分式运算中的常用技巧与方法
第一讲 分式运算中的常用技巧
第一讲 分式运算中的常用技巧在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。
现就分式运算中的技巧与方法举例说明。
一、分组通分法： 例1、计算：xy xy x y x y x y x y x y x --+-----+-24352思路点拔：如果我们将四个分式同时通分，运算量较大且容易出错，仔细观察会发现第一、三项，第二、四项分别为同分母分式，因此先将同分母分式相加减，然后再通分，能简化运算。
※例2、计算：500099009999500010050002002250001001122222222+-++-+++-++-k k k (上海市“宇振杯”竞赛题)思路点拔 首尾配对，考查一般情形，把数值计算转化为分式的运算：2500010010000200250001002001005000100500010010020010020010050001005000)100(100)100()100(5000100222222222222222222=+-+-=+--+++-=++--+-+++-=+----++-n n n n n n nn n n n n n n nn n n n n n n n n n 二、整体通分法：例3．化简：21a a --a-1思路点拔:本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a-1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式. 三、逐项通分法 例4．计算4214121111xx x x ++++++- 思路点拔 ：本题中原所有分式的最简公分母是()()()()241x 1x 1x 1x -+++，若按此通分解答过程的繁琐性就不用说了；如果我们进行分组、分步通分就不会因为出现“庞大”的分子导致在计算中出错；比如，若我们先计算111x 1x+-+，最简公分母为()()1x 1x -+即21x -，则111x 1x +-+2221x 1x 21x 1x 1x +-=+=---，后面的如法炮制，过程清楚，计算简便. 四、先约分，后通分例5．计算：2262a a a a +++22444a a a -++思路点拔 ：按常规的解法本题应先找出两个分式分母的最简公分母()2x x 2+后通分，化成同分母的分式后再相加；细心的同学会发现，若把两个分式的分子、分母分解因式后，先约分就已经是同分母了，就“省去”了通分的过程；相比较先约分、再相加显得更为简捷. 五、裂项相加法 例6、 已知122432+--=--+x Bx A x x x ，其中A 、B 为常数，则4A －B 的值为（ ）(江苏省竞赛题)A ．7B ．9C ．13D ．5思路点拨 对等式右边通分，比较分子的对应项系数求出A 、B 的值． 例7、化简：111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++. 思路点拔 ：本题的多个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a 是整数），联想到111)1()1()1(1+-=+-+=+x x x x x x x x ，这样可抵消一些项. 例8.化简：))(())(())((a c b c ba abc b a c c a b a c b -----------思路点拔 ：本题采用通分的方式，计算量大，式子的特点是：每个分式的分子可用分母的两个因式的差表示，如：ca b a c a b a b a c a c a b a c b ---=-----=---11))(()()())((a b c b a b c b c b a b a b c b a c ---=-----=---11))(()()())((bc a c a c b c a c b c a c b c b a ---=-----=---11))(()()())((※例9.化简：222()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++.思路点拔 ：本题采用通分的方式，计算量大，仔细观察式子的特点，发现每个分式的分母是两个因式的积的形式，可考虑把分子通过添项的方法化成分母的两个因式的和或差的形式，即：ba bc a a c a b a c a b b a a c a b a bc ab ab a c a b a bc a +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22cb ca b b a b c b b a c c b b a b c b ac bc bc b a b c b ac b +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22ac ab c c b c a c b c a a c c b c a c ab ac ac c b c a c ab c +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22六、分式的换元化简 ※例10.化简：)2)(2())(()2)(2())(()2)(2())((z y x x z y z y z x x z y z y x y x y z z y x z y x x z x y +--+--+-+-+--+-++--- 思路点拔：注意到分母与分子的项与项之间的关系，如x －2y+z=(x －y)－(y －z)，x+y-2z=(y-z)-(z-x), y+z-2x=(z-x)-(x-y)采用换元法,设x-y=a,y-z=b,z-x=c,原分式可化为：))(())(())((b a a c bca c cb bac b b a ac ---+---+---,再通分，可简化运算。
分式运算中的常用技巧(教师版)解读
分式运算中的常用技巧(教师版在数式的相关运算中,分式的运算是同学们感到比较头疼的,含分式的综合解答题的正确率也比较低;其实分式的运算涵盖知识点多,技巧性强,是很能考查数学素养的.分式的运算之所以容易计算错误,除了知识上原因,方法技巧也很重要;我觉得除了要掌握常规的计算方法,有必要掌握一些计算的技巧,下面我精选一部分含分式的解答题,让我们共同来探究.1、先约分、再计算:例.计算:444242222++-+++x x x x x x x分析:按常规的解法本题应先找出两个分式分母的最简公分母(2x x 2+后通分,化成同分母的分式后再相加;细心的同学会发现,若把两个分式的分子、分母分解因式后,先约分就已经是同分母了,就“省去”了通分的过程;相比较先约分、再相加显得更为简捷.解:原式=(((((2x x 4x 2x 2x 4x 22x 2x x 2x 2x 2x 2x 2++-+-++=+=+++++ 变式训练: 2222a 93a 6a 3a 2a 3a 1--+----2、分步通分:例.计算:4214121111x x x x ++++++- 分析:本题中原所有分式的最简公分母是((((241x 1x 1x 1x -+++,若按此通分解答过程的繁琐性就不用说了;如果我们进行分组、分步通分就不会因为出现“庞大”的分子导致在计算中出错;比如,若我们先计算111x 1x +-+,最简公分母为((1x 1x -+即21x -,则111x 1x +-+ 2221x 1x 21x 1x 1x +-=+=---,后面的如法炮制,过程清楚,计算简便. 解:原式((=22222422444421x 21x 1x 1x 2422441x 1x 1x 1x1x1x 1x1x1x1x+-+-+++=++=++--++-++-++=((444488841x 41x 4481x 1x 1x 1x 1x +-+=+=-+---变式训练:①.1684211618141211x x x x x --+++++++;②.1111x 4x 6x 5x 7+--++++.3、整体通分法: 例.计算:242++-a a 分析:本题若把a 2-分成两项与后面的通分在想加减,要多一些计算的过程;若把a 2-看成一个整体,即a 21-再与后面的通分显然更简单.解:原式=((222a 2a 24a 44a 44a a 2a 2a 2a 2a 2a 2-+--++=+==++++++变式训练:4a 2a 2-+-4、巧用裂“项”法: 例. 计算:(((((((10099132121111--++--+--+-x x x x x x x x分析:本题若将原式通分再相加,进行手工计算的式子有多长,时间耗费多少就不言而喻了.仔细分析,我们类比小学的:;;;11111111111162323123434204545==-==-==-⨯⨯⨯这个裂“项”的技巧,有:(((((;;;111111111x x 1x 1x x 1x 2x 2x 1x 2x 3x 3x 2=-=-=-----------,以此类推,最后互为相反数特征的不和为0,最后计算就简便了.真可谓是“四两破千斤”.解:原式=1111111111x 1x x 2x 1x 3x 2x 99x 98x 100x 99-+-+-++-+---------- =+1111111111x x 1x 1x 2x 2x 3x 98x 99x 99x 100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+--+-+⎪⎪⎪⎪---------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =11x x 100-+-=((x 100xx x 100x x 100--+--=(100x x 100-变式训练:(((((((((11111x x 1x 1x 2x 2x 3x 2014x 2015x 2015x 2016++++++++++++++5、利用分配律:例.计算:1x 11x x 1x x 22-÷⎪⎭⎫⎝⎛+-- 分析:本题有两种解法.其一、按常规解法先算括号里面的,见下面的方法1;其二、用分配律进行运算,见下面的解法2.两种方法比较方法2更简单. 略解:(方法1:先算括号里的原式=((((((1x 11x 1x 1x x 1x 1x 1x x 22-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-+ =((((1x 1x 11x 1x x x x 2x 222-+÷+-+-+=((((11x 1x 1x 1x x3x 2-+⨯+-+ =x 3x 2+(方法2:利用分配律原式=((11x 1x 1x x 1x x 2-+⨯⎪⎭⎫⎝⎛+-- =((((1x 1x 1x x1x 1x 1x x 2-+⨯+--+⨯-=((1x x 1x x 2--+=x x x 2x 222+-+ =x 3x 2+变式训练:x2x 24x 4x 1x 2x 1222-÷⎪⎭⎫⎝⎛+---6、巧代换:例.设abc 1=,求1c ac c1b bc b 1a ab a ++++++++的值?分析:由abc 1=,可知1abc =,且c 0≠;若将题中最前面的分式分子、分母都乘以c ,中间的分式的分母1换成abc ,本题的三个式子就将非常巧妙化成了同分母的分式,一切问题便都迎刃而解了.解:∵abc 1=∴1abc =,且c 0≠∴原式 =(ac b c ac b cabc ac c bc b abc ac c 11ac c b ac c 1ac c 1++=++++++++++++++=ac 1cac c 1ac c 1ac c 1ac c 1ac c 11++++++++++=++= 点评:本题在破解题上有些特殊性,须从1abc =才能看的出些端倪;当我们把中间分式的1换成abc 后,就很容易看得出后面两个是同分母的分式了,在通过第一个分式的变形、代换来“服从”另外两个分式.从本题我们得到的启发是代数式的变形除了要顺逆两用、加减乘除等来帮忙、还要注意数式之间的相互转换.7、设参法(辅助未知数法:例.已知5z4y 3x ==,求2222y xy 2x 3y 2xy 3x -++-的值?分析:本题通过5z4y 3x ==的条件可以找出x y z 、、之间的关系,然后变换代入进行分式的约分,但过程繁杂.若设x y zk 345===,则,,x 3k y 4k z 5k ===,代入后进行计算就比较简单了(这里k 起个辅助作用,最后会约去的.解:设x y zk 345===,则,,x 3k y 4k z 5k ===,代入:((((22222222222222223k 33k 4k 25y x 3xy 2y 9k 36k 50k 23k 23263x 2xy y 27k 24k 25k 26k 33k 23k 4k 5y -⨯⋅+⨯-+-+====+-+-+⨯⋅-变式训练:已知::::a b c 235=,求22222a ab b 3a 2ab 2b -++-的值.8、“因式分解”法:例.计算:((((11221122---------÷-++÷-b a b a b a b a分析:本题若按常规解法,就要先算括号里面的,也就是要分别通分后相加减后再进行后面的运算,步骤是比较多的.我们发现((222211a b a b -----=-,可以借用整式中分解因式的技巧,将((222211a b a b -----=-分解成((1111a b a b ----+-,然后进行约简. 解:原式=((((((111111111111a b ab ab ab a b a b ------------+-÷+++-÷- =1111a b a b -----++=12a -=2a变式训练:2121212m m m m 2m 2m 1m 1------------+-9、乘方法、倒数法:例.已知51=+x x ,求①、221x x +;②、44-+x x ;③、1242++x x x . 分析:本题按常规解法将要求的式子配方,然后再整体代入求值.有的同学对于配方一类的题显得有些吃力,基础较弱的同学对积的2倍是个常数觉得抽象.其实根据本题的条件和要求的代数式①和②,若用等式两边同时同次方的乘方法仍是在意义条件范围内;③题可以用倒数(分子、分母颠倒的办法解决. 略解:,,2222111x 5x 5x 225x x x ⎛⎫+=∴+=∴++= ⎪⎝⎭①. 221x 25223x +=-=②. 221x 23x+=22244244111x 23x 2529x 5292527x x x ⎛⎫∴+=∴++=∴+=-= ⎪⎝⎭,, ③.设242x m x x 1=++,则422221x x 11x 123124m x x ++==++=+= ∴1m 24=,即242x 124x x 1=++.变式训练:⑴.若1m 7m -=,求①. 22m m --;②. 441m m+;③.242m m m 1++ 的值.⑵.若221a 5a+=,试求1a a -的值.10、去分母法:例.已知:a b 、都是正实数,且b a b a +=-211,求22b 2ab 3a 2ab7-+的值?分析:两头凑,从已知出发通过去分母或通分很容易得出ab 与22a b -之间的关系而要求的代数式变形后是以ab 与22a b -为结构的.解:((22112b a 2b a a b 2ab a b 2ab a b a b ab a b--=∴=∴-+=∴-=-++∴(((227ab 7ab 7ab 7ab 7ab722ab 3ab 22ab 3ab 4ab 3ab ab 2a b 3ab======-⨯-+⨯-+-+--+原式变式训练:若331x y -=,求+2225x y3x 2x y 3xy-的值.11、分类讨论:例.已知k bca a cbc b a =+=+=+,判断一次函数y kx k =-一定经过那些象限?分析:要判断一次函数y kx k =-一定经过那些象限的关键是要确定k 的取值情况,而k 的取值和a b c 、、有关,由于本题未给定a b c 、、的条件,所以要进行讨论. 在当a b c 、、均不等于0的情况下,分为a b c 0++=和a b c 0++≠进行讨论,见下面的解答.解:⑴.当a b c 、、均不等于0且a b c 0++≠时,有((((a b b c a c 2a b c k 2c a b a b c+++++++===++++,即y 2x 2=-,此时一次函数的图象经过一、三、四象限.⑵.当当a b c 、、均不等于0, 但a b c 0++=时,此时,,a b c a c b b c a +=-+=-+=-,代入c a b k 1c a b---====-,即y x 1=-+,此时一次函数的图象经过一、二、四象限.变式训练:已知a b c 、、均是不等于0的有理数,试求:b ab ac a c bc abca b c ab bc ac abc ++++++的值?课外选练:一、计算或化简:;ba a 2ab b a a b b a .1-÷⎪⎭⎫⎝⎛-+÷⎪⎭⎫⎝⎛- ;b a b2a b a b a 1a 2.2---+-+ (;3x x 13x 4x 1x 2x 1x 2x x x 2x .322222+÷-++++--⋅---((((;6a a a a 3a 4a a a 2.42222-++++-;1a 44a 44a 2a 4.5⎪⎭⎫⎝⎛-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛+-⨯-;21a 1a 44a 14a 81.622⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--- ;1a 4a 4a 2a a 4a 21a a 4a .732222++++--+⋅+-- ;y xy 2x y x y x x y xy 2x x y x .8222232+-+⋅-÷++- (((1x 2x xx 1x x1x 2x .92222--+⋅-÷+-((.4x 2x 4x x 2x 4x .1022-+-+-+二、解答题:2015 年周末班学案 1.如果自信释放潜能；付出铸就成功！求的值？ 18 2.已知 x 为整数，且的值也为整数，求所有符合条件的 x 值的和？，其中先化简,再求值:若求的值？先化简,再求值x 5.在三个整式 x2 -1，中，请你从中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个进行化简，再求当时分式的值？ 6.阅读题：当时，有时，有当时，有 a 请运用上面的结论解答下面的问题：时，计算的值，并比较与y2 的大小？ 7.阅读下面题目的解答过程，然后回答问题，计算：解：原式= = 1 1第一步第二步第三步回答：⑴.上述过程中，第一步使用的公式的字母表达式为⑵.第二步使用的法则的字母的表达式；⑶.由第二步到第三步所用的运算方法是；⑷.在以上三步中，第步有错误，请写出正确答案. ；的值，雯 8.下课了，老师给大家布置了一道作业题：当时，求代数式雯一看，感慨道：“今天的作业要算得久啊！”你能找到简单的方法帮雯雯快速解决这个问题吗？请写出你的求解过程有这样一道试题：“先化简，在求值其中马虎做该题时把错抄成，但他的计算结果却是正确的，你能解释一下其中的原因吗？3” 1 ” 模式题组; x 1 1 ⑴、已知：求的值？ x x 62015 年周末班学案⑵、已知： x 2 -求自信释放潜能；付出铸就成功！ WLS 1 的值？ x2 ⑶、已知： x x2 的值求。
分式运算技巧知识点总结
分式运算技巧知识点总结分式运算是数学中一种常见的运算形式，它包括分数的加减、乘除等操作。
在分式运算中，掌握一些技巧可以帮助我们更加快速、准确地计算。
本文将对分式运算的一些常用技巧进行总结，并给出相应的例子加以说明。
一、分数的加减运算技巧1. 寻找相同的分母：在进行分数的加减运算时，首先要寻找相同的分母。
若分母不同，则需要通过通分的方法将分母转化为相同的数。
例子1：计算1/2 + 1/3。
解析：由于1/2和1/3的分母不同，我们需要找到它们的最小公倍数，即6。
将两个分数的分子和分母都乘以适当的数进行通分：1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/62. 合并同类项：在找到相同的分母后，可以将分子进行合并，然后再进行计算。
例子2：计算2/5 + 3/5。
解析：由于2/5和3/5的分母相同，直接将分子相加即可：2/5 + 3/5 = (2 + 3)/5 = 5/5 = 13. 化简分数：在进行分数的加减运算时，可以先将分数化简，再进行计算。
这样可以简化计算过程，得到更简洁的结果。
例子3：计算3/10 + 2/5。
解析：先对3/10进行化简，即可以将分子和分母都除以最大公约数2得到1/5：3/10 + 2/5 = 1/5 + 2/5 = (1 + 2)/5 = 3/5二、分数的乘除运算技巧1. 分数的乘法：将分数的分子相乘，分母相乘即可。
例子4：计算2/3 × 4/5。
解析：将分子相乘得到2 × 4 = 8，分母相乘得到3 × 5 = 15，所以结果为8/15。
2. 分数的除法：将除数的分子乘以被除数的倒数，即可进行分数的除法运算。
例子5：计算2/3 ÷ 4/5。
解析：将除数2/3的分子乘以被除数4/5的倒数5/4，即2/3 × 5/4，根据分数的乘法规则可得到结果10/12，化简得到5/6。
三、其他分式运算技巧1. 分数的幂运算：对分式进行幂运算时，可以将分子和分母分别进行幂运算。
分式运算的常用技巧与方法
分式运算的常用技巧与方法1.分数的乘法和除法：分数的乘法：分数的乘法可以直接将分子和分母相乘。
例如，计算2/3*4/5，可以直接计算出8/15分数的除法：分数的除法可以转化为乘法的逆运算。
例如，计算2/3÷4/5，可以将除法转化为乘法，即2/3*5/4=10/12，再进行约分得到5/62.分数的加法和减法：分数的加法：对于相同分母的分数，直接将分子相加即可；对于不同分母的分数，需要先进行通分，然后再进行相加。
例如，计算2/3+4/5，需要先找到两个分数的最小公倍数（如15），然后进行通分，计算得到10/15+12/15=22/15分数的减法：分数的减法可以转化为加法的逆运算。
例如，计算2/3-4/5，可以将减法转化为加法，即2/3+(-4/5)=10/15+(-12/15)=-2/153.分数的化简：分数的化简即将分数表示成最简形式。
最简形式的分数是指分子和分母没有公共因子，即它们的最大公约数为1、例如，将4/6化简成最简形式，找到最大公约数（如2），然后将分子和分母同时除以最大公约数，得到2/3化简还可以使用质因数分解的方法，将分子和分母分别进行质因数分解，然后约去公共的质因数。
例如，将20/30化简成最简形式，将分子和分母分别进行质因数分解（20=2*2*5，30=2*3*5），然后约去公共的质因数2和5，得到2/34.分数的比较：分数的比较可以通过交叉相乘的方法。
对于两个分数a/b和c/d，可以将它们转换为分数的乘法形式，即a/b和c/d可以写成a*d和b*c。
然后，将乘积进行比较，即比较a*d和b*c的大小。
例如，比较2/3和3/5的大小，可以计算2*5和3*3的大小，得到10和9，所以2/3大于3/55.分数的倒数和相反数：分数的倒数是指分子和分母互换位置，例如，分数3/4的倒数即为4/3、分数的相反数是指分子加上负号，例如，分数3/4的相反数即为-3/46.分式方程的解法：对于含有分式的方程，可以通过通分、化简、消去分母等方法进行求解。
分式技巧
一、分式运算的几种技巧1、先约分后通分 例1 计算2312+++x x x +4222--x xx2、分离整数 例2 计算233322+-+-x x x x -657522+-+-x x x x -3412+-x x3、裂项相消 例3 计算)1(1+x x +)3)(1(2++x x +)6)(3(3++x x4、分组通分 例4 计算21-a +12+a -12-a -21+a二、分式方程的特殊解法1、交叉相乘法 例1．解方程：231+=x x2、化归法 例2．解方程：012112=---x x3、左边通分法 例3：解方程：87178=----x x x4、分子对等法 例4．解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+5、观察比较法 例5．解方程：417425254=-+-x x x x6、分离常数法 例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x7、分组通分法 例7．解方程：41315121+++=+++x x x x三、条件分式求值的常用技巧1、整体代入法例1. 若分式73222++y y 的值为41，则21461y y +-的值为 . 例2. 已知a 1+b 1=4，则bab a b ab a 323434-+-++= 。
例3. 已知a 2-3a+1=0，求142+a a 的值。
2、参数法例4. 已知c z b y a x ==，求证：22ax ca bc ab zx yz xy =++++例5.已知532-==z y x ，求xz y x 232++的值．三、倒数法例6.已知a 1+b 1=61，b 1+c 1=91，a 1+c 1=151，求bc ac ab abc ++的值。
例7.已知,,,0.xy xz yz a b c abc x y x z y z===≠+++且求证ab ac bc abc x -+=2四、主元法例8.已知：2a-3b+c=0,3a-2b-6c=0,且abc ≠0,求2223333242ac c b b a c b a +-+-的值．例9.已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc ≠0，求2ab bc ca b++的值.五、变形代入法 例10.（非负变形）. 已知：2286250a b a b +-++=，求22222644a ab b a ab b ---+的值.例11.（归类变形）. 已知a c c b b a 111+=+=+，且a 、b 、c 互不相等，求证：1222=c b a。
总结解分式不等式的方法与技巧
总结解分式不等式的方法与技巧分式不等式是数学中的一种常见问题，解决这类问题需要掌握一定的方法与技巧。
本文将总结解分式不等式的方法与技巧，并提供相关的例子来帮助读者更好地理解和应用。
1. 分式不等式的基本概念介绍分式不等式是指不等式中包含有分式的情况。
其中分式的分子和分母都可能是多项式，需要通过寻找分数的取值范围来确定不等式的解集。
2. 转化分式不等式为多项式不等式为了更好地解决分式不等式，我们可以首先将其转化为多项式不等式。
转化的方法通常是将分式进行通分，得到一个多项式，然后根据不等式的性质进行运算。
例如，对于不等式 (x^2-1)/(x+2) < 0，我们可以先将分式通分得到(x-1)(x+1)/(x+2) < 0。
然后通过构造符号表或使用数轴上的测试点法来确定不等式的解集。
3. 分式不等式的常见类型分式不等式可以分为三种常见类型：真分式不等式、带根式的分式不等式和分式方程不等式。
真分式不等式是指不等式中的分式不包含根式，在解决这种类型的不等式时，可以通过化简、通分和分解等方法来求解。
带根式的分式不等式是指不等式中的分式含有根式，处理这种类型的不等式时，可以通过平方两侧或借助不等式的性质进行变形。
分式方程不等式是指不等式既不是线性方程也不是二次方程，需要通过将不等式转化为等式的形式，并求出等式的解集，再根据不等式的性质确定不等式的解集。
4. 解决分式不等式的步骤与技巧解决分式不等式的方法与技巧如下：4.1 确定分式定义域：首先需要确定分式的定义域，即分母不能等于0的情况。
将分母为零的解点确定，然后将数轴分成若干个区间。
4.2 符号表法：构建符号表法是解决真分式不等式和带根式的分式不等式常用的方法之一。
首先列出分数的因式，并将因式的符号写在符号表中。
然后通过符号的交替性来确定不等式的解集。
4.3 数轴上的测试点法：数轴上的测试点法是解决分式不等式常用的方法之一。
在数轴上选择不同的测试点，将其带入不等式中进行判断，然后根据不等式的性质来确定不等式的解集。
分式运算中的常用技巧与方法
分式运算中的常用技巧与方法分式是数学中常见且重要的运算形式，它可以表示两个数之间的比例关系或者一个数与一个无穷小量之间的关系。
分式的运算需要注意一些技巧和方法，下面我将详细介绍一些常用的技巧和方法。
1.分式的化简：分式的化简是指将一个复杂的分式转化为一个更简单的分式，通常可以通过约分或者通分来达到目的。
- 约分：如果分式的分子和分母有一个公因子，可以将这个公因子约掉。
例如，$\frac{8}{12}$可以约分为$\frac{2}{3}$。
- 通分：如果分式的分母不同，可以通过求最小公倍数来将分母变为相同的数。
例如，$\frac{1}{3}$和$\frac{2}{5}$可以通分为$\frac{5}{15}$和$\frac{6}{15}$。
2.分式的加减：分式的加减运算需要将分母变为相同，然后对分子进行相应的加减操作。
- 通分：对于两个分母不同的分式，需要找到它们的最小公倍数，然后将分母变为最小公倍数，再对分子进行加减操作。
例如，$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$可以通分为$\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$。
- 减法的变形：对于分式的减法运算，可以改写为加法的形式，即将减号变为加号，然后将第二个分式的分子取反。
例如，$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$可以写为$\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}+\frac{-1}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$。
3.分式的乘法：分式的乘法是将两个分式的分子相乘，分母相乘得到结果。
- 化简：如果乘法运算结果可以进行约分，则进行约分。
例如，$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
4.分式的除法：分式的除法是将两个分式交叉相乘，即将第一个分式的分子乘以第二个分式的分母，第一个分式的分母乘以第二个分式的分子。
(完整word版)分式求值中的一些解题技巧
分式求值中的一些解题技巧一、本章知识框架图建立本章知识框架图，形成本章知识体系：二、分式的基本知识点回顾1、分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个 ，并且 中含有字母，那么代数式 叫做分式。
注意分式中字母代表什么数或者式子是有条件的:.0 .⎧⎨⎩分式有意义的条件:分式为的条件：2、分式的基本性质：分式的 都乘以（或除以） . 式子：MB A B A B M A B A ÷÷=⋅⋅=)(,) (（其中，M 是 ） 3、分式的运算 Ⅰ、乘法 ：分式乘分式， 做积的分子， 做积的分母. Ⅱ、除法：分式除以分式，把分式的 颠倒位置后再与被除式 .Ⅲ、加减：⎩⎨⎧. , . , 后先异分母的分式相加减：分子分母同分母的分式相加减：路曼曼其修远兮，吾将上下而求索专题 典例引路—分式运算的常用技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。
但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，这节课我们来学习运用数学思想和方法技巧来对分式进行运算。
1、整体例1 计算(1)242++-a a （2）1132+--+x x x x观察归纳丰富的问题情景分式的概念分式方程的概念分式方程的解法 分式方程的应用分式的基本性质通分约分分式的运算分式的乘除法分式的加减法 分式的混合运算 分式的化简求值例2 .3353,511)1(的值求若yxy x yxy x y x ---+=-.111,1)2(的值求已知++++++++=c ac cb bc b a ab a abc.3515x 5,411x )3(224242的值求如果xx x x +-=++整体思想就是考虑数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。
整体思想在处理数学问题时，有广泛的应用。
分式运算的若干技巧
分式运算的若干技巧
在数学中，分式的运算经常被用来解决一些复杂的方程，这使得计算机科学、物理学及工程学方面的研究都变得更加得心应手。
尽管分式运算看起来有点复杂，但是通过一些有效的技巧，可以让分式运算变得简单易行。
以下是一些有效的分式运算技巧：
1、约分：约分是分式运算中最基本也是最常用的技巧，约分的目的是将分子和分母同时约简，在计算机科学上分式约分可以减少计算量，同时也有助于保持正确的结果。
2、简单运算：有时候分式运算中也可以使用简单运算，比如加减乘除等操作，比如：2/3 + 3/4 = 10/12。
3、使用分母的公约数：如果要将两个或多个分式相加减，那么，可以先将分母转化为同一个公约数，然后在进行加减操作，比如：2/3 + 3/4 = 8/12。
4、共轭分式：共轭分式是一种特殊的分式，其分子和分母的和等于1。
这种可以使用在分式的乘法、除法中，比如：3/5 * 5/3 = 3/5 * 3/5 = 1/1。
5、指数运算：指数不仅可以用来记录分式，也可以用来解决分式运算中的问题，比如：(2/3)^2 = 4/9。
6、求分式的逆数：对于一般的分式，求其逆数的步骤是：将分子和分母互换，然后用分子的取反数再除以分母，比如：2/3的逆数为：-2/3。
7、分式的混合运算：有时候也可以在分式运算中结合上述种运
算来完成混合运算，比如：(2/3 + 3/4) * 5/6 = 20/36。
以上就是一些常见的分式运算技巧，其实还有更多复杂的技巧，这里只是简单介绍了一些最基本的运算技巧。
当然，想要掌握这些技巧，不光是要理论知识，更重要的是要多加练习，不断的练习才能掌握这些技巧，实现分式运算中的高效率。
初中分式方程应用题解题如何设未知数技巧讲解
在解决初中分式方程应用题时，可以运用以下技巧来设立未知数：1. 通过问题的关键信息确定未知数：仔细阅读题目，找出与未知数相关的信息。
例如，如果问题涉及某个物品的价格，可以设未知数为该物品的价格。
2. 使用字母表示未知数：选择一个合适的字母来表示未知数，通常使用x、y、z 等字母。
确保所选字母易于理解和计算。
3. 进行适当的定义：对于未知数，可以根据问题的要求进行适当的定义。
例如，如果问题中提到某个物体的数量比另一个物体的数量多两倍，可以设未知数为较少物体的数量，然后用倍数关系来表示较多物体的数量。
4. 设置方程表达式：根据问题的陈述和已设定的未知数，用方程表达式将问题转化为数学问题。
利用题目中给出的条件和关系来构建方程表达式。
注意使用合适的运算符和等号。
5. 解方程并验证：根据所设的方程，使用代数方法解方程以确定未知数的值。
在解方程后，验证该解是否满足问题的条件和要求。
需要注意的是，理解问题，并正确地设定未知数和方程是解决初中分式方程应用题的关键。
通过实际练习和思考典型问题，能够逐渐培养出正确设定未知数的能力。
当解决初中分式方程应用题时，以下技巧可以帮助你设立未知数：1. 仔细阅读题目：确保理解问题的背景和要求。
识别出与未知数相关的信息和关系。
细致地分析题目的条件和问题要求，以便正确设立未知数。
2. 使用常用字母表示未知数：通常情况下，未知数使用字母如x、y、z 等来表示。
可以根据具体问题的背景和意义选择其他符号。
遵循约定俗成的惯例，以便能够清晰地表达方程。
3. 定义未知数：根据问题的要求和已知信息，定义未知数的含义和取值范围。
例如，如果问题涉及某个物品的价格，可以设未知数为该物品的价格，并确保价格必须是正数。
4. 建立方程：利用问题中的条件和关系，将问题转化为数学方程。
根据设定的未知数和已知条件，使用运算符（如加减乘除）和等号来建立方程。
确保方程可以准确地描述问题中的关系。
5. 解方程并验证：通过代数方法解方程，求得未知数的值。
中考数学复习指导：解答分式问题的若干技巧
分式运算中的四个技巧分式运算是遵循一定法则的，比如先做乘除运算，再算加减运算，同级运算按照从左到右的顺序做；若有括号先算括号里面的.但在某些运算上却存在一定的灵活性，若能掌握一些方法技巧则能更简便的进行运算.下面举例说明分式运算中的一些技巧:1.先约分后通分例如:计算：3223222()2x x y x x y xy x y y xy x x y +----+- 如果先对分母进行分解因式，得出最简公分母xy (x +y )(x -y )，直接通分，分子间的运算就变得相对繁琐而且容易出现错误，从而使解题失败.如果根据分式的特点把分子、分母先约分变为22()()()x x y x y y x y x y x y x y----++-,显然，通分后分子的运算就变得相对简单一些.所以在运算中要尽量使分子变得简单.2.拆项例如:化简123(1)(1)(3)(3)(6)x x x x x x +++++++ 如果直接通分，运算非常复杂.观察到分母中两因式之差等于分子，可逆用分式的通分法则，把每个分式拆成两分式之差，消去一些项使分式运算变简单.解:原式＝111111()()()11336x x x x x x -+-+-+++++ ＝116x x -+ ＝6(6)x x + 3.巧用公式例如:计算221111[]()()()a b a b a b a b-÷-+-+- 若先算括号里面的，运算就比较复杂，考虑到后面除以11a b a b -+-，可以用平方差公式分解因式后化简.解:原式＝111111()()()a b a b a b a b a b a b+-÷-+-+-+- ＝11a b a b ++-＝222a a b - 4.巧用乘法分配律例如:计算22[()]33x y x y x y x x y x x+----÷+ 如果按照法则进行，先算括号里面的，过程就比较繁琐，而用乘法分配律进行计算.运算就简单多了. 原式=222[()]33x y x x y x x y x x y x y+-∙++∙++- ＝22(2)33x x x x y -+∙- ＝2x x y- 所以当碰到有括号的运算时，要根据具体的式子，观察分析是先算括号里面的还是使用乘法分配律.分式加减运算的几种技巧分式加减运算是分式的重点和难点，尤其是导分母分式的加减运算更需要具备扎实的基础知识和解题技巧，下面例谈几种运算技巧。
分式运算中的十二种常用技巧
分式运算中的十二种常用技巧在分式运算中，有很多常用技巧可以帮助我们简化表达式、求解问题。
下面我将介绍分式运算中的十二种常用技巧。
一、分子与分母的公因式法当分子与分母有公因式时，我们可以先约去它们的公因式，再进行运算。
例如，对于分式 $\frac{3x^2}{4x}$，我们可以约去分子和分母的公因式 $x$，简化为 $\frac{3x}{4}$。
二、通分法对于两个分式，如果它们的分母不同，我们需要先将它们的分母化为通分，再进行运算。
例如，对于分式 $\frac{x}{2} + \frac{y}{3}$，我们可以将它们的分母化为通分，变为 $\frac{3x}{6} + \frac{2y}{6}$，再进行求和。
三、分数相加减法分数相加减法可以通过通分法化简，再按照分子相加减，分母保持不变的原则进行运算。
例如，对于分式 $\frac{3}{4} + \frac{1}{6}$，我们可以先将其通分为 $\frac{9}{12} + \frac{2}{12}$，再进行求和，得到$\frac{11}{12}$。
四、负号的运用在分式运算中，可以用负号将有多个项的分式变为一个项的分式。
例如，对于分式 $\frac{a}{b} - \frac{c}{d}$，我们可以将其转化为 $\frac{ad - bc}{bd}$。
五、分式的乘法分式的乘法可以按照分子相乘、分母相乘的原则进行运算。
例如，对于分式 $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$，我们可以将其简化为 $\frac{ac}{bd}$。
六、分式的除法分式的除法可以通过将被除数与除数的分子与分母交叉相乘，再进行约分得到结果。
例如，对于分式 $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$，我们可以将它转化为 $\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$，再进行约分。
七、分式的乘方分式的乘方可以通过将分子与分母分别进行乘方运算得到结果。
分式运算的常用技巧与方法
分式运算的常用技巧与方法分式运算是数学中常见的运算形式，掌握一些常用的技巧和方法可以帮助我们更快、更准确地进行计算。
以下是一些分式运算的常用技巧和方法：一、化简与约分：化简和约分是分式运算的基本操作，可以简化分式，使其更容易处理。
化简分式的方法有：1.因式分解：将分子和分母同除以其最大公因数，化简为最简形式的分式。
2.合并同类项：对于分子或分母中含有多项的情况，将同类项相加或相减，化简为简单的形式。
3.分解为部分分式：一些分式可以通过分解为部分分式的形式进行化简，如等式两端分别乘以一个分子时。
二、通分：当两个分式的分母不同时，我们需要将分母化为相同的公分母，这个过程称为通分。
通分的方法有：1.找到两个分母的最小公倍数，在分子和分母同时乘上适当的倍数，使得两个分母相等。
2.当两个分式的分母为一次因式的幂指时，可以将较高次幂的分母分解为较低次幂的分母，再进行通分。
三、分式的加减运算：分式的加减运算可以通过通分和合并同类项来进行。
具体的步骤如下：1.找到两个分式的最小公倍数作为通分的分母。
2.将两个分式的分子乘以一个适当的倍数，使得它们的分母相同。
乘上的倍数可以通过最小公倍数与原分母的比值得到。
3.合并同类项，将分子进行相加或相减。
四、分式的乘除运算：分式的乘除运算可以通过相乘或相除的方式进行。
具体的步骤如下：1.乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到新的分子和分母后化简。
2.除法：将一个分式的分子乘以另一个分式的分母，分母乘以另一个分式的分子，得到新的分子和分母后化简。
五、分式的倒数和幂运算：分式的倒数就是将分子和分母互换的操作。
分式的幂运算可以通过将分子和分母同时进行幂运算来进行。
六、一些特殊的分式运算：除了以上常见的分式运算方法，还有一些特殊的分式运算，如：1.分式的比较大小：将两个分式的分子和分母相乘后进行比较。
2.分式的求值：将分式中的变量替换为具体的数值进行计算。
专题分式运算中的常用技巧
重点：1. 掌握设参数法进行分式运算；2. 利用公式变形进行分式运算；3. 掌握整体通分的思想方法。
难点：会选用恰当的方法解决与分式有关的问题。
微课程1：设k 求值【考点精讲】运用已知条件，求代数式的值是数学学习的重要内容之一。
除了常规代入求值法，还要根据题目的特点，灵活运用恰当的方法和技巧，才能达到预期的目的。
如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数，以便沟通数量关系，设k 求值，也叫做设参数法。
通常是用含有字母的代数式来表示变量，这个代数式叫作参数式，其中的字母叫做参数。
参数法，是许多解题技巧的源泉。
【典例精析】例题1 已知0345a b c ==≠，求322a b ca b c-+--的值。
思路导航：首先设345a b ck ===，则可得a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ，然后将其代入322a b c a b c-+--，即可求得答案。
答案：解：设345a b ck ===（k≠0），则a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ，所以322a b c a b c -+--＝332453245k k k k k k ⨯-⨯+-⨯-＝610k k -＝35-点评：本题考查了运用设k 值的方法求分式的值，用“设k 法”表示出a 、b 、c 可以使运算更加简便。
例题2 已知a ，b ，c 均不为0，且232537a b b c c a +--==，求223c bb a-+的值。
思路导航：仔细观察223c bb a-+，只要a 、b 、c 用同一个未知数表示，就可以约去分式中的未知数。
所以，设232537a b b c c a+--==＝k ，用k 来表示a 、b 、c ，然后将其代入所求的分式即可。
答案：解：设232537a b b c c a+--==＝k ， 则a ＋2b ＝5k ，① 3b －c ＝3k ，② 2c －a ＝7k ，③由①＋③得，2b ＋2c ＝12k ， ∴b ＋c ＝6k ，④由②＋④，得4b ＝9k ，∴b ＝94k ，分别代入①、④得，a ＝12k ，c ＝154k ，∴223c b b a -+＝159429322k k k k -+＝346kk -＝18- 例题3 已知b c a c a b a b c +++==，计算()()()a b b c c a abc +++。
分式运算中的常用技巧与方法
分式运算中的常用技巧与方法分式运算是数学中常见的运算形式之一，它涉及到有理数的运算和表示。
在分式运算中，有一些常用的技巧和方法可以帮助我们更好地进行运算。
以下是一些常见的分式运算技巧和方法。
1.分式化简：分式化简是分式运算的基础技巧。
化简分式可以使运算更加简便。
化简分式的方法包括因式分解、约分等。
例如，对于分式$\frac{12}{18}$，可以化简为$\frac{2}{3}$，使得运算更加简单。
2.公约数与公倍数：在分式运算中，找到分子和分母的公约数或公倍数可以帮助我们进行约分和通分。
例如，对于分式$\frac{6}{15}$，我们可以同时约分分子和分母的公约数2，得到$\frac{3}{5}$。
又如，对于分式$\frac{1}{4}$和$\frac{1}{6}$，我们可以找到它们的最小公倍数12，通分得到$\frac{3}{12}$和$\frac{2}{12}$。
3.分数的乘法和除法：在分式的乘法中，我们可以直接将分子相乘，分母相乘。
例如，对于分式$\frac{2}{3}$和$\frac{4}{5}$的乘法运算，可以直接得到$\frac{8}{15}$。
在分式的除法中，我们可以将除法转换为乘法，即将除数的倒数乘以被除数，例如，$\frac{2}{3}$除以$\frac{4}{5}$等价于$\frac{2}{3}*\frac{5}{4}=\frac{10}{12}$，然后再化简得到$\frac{5}{6}$。
4.分数的加法和减法：在分式的加法和减法中，我们需要找到它们的公共分母，然后将分子相加或相减。
例如，对于分式$\frac{1}{4}$和$\frac{2}{3}$的加法运算，我们需要将它们通分为$\frac{3}{12}$和$\frac{8}{12}$，然后再相加得到$\frac{11}{12}$。
对于减法运算，也是类似的步骤，例如，$\frac{2}{3}$减去$\frac{1}{4}$等价于$\frac{8}{12}$减去$\frac{3}{12}$，得到$\frac{5}{12}$。
专题09 分式方程(归纳与讲解)(解析版)
专题09 分式方程【专题目录】技巧1：分式的意义及性质的四种题型 技巧2：分式运算的八种技巧技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围 技巧4：分式求值的方法 【题型】一、分式有意义的条件 【题型】二、分式的运算 【题型】三、分式的基本性质 【题型】四、解分式方程 【题型】五、分式方程的解 【题型】六、列分式方程 【考纲要求】1、理解分式、最简分式、最简公分母的概念，掌握分式的基本性质，能熟练地进行约分、通分．2、能根据分式的加、减、乘、除的运算法则解决计算、化简、求值等问题，并掌握分式有意义、无意义和值为零的约束条件．3、理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)。
4、了解解分式方程产生增根的原因，会检验和对分式方程出现的增根进行讨论． 【考点总结】一、分式形如AB(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子叫做分式．A A【考点总结】二、分式方程【注意】1.约分前后分式的值要相等.2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式 分式混合运算的运算运算顺序：1.先把除法统一成乘法运算；2.分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；3.确定分式的符号，然后约分；4.结果应是最简分式.【技巧归纳】分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即a b ·c d ＝acbd .分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即a b ÷c d ＝a b ·d c ＝adbc在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．技巧1：分式的意义及性质的四种题型 【类型】一、分式的识别1．在3x 4x －2，－5x 2＋7，4x －25，2m ，x 2π＋1，2m 2m中，不是分式的式子有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．从a －1，3＋π，2，x 2＋5中任选2个构成分式，共有________个． 【类型】二、分式有无意义的条件3．若代数式1a －4在实数范围内有意义，则实数a 的取值范围为( )A ．a ＝4B ．a>4C ．a<4D ．a≠4 4．当x ＝________时，分式x －1x 2－1无意义． 5．已知不论x 为何实数，分式3x ＋5x 2－6x ＋m 总有意义，试求m 的取值范围．【类型】三、分式值为正、负数或0的条件6．若x ＋2x 2－2x ＋1的值为正数，则x 的取值范围是( )A ．x ＜－2B ．x ＜1C ．x ＞－2且x≠1D ．x ＞1 7．若分式3x －42－x 的值为负数，则x 的取值范围是________．8．已知分式a －1a 2－b 2的值为0，求a 的值及b 的取值范围．【类型】四、分式的基本性质及其应用 9．下列各式正确的是( )A .a b ＝a 2b 2B .a b ＝ab a ＋bC .a b ＝a ＋c b ＋cD .a b ＝ab b 2 10．要使式子1x －3＝x ＋2x 2－x －6从左到右的变形成立，x 应满足的条件是( ) A ．x ＞－2 B ．x ＝－2 C ．x ＜－2 D ．x≠－2 11．已知 x 4＝y 6＝z7≠0，求 x ＋2y ＋3z 6x －5y ＋4z 的值．12．已知x ＋y ＋z ＝0，xyz≠0，求x |y ＋z|＋y |z ＋x|＋z|x ＋y|的值． 参考答案1．C 点拨：4x －25，2m ，x 2π＋1不是分式．2．6 点拨：以a －1为分母，可构成3个分式；以x 2＋5为分母，可构成3个分式，所以共可构成6个分式． 3．D 4.±15．解：x 2－6x ＋m ＝(x －3)2＋(m －9)．因为(x －3)2≥0，所以当m －9＞0，即m ＞9时，x 2－6x ＋m 始终为正数，分式总有意义．6．C 点拨：x 2－2x ＋1＝(x －1)2.因为分式的值为正数，所以x ＋2＞0且x －1≠0.解得x ＞－2且x≠1. 7．x ＞2或x ＜438．解：因为分式a －1a 2－b 2的值为0，所以a －1＝0且a 2－b 2≠0.解得a ＝1且b≠±1.9．D 10.D11．解：设x 4＝y 6＝z7＝k(k≠0)，则x ＝4k ，y ＝6k ，z ＝7k.所以x ＋2y ＋3z 6x －5y ＋4z ＝4k ＋2×6k ＋3×7k 6×4k －5×6k ＋4×7k ＝37k 22k ＝3722.12．解：由x ＋y ＋z ＝0，xyz≠0可知，x ，y ，z 必为两正一负或两负一正．当x ，y ，z 为两正一负时，不妨设x ＞0，y ＞0，z ＜0，则原式＝x |－x|＋y |－y|＋z|－z|＝1＋1－1＝1；当x ，y ，z 为两负一正时，不妨设x ＞0，y ＜0，z ＜0，则原式＝x |－x|＋y |－y|＋z|－z|＝1－1－1＝－1.综上所述，所求式子的值为1或－1. 值的分式消元求值． 技巧2：分式运算的八种技巧 【类型】一、约分计算法 1．计算：a 2＋6a a 2＋3a －a 2－9a 2＋6a ＋9.【类型】二、整体通分法 2．计算：a －2＋4a ＋2.【类型】三、顺次相加法3．计算：1x －1＋1x ＋1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1.【类型】四、换元通分法4．计算：(3m －2n)＋（3m －2n ）33m －2n ＋1－(3m －2n)2＋2n －3m3m －2n －1.【类型】五、裂项相消法⎝⎛⎭⎫即1n （n ＋1）＝1n －1n ＋15．计算：1a （a ＋1）＋1（a ＋1）（a ＋2）＋1（a ＋2）（a ＋3）＋…＋1（a ＋99）（a ＋100）.【类型】六、整体代入法6．已知1a ＋1b ＝16，1b ＋1c ＝19，1a ＋1c ＝115，求abcab ＋bc ＋ac 的值．【类型】七、倒数求值法7．已知 x x 2－3x ＋1＝－1，求x 2x 4－9x 2＋1的值．【类型】八、消元法8．已知4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0，且xyz≠0，求5x 2＋2y 2－z 22x 2－3y 2－10z 2的值．参考答案1．解：原式＝a （a ＋6）a （a ＋3）－（a ＋3）（a －3）（a ＋3）2＝a ＋6a ＋3－a －3a ＋3＝9a ＋3. 点拨：在分式的加减运算中，若分式的分子、分母是多项式，则首先把能因式分解的分子、分母分解因式，其次把分子、分母能约分的先约分，然后再计算，这样可简化计算过程． 2．解：原式＝a －21＋4a ＋2＝a 2－4a ＋2＋4a ＋2 ＝a 2a ＋2. 点拨：整式与分式相加减时，可以先将整式看成分母为1的式子，然后通分相加减． 3．解：原式＝x ＋1x 2－1＋x －1x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1＝2x x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1＝2x （x 2＋1）＋2x （x 2－1）（x 2－1）（x 2＋1）＋4x 3x 4＋1＝4x 3x 4－1＋4x 3x 4＋1＝4x 3（x 4＋1）＋4x 3（x 4－1）（x 4－1）（x 4＋1）＝8x 7x 8－1. 点拨：此类题在计算时，采用“分步通分相加”的方法，逐步递进进行计算，达到化繁为简的目的．在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑．4．解：设3m －2n ＝x ，则原式＝x ＋x 3x ＋1－x 2－x x －1＝x （x 2－1）＋x 3（x －1）－x 2（x 2－1）－x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝－2x（x ＋1）（x －1）＝4n －6m（3m －2n ＋1）（3m －2n －1）.5．解：原式＝1a －1a ＋1＋1a ＋1－1a ＋2＋1a ＋2－1a ＋3＋…＋1a ＋99－1a ＋100＝1a －1a ＋100＝100a （a ＋100）.点拨：对于分子是1，分母是相差为1的两个整式的积的分式相加减，常用1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1进行裂项，然后相加减，这样可以抵消一些项． 6．解：1a ＋1b ＝16，1b ＋1c ＝19，1a ＋1c ＝115，上面各式两边分别相加，得⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ×2＝16＋19＋115， 所以1a ＋1b ＋1c ＝31180.易知abc≠0，所以abc ab ＋bc ＋ac ＝11c ＋1a ＋1b ＝18031.7．解：由xx 2－3x ＋1＝－1，知x≠0，所以x 2－3x ＋1x ＝－1.所以x －3＋1x ＝－1.即x ＋1x ＝2.所以x 4－9x 2＋1x 2＝x 2－9＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－11＝22－11＝－7. 所以x 2x 4－9x 2＋1＝－17.8．解：以x ，y 为主元，将已知的两个等式化为⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝6z ，x ＋2y ＝7z.解得x ＝3z ，y ＝2z. 因为xyz≠0，所以z≠0.所以原式＝5×9z 2＋2×4z 2－z 22×9z 2－3×4z 2－10z 2＝－13.点拨：此题无法直接求出x ，y ，z 的值，因此需将三个未知数的其中一个作为常数，解关于另外两个未知数的二元一次方程组，然后代入待求值的分式消元求值．技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围 【类型】一、利用分式方程解的定义求字母的值1．已知关于x 的分式方程2x ＋4＝m x 与分式方程32x ＝1x －1的解相同，求m 2－2m 的值．【类型】二、利用分式方程有解求字母的取值范围2．若关于x 的方程x －2x －3＝mx －3＋2有解，求m 的取值范围．【类型】三、利用分式方程有增根求字母的值 3．如果解关于x 的分式方程m x －2－2x 2－x＝1时出现增根，那么m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．4 D ．－44．若关于x 的方程m x 2－9＋2x ＋3＝1x －3有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m 的值．【类型】四、利用分式方程无解求字母的值5．若关于x 的分式方程x －ax ＋1＝a 无解，则a ＝________.6．已知关于x 的方程x －4x －3－m －4＝m3－x 无解，求m 的值．7．已知关于x 的分式方程x ＋a x －2－5x＝1.(1)若方程的增根为x ＝2，求a 的值； (2)若方程有增根，求a 的值； (3)若方程无解，求a 的值． 参考答案1．解：解分式方程32x ＝1x －1，得x ＝3.经检验，x ＝3是该方程的解． 将x ＝3代入2x ＋4＝mx ，得27＝m 3.解得m ＝67. ∴m 2－2m ＝⎝⎛⎭⎫672－2×67＝－4849.2．解：去分母并整理，得x ＋m －4＝0.解得x ＝4－m.∵分式方程有解， ∴x ＝4－m 不能为增根． ∴4－m≠3.解得m≠1.∴当m≠1时，原分式方程有解． 3．D4．解：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x ＋3)(x －3)＝0，所以x ＝3或x ＝－3是原方程的增根．原方程两边同乘(x ＋3)(x －3)，得m ＋2(x －3)＝x ＋3. 当x ＝3时，m ＋2×(3－3)＝3＋3，解得m ＝6； 当x ＝－3时，m ＋2×(－3－3)＝－3＋3， 解得m ＝12.综上所述，原方程的增根是x ＝3或x ＝－3. 当x ＝3时，m ＝6； 当x ＝－3时，m ＝12.点拨：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m 的值．5．1或－16．解：原方程可化为(m ＋3)x ＝4m ＋8.由于原方程无解，故有以下两种情形：(1)若整式方程无实根，则m ＋3＝0且4m ＋8≠0，此时m ＝－3；(2)若整式方程的根是原方程的增根，则4m ＋8m ＋3＝3，解得m ＝1.经检验，m ＝1是方程4m ＋8m ＋3＝3的解．综上所述，m 的值为－3或1.7．解：原方程去分母并整理，得(3－a)x ＝10.(1)因为原方程的增根为x ＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a ＝－2. (2)因为原分式方程有增根，所以x(x －2)＝0.解得x ＝0或x ＝2.因为x ＝0不可能是整式方程(3－a)x ＝10的解，所以原分式方程的增根为x ＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a ＝－2.(3)①当3－a ＝0，即a ＝3时，整式方程(3－a)x ＝10无解，则原分式方程也无解； ②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，a ＝－2.综上所述，a 的值为3或－2.点拨：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解． 技巧4：分式求值的方法 【类型】一、直接代入法求值 1．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋1＋a ＋2a 2－1÷a a －1，其中a ＝5.【类型】二、活用公式求值2．已知实数x 满足x 2－5x ＋1＝0，求x 4＋1x 4的值．3．已知x ＋y ＝12，xy ＝9，求x 2＋3xy ＋y 2x 2y ＋xy 2的值．【类型】三、整体代入法求值4．已知x y ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ＝1，且x ＋y ＋z≠0，求x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y 的值．【类型】四、巧变形法求值5．已知实数x 满足4x 2－4x ＋1＝0，求2x ＋12x 的值．【类型】五、设参数求值6．已知x 2＝y 3＝z4≠0，求x 2－y 2＋2z 2xy ＋yz ＋xz 的值．参考答案1．解：原式＝[2a ＋1＋a ＋2（a ＋1）（a －1）]·a －1a＝2（a －1）＋（a ＋2）（a ＋1）（a －1）·a －1a＝3a ＋1. 当a ＝5时，3a ＋1＝35＋1＝12.2．解：由x 2－5x ＋1＝0得x≠0，∴x ＋1x＝5.∴⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＝25.∴x 2＋1x 2＝23. ∴x 4＋1x 4＝⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22－2＝232－2＝527 点拨：在求解有关分式中两数(或两式)的平方和问题时，可考虑运用完全平方公式进行解答． 3．解：x 2＋3xy ＋y 2x 2y ＋xy 2＝x 2＋2xy ＋y 2＋xy xy （x ＋y ）＝（x ＋y ）2＋xyxy （x ＋y ）.因为x ＋y ＝12，xy ＝9， 所以（x ＋y ）2＋xy xy （x ＋y ）＝122＋99×12＝1712.4．解：因为x ＋y ＋z≠0，所以等式的两边同时乘x ＋y ＋z ，得x （x ＋y ＋z ）y ＋z ＋y （x ＋y ＋z ）z ＋x ＋z （x ＋y ＋z ）x ＋y＝x ＋y ＋z ，所以x 2y ＋z ＋x （y ＋z ）y ＋z ＋y 2z ＋x ＋y （z ＋x ）z ＋x ＋z 2x ＋y ＋z （x ＋y ）x ＋y ＝x ＋y ＋z.所以x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y ＋x ＋y ＋z ＝x ＋y ＋z.所以x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y＝0.点拨：条件分式的求值，如需对已知条件或所求条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能收到事半功倍的效果．条件分式的求值问题体现了数学中的整体思想和转化思想． 5．解：∵4x 2－4x ＋1＝0，∴(2x －1)2＝0.∴2x ＝1. ∴2x ＋12x ＝1＋11＝2.6．解：设x 2＝y 3＝z4＝k≠0，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k.所以x 2－y 2＋2z 2xy ＋yz ＋xz＝（2k ）2－（3k ）2＋2（4k ）22k·3k ＋3k·4k ＋2k·4k＝27k 226k 2＝2726. 【题型讲解】【题型】一、分式有意义的条件例1x 的取值范围是（ ） A ．x≥4 B ．x ＞4C ．x≤4D ．x ＜4【答案】D【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．4﹣x ＞0，解得：x ＜4 即x 的取值范围是：x ＜4故选D ． 【题型】二、分式的运算 例2、分式222111a a a a++---化简后的结果为（ ） A ．11a a +-B ．31a a +-C ．1a a --D ．2231a a +--【答案】B【分析】根据异分母分式相加减的运算法则计算即可．异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算． 【详解】解：222111a a a a++--- ()()()()()21221111a a a a a a ++=-+--+ ()()()222111a a a a +++=+-()()2222111a a a a a ++++=+-()()()()3111a a a a +=++- 31a a +=- 故选：B ．【题型】三、分式的基本性质 例3、若b a b -=14，则ab的值为（ ） A ．5B ．15C ．3D ．13【答案】A 【解析】因为b a b -=14， 所以4b=a -b ．，解得a=5b① 所以a b ①55b b=. 故选A.【题型】四、解分式方程 例4、方程2152x x =+-的解是（ ） A ．1x =- B ．5x =C ．7x =D ．9x =【答案】D【分析】根据题意可知，本题考察分式方程及其解法，根据方程解的意义，运用去分母，移项的方法，进行求解． 【详解】 解：方程可化简为()225x x -=+ 245x x -=+9x =经检验9x =是原方程的解 故选D【题型】五、分式方程的解 例5、关于x 的分式方程2mx -﹣32x-＝1有增根，则m 的值（ ） A ．m ＝2 B ．m ＝1C ．m ＝3D ．m ＝﹣3【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m 的值即可． 【详解】解：去分母得：m +3＝x ﹣2， 由分式方程有增根，得到x ﹣2＝0，即x ＝2，把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，解得：m＝﹣3，故选：D．【题型】六、列分式方程例6、随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．3000420080x x=-B．3000420080x x+=C．4200300080x x=-D．3000420080x x=+【答案】D【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得：3000420080x x=+，故选：D．分式方程（达标训练）一、单选题1．（2022·广西·富川瑶族自治县教学研究室模拟预测）关于x的分式方程3122m xx x++=--有解，则实数m应满足的条件是（）A．m=-1B．m≠-1C．m=1D．m≠1【答案】D【分析】解分式方程得：m + x-3=2-x即x=52m，由题意可知x≠2，即可得到m．【详解】解：31 22m xx x++= --方程两边同时乘以2-x得：m+x-3=2-x, 2x=5-m，x=52m①分式方程有解① x ≠2， 即52m≠2， ①m ≠1． 故选D ．【点睛】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键．2．（2022·海南省直辖县级单位·二模）分式方程211x =+的解为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】C【分析】按照分式方程的解法求解判断即可． 【详解】①211x =+， 去分母，得2=x +1， 移项，得 x =2-1=1，经检验，x =1是原方程的根 故选C ．【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 3．（2022·天津南开·二模）化简2222432x y x yx y y x -----的结果是（ ）A ．5x y- B ．5x y+ C ．225x y -D ．223x yx y +-【答案】B【分析】利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果即可．【详解】解：2222432x y x yx y y x ----- 2222432x y x yx y x y --=+--55()()x yx y x y -=+-5()()()x y x y x y -=+-5x y=+，【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 4．（2022·贵州贵阳·三模）计算222m m m ---的结果是（ ） A ．2 B ．－2C ．1D ．－1【答案】C【分析】根据分式减法运算法则进行运算，化简即可． 【详解】解：221222m m m m m --==---， 故选：C ．【点睛】本题考查了分式的减法，正确运算是解题关键，注意运算后需要约分化简． 5．（2022·江苏淮安·一模）若分式2xx +有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．0x ≠ B ．2x ≠- C ．2x >- D ．2x ≥-【答案】B【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0即可得到． 【详解】要分式2xx +有意义，则20x +≠， 解得：2x ≠-． 故选：B【点睛】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．二、填空题6．（2022·四川省遂宁市第二中学校二模）分式方程31311x x x -=-+的解为 ______． 【答案】x =-2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：3x (x +1)-(x -1)=3(x +1)(x -1)， 解得：x =-2，经检验x =-2是分式方程的解， 故答案为x =-2．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．7．（2022·湖南怀化·模拟预测）计算52x x ++﹣32x +＝_____． 【答案】1【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减计算即可． 【详解】解：52x x ++﹣32x +=532122x x x x +-+==++ 故答案为：1．【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是熟练掌握同分母分式相加减时分母不变，分子相加减，异分母相加减时，先通分变为同分母分式，再加减．三、解答题8．（2022·浙江丽水·一模）解方程：13233x x-=--． 【答案】=5x【分析】这是一道可化为一元一次方程的分式方程，根据解分式方程的一般步骤：去分母，转化为求解整式方程，然后检验得到的解是否符合题意，最后得出结论． 【详解】两边同时乘以(3)x -，得132(3)x +=-， 去括号，得426x =-， 化简，得=5x ，检验：当=5x 时，30x -≠， ∴原分式方程的解为=5x ．【点睛】此题考查可化为一元一次方程的分式方程，熟练掌握解分式方程的方法与步骤是解此题的关键，但是要特别注意：检验是不可少的环节．分式方程（提升测评）一、单选题1．（2022·辽宁葫芦岛·一模）2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外朋友的喜爱．某特许零售店准备购进一批吉祥物销售．已知用600元购进“冰墩墩”的数量与用500元购进“雪容融”数置相同，已知购进“冰墩墩”的单价比“雪容融”的单价多10元，设购进“冰墩墩”的单价为x 元，则列出方程正确的是（ ）A ．60050010x x=+ B ．60050010x x =+ C ．60050010x x=- D ．60050010x x =- 【答案】D【分析】设“冰墩敏”的销售单价为x ，则 “雪容融”的销售单价为（x -10）元，然后根据用600元购进“冰墩墩”的数量与用500元购进“雪容融”数置相同即可列出方程．【详解】解：设“冰墩敏”的销售单价为x ，则 “雪容融”的销售单价为（x -10）元， 根据题意，得60050010x x =-。
解分式方程的常用技巧
解分式方程的常用技巧解分式方程的基本思路是：通过适当的变换把分式方程转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母，但如何去分母，则大有文章可作，去分母得当，求解简洁；去分母不当，求解繁难，因此需要学习和掌握分式方程的常用技巧.一、 两边分别通分化简后再去分母例1 解方程14413223-+-=-+-x x x x . 分析：本题如直接将等式两边分别通分，则得451756513522+--=+--x x x x x x .若注意到)4(2)3()2(4)1(3---=---x x x x ，先把原方程适当移项，然后再等式两边分别通分，则可使求解过程化繁为简. 解：14413223-+-=-+-x x x x ∴127523522+-+-=+-+-x x x x x x 由05=+-x 得5=x ；由1272322+-=+-x x x x 得25=x . 经检验知它们都是原方程的解.二、拆添项化简后再去分母例2解方程1)6)(4(1)4)(2(1)2(1=+++++++x x x x x x . 分析：本题虽可直接去分母来解，但由于原方程左右三项分母的两个因式均相差2，且前后两项的分母均有一个因式相同，因此，可将原方程化简.解：原方程可改写成1)]6141()4121()211[(21=+-+++-+++-x x x x x x ，即2611=+-x x . ∴323,32321+-=--=x x .经检验它们都是原方程的解.三、巧用比例性质化简后再去分母例3 解方程26106157322+--=+--x x x x x x . 分析：若直接去分母，则运算较繁，若巧用比例性质化简后再去分母，则运算就简单得多了. 解：由反比性质得62610315722-+-=-+-x x x x x x 应用多项式除法得62)4(33)4(-+-=-+-x x x x ，即6233-=-x x . ∴12=x . 经检验知12=x 是原方程的解.。
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分式运算中的常用技巧与方法1
在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。
现就分式运算中的技巧与方法举例说明。
一、 整体通分法
例1．化简：2
1
a a --a-1 分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。
解：21a a --a-1=21a a --(a+1)= 21a a --(1)(1)1
a a a -+-=22(1)1a a a ---=11a - 二、 逐项通分法
例2．计算1a b --1a b +-222b a b +-344
4b a b - 分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法 解：1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b -=22()()a b a b a b
+----222b a b +-3444b a b - =222b a b --222b a b +-344
4b a b -=2222442()2()b a b b a b a b +----3444b a b - =3444b a b --3
444b a b
-=0 三、 先约分，后通分
例3．计算：2262a a a a +++22444
a a a -++ 分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算 解：2262a a a a +++22444a a a -++=(6)(2)a a a a +++2(2)(2)(2)a a a +-+=62a a +++22a a -+=242
a a ++=2 四、 整体代入法
例4．已知1x +1y
=5求2522x xy y x xy y -+++的值 解法1：∵1x +1y =5∴x y ≠0,.所以2522x xy y x xy y -+++=225112y x y x -+++=112()5112x y x y
+-++=25552⨯-+=57
解法2：由1x +1y
=5得，x y xy +=5, x+y=5xy ∴2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy +-++=25552xy xy xy xy ⨯-+=57xy xy =57
五、运用公式变形法
例5．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+
4
1a 解：由已知条件可得a ≠0,∴a+1a
=5 ∴a 4+41a =(a 2+21a )2-2=[(a+1a )2-2]2-2=(52-2)2-2=527 六、设辅助参数法
例6．已知
b c a += a c b += a b c +，计算：()()()a b b c c a abc
+++ 解：设b c a += a c b += a b c +=k ，则b+c=ak ；a+c=bk ；a+b=ck ； 把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k
若a+b+c=0，a+b= -c,则k= -1
若a+b+c ≠0，则k=2
()()()a b b c c a abc +++=ak bk ck abc
⋅⋅=k 3 当k=-1时，原式= -1
当k=2时，原式= 8
七、应用倒数变换法
例7．已知21
a a a -+=7，求2421a a a ++的值 解：由条件知a ≠0,∴21a a a -+=17,即a+1a =87
∴4221a a a ++=a 2+21a +1=(a+1a )2-1=1549 ∴2421a a a ++=4915
八、取常数值法
例8．已知：xy z ≠0,x+y+z=0,计算
y z x ++x z y ++x y z
+ 解：根据条件可设x=1,y=1,z=-2.
则y z x ++x z y ++x y z
+=-3.当然本题也可以设为其他合适的常数。
九、把未知数当成已知数法
例9．已知3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算: 222
a b c ab bc ac
++++ 解：把c 当作已知数，用c 表示a,b 得,a=3c, b=2c ∴222a b c ab bc ac ++++=221411c c =1411
. 十、巧用因式分解法
例10．已知a+b+c=0，计算222a a bc ++222b b ac ++2
22c c ab
+ 解:∵a+b+c=0, ∴a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b
∴2a 2+bc=a 2+a 2+bc=a 2+a(-b-c)+bc=(a-b)(a-c)
同理可得2b 2+ac=(b-c)(b-a),2c 2+ab=(c-a)(c-b)
222a a bc ++222b b ac ++2
22c c ab +=2a (a-b)(a-c)+2b (b-c)(b-a)+2c (c-a)(c-b)
=2a (a-b)(a-c)-2b (a-b)(b-c)+2c (c-a)(c-b)=222a ()()()()()()
b c b a c c a b a b a c b c ---+---- =22222a ()()()()b c b a b c c a c b a b a c b c --++----=2a ()()()()()()()b c a b c b c bc b c a b a c b c --+-+---- =2()()()()()b c a ab ac bc a b a c b c ---+---=()()()()()()
a b a c b c a b a c b c ------=1。