五年级奥数.数论.余数性质(C级)
五年级奥数：余数问题
五年级奥数：余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。
例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。
将5056分解质因数，得到5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
奥数讲义数论专题：余数及同余
华杯赛数论专题：余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a 与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。
（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。
公式推导—余数的性质
小学奥数公式推导—余数的性质目的：通过自己推导公式，更好的理解小学奥数的公式和解题方法，熟悉代数方法。
今天介绍一下余数的性质，余数的概念和性质是非常重要的，是数论的基础。
我们都知道：①和的余数=余数的和②积的余数=余数的积例如：633÷7=90 余3702÷7=100 余2那么633+702的和除以7的余数就是3+2=5那么633×702的积除以7的余数是3×2=6(如果和或乘积大于7，那么再对7取余数)这两个知识很容易背下来，用几遍就熟练了，可是却很少有孩子去考虑为什么有这个规律。
下面我们抽象一下，试着用字母来代替数把这两个数写成7m+a与7n+b（孩子们可以多练习用字母来表示数，比如偶数可以表示成2n，奇数可以表示成2n-1，3的倍数表示成3n等等。
）①和的余数=余数的和(7m+a)+(7n+b)=7m+7n+a+b前两项都是7的倍数，所以余数就取决于a+b②积的余数=余数的积(7m+a)(7n+b)接下来把括号打开，只需要明白乘法分配律即可（如果刚开始接触，括号打不开，可以把其中一个括号当作一个整体，进行2次去括号。
）7m7n+7mb+7na+ab我们发现前三项都是7的倍数，所以不影响整个和除以7的余数。
（或者利用性质①四项和的余数就是0+0+0+ab）所以就是ab除以7的余数。
如果理解了积的余数，可以利用它研究一下乘方，例如求703的703次方除以7的余数。
根据②，这个余数可以简化成3的703次方(幂同余定理，就不描述术语了，孩子不容易理解)：3的1次方除以7余33的2次方除以7余23的3次方除以7余6（利用3X2）3的4次方除以7余4（利用6X3）3的5次方除以7余5（利用4X3）3的6次方除以7余1（利用5X3）3的7次方除以7余3（开始循环）利用周期就可以求出答案。
（肯定会出现循环，因为除以7的余数只有0-6，7次以内肯定会循环）以后看见这种题应该能做出来了吧。
五年级奥数余数的性质与运用：学习...
五年级奥数余数的性质与运用：学习...
五年级奥数余数的性质与运用：
学习和生活都离不开转化，转化就是学有所用！
转化：遇到新的问题，尝试各种手段把新问题和已经学过或已经研究过的知识体系联系起来，甚至直接把新问题变成自己熟悉的或熟练的问题！
根据余数的性质，有2种方法可以简化求余数的运算：
⑴特性求余法：除以特殊数的余数的简便方法；
⑵替换求余法：余数的可加性、可减性、可乘方性来简化求余的运算.
最重要的是适应和熟练同余的符号语言的推理，可以这么说，同余是奥数的真正门槛，跨过这个门槛的学生可以称之为开窍！。
小学五年级奥数 余数定理
【例5】(★★★)(南京市少年数学智力冬令营试题) 在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7， 则将这几个数归为一组. 这样的数组共有______组.
【例7】(★★★★) 从1～20中最多可以选取多少个数，使得取出的数中任意三个数的和能 被3整除？
知识大总结 1. 余数的三大性质
【例2】(★★★) 188＋288＋388＋…＋2088除以9、11的余数各是多少？
【例3】(★★☆) 一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个. 年终将这些零 件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个. 请问：最后一包有多 少个零件？
【拓展】(★★★) 自然数 3100 1 的个位数字是多少？
版块一：余数的三大性质 【例1】(★★)
⑴ 123＋456＋789除以11的余数是多少？ ⑵ 123×456×789的结果除以23的余数是多少？
知识要点屋 1. 特征求余法：
⑴ 尾数系，(2、5) ，(4、25) ，(8、125) ⑵ 和系，3，9 ⑶ 11：奇数位数字之和－偶数位数字之和的差. ⑷ 7、11、13：截断法.
⑴ 和的余数等于余数的和 ⑵ 差的余数等于余数的差 ⑶ 积的余数等于余数的积 2. 替换求余法 3. 整除判定法则—特征求余法
【今日讲题】 例2，例3，例4，例6
【讲题心得】 __________________________ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______________________________________ ___________________.
本讲主线
1. 余数的三大性质 2. 三性的实际应用
余数问题（二）
知识要点屋 1. 余数的三大性质：
五年级奥数.数论.带余除法
带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2、余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题精讲知识框架带余除法【例 1】某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于。
【巩固】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。
【例 2】除法算式 L L□□=208中，被除数最小等于。
【巩固】计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲。
如果▲的值是6，那么△的最小值是_____。
【例 3】71427和19的积被7除，余数是几?【巩固】在下面的空格中填上适当的数。
3124774002【例 4】 1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【巩固】 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
【例 5】 一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？【巩固】 大于35的所有数中，有多少个数除以7的余数和商相等？【例 6】 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？【巩固】 写出全部除109后余数为4的两位数．【例 7】甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．【巩固】用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．【例 1】当1991和1769除以某个自然数n，余数分别为2和1．那么，n最小是多少？【巩固】有三个自然数a，b，c，已知b除以a，得商3余3；c除以a，得商9余11。
小学五年级奥数数论之同余问题
一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理：在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：++++=例如：检验算式12341898189226789671789028899231234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
奥数数论：余数问题要点及解题技巧
奥数数论：余数问题要点及解题技巧(总2页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除奥数数论：余数问题要点及解题技巧一、基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0余数，q叫做a除以b的不完全商。
二、余数的性质：①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
三、同余的定义：①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(modm)，读作a同余于b模m。
四、同余的性质：①自身性：a≡a(modm)；②对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)；③传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)；④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm)；⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a×c≡b×d(modm)；⑥乘方性：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)；⑦同倍性:若a≡b(modm)，整数c，则a×c≡b×c(modm×c)；五、被3、9、11除后的余数特征：①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod9)或（mod3）；②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod11)；六、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(modp)。
2018五年级奥数.数论.余数性质(C级).学生版
知识框架一、带余除法的定义及性质1.定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2.余数的性质⑴被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵余数小于除数．二、余数定理：欢迎关注：奥数轻松学三、余老师薇芯：690392701.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理余数性质a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
高斯小学奥数五年级上册含答案_余数的性质与计算
第二十一讲余数的性质与计算37』桂除的余数足多少？我知沽玳，余数昂7!^1这一讲我们来学习余数问题.在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况. 当不能整除时，就会产生余数.一般地，如果a是整数，b是整数（b丰0）,若有a+ b=q r （也就是a b q r ）, 0当r 0 时，我们称a 能被b 整除；当r 0 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的商余数问题和整除问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起了．余数有如下一些重要性质．基本性质：被除数=除数X商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）*商；商=（被除数-余数）十除数.余数小于除数．理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题1．用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被除数和除数各是多少？「分析」如果设除数为a,被除数可以表示为什么？练习1．甲、乙两数的和是2014,甲数除以乙数商99余14,求甲、乙两数．我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除1）一个数除以2或5的余数,等于这个数的个位数字除以2或5的余数；一个数除以4或25的余数,等于这个数的末两位数除以4或25的余数；一个数除以8或125的余数,等于这个数的末三位数除以8或125 的余数；2）一个数除以3或9的余数,等于这个数的各位数字和除以3或9的余数；特性．这些数的整除特性稍加改造,即可成为求解余数的一类简便算法：一个数除以99（包括11、33）的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数；此外,求3和9的余数还可应用乱切的方法．（3）一个数除以11 的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11 再减即可．（4）一个数除以7、11和13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11 和13 的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个7、11 或13再减即可．这种利用整除特性来计算余数的方法叫做特性求余法．例题2．1）20132013 除以4和8 的余数分别是多少？2）20142014 除以3和9 的余数分别是多少？分析」根据4、8、3、9 的特性，可以很快计算出结果．练习2．（1）20121221 除以5和25 的余数分别是多少？（2）20130209 除以3和9 的余数分别是多少？例题3．（1）123456789 除以7和11的余数分别是多少？87654321 呢？（2）360360360 除以99 的余数是多少？「分析」根据7、1、99 的特性，可以计算出结果．在截断的时候要特别小心．练习3．201420132012 除以13和99 的余数分别是多少？为了更好地了解余数的其它一些重要性质，我们再来做几个练习：1）211除以9的余数是 _______ ；（2）137除以9的余数是_________(3) 211 137的和除以9的余数是___________ ; ( 4) 211 137的差除以9的余数是(5)211 137的积除以9的余数是__________ ; (6) 1372除以9的余数是________比较上面的结果，我们发现余数还有一些很好的性质：和的余数等于余数的和；差的余数等于余数的差；积的余数等于余数的积•这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性•在计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性每个数都用它除以7的质进行简算.例如计算33 37 15 80的结果除以7的余数就可以像右侧这样计算•这一简算方法又称替换求余法•需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗上口，但并不严格，在使用时还需要注意：(1)如果替换之后余数的计算结果大于除数，还需要再次计算结果的余数.例如：在计算423 317除以6的余数时，利用“和的余数等于余数的和”，结果就变成了3 5 8, 8 6，所以还需要再次计算8除以6的余数是2,才是423 317除以6最后的余数•再比如：在计算423 317除以6的余数时，也会遇到3 5 15 6的情况，同样的还需要计算15除以6的余数是3，才是最终的结果.(2)在计算减法时，会出现余数不够减的情况，这时只要再加上除数或除数的倍数即可•例如：在计算423 317除以6的余数时，会发现结果变成了3 5不够减.此时，只要再加上6,用6 3 5 4来计算即可.例题4.一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个•年终将这些零件按6个一包的规格打包，最后一包不够6个.请问：最后一包有多少个零件？「分析」最后一包的零件数实际上就是零件总数除以19的余数.练习4．(1)123 456 789除以111 的余数是多少？(2)224468 6678的结果除以22 余数是多少？如果我们将“特性求余法”和“替换求余法”相结合,便可大大简化余数的计算．例题5．(1)87784 49235 81368除以4、9 的余数分别是多少？(2)365366+367368 369370除以7、11、13 的余数分别是多少？「分析」要把结果算出来,再求余数,计算量很大．看看如何利用“替换求余”以及“特性求余”的方法来进行求解．例题6．( 1) 2100的个位数字是多少？32014除以10 的余数是多少？(2) 32014除以7 的余数是多少？「分析」一个数的个位数字就是它除以10 的余数,大家来找一下个位数字的变化规律．小熊分粽子今天是端午节, 猴爸爸一大早就领着猴儿们去观看龙舟比赛。
五年级数奥--余数问题详细分析讲解
五年级数奥－－余数问题(详细分析讲解）各种与余数有关的整数问题,其中包括求方幂的末位数字,计算具有规律的多位数除以小整数的余数，以及用逐步试算法找出满足多个余数条件的最小数等．1.分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【分析与解】因为两个数和的余数同余与余数的和．有101,126,173,193除以3的余数依次为2,0,2,1．则101号运动员与126,173,193号运动员依次进行了2,1,0盘比赛,共3盘比赛；126号运动员与101,173,193号运动员依次进行了2,2,l盘比赛,共5盘比赛；173号运动员与101,126,193号运动员依次进行了1,2,0盘比赛,共3盘比赛；193号运动员与101,126,173号运动员依次进行了0,1,0盘比赛,共1盘比赛．所以,打球盘数最多的运动是126号,打了5盘．评注:两个数和的余数,同余与余数的和；两个数差的余数,同余与余数的差；两个数积的余数,同余与余数的积.2.自然数的个位数字是多少?【分析与解】我们先计算的个数数字,再减去1即为所求.(特别的如果是O,那么减去1后的个位数字因为借位为9)将一个数除以10,所得的余数即是这个数的个位数字.而积的余数,同余余数的积．有2除以10的余数为2,2×2除以10的余数为4,2×2×2除以10的余数为8,2×2×2×2除以i0的余数为6；2×2×2×2×2除以i0的余数为除以10的余数为4, 除以10的余数为8, 除以10的余数为6；…………也就是说,n个2相乘所得的积除以10的余数每4个数一循环．因为67÷4=16……3，所以除以10的余数同余与2×2×2,即余数为8,所以除以10的余数为7．即的个位数字为7．评注：n个相同的任意整数相乘所得积除以10的余数每4个数一循环．3.算式7+7×7+…+ 计算结果的末两位数字是多少?【分析与解】我们只用算出7+7×7+…+7 的和除以100的余数,即为其末两位数字．7除以100的余数为7,7×7除以100的余数为49,7×7×7除以100的余数为43,7 ×7 ×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1；而除以100的余数等于的余数,即为7,……这样我们就得到一个规律除以100所得的余数,4个数一循环,依次为7,49,43,1．1990÷4=497……2,所以7+7×7+…+7×7×…的和除以100的余数同余．497×(7+49+43+1)+7+49=49756,除以100余56．所以算式7+7×7+…+ 计算结果的末两位数字是56．4.1990…1990除以9的余数是多少?【分析与解】能被9整除的数的特征是其数字和能被9整除,如果这个数的数字和除以9余a,那么再减去a而得到的新数一定能被9整除,因而这个新数加上a后再除以9,所得的余数一定为a,即一个数除以9的余数等于其数字和除以9的余数．的数字和为20×(1+9+9+0)＝380，380的数字和又是3+8=11,11除以9的余数为2,所以除以9的余数是2．5.将1,2,3，…,30从左往右依次排列成一个51位数,这个数被11除的余数是多少?【分析与解】1,2,3,...,30这30个数从左往右依次排列成一个51位数为：123456...910 (15)...19202l...25 (2930)记个位为第l位,十位为第2位,那么：它的奇数位数字和为:0+9+8+7+6+…+l+9+8+7+6+…+1+9+7+5+3+l=115：它的偶数位数字和为:3+ + +8+6+4+2=53；它的奇数位数字和与偶数位数字和的差为115—53：62．而62除以1l的余数为7．所以将原来的那个51位数增大4所得到的数123456…910…15…192021…25…2934就是1l倍数,则将123456…910…15…192021…25…2934减去4所得到数除以11的余数为7．即这个51位数除以11的余数是7．评注:如果记个位为第1位,十位为第2位,那么一个数除以11的余数为其奇数位数字和A减去偶数位数字和B的差A-B=C,再用C除以1l所得的余数即是原来那个数的余数.(如果减不开可将偶数位数字和B减去奇数位数字和A,求得B-A=C,再求出C除以1l的余数D,然后将11-D即为原来那个数除以11的余数)．如:123456的奇数位数字和为6+4+2=12,偶数位数字和为5+3+1=9,奇数位数字和与偶数位数字和的差为12-9=3,所以123456除以11的余数为3．又如:654321的奇数位数字和为1+3+5=9,偶数位数字和为2+4+6=12,奇数位数字和减不开偶数位数字和,那么先将12-9=3,显然3除以11的余数为3,然后再用11-3=8,这个8即为654321除以11的余数．6.一个1994位的整数,各个数位上的数字都是3.它除以13,商的第200位（从左往右数)数字是多少?商的个位数字是多少?余数是多少?【分析与解】这个数即为，而整除13的数的特征是将其后三位与前面的数隔开而得到两个新数，将这两个新数做差，这个差为13的倍数．显然有能够被13整除,而1994÷6=332……2，即而是13的倍数，所以除以13的余数即为33除以13的余数为7．有,而,所以除以13所得的商每6个数一循环,从左往右依次为2、5、6、4、1、0．200÷6=33……2,所以除以所得商的第200位为5．除以13的个位即为33除以13的个位，为2．即商的第200位(从左往右数)数字是5,商的个位数字是2,余数是7．7.己知：a= .问:a除以13的余数是几?【分析与解】因为1能被13整除,而1991÷3=663……2．有a= =1×1 +1×1 +1×+1×1 +…+1×1 +19911991所以a除以13的余数等于19911991除以13的余数8．8.有一个数,除以3余数是2,除以4余数是1.问这个数除以12余数是几?【分析与解】我们将这个数加上7,则这个数能被3整除,同时也能被4整除,显然能被12整除,所以原来这个数除以12的余数为12-7=5．9.某个自然数被247除余63,被248除也余63.那么这个自然数被26除余数是多少?【分析与解】我们将这个数减去63,则得到的新数能被247整除,也能被248整除,而相邻的两个整数互质,所以得到的新数能被247×248整除,显然能被26整除．于是将新数加上63除以26的余数等于63除以26的余数为11．所以这个自然数被26除余数是11．10.一个自然数除以19余9,除以23余7.那么这个自然数最小是多少?【分析与解】这个自然数可以表达为19m+9,也可以表达为23n+7,则有19m+9=23n+7，即23n-19m=2，将未知数系数与常数对19取模,有4n≡2(mod 19)．n最小取10时,才有4n≡2(mod 19).所以原来的那个自然数最小为23×lO+7=237．评注：有时往往需要利用不定方程来清晰的表示余数关系,反过来不定方程往往需要利用余数的性质来求解．11.如图15-l,在一个圆圈上有几十个孔(少于100个).小明像玩跳棋那样从A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔.他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔.最后他每隔6孔跳一步,正好回到4孔.问这个圆圈上共有多少个孔?【分析与解】设这个圆圈有n个孔,那么有n除以3余1,n除以5余1.n 能被7整除．则将n-1是3、5的倍数,即是15的倍数,所以n=15t+1,又因为凡是7的倍数,即15t+1=7A,将系数与常数对7取模,有t+1≡0(mod7),所以t取6或6与7的倍数和.对应孔数为15×6+l=91或91与105的倍数和，满足题意的孔数只有91．即这个圆圈上共有91个孔．12.某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1,2,3，…,12.他们的依次是12个连续的六位自然数,并且每家的都能被这家的门牌整除.已知这些的首位数字都小于6,并且门牌是9的这一家的也能被13整除,问这一家的是什么数?【分析与解】设这12个连续的自然数为n+1,n+2,n+3,…,n+12,那么有它们依次能被1,2,3,…,12整除,显然有凡能同时被1,2,3,…,12整除.即n为1,2,3,…,12的公倍数．[1,2,3,…,12]=23×32×5×7×11=27720,所以n是27720的倍数,设为27720k.则有第9家的门牌为27720k+9为13的倍数,即27720k+9=13A.将系数与常数对13取模有:4k+9≡0(mod 13),所以后可以取l或1与13的倍的和.有要求n+1,n+2,n+3,…,n+12,为六位数,且首位数字都小于6,所以k只能取14,有7n=27720×14=388080．那么门牌是9的这一家的是388080+9=388089．13.有5000多根牙签,可按6种规格分成小包.如果10根一包,那么最后还剩9根.如果9根一包,那么最后还剩8根.第三、四、五、六种的规格是,分别以8,7,6,5根为一包,那么最后也分别剩7,6,5,4根.原来一共有牙签多少根?【分析与解】设这包牙签有n根,那么加上1根后为n+1根此时有n+1根牙签即可以分成10根一包，又可以分成9根一包,还可以分成8、7、6、5根一包.所以,n+1是10、9、8、7、6、5的倍数,即它们的公倍数．[10,9,8,7,6,51=23×32×5×7=2520,即n+1是2520的倍数,在满足题下只能是2520×2=5040,所以n=5039．即原来一共有牙签5039根．14.有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少?【分析与解】设这个除数为M,设它除63,90,130所得的余数依次为a,b,c,商依次为A,B,C．63÷M=A……a90÷M=B……b130÷M=C……ca+b+c=25,则(63+90+130)-(a+b+c)=(A+B+C)×M,即283-25=258=(A+B+C)×M．所以M是258的约数.258=2×3×43,显然当除数M为2、3、6时,3个余数的和最大为3×(2-1)=3，3×(3-1)=6,3×(6-1)=15,所以均不满足．而当除数M为43×2,43×3,43×2×3时,它除63的余数均是63,所以也不满足．那么除数M只能是43,它除63,90,130的余数依次为20,4,1,余数的和为25,满足．显然这3个余数中最大的为20．15.一个数去除551,745,1133,1327这4个数,余数都相同.问这个数最大可能是多少?【分析与解】这个数A除55l,745,1133,1327,所得的余数相同,所以有551,745,1133,1327两两做差而得到的数一定是除数A的倍数．1327-1133=194,1133-745=388,745-551=194,1327-745=582,1327-551=77 6,1133-551=582．这些数都是A的倍数,所以A是它们的公约数,而它们的最大公约数(194，388，194，582，776，582)=194．所以,这个数最大可能为194．。
五年级奥数讲义余数问题
第四讲 余数问题知识点：1、在有余数的除法里，如果被除数和除数都能被同一自然数整除，那么余数也能被这个自然数整除。
例如：60÷25=2……10，255,605，，那么一定有1052、在有余数的除法里，如果除数和余数能被同一自然数整除，那么被除数也能被这个自然数整除。
例如：3、一个自然数被另一个自然数n 除时，余数只能是0，1，2，……（n-1)。
例如：4、如果两个整数被另一自然数n 除时（n 为整数），余数相同，则它们的差必定能被n 整除。
例如：5、如果整数a 和b 除以同一个自然数m ，所得的余数相同，c 和d 除以同一自然数m ，余数也相同，那么a+c ，b+d 除以m 所得的余数也相同。
例如：一、例题讲解例1、被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和余数。
例2、一个自然数除以3余1，除以5余3，加上2就能被7整除，这个自然数最小是多少？例3、自然数a 除以7余3，自然数b 除以7余4，（a+b ）除以7余几？例4、整数1111…111除以6的余数是几？2012个1例5、2012个7组成一个2012位数，被13除后余数是多少？商的各位数字之和是多少？例6、1～400的整数中，被3、5、7除都余2的数共有多少个？二、拓展训练1、有一个自然数，用它去除63、91、129得到3个余数的和是25，这个自然数是多少？2、在1～200这200个自然数中，被3或7除都余2的数有多少个？3、自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a大于b，那么a减去b的差除以7，余数是多少？4、有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。
这个数多少？5、11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是多少？三、能力检测1、71427和19的积被7除，余数是几？2、69、90、125被某个自然数除时，余数相同，试求这个自然数的最大值。
3、一个十几岁的男孩，把自己的岁数写在父亲的岁数之后，组成一个四位数，从这个四位数中减去他们父子两人岁数差的差得到4289。
五年级余数知识点总结
五年级余数知识点总结一、余数的概念余数是指一个数除以另一个数所得到的剩下的数。
在数学中，余数通常用符号“r”表示，如果一个数a能被另一个数b整除，那么a ÷ b的商就是能整除的商，而a ÷ b的余数就是余数。
二、余数的求法1. 余数的求法有两种方法，一种是用长除法，一种是直接用模运算。
2. 用长除法求余数：将被除数除以除数，得到的商就是整数部分，余下的数是余数。
3. 用模运算求余数：a ÷ b的余数可以用a mod b或者a % b表示，其中mod是取模运算符，%是求余运算符。
三、余数的性质1. 余数的大小一定小于除数，举例来说，如果5 ÷ 2，得到的商是2，余数是1，这个余数小于2。
2. 余数的性质和奇偶性：如果一个数除以2得到的余数是0，那么这个数是偶数；如果余数是1，这个数是奇数。
3. 余数的加减乘除：如果a ÷ b得到的余数是r1，c ÷ d得到的余数是r2，那么a + c ÷ b +d得到的余数是(r1 + r2) mod b。
四、余数的应用1. 余数在计算机编程中的应用：在计算机编程中，余数常常用于对整数进行分类，判断整数的奇偶性，计算某个范围内能整除的数等。
2. 余数在数论中的应用：在数论中，余数可以用于计算最大公约数、最小公倍数，判断整数的性质，如奇偶性、能否被某个数整除等。
3. 余数在日常生活中的应用：在日常生活中，余数也有很多应用，如计算时间、计算金钱、分配物品等。
五、余数的练习方法1. 通过长除法练习求余数，例如计算98 ÷ 5的余数。
2. 通过模运算练习求余数，例如计算127 mod 8的余数。
3. 通过应用题练习余数的应用，如计算2小时30分钟后是几点，计算8个苹果分给3个人每个人能得到多少苹果等。
六、余数的注意事项1. 在计算余数时，要注意除数是不可以为0的，因为任何数除以0都是无穷大。
2. 在计算余数时，要注意不能将除数与余数直接相加，要进行模运算计算。
小学奥数-数论专题知识总结
小学奥数-数论专题知识总结数论基础知识小学数论问题,起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数1.能整除：整除,因数与倍数,奇数与偶数,质数与合数,公因数与公倍数,分解质因数等；2.不能整除：余数,余数的性质与计算（余数）,同余问题（除数）,物不知数问题（被除数）。
一、因数与倍数1、因数与倍数（1）定义：定义1：若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的因数。
定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c,或者c÷a＝b,那么称a、b是c的因数,c是a、b 的倍数。
注意：倍数与因数是相互依存关系,缺一不可。
（a、b是因数,c是倍数）一个数的因数个数是有限的,最小的因数是1,最大的因数是它本身。
一个数的倍数个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。
（2）一个数的因数的特点：①最小的因数是1,第二小的因数一定是质数；②最大的因数是它本身,第二大的因数是：原数÷第二小的因数（3）完全平方数的因数特征：①完全平方数的因数个数是奇数个,有奇数个因数的数是完全平方数。
②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次；③1000以内的完全平方数的个数是31个,2000以内的完全平方数的个数是44个,3000以内的完全平方数的个数是54个。
（312=961,442=1936,542=2916）2、数的整除（数的倍数）（1）定义：定义1：一般地,三个整数a、b、c,且b≠0,如有a÷b＝c,则我们就说,a能被b整除,或b能整除a,或a能整除以b。
定义2：如果一个整数a,除以一个整数b（b≠0）,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b 整除或b能整除a,记作b|a。
（a≥b）（2）整除的性质：如果a、b能被c整除,那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
如果a能被b整除,c是整数,那么a×c也能被b整除。
如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。
五年级上册数学培优奥数讲义-第15讲余数定理
第15讲余数定理知识与方法余数在计算时有三个主要性质，也被称为三个定理，余数问题中非常重要的同余问题以及中国剩余定理，其实就是根据这三个性质来解决问题的，所以这三个性质非常重要。
余数主要有以下三个性质：（1）可加性：a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和。
（2）可减性：a与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之差。
（3）可乘性：a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
初级挑战1（1）23÷5＝4……（）（2）108÷4＝2716÷5＝3……（） 214÷4＝53……（）39÷5＝7……（） 322÷4＝80……（）（3）155÷3＝51……（）230÷3＝76……（）385÷3＝128……（）观察以上每组算式中的被除数和余数，你发现了什么？思维点拨：余数定理一：a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之（）。
如果余数之和大于除数，那么可以继续除以这个除数得到余数。
答案：（1）3、1、4；（2）2、2；（3）2、2、1发现：三个数除以一个相同的数，如果一个数是其它两个数的和，那么所得的余数也是其它两个数除得的余数的和。
能力探索11、快速计算：（234＋123＋732）÷3的余数。
2、甲数除以9，商12余3；乙数除以9，商28余6；丙数除以9，商31余5。
（甲数＋乙数＋丙数）÷9的余数是多少？答案：1、0 2、（3＋6＋5）÷9＝1……5，所以余数是5。
初级挑战2（1）129÷7＝18……3 （2）237÷5＝47……（） 71÷7＝10……1 200÷5＝4058÷7＝8……2 37÷5＝7……（）（3）93÷4＝23……（）30÷4＝7……（）63÷4＝15……（）观察以上每组算式中的被除数和余数，你发现了什么？思维点拨：余数定理二：a与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之（）。
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五年级奥数.数论.余数性质(C级)「例T.7 一个两位数除刖金余籬品求这样的两位数。
【哮点】除法必式的应用【难度】I星【题型】解答「解折亍本題为余数问姻的M題吐需要学生明白一个重要知鎭畐就是把余救问题-即“不往徐问題” 转化为整除问题.方法为用被除數减击余数，即得到一个除数的借数；或者是用被除数加上一个“除魏与余數的差S也可说得到一个除數的倍數"本題中315-*2=273＞说明273是所求兪数的倍数* 273=3x7x13＞所求的两位数的數还要满足比竝丸，符合条件的有91【答案】91I贰冈)在卜-面的空格中填上适当的数*7 4 Z□ □? 2 0 0 4 7□ □ □【耆点】除法公戎的应用I难度】2星【题型】填空［关皱词】如年，第2^,走具杯.3年级,决赛丫第10題，12余【解桁】本題的楝除敷、商和余數巴经給岀，根据除法的计算公瓦：掖徐龜4■除數=商……余敷，建推计算痔到：徐數-(2WM7—13)^742=27…【答集】27I例?］命子里放有编号I到10的十平球，小虹先后二次从盒子中共収出九个球，如果从第二次起，每衣取出的球的编号的和都比上一次的两倍还多一，那么剩卜的球的编号为—・I耆点】餘法公式的应用【难度】3星【题型】填空【关撻词】第盛届、走美杯，四年虬初躺第11罐【解析】令箔I次取的編号为釧第二次聪的编号为2a+i,第三冼取的编号为：2(2i+l ) +L=4a+3;还剰下的编号为：55*7a^=5L-7a,爭a为百臥俞下的趕9；当a为7时，余下的是£【答案】9A＜2I巩间】川个口然数，利为100,分别除囚人杵用去足泌「10个商的和为3D；若用四舍五入法，呦个商的利为34. H)个甦中帔3除余I的右_______________ 个.【考点】除法公式的应用I难度】3星【题型〕填空【关犍词】2(X)8年，第天届+走关杯，五年虬和執第洛題【解析】由题意，“用击足法，10个贯的舸为和；用四舍五入法，KJ个商的粗为34"可知，10介数中除直3余2的数有3£{}=4 （个），又知道旧伞自然毀的和为|（趴设除以d余I的数有子个’眸裟报据用去雇法冶十个商的和与山个自摊數的和，可得灵皋戎：£+2rl =l^_3Oi解得，工“・3 3 3【答案】2I例*）托吗想了一个正粋数，并H茨出了它分别除113. 6和9的余数.现知这三余数的和是15.试求该数除以怡的余数.【考点】带余除法的怙算闻題【难度】3星【题璽】解答【关梃词】圣披得堡數学奥秋匹克【解斯】除事氛右和9的余数分别不超过2,乳卷所佛逮三个余就的希永远不超过2 + 5 + 215’既然它们的奔第于15,所以这三个余数分别就是2, 5, £.所以谨數触J君能覆玉6, 9 而|7P6P9| = 1!i T设诱魏为宀则口 = 1伽-1’即d =18伽-1） +门（阿为非零自煤兹h所以它:臨以】8的舍數只能为17,【琴案】17「巩圍】一个正報数，它分别除以7, LL和G的余数*现知这丄余数的利是2SL试求该数除以®的余数.【考点〕带余除法的估算问題【难度】3星【題型】解答【关储词】虽彼得堡数常翼林匹克【解析］除以九II和□的余数好别不趨1±&⑴，12,所以这三金余戲的和永远不^i±6+ L0H-I2-2B , 既然它扪轴和等于2K,所以这三个余数令别就是£ 1血12,所已诬数加I后能被7、II和13 整铝 ft［7,11,131 = 1001 ,址陵数为”* Jf1! d = 1001 m-I +即£t = 91 K11 K（ m 4） 4000 （m 非零自然戦h所权它檢以91的舍數只能为知“【答案】90「罰4J用I、9、氛探这四个数字能徘成儿个披H除余!i的四位数？【哮点】徐法公式的应用【难度】5 X 【题型】境空【炭犍词】幣二届，华杯執初名第14题【解析】用1、鼻8. $可排成煌个四位戳.即）988,冷甥"1閱％ 9】圈，9和乩9跆1* fJNS,射豹，的」备的}U , SK19 ’細9】它们减去^变为 19B0, 1890, 1881，9JH0. 9810, 9873. 8190, S1S1, 8910, 8973, S8U, 8H83 烬中破M整除的仅有1卿），1S8L S410,曲II,即用1’ 9* & !4可排咸.4介被］除余姑的㈣位數，即J9H8 ，’H918 「闕 19,什么样的数能被J1竝除呢？一个判定法則是：比较奇住数字之和与偶位數字之和.知果它如之差能枝II琛■那虫所给的软就能祓I］整除，否刚就不能够. 现在要求破1】除命敲我们可以連样耆虑：这样的數加上3后*就能楝II整除了-所议我怕粹到“一个数被11除兪！T杓判瓷法則：持偶位歎字相血得一个矜歎，再将奇位數字相新再加上3’ 捋另一个和數、扣果这两个和数之差能被II 除尽，那幺这个醜足被II幣余N的數；否別就不是*矣把h 9、排成一个彼II 除余醫的四住敷，可以把这从卜戡裁成两组，毎组2个数字.算中亠组■作为千位和十住戟’它们的和记柞丸；另外一组柞为百住希个位数*它们之希加上3记作超过脸证，第(1 )钟令组法满足前面的雯求：A-i+n, ^-9 + 8 + 3-20^ J? -A - II 能號1】除 尽 怛 基 余 三 科 分 组 撷 不 觸 匿 要 求*根据判定法則还可以知道，如杲一金数被II 际余缶那么牲奇＜1杓任竈两个數字互换，凱者庄偶也的任意两牛数字互換，番到的新数被II 除也余乱 于是，上面第(1｝分组屮，1和苦中任一 个可也柞为千位戟，9和呂中任一个可因作为百住魏-这样典有4聊可能的撫法：丹H& 1翻9, 8918 , 粕19答：能排成4个秋和除余it 的數【答耄】4IMJ 用2、沢0. 7V 7、良4这七个数字托被II 除余()的绘小和呆大的七位数？【淆点】除法公戎的应用 【难度】5星 【題型】廩空【解析】用2.队Os 人=、2. 4这七个数字什么样的数能皴11摊除呢？ 一个判定決刚是：比校奇住数字之和与偶住数字之舸，如炭它们之 差能被II 除尽，那么所給的戟就能诚I 】整驚，否则就不能够.现在要求被II 除余缶 我怕可以这强考虑；这样的数加上5我减击右点”就能被1】楚除了.(I )如果0做底般：加5把一个0愛咸仏数字舸是2+5+4?+了+2心2人奇位敷字之和与偶位般 序乏和的菱是11的搐編都是自然醜+所以奇软位数字好=1更偶数住藝字之乘禺最小的为 7202745.即足敷为0的最小械11^6的敷为7202740,足敷对D 的最丸被11廉除()的数为 7472020(2)知樂2做雄股：加5把一个2变咸.7,魏字彌是7+(MH7+7+2+4=2人奇住数字之和与偶位数 字5的盖是11的倍欽，隸是自然#L 所収奇瓢位數字之和二19,耐I 便敖字也址乩这拜的数 不存在，(3 )如果4做尾数：加5把一个4塹成乳 数字和是齢0+37+7+2+42人奇位數字之豹乌偶位数 字之和的差是□的倍数，祁是自然醜+所以奇験位数字也机比偽戳位数宇之奉=乩这样的软 不存在”(4)如果？做足数：城右把一伞7更辰L 数字和是2+OKH-I +7+2+4= 16A 拉數字之和与偶位数 字之和的差是1】的催轨 都是自然软，所以奇戟位耻宇之和=备 偶数位数字之和=乩 聂片的为 7202041,即足數为7的最小掠II 除命氏的数为7202047,足數为了的最丸被］I 除余tii 的数为74020277202740>72(i2047 最大 7^72020>7402027I 答案】最*b 7202047.最大7472020 +我们要适 当分组，使痔能 偶位背位 C 1 ) 1 » 89 > e ( 2 ) 1 * 9e > e ( 3 ) 9 » 8i > e ( 4 )$ » 8 i >勺 被I 】整除.現在只宥下面4种分组法：【例5】将七位数叫孑刘924“車复写287次纽威一个2009位数"13579241357924...去这个数中所有位『奇数位上的数字；按上述厅丛一肓删除卜-去直到剩下一个数字为止，则堀后剩卜一的数字是I舟点】找規律计算【难度】4星I題型】解答【关槌词】21)09年，第14届*华杯霉，决赛，第3题【解析】本題哮察二进制，聂后剩下的数是屮“鏗4位值上的数字，周期为=,朋以IO24 +7^I4S 2,耶幺理个周期中的第二个數是弓［«词】3I 30粒珠子依呂粒红色、2粒黑鱼.£粒红色、2粒照色…的次序串成一罔，一只蚂蚱从第2粒黑珠子起跳’每次跳过6料珠子落在下…粒珠子匕这只蚂蚱至少耍跳_____________ 次才能落到黑珠子匕。
I考点】扶规律计鼻I雜度】3星【题型】填空【关挂词］2W6年丫第4届，走美尿3年虬初鞋薦12题［薛折】規翳可知，誓次眺过占粧珠子，则隔了个珠子，观在知第】伞聲味子在1血第二个在17>第3 个在24*第4^^31-30=1,第5夺在3弘10=治第自个柱気第7个在2,第客个柱36 所就这只妈蚱至少要跳7炭才能落到囂珠子上*I答案】7次I 例6】如果1=1(* 1X2=21 * 1X2X3=31 …Ix2x3x _______ X99xioo=i00t 那么11+21+3!+.―-100!的个位数字晁多少？【考点】兪数的加减法定理【难度】3星【题型】解等【解析】从5!开始个位数字都是。
了固此只需箋计界前4卒歟I! +2! +3! +4! =1+2+^+24=33所以末位數字一定是孑【答案】3【巩同〕如杲1 = 11” 1x2=2! , Jx2x3 = 3l［煜汨x ..x99xlOU= |(M)!那么1!+3!+5!*?汁 (99)的末商位数字是多少？【考点】余救的扣减法定理【难度】3星【题型〕解答【孵析】从IU!升始末两位数字都是0 了因此只霸要计算前5个數,1! +5! +5! +7! +91未两位数1+6+2屮片机曰47斯谅末住貌字一屯是4了【答案］47「例77有2个三位数相瓏的积是一个五位数，税的后四位是320勺第一个数#个位的数字之和是II,第i•个数的各个位数字上和是求两个三位数的利°【考点】弃丸法【卓度】3星【题型】塀蓉本题条件仅络出了两个乘数的数字之和，同时发现乘枫的一部余已经蛤出，即乘赫的一部分数字之和已经給出，我们可以采用弃九逡原理的倒掴来构造出鹿三桂數"阖为这是一牛一定正确的算式、所以一定可洪满足弃扎洙的彖件*两金三检数除说9的余就分别为2和乩所必等式一边除以9的余数为3,那么口32仍除汉9的余敘也魁越为3, □只能是2.将23205今解质因数发现23205 = 7> I3K)5X17 = I 19 ；< 1^5 =1|J5K22I所仪两个三位數是119和］巧，那么两牛三位数的农是314【寡議】314「巩固j g 2OO52006的备位数字2和为山，A的各位救字2祁为甘,目的各也数字王和为匸，匸的各位数字之和为D ”那么D-［考点】弃九法【堆度】3星【堰型】填空【解析】由于一个數除以9时余敷与它啊各住起字之和除以9的余数相同，所kX 200$-°0i A . S . C .D臨叹9都同余，而2005除以9啊余數为儿刚2皿5沖齡滋9婀余数与7沖除以9的余數相U同，而尸=3轻齡以9的余数为1,所PX7IWfi-7i>Wi*J -(7J) 乂护齡以9的余数为宁除事9的余数，即为4”另一方面，由-t20052QOfi<l00005M6 - It?024n所以鸿加汕“的位敷不超过$024住，那么它妁各位软字之和不^i±9*an24 - 7221ft)即A < 72216 ；那么A的各住歎字之和E € 9 x ,=斗5 , R的各住數字之和c c 9*2 = is c小于用且除应9的余数为4”那么c为4或13, c的各位數字之和为4,即D = 4.【签案】4「例叮对任意的自然数町证明^-290^-«01"-464" +261" 被厨97靈除.【考点】余敷性质的综律运用【难度】3星【题型】解答I解析】略(^<11K97 - 7 x 27 L T7 与 271 互质，因为2903 = 5(mod 7) , S03 = 5(mod 7} , 464 =2<mnd7) ’ 261 = 2(mod7), 所以，A- 2901 - - 4血+ 2(； 1^ "5- "5- '2+ T. Q(tna t建* 能被？整除.龙因为2903- 193(m&d 2Z,UU3 - 2til(mcd27l) T464 - 1^3(mod 271) 所卜乂A =2903" -803" -464" + 261" = 193' -26P 一1 勺扩+ 261" = n(mod27l> + 故N 能被271 整除+ 因为7 与271互盛，所限4能敎1S97蹩除.「巩雷】若〜为自然数，证明10(-^-^).【考点】余敷性质的舞合运用【难度】3星【題型】解答【艸折】略［答案】10=26由于严'与丿^的奇偶性相同*所加*沁-严1严”-严—严岳輻-1卄如果口能试号整除，那么却評「严-I）;如果□不能破5整跖那么口被5齡的余敷为1*2* 3 取者4, J械5徐的余数为T、2\屮、4*^5除的余數，即为I、16. KI. 2殆被5徐的余歎，帀这四个数除以5麹余I,所琪不管“为多少，十被5除的余數为I,而汁-（/V ,即14个J 相花所点严除事5均余I’则汁-|能被5楚除，有纽严W-］）.所知由于2与5互盾，所以］（I卜泗「例万在3X3的方林表中已如右图填入了9个战数，将表中同一荷或同一列的3个数加上相同的自然数祢为一次操作.问：你能通过护干决操柞便得去屮9个数都变为相同的数吗？为什么？【君点】运用同余进疔诰证【雉度】？星【題型】解基I *m略【答案】因为表中9个展数之命恰为100,被3除余4经过每_次摊作，恵奔增办^的信歎，所以表中9 牛数之农除淇3恿是余1.如疑表中9个数变为相等.那么9个数的总粗应能被3整除，進就菇出矛盾！所以，无论经过多少决操作.表中的數都不会变为9个相同螂數.「巩固r 一个二位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等「它除以19后所得到的商与余数的和.那么这样的二:位数屮疑大数是多少，最小数是多少？【孝点】运用同余进行论证E难度】4星【題型】孵客【关储词】2008年，仁华学校【解祈】设進枱三位敷为「它除以门和】9的商分别为口和b，余■数分别为m和Fl ,刖“"刑•毗密 . 根拥■題意可知a + m ~ b + n ,所以『—（门亠耐）・用_（方+町，即］6a = I ,得Ka =学占.所収u 11^_ 9甘1的倍數，“是8的梧數.此时*由fl + m = b + n^I ri-m = a- h- a- —a = —a由于F为三位數*9 9龜那为100,最丸为 999，所我100「九* 瑜M ’而i^m ^.16 ,所+ J i I7ii + Jn £*>9V >I00£ 17a£ I7o+ 16 ,得到5 i a S 5H+而a足9的倍虬所说口最小曲9、最丸为54*当fl = 54 时、n - m丄穴=1而4 £ IK T所m i 12 >故此叶上盘丸为I 7小4 - L龙=时C；当0=9时、9n-m=丄~=1 ,由于m I ,所以此时£最小为|? K9 + 1 = 154 +所哄这科的三位觌中最.丸的是93D, 9和卜的是154.【答案】厩丸的是930，鼠小的是154I例JO]从4 2P 3,……，起中-flHZ57个数，便这57个数懸育两牛数的差为则起的癡大值为多少?【考点】运周同余进籽论证【难度】4星【題型】解答【芜犍词】20｛用年，西城实脸【解析】皴口除的同余序列当中.知余I的同余序列"k 14. 27. 40. 53. 66....... ,其申只要取5勺两牛相邻的*这两个数的基为口；如耗没有两年相邻的数，创泼有阿个數的差为13,不同的同余序列当屮不可能有两个數的基为1凳对于世蹇一条起2 工的序列，郝聂多能取一「□令数，使2 稈取出的数中没冇两个数的菱为13.即从第】个数起隔I个取1个.基于淇上，龍个毀裁藏口个序列，毎帚序列的鼠度劲「上】战「上】+】，两牛长度菱为1的序列*'J3 J |_13 J要俊取出的独中没有两个数的圣为13.能髒被取得的数的个數之噩也不会趙逹I.所以为梗57伞数中任意两个数的差榔不筝于13,则这57个数秋令配在□幹序列申，在毎条序列被令配的數的个鬟基不会超过1,那么口牛序列有8个序列脅酣了 4个歎* 5 b序列爵配了5个敷，則这13 牛序列中甘个长度为出5个唸度労虫那么当烈最小为时，可以取出57个數* 其中忏两牛數的翟不为口，所罠要使任取賓个数泌疔两牛数的昱为13,那么n的硅大值为108,【答集】I0S「巩囹『设加■是质数，证明：宀2X…，/被戈”1除所得的余数各不相同.[<AJ it用同余进荷论证【離度】5星【题型】解當【解析】略【答嬪】嘏设有两伞数d、b t H),它也的平予J、八被2“+1除余数■相同.那么*由同余■定理持 J -占‘, flp (a-*>(a + fr)=0(motl<2M+ l))t由于加 + L 是履數’所哄an- b= 0(mod(2n + 1))或 a — b = 0(mod(2n + 1" + 由于b + b，屈一b 均'卜于2J»+ L 且大于 0*可知,屈+ 血与2闪-1互质* @-於也芍对-L互质*即©7, ©-力舞不能枝茁+ 1整緒，产生矛曆」所以假役不成立，原題捋证“课堂检测【随练1】用某口然数”去^1992 ,得到商足46「余数足… 求”利一【考点】除法公式的应用【離度J 2< 【题型】解答【关復词】第五届'小数扌艮，決赛【解析I因为1992是轉的4$倍还多F・得列店船宁壮=轻.14 4 ^=4 x + ，所tX fl= 4 3 , r = ]4 .【答集J o =43 t r =14【随练Z】号码分别为I01426J73J93的4个运动员遊行片反球比赛’规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数邠么打球盘数赧多的运动员打『多少盘？【哮点】余数的加减法定理【难度】2星【题型】解答I解析】本题可決体现出加法余就定理的巧州.计算101, 126,门3・193除拟3的余数令别为2, 6 2,L那么任強两名运动员的比雾盘數只需要用占0,2> I两两相加徐以3即可.显赭1笳違动员打自盘是最多怖.UMU 5〔随练3】将I3579I1J3I5I7I92I……依次写到第2013牛数字，组成一个20 □位数，那么此数除以9的余数是________ ，【耆点】弃丸法【难度】"星【题型】境空【解析】本题第一步是要求出第20」3个數字是什乩再时数字求和IT抉有5个就字，11-99共有45 金斓位数，共有數字：4弘2・帕(<),101 -yy?>共450夺三位融，共有数字:450x3 - 1350 (4)竹1加1〜的的典450□卒三li数，共有敷字：4500x4 = 1K0U0 (个)，所法數连续宵丫不会写到9999*从HKH开姑是4位数*每四个数字表示一个數，(2013-5-90^1350) + 4 = 142 t即有】42牛四位数，从1001开始的第142个四位联是12狛.I+3+5+7+卄“一+L2S]+12S3= ( I+J2S3) x642^-2=412164+4+1+2+1+6+4= J B,除以9 余 Ik【尊衆】0家庭作业〔柞业1】写出全部除109后余数为4的两位数.【丰点】除法公式的应用【華度】2< 【题愛】解答【損犍词】美国悅島，小学數学竞寮，第五届【解析】]0»^4-105-3«5«7,因此，这样妁两位数是：15； 35；21.【容案】两便數是：15； 35; 21【柞业2】幼儿园的老聊给班里的小朋友送来4A只桔子「200块讲干.12。