材料力学——梁的弯曲内力''
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1
第四章
弯曲内力
§4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图 §4–2 梁的内力－－剪力和弯矩 §4–3 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用
§4–5 多跨静定梁的剪力图和弯矩图 §4–6 按叠加原理作弯矩图 §4–7 平面刚架和曲杆的内力图
2
§4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
q( x )dx dQ( x )
d Q x qx dx
剪力图上某点处的切线斜率 等于该点处荷载集度的大小。
25
Q(x)
M(x)+d M(x)
mA(Fi ) 0 , 1 Q( x)dx q( x)(dx)2 M ( x) [M ( x) dM ( x)] 0 2 dM ( x ) Q ( x) dx
9 (kN/m)
q — 均布力
12
§ 4–2
一、弯曲内力：
梁的内力－－剪力和弯矩
a A l XA A YA P B RB P B
[举例]已知：如图，P，a，l。
求：距A端x处截面上内力。
解：①求支座反力
X 0, XA 0 Pa mA 0 , RB l P(l a) Y 0 , YA l
3. 显然可见，作用在此梁CB段上的荷载是要通过中
Q2 Q1– Q2=P
x
x
简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。
[例4] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
qa A a a q 解: 利用内力和外力的关系及
特殊点的内力值来作图。
特殊点:
端点、分区点（外力变化点）和
驻点等。
28
qa A a Q
q
Q qa; M 0 左端点：
3 2 右端点： Q 0; M qa 2
29
M
[例5] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
qa qa ; R 解：求支反力 D 2 2 A qa C D Q ;M 0 左端点 A ： 2 RA qa RD qa 1 2 Q qa/2 B 点左： Q ; M qa x + 2 2 qa 1 – – B点右： Q ; M qa2 qa/2 qa/2 2 2 qa 1 2 2 C 点左： Q ; M qa qa /2 3qa2/8 qa2/2 2 2 – 3 2 M 的驻点： Q 0 ; M qa + 8 M qa2/2 x qa 1 2 1 ; M qa C点右： Q Q qa ; M 0 右端点D： 2 2 30 2
Q Q ( x)
剪力方程 弯矩方程
Mz Mz( x)
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
弯矩图
Q Q( x) 的图线表示 Mz Mz( x) 的图线表示
21
[例3] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。 MO L Q(x) M ( x) P 解：①求支反力
YO P ; MO PL
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如图。
16
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段 上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向 下的外力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。 (2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁
段上外力对该截面形心的力矩之代数和。
a x
线形：根据
d Q x qx ； dx
2
dM ( x ) dM ( x ) q( x) Q( x)； 2 dx dx
– qa qa2
及集中载荷点的规律确定。
3 2 分区点A： Q qa; M qa 2 qa 2
– x
3 2 M 的驻点： Q 0 ; M qa 2
34
F F
x
0, FAx 0 FAy 81kN
y
0, FAy 50 kN 20 kN 3 m 29 kN 0 m
0
M
A
M A 50 103 N 1 m 20 103 N 29 103 6.5 m 0
m
一、弯曲的概念 1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
3
3. 平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一 平面内。
对称弯曲（如下图）—— 平面弯曲的特例。
P1 q P2
M
纵向对称面
4
非对称弯曲—— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种 弯曲则统称为非对称弯曲。
q B
qa2
RA
§4–5 多跨静定梁的剪力图和弯矩图 • 由几根短梁连接而成的静定梁成为多跨静定梁； 多跨静定梁一般为主次结构： • 基本部分：依靠自身就能保持几何不变性的部 分； • 附属部分：依靠基本部分才能维持其几何不变 形的部分。 • 作用在基本部分的力不影响附属部分，附属部 分的力会影响基本部分。因此解题顺序是先附 属部分后基本部分。 • 计算原则：先附属部分后基本部分；附属部分 的支座反力反向作用在基本部分；多跨拆为多 个单跨，其内力图连在一起为多跨梁的内力图。
24
M ( x)
3q0 L2 27
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用
一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系 q( x)
对dx 段进行平衡分析，有：
Y 0 Q( x ) q( x )dx Q( x ) dQ( x ) 0
x y M(x)
dx q(x) Q(x)+d Q(x) A dx
qL2 2
②根据方程画内力图
M ( x)
x
23
q0 解：①求支反力
L
RA
q0 L2 6
RB Q(x)
3 L 3
q0L q0L RA ; RB 6 3
②内力方程
q0 L2 3
x
Q( x )
q0 2 (L 3x2) 6L
x
q0 x 2 2 M ( x) (L x ) 6L
③根据方程画内力图
31
例6 试求图a所示有中间铰C的梁A、B处的约束力。
(a) 解：1. 此梁左端A为固定端，有3个未知约束力FAx，FAy
和MA；右端B处为可动铰支座，有1个未知约束力FBy。此梁总
共有4个未知支约束力。
32
对于平面力系，虽然可列出3个独立平衡方程，但此 梁具有中间铰C，故根据铰不能传递力矩的特点，作用在 中间铰一侧(梁的AC或梁CB段)梁上的外力(荷载和约束力)
此处将以对称弯曲为主，讨论梁的内力、应力和变形计算。
5
二、梁的计算简图
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。 2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。
3 m 4 m 5 103 N m
M A 96.5 kN m
35
2. 此梁的约束力亦可将梁在中间铰C处拆开，先利用
CB段梁作为分离体求约束力FBy和AC段梁在中间铰C处作用
在CB段梁上的FCx和FCy，然后利用AC段梁作为分离体求约 束力FAx，FAy和MA。
36
11
L g A2L 2 g A g A g mg Vg A q 1 1 1 1 2 2 L L L
1 2 Dt 1 g [R R ( sin )] 2 g 2
2
106.30 1.855 rad
3.14 1 0.01 7800 9.8 [3.14 0.52 1 0.52(1.855 sin106.3 )] 1000 9.8 2
13
②求内力——截面法
Y 0 , Q YA
P(l a) l
XA A
m
P
B
mC 0 , M YA x
剪力 ∴ 弯曲构件内力 弯矩 1. 弯矩：Mz 构件受弯时，横截面上其作 用面垂直于截面的内力偶矩。
YA
m
x
RB
A
YA
Mz
Q C Q C RB
14
Mz
P
2. 剪力：Q
构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。 3.内力的正负规定: ①剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。 Q(+) Q(+) Q(–) Q(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。 Mz(+) Mz(+) Mz(–) Mz(–)
15
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横 截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
在竖直荷载作用下，图a，b，c所示梁的约束力均可由
平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定，
称为超静定梁。
10
[例1]贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁厚t=10mm，
钢的密度为： 7.8g/cm³ ，液体的密度为：1g/cm³,液面高 0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐的计算简图。 解： q — 均布力
集中力偶
m C
Q Q 图 特 征
水平直线
Q Q
斜直线
Q
自左向右突变
Q
无变化
Q C
x
Q<0
x
x
x
Q1 C
Q>0
斜直线 M M2 图 x 与 x x x x x m 特 M1 征M 反 M M M M M 增函数 降函数 坟状 盆状 折向与P反向 M1 M227 m
增函数 降函数 自左向右折角 自左向右突变 曲线
x
图（a）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA( Fi ) qLx1 M1 0 M1 qLx1
19
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Y qL Q2 q( x2 a ) 0
1
2
q
1 a
y qL x
2
b
Q2 q( x2 a L)
1. 不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将引 起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。
17
2. 截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的
弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面右
侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。
18
二、例题
[例2]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 q 2 解：截面法求内力。 qL 1 1--1截面处截取的分离体 1 a y qL A M1 x1 Q1 图（b） 2 b 如图（b）示。
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
y M ( x) Q(x) dx A M(x)+d M(x) q(x) 弯矩与荷载集度的关系是：
Q(x)+d Q(x)
dM 2 ( x ) q( x) 2 dx
26
二、剪力、弯矩与外力间的关系 外 力 无外力段
q=0
均布载荷段
q>0 q<0
集中力
P C
对于中间铰C的力矩应等于零，还可列出1个独立的平衡
方程。这样就可利用4个平衡方程求解4个未知支约束力。 由此也可知，此梁是静定梁。
33
于是可求得约束力如下：
M
20103 N
C
0 m
3 m 2.5 m 5 103 N m FBy 5 m 0
FBy 29 kN
YO Q(x)
x
②写出内力方程
P
Q( x ) YO P
–PL
x
M ( x ) YO x M O P( x L )
M ( x)
x
③根据方程画内力图
22
q
解：①写出内力方程
来自百度文库
x Q(x)
L Q(x)
M ( x)
Q( x ) qx
1 M ( x ) qx2 2
x – qL
mB (Fi ) 0 , 1 2 qLx2 M 2 q( x2 a) 0 2
图（a） B M2 x2 Q2
1 M2 q( x2 a)2 qLx2 2
图（c）
20
§4–3 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
3. 支座简化
6
1). 固定端——实例如图a，计算简图如图b, c。
FRx MR FRy (b) (c) (a)
7
2. 固定铰支座——实例 如图中左边的支座，计算简
图如图b，e。
3. 可动铰支座——实例如图a中右边的支座，计算简图 如图c，f。
8
4、 梁的基本形式 悬臂梁
简支梁
外伸梁
9
5、 静定梁和超静定梁
第四章
弯曲内力
§4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图 §4–2 梁的内力－－剪力和弯矩 §4–3 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用
§4–5 多跨静定梁的剪力图和弯矩图 §4–6 按叠加原理作弯矩图 §4–7 平面刚架和曲杆的内力图
2
§4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
q( x )dx dQ( x )
d Q x qx dx
剪力图上某点处的切线斜率 等于该点处荷载集度的大小。
25
Q(x)
M(x)+d M(x)
mA(Fi ) 0 , 1 Q( x)dx q( x)(dx)2 M ( x) [M ( x) dM ( x)] 0 2 dM ( x ) Q ( x) dx
9 (kN/m)
q — 均布力
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§ 4–2
一、弯曲内力：
梁的内力－－剪力和弯矩
a A l XA A YA P B RB P B
[举例]已知：如图，P，a，l。
求：距A端x处截面上内力。
解：①求支座反力
X 0, XA 0 Pa mA 0 , RB l P(l a) Y 0 , YA l
3. 显然可见，作用在此梁CB段上的荷载是要通过中
Q2 Q1– Q2=P
x
x
简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。
[例4] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
qa A a a q 解: 利用内力和外力的关系及
特殊点的内力值来作图。
特殊点:
端点、分区点（外力变化点）和
驻点等。
28
qa A a Q
q
Q qa; M 0 左端点：
3 2 右端点： Q 0; M qa 2
29
M
[例5] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
qa qa ; R 解：求支反力 D 2 2 A qa C D Q ;M 0 左端点 A ： 2 RA qa RD qa 1 2 Q qa/2 B 点左： Q ; M qa x + 2 2 qa 1 – – B点右： Q ; M qa2 qa/2 qa/2 2 2 qa 1 2 2 C 点左： Q ; M qa qa /2 3qa2/8 qa2/2 2 2 – 3 2 M 的驻点： Q 0 ; M qa + 8 M qa2/2 x qa 1 2 1 ; M qa C点右： Q Q qa ; M 0 右端点D： 2 2 30 2
Q Q ( x)
剪力方程 弯矩方程
Mz Mz( x)
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
弯矩图
Q Q( x) 的图线表示 Mz Mz( x) 的图线表示
21
[例3] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。 MO L Q(x) M ( x) P 解：①求支反力
YO P ; MO PL
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如图。
16
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段 上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向 下的外力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。 (2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁
段上外力对该截面形心的力矩之代数和。
a x
线形：根据
d Q x qx ； dx
2
dM ( x ) dM ( x ) q( x) Q( x)； 2 dx dx
– qa qa2
及集中载荷点的规律确定。
3 2 分区点A： Q qa; M qa 2 qa 2
– x
3 2 M 的驻点： Q 0 ; M qa 2
34
F F
x
0, FAx 0 FAy 81kN
y
0, FAy 50 kN 20 kN 3 m 29 kN 0 m
0
M
A
M A 50 103 N 1 m 20 103 N 29 103 6.5 m 0
m
一、弯曲的概念 1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
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3. 平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一 平面内。
对称弯曲（如下图）—— 平面弯曲的特例。
P1 q P2
M
纵向对称面
4
非对称弯曲—— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种 弯曲则统称为非对称弯曲。
q B
qa2
RA
§4–5 多跨静定梁的剪力图和弯矩图 • 由几根短梁连接而成的静定梁成为多跨静定梁； 多跨静定梁一般为主次结构： • 基本部分：依靠自身就能保持几何不变性的部 分； • 附属部分：依靠基本部分才能维持其几何不变 形的部分。 • 作用在基本部分的力不影响附属部分，附属部 分的力会影响基本部分。因此解题顺序是先附 属部分后基本部分。 • 计算原则：先附属部分后基本部分；附属部分 的支座反力反向作用在基本部分；多跨拆为多 个单跨，其内力图连在一起为多跨梁的内力图。
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M ( x)
3q0 L2 27
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用
一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系 q( x)
对dx 段进行平衡分析，有：
Y 0 Q( x ) q( x )dx Q( x ) dQ( x ) 0
x y M(x)
dx q(x) Q(x)+d Q(x) A dx
qL2 2
②根据方程画内力图
M ( x)
x
23
q0 解：①求支反力
L
RA
q0 L2 6
RB Q(x)
3 L 3
q0L q0L RA ; RB 6 3
②内力方程
q0 L2 3
x
Q( x )
q0 2 (L 3x2) 6L
x
q0 x 2 2 M ( x) (L x ) 6L
③根据方程画内力图
31
例6 试求图a所示有中间铰C的梁A、B处的约束力。
(a) 解：1. 此梁左端A为固定端，有3个未知约束力FAx，FAy
和MA；右端B处为可动铰支座，有1个未知约束力FBy。此梁总
共有4个未知支约束力。
32
对于平面力系，虽然可列出3个独立平衡方程，但此 梁具有中间铰C，故根据铰不能传递力矩的特点，作用在 中间铰一侧(梁的AC或梁CB段)梁上的外力(荷载和约束力)
此处将以对称弯曲为主，讨论梁的内力、应力和变形计算。
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二、梁的计算简图
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。 2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。
3 m 4 m 5 103 N m
M A 96.5 kN m
35
2. 此梁的约束力亦可将梁在中间铰C处拆开，先利用
CB段梁作为分离体求约束力FBy和AC段梁在中间铰C处作用
在CB段梁上的FCx和FCy，然后利用AC段梁作为分离体求约 束力FAx，FAy和MA。
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11
L g A2L 2 g A g A g mg Vg A q 1 1 1 1 2 2 L L L
1 2 Dt 1 g [R R ( sin )] 2 g 2
2
106.30 1.855 rad
3.14 1 0.01 7800 9.8 [3.14 0.52 1 0.52(1.855 sin106.3 )] 1000 9.8 2
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②求内力——截面法
Y 0 , Q YA
P(l a) l
XA A
m
P
B
mC 0 , M YA x
剪力 ∴ 弯曲构件内力 弯矩 1. 弯矩：Mz 构件受弯时，横截面上其作 用面垂直于截面的内力偶矩。
YA
m
x
RB
A
YA
Mz
Q C Q C RB
14
Mz
P
2. 剪力：Q
构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。 3.内力的正负规定: ①剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。 Q(+) Q(+) Q(–) Q(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。 Mz(+) Mz(+) Mz(–) Mz(–)
15
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横 截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
在竖直荷载作用下，图a，b，c所示梁的约束力均可由
平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定，
称为超静定梁。
10
[例1]贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁厚t=10mm，
钢的密度为： 7.8g/cm³ ，液体的密度为：1g/cm³,液面高 0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐的计算简图。 解： q — 均布力
集中力偶
m C
Q Q 图 特 征
水平直线
Q Q
斜直线
Q
自左向右突变
Q
无变化
Q C
x
Q<0
x
x
x
Q1 C
Q>0
斜直线 M M2 图 x 与 x x x x x m 特 M1 征M 反 M M M M M 增函数 降函数 坟状 盆状 折向与P反向 M1 M227 m
增函数 降函数 自左向右折角 自左向右突变 曲线
x
图（a）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA( Fi ) qLx1 M1 0 M1 qLx1
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2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Y qL Q2 q( x2 a ) 0
1
2
q
1 a
y qL x
2
b
Q2 q( x2 a L)
1. 不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将引 起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。
17
2. 截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的
弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面右
侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。
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二、例题
[例2]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 q 2 解：截面法求内力。 qL 1 1--1截面处截取的分离体 1 a y qL A M1 x1 Q1 图（b） 2 b 如图（b）示。
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
y M ( x) Q(x) dx A M(x)+d M(x) q(x) 弯矩与荷载集度的关系是：
Q(x)+d Q(x)
dM 2 ( x ) q( x) 2 dx
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二、剪力、弯矩与外力间的关系 外 力 无外力段
q=0
均布载荷段
q>0 q<0
集中力
P C
对于中间铰C的力矩应等于零，还可列出1个独立的平衡
方程。这样就可利用4个平衡方程求解4个未知支约束力。 由此也可知，此梁是静定梁。
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于是可求得约束力如下：
M
20103 N
C
0 m
3 m 2.5 m 5 103 N m FBy 5 m 0
FBy 29 kN
YO Q(x)
x
②写出内力方程
P
Q( x ) YO P
–PL
x
M ( x ) YO x M O P( x L )
M ( x)
x
③根据方程画内力图
22
q
解：①写出内力方程
来自百度文库
x Q(x)
L Q(x)
M ( x)
Q( x ) qx
1 M ( x ) qx2 2
x – qL
mB (Fi ) 0 , 1 2 qLx2 M 2 q( x2 a) 0 2
图（a） B M2 x2 Q2
1 M2 q( x2 a)2 qLx2 2
图（c）
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§4–3 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
3. 支座简化
6
1). 固定端——实例如图a，计算简图如图b, c。
FRx MR FRy (b) (c) (a)
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2. 固定铰支座——实例 如图中左边的支座，计算简
图如图b，e。
3. 可动铰支座——实例如图a中右边的支座，计算简图 如图c，f。
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4、 梁的基本形式 悬臂梁
简支梁
外伸梁
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5、 静定梁和超静定梁