辽金法：
wj＝w*j＝ j
即：迦辽金法选取尝试函数本身为加权函数
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
电磁场问题总可以用位函数的偏微分方程和相应的边界条件表述

2
A


2A t 2


J

2

2
t 2



1 g(1)

t
2 (2) 2 h(2)
两个偏微分方程形式相同，故以电位方程的求解过程为例。磁位矢 量的方程可以分解到个分量上变为标量方程。
i xi (i 1,2)
n
2
Ci i Ci xi C11 C2 2 C1x1 C2 x2
i 1
i 1
2.结合问题，写出余数表达式：
: R 2 2
2 2 ( 2 Ci xi ) 2 (C1x1) 2 (C2 x2 )
3. 加权余量法－－例
3. 加权余数表达式：
j 2时,又得到一个代数方程：
F2(R)


2 R
d



2 R
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d

d 0
x2
( 2C2
)d

| x0 x2 ((C1x1 C2 x2 ) x0 0) d
| xd x2 ((C1x1 C2 x2 ) xd 10) d
例1.两极电容板内部电场分布问题： 根据问题特点将3维问题简化为2维， 进一步简化为1维。 该问题是静态电场问题， 偏微分方程和边界条件：
2 0 0 0; d 10;
3. 加权余量法－－例
加权余量法求解： 1.选取尝试函数、构造近似解：
理论上任意选取， 操作中越简单越好
1. 基本思想：
以偏微分方程的近似解来代替其真解，只要近似解与真解足够 接近，就可以近似解作为问题的解，并满足足够的精度。
2. 基本方法：
尝试函数，基 函数，形函数
1. 假设一个近似解，该解一组（形式上）简单函数 ψi 的线性组合来
表示，线性组合的系数就是一组待定系数 Ci
2. 然后建立一种考虑了微分方程和边界条件的关于真解 和近似解 间误差的目标函数 F
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
加权余量法
在求解场域内，偏微分方程的真解为 ，近似解为 它由一组简单函数
ψi 的线性组合表达，表达中有待定系数 Ci 即：
近似解
问题的自 由度
n
Ci i i 1
简单函数，一般选用 简单形式的函数，一 旦选定就是已知的了
1.偏微分方程求解－－有限元法的原理（加权余量法和变分法）
1. 解析法
应用范围有限，适用于理论求解，但有强烈的物理含义（常系数微分方程） 某些复杂问题，很考虑根本找不到解析解
2. 数值法
工程实际中应用广泛，复杂场域问题，但物理含义不很清楚。任何问题总可 以找到数值解（数学方法）
2/4 2.数值求解方法

i 1
0 2C2
2 0

3. 加权余量法－－例
2.结合问题，写出余数表达式：
：R （） （）
2
（）＝ Ci xi＝C1x1 C2 x2 i 1
在x 在x

0处：（）x0＝(C1x1 d处：（）x d ＝(C1 x1
C2x2 ) C2x2 )
x0 xd
在x 在x

0处：（）x0＝0 d处：（）x d ＝10
3. 加权余量法－－例
3. 加权余数表达式：
Fj(R)


j
R
d



j R
d，j
1,2
j 1时,得到一个代数方程：
F1(R)
待定系数是真 正的求解目标
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
加权余量法就是一种定义近似解与真解之间误差（即余数），并设 法使其最小的方法。
加权余量法误差（即余数）的定义：
问题的自 由度
边场界域上内：: RR（）2
2 （）
注意：一般余数并不表示近似解与真解间的差（场域内），加权余量法 的采用拉普拉斯算子作用后的差别（即余数），来代表近似解接近 偏微分方程真解的程度。
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
当余数小于要求的精度时，就可以认为近似解就是偏微分方程的解。 要减少余数，我们可以通过寻求适当的待定系数来实现。 为有效表达减小余数的效果，还选取适当的加权函数，以使余数和该加
权函数的积分为0。－－“加权余量法”的来由。
设加权函数为：wj ; w*j


1R
d



1R
d

d
0 x(2C2 )d
| x0 x((C1x1 C2 x2 ) x0 0) d
| xd x((C1x1 C2 x2 ) xd 10) d
C2d 2 0 (C1d 2 C2d 3 10d ) d 2C1 d 2 (1 d )C2 10d 0
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
由此构建加权量法的目标函数：
关于函数是函数， 称为：泛函数，或
泛函
Fj(R)


j
R
d



j R
d，
令 Fj(R) 0 则余数最小， 趋于
上述过程中，已经将偏微分方程转化为j个代数方程组，便于计算机求解。
3. 加权余量法－－例
3. 用适当的算法使得该目标函数最小化――最小化的过程就确定了 待定系数，从而也就得到了问题的近似解。
2/4 2.数值求解方法
目标函数最小化的目的：一方面，使得近似解最大程度接近真解；另 一方面，求得构成近似解的待定系数。
数学上，构成目标函数的方法很多，不同的构成方法就形成了不同的 数值解法，电磁场中就常见的是：加权余量法和变分法。