复合函数知识总结与例题

复合函数问题

一、 复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A , u=g(x)的值域为B ，若A B ，贝U y 关于x 函数的 y=f [ g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量•

二、 复合函数定义域问题：

(1)、已知f (x)的定义域，求f g(x)的定义域

思路：设函数f (x)的定义域为D ，即x D ，所以f 的作用范围为D ，又f 对g(x)作用，作用范 围不变，所以g(x)

D ，解得x

E ，E 为f g(x)的定义域。

例1.设函数f (u)的定义域为(0,1)，贝U 函数f(ln x)的定义域为 ______________________ 。 解析：函数f (u)的定义域为(0, 1 )即u (0, 1)，所以f 的作用范围为(0,1) 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以

0 Inx 1

解得x (1, e)，故函数f (In x)的定义域为(1 , e ) 例2.若函数f (x)

，则函数 x 1

解析：先求f 的作用范围，由f (X ) 1，又f 对f(x)作用所以f(x) R 且f (x) 1，即f f(x)中x 应

x 1

即 1 ，解得x 1 — 1 x 1

故函数f f (x)的定义域为

x R|x 1且x 2

(2 )、已知f g(x)的定义域，求f(x)的定义域

思路：设f g(x)的定义域为D ，即x D ，由此得g(x) E ，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作 用，作用范围不变，所以 x E , E 为f (x)的定义域。

例3.已知f (3 2x)的定义域为x 1, 2，则函数f (x)的定义域为 ___________________

所以f 的作用范围为 1, 5，又f 对x 作用，作用范围不变，所以 x 1, 5

f f (x)的定义域为

1 ，知x 1

x 1

即f 的作用范围为

x R|x

满足

x 1 f(x)

解析：f (3

2x)的定义域为 1, 2，即x

1, 2，由此得 3 2x 1, 5

围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有 “得来全不费功夫”

的感觉，值得大家探讨。

三、复合函数单调性问题

(1 )引理证明

已知函数y f (g(x)).若u g(x)在区间(a,b )上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y f (u)在 区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数

y f(g(x))在区间(a,b )上是增函数.

证明：在区间(a, b )内任取两个数 x 1, x 2，使a x 1

x 2

b

因为u g(x)在区间(a,b )上是减函数，所以 g(xj g(x 2),记5

g(x 」，u ?

g(X 2)即

U 1 u 2,且u 1,u 2 (c, d)

2

即函数f (x)的定义域为 1，5例4.已知f (x

4)

2

ig 』 x

8，则函数f (x)

的定义域为

解析：先求f 的作用范围，由f (x

4)

2

x ig — x

2

x

-2~

x

解得x 2 4 4，f 的作用范围为(4，

)，又f 对x 作用, 作用范围不变，所以 x (4，

即f (x)的定义域为(4,

(3)、已知f g(x)的定义域，求f

h(x) 的定义域

思路：设f g(x)的定义域为D ，即x D ，由此得g(x) E ，f 的作用范围为E ，又f 对h(x)作 用，作用范围不变，所以 h(x) E ，

解得x

F ，F 为f h(x)的定义域。

例5.若函数f(2x )的定义域为

1, 1 ，则 f(log 2 x)的定义域为

解析：f(2x )的定义域为

1, 1，即 x 1，1，

由此得 2x

f 的作用范围为 -，2

2

，又f 对log 2 x 作用，所以 log 2 x

2，解得x 2，4

即f (log 2x)的定义域为

、2

，4

评注：函数定义域是自变量

x 的取值范围(用集合或区间表示)

f 对谁作用，则谁的范围是 f 的作用范

因为函数y f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(uj 仁上)，即f(g(xj) f(g(x2)),故函数y f(g(x))在区间(a,b)上是增函数.

(2).复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表:

以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”

(3)、复合函数y f(g(x))的单调性判断步骤：

i确定函数的定义域；

ii将复合函数分解成两个简单函数：y f (u)与u g(x)。

iii分别确定分解成的两个函数的单调性；

iv若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数，或都是减函数)，则复合后的函数

y f (g(x))为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数，而另一个是减函数)，则复合后的函数y f(g(x))为减函数。

(4)例题演练

例1、求函数y log

1 (x2

2

2x3)的单调区间，并用单调定义给予证明

2

解：定义域x2x 3 0x3或x 1

单调减区间是(3,)

设X i,

X2

(3,)且人X2贝U

y i log iX2

22为3)y22

log 1(x22x23)

2

2

(x12x-i 3)(X222x23)=(X2 xJ(X2 x(2) x2 x1 3 ••• x2 x10 x2x1 2 0