九江市二模数学试题分析及教学建议

彰显数学文化突出数学素养

九江市2017年第二次模拟考试数学试卷分析及教学建议

九江市第三中学李高飞

九江市2017年第二次模拟考试数学卷的命制，贯彻了《2017年高考全国统一考试考试大纲》的要求，试卷在稳定中求创新，重视考查学生的基本数学素养，全盘兼顾知识点、思想方法与能力的考查，关注数学的应用意识与创新意识，凸显数学文化的考查，试卷从基础题、中等题到难题梯度明显，有良好的区分度．试卷所涉及的知识内容限定在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。试卷从多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质，考查考生对数学本质的理解，考查考生的数学素养和学习潜能。

一、试卷分析

1、引经据典，融史嵌名，彰显数学文化

“依托数学史料，嵌入数学名题，彰显数学文化”，是该卷的一大鲜明的特色。目的是为了使学生接受数学文化的熏陶，领略古今中外数学思想和方法的魅力，应对今年高考对数学文化的要求。对数学文化的引入，

使得数学充满了人文气息。这些试题与经典名题有关，背景涉及古今中外。如文科的第5题理科第10题源于“黄金双曲线”，渗透数学的美学价值。文科第10题理科的第9题借用数字黑洞考查了框图的知识。理科第16题隐含着阿波罗尼圆的背景，考查了解三角形知识和坐标法求最值得思想和方法。文理科18题的立体几何题，以《九章算术》中研究立体几何所用的两个特殊锥体（鳖臑、刍甍）为背景，与以往对中国古代数学名着的题目不同，当能令考生留下深刻的印象。文理科第二十题解析几何解答题的背景，源于达芬奇的椭圆作图工具，由选修4—4课本中一道题改编而来。例1：（文10理9）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的n=（B）

解:n的初始值为54是3

运算如下：33

++=

1891242

54189

+=；333

3333

81513

+=；

+++=；33

124281

333

++=，故选B.

513153

【点评】本题的命制背景为数字黑洞中的“水仙

花数”黑洞，除了0和1自然数中各位数字的立

方之和与其本身相等的只有153、370、371和

407(此四个数称为“水仙花数”).任意找一个3的

倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都

立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数

的每一个数位上的数字再立方、求和，……，重复运算下去，就能得到一

个固定的数--153，我们称它为数字“黑洞”.

例2.（理16）如图所示，在ABC ∆中，三内角,,A B C 所对的边

分别为,,a b c ，已知cos cos )c A a C ⋅=，2c =，D 为AC

上一点，且:1:2AD DC =，则当ABC ∆的面积取最大值时，BD =3.

解：由cos cos )c A a C ⋅=及正弦定理得sin cos sin cos )C A A C ⋅=，

即

sin cos cos sin C A C A A ⋅+⋅=，sin()A C A +=，sin B A =，

b =，以A 为原点，AB 为x

=22(4)8x y -+=，当C 达到圆的最高点或最低点时，ABC ∆

此时可求出a =b =

222cos

23b c a A bc +-∴===

2222242cos 2223

BD AD AB AD AB A ∴=+-⋅⋅=+-=，BD ∴= 【点评】本题命制的背景为阿波罗尼圆，平面内到两个定点的距离之比为常数k （k≠1）的点的轨迹是圆，这个圆就是阿波罗尼圆。本题通过阿波罗尼圆，结合解三角形的知识点和定义法求动点轨迹，考察学生数形结合的思想和知识迁移的能力，属于中偏难题。

例3. （文19）《九章算术》中，有鳖臑（biēnào）和刍甍（chúméng）两种几何体，鳖臑

是一种三棱锥，四面都是直角三角形，刍甍是一种五面体，其底面为矩形， 顶部为一条平行于底面矩形的一边且小于此边的线段.在如图所示的刍甍 ABCDFE 中，已知平面ADFE ⊥平面ABCD ，EF AD //，且四边形

ADFE 为等腰梯形，AE =3EF =，5AD =.

(Ⅰ)求证：四面体A BDE -为鳖臑；

(Ⅱ)若鳖臑A BDE -的体积为103

，求刍甍ABCDFE 的体积. 解：(Ⅰ)过E 作EH AD ⊥，垂足为H ，

Q 四边形ADFE 为等腰梯形，AE =，3EF =，5AD =.

2EH ∴=，DE =

222AD AE DE ∴=+，DE AE ∴⊥…………2分

Q 四边形ABCD 为矩形，AB AD ∴⊥

又平面ADFE ⊥平面ABCD ，平面ADFE I 平面ABCD AD =，AB Ü平面ABCD

AB ∴⊥平面ADFE ，又AE Ü平面ADFE ，AB AE ∴⊥…………4分 又DE Ü平面ADFE ，AB DE ∴⊥，

又AB AE A =I ，,AB AE Ü平面ABE ，DE ∴⊥平面ABE ，又BE Ü平面ABE ，DE BE ∴⊥…………5分

BDE ∴∆，ADE ∆，BAE ∆和BAD ∆都为直角三角形，∴四面体A BDE -为鳖臑…6分

(Ⅱ)EH AD ⊥Q ，平面ADFE ⊥平面ABCD ，EH Ü平面ADFE ，平面ADFE I 平面ABCD AD =

EH ∴⊥底面ABCD ，∴鳖臑A BDE -的体积111110523323

ABD V S EH AB ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯= 2AB ∴=………8分

连接EC ，把刍甍ABCDFE 分割成四棱锥E ABCD -和三棱锥C DEF -， Q 四棱锥E ABCD -的底面面积是鳖臑A BDE -的底面面积的两倍，且高为