分式运算中的常用技巧与方法

分式运算中的常用技巧与方法1

在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。现就分式运算中的技巧与方法举例说明。

一、 整体通分法

例1．化简：2

1

a a --a-1 分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。 解：21a a --a-1=21a a --(a+1)= 21a a --(1)(1)1

a a a -+-=22(1)1a a a ---=11a - 二、 逐项通分法

例2．计算1a b --1a b +-222b a b +-344

4b a b - 分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法 解：1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b -=22()()a b a b a b

+----222b a b +-3444b a b - =222b a b --222b a b +-344

4b a b -=2222442()2()b a b b a b a b +----3444b a b - =3444b a b --3

444b a b

-=0 三、 先约分，后通分

例3．计算：2262a a a a +++22444

a a a -++ 分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算 解：2262a a a a +++22444a a a -++=(6)(2)a a a a +++2(2)(2)(2)a a a +-+=62a a +++22a a -+=242

a a ++=2 四、 整体代入法

例4．已知1x +1y

=5求2522x xy y x xy y -+++的值 解法1：∵1x +1y =5∴x y ≠0,.所以2522x xy y x xy y -+++=225112y x y x -+++=112()5112x y x y

+-++=25552⨯-+=57

解法2：由1x +1y

=5得，x y xy +=5, x+y=5xy ∴2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy +-++=25552xy xy xy xy ⨯-+=57xy xy =57

五、运用公式变形法

例5．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+

4

1a 解：由已知条件可得a ≠0,∴a+1a

=5 ∴a 4+41a =(a 2+21a )2-2=[(a+1a )2-2]2-2=(52-2)2-2=527 六、设辅助参数法

例6．已知

b c a += a c b += a b c +，计算：()()()a b b c c a abc

+++ 解：设b c a += a c b += a b c +=k ，则b+c=ak ；a+c=bk ；a+b=ck ； 把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k

若a+b+c=0，a+b= -c,则k= -1

若a+b+c ≠0，则k=2

()()()a b b c c a abc +++=ak bk ck abc

⋅⋅=k 3 当k=-1时，原式= -1

当k=2时，原式= 8

七、应用倒数变换法

例7．已知21

a a a -+=7，求2421a a a ++的值 解：由条件知a ≠0,∴21a a a -+=17,即a+1a =87

∴4221a a a ++=a 2+21a +1=(a+1a )2-1=1549 ∴2421a a a ++=4915

八、取常数值法

例8．已知：xy z ≠0,x+y+z=0,计算

y z x ++x z y ++x y z

+ 解：根据条件可设x=1,y=1,z=-2.

则y z x ++x z y ++x y z

+=-3.当然本题也可以设为其他合适的常数。 九、把未知数当成已知数法

例9．已知3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算: 222

a b c ab bc ac

++++ 解：把c 当作已知数，用c 表示a,b 得,a=3c, b=2c ∴222a b c ab bc ac ++++=221411c c =1411

. 十、巧用因式分解法

例10．已知a+b+c=0，计算222a a bc ++222b b ac ++2

22c c ab

+ 解:∵a+b+c=0, ∴a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b

∴2a 2+bc=a 2+a 2+bc=a 2+a(-b-c)+bc=(a-b)(a-c)

同理可得2b 2+ac=(b-c)(b-a),2c 2+ab=(c-a)(c-b)

222a a bc ++222b b ac ++2

22c c ab +=2a (a-b)(a-c)+2b (b-c)(b-a)+2c (c-a)(c-b)

=2a (a-b)(a-c)-2b (a-b)(b-c)+2c (c-a)(c-b)=222a ()()()()()()

b c b a c c a b a b a c b c ---+---- =22222a ()()()()b c b a b c c a c b a b a c b c --++----=2a ()()()()()()()b c a b c b c bc b c a b a c b c --+-+---- =2()()()()()b c a ab ac bc a b a c b c ---+---=()()()()()()

a b a c b c a b a c b c ------=1