数学ppt课件

k (x)2 ()(x)2
1
k k
2
随着K的取之不同,极限值不同 即极限值不存在,所以 f (x, y)不可微
f
(x,
y)
xy sin
x2
1
y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
讨论在(0,0)点处可微 性
简单偏导数计算
导数
隐函数偏导数计算 复合函数偏导数计算
函数高偏导数计算
设u=f(x,y,z)具有连续的二阶偏导数,并且函数
总结
不定积分 定积分 多元函数 级数 一阶微分方程
不定积分 分部积分法 分式的积分
e
1 ln x dx ______(06 07)
e
e
1
e
1 ln x dx 1 ( ln x)dx 1 (ln x)dx
e
e
1 1
xd
ln
x
x
ln
x
1 1
x
ln
x
e 1
e
xd ln x
1
e
e
1 e1 e1 e (e 1) 2 2e1
2 0
co s2n x sin2n x cos2n
x
dx
2A
2 0
(
sin
sin2n x 2n x cos2n
x
co s2n x sin2n x cos2n
x
)dx
g
2 1dx
2
0
2
A 2
4
应用:面积、体积(旋转体体积) 书:190页-- 196页
b
S a f (x)dx
b
V a S(x)dx
+
0t
1
2 et
dt
Байду номын сангаас
1 2
3 2
1 4
1 2
4
多元函数
极限 连续 导数 微分 应用(极值最值问题) 二重积分
f
(x,
y)
xy , x2 y2
0,
(x, y) (0, 0) (x, y) (0, 0)
极限
讨论在(0,0)点处可微性 连续
若可微则有 z Ax By ()
导数
即
() z Ax By
1 2
p
1
(2)设广义积分 0 ekxdx收敛,则k ____
0 ekxdx 1 ekx 0 lim 1 ek 1
k
k
k 0
计算
1
x2
dx (1
x)
________(06
07)
1
x2
dx (1
x)
1 x 1 [ x2
1 (1
]dx x)
(
1
1 x2
1 )dx x
1 x
1
ln
x
1
ln(1
x)
1
ln(1 1 ) 1 1 ln 2 x 1 x1
函数
( )=
+ 0
x
1e
xdx
(
1 2
)=
, (1)=1
( 1)=()= !
求
+ 0
x2exdx
(3) 2(2) 2! 2
求
+ 0
x
2e
x2
dx
令t x2, xt
+ 0
tet
1 2t
dt
1 2
00
f '(x) x2 et2 dt 0
求 f ''(x)
f ''(x) 2xgex4
四、计算:
对比这不定积分计算
1、换元法(特别是三角还原) 2、分部积分法 3、分式的积分
公式:书150页和书161页
注意:进行还原时要换限
特殊:
奇偶性计算及证明
a
a
a f (x)dx 0 [ f (x) f (x)]dx
利用定积分计算: lim (
n
n 1 n3
n2 n3
...
lim 1 ( n 1 n 2 ... n n )
n n n
n
n
nn n3
)
(06—07)
lim 1 ( 1 1 1 2 ... 1 n )
n n lim 1 n 1 i
n
1
n
n31
1 xdx 2 (1 x)2 4
a
a
f
( x)dx
2 0,
a 0
f
( x)dx,
f (x)偶函数 f (x)奇函数
书187页
三角:
若f(x)在[0,1]上连续
(1)02 f (sin x)dx 02 f (cos x)dx
(2)0
xgf (sin x)dx
2
0
f (sin x)dx
02 f (cos x)dx
x sin x
b
b
a f (x) dx a f (x)dx
Vx
b
[
f
(
x)]2
dx
a
Vy
b[ f ( y)]2 dy
a
Vx
b
[
f
(x)]2
dx
a
b[g(x)]2 dx
a
广义积分(敛散性、计算)
1、无限
1
1 x
dx的敛散性是
1, 1,
2、无界
发散 收敛
书:202例2
1
0
1 x
dx的敛散性是
1, 1,
P--级数:
发散 收敛
书:204例4
n1
1 的敛散性是 np
p p
1, 1,
发散 收敛
书:221例1
(1)n
n1
p 0,
1 的敛散性是 np
p p
1, 0,
发散 绝对收敛 条件收敛
(1)
11 0 x
dx和级数
n=1
n12p同时收敛,
则p满足
练习册模拟十七
p 1 2 p 1
n n i1 n 0
3
3
0
22 3
1 利用定积分计算:nlim n2 (
n
2n
3n ....
n2 )
(06—07)
lim 1 ( 1 2 ... n )
n n n n
n
二、定积分的性质:
1、单调性:
b
b
f (x) g(x) a f (x)dx a g(x)dx
2、积分中值定理:
b
其中
lim
0
(
)
0,
A=z'x
,B=z'y
可微性
A
f
'x
lim
x0
f (0 x, 0) x
f (0, 0)
0,同理B
0
xy
() lim z lim 0 0
(x)2 (y)2 (x)2 (y)2
lim
0
xy (x)2 (y)2
设y kx,即y kx
lim
0
xy (x)2 (y)2
a
f
(x)dx
f
()(b a)
平均值: f ( ) 1
b
f (x)dx
ba a
三、变上限积分:
x
( f (t)dt) ' f (x)
a
洛必达定理
等式两边同时求导
换元
x
x
a xf (t)dt xa f (t)dt
已知
f (x)
x
du
u2 et2 dt
00
f (x)
x
(
u2 et2 dt)du
0 1 cos2 x dx
0
x 1
sin x cos2
x
dx
2
0
sin x 1 cos2
x
dx
2
0
1
1 cos2
x
d
cos
x
2
arctan(cos
x)
0
2
4
A
x sin2n x
0
sin2n
x cos2n
dx x
A
2 0
sin2n x sin2n x cos2n
x
dx
dx x(1 x2
)
________
(05
06)
(
1 x
1
x x2
)dx
ln
x
1 2
1
1 x2
d
(
x2
1)
ln x 1 ln(1 x2) c 2
定积分
一、定积分定义计算
b
n
a
f (x)dx
lim
0 i1
f (i )xi
书:175页
b
a
f
(x)dx
n
lim
0 i1
f
(i )xi