九江市二模数学试题分析及教学建议

彰显数学文化突出数学素养九江市2017年第二次模拟考试数学试卷分析及教学建议九江市第三中学李高飞九江市2017年第二次模拟考试数学卷的命制，贯彻了《2017年高考全国统一考试考试大纲》的要求，试卷在稳定中求创新，重视考查学生的基本数学素养，全盘兼顾知识点、思想方法与能力的考查，关注数学的应用意识与创新意识，凸显数学文化的考查，试卷从基础题、中等题到难题梯度明显，有良好的区分度．试卷所涉及的知识内容限定在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。

试卷从多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质，考查考生对数学本质的理解，考查考生的数学素养和学习潜能。

一、试卷分析1、引经据典，融史嵌名，彰显数学文化“依托数学史料，嵌入数学名题，彰显数学文化”，是该卷的一大鲜明的特色。

目的是为了使学生接受数学文化的熏陶，领略古今中外数学思想和方法的魅力，应对今年高考对数学文化的要求。

对数学文化的引入，使得数学充满了人文气息。

这些试题与经典名题有关，背景涉及古今中外。

如文科的第5题理科第10题源于“黄金双曲线”，渗透数学的美学价值。

文科第10题理科的第9题借用数字黑洞考查了框图的知识。

理科第16题隐含着阿波罗尼圆的背景，考查了解三角形知识和坐标法求最值得思想和方法。

文理科18题的立体几何题，以《九章算术》中研究立体几何所用的两个特殊锥体（鳖臑、刍甍）为背景，与以往对中国古代数学名着的题目不同，当能令考生留下深刻的印象。

文理科第二十题解析几何解答题的背景，源于达芬奇的椭圆作图工具，由选修4—4课本中一道题改编而来。

例1：（文10理9）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的n=（B）解:n的初始值为54是3运算如下：33++=189124254189+=；333333381513+=；+++=；33124281333++=，故选B.513153【点评】本题的命制背景为数字黑洞中的“水仙花数”黑洞，除了0和1自然数中各位数字的立方之和与其本身相等的只有153、370、371和407(此四个数称为“水仙花数”).任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和，……，重复运算下去，就能得到一个固定的数--153，我们称它为数字“黑洞”.例2.（理16）如图所示，在ABC ∆中，三内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos )c A a C ⋅=，2c =，D 为AC上一点，且:1:2AD DC =，则当ABC ∆的面积取最大值时，BD =3.解：由cos cos )c A a C ⋅=及正弦定理得sin cos sin cos )C A A C ⋅=，即sin cos cos sin C A C A A ⋅+⋅=，sin()A C A +=，sin B A =，b =，以A 为原点，AB 为x=22(4)8x y -+=，当C 达到圆的最高点或最低点时，ABC ∆此时可求出a =b =222cos23b c a A bc +-∴===2222242cos 2223BD AD AB AD AB A ∴=+-⋅⋅=+-=，BD ∴= 【点评】本题命制的背景为阿波罗尼圆，平面内到两个定点的距离之比为常数k （k≠1）的点的轨迹是圆，这个圆就是阿波罗尼圆。

本题通过阿波罗尼圆，结合解三角形的知识点和定义法求动点轨迹，考察学生数形结合的思想和知识迁移的能力，属于中偏难题。

例3. （文19）《九章算术》中，有鳖臑（biēnào）和刍甍（chúméng）两种几何体，鳖臑是一种三棱锥，四面都是直角三角形，刍甍是一种五面体，其底面为矩形， 顶部为一条平行于底面矩形的一边且小于此边的线段.在如图所示的刍甍 ABCDFE 中，已知平面ADFE ⊥平面ABCD ，EF AD //，且四边形ADFE 为等腰梯形，AE =3EF =，5AD =.(Ⅰ)求证：四面体A BDE -为鳖臑；(Ⅱ)若鳖臑A BDE -的体积为103，求刍甍ABCDFE 的体积. 解：(Ⅰ)过E 作EH AD ⊥，垂足为H ，Q 四边形ADFE 为等腰梯形，AE =，3EF =，5AD =.2EH ∴=，DE =222AD AE DE ∴=+，DE AE ∴⊥…………2分Q 四边形ABCD 为矩形，AB AD ∴⊥又平面ADFE ⊥平面ABCD ，平面ADFE I 平面ABCD AD =，AB Ü平面ABCDAB ∴⊥平面ADFE ，又AE Ü平面ADFE ，AB AE ∴⊥…………4分 又DE Ü平面ADFE ，AB DE ∴⊥，又AB AE A =I ，,AB AE Ü平面ABE ，DE ∴⊥平面ABE ，又BE Ü平面ABE ，DE BE ∴⊥…………5分BDE ∴∆，ADE ∆，BAE ∆和BAD ∆都为直角三角形，∴四面体A BDE -为鳖臑…6分(Ⅱ)EH AD ⊥Q ，平面ADFE ⊥平面ABCD ，EH Ü平面ADFE ，平面ADFE I 平面ABCD AD =EH ∴⊥底面ABCD ，∴鳖臑A BDE -的体积111110523323ABD V S EH AB ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯= 2AB ∴=………8分连接EC ，把刍甍ABCDFE 分割成四棱锥E ABCD -和三棱锥C DEF -， Q 四棱锥E ABCD -的底面面积是鳖臑A BDE -的底面面积的两倍，且高为EH203E ABCD V -∴=………10分 又同理可证CD ⊥平面ADFE ，1113222332C DEF DEF V S CD -∆∴=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=∴刍甍ABCDFE 的体积22026233V =+=………12分 【点评】本题从《九章算术》中提炼出鳖臑和刍甍两种几何体的概念作为引入背景，来考查空间的垂直以及空间几何体的体积计算。

2、注重基础，强调数学本质试题设计“依纲靠本，定位贴近教材，呈现方式自然，主干知识突出”。

文理两卷依据教材的素材，经过组合加工、改造整合和拓展延伸的试题占半数以上。

文科第1、2、3、4、6、7、13、16题和理科第1、2、3、4、5、7、13、14、15题，分别源自教材的相关例题习题。

这些试题以熟悉的面孔出现，有利于考生稳定心态，正常发挥 。

注重考查基础知识和基本技能，检验考生理解数学概念本质的能力。

如理科第6题，考生可借助抛物线的定义几何意义破题，其间隐现着抛物线和圆动态变化的本质特征。

文科第12题，考生若能从已知函数结构的几何意蕴切入，通过数形结合的思想方法就可快速地确定符合题设条件的参变量的取值范围。

理科第16、19、20、21题和文科第19、20、21题，理科第9、10题和文科第10题，题型新颖别致，能有效地区分考生对数学概念和本质的理解程度，考查考生的知识迁移能力、数学计算能力和应用能力。

例4. 已知实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则z x y =+A.0B.1C.52 D.解：实数,x y 满足的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，图中(1,0)A ，(2,1)B ，3(1,)2C ，则直线z x y =+经过A 点时，z 取最小值1，故选B. 【点评】本题考查线性规划基础知识，是高考必考内容，突出主干知识。

贴近教材，来源于教材基础练习。

例5. 已知M 为抛物线28y x =上动点，N 是圆22(1)(4)1x y ++-=上动点，设点M 到y 轴的距离为d ，则MN d +的最小值是（A ）A.2B.3C.4D.5解：抛物线28y x =的焦点为(2,0)F ，圆22(1)(4)1x y ++-=的圆心为1(1,4)O -，由抛物线定义得1232MN d MN MF O F +=+-≥-=，故选A.【点评】本题主要考查了抛物线的定义和几何性质，意在考查考生使用圆锥曲线的定义解决问题的能力。

同时还考查了学生怎样把动态变化的关系转化为固定不变的关系的能力。

3、知能并重，强调交汇，突出数学素养坚持知识立意、问题立意和能力立意并重，注重在知识交汇点设计试题。

如文科第3题考查了等比数列和对数的基础知识；第4题考查了三角函数和几何概型的基础知识；第7题同时考查了指数函数、对数函数、幂函数三种函数的基础知识；理科第16题结合阿波罗尼圆同时考查了解析几何中圆的方程和解三角形中的正弦定理和余弦定理。

借试题情境体验、感悟和反思数学问题，以突出对通性通法和数学素养的考查。

文科第8题通过适当取不同的a 值，来排除选项，考查了学生的识图能力。

文理科第6、8、11、12题，理科16、21题考查了数形结合的思想方法。

文科第9题理科6、16、21题，考查了化归与转化的数学思想，文科第15、16、18、20、21题，理科第12、21、22题，考查了函数与方程，分类讨论的数学思想。

这些试题把数学知识、思想方法和数学能力融会贯通，要求考生在试题所创设的情境中，有意识地应用数学知识和技能处理问题，综合运用数学思想方法找到合理简捷的解题途径。

例6. 已知函数2()(1)f x x m x =--，()x m xg x e -= (m R ∈).(Ⅰ)若直线:l y kx =与曲线()y f x =、()y g x =均相切于同一点，求实数k 的值；(Ⅱ)当0m >时，用min{,}a b 表示,a b 两数中的最小值，设()min{(),()}h x f x g x =.①求()h x 的表达式；②若()h x 的最大值为m ，求m 的取值范围.解：(Ⅰ)Q 直线l 与曲线()y f x =、()y g x =均过原点，∴切点为原点………1分又()2(1)f x x m '=--，1()x m x g x e --'=，(0)1f m ∴'=-，1(0)m m g e e-'==………2分 1m k m e ∴=-=，1m m e +=………3分()m r m m e =+Q 在R 上单调递增，且(0)1r =，0m ∴=，1k =………4分 (Ⅱ)①令()()f x g x =，得2(1)x m xx m x e ---=，0x ∴=或(1)10x m x m e -+--=令()(1)1x m t x x m e -=+--，()(2)x m t x x m e -'=+-()02t x x m '>⇔>-，()02t x x m '<⇔<-()t x ∴在(,2)m -∞-上单调递减，在(2,)m -+∞上单调递增，且()0t m = 当x →-∞时，()1t x <-，故当0m ≠时，方程()()f x g x =恰有两根10x =或2x m =………5分()2(1)f x x m '=--Q ，1()02m f x x -'<⇔<；1()02m f x x -'>⇔> 故()f x 在1(,)2m --∞上单调递减，在1(,)2m -+∞上单调递增………6分 又1()x mx g x e --'=，()01g x x '>⇔<；()01g x x '<⇔>，故()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减………7分2(1),0(),0x m x m x x m h x x x x m e -⎧--<<⎪∴=⎨≤≥⎪⎩或………8分②当1m >时，()h x 在(,0)-∞上单调递增，在1(0,)2m -上单调递减，在1(,)2m m -上单调递增，在(,)m +∞上单调递减，且(0)0h =，()1h m m =>，max ()()h x h m m ∴==，符合题意………9分当1m =时，()h x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，max ()(1)1h x h ∴==，符合题意………10分当01m <<时，()h x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，max ()(1)()h x h h m m ∴=>=，不符合题意………11分综上所述，m 的取值范围是[1,)+∞………12分【点评】本题考查了导数的几何意义、函数与导数的综合应用，采用了数形结合、分类讨论、函数与方程以及化归与转化的数学思想，设计到函数的构造等方法和技巧，综合性比较强，有一定的思维量和计算量，同时也设置了一定的思维障碍点。