浙江工商大学高等代数考研真题试题2017—2019年
浙江工商大学研究生考试试题汇总
浙江工商大学研究生考试试题汇总一、名词解释——微观经济学部分1、稀缺替代效应价格歧视基尼系数2、宏观经济学价格效应完全竞争引致需求3、微观经济学恩格尔曲线垄断要素市场4、实证经济学吉芬商品垄断竞争双边垄断5、规范经济学总效用寡头地租6、机会成本基数效用自然垄断准租金7、边际分析序数效用斯威齐模型经济租金8、需求法则价格消费线古诺模型一般均衡9、收入效应收入消费线一级价格歧视局部均衡10、替代效应恩格尔系数二级价格歧视瓦尔拉斯定律11、需求曲线生产函数三级价格歧视超额需求12、供给法则生产要素交易费用布劳威尔不动点定律13、供给曲线短期产权契约曲线14、需求的变化长期科斯定理效用可能性边界线15、供给的变化边际产量不完备契约帕累托最优状态16、需求量的变化边际报酬递减规律企业制度帕累托最优条件17、供给量的变化等产量曲线委托-代理关系帕累托改进18、均衡等成本线激励机制生产可能性曲线19、需求弹性边际技术替代率机制设计福利经济学20、供给弹性规模报酬现代企业制度社会福利函数21、需求收入弹性规模经济非对称信息阿罗不可能性定理22、需求交叉弹性扩展线风险交换帕累托最优23、最高限价显性成本不确定性生产的帕累托最优24、最低限价隐形成本风险偏好市场失灵25、间接税正常利润风险中性外部性26、税收归宿经济利润逆向选择外部成本27、经济效率边际成本道德风险外部收益28、经济福利内在经济不对称信息科斯定律29、消费者剩余外在经济拍卖公共物品30、生产者剩余技术系数期望效用非竞争性31、社会总剩余包络线风险厌恶非排他性32、关税可变成本第一价格拍卖免费搭车者33、进口配额不变成本第二价格拍卖寻租行为34、帕累托最优内在不经济英国式拍卖委托-代理问题35、效用外在不经济荷兰式拍卖36、边际效用卡特尔要素需求37、消费者均衡价格领袖制边际生产力38、无差异曲线纳什均衡边际物质产品39、预算线占有均衡边际收益产量40、边际效用递减规律边际产品价值41、边际替代率递减规律边际要素成本42、收入效应洛伦兹曲线——宏观经济学部分1国内生产总值（GDP）有保证的增长率货币政策2国民生产总值（GNP）自然增长率公开市场业务3名义国内生产总值稳态法定准备金比率4实际国内生产总值资本深化挤出效应5最终产品新经济增长理论财政政策乘数6中间产品金融市场货币政策乘数7折旧货币比较优势理论8存货投资货币乘数直接标价法9净投资存款创造乘数间接标价法10净出口交易需求汇率制度11国民生产净值（NNP）投机需求固定汇率制12国民收入（NI）货币数量论浮动汇率制13个人收入（PI）流动性陷阱购买力平价14个人可支配收入（DPI）IS曲线利率平价15人均国内生产总值LM曲线绝对购买率平价16总投资凯恩斯区域国际收支17总支出古典区域内部平衡18总需求IS-LM模型外部平衡19总供给产品市场的均衡相对购买力平价20均衡产出总需求曲线IS-LM-BP模型21均衡收入总供给曲线BP曲线22消费函数劳动市场均衡实际增长率23平均消费倾向总生产曲线自动稳定器24边际消费倾向长期总供给曲线25平均储蓄倾向短期总供给曲线26边际储蓄倾向理性预期27乘数生产函数28投资乘数古典总供给曲线29政府支出乘数凯恩斯总供给曲线30税收乘数失业31政府转移支付乘数自然失业32平衡预算乘数摩擦性失业33对外贸易乘数结构性失业34通货紧缩缺口需求不足失业35通货膨胀缺口充分就业36加速原理自然失业率37加速系数通货膨胀38资本-产出比率无加速通货膨胀（NAIRU）39充分就业国民收入周期性失业40乘数-加速原理菲利普斯曲线41经济周期需求拉上型通货膨胀42经济增长成本推动型通货膨胀43全部要素生产率财政政策二、计算题部分1、已知商品市场的市场需求函数为Q d=12-2P，供给函数为Q s=20P（1）求均衡时候的消费者剩余。
浙江大学2019年高等代数试题及解答
n
x ∈ C : |x − aii| ⩽
|aij |
j=1,j̸=i
(1) 若 r 为 A 的特征值, 则 r ∈ D1 ∪ D2>
n j=1,j̸=i
|aij
|
,
∀1 ⩽ i ⩽ n,
则
A
可逆.
4. (15 分) 设 a1, a2, · · · , an 为互不相同整数, a1a2 · · · an + 1 不是某个整数的平方, 证明:
10. 必要性. A 是正规矩阵, 则用数学归纳法可证明 A 能酉相似对角化, 即存在酉矩阵 U, 使得 U ∗AU = diag{λ1, . . . , λn}, 于是 U ∗AA∗U = diag{|λ1|2, . . . , |λn|2}, 两边矩阵的迹相等可得想证 明的等式.
充分性. 用数学归纳法可证明存在酉矩阵 U, 使得
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浙江大学 2019 年高等代数试题参考解答
小花爱数学
浙江大学 2019 年高等代数考研试题
1. (15 分) 设 n × n 矩阵 A = (aij) 满足:
aii = i
aj,j+1 = −j
其余元素均为 0, 求 |A|.
ak,k−1 = −1
(1 ⩽ i ⩽ n) (1 ⩽ j ⩽ n − 1)
3. (1) det(rE − A) = 0, 从而存在 x = (x1, x2, . . . , xn)T ∈ Cn\{0}, 使得 (rE − A)x = 0. 假设 |xk| = max1⩽i⩽n |xi|, 则由
n
(r − akk)xk −
akj xj = 0
j=1,j̸=k
移项后取绝对值并用绝对值不等式可得:
浙江理工大学高等代数2007--2019年考研真题
2
x1 + x2 + 3x3 − x4 = 0 3x1 + 2x2 − 2x4 = 0
3x1 + x2 + 9x3 − x4 = 0
的解空间，求W ⊥ = ? 。
第 1 页，共 2 页
七（20 分）：设 K 上三维空间V 的线性变换T 在基α1,α2 ,α3 下矩阵为
1 −2 2
A = −2 −2
证明：（1）若 A, B 都是半正定的，则 A oB 也是半正定的； （2）若 A, B 都是正定的，则 A oB 也是正定的。
五（15 分）：设 ( f , g ) = d .证明：对任意正整数 n 有
( ) f n , f n−1g,L , fg n−1, g n = d n .
六（15 分）：在欧式空间 R 4 （内积如常），设 W 为
第 2 页，共 2 页
浙江理工大学
2017 年硕士研究生招生考试初试试题
考试科目： 高等代数
代码： 912
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
一.（15 分）设有线性方程组
x1 5x2 x3 x4 1
x1 2x2 x3 3x4 3x1 8x2 x3 x4
3 1
x1 9x2 3x3 7x4 7
i (ai1, ai2 , , ain 1), i 1, 2, , r; (1)
j (bj1, bj2 , , bj n 1), j 1, 2, , s. (2)
n1
.
:
(1)
(2) ,
a11x1 a12 x2
a1n xn a1 n 1
a21x1 a22 x2
a2n xn a2n 1
(3)
ar1x1 ar 2 x2
浙江工商大学线性代数试卷
《线性代数（文）》（2）一、填空题（每小题2分，共20分）1、=7654543032001000. 2、方程06427816944321111)(32==x x xx f 的全部根为： . 3、设n 阶方阵A 满足方程022=+-E A A ，则=-1A .4、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=003004005006000A ，则=-1A . 5、11111111---x 是关于x 的一次多项式,该式中一次项的系数是 .. 6、向量T )3,2,1(=α与T)31,21,1(=β，则=k T )(βα . 7、设A 为可逆矩阵,2)(=B r ,则=)(AB r .8、设)1,1,1(),0,1,1(),0,0,1(321===ααα，则任意向量),,(321a a a =β可表示为321,,ααα的线性组合为： .9、A 为四阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，若A =2，则*2A = . 10、21,ββ线性相关，且321,,ααα可由21,ββ线性表示，则321,,ααα线性 关. 二、单项选择题（每小题2分，共10分）1、如果d a a a a a a a a a =333231232221131211，则行列式132333122232112131232323a a a a a a a a a ---=（ ） （A ）-6d （B ）6d （C ）4d （D ）-4d2、矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32164201t t t可逆，则（ ） （A ）6≠t （B ） 7≠t （C ）8≠t （D ）9≠t3、已知四阶方阵A 的秩为3，321,,ηηη是b AX =的三个不同解，且T T )4,3,2,1(,)5,4,3,2(321=+=ηηη，则b AX =的通解可表示为：（ ） （A ）T T C )5,4,3,2()4,3,2,1(+ （B ）T T C )6,5,4,3()4,3,2,1(+ （C ）T T C )4,3,2,1()5,4,3,2(+ （D ）T T C )6,5,4,3()5,4,3,2(+（其中C 为任意常数）4、设,,A B C 均为n 阶方阵，若E ABC =，则下列中总成立的是（ ） （A ）E CAB = （B ）E ACB = （C ）E BAC = （D ）E CBA =三、（本小题6分）计算行列式111109801000071060541302001=四、（本小题6分） 设23)(2+-=x x x f ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4211A ，求)(A f .五、（本小题10分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=410110003A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321163B ，且满足B A X A X 112--+=，求矩阵X .六、（本小题6分）设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=21101011110022202111A ，求矩阵A 的秩.七、（本小题10分）给定向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13251α ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32142α ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21113α ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21434α求该向量组的秩及该向量组的一个极大无关组，并将其余向量用所求的极大无关组线性表示. 八、（本小题12分）当k 取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++kx k x x k x kx x x x x 32213213211无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时，试用导出组的基础解系表示全部解.九、（本小题6分）设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1100110000100031A ，求nA十、(本小题8分) 求线性方程组的全部解(利用基础解系表示)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=+++=++=+++12313321220432143214324321x x x x x x x x x x x x x x x十一、证明题（本小题6分）设A 为n 阶可逆矩阵，且E A A =2，证明：A 的伴随矩阵A A =*《线性代数（文）》试卷（2）标准答案一、填空题(1)、24 (2)、2、3、4 (3)、)2(21E A +- (4)、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛61514131 (5)、2; (6)、k 3 (7)、2 (8)、33232121)()(αααβa a a a a +-+-= (9)、128 (10)、相 二、选择题 BCDAC三、解： 1 四、 解：E A A A f 23)(2+-= =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4422 五、解：B A X A X 112--+=，左乘A B X AX +=2B X E A =-)2( 而012≠-=-E A ，故矩阵E A 2-可逆 ，B E A X 1)2(--=∴ 求得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=--110120001)2(1E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∴231463X 六、解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→01000111000101002111A 4)(=∴A r 七、解：令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=→00001000011001012231112341123145)(4321 αααα r ∴)(4321αααα=3， 421,,ααα是该向量组的一个极大无关组。
考研数学历年真题2017年2018年2019年真题和答案(数学二)
22.（本题满分 11 分）
设 3 阶矩阵 A = (1,2 ,3 ) 有三个不同的特征值，且3 = 1+ 22. （I）证明： r ( A) = 2 .
（Ⅱ）若 = 1 +2 +3, 求方程组 AX = 的通解.
23.（本题满分 11 分）
设二次型 f ( x1, x2 , x3 ) = 2x12 − x22 + ax32 + 2x1x2 − 8x1x3 + 2x2x3 在正交变换 X = QY 下
A. 1 + 2
B. 1 +23
C.2 +3
D. 1 +23
2 0 0
2 1 0
1 0 0
8.已知矩阵
A
=
0
2
1
，B
=
0
2
0 ，C
=
0
2
0 ，则（
）.
0 0 1
0 0 1
0 0 2
A. A 与 C 相似，B 与 C 相似
B. A 与 C 相似，B 与 C 不相似
C. A 与 C 不相似，B 与 C 相似
−1 − x
0
x
A. 5 . 3
B. 5 . 6
C. 7 . 3
D. 7 . 6
1 1 0
7.下列矩阵中，与矩阵
0
1
1
相似的为（
）
0 0 1
1 1 −1
A.
0
1
1
.
0 0 1
1 0 −1
B.
0
1
1
.
0 0 1
1 1 −1
C.
0
1
浙江工商大学《601数学分析》考研专业课真题试卷
TA
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irnn: l/'(o)l+l/'(b<)3b' 4. ynftR4w6ftfrwwfl,+-E 0<x<1rnt*!fft*. **&ff'lt'
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浙江工商大学考研专业课真题试卷
2017-2019年考研数学二真题及答案
2017考研数学二真题及答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）（1）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21=ab 。
)(B 21-=ab 。
)(C 0=ab 。
D (2=ab 。
【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而21=ab ，应选)(A 。
（2）设二阶可导函数)(x f 满足1)1()1(=-=f f ，1)0(-=f ，且0)(>''x f ，则（ ）)(A ⎰->110)(x f 。
)(B ⎰-<110)(x f 。
)(C ⎰⎰->101)()(dx x f x f 。
)(D ⎰⎰-<11)()(dx x f x f 。
【答案】)(B【解】取12)(2-=x x f ，显然⎰-<110)(x f ，应选)(B 。
（3）设数列}{n x 收敛，则 （ ）)(A 当0sin lim =∞→n n x 时，0lim =∞→n n x 。
)(B 当0)||(lim =+∞→n n n x x 时，0lim =∞→n n x 。
)(C 当0)(lim 2=+∞→nn n x x 时，0lim =∞→n n x 。
)(D 当0)sin (lim =+∞→n n n x x 时，0lim =∞→n n x 。
【答案】)(D【解】令A x n n =∞→lim ，由0sin )sin (lim =+=+∞→A A x x n n n 得0=A 。
（4）微分方程)2cos 1(842x e y y y x+=+'-''的特解可设为=*y （ ）)(A )2sin 2cos (22x C x B e Ae x x ++。
浙江工商大学高等数学习题解答3
例1 求下列函数的定义域:(1)211)(-+=x x x f ；(2))sin 21ln(1)(2x x x f -+-=； (3)xx x f 2arcsin cot )(+=π.分析 求函数的定义域,主要是使所给函数的数学式子有意义,要注意以下几种情况: (a)分式的分母不能为零；(b)偶次根号内的式子应大于或等于零； (c)对数的真数应大于零；(d)x arcsin 或x arccos ,其1≤x ；(e)若函数的表达式由几项组成,则它的定义域是各项定义域的交集； (f)分段函数的定义域是各段定义域的并集. 解 (1)要使函数)(x f 有意义,应有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-≠-+020211x x , 即 ⎩⎨⎧≠≠21x x .故所给函数的定义域是不等于1和2的所有实数.(2)要使函数)(x f 有意义,应有⎩⎨⎧>-≥-0sin 21012x x ,解得61π<≤-x .故所给函数的定义域是)6 , 1 [π-. (3)要使x πcot 有意义,必须ππk x ≠, 即k x ≠Z k ∈().要使x 2arcsin 有意义,必须 120≤<x, 即 0≤x .故所给函数的定义域是0≤x 且 ,2,1--≠x . 例2 求下列函数的值域:(1)132+-=x x y ； (2)212x x y +=.(1)分析 本题可用求其反函数定义域的方法来求直接函数的值域.解 由于132+-=x x y 的反函数为 y y x -+=23, 其定义域为2≠y ,故直接函数的值域为),2()2,(+∞-∞ .(2)分析 本题可以利用不等式来求值域.解 由基本不等式,xx 212≥+,所以1122≤+=x x y ,即所求值域为[]1,1-.例3 设23)e (1-=-x f x ,求)(x f . 分析 本题是求函数的表达式,可以用凑元法或换元法. 解法一 (凑元法) 因为 1e ln 1-=-x x ,所以 1)1(323+-=-x x 1eln 31+=-x即1e ln 3)e (11+=--x x f , 故 1ln 3)(+=x x f )0(>x .解法二 (换元法) 令1e -=x u ,则1ln +=u x ,所以2)1(ln 3)(-+=u u f 1ln 3+=u )0(>u故 1ln 3)(+=x x f )0(>x .例4 下列各题中,函数)(x f 和)(x g 是否相同?为什么? (1)2)(π=x f ,x x x g arccos arcsin )(+=；(2)1)(-=x x f ,2)1()(-=x x g ；(3)x x x f --=21)(,x x x g --=21)(. 分析 要判断两个函数相同,关键是要判断它们的定义域相同,并且对应法则也要相同.解 (1) 由于)(x f 的定义域为),(+∞-∞,)(x g 的定义域为[]1,1+-.所以这两个函数不相同.(2) 由于)(x f 和)(x g 的定义域均为),(+∞-∞,所以这两个函数定义域相同.但是在区间)1,(+-∞内,它们的对应法则不相同. 所以这两个函数不相同.(3) 由于)(x f 和)(x g 的定义域均为[) 2 , 1 ,所以这两个函数定义域相同,并且在[) 2 , 1 内,1121--=--x x x x 恒成立,从而对应法则也相同,所以这两个函数相同.例5 设2e )(xx f =,[]x x f -=1)(ϕ且0)(≥x ϕ,求)(x ϕ及其定义域.分析 此题是考查复合函数的概念解 [][]x x f x -==1e )(2)(ϕϕ,())1ln()(2x x -=⇒ϕ, 而0)(≥x ϕ,⇒)1ln()(x x -=ϕ； 再求定义域: 0110)1ln(≤⇒≥-⇒≥-x x x ,即定义域为]0,(-∞. 例6 若对任意x ,有x x x f x f 2)1(2)(2-=-+,求)(x f . 分析 此题可以用解函数方程组的方法求出)(x f .解 令t x -=1,则1)1(2)1()(2)1(22-=---=+-t t t t f t f , 即 1)(2)1(2-=+-x x f x f ,与原式联立,消去)1(x f -,得到 )22(31)(2-+=x x x f .例7 判断下列函数的奇偶性:(1)1)(4--=x x x x f ；(2))1ln()(2++=x x x f ；(3)⎩⎨⎧>+≤-=0, 10, 1)(x x x x x f . 分析 要判断函数的奇偶性,只需用定义来证明.解 (1) 由于)(x f 的定义域为1≠x 的全体实数,不关于原点对称,所以所给函数是非奇非偶函数.(2) 由于 =-+)()(x f x f )1ln(2++x x +)1ln(2++-x x)]1)(1ln[(22++-++=x x x x =01ln =.得到)()(x f x f -=-. 所以所给函数是奇函数.(3) 由于⎩⎨⎧>--+≤---=-0, ) (10, )(1)(x x x x x f , 即⎩⎨⎧<-≥+=-0, 10, 1)(x x x x x f )(x f =. 所以所给函数是偶函数.例8 单项选择题: 设x x x x f cos e sin )(=,)(+∞<<-∞x ,则)(x f 是( ).(A)有界函数；(B)单调函数；(C)周期函数；(D)偶函数. 分析 此题主要是考察函数的性质,用定义来分析. 解 当22ππ+=n x 时,只要∞→n ,则∞→+=e )22()(ππn x f ,所以)(x f 无界.又,)(x f 显然不是单调函数,周期函数,并且很容易证明它是偶函数. 所以答案是(D).例9 单项选择题: 设⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=0 , 0 , )(22x x x x x x f ,则( ). (A)⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=-0 , )(0 , )(22x x x x x x f ； (B)⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+-=-0 , 0 , )()(22x x x x x x f ；(C)⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=-0 , 0, )(22x x x x x x f ；(D)⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=-0 , 0, )(22x x x x x x f . 分析 此题是考查函数及分段函数的概念.解 ⎪⎩⎪⎨⎧>--+-≤--=-0 , )()(0 , )( )(22x x x x x x f ⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=0 , 0 , 22x x x x x ,答案是(D)例10 设)(x ϕ是)(x f 的反函数,求)2 (xf 的反函数. 分析 此题关键是对反函数定义的理解解 因为)(x ϕ是)(x f 的反函数,所以[]x x f =)(ϕ对一切x 都成立,用2x代x ,得到2) 2 (xx f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡ϕ,由此推出x x f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡) 2 (2ϕ故)2 (xf 的反函数为2)(x ϕ. 例11 设函数⎩⎨⎧≥-<=0, 0, )(2x x x x x f ,⎩⎨⎧>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x g ,求[])(x f g .分析 本题是将两个分段函数复合成一个分段函数.解 首先需写出以)(x f 为自变量的函数[])(x f g 的表达式,得到[]⎩⎨⎧>+≤-=0)(, 2)(0)(, )(2)(x f x f x f x f x f g由)(x f 的定义可知,当0≥x 时,0)(≤-=x x f ；当0<x 时,0)(2>=x x f . 代入[])(x f g 的表达式,得到[]⎩⎨⎧<+≥+=0, 20, 2)(2x x x x x f g .例12 单项选择题:“对任意给定的)1,0(∈ε,总存在正整数N ,当N n >时,恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的( ).（A ）充分条件但非必要条件 （B ）必要条件但非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件又非必要条件 分析 此题必须对数列极限的定义有深刻的了解.解 ε只是用来刻划n x 与a 无限接近的程度的,所以选)1,0(∈ε的意义是一样的.同样,由于ε是可以任意小的,所以ε2也是可以任意小的. 答案是(C).例13 用N -ε定义证明0 21lim 32=++∞→n n n n .分析 证明的关键是,对于任意给定的正数ε,要确实找出正整数N ,使得当Nn >时,ε<-++02132nn n 成立,并且在找的过程中,可以进行适当放大.证 任给0>ε,n n n n n n 21021 3232++=-++ n n n n 1 1 32=++<,所以要使ε<-++02132nn n ,只需ε<n 1,即ε1>n . 因此,取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1N ,则当N n >时,必有ε<-++02132n n n 成立.所以 0 21lim 32=++∞→n n n n .例14 用δε-定义证明0 4lim 4=-→x x x .分析 证明的关键是,对于任意给定的正数ε,要确实找出正数δ,使得当δ<-<40x 时,ε<--04x x 成立,并且在找的过程中,可以进行适当放大.证 任给0>ε,34404-<-=--x x x x x (当140<-<x 时)所以要使ε<--04x x ,只需ε<-34x ,即ε34<-x .因此,取{}1,3min εδ=,则当δ<-<40x 时,必有ε<--04x x 成立. 所以 0 4lim 4=-→x x x .例15 求极限⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→n n n n n 3lim . 分析 此类题目常常采用分子有理化.解 原式nn n n n n +++=∞→34lim211314lim=+++=∞→nn n .例16 已知0)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ,则=a ,=b .分析 此类题目实际上是计算题.解 =--+∞→)1(lim 2b ax x x x 0)1)()1((lim 2=+-+--∞→x bx b a x a x , 得到 ⎩⎨⎧=+=-001b a a ⇒⎩⎨⎧-==11b a . 例17 求 cos 1cos 2cos cos 1lim 0x nx x x x --→ .分析 这类函数的极限要注意)cos 1(kx -的等价无穷小,并且将分子适当进行化简,化简的过程中要有一定的技巧.解 nx x x cos 2cos cos 1-)2cos cos cos ()cos 1 (x x x x -+-= +-+ )3cos 2cos cos 2cos cos ( x x x x x)1cos(2cos cos [ --+x n x x ]cos )1cos(2cos cos nx x n x x -cos 1cos 2cos cos 1lim0x nxx x x --∴→+--+=→ cos 12cos 1cos lim 10x x x x+--→x xx x x cos 13cos 12cos cos lim 0cos 1cos 1)1cos(2cos cos lim 0x nxx n x x x ---+→ .而 0→x 时,2)(21~cos 1kx kx -所以,原极限220220220)(lim )3(lim )2(lim 1x nx x x x x x x x →→→++++=)12)(1(613212222++=++++=n n n n .例18 设n n xx x u 2cos 4cos 2cos =,)( Z k k x ∈≠π,求nn u ∞→lim .分析 此题只需将n u 化简,并且利用重要极限来求.解nnn n xxx x x u 2sin 2sin 2cos 4cos 2cos ⋅= n n x x 2sin2sin =.x xx xx x x x nn n n n n sin 2sin 2sin lim 2sin 2sin lim =⋅=∴∞→∞→.例19 求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→x x x x x sin e 1e 2 lim 10 分析 函数的表达式中含有绝对值符号,或指数函数的指数趋向于无穷大时,解题时必须求其求左、右极限,并判断是否相等.解 110sin 1e e e 2lim sin e 1e 2lim 4340410=+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++---→→++x x x x x x x x x x x ,112sin e 1e 2lim sin e 1e 2lim 1010=-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--→→x x x x xx x x x x .因为左、右极限存在并且相等,1sin e 1e 2 lim 410=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∴→x x xx x . 例20 如果0)(1121lim 20=+-+→x x xf x x ,求x x f x )(6 lim 0+→.分析 本题是已知一个函数的极限,求另一个函数的极限.解本题的关键是将所给的函数2)(1121x x xf x +-+变形,分解出x x f )(6+部分,而后求极限.解20)(1121lim x x xf x x +-+→20)(661121lim x x xf x x x x ++--+=→x x f x x x x x )(6 lim )61(121 lim 020+++-+=→→x x f x x x x x x x )(6 lim )61121()61(121 lim 0220+++++⋅+-+=→→x x f x x x x )(6 lim 6112136 lim 00+++++-=→→)(6 lim 180=++-=→x x f x . 故 18)(6 lim 0=+→x x f x .例21 求极限 1121e 11 lim -→⋅--x x x x .分析 求指数函数xa 当∞→x 时的极限,必须区分正、负无穷.解 +∞=⋅---→+1121e 11 lim x x x x ,002e 11 lim 1121=⋅=⋅---→-x x x x .故原极限不存在.例22 求极限 xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→1cos 2sin lim . 分析 此极限为∞1型,可以化为重要极限来求.解 令t x =1,则有 ()t t x x t x x 10 cos sin2t lim 1cos 2sin lim +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→∞→[] 1)-cost (sin2t 1lim t1-cost sin2t 1-cost sin2t 10++→⎭⎬⎫⎩⎨⎧++=t2t cost 1lim t sin2t lim t 1-cost sin2t lim 000=--=+→→→t t t2e 1cos 2sin lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴∞→x x x x .例23 已知极限82 lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→xx a x a x ,问?=a 分析 此极限为∞1型,可以转化为重要极限来求.解ax ax aax x x x x x a x a a x a a x a x --∞→∞→∞→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3331 lim 31 lim 2 lim而 a a x ax x 33 lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→. 所以,原极限=8e 3=a .故 2ln 8ln 31==a .例24 求极限)1ln()cos 1(1cossin 3lim 20x x x x x x +++→.分析 将有不等于零的极限分离出来,并且用等价无穷小替代.解 )1ln(1cossin 3lim )cos 1(1 lim )1ln()cos 1(1cossin 3 lim 20020x x x x x x x x x x x x x ++⋅+=+++→→→1cossin 3lim)cos 1(1 lim 200x x x x x x x +⋅+=→→23)03(21 )1coslimsin 3lim (21 200=+=+=→→x x x x x x x .例25 单项选择题: 0→x 时,变量x x1sin 12是( ). (A)无穷小量 (B)无穷大量(C)有界的,但不是无穷小量 (D)无界的,但不是无穷大量 分析 此题主要是区分无穷大量与无界变量. 解 答案是(D).因为,取221ππ+=n x ,∞→n 时,0→x .而此时 +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22221sin 1ππn x x , 但是,取πn x 21=,∞→n 时,仍有0→x . 而此时 01sin 12=x x .所以,0→x 时,变量x x1sin 12不是无穷大量,更不可能是无穷小量,而是无界变量.例26 设0>a ,01>x ,,2,1 , ) (211=+=+n x ax x nn n ,证明数列{}n x 收敛,并求数列{}n x 的极限.分析 此题关键是用单调有界数列有极限这个准则来证明.证 由于 ax ax x a x x nn n n n =⋅≥+=+) (211.并且 02) (2121≤-=-+=-+nnn n n n n x x a x x a x x x得到:数列{}n x 单调递减有下界,从而数列{}n x 有极限.记x x n n =∞→lim .在等式 ) (211n n n x ax x +=+两边取极限得到:) (21x a x x +=解得 , a x a x -==(舍去,因为0>nx ).故 ax n n =∞→lim .例27 设101=x ,n n x x +=+61,),2,1( =n ,试证数列{}n x 的极限存在,并求此极限.分析 此类题目应该采用极限存在准则进行证明.证:(1)有界性：31>x ,设3>n x ,则361>+=+n n x x ,由归纳法可知,对一切n ,有3>n x ,即数列{}n x 有下界；(2)单调减少：124x x <=,设1-<n nx x ,则nn n n x x x x =+<+=-+1166,由归纳法可知,数列{}n x 单调减少；故数列{}n x 极限存在；(3)设lx n n =∞→lim ,对nn x x +=+61,令∞→n ,得l l +=6,由0>l ,解得3=l .例28 单项选择题:数列{}n x 和{}n y 满足0lim =∞→n n n y x ,则下列断言正确的是( ).（A ）若{}n x 发散,则{}n y 必发散； （B ）若{}n x 无界,则{}n y 必无界； （C ）若{}n x 有界,则{}n y 必为无穷小；（D ）若⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n x1为无穷小,则{}n y 必为无穷小.分析 本题考查的是无穷小量与有界变量的性质. 解 (A)不成立.只需举一反例.如nn x )1(-=,n y n 1=时,虽然{}n x 发散,并且0→n n y x .但是{}n y 不发散；(B)不成立.因为两个无界变量之积不可能是无穷小量. (C)不成立.只需举一反例.如0=n x ,n y n =时,虽然{}n x 有界,并且0→n n y x .但{}n y 不是无穷小；(D)成立.0001lim lim =⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=∞→∞→n n n n n n x y x y .所以,答案是(D).例29 证明3)321(lim 1=++∞→nn nn .分析 利用两边夹定理来证明此题.证 因为 nn nnn 11)321()300(3++≤++=nnn nn1133)333(⋅=++≤. 由于 ,31333lim 1=⋅=⋅∞→nn 所以,根据两边夹定理有 3)321(lim 1=++∞→nn nn .例30 已知4cos 1)(lim 0=-→x x f x ,求xx x x f 10] )(1 [ lim +→.分析 本题是已知一个函数的极限,求另一个函数的极限.解本题的关键是将所给的函数适当变形,分解出xx x f 1])(1 [+部分,而后求极限. 解 =-→x x f x c o s 1)(lim 04)(l i m 220=→x x f x ,∴2)(lim2=→x x f x ,于是0)(l i m 0=→x x f x ,∴xx x x f 1] )(1 [lim +→2)()( 0 e ] )(1 [lim =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅⋅→x x f x f xx x x f .例31 求2201cos limx x x x +-→.分析 将分子拆开,并且用等价无穷小来替换.解 分子)11()1(cos 1cos 22-+--=+-=x x x x 2202022011lim 1cos lim 1cos lim x x x x x x x x x x -+--=+-∴→→→而22221~)11( , 21~)1(cos x x x x -+-- . 121lim 21lim 1cos lim 220220220-=--=+-∴→→→x xx x x x x x x x .例32 设)(lim 2)(12x f x x x f x →+=,其中)(lim 1x f x →存在,求)(x f .分析 两边求极限即可.解 设ax f x =→)(lim 1,则ax x x f 2)(2+=,令1→x ,得a a 21+=, 1-=⇒a ,故x x x f 2)(2-=. 例33 若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0 , 0 , 12sin )(2x a x x e x x f ax 在()+∞∞-,上连续,求a 的值. 分析 本题只需根据连续的定义做.解 )(lim )0(0x f f a x →==x e x ax x 12sin lim 20-+=→xe x x ax x x 1lim 2sin lim 200-+=→→a 22+=,∴2-=a . 例34 讨论函数)1/(e 11)(x x x f --=的间断点及其类型. 分析 只需用定义判断间断点的类型.解 间断点为1=x 及0=x ,0)(lim 1=-→x f x ,1)(lim 1=+→x f x ,所以1=x 为(第一类)跳跃间断点； ∞=→)(lim 0x f x ,所以0=x 为(第二类)无穷型间断点.例35 设函数n n x x x f 211 lim )(++=∞→,讨论)(x f 的间断点.分析 因为极限中有两个变量,而n 是真正的变量,在极限过程中x 是常量.解本题的关键是先求出)(x f ,再讨论连续性.解 当1>x 时, 0)(=x f , 当1<x 时, x x f +=1)(,当1=x 时, 1)(=x f ,当1-=x 时, 0)(=x f ,而 0)01(=+f ,2)01(=-f ,0)01(=+-f ,0)01(=--f .所以,)(x f 的间断点为1=x ,是第一类间断点.例36 设函数)(x f 在闭区间[]1,0上连续,并且在[]1,0上,都有1)(0≤≤x f ,证明在[]1,0上至少存在一点ξ,使得ξξ=)(f . 分析 构造一个连续函数,利用连续函数的零点定理进行证明.证 令x x f x F -=)()(,)( x f 在[]1,0上连续,)( x F ∴在[]1,0上也连续, 如果(1)0)0(=f 或1)1(=f ,则结论显然成立.(2)0)0(≠f 且1)1(≠f ,则有00)0()0(>-=f F ,01)1()1(<-=f F ,所以,根据连续函数的零点定理,必定存在一点)1,0(∈ξ,使得0)(=ξF .即0)()(=-=ξξξf F . 所以ξξ=)(f .根据(1)及(2)可知,必定在[]1,0上至少存在一点ξ,使得ξξ=)(f.例37设函数)(xf在区间),[∞+a上连续,并且6)(lim=+∞→xfx,证明:)(xf在区间),[∞+a上有界.分析要利用连续函数的最值定理及极限的性质来证明.证因为6)(lim=+∞→xfx,所以,对于1>=ε,aX>∃,当Xx>时,必定有16)(<-xf,即7)(5<<xf,从而有7)(<xf.又因为函数)(xf在区间),[∞+a上连续,所以)(xf在区间[]1,+Xa上连续.由闭区间上连续函数的最值定理,[]1,+∈∃Xac,使得)(cf在区间[]1,+Xa上满足)()(cfxf≤. 故,取{}7,)(max cfM=,则当),[∞+∈ax时,有Mxf≤)(,即)(xf在区间),[∞+a上有界.。
浙江理工大学2017年《912高等代数》考研专业课真题试卷
第1页，共2页 浙 江 理 工 大 学
2017年硕士研究生招生考试初试试题
考试科目： 高等代数 代码： 912
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
一.（15分）设有线性方程组
123412341234123451233381
9377x x x x x x x x x x x x x x x x +--=-⎧⎪-++=⎪⎨+-+=⎪⎪-++=⎩
试用其一个特解与其导出方程组的基础解系表出其全部解.
二. (15分）求向量组
()11,1,2,2,0α=-，()22,2,4,2,0α=--，
()33,0,6,1,1α=-，()40,3,0,0,1α=.
的一个极大无关组，并把每个向量都用极大无关组表示出来.
三. (15分）在复数域上求下列矩阵的若尔当标准型：452221111-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭
四. (15分）计算n 阶行列式1
232
341.34
52121n D n
n =-
五．(15分）设向量组
12,,
,r ααα (1)
线性无关，且可由向量组 12,,,s βββ (2)
线性表示.证明：1）r s ≤;
2)向量组（2）中存在r 个向量用组（1）中某r 个向量代替后得到的向量组 与组（2）等价.。
浙江工商大学2017考研真题之431金融学综合
浙江工商大学2017 年全国硕士研究生入学考试试卷（A）卷考试科目：431 金融学综合总分：(150 分〉考试时间：3小时一、计算题（小数点后保留四位，每题10 分，共40 分〉1.假设A 、B两只股票的收益率取决于未来的经济状况。
经过对未来经济形势的研判，某投资分析师认为未来经济状态存在两种可能性，这两种经济状态出现的概率以及A 股票和B股票的收益率如下表：经济状态！概率I A 股票收益率（%）I B股票收益率（%〉好I o.4 1 41 I10不好r o.6 1 -2 11己知A 股票和 B 股票的F 系数分别为 2 和0.5，市场组合的预期收益率为8%，无风险利率为3%。
请计算说明A 股票和B 股票的价格是高估还是低估？2.己知纽约外汇市场汇价为：1美元7.7570港元；香港外汇市场汇价为：1美元 6.8090人民币；法兰克福外汇市场汇价为：l港元0.8500人民币。
若你以1000 万港元进行套汇，将获毛利多少？如何套汇？3.假如以980 元的价格购买面值1000 元、票面利率10%、期限2 年的债券。
(I）该债券到期收益率高于还是低于10%？为什么？( 2 ）如果市场利率为8%，计算该债券的现值。
4.假设今年底C公司股票的预期红利为2 元，且预期红利每年以8%的速度增长。
( I ）如果C 公司股票的必要收益率为每年12%，那么它的内在价值是多少？( 2）如果C 公司股票的现值等于内在价值，那么下一年的预期价格是多少？(3 ）如果投资者现在买进该股票，一年后收到红利2 元之后抛售，则预期资本利得是多少？红利收益率和持有期收益率分别是多少？二、问答题（第1题至第2题，每题10分，第3题至第8题，每题15分，共110分〉l.请解释购买力平价理论，并根据购买力平价理论，阐述一国物价水平和汇率之间存在什么关系？2.如何理解市盈率指标的内涵？在运用市盈率指标时应注意什么？3.试比较分析凯恩斯和弗里德曼的货币需求理论。
《浙江大学高等代数2007-2019年考研真题及答案解析》
目录Ⅰ历年考研真题试卷 (2)浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (2)浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (5)浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (7)浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (9)浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (11)浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (13)浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (15)浙江大学2015年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (16)浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (17)浙江大学2017年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (18)浙江大学2018年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (19)浙江大学2019年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (21)Ⅱ历年考研真题试卷答案解析 (23)浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (23)浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (31)浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (39)浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (46)浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (52)浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (57)浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (64)浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (70)Ⅰ历年考研真题试卷浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：高等代数编号：601注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。
一、（17分）设整系数的线性方程组为),..2,1(,1n i b x ai j nj ij==∑=，证明该方程组对任意整数n b b b ,..,,21都有整数解的充分必要条件是该方程组的系数行列式等于1±。
高等代数考研试题精选
《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
985院校数学系2019年考研数学分析高等代数试题及部分解答
1 北京大学
1
1.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 2019 年高等代数真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
kD0
1/k
Cmk
k
C
1 n
C
1
其中m, n是正整数
Y 1
X 1
四.(15 分) 无穷乘积 .1 C an/ 收敛，是否无穷级数 an 收敛？若是，证明这个
nD1
nD1
结论；若不是，请给出反例.
X 1
ż1
五.(15 分) 设 f .x/ D xn ln x，计算 f .x/dx.
0
nD1
六.(15 分) 设定义 .0, C1/ 上的函数 f .x/ 二阶可导，且 lim f .x/ 存在，f 00.x/ 有 x!C1 界，证明 lim f 0.x/ D 0. x!C1
12 华东师范大学
32
12.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
12.2 2019 年高等代数真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
112019年数学分析真题122019年高等代数真题212019年数学分析真题222019年高等代数真题312019年数学分析真题322019年高等代数真题南开大学10412019年数学分析真题10422019年高等代数真题天津大学13512019年数学分析真题13522019年高等代数真题浙江大学16612019年数学分析真题16622019年高等代数真题华中科技大学18712019年数学分析真题18722019年高等代数真题兰州大学21812019年数学分析真题21822019年高等代数真题东南大学24912019年数学分析真题3101922019年高等代数真题2510上海交通大学271012019年数学分析真题271022019年高等代数真题2811同济大学301112019年数学分析真题301122019年高等代数真题3112华东师范大学321212019年数学分析真题321222019年高等代数真题3313大连理工大学351312019年数学分析真题3514电子科技大学371412019年数学分析真题3715武汉大学391512019年数学分析真题3916华中科大2012年数学分析试题解析4017武汉大学2018年数学分析试题解析4418中南大学2010年数学分析试题解析4819浙江大学2016年数学分析试题解析5420吉林大学2015年数学分析试题解析5821中国科大2015年数学分析试题解析6422中国科大2014年数学分析试题解析6823厦门大学2014年数学分析试题解析7024浙江大学2012年高等代数试题解析74410125历年数学竞赛真题与模拟赛题解析82251第十届全国大学生数学竞赛模拟赛题一解析82252第十届全国大学生数学竞赛模拟赛题二解析85253第十届全国大学生数学竞赛模拟赛题三解析87254第十届全国大学生数学竞赛非数类预赛参考答案90255第九届全国大学生数学竞赛非数类预赛参考答案95256第八届全国大学生数学竞赛数学类决赛试题99参考文献北京大学112019年数学分析真题一
浙江工商大学2017考研真题之856中国文献与文化
浙江工商大学2017 年全国硕士研究生入学考试试卷（B）卷考试科目：856 中国文献与文化总分：(150 分）考试时间：3小时一、名词解释〈共10 小题，每小题6 分，共60 分〉1. 良洛文化2. 宗法制3. 九鼎八肇4. 董仲舒5. 《洛阳伽蓝记》6. 道举7. 陆王心学8. 《文献通考》9. 《囚库总目提要》10. 地方志二、史料阅读与分析（共3 小题，每小题10 分，共30 分）1. 给下面的文字加上标点周蕾日晨不出用乏其食工不出别乏其事商不出则二寅组虞不出用财匮少财匮少而山潭不辟矣此四者民所衣食之原也原大员。
镜原小别群上则富圄下别富家黄富之道莫之毒予而巧者有馀拙者不足故太公望封於管丘地漓卤人民翻至而辐渎故费冠带衣履天寡於是太公勘其女功槌技巧通焦盟别人物蹄之，下海岱之阔敏快而往朝焉其後费中衰管子修之设事里重九府则桓公以霸九合诸侯一匡天下而管氏亦有三留位在陪臣富於列国之君是以费富强至於威宣也（遥自《史言己》卷一百二十九《货殖列傅》〉2. 阅读下面的文字，并解释下划线的字词的意义七月流尘，九月授衣。
一之日劈楼，二之日栗烈，簸衣艇褐，何以卒葳！三之日于裙，因之日恩趾，同我娟子，锺彼南献，回峻至喜。
七月流火，九月遐率。
春日载隔，有喝盒庚。
女孰董忠筐。
遵彼微行，爱求柔桑。
春日渥邃，探繁祁祁。
女心锡悲，殆及公子同醋。
七月流火，八月雀窜，踵月1，条桑，取彼斧所，以伐遥捞，猜彼女桑。
七月喝腾，八月载婿。
截玄载黄，盘盘fil差，局公子裳。
四月秀萎，五月喝搁。
八月其灌，十月隔薄。
一之日於辑：取彼狐狸，属公子袭。
二之日其同，载攒武功。
主韭茎犁，献研於公。
（遥自《薛程·圄凰·翩凰》）3. 阅读下面的文字，并翻译成现代汉语一夫不耕，或受笼子曰t“金魔寅而知槽甜”。
民不足而可治者，自古及今，未之首圈。
古之人曰：＂之凯：一女不娥，或受之寒。
”生之有峙，而用之亡度，则物力必屈。
古之治天下，至娥至悉也，故其畜穰足恃。