专题一等腰三角形的存在性问题解题策略

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等腰三角形存在性问题的解决策略

《等腰三角形存在性问题的解决策略》学习单问：等腰三角形有哪些主要的性质？出示问题1：已知△ABC中，一边AB=3，另两边BC=t，AC=2t-4,若△ABC是等腰三角形则t=出示问题2：如图在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, AB=10cm,AC=8cm,动点D从C出发沿着CB 以1cm/s的速度向终点B移动，动点E从B出发沿BA以3cm/s的速度向终点A移动，两点同时出发,当一点到达终点时另一点也随之停止。

设运动的时间为t（s）（1）用t的代数式表示BE与BD的长；BE= ，BD= ；（2）是否存在时间t ，使△DBE是等腰三角形；若存在，求出所有符合条件的t的值；（3）以BE,BD为邻边做平行四边形BDFE,是否存在时间t，使得EF平分∠AED或者DF平分∠CDE,若存在求出相应的时间t的值。

问题2拓展：如图在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, AB=10cm,AC=8cm,动点D从C出发沿着CB以1cm/s的速度向终点B移动，动点E从B出发沿BA以3cm/s的速度向终点A移动，两点同时出发,当一点到达终点时另一点也随之停止。

设运动的时间为t（s）（4）以BE,BD为邻边做平行四边形BDFE,过点D,E,F做圆☉O,当t取何值时，☉O与△ABC的边BC或AB 相切。

问题3、已知△ABC中，AB=AC=5，BC=8，P是线段BC上的动点（不包括端点）作∠APQ=∠B,交AC于Q, （1）求证∆ABP ∼∆PCQ（2）设CP=t,是否存在一点P ,使得△APQ是等腰三角形；若存在求出相应的t值，若不存在说明理由。

拓展：如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点H，连接BC.CD=24,BC=15.(1)求tan∠DCB的值;(2)P是劣弧AC上的动点,连接PD交AB于点E,当△APE为等腰三角形时,求AE的值.作业1、已知一个等腰三角形有两边长为4,6，则它的周长为，面积为作业2、如图在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°, AB=10cm,BC=6cm ，点E 是斜边AB 上的动点，当△BCE 是等腰三角形时，求BE 的长；作业3、如图直线343+-=x y 与坐标轴交于点A,B,动点C 从O 出发沿x 轴正方向运动，同时动点E 从A 出发沿AB 向点B 运动，过点C 作C D ⊥x 轴，交AB 于点D,动点C,E 的速度均为1单位长度/秒，运动时间为t(秒)，当C 运动到A 时，C,E 的运动停止。

等腰三角形存在性问题解题策略

C1 x
5个点都满足吗？坐标怎么求？
A (1,-2)
变式2
y
如图，已知点A（1，-2），B（3，-1), 试在 x 轴找出点C，使△ABC为等腰三角形，并写出点C的坐标.
C2
H B (3,-1)
C1 x
A (1,-2)
变式2
y
如图，已知点A（1，-2），B（3，-1), 试在 x 轴找出点C，使△ABC为等腰三角形，并写出点C的坐标.
谢谢指导！
若△ABP是等腰三角形，求点B的坐标．
第一步分类
P
①AB = AP
O
②BA = BP
③PA = PB
若△ABP是等腰三角形，求点B的坐标．
第二步画图
①AB = AP
②BA = BP
③PA = PB
第三步计算——具体情况具体分析
A(1,1), P(1,3), B(1, m)且m 3.
2 2 2
② 2 (m 1) (m 3) ③
1 B (1, ) 2
(m 3)2 20 B(1,3 2 5 )
几何法三部曲：
先分类；
代数法三部曲：
先罗列三边；
再分类列方程；后解方程、检验．
再画图；
后计算．
几何法与代数法相结合
几何法
确定目标
代数法
准确定位
几何法与代数法相结合——又好又快
第一步罗列三边（的平方）
AB2 22 (m 1)2
AP 20
2
BP2 (m 3)2
小结用代数法解也很方便
第二步分类列方程
代数法三部曲：
AB 2 (m 1)
2 2

一次函数之等腰直角三角形的存在性 (讲义及答案)

一次函数之等腰直角三角形的存在性(讲义及答案).1. 在正方形网格中，网格线交点称为格点。

已知A、B是两个格点，若点C也是格点且使△ABC为等腰直角三角形，则符合条件的点C只有一个。

2. 做讲义第一题时，先看知识点，再用铅笔计算并将演算保留在讲义上。

如果思路受阻（例如某个点做了2-3分钟），重复上述动作。

如果仍无法解决，重点听课堂讲解。

知识点：1. 解决存在性问题的处理思路①分析不变特征：分析所求图形中的定点、定线、定角等不变特征。

②分类、画图：结合所求图形的形成因素，依据其判定、定义等确定分类，并画出符合题意的图形。

通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形。

③求解、验证：围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解。

验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意。

注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点、线、角；函数背景研究点坐标、表达式等。

2. 等腰直角三角形存在性的特征分析及操作要点：三角形的三个顶点分别为直角顶点进行分类，在直角的基础上，再考虑等腰。

通常借助构造弦图模型进行求解。

精讲精练：1. 如图，直线y=-2x+6与x轴、y轴分别交于点A、B。

点P是第一象限内的一个动点，若以A、B、P为顶点的三角形为等腰直角三角形，则点P的坐标为。

2. 如图，直线y=-x+b与x轴、y轴分别交于点A、B。

点C在直线y=-x+b上，且其纵坐标为1。

△___的面积为。

（1）求直线y=-x+b的表达式及点C的坐标。

（2）点P是第二象限内的一个动点，若△ACP是等腰直角三角形，则点P的坐标为。

3. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)。

点P是y轴正半轴上的一个动点，Q是直线x=3上的一个动点。

若△APQ为等腰直角三角形，则点P的坐标为。

4. 如图，直线y=3x+4与y轴交于点A，点P是直线x=6上的一个动点，点Q是直线y=3x+4上的一个动点，且点Q在第一象限。

第3讲等腰(直角)三角形存在性处理策略

第三讲等腰（直角）三角形的存在性问题处理策略一、两圆一线与两线一圆二、代数解法（SSS法）前提：三边的平方是常数或者是关于某个参数的二次式，根据边或直角分类三、几何解法（SAS法）1等腰三角形的存在性问题前提：三角形有一个不变的内角θ步骤：①用同一个参数表示该不变角相邻的两条边；②以腰为标准分三类列方程。

具体如下：情形一、当定角θ为顶角时，如图3-2-6，有a=b;情形二1等腰三角形的存在性问题、当定角θ为底角且b为腰时，如图3-2-7，有cosθ=a/2b；情形三、当定角θ为底角且a为腰时，如图3-2-8，有cosθ=b/2a.2直角三角形存在性问题法1:若直角三角形有一个不变的锐角θ,可狠抓不变角θ,利用其三角函数列式计法2:依托直角三角形,作“横平竖直”辅助线,造“一线三直角”,利用相似求解3等腰直角三角形存在性问题方法:一般构造“一线三直角”全等,即“K 字型”全等值得一提的是,以上问题,有时还可以结合导角、相似等转化手段进行求解例1、在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=12,点P是这个菱形内部或边上的一点,若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D(两点不重合)两点间的最短距离是_________。

变式1、在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=12,点P是这个菱形外部的一点,若以点P、B、D为顶点的三角形是Z直角三角形，则P、C(两点不重合)两点间的最短距离是_________。

例2、已知点A(3,0),B(0,4),在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，求所有点C的坐标..变式1、已知点A(3,0),B(0,4),在坐标轴上找一点C，使△ABC为直角三角形，求所有点C的坐标..例3、如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．以下是几何解法（一、）显性的不变角（二、例4已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0),C(8,0),D(8,8),抛物线y=ax2+bx+c过A、C两点．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．例5在△ABC中，AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,若AB=10,BC=16,当△APD为直角三角形时，求BP的长变式：在△ABC中，AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点（点P不与B、C重合），且∠ABD=∠B,若AB=10,BC=16,当△APD为等腰三角形时，求BP的长（二）隐形的不变角（三）例6、如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形？若存在，求出此时的t 值；若不存在，请说明理由例7在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)与直线l ：y=x 34,点B 在x 轴正半上，且位于点A 的右侧，过点B 作x 轴的垂线，交直线l 于点C,再过点C 作直线l 的垂线，交x 轴于点D 在BC 上取点E ，使BE=BA,连接OE,并延长，交CD 于点F,当△CEF 为等腰三角形时，求点C 的坐标..练习1、直线y=-x+4与x 轴交于点B,点C 在直线AB 上，在平面直角坐标系中求一点，使得以O 、A 、C 、D 为顶点的四边形是菱形。

第3讲等腰(直角)三角形存在性处理策略

B第三讲等腰（直角）三角形存在性处理策略知识必备一、平面直角坐标系与两点间距离公式如图3-1-1，已知P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），则P 1P 2=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2.证明：如图3-1-2，作系列“水平/竖直辅助线”，易知P 1G =MN =︱x 2− x 1︱，P 2G =P 1N −GN =︱y 2− y 1︱，故P 1P 2=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2.注1：为考虑全面，这里实施绝对值策略，即便两点位置发生变化，上述过程均成立. 注2：此结论用文字语言叙述为“平面直角坐标系中，任意两点之间的距离等于其横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根” . 二、“三线合一”定理与勾股定理1．如图3-1-3，在等腰三角形ABC 中，若AB =AC ，则有AD 平分∠BAC ⇔AD ⊥BC ⇔ BD =CD ，即等腰三角形顶角的角平分线、底边上的高线以及底边上的中线重合，简称“三线合一”定理，其逆命题依旧成立.2．在RtΔABD 中，若∠ADB =90°，则有BD 2+AD 2=AB 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，称为勾股定理，其逆命题依旧成立.3．值得一提的是，常利用“三线合一”定理，将等腰三角形转化为直角三角形解决问题，如图3-1-3，有cos ∠B =BD AB=BC 2AB，此结论常用于解决与等腰三角形相关的存在性问题.三、全等判定方法与确定性分析1．三边分别相等的两个三角形全等，简称“边边边”，记为“SSS ” .2．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简称“边角边”，记为“SAS ” .图3-1-1 图3-1-2图3-1-33．全等是两个三角形之间的关系，若一个三角形具备“SSS ” 或“SAS ”等全等特征，则这个三角形是确定的，必可解.方法提炼一、“两圆一线法”与“两线一圆法”问题1：如图3-2-1，请借助尺规作图，在平面内找出所有的点C ，使△ABC 为等腰三角形.问题2：如图3-2-2，请在平面内找出所有的点C ，使△ABC 为直角三角形.问题3：如图3-2-3，请在平面内找出所有的点C ，使△ABC 为等腰直角三角形. 二、代数解法（“SSS ”法）1．等腰三角形存在性问题前提：该三角形三边的平方为常数或者是关于某个参数的二次式. 步骤：①写出或设出三角形三个顶点的坐标； ②利用两点间距离公式，计算三角形三条边长的平方；③由等腰三角形的三边长（的平方）可以两两相等，需分三类，列方程求解； ④检验求出的点是否符合题意，即能否构成三角形.注：这里指平面直角坐标系中的存在性问题，若无坐标系，可利用勾股定理直接表述出三边（的平方），下同. 2．直角三角形存在性问题只有第③步分类标准不同，即以斜边为标准分三类，列方程求解，其他步骤同上.二、几何解法（“SAS ”法）1．等腰三角形存在性问题前提：该三角形有一个不变的内角θ.图3-2-1图3-2-2图3-2-3步骤：①用同一个参数表示出该不变角相邻的两条边，如图3-2-5； ②以腰为标准分三类，列方程求解，具体如下：情形一：当定角θ为顶角时，如图3-2-6，有a =b ；情形二：当定角θ为底角且b 为腰时，如图3-2-7，有cosθ=a 2b ；情形三：当定角θ为底角且a 为腰时，如图3-2-8，有cosθ=b 2a. 2．直角三角形存在性问题法1：若直角三角形有一个不变的锐角θ，可狠抓不变角θ，利用其三角函数列式计算.法2：依托直角三角形，作“横平竖直”辅助线，造“一线三直角”，利用相似求解. 3．等腰直角三角形存在性问题方法：一般构造“一线三直角”全等，即“K 字型”全等.值得一提的是，以上问题，有时还可以结合导角、相似等转化手段进行求解.实战分析例1 （2016年陕西中考）如图3-3-1，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，AB =2，点P 是这个菱形内部或边上一点，若以点P 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P 、D （P 、D 两点不重合）两点间的最短距离为____________.B图3-2-5图3-2-6图3-2-7图3-2-8图3-3-1反思：“两圆一线法”可精准定位“两定一动”型等腰三角形存在性问题中动点的路径，若是直角三角形存在性问题，可借助“两线一圆法”精准作图，请看下面的变式.变式：如图3-3-3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=2，点P是这个菱形外部的一点，若以点P、B、D为顶点的三角形是直角三角形，则P、C两点间的最短距离为__________.图3-3-4例2 如图3-3-5，已知点A（3，0），B（0，4），在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，求所有点C的坐标.图3-3-5反思：代数解法的最大优势是实现盲解盲算，若精准作图，利用“两圆一线法”找到C点所有位置，如图3-3-6，可直接口算出“两圆”与坐标轴的六个交点，而“一线”与坐标轴的两个交点可利用勾股定理求解.代数解法盲解盲算，“两圆一线”精准定位，两者各具优势，结合使用亦可，以数解形，以形助数，数形结合，百般为好.例3 （2014年苏州中考）如图3-3-8，二次函数y =a (x 2−2mx −3m 2)（其中a ，m 是常数，且a >0，m >0）的图像与x 轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C （0，-3），点D 在二次函数的图像上，CD //AB ，连接AD .过点A 射线AE 交二次函数的图像于点E ，AB 平分∠DAE .（1）用含m 的代数式表示a ；（2）求证：ADAE为定值；（3）设该二次函数图像的顶点为F ，探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ，连接GF ，以线段GF ，AD ，AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.反思：此类含参型二次函数问题属中考的热点压轴题型，需要学生具备一定的代数运算技能，以算代证，应引起重视.中考压轴题的问题设计，往往采用层层递进式的命题方式，解题需要不时“回头看” “没有代数解法是万万不能的，但代数解法也并不是万能的”，这也是部分学生经常做的傻事，遇到等腰（直角）三角形存在性问题，管他三七二十一，上来就是硬算、狂算，到头来一场空，算不下去也有可能，请谨记：“世界上没有绝对的通法.”图3-3-8下面请欣赏所谓的“几何解法” （一）显性的“不变角”例4 如图3-3-11，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8），抛物线y =ax 2+bx 过A 、C 两点.（1）求出抛物线的解析式；（2）动点P 从点A 出发沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G ，连接EQ . ①求EG 的最大值；②在点P 、Q 运动过程中，判断有几个时刻使△CEQ 是等腰三角形？请求出相应的t 值.反思：所谓“几何解法”，就是“抓不变角”，再结合“三线合一”定理等，导比导边，需“眼中有角，心中有比”，即不变的角就是不变的比.图3-3-11例5 如图3-3-15，在△ABC 中，AB =AC ，点P ，D 分别是BC ，AC 边上的点，且∠APD =∠B .若AB =10，BC =16，当△APD 为直角三角形时，求BP 的长.反思：看似两种情形，实则算理一致，只需狠抓不变角，易于掌握，便于实施. 情形二，若不能着急计算，导角得出∠APC =90°，由“三线合一”定理可立秒.变式：如图3-3-18，△ABC 中，AB =AC ，点P ，D 分别为BC ，AC 边上的点（点P 不与B 、C 重合），且∠APD =∠B .若AB =10，BC =16，当△APD 为等腰三角形时，求BP 的长.反思：“眼中有角，心中有比”，利用三角比结合相似比，转化比例，列式计算.情形三，若能不着急计算，导角可得：∠APD =∠ADP >∠C ，引出矛盾，可直接舍去.（二）隐性的“不变角”例6 （2015年湖南怀化中考压轴题）如图3-3-22，已知Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动，它们到C 点后都停止运动，设点P ，Q 运动的时间为t 秒. （1）在运动过程中，求P ，Q 两点间距离的最大值；BB图3-3-15图3-3-18（2）经过t 秒的运动，求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；（3） P 、Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形？若存在，求出此时的t 值；若不存在，请说明理由.反思：本题若采取“代数解法”也并非不可，但计算量颇大，很可能面临无功而返之窘境，并非方法不通，而是运算能力不到位.然“几何解法”需具备敏锐的洞察力，以算代证，发现不变角∠CPQ ，但比较隐藏，难以察觉，事实上，在第二大类中，依然有tan ∠CPQ =CQ CP=2不变.两种解法，各有裨益，孰轻孰重，不好权衡，建议皆会，合理使用，方可自如.例7（自编题）如图3-3-28，在平面直角坐标系中，已知点A （1，0）与直线l ：y =43x ，点B 在x 轴正半轴上，且位于点A 的右侧，过点B 作x 轴的垂线，交直线l 于点C ，再过点C 作直线l 的垂线，交x 轴于点D ，在BC 上取点E ，使BE =BA ，连接OE 并延长，交CD 于点F .当△CEF 为等腰三角形时，求点C 的坐标.A图3-3-22图3-3-28反思：本题表面看上去是一个等腰三角形存在性问题，但通过导角转移，情形一变为“角处理”问题，情形二变为角平分线的处理问题，情形三转化为等腰三角形OCE的存在性问题，真可谓“问山不是山，转化妙无穷” .解题启示：先定性分析，后定量计算.即解题时，莫要着急求边长，可以先考虑导角分析，看看能不能转化成其他常规问题.这里等腰三角形存在性问题的特殊解法，可以与下一讲相似三角形存在性问题中所谓“AA”解法，类比巩固，将更加有趣.总结等腰（直角）三角形存在性问题常见的处理策略有：1.代数法→实现盲解盲算2.几何法→狠抓不变角，“眼中有角，心中有比”3.垂直处理→构造“一线三直角”，即“K字型”4.混和解法→综合以上各种解法，灵活使用.类题巩固1.如图3-4-1，在平面直角坐标系中，直线y=−x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形.图3-4-12.如图3-4-2，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，将△DEF绕点D旋转，点D与AB的中点重合，DE、DF分别交AC于点M、N.若△DMN为等腰三角形，求此时重叠部分（△DMN）的面积.图3-4-23.（2017年新疆乌鲁木齐市压轴题）如图3-4-3，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（-1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）.（1）求该抛物线的解析式；（2）点P事抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E.①PE=2ED时，求P点的坐标；②是否存在点P，使△BEC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.图3-4-34.（2016年镇江中考）如图3-4-4，在菱形ABCD中，AB=6√5，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF.（1）求证：BE=DF；（2）当t=________秒时，DF的长度有最小值，最小值等于________；（3）如图3-4-5，连接BD、EF，BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ 是直角三角形？图3-4-4图3-4-5。

等腰三角形的存在性问题

即为点 C,注意交点的个数可能不唯一,不要漏掉其中任何一个交点,造成漏解 ,如
图 6所示 ;
图6
第 2页
② 以点 B为圆心彳B的长为半径画圆 (或圆弧),则圆 (或圆弧)与直线〃的交点
即为点 C,注意交点的个数可能不唯一,不要漏掉其中任何一个交点,造成漏解,如图 7所示
等腰三角形的存在性问题
关键词等腰三角形分类讨论尺规作图垂直平分线
资料编号 :2m1111"m1
在八年级数学中,学完了等腰三角形的性质和判定后 ,我们会遇到等腰三角形的存在性问题 ,这类问题往往需要学生根据情况分类讨论,确定等腰三角形的各种存在形态 ,然后根据每种形态解决相关问题。然而我看到的是 ,学生不能考虑到每一种可能的形态 ,从而造成漏解。究其原因,我想是学生分类讨论思想方法欠缺 ,不会借助于圆和线段垂直平分线的性质辅助解决问题造成的。
图9
第 3页
若要在 @B边上确定一点 D,使得 △COD为等腰三角形,根据角平分线+平行线模型的特征,我们过点 C作 J叨边的平行线,该平行线与 @B边的交点,即为其中一个点 D的位置 ,如图 10所示,该点 D也是线段 @C的垂直平分线与 @B边的交点,
论:
(1)当 /B为等腰三角形的腰长时 : ① 以点 /为圆心彳B的长为半径画圆,则圆上任一异于直线 /B与圆的交点的点都可以作为点 C,如图 2所示 ;

等腰三角形的存在性问题解题策略(小才完善版)

28、（10分）已知：如图，抛物线)0(22≠+-=a c ax ax y 与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 、B ，点A 的坐标为（4，0）。

（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作QE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CQ 。

当△CQE 的面积最大时，求点Q 的坐标；（3）若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为（2，0）。

问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

28题图24．（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）在直角坐标系中，把点A （－1，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点的纵坐标为2．（1）求这条抛物线的解析式；（2）设该抛物线的顶点为点P ，点B 的坐标为)1m ，（，且3<m ，若△ABP 是等腰三角形，求点B 的坐标。

x图724．（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）解：（1）设抛物线的解析式为2y ax bx c =++点A （－1，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点 A '（3，a ）…………（1分） ∵抛物线与y 轴的交点的纵坐标为2 ∴2=c …………………（1分） ∵ 图像经过点A （－1，a ）、A '（3，a ）∴⎩⎨⎧=++=++a c b a a c b a 9…………………（1分）解得 ⎩⎨⎧=-=21b a …………………（2分）∴222++-=x x y …………………（1分）（2）由222++-=x x y =()312+--x 得P(1，3) 52=AP ……………（1分）∵△ABP 是等腰三角形,点B 的坐标为)1m ，（,且3<m （Ⅰ）当AP=PB 时，52=PB ，即 523=-m ………………（1分） ∴523-=m …………………（1分）（Ⅱ）当AP=AB 时()()()()22221113111m --+--=--+--解得5,3-==m m ……………………………………（1分） 3=m 不合题意舍去，∴5-=m …………………（1分）（Ⅲ）当PB=AB 时()()()()2222111311m m --+--=-+-解得21=m ……………………………………（1分）∴当523-=m 或-5或21时，△ABP 是等腰三角形.25.（本题满分14分）如图，在ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG .（1）试求ABC ∆的面积；（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长；（3）设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数C关系式，并写出定义域；（4）当BDG ∆是等腰三角形时，请直接写出AD 的长.25、解：（1）过A 作BC AH ⊥于H ，∵6,5===BC AC AB ， ∴321==BC BH .则在ABH Rt ∆中，422=-=BHABAH ，—————————（2分）∴1221=∙=∆BC AH S ABC .————————————————（1分）（2）令此时正方形的边长为a ，则446a a -=，———————————————————————（2分）解得512=a .————————————————————————（1分）（3）当20≤x 时，——————————————————————（1分）22253656x x y =⎪⎭⎫⎝⎛=.———————————————————（1分）当52 x 时，——————————————————————（1分）()2252452455456x x x x y -=-⋅=.——————————————（2分）（4）720,1125,73125=AD .————————————————（1+1+1=3分） 20、（2009•上海）在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM ∥x 轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y=x+b （b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，连接OD ．（1）求b 的值和点D 的坐标；（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的圆P 与圆O 外切，求圆O 的半径．考点：切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。

等腰三角形的存在性问题解题策略

中考数学压轴题解题策略（1）等腰三角形的存在性问题解题策略《挑战中考数学压轴题》的作者上海马学斌专题攻略如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．例题解析例❶ 如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3, 4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．图1-1【解析】分三种情况讨论等腰三角形△DOP：①DO＝DP，②OD＝OP，③PO＝PD．①当DO＝DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P，此时点D 在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为(6, 0)（如图1-2）．②当OD＝OP＝5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P(5, 0) （如图1-3）．③当PO＝PD时，画OD的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图1-4）．在Rt△OPE中，3cos5OEDOPOP∠==，52OE=，所以256OP=．此时点P的坐标为25(,0) 6．图1-2 图1-3 图1-4上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P，其中①和②画好图就知道答案了，只需要对③进行计算．代数法先设点P的坐标为(x, 0)，其中x＞0，然后罗列△DOP的三边长（的平方）．DO2＝52，OP2＝x2，PD2＝(x－3)2+42．①当DO＝DP时，52＝(x－3)2+42．解得x＝6，或x＝0．当x＝0时既不符合点P在x轴的正半轴上，也不存在△DOP．②当OD＝OP时，52＝x2．解得x＝±5．当x＝－5时等腰三角形DOP是存在的，但是点P此时不在x轴的正半轴上（如图1-5）．③当PO＝PD时，x2＝(x－3)2+42．这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义是两条直线（x轴和OD的垂直平分线）有且只有一个交点．代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验．图1-5例❷ 如图2-1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A 出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动的过程中，当△PQC 为等腰三角形时，求t的值．图2-1【解析】在P、Q两点移动的过程中，△PQC的6个元素（3个角和3条边）中，唯一不变的就是∠PCQ的大小，夹∠PCQ的两条边CQ＝t，CP＝10－2t.因此△PQC符合“边角边”的解题条件，我们只需要三个∠C就可以了，在∠C的边上取点P或Q画圆．图2-2 图2-3 图2-4①如图2-2，当CP＝CQ时，t＝10－2t，解得103t=(秒).②如图2-2，当QP＝QC时，过点Q作QM⊥AC于M，则CM152PC t ==-.在Rt△QMC中，45cos5CM tQCMCQ t-∠===，解得259t=(秒).③如图2-4，当PQ＝PC时，过点P作PN⊥BC于N，则CN.在Rt △PNC 中，142cos 5102t CN PCN CP t∠===-，解得8021t =(秒). 这道题中，我们从“有限”的矩形中，选择我们需要的“无限”的∠PCQ ，使得画图简洁，计算简练．例❸ 如图3-1，直线y ＝2x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，直线PQ 与直线AB 垂直，交y 轴于点Q ，如果△APQ 是等腰三角形，求点P 的坐标．图3-1【解析】我们先用代数法解这道题．由y ＝2x ＋2得，A (－1，0)，B (0，2)．所以OA ＝1，OB ＝2．如图3-2，由于∠QP A ＝∠ABO ，所以OP ∶OQ ＝OB ∶OA ＝2∶1．设点Q 的坐标为(0，m )，那么点P 的坐标为(2m ，0)．因此AP 2＝(2m ＋1)2，AQ 2＝m 2＋1，PQ 2＝m 2＋(2m )2＝5m 2．①当AP ＝AQ 时，解方程(2m ＋1)2＝m 2＋1，得0m =或43m =-．所以符合条件的点P 不存在．②当P A ＝PQ 时，解方程(2m ＋1)2＝5m 2，得2m =．所以(4P +． ③当QA ＝QP 时，解方程m 2＋1＝5m 2，得12m =±．所以(1,0)P ．图3-2 图3-3 图3-4我们再用几何法验证代数法，并进行比较．如图3-3，在直线PQ 平移的过程中，根据“两直线平行，同位角相等”，可知∠QPO 的大小是不变的，因此△PQA 也符合“边角边”的解题条件，我们只需要三个∠P ，点P 在点A 的右侧，暂时不画y 轴（如图3-4）．①如果AP ＝AQ ，以A 为圆心、AP 为半径画圆，得到点Q （如图3-5）．因为点Q 在y 轴上，于是“奇迹”出现了，点A (－1, 0)怎么可以在y 轴的右侧呢？图3-5 图3-6②当P A ＝PQ 时，以P 为圆心、P A 为半径画圆，得到点Q ，再过点Q 画y 轴．此时由21m +，解得2m =(4P +（如图3-6）．请问代数法解得的点(4P -在哪里？看看图3-7就明白了．③当QA ＝QP 时，点Q 在AP 的垂直平分线上，由于A (－1, 0)，所以P (1, 0) （如图3-8）．我们可以体验到，几何法可以快速找到目标，而且计算比较简便．图3-7 图3-8例❹ 如图4-1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0, m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．当△APD 是等腰三角形时，求m 的值．图4-1【解析】点P (0, m )在运动的过程中，△APD 的三个角都在变化，因此不符合几何法“边角边”的解题条件，我们用代数法来解．因为PC //DB ，M 是BC 的中点，所以BD ＝CP ＝2－m ．所以D (2, 4－m )．于是我们可以罗列出△APD 的三边长（的平方）：22(4)AD m =-，224AP m =+，2222(42)PD m =+-．①当AP ＝AD 时，22(4)4m m -=+．解得32m =（如图4-2）． ②当P A ＝PD 时，22242(42)m m +=+-．解得43m =（如图4-3）或4m =（不合题意，舍去）． ③当DA ＝DP 时，222(4)2(42)m m -=+-．解得23m =（如图4-4）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图4-2 图4-3 图4-4其实①、②两种情况，可以用几何说理的方法，计算更简单：①如图4-2，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以12PC MB CM BA ==．因此12PC =，32m =． ②如图4-3，当P A ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43m =．例❺ 如图5-1，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，点D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，∠ADE ＝∠B ．设BD 的长为x ，如果△ADE 为等腰三角形，求x 的值．图5-1【解析】在△ADE 中，∠ADE ＝∠B 大小确定，但是夹∠ADE 的两条边DA 、DE 用含有x 的式子表示太麻烦了．本题的已知条件∠ADE ＝∠B ＝∠C 非常典型，由于∠ADC ＝∠ADE ＋∠1，∠ADC ＝ ∠B ＋∠2，∠ADE ＝∠B ，所以∠1＝∠2．于是得到典型结论△DCE ∽△ABD ．①如图5-2，当DA ＝DE 时，△DCE ≌△ABD ．因此DC ＝AB ，8－x ＝6．解得x ＝2． ②如图5-3，如果AD ＝AE ，那么∠AED ＝∠ADE ＝∠C ．由于∠AED 是△DCE 的一个外角，所以∠AED ＞∠C ．如果∠ADE ＝∠C ，那么E 与C 重合，此时D 与B 重合，x ＝0．③如图5-4，当EA ＝ED 时，∠DAE ＝∠ADE ＝∠B ＝∠C ，所以△DAC ∽△ABC ．因此8668x -=．解得72x =．图5-2 图5-3 图5-4马学斌2015年9月13日星期日To ：《中小学数学·初中版》北京市海淀区西三环北路105号（首都师大）数学楼118室，100048。

初二暑假专题一等腰三角形的存在性问题

OyPx 专题一：等腰三角形的存在性问题【专题攻略】如果△ABC 是等腰三角形，那么存在、、三种情况。

已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线。

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快。

几何法一般分为三步：、、。

代数法一般也分为三步：、、。

【引题】如图1，在平面直角坐标系中，已知点D 的坐标为（3,4），点P 是x 轴正半轴上的一个动点，如果△DOP 是等腰三角形，求点P 的坐标。

【例题精析】例1 已知△ABC 的三边长分别为3、4、6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A. 6条B. 7条C. 8条D. 9条例2 如图2，在直角梯形ABCD 中，AD//BC,∠C=90°，BC=12,AD=18,AB=10.动点P ,Q 分别从点D 、B 同时出发，动点P 沿射线DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 在线段BC 上以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当点Q 运动到点C 时，点P 随之停止运动．设运动的时间为t （秒）．射线PQ 与射线AB 相交于点E ，△AEP 能否为等腰三角形？如果能，请求t 的值；如果不能，请说明理由．B Oxy AyCxB AlO 例3（14年金华中考）如图，直角梯形ABCO 的两边OA 、OC 在坐标轴的正半轴上，BC//x 轴，OA=OC=4，点B 坐标为（2,4）；直线l:y=x-3与x 轴交于点G ，在梯形ABCO 的一边上取一点P 。

过点P 作x 轴、直线l 的垂线，垂足分别为E 、F 。

是否存在这样的点P ，使以P 、E 、F 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

【题组训练】1．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC ∆为等腰三角形．．．．．，则点C 的个数是（）A ．6B ．7 C.8D ．92.已知点A 的坐标为（3,1），O 为坐标原点，在坐标轴上找一点B,使△ABO 是等腰三角形，则满足条件的点B 有个，坐标为3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (0，3)，点C 在坐标平面内．若以A 、B 、C 为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30º，则满足条件的点C 有个4．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠.B AOCAxyB（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），P M N △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN△的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.6、如图，一次函数b kx +=y 图象与x 轴、y 轴于B 、C 两点，且直线上一点A 点坐标为（3,2），△AOC 的面积为6。

一次函数等腰直角三角形存在性问题教案

专题：一次函数中等腰直角三角形存在性问题【教学目标】理解、掌握一次函数中等腰直角三角形存在性问题两定一动模型点的找法和算法，以及两动一定模型的解题思路。

经历作图，旋转三角板这些操作，促进学生对数学知识的理解，形成有效的学习模式。

【回顾】一次函数中等腰三角形存在性问题找点方法：，算法：一次函数中直角三角形存在性问题找点方法：，算法：【新知】以(,)A A A x y 、(,)c c C x y 为三角形的边，在平面内找一点B 使得△ABC 为等腰直角三角形（二定一动）一.找法：二．算法：例题例1：如图，在平面直角坐标系中，已知A(a,0)，B(0,b)其中a、b满足关系式|a﹣2|＝-(b﹣6)2（1）求a,b的值，并写出直线AB的函数表达式；（2）过点A作AD⊥AB，交BC延长线于点D，且AB＝AD，N是平面直角坐标系中的一点，是否存在以BD为直角边的等腰直角三角形△BDN，若存在，请直接写出点N的坐标．变式：如图，在平面直角坐标系中，已知A(a,0)，B(0,b)，其中a、b满足关系式|a﹣2|＝-(b﹣6)2（1）求a,b的值，并写出直线AB的函数表达式；（2）过点A作AD⊥AB，交BC延长线于点D，且AB＝AD，点M在直线AB 上，点Q是x轴上异于点A的一个动点，是否存在以MQ为斜边的等腰直角三角形△DQM，若存在，请直接写出点Q的坐标．练习1：如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB＝90°,点A坐标(﹣9,0)，直线BC的解析式为y=−34x+12，点D是线段BC上一动点（不与点B、点C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E．（1）求点B、点C的坐标；（2）求直线AC的解析式；（3）若点N在射线DE上，是否存在点N使△BCN是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图1，直线y=−34x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B．（1）求△AOB的面积；（2）如图2，直线AC交y轴负半轴于点C，AB＝BC，P为射线AB（不含A点）上一点，过点P作y轴的平行线交射线AC于点Q，设点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，求d与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点N，使△PQN是等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。

等腰三角形存在性问题的解题策略探究

的值。三、在所求的等腰三角形中，一个顶点固定，另外两个顶点运动（有运动两点的位置范围，即在哪条
图３
图４
图５
第（２）题解等腰三角形的问题，其中①②用几何说理的方法，计算更简单：图３，当ＡＰ－＝ＡＤ时．Ａ垂直
思路点拨：
、
１．用含ｔＴｌ的代数式表示ＡＡＰＤ的三边长，为解等腰三角形做好准备。２．探求ＡＡＰＤ是等腰三角形，分三种情况利用边相等列方程求解。
解答：（１）ＩＮ：）￣ＪＰＣ／／ＤＢ，所以： — ＰＭＭｆ。因
，—
—
．
戥 ——。
２３
２３
标；若不存在，请说明理由。
思路点拨：因为Ａ、Ｃ位置确定，采用“ 两圆一线 ” 找到两圆及一线与ｆ的交点，因本例是在对称轴上确定点，所以不太好确定点的坐标，我们可采用设未知数的方法来求。设未知数的方法有两种：一种是设点的坐标，一种是设某线段的长度。但总之设未知数后都要利用几何条件及图形特征列方程，利用代数方法求解，因为只有通过解方程才２
考点聚焦
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等腰三角形存在性问题的解题策略探究
■ 王晓柯
近几年各地的数学中考中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生有较高的分析问题、解决问题的能力。它符合课标对学生能力提高的要求。学生初解此类问题时，一般靠直觉画图，或是主观猜测，往往会出现漏解、错解，甚至在坐标系背景下无从下手等现象。根据笔者对此类问题的研究，现将本考点解题策略整理如下：先弄清一个基本问题的解题方法：已知线段ＡＢ，在平面内取一点Ｐ，使ＡＰＡＢ为等腰三角形。首先，因为没有说明谁为腰，谁为底，因此要分类讨论：１．如果Ａ为底，￣ＪＩ／（ｇＡＢ的垂直平分线，点Ｐ一定在Ａ的垂直平分线上。２．如果Ａ为腰，若厶４为顶角，则以点Ａ为圆心，ＡＢ长为半径画圆，点Ｐ一定在这个圆上。３．如果ＡＢ为腰，若曰为顶角，则以点Ｂ为圆心，ＡＢ长为半径画圆，点Ｐ一定在这个圆上。称这种方法为“ 两圆一线” ，两圆即以两定点为圆心，以定长为半径画的两个圆，具体到实际问题可画出部分弧，一线即给定线段的垂直平分线。即两圆上的点和线段垂直平分线上的点都符合要求，具体到题目中会让在指定范围确定。二、探索的等腰三角形有一条边是确定位置及长度的，确定第三个顶点的存在（一般会指定位置，

初中数学等腰三角形的存在性问题(word版+详解答案)

等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。

【解题攻略】在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．【解题类型及其思路】解题类型：动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景解题思路：几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．【典例指引】类型一【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】典例指引1．抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，点B （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点M 是其顶点．（1）求抛物线解析式；（2）第一象限抛物线上有一点D,满足∠DAB=45°,求点D 的坐标；（3）直线x t = (﹣3＜t ＜﹣1)与x 轴相交于点H ．与线段AC ，AM 和抛物线分别相交于点E ，F ，P ．证明线段HE ，EF ，FP 总能组成等腰三角形.【举一反三】（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．类型二【利用二次函数的性质与等腰三角形的性质确定点的坐标】典例指引2．（2019·山东初三期末）如图1，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C .（l ）求抛物线的表达式；（2）如图l ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接,BE CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标；（3）如图2，在x 轴上是否存在一点D 使得ACD ∆为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【举一反三】（2019·广东省中山市中山纪念中学三鑫双语学校初三期中）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （2，0），B （﹣8，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．类型三【确定满足等腰三角形的动点的运动时间】典例指引3．（2018济南中考）如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：①为何值时为等腰三角形；②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．【举一反三】如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．点D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EF∥OC，交抛物线于点F．（1）求此抛物线的解析式；（2）小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作O；②当点D与点O重合时，EF长度也可以看作O，于是他猜想：设点D运动到OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？（3）连接CF、DF，请直接写出△CDF为等腰三角形时所有t的值．【新题训练】1．（2020·江西初三）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣2，﹣4)，直线x=﹣2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=﹣x2从点O沿OA方向平移，与直线x=﹣2交于点P，顶点M到点A时停止移动．（1）线段OA 所在直线的函数解析式是；（2）设平移后抛物线的顶点M 的横坐标为m ，问：当m 为何值时，线段PA 最长？并求出此时PA 的长．（3）若平移后抛物线交y 轴于点Q ，是否存在点Q 使得△OMQ 为等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2018·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.3．（2016·广西中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2019·广东广州市第二中学初三）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝12-x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y＝12-x2＋bx＋c交于第四象限的F点．（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE 13个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．5．（2019·湖南中考模拟）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y 轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．6．（2018·山东中考模拟）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．7．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C （﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．8．（2018·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数24y ax bx =+-（0a ≠）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标．9．（2019·四川中考模拟）如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx+c （c ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3，顶点为M ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 为线段BM 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，若OQ ＝m ，四边形ACPQ 的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；（3）探索：线段BM 上是否存在点N ，使△NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．10．（2019·甘肃中考模拟）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ． ①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．11．（2019·安徽中考模拟）如图，已知直线1y x =+与抛物线2y ax 2x c =++相交于点()1,0A -和点()2,B m 两点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，当PAB ∆的面积S 最大时，求此时PAB ∆的面积S 及点P 的坐标；（3）在x 轴上是否存在点Q ，使QAB ∆是等腰三角形？若存在，直接写出Q 点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由.12．（2018·江苏中考模拟）（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，11AM AN均为定值，并求出该定值．13．（2019·重庆中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB＝OC．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2019·辽宁中考模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．15．（2020·浙江初三期末）如图，抛物线y＝﹣12x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分別交x轴、线段AC于点E、F．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）连结AD，CD，求△ACD的面积；（3）设动点P从点D出发，沿线段DE匀速向终点E运动，取△ACD一边的两端点和点P，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P为顶角顶点，求所有满足条件的点P的坐标．16．（2020·湖北初三期末）如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA相较于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；（3）当点P在直线OA的上方时，是否存在一点P，使射线OP平分∠AOy，若存在，请求出P点坐标；若不存在．请说明理由；（4）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2019·吉林初三）如图1，抛物线与y ＝﹣211433x x ++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，点D 是线段AB 上一点，且AD ＝CA ，连接CD ．（1）如图2，点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，在线段BC 上有一动点Q ，连接PC 、PD 、PQ ，当△PCD 面积最大时，求PQ +10CQ 的最小值；（2）将过点D 的直线绕点D 旋转，设旋转中的直线l 分别与直线AC 、直线CO 交于点M 、N ，当△CMN 为等腰三角形时，直接写出CM 的长．18．（2020·江苏初三期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x mx n =-++与x 轴交于点A,B ( A 在B的左侧)(1)如图1，若抛物线的对称轴为直线3,4x AB =-= .①点A 的坐标为( ， )，点B 的坐标为( ， ); ②求抛物线的函数表达式;(2)如图2，将(1)中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经过点O ，且与x 正半轴交于点C ，记平移后的抛物线顶点为P ，若OCP ∆是等腰直角三角形，求点P 的坐标.等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。

等腰三角形的存在性

知识点：2.（尺规作图）已知线段 AB，以AB为边的等腰△ABC有无数个，C点的分布位置可分为三类：（1）以点A为圆心, AB长为半径的圆周上；（2）以点A为圆心, AB长为半径的圆周上；（3）线段AB的垂直平分线上。

以下简称“两弧一中垂线”。

有关直角三角形的存在性问题解题策略: 第一步分类讨论：一般按直角顶点分三类。

第二步画状态图：利用尺规作图，画一圆两垂线。

第四步列方程：过直角顶点作两坐标轴的平行线, 构造K 型相似或射影型相似。

若是等腰直角三角形, 则构造 K型全等。

有关等腰三角形的存在性问题解题策略：分类讨论：按哪两边相等分三类。

画状态图：利用尺规作图，画两弧一中垂线。

列方程：一是运用勾股定理表示两腰，利用两腰相等列出方程；二是利用等腰三角形的性质，过顶点作底边的垂线，把底边平分来列方程；三是构造相似三角形来列方程。

其实这类问题的解决关键就是:点。

一、在所求的等腰三角形中，有两个顶点的坐标是确定的（即一边长度确定），确定第三个顶点的存在。

解题策略1：已知等腰三角形一边(不妨设为AB)与其第三个点(不妨设为P )所在直线或曲线(不妨设为l)，来确定等腰三角形的第三点P的位置(即确定三角形的形状)。

而对已知一边的等腰三角形，根据等腰三角形的特殊性可分以下情况讨论：①该边(AB )是等腰三角形的底边,则第三点P一定在该边的垂直平分线上，所以一定在AB 的垂直平分线与直线或曲线l的交点处；②该边 AB是等腰三角形的腰，此时又可对该边的两个端点进行讨论：当点 A为等腰三角形顶角的顶点时，则第三个点 P 必在以A为圆心，AB为半径的圆上；当点B为等腰三角形顶角的顶点时，则第三个点 P 必在以B 为圆心，AB为半径的圆上。

进而再根据点P所在直线l的位置，可以确定点P为圆与直线或曲线l的交点。

不妨把这种尺规作图的方法称为“两圆（弧）一中垂线”法。

例1 （内蒙古巴彦淖尔市）如图，抛物线2=++与x轴交于点A(1，0)、y ax bx cB(7，0)，与y轴交于点C，且OC的长为7。

专题一--等腰三角形的存在性问题

等腰三角形的存在性问题1.在平面直角坐标系xoy中，已知点D的坐标为()4,3，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果DOP∆是等腰三角形，求点P的坐标。

2.如图，在矩形ABCD中，8AB，，动点P以2个单位/秒的速度从点A=BC6=出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB 向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时停止运动。

在P、Q两点移动过程中，当PQC∆为等腰三角形时，求时间t的值。

3.如图，直线2y与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上=x2+的一个动点，直线PQ与直线点AB垂直，交y轴于点Q，如果APQ∆是等腰三角形，求点P的坐标。

4.如图，在ABCBCAC，.动线段DE（端点D从点AB，=DE=∆中，41610==B开始）沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止。

过点E作ACEF与重合），EF//交AB于点F（当点E与点C重合时，CA连结DF设运动的时间为t秒()0≥t。

（1）直接写出线段EFBE、的长（用含t的代数式表示）；（2）在整个运动过程中，DEF∆能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由。

5.如图，已知抛物线c bx ax y ++=2经过()()()300402，，，，，C B A -三点。

（1）求该抛物线的解析式；（2）在y 轴上是否存在点M ，使A CM ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点()0，t P 为线段AB AB 上的一动点()重合、不与B A ，过点P 作y 轴的平行线，记该直线右侧与ABC ∆围成的图形面积为S ，试确定S 与t 的函数关系式。

6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线3332312++-=x x y 与x 轴交于B A 、两点（点B A 在点左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为E 。

（1）判断ABC ∆的形状，并说明理由；（2）经过C B 、两点的直线交抛物线的对称轴于点D ，点P 为直线BC 上方抛物线上的一动点，当PCD ∆的面积最大时，点Q 从点P 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上的点M 处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y 轴上的点N 处，最后沿适当的路径运动到点点A 处停止。

等腰三角形的存在性问题讲解

∵抛物线与 y轴的交点的纵坐标为 2
∴c 2
∵ 图像经过点 A（－1，a）、 A（3，a）
a b c a
∴ 9a b c a
a 1 解得 b 2
∴ y x2 2x 2
解：（2）由 y x2 2x 2 = x 12 3 得 P(1，3) AP 2 5
又在 Rt△AOC 中， OA OC 4 ，OAC 45 ．DFA OAC 45 ．
ADF 90 ．此时，点 F 的坐标为 (2，2) ．
由

1 2
x2

x

4

2
，得
x1

1
5 ， x2 1
5．
此时，点 P 的坐标为： P(1 5，2) 或 P(1 5，2) ．
Y
C

B OQD
AX
0 16a 8a c，
解：（1）由题意，得 4 c．
a 1 ， 2 解得 c 4．
所求抛物线的解析式为：
y

1 2
x2

x

4
．
E （2）设点 Q 的坐标为 (m，0) ，过点作 EG x 轴于点 G ．
由

1 2
x
2

x
EG

1 2
(m

2)

4

2m 4 3
1 m2 3

2m 8 33

1 3
(m
1)2

3．
28 题图
又 2 ≤ m ≤ 4，
当 m 1时， S△CQE 有最大值 3，此时 Q(1，0) ．

专题一：二次函数中等腰三角形存在性问题

专题：二次函数中等腰三角形存在性问题类型一、等腰三角形存在性问题以(,)A A A x y 、(,)B B B x y 为三角形的边，在x 轴上找一点P 使得△PAB 为等腰三角形（二定一动）一.找法：画圆和作垂直平分线①以A 为圆心，线段AB 为半径画圆，与x 轴交点即为1P 、2P 点；（AB=AP ）②以B 为圆心，线段AB 为半径画圆，与x 轴交点即为3P 、4P 点；（AB=BP ）③作线段AB 的垂直平分线，与x 轴交点即为5P 点；（AP=BP ）二、算法：利用两点距离公式进行计算公式：22()()A B A B AB x x y y =-+- ，设(,)p p P x y ，分三种情况：①AB=AP 时 2222()()()()A B A B A P A P x x y y x x y y -+-=-+-可得1P 、2P ，（特殊情况可能是一个点，例如2P 与B 重合）②AB=BP 时2222()()()()A B A B B P B P x x y y x x y y -+-=-+-可得3P 、4P ，（特殊情况可能是一个点，例如3P 与A 重合）③AP=BP 时2222()()()()A P A P B P B P x x y y x x y y -+-=-+-可得5P 、例题1、如图，已知二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于点A 、B 两点，其中A 点坐标为（-3,0），与y 轴交于点C ，点D （-2，-3）在抛物线上.（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上是否存在动点Q ，使得△BCQ 为等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.1、（2021·云南九年级一模）如图所示，抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点M 是线段OB 上不与点O 、B 重合的点，过点M 作DM x ⊥轴，交抛物线于点D ，交BC 于点E ．（1）求抛物线的表达式；（2）过点D 作DF BC ⊥，垂足为点F ．设M 点的坐标为(),0M m ，请用含m 的代数式表示线段DF 的长，并求出当m 为何值时DF 有最大值，最大值是多少？（3）试探究是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．2、（八中2020级初三第三次月考）如图在平面直角坐标系中，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于A （-4,0），B （1,0），交y 轴于C （0,3）（1）求此抛物线解析式；（2）如图1，点P 为直线AC 上方抛物线上一点，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，再过点Q 作QR//AC 交y 轴于点R ，求PQ+QR 的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，点E 在抛物线上，横坐标为-3，连接AE ，将线段AE 沿直线AC 平移，得到线段''A E ，连接'CE ，当△''A E C 为等腰三角形时，只写写出点'A 的坐标。

等腰三角形存在性问题技巧讲义

等腰三角形存在性问题技巧讲义等腰三角形是一种有两条边相等的三角形，其中也包括一种特殊情况，即等边三角形，即三条边均相等的三角形。

存在性问题指的是给定一些条件，判断是否存在符合条件的等腰三角形。

下面将介绍一些解决等腰三角形存在性问题的技巧。

1.通过边长关系判断：等腰三角形的存在性与边长的关系密切相关。

设三角形的三个边长分别为a、b和c，如果a=b，则存在等腰三角形；如果a=c，则存在等腰三角形；如果b=c，则存在等腰三角形。

因此，可以通过比较三个边长的大小关系，来判断是否存在等腰三角形。

2.使用三角形内角和定理：三角形的内角和为180度。

对于等腰三角形而言，设其两个等边的边长为a，非等边的边长为b，那么根据三角形的内角和定理可得2a+b=180。

通过这个方程，可以求得非等边的边长b的值，如果b大于0，则存在等腰三角形。

3.使用三角形的高和底边关系：等腰三角形的高是从等腰边的顶点到底边的垂直距离。

如果一条边是等腰边，那么从该边对应的顶点到底边的垂直距离一定是这条边的高。

因此，可以通过计算等腰边顶点到底边的垂直距离，与底边的关系来判断是否存在等腰三角形。

4.利用等腰三角形的旋转对称性：等腰三角形具有旋转对称性，即一个等腰三角形可以绕其顶点旋转一定角度后得到另一个等腰三角形。

因此，当给定一个等腰三角形的一些条件时，可以通过旋转该等腰三角形来判断是否存在满足条件的等腰三角形。

5.利用等腰三角形的镜像对称性：等腰三角形也具有镜像对称性，即通过等腰边作为对称轴，可以得到两个镜像对称的等腰三角形。

因此，当给定一个等腰三角形的一些条件时，可以通过对称该等腰三角形来判断是否存在满足条件的等腰三角形。

以上是一些解决等腰三角形存在性问题的技巧。

通过比较边长关系、使用三角形内角和定理、考虑高和底边关系、利用等腰三角形的旋转对称性和镜像对称性等方法，我们可以有效地判断等腰三角形是否存在。

实际应用中，可以结合以上方法，根据具体条件进行判断。

1存在性系列之等腰三角形存在性问题

存在性系列之等腰三角形存在性问题几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法．等腰三角形存在性问题【问题描述】如图，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（4,3），在x 轴上取点C 使得△ABC 是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．AC 1=AB=(4-1)2+(3-1)2=作AH ⊥x 轴于H 点，AH =1 C 1H =C 2H = 13-1=2 xC 1(1-2 3,0) C 2(1+2 3,0)C 3、C 4 同理可求，下求C 5 ．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果 A 、B 均往下移一个单位，当点 A 坐标为（1,0），点 B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：AH =3，BH =2设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-x (3-x )2+22=x 213 解得：x = 619故C 坐标为（ ,0）5 6而对于本题的C 5 ，或许代数法更好用一些．313【代数法】表示线段构相等（1）表示点：设点C 5 坐标为（m ，0），又 A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3），（2）表示线段： AC 5 =， BC 5 =（3）分类讨论：根据 AC = BC ，可得：=，5 5（4）求解得答案：解得： m = 23 ，故C 坐标为,0．65 6 ⎪ ⎝ ⎭【小结】几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标 A 、B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ；（3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ；（4）列出方程求解．问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．【2018 泰安中考】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =ax2 +bx +c 交x 轴于点A(-4, 0) 、B(2, 0) ，交y 轴于点C(0, 6) ，在y 轴上有一点E(0, -2) ，连接AE ．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求∆ADE 面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使∆AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由．11 (2 5 )2-12 19 【分析】（1） y = - 3 x 2 - 3x + 6 ；4 2（2）可用铅垂法，当点 D 坐标为(-2,6) 时，△ADE 面积最大，最大值为 14；（3）这个问题只涉及到 A 、E 两点及直线 x =-1（对称轴）①当 AE =AP 时，以 A 为圆心，AE 为半径画圆，与对称轴交点即为所求 P 点．∵AE = 2 ，∴ AP 1 =2 ，又 AH =3，∴ P 1H = ，故 P 1 (-1, 11)、 P 2 (-1, - 11)．②当 EA =EP 时，以 E 点为圆心，EA 为半径画圆，与对称轴交点即为所求 P 点．过点 E 作 EM 垂直对称轴于 M 点，则 EM =1， P 3 M = P 4 M = = ，故 P 3 (-1, -2 + 19 )、 P 4 (-1, -2 - 19 )．③当 PA =PE 时，作 AE 的垂直平分线，与对称轴交点即为所求 P 点．设 P (-1, m ) ， P A 2 = (-1+ 4)2+ (m - 0)2， P E 2 =(-1- 0)2+ (m + 2)2555∴ m 2 + 9 = (m + 2)2+1，解得：m =1．故 P 5 (-1,1)．综上所述，P 点坐标为 P 1 (-1, 11)、P 2 (-1, - P 5 (-1,1)．11)、P 3 (-1, -2 +19 )、P 4 (-1, -2 -19 )、【补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决．yP 5AO BxEy P 3AOBxMEP 4y P 1HAOBxE P 25 5【2019 白银中考（删减）】如图，抛物线y =ax2 +bx +4 交x 轴于A(-3, 0) ，B(4, 0) 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；5 2⎛ 5 2 5 2 ⎫ ⎛ 5 2 5 2 ⎫ 【分析】（1） y = - 1 x 2 + 1x + 4 ；3 3（2）①当 CA =CQ 时，∵CA =5，∴CQ =5，考虑到 CB 与 y 轴夹角为 45°，故过点 Q 作 y 轴的垂线，垂足记为 H ，则CH = QH =2 ，故 Q 点坐标为 ,4 - 2 2 ⎪ ． ⎝⎭ ②当 AC =AQ 时，考虑直线 BC 解析式为 y =-x +4，可设 Q 点坐标为（m ，-m +4），AQ =故 Q 点坐标为（1，3）．= 5 ，解得：m =1 或 0（舍），③当 QA =QC 时，作 AC 的垂直平分线，显然与线段 BC 无交点，故不存在．综上所述，Q 点坐标为 ,4 - 2 2 ⎪ 或（1，3）． ⎝ ⎭x(m + 3)2 + (-m + 4 - 0)2(m + 3)2+ (-m + 4 - 0)2y C PQ 1A O Q 2 MB5 【2019 盐城中考删减】如图所示，二次函数 y = k (x -1)2 + 2 的图像与一次函数 y = kx - k + 2 的图像交于 A 、B 两点，点 B 在点 A 的右侧，直线 AB 分别与 x 、 y 轴交于C 、 D 两点，其中k < 0 ．（1）求 A 、 B 两点的横坐标；（2）若∆OAB 是以OA 为腰的等腰三角形，求k 的值．【分析】（1）A 、B 两点横坐标分别为 1、2；（2）求 k 的值等价于求 B 点坐标，B 点横坐标始终为 2，故点 B 可以看成是直线 x =2 上的一个动点，满足△OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形，又 A 点坐标为（1，2），故OA =①当 OA =OB 时，即OB = ，记直线 x =2 与 x 轴交点为 H 点， ∵OH =2，∴BH =1，故 B 点坐标为（2，1）或（2，-1），k =-1 或-3． ②当 AO =AB 时，易知 B 点坐标为（2，0），k =-2．综上所述，k 的值为-1 或-2 或-3．y DABCOxy DABCOHx5【2018 贵港中考（删减）】如图，已知二次函数y =ax2 +b x +c 的图像与x 轴相交于A(-1, 0) ，B(3, 0) 两点，与y 轴相交于点C(0, -3) ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与线段BC 交于点M ，连接PC ．当∆PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．2 【分析】（1） y = x 2 - 2x - 3；（2）①当 PM =PC 时，（特殊角分析）考虑∠PMC =45°，∴∠PCM =45°，即△PCM 是等腰直角三角形，P 点坐标为（2，-3）；②当 MP =MC 时，（表示线段列方程）设 P 点坐标为(m , m 2 - 2m - 3)，则 M 点坐标为(m , m - 3)，故线段 PM = (m - 3) - (m 2 - 2m - 3)= -m 2 + 3m 故点 M 作 y 轴的垂线，垂足记为 N ，则 MN =m ，考虑△MCN 是等腰直角三角形，故 MC = 2m ，∴ -m 2 + 3m = 2m ，解得m = 3 - 或 0（舍），故 P 点坐标为(3 - 2, 2 - 4 2 )．综上所述，P 点坐标为（2，-3）或(3 - 2, 2 - 4 2 )．yHA OBxCPMyHA OxNB MCP【2019 眉山中考删减】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-4x2 +bx +c 经过点A(-5, 0) 和点B(1, 0) ．9（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图，连接AD 、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN=∠DBA，MN 交线段AD 于点N ，是否存在这样点M ，使得∆DMN 为等腰三角形？若存在，求出AN 的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1） y = - 4 x 2 - 16 x + 20，顶点 D 坐标为(-2, 4) ；9 9 9（2）考虑到∠DAB =∠DBA =∠DMN ，即有△BMD ∽△ANM （一线三等角）．①当 MD =MN 时，有△BMD ≌△ANM ，可得 AM =BD =5，故 AN =BM =1；x②当 NM =ND 时，则∠NDM =∠NMD =∠DAB ，△MAD ∽△DAB ，可得 AM = 25 ， BM = 11∴AN 6 6 25= AM ，即 AN = 6 ， BM BD解得： AN =55 ． 3611 5 6x③当 DM =DN 时，∠DNM =∠DMN =∠DAB ，显然不成立，故不存在这样的点 M ．综上，AN 的值为 1 或 55．36yDCN AM OByDCN AMOB2 【2019 葫芦岛中考（删减）】如图，直线 y = -x + 4 与 x 轴交于点 B ，与 y 轴交于点C ，抛物线 y = -x 2 + bx + c 经过 B ，C两点，与 x 轴另一交点为 A ．点 P 以每秒个单位长度的速度在线段 BC 上由点 B 向点C 运动（点 P 不与点 B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点 P 作 x 轴垂线交 x 轴于点 E ，交抛物线于点 M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接 AM 交 BC 于点 D ，当∆PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值．x【分析】（1） y = -x 2 + 3x + 4 ；（2）①考虑到∠DPM =45°，当 DP =DM 时，即∠DMP =45°，直线 AM ：y =x +1，联立方程： -x 2 + 3x + 4 = x + 1，解得： x 1 = 3 ， x 2 = -1 （舍）．此时 t =1．xyCDMA P EB OyCMDA P BEO2 2 2 2 2 2 45° 12 145°222.5°2 + 12 ②当 PD =PM 时，∠PMD =∠PDM =67.5°，∠MAB =22.5°，考虑 tan ∠22.5°= 直线 AM ： y =( -1， - 1)x +- 1 ，联立方程： -x 2 + 3x + 4 =( -1)x + - 1解得： x 1 = 5 - 2 ， x 2 = -1 （舍）．此时 t = -1．x综上所述，t 的值为 1 或 -1．附：tan22.5°= -1．22.5°tan 22.5︒ =1= - 1【总结】具体问题还需具体分析题目给的关于动点的条件，选取恰当的方法，可减轻计算量．2 2 yCDMA OP B E。

例谈等腰三角形存在性问题的解题策略

摘要：等腰三角形的存在性问题可以从等腰三角形的两腰相等、两底角相等、三线合一等性质出发进行分析，也可以通过相似三角形的形状不变性进行分析，文中的四种策略——两腰相等列等式、两角相等转化角、三线合一找相似、与其相似转图形，能解答初中阶段有关等腰三角形存在性问题的绝大部分题目，实用性强，对于开拓学生思维有较大帮助.关键词：等腰三角形；分类讨论；存在性问题；解题策略；有效性收稿日期：2018—03—01作者简介：赵志芳（1979—），男，中学一级教师，主要从事初中数学教学和解题研究.例谈等腰三角形存在性问题的解题策略赵志芳等腰三角形是初中阶段非常重要的基本图形.因此，有关等腰三角形的存在性问题在中考中经常以压轴题的形式出现.很多学生觉得难度很大，经常会出现漏解的情况，甚至无从下手.笔者经过多年的实践，总结出了四种解题策略，基本可以解决等腰三角形的存在性问题.现阐述如下.一、所需基础知识（1）等腰三角形的主要性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线三线合一，简称等腰三角形三线合一.（2）等腰三角形的三边分为腰和底边两类，三个内角分为底角和顶角两类.（3）已知△ABC 是等腰三角形，如果没有规定哪条边是腰，那么分三种情况讨论：①AB =AC ，此时∠B =∠C ；②BA =BC ，此时∠A =∠C ；③CA =CB ，此时∠A =∠B.若规定了以某一条边为腰，只分两种情况讨论.例如，若△ABC 是以AB 为腰的等腰三角形，那么只需要分AB =AC 和AB =BC 两种情况.以上基础知识学生基本上都是具备的，特别是九年级的学生，这就使得绝大部分学生能够正确解答等腰三角形的存在性问题有了很大的可能性.二、四种解题策略策略1：两腰相等列等式.所谓两腰相等列等式，是指利用两腰相等的关系，直接求得线段的长度或者列出方程.这种策略适用于等腰三角形中至少有两条边能够求得或者可以用含未知数的代数式表示的情况，特别是在平面直角坐标系中，由于线段的长度可以用两点间的距离公式求出或者表示，这种方法比较适合.例1如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知点D 的坐标是()3，4，点P 是x 轴上的一个动点，如果△ODP 是等腰三角形，求点P 的坐标.解析：此题可以用数形结合的方法，通过尺规作图来找点.当OD =OP 时，如图2，得到两个点，可直接写出坐标P 1()5，0和P 2()-5，0.当DO =DP 时，也可由图3直接写出坐标P 3()6，0.当PD =PO 时，由图4可知点P 是线段OD 的垂直平分线与x 轴的交点，利用中国数学教育ZHONGGUO SHUXUE JIAOYU2018年第7—8期（总第187—188期）№7—8，2018General ，№187—188··98相似可得523=OP 5，此时点P 的坐标是P 4æèöø256，0.简单明了.然而，这是建立在要将所有的图形画出来的基础之上，对学生来说很容易漏解.图2也可以用以下的方法来完成.设点P 的坐标为()x ，0.由两点间的距离公式，可得OD =5，DP =()3-x 2+42，OP =x 2.转化成如图5所示的图形.分别以O ，D ，P 为顶点，利用两边相等列等式的策略来解答.当OD =OP 时，x 2=5，x =±5；当DO =DP 时，()3-x 2+42=25，解得x =6或x =0（三角形不存在，舍去）;当PO =PD 时，()3-x 2+42=x 2，解得x =256.利用两边相等列等式的策略来解答，能充分发挥代数方法的优势，全面且易操作，实验证明学生更容易接受.策略2：两角相等转化角.所谓两角相等转化角，是指利用等腰三角形的两个底角相等的特点，结合题目中其他的等角关系，传递出新的等角，从而得出新的特殊图形的方法.这种策略大多用于等腰三角形的某条边不容易表示出来的情况，通过等角转化，往往会出现特殊的情况，使问题得以马上解决.例2如图6，在△ABC 中，AB =AC =10cm ，BC =16cm ，DE =4cm ，线段DE （端点D 从点B 开始）沿BC 边，以1cm /s 的速度向点C 运动，过点E 作EF ∥AC ，交AB 于点F ，连接DF.设运动的时间为t 秒（t ≥0）.（1）用含t 的代数式表示线段EF 的长度；（2）在运动的过程中，△DEF 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，试说明理由.解析：第（1）小题利用三角形一边的平行线的性质定理的推论易得EF 10=t +416，解得EF =5()t +48.第（2）小题当EF =ED 时，由于边EF 已用含t 的代数式表示，所以就可以利用策略1，直接列方程5()t +48=4求解，解得t =125.但是，由于DF 没有用含t 的代数式表示，导致另外两种情况无法列方程.因此考虑用策略2.当FE =FD 时，∠FED =∠FDE.因为∠FED =∠C ，∠C =∠B ，所以∠FED =∠B.所以∠FDE =∠B.所以此时点D 与点B 重合，t =0.当DF =DE 时，∠DFE =∠DEF.因为∠DEF =∠C ，∠C =∠B ，所以∠DFE =∠B.所以△DEF ∽△ACB.所以DE AC =EF BC.从而得到410=5()t +4816.解得t =15625.利用策略2往往会出现特殊的图形，再利用特殊图形的特征解决问题，使得原本复杂的知识简单化.策略3：三线合一找相似.所谓三线合一找相似，是指利用等腰三角形三线合一的性质，作底边上的高，从而也是底边上的中线的良好性质，通过相似等方法建立关系、解决问题.此种解题策略需要作辅助线.例3如图7，已知在Rt△ABC 中，∠C =90°，AC =6，AB =10，点Q 是BC 的中点，点P 是AB 上一点，连接PQ ，若△PQB 是等腰三角形，求AP 的长度.解析：当BQ =BP 时，如图8，由策略1，直接写出答案，BP =4，所以AP =6.但是另外两种情况利用策略1和策略2就比较困难，因此可以尝试利用策略3FABC图6AB C P图7··99来解答.当PB =PQ 时，如图9，过点P 作PF ⊥BQ ，垂足为点F ，从而得到F 是BQ 的中点，所以BF =2.因为∠C =90°，所以PF ∥AC.所以△BPF ∽△BAC.利用相似三角形的性质，得BP AB =BF BC .所以BP 10=28.所以BP =2.5.所以AP =7.5.如图10，当QP =QB 时，同理可得△BQE ∽△BAC ，所以BE 8=410，BE =3.2.所以BP =6.4.所以AP =3.6.E ABCP图10图9ABC P Q ABC P图8策略3往往将问题转化成两个直角三角形相似，所以很多时候也可以用三角比来代替.策略4：与其相似转图形.我们知道，相似三角形的形状相同，如果两个三角形相似，其中一个三角形是等腰三角形，那么另一个三角形也一定是等腰三角形.因此，当目标等腰三角形的边和角已知关系不足以解决问题时，可以尝试考虑与目标三角形相似的三角形是等腰三角形，这就是与其相似转图形.再按照以上三种策略分析解答.例4如图11，已知在平行四边形ABCD 中，AB =5，BC =8，cos B =45，点P 是边BC 上的动点，以CP 为半径的⊙C 与边AD 交于点E ，F （点F 在点E 的右侧），射线CE 与射线BA 交于点G.当△AGE 是等腰三角形时，求⊙C 的半径长.解析：此题中△AGE 是等腰三角形，但是我们对于△AGE 的信息所知甚少，而与其相似的△DEC 的三边很容易表示.因此考虑将△AGE 是等腰三角形转化为△DEC 为等腰三角形来解答.如图12，过点C 作CH ⊥AD ，垂足为点H ，设半径CE =x ，易得CH =3.在Rt △CEH 中，求得EH =x 2-9.由于CD =AB =5，在Rt△DCH 中求得DH =4，所以DE =x 2-9+4.至此，△DEC 的三条边都已经用含x 的代数式表示出来，问题转化成如图13所示的情形.学生很容易想到用策略1解答.此题的详细解答过程不再赘述.PA BC DEF G 图12H 图13使用此解题策略要注意求解后，一定不要忘了回到原来的目标三角形中，验证是否存在且符合题意.三、综合运用四种策略以上四种解题策略在实际运用时不是一成不变的，要具体问题具体分析.一般情况下，首先要分析是否需要转移图形，确定好后绝大部分题目的思考顺序是先考虑边相等，再考虑角相等，最后再考虑添加辅助线利用策略3.以下以一道具体的题目来说明.例5如图14，在等腰三角形ABC 中，AB =AC =13，BC =10，点D 是BC 边的中点，点E ，F 分别在AB ，AC 上，∠EDF =∠B ，BE =x ，CF =y.（1）求y 与x 的函数解析式，并写出定义域；（2）求证：△EDF ∽△EBD ；（3）若△EDF 是等腰三角形，求BE 的长.解析：第（1）（2）小题，略；第（3）小题属于等腰三角形存在性问题.首先，△EDF 是等腰三角形，其三边没有一条边是已知的，相关信息比较少，虽然也能解出来，但是比较麻烦.而在与其相似的△EBD 中，BD =5，BE 为所求，已知信息较多，易解答.因此，先采用与其相似转图形的策略，只需对△EBD 是等腰三角形来解答，对△EBD 分三种情况进行讨论.其次，要观察一下哪种情况最方便解答，先完成.显然，当BD =BE 时，因为BD =5，且在定义域内，所以此时BE =5.此处利用的是策略1.当EB =ED 时，由于数据缺失，利用策略1暂时行PA BC DEF G 图11FABCD E图14（下转第103页）··100方法2类似，在此仅作出辅助线（如图14），具体分析见题目1的方法2.ABCD P Q EF图15DAQC MPB EN图14方法3：将四边形ABCD 等积转化成△CED 的方法同方法1.可以利用题目1中方法3用到的方法，将△CDE 等积转化成P 为顶点的三角形.在此仅作出辅助线（如图15），具体分析见题目1中的方法3.推广3：P 是凸N 边形边上的任意一点.如图16，在凸N 边形ABCDE…N中，P 是边BC 上任意一点（不是BC 中点），过点P 作一条直线将凸N 边形ABCDE…N 分成两部分，使得其中一部分的面积是凸N 边形ABCDE…N面积的1n.任意一个凸N 边形ABCDE…N ，我们思考能否将凸N 边形等积转化成凸（N -1）边形，再将凸（N -1）边形等积转化成凸（N -2）边形，……最后等积转化成三角形.如图17，连接BD ，过点C 作CY ∥BD 交AB 的延长线于点Y ，得S △BDC =S △BDY .凸N 边形ABCDE…N 就等积变换成凸（N -1）边形AYDE…N ，如此继续下去，凸N 边形总能等积变换成三角形.再利用题目1的思路，可以作过任意凸N 边形边上的一个定点的直线，将凸多边形边分成两部分，使其中一部分面积是多边形面积的1n.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M ］.北京：北京师范大学出版社，2012.［2］李发勇.三角形面积平分线的作图问题：一道课本习题的研究性学习［J ］.数学教学，2011（7）：16-18.图16CD EN 图17…不通.马上想到策略2是否可行.如图15所示，因为EB =ED ，所以∠EDB =∠B.因为∠B =∠C ，所以∠EDB =∠C.所以DE ∥AC.因为D 是BC 中点，所以E 是AB 中点.所以BE =132.FABCE图15FABCE G 图16当DE =DB 时，利用策略1和策略2都比较困难，按顺序考虑策略3.如图16，过点D 作DG ⊥AB ，垂足为点G ，则BG =12BE.为了构造出相似的直角三角形，再连接AD ，利用△DGB ∽△ADB ，得BD AB =BG BD.从而得到513=12BE5，解得BE =5013.综上所述，BE 的长为BE =5013或132或5.总之，等腰三角形的存在性问题解题策略是有规律可循的，本文只是提供了几种常见的解题策略.遇到具体问题，不能生搬硬套，需要认真、仔细进行分析，根据题目的不同，灵活选择方法.参考文献：［1］黄伟进.例谈等腰三角形的存在性问题［J ］.中学数学，2010（3）：31-32.［2］方建文.分类讨论思想的思考［J ］.数学教学通讯（中旬），2011（6）：14-16.［3］陈永明.陈永明评议数学课［M ］.上海：上海教育出版社，2008.［4］陶维林.几何画板使用范例教程［M ］.北京：北京师范大学出版社，2008.（上接第100页）··103。

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