《不等关系》ppt课件
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课件高一数学必修：不等关系与不等式PPT课件_优秀版
x
≥
0
y ≥ 0
这是一个二元一次不等式组的问题
例 1 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
解: ∵ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
作差
(a2 2a 15) (a2 2a 8) 变形
7
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0 定符号
转化为数学问题：a 克糖水中含有 b 克糖(a>b>0)，
若再加 m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?
怎么解决这个数学问题?
分析:起初糖水的浓度为 b ,加入 m 克糖后的糖 a
水浓度为 b m ,只要证明 b m b 即可,怎么
am
am a
证呢? 这是一个不等式的证明问题
问题 2: 某杂志以每本 2.5 元的价格发行时，可以售出 8 万 册．经过调查，若价格每提高 0.1 元，销售量就相应减少 2000 册．要使杂志社的销售收入不低于 20 万元，每本杂志的价
得到相反的结论，从而误解。
1.不等关系和不等 0
小
a b ab 0
结
a b ab 0
3.作差法的步骤：
（1）作差→（2）变形→（3）定号→（4）结论
其中，变形的方法有：配方法；因式分解法；通分，分子 /分母有理化等，必要时进行讨论。
4、作商法步骤：（1）作商；（2）变形； （3）判断商与1的大小；（4）结论。
证明: =x2(x－1)+(x－1) ∵ b m b (b m)a (a m)b
作差
a m a (a m)a 今天的天气预报说：明天早晨最低温度t为7℃，明天白天的最高温度t为13℃;
=x2(x－1)+(x－1)
不等关系与不等式 课件
(2)要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条 性质是否具有可逆性．
用不等式(组)表示不等关系
[典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情 况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20 台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：
家电名称 空调
彩电
冰箱
工时(h)
1 2
用不等式性质求解取值范围 [典例] 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值 范围． [解] ∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)， 即－7＜a－b＜2. 故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．
数式的大小比较
[典例] (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与1a的大小． [解] (1)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)x－122＋34. ∵x<1，∴x－1<0.又x－122＋34>0， ∴(x－1)x－122＋34<0. ∴x3－1<2x2－2x.
(2)因为a－1a＝a2－a 1＝a－1aa＋1， 因为a>0，所以当a>1时，a－1aa＋1>0，有a>1a； 当a＝1时，a－1aa＋1＝0，有a＝1a； 当0<a<1时，a－1aa＋1<0，有a<1a. 综上，当a>1时，a>1a； 当a＝1时，a＝1a； 当0<a<1时，a<1a.
用不等式(组)表示不等关系
[典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情 况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20 台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：
家电名称 空调
彩电
冰箱
工时(h)
1 2
用不等式性质求解取值范围 [典例] 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值 范围． [解] ∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)， 即－7＜a－b＜2. 故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．
数式的大小比较
[典例] (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与1a的大小． [解] (1)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)x－122＋34. ∵x<1，∴x－1<0.又x－122＋34>0， ∴(x－1)x－122＋34<0. ∴x3－1<2x2－2x.
(2)因为a－1a＝a2－a 1＝a－1aa＋1， 因为a>0，所以当a>1时，a－1aa＋1>0，有a>1a； 当a＝1时，a－1aa＋1＝0，有a＝1a； 当0<a<1时，a－1aa＋1<0，有a<1a. 综上，当a>1时，a>1a； 当a＝1时，a＝1a； 当0<a<1时，a<1a.
不等关系与不等式 ppt课件
(2)a是负数
a＜0
(3)x与3的和小于6 x+3＜6
(4)x与2的差大于-1 x-2＞-1
(5)x的4倍大于等于7 4x≥7
(6)y的一半小于3
1 2
y＜3
2020/12/2
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不等式和它的基本性质
例1.用不等式表示：
(1) a是负数；(2) a是非负数；
(3) x的6倍减去3大于10；
(4)y的
……
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10
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11
A A
2020/12
1 不等关系
在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工作原理，
并且根据这一原理设计出了一些简单机械，
并把它们用到了生活实践当中．
由此可见，“不相等”处处可见.
从今天起，我们开始学习一类新的数学知识：不等式．
2020/12/2
不等词为_不__少__于__， m 2.5%
用不等式组来表示：_____n___2_._3_%_.
2020/12/2
17
文字语言与数学符号间的转换.
文字语言
数学符号
大于、多于、高于、超过…
>
小于、少于、低于、落后于… <
大于等于、不小于、不少于… ≥
小于等于、不大于、不多于… ≤
2020/12/2
19人的普通票花费
190元
若选择20人的团体票花费 160元
此情况下购买团体票能得到更大实惠.
是否选择团体票就一定实惠？ 若1人去肯定会选择普通票.
那么满足什么样的不等关系时，消费者 能得到更大实惠？
2020/12/2
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例2.某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万 册.经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少 5000册.若设每本杂志的定价提高x元，怎样才能使 杂志社的销售收入超过22.4万元？（不求解）
3-1《不等式与不等关系》课件(共29张PPT)
判断两个实数大小的依据是：
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质Байду номын сангаас基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
因式分解、配方、 通分等手段
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
am a
am a
作差
变形 定符号 确定大小
问题探究（三）不等式的性质的应用
性质１:对称性
a<b
b>a
性质２:传递性
a b，b c a c
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:同正可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
性质５:加法法则 (同向不等式可相加)
故选A．
变式 5、给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________．
[答案] ③
问题探究（四）利用不等式的性质求取值范围
例 6、已知－6<a<8,2<b<3，分别求 2a＋b，a－b，ab的取值范围．
分析:欲求 a－b 的取值范围，应先求－b 的取值范围，欲求 ab的取值范围，应先求1b的取值范围．
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质Байду номын сангаас基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
因式分解、配方、 通分等手段
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
am a
am a
作差
变形 定符号 确定大小
问题探究（三）不等式的性质的应用
性质１:对称性
a<b
b>a
性质２:传递性
a b，b c a c
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:同正可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
性质５:加法法则 (同向不等式可相加)
故选A．
变式 5、给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________．
[答案] ③
问题探究（四）利用不等式的性质求取值范围
例 6、已知－6<a<8,2<b<3，分别求 2a＋b，a－b，ab的取值范围．
分析:欲求 a－b 的取值范围，应先求－b 的取值范围，欲求 ab的取值范围，应先求1b的取值范围．
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.
不等关系与不等式 课件
不等式性质的应用
[探究问题] 1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b<3， ∴13<1b<12， 又∵－6<a<8， ∴－2<ab<4. 你认为正确吗？为什么？
提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变， 但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a<8.不明确 a 值 的正负．故不能将31<b1<21与－6<a<8 两边分别相乘，只有两边都是正数的同向 不等式才能分别相乘．
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？ 提示：不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相 除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意 “创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵－2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
0<x≤18，
x15－2x≥110.
[规律方法] 1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等 关系． 2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间 的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量 即可．
3．用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、 不少于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
3.1《不等关系》课件(北师大版必修5)
4．一个重要结论 a＋m ＞ a. 设 a，b 为正实数，且 a＜b，m＞0，则 b b＋m
1．若b<0，a＋b>0，则a－b的值( A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定 解析： ∵b<0，a＋b>0， ∴a>－b>0，∴a－b>0. 答案： A的速度 v 的最大限速为 120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距 d 不得小于 10 m，用不 等式表示为( ) B．v≤120(km/h)或 d≥10(m) D．d≥10(m)
a 已知 12＜a＜60,15＜b＜36，求 a－b 及b的取值范围．
a 1 欲求 a－b，应先求－b 范围，欲求 ，应先求 范围，再 b b 利用不等式性质可求解．
[解题过程] ∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15. ∴12－36＜a－b＜60－15，∴－24＜a－b＜45. 1 1 1 12 a 60 1 a 又 ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜4. 36 b 15 36 b 15 3 b 1 a ∴－24＜a－b＜45，3＜b＜4.
3.利用不等式的性质判断下列各结论是否成立，并简述 理由． a b (1)若 2> 2，则 a>b； c c 1 1 (2)若 a>b，ab≠0，则a<b； (3)a>b，c>d⇒a－c>b－d； 1 1 (4)若 a>b， > ，则 a>0，b<0. a b
解析：
(1)正确．∵c2≠0，∴c2>0.
某厂使用两种零件A、B，装配两种产品： 甲、乙，该厂的生产能力是月产甲最多2 500 件，月产乙最多1 200件，而组装一件甲需要4 个A,2个B；组装一件乙需要6个A,8个B.某个月， 该厂能用的A最多有14 000个，B最多有12 000 个．用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关 系表示出来．
1．若b<0，a＋b>0，则a－b的值( A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定 解析： ∵b<0，a＋b>0， ∴a>－b>0，∴a－b>0. 答案： A的速度 v 的最大限速为 120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距 d 不得小于 10 m，用不 等式表示为( ) B．v≤120(km/h)或 d≥10(m) D．d≥10(m)
a 已知 12＜a＜60,15＜b＜36，求 a－b 及b的取值范围．
a 1 欲求 a－b，应先求－b 范围，欲求 ，应先求 范围，再 b b 利用不等式性质可求解．
[解题过程] ∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15. ∴12－36＜a－b＜60－15，∴－24＜a－b＜45. 1 1 1 12 a 60 1 a 又 ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜4. 36 b 15 36 b 15 3 b 1 a ∴－24＜a－b＜45，3＜b＜4.
3.利用不等式的性质判断下列各结论是否成立，并简述 理由． a b (1)若 2> 2，则 a>b； c c 1 1 (2)若 a>b，ab≠0，则a<b； (3)a>b，c>d⇒a－c>b－d； 1 1 (4)若 a>b， > ，则 a>0，b<0. a b
解析：
(1)正确．∵c2≠0，∴c2>0.
某厂使用两种零件A、B，装配两种产品： 甲、乙，该厂的生产能力是月产甲最多2 500 件，月产乙最多1 200件，而组装一件甲需要4 个A,2个B；组装一件乙需要6个A,8个B.某个月， 该厂能用的A最多有14 000个，B最多有12 000 个．用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关 系表示出来．
不等关系与不等式ppt课件演示文稿
第五单元
不等式、推理与证明
第一节 不等关系与不等式
基础梳理
1. 不等式的定义：用不等号≠、＞、＜、≥、≤ 连接 两个数或代数式 的式子叫做不等式. 2. 不等式的基本性质 (1)a＞b b＜a; (2)a>b,b>c a > c; (3)a>b a+c > b+c; (4)a>b,c>0 ac > bc; (5)a>b,c<0 ac＜bc; (6)a>b,c>d a+c > b+d; (7)a>b>0,c>d>0 ac > bd; > n b. (8)a>b>0,n∈N*,n>1 an > bn,n a ____
2
易错警示
【例】（2010· 辽宁）已知-1＜x+y＜4且2＜x-y＜3， 则z=2x-3y的取值范围是 （答案用区间表示）.
错解 ∵-1＜x+y＜4，① 2＜x-y＜3，② ∴-3＜-x+y＜-2,③ 1 7 由①+②得 2 ＜x＜2 ，由①+③得-2＜y＜1， ∴1＜2x＜7，-3＜-3y＜6,-2＜2x-3y＜13， ∴z的取值范围是（-2，13）.
变式3-1 已知- 2 ≤ a<b ≤ ，求 2 ， 2 的取值范围． 2 解析：∵- 2 ≤a< 2 ， ① - <b ≤ 2 ， ② ①+②得-p<a+b<p，∴- 2 < 2 < 2 . ∵- 2 <b ≤ 2 ，∴- 2 ≤ -b < 2 . ③ ①+③得-p≤a-b<p，∴- 2 ≤ < . 2 2 又a<b，∴ 2 <0，∴- ≤ 2 <0.
不等式、推理与证明
第一节 不等关系与不等式
基础梳理
1. 不等式的定义：用不等号≠、＞、＜、≥、≤ 连接 两个数或代数式 的式子叫做不等式. 2. 不等式的基本性质 (1)a＞b b＜a; (2)a>b,b>c a > c; (3)a>b a+c > b+c; (4)a>b,c>0 ac > bc; (5)a>b,c<0 ac＜bc; (6)a>b,c>d a+c > b+d; (7)a>b>0,c>d>0 ac > bd; > n b. (8)a>b>0,n∈N*,n>1 an > bn,n a ____
2
易错警示
【例】（2010· 辽宁）已知-1＜x+y＜4且2＜x-y＜3， 则z=2x-3y的取值范围是 （答案用区间表示）.
错解 ∵-1＜x+y＜4，① 2＜x-y＜3，② ∴-3＜-x+y＜-2,③ 1 7 由①+②得 2 ＜x＜2 ，由①+③得-2＜y＜1， ∴1＜2x＜7，-3＜-3y＜6,-2＜2x-3y＜13， ∴z的取值范围是（-2，13）.
变式3-1 已知- 2 ≤ a<b ≤ ，求 2 ， 2 的取值范围． 2 解析：∵- 2 ≤a< 2 ， ① - <b ≤ 2 ， ② ①+②得-p<a+b<p，∴- 2 < 2 < 2 . ∵- 2 <b ≤ 2 ，∴- 2 ≤ -b < 2 . ③ ①+③得-p≤a-b<p，∴- 2 ≤ < . 2 2 又a<b，∴ 2 <0，∴- ≤ 2 <0.
《不等关系》课件
总结
定不等（不等于）的关系，包 括大于、小于、大于等于、小于等于、不等于等。
应用
掌握不等关系能够帮助开发者编写更加复杂的程序，并进行更加复杂的数据分析。
重要性
理解不等关系有利于掌握程序的逻辑性，避免因数据关系而出现程序BUG。
不等关系PPT课件
了解不等关系，掌握编程中应用技巧。
什么是不等关系
定义
不等关系指两个数据之间的关系不是相等（等于）的关系，而是不等（不等于）的关系。
范例
包括大于、小于、大于等于、小于等于、不等于等。
提醒
理解不等关系有助于理解Python的复杂逻辑。
大于和小于
大于
用符号">"表示。例如：5 > 3
小于
用符号"<"表示。例如：3 < 5
应用
数轴上的点也可以用大于小于描 述，如x > 3。
大于等于和小于等于
1 大于等于
2 小于等于
3 几何意义
用符号">="表示。例如： 5 >= 5
用符号"<="表示。例如： 3 <= 5
不等式可以用来描述数值 的大小关系，从而表示数 量关系、大小关系等几何 意义。
2
循环语句
使用while和for循环，根据不等关系执行不同的次数。例如：for i in range(1,10): print(i)。
3
逻辑运算
使用逻辑运算符（and、or、not）结合不等关系，判断多个条件的复杂情况。 例如：if x >= 10 and x < 20: print("x在10到20之间")。
不等式及其基本性质-第1课时-不等关系课件数学沪科版七年级下册
事物之间的数量关系，除了“相等”之外，还会有“不等” 的情况.在解决实际问题时，对于等量关系，可以利用 等式（包括方程、方程组）来刻画；对于不等量之间 的关系，我们则用不等式来刻画.
知识点 不等号与不等关系
在前面的学习中，已知知道两个数或同类的量比较，有相 等关系，也有不等关系，并讨论它们的性质.
2.某市某天的最高气温是33 ℃，最低气温是24 ℃，则该市这一天 的气温t(℃)的变化范围是( D ) A．t＞33 B．t≤24 C．24＜t＜33 D．24≤t≤33
1.下列式子是不等式的有( D )
①2x＝20；②3>2；③x≠4－3；④5a＋6b; ⑤ x＞2y；⑥1≤3x＋5y；
⑦ ab mn ；⑧ 5 ＞3.
32
x
A．2个 B．3个 C．4个
D．5个
导引：判断一个式子是否为不等式的关键在于式子中是否含有 “≠”“＞”“＜”“≥”“≤”，由此可知②③⑤⑥⑧是不等式．
2.下列数量关系用不等式表示错误的是( D ) A．若a是负数，则a＜0 B．若m的值小于1，则m＜1
C．若x与－1的和大于0，则x－1＞0
a 是非正数 a 是非负数 a，b 同号 a，b 异号
符号表示 a>0 a< 0 a≤0 a≥0 ab > 0 ab < 0
例 列不等式： (1)a与1的和是正数：____a_＋__1_>_0___； (2)a与3的和小于－3：___a_＋__3_<_－__3__； (3)a与－2的差大于5：__a_－__(_－__2_)>__5_； (4)a的5倍小于10：____5_a_<_1_0____； (5)a的三分之一大于－7：____13_a_>_－__7___.
《不等关系》课件
你知道吗
你还记得小孩玩的翘翘板吗？你想过它的 工作原理吗？ 其实，翘翘板就是靠不断改变两端的重量 对比来工作的。
在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工 作原理，根据这一原理设计出了一些简单机械， 并把它们用到了生活实践当中。
由此可见，“不相等”处处可见。从今天起， 我们开始学习一类新的数学知识：不等式。
如果要使正方形的面积不大于25cm2,那么 绳长ℓ 应满足怎样的关系式？ 要使正方形的面积不大于25cm2，就是
l ≤ 25 4
2
即
l 2 ≤ 25 16
2、如图，用一根长 度为ℓ cm 的绳子， 围成一个圆。
如果要使圆的面积不小于100cm2,那么绳长 ℓ 应满足怎样的关系式？
要使圆的面积不小于25cm2，就是
请问:正方形和圆的面积哪个大?
s正方形
当ℓ =12cm时 l 2 122 l 2 122 36 9cm s圆 cm 16 16 4 4
∴圆的面积大
如图，用两根长度均为ℓ cm 的绳子， 分别围成一个正方形和圆。
请问:正方形和圆的面积哪个大?
我们可以猜想，用长度均为ℓ cm的两根绳子分别围成 一个正方形和圆，无论ℓ 取何值，圆的面积总大于正 方形的面积，即： 2 2
知识回顾 我们学过等式，请问什么叫等式？ 用等号表示相等关系的式子叫等式。
我们知道相等关系的量可以利用等式来描述；同 比如，研究表明同学们每天睡觉的时间要不少于 9小时；体育考试中合格的分数要不低于60分。
时，现实生活中还存在许多反映不相等关系的量。
请同学们也举一些不相等关系的例子。
问题探究
1、如图，用一根长 度为ℓ cm 的绳子， 围成一个正方形。
l ≥ 100 2
你还记得小孩玩的翘翘板吗？你想过它的 工作原理吗？ 其实，翘翘板就是靠不断改变两端的重量 对比来工作的。
在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工 作原理，根据这一原理设计出了一些简单机械， 并把它们用到了生活实践当中。
由此可见，“不相等”处处可见。从今天起， 我们开始学习一类新的数学知识：不等式。
如果要使正方形的面积不大于25cm2,那么 绳长ℓ 应满足怎样的关系式？ 要使正方形的面积不大于25cm2，就是
l ≤ 25 4
2
即
l 2 ≤ 25 16
2、如图，用一根长 度为ℓ cm 的绳子， 围成一个圆。
如果要使圆的面积不小于100cm2,那么绳长 ℓ 应满足怎样的关系式？
要使圆的面积不小于25cm2，就是
请问:正方形和圆的面积哪个大?
s正方形
当ℓ =12cm时 l 2 122 l 2 122 36 9cm s圆 cm 16 16 4 4
∴圆的面积大
如图，用两根长度均为ℓ cm 的绳子， 分别围成一个正方形和圆。
请问:正方形和圆的面积哪个大?
我们可以猜想，用长度均为ℓ cm的两根绳子分别围成 一个正方形和圆，无论ℓ 取何值，圆的面积总大于正 方形的面积，即： 2 2
知识回顾 我们学过等式，请问什么叫等式？ 用等号表示相等关系的式子叫等式。
我们知道相等关系的量可以利用等式来描述；同 比如，研究表明同学们每天睡觉的时间要不少于 9小时；体育考试中合格的分数要不低于60分。
时，现实生活中还存在许多反映不相等关系的量。
请同学们也举一些不相等关系的例子。
问题探究
1、如图，用一根长 度为ℓ cm 的绳子， 围成一个正方形。
l ≥ 100 2
不等关系和不等式PPT课件
练 习 ： 比 较 2a
2
+3和 4a的 大 小 .
1 练习 2.已知 a R 且 a 1, 比较 1 a 与 1 a 的大小.
例3 比较大小
1．
1 3 2
和
b bm 2． 和 (a, b, m R ) a am
3、设 a 0 且
比较 log t 1 a 2
(×) a>b>0,c>d>0
性质1 a b b a (反身性) 性质2 a b , b c a c (传 递 性) 性质3 a b a c b c (可 加 性) 性质4 a b , c d a c b d 性质5 a b , c 0 ac bc (可 乘 性) a b , c 0 ac bc
n n
n n
性质8：若 a b 0, 则 a b (n N且n 1)
例题讲析
c c 例1：已知 a b 0, c 0. 求证： . a b
练习1 （1）已知
1 1 a b, ab 0.求证： . a b
（2）已知
a b 0, c d 0.求证ac bd.
性质3 如果a > b , 那么a + c > b + c .
可 加 性
性质4 如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.
性质5 如果a>b,且c>0,那么ac>bc; 如果a>b,且c<0,那么ac<bc.
可 乘 性
性质6 如果a>b>0,且c>d>0,那么ac>bd.
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导.学. .固 思
问题1 上述情境中的x,y满足的不等式分别为: 9x+4y≤3600 , 4x+5y≤2000 , 3x+10y≤3000 ,x≥0,y≥0.
问题2 作差法比较大小的依据是什么? (1)a>b⇔ a-b>0 ;(2)a=b⇔ a-b=0 ;(3)a<b⇔ a-b<0 . 要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的 差 与 0 的大小关系即可.
导.学. .固 思
第1课时 不 等 关 系
导.学. .固 思
1.了解现实世界和日常生活中存在的不等关系. 2.了解不等式的意义,会列不等式表示数量关系. 3.会用实数的基本理论来比较两个代数式的大小. 4.掌握作差比较大小的基本步骤,并且能灵活应用来解 决一些实际问题.
导.学. .固 思
咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯分别用奶粉9 g,咖 啡4 g,糖3 g;乙种饮料每杯分别用奶粉4 g,咖啡5 g,糖10 g. 已知每天使用原料限额为奶粉3600 g,咖啡2000 g,糖3000 g, 设每天应配制甲种饮料x杯,乙种饮料y杯,你能写出满足上述 条件的所有不等式吗?
1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活 中存在着大量的不等关系,体会不等式(组)对 于刻画不等关系的意义和价值 2.体会线性规划的基本思想,借助几何直观解 决一些简单的线性规划问题 3.通过实例,体验数学与日常生活的联系,感受 数学的实用价值,增强应用意识,提高实践能力
基本不等式
1.学会推导并掌握基本不等式
用不等关系解决实际问题 六一节日期间,某商场儿童柜台打出广告:儿童商品按标 价的 80%出售;同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按 如下方案获得相应金额的奖券:(如表所示)
导.学. .固 思
用作差法比较大小 比较a4-b4与4a3(a-b)的大小.
【解析】a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b) =(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3) =(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)] =-(a-b)2(3a2+2ab+b2) =-(a-b)2[( ������a+ ������ )2+������������������]≤0(当且仅当 a=b 时取等号).
问题4 比较大小的步骤和关键点
(1)步骤:作差→ 变形 → 定号 → 结论 .
(2)关键点:变形是比较大小的关键,变形的目的在于 判断差 的符号 ,而不必考虑差的值是多少.常用方法有 通分
、 配方 、 因式分解 、 有理化 等.作商法类似
作差法.
导.学. .固 思
1 某工厂在招标会上,购得甲材料x吨,乙材料y吨,若维持工厂
第三章 不等式
导.学. .固 思
知识点
层次要求
新课程标准的要求
领域目标要求
1.通过具体情景,了解不等式(组)的实际背景,借助数轴,能从“形”
不等关系与不等式
一元二次不等式
二元一次不等式 (组)及简单的线性 规划问题
和“数”两个方面来认识不等式 2.理解不等式的性质,能运用不等式的性质证明简单不等式以及解不 等式 1.掌握求解一元二次不等式的基本方法 2.掌握一元二次不等式在实际问题中的应用 3.了解简单的一元高次不等式和分式不等式的解法 1.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等 式组 2.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解 决
a>b>0,故������>1,a-b>0,
������
∴(������������)a-b>1,即������������������������������������������������>1,又 abba>0,∴aabb>abba, ∴aabb 与 abba 的大小关系为:aabb>abba.
4 比较 x2+3 与 3x 的大小,其中 x∈R.
【解析】∵(x2+3)-3x=x2-3x+3=[x2-3x+(������)2]-(������)2+3=(x-������)2+������≥������>0,
������
������
������ ������ ������
∴x2+3>3x.
导.学. .固 思
正常生产,甲、乙两种材料总量至43;y>120
B.x+y<120
C.x+y≥120
D.x+y≤120
【解析】A是表示总量大于120吨,B表示总量小于120吨,D表示 总量不多于120吨(即至多120吨),因为甲、乙两种材料总量至少需 要120吨,故应为x+y≥120.
导.学. .固 思
问题3 作商法比较大小的依据是什么?
设a,b∈R,且a>0,b>0.(1)a>b⇔
������>1
������
;(2)a=b⇔
������=1
������
;(3)a<b⇔
������<1
������
.
要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的 商
与 1 的大小关系即可.
导.学. .固 思
2 设 a=3x2-x+1,b=2x2+x,x∈R,则( C ). A.a>b B.a<b C.a≥b D.a≤b
【解析】∵a-b=x2-2x+1=(x-1)2≥0,∴a≥b.
3 若 a>0,b>0,则 a+ b > 等号).
a + b(填上适当的等号或不
【解析】∵a>0,b>0,∴( ������+ ������)2=a+b+2 ������������,( ������ + ������)2=a+b, ∴( ������+ ������)2>( ������ + ������)2,即 ������+ ������> ������ + ������.
������ ������
∴a4-b4≤4a3(a-b).
导.学. .固 思
用作商法比较大小 已知 a>b>0,比较 aabb 与 abba 的大小.
【解析】∵������������������������������������������������=������������������������--������������=(������������)a-b,又