数学物理方法大作业1
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法大作业
基于分离变量法的波导中的电磁波研究1 空间当中的电磁波在迅变情况下，电磁场以波动形式存在，电磁场的基本方程是麦克斯韦方程组，对于在0==J σ情况下的迅变场，麦克斯韦方程组为]4[⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⋅∇=⋅∇∂∂=⨯∇∂∂-=⨯∇00B D t D H t B E (1)为了便于求解，通常将（1）式化为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∂∂-∇=∂∂-∇010122222222t BcB t E c E (2) 必须指出的是，（2）式中第一式E 的三个分量X E ，y E ，z E 虽然是三个独立方程，但是其解却是相互关联的，因为（1）式到（2）式麦克斯韦方程变为二阶的麦克斯韦方程，故解的范围变大了。
为了使波动方程（2）的解是原方程（2）的解，必须是波动方程的解满足条件 0=⋅∇E 。
求解方程（1），即为求解⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂-=⨯∇=⋅∇=∂∂-∇t BE E t Ec E 0012222(3)(3)式在给定的边界条件下，可以求得定解. 对于定态电磁波，场量可以表示为t i e z y x E E ω-=),,( (4)考虑(4)式，(3)式可表示如下：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⨯∇-==⋅∇=+∇E iB E E k E ω0022(5)设电磁波为时谐波，并考虑到关系H B μ=，由（5）式可得到z y x ,,三个分量的6个标量方程：x y xH i E yE ωμγ-=+∂∂ (6) y x zH i E xE ωμγ-=-∂∂-(7) z xy H i yE xE ωμ-=∂∂-∂∂ (8) x y zE i H yH ωεγ=+∂∂ (9) y x zE i H xH ωεγ=-∂∂-(10) z xy E i yH xH ωε=∂∂-∂∂ (11) 以上6个方程经过简单运算，可以将横向场分量y x y x H H E E ,,,用两个纵向场分量z z H E ,来表示，即：)(12yE i x H k H zz cx ∂∂-∂∂-=ωεγ(12) )(12x E i y H k H zz cy ∂∂+∂∂-=ωεγ (13) )(12y H i x E k E z z cx ∂∂+∂∂-=ωμγ (14) )(12x H i y E k E z z cy ∂∂-∂∂-=ωμγ (15) 式中222k k c +=γεμω=kTM 波的纵向场分量与横向场分量关系[]1为：yE k i H zc x ∂∂=2ωε (12*) x E k i H zcy ∂∂-=2ωε (13*) xE k E zcx ∂∂-=2γ (14*)y E k E zcy ∂∂-=2γ (15*)TE 波的纵向场分量与横向场分量关系为[]1：xH k H zcx ∂∂-=2γ (12+)yH k H zc y ∂∂-=2γ （13+）yH k i E zc x ∂∂-=2ωμ （14+） x H k i E zcy ∂∂=2ωμ （15+） 2 波导内的电磁场 2.1波导的几个假设这里所讨论的波导,有以下假设:波导的横截面沿z 方向是均匀的,即波导内的电场与磁场只与坐标y x ,有关,与z 无关;构成波导壁的导体是理想导体,即∞=σ;波导内的介质各向同性,并且0=σ;波导内的电磁场为时谐场,角频率为ω。
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()000000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z zz z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法大作业1
目录一．实际现象的描述 3二．问题的求解4（一）求弦振动泛定方程 4（二）解弦振动方程 (6)Ⅰ.达朗贝尔法求“无限和半无限的”弦振动函数 (6)Ⅱ.分离变量法求两端固定弦振动方程 (7)三．各种情形下的弦振动求解及图像 (9)四．总结21一·实际现象的描述演奏者在演奏弦乐器（如二胡、提琴）时，用弓在弦上来回拉动，并通过另一只手指在按不同弦的不同地位的协调作用，奏出各种不同的美妙的音乐。
演奏者所用的乐器不同，奏出音乐的悦耳度也就不同。
演奏者虽然用弓所接触的只是弦的很小一段，似乎应该只引起这个小段的振动，而事实上，振动总是传播到整根弦。
这振动是怎样传播的呢？如何利用数学方法来求解这种物理问题？如何通过直观的方程来说明不同乐器演奏出的音乐效果不同的原因？可否利用matlab来将这种振动直观表示出来？通过对于弦振动方程的学习，及对matlab的初步了解，我对于不同定解问题下弦振动方程的求解做了初级小结。
也尝试利用matlab 直观表述不同定解条件下的弦振动动态图像。
二·问题的求解（一）求弦振动泛定方程在求解时，我们不妨认为弦是柔软的，就是说在放松的条件下，把弦完成任意的形状，它都保持静止。
由于弦乐器所用的弦往往是很轻的，它的重量只有力的几万分之一。
跟拉力相比，弦的重量完全可以略去，这样，真实的弦就抽象为“没有重量”的弦。
把没有重量的弦绷紧，它在不振动时是一根直线，就取这直线作为x轴。
把弦上各点的横向位移记作u。
这样，横向位移u是x和t的函数，记作u（x，t）。
要求解弦振动，首先应找出u所遵从的方程。
把弦细分为许多极小的小段，拿区间(x,x+dx)上的小段B为代表加以研究。
B既然没有重量而且是柔软的，它就只受到邻段A和C的拉力和。
弦的每小段都没有纵向（即x方向）的运动，所以作用于B的纵向合力应为零。
弦的横向加速度记作。
按照，小段B的纵向和横向运动分别为式中时弦的线密度，即单位长度的质量。
数学物理方法习题及解答1
数学物理方法习题及解答1试题1一、单项选择题1.复通区域柯西定理（）（A ）0)(=?dz z f l（B ）0)(1=∑?=n i l idz z f （C ）0)()(1=+∑??=ni l lidz z f dz z f （l 是逆时针方向，i l 也是逆时针方向）(D)0)()(1=+∑??=ni l lidz z f dz z f （l 是逆时针方向，i l 是顺时针方向）2.周期偶函数:,cos)(10为其中k k k a lxk a a x f ∑∞=+=π：（）（A ）?=lk d l k f l a 0cos )(1ξπξξ （B ）?-=ll k d l k f l a ξπξξcos )(1（C ） ?=lk k d l k f l a 0cos )(1ξπξξδ （D ）?lkk d lk f l a 0cos)(2ξπξξδ 3.柯西公式为：（）（A ）ξξξπd z f i n z f l ?-=)(2!)( (B) ξξξπd z f i z f l ?-=)(21)( (C) ξξξπd z f i z f l n ?-=)()(21)( (D) ξξξπd z f i n z f l n ?-=)()(2!)( 4.在00=z 的邻域上把()=z f 2zz )(sin 展开为（）（A ）+-+-!6!4!21642z z z(B) +-+-!7!5!31642z z z (C) +-+-6421642z z z(D) +-+-!7!5!31864z z z5.求()z z f sin 1=在z 0=πn 的留数为（）（A ）!1n （B ）n （C ）n )1(- （D ）16.以下那一个是第一类边界条件（）（A ）)(),(t f t x u ax == （B ）)(,()t f t x u ax n == （C ）)()(t f H u ax n u =+= （D ）lx ttlx xu Mg t x u ==-=),(7.下列公式正确的为：（A ）)()()(0x f dx x x f t =-?+∞∞-δ （B ）0)()(0=-?+∞∞-dx x x f t δ （C ）∞=-?+∞∞-dx x x f t )()(0δ （D ）)()()(0t t f dx x x f =-?+∞∞-δ8.勒让德方程为（A ）0)1(2)1(222=++--y l l dx dy x dx yd x（B ）0]1)1([2)1(22222=--++--y x m l l dx dy x dx y d x（C ）0)(22222=-++y dx dy x dx ym x d x（D ）0)(22222=+-+y dxdy x dx y m x d x9.m 阶贝塞尔方程为：（A ）0)(22222=--+R m x dx dR x dx R d x （B ）0)(22222=-++R m x dx dR x dx R d x （C ）0)(22222=+-+R m x dxdR x dx R d x （D ）0)(2222=-++R m x dxdR x dx R d x 上 10Z 0是方程W ‘’+P （Z ）W ‘+Q （Z ）W=0的正则奇点，用级数解法求解时，这个方程的“判定方程“为（A ）0)1(21=++---q sp s s （B ）0)1(21=++--q sp s s （C ）0)1(11=++---q sp s s （D ）0)1(22=++---q sp s s二、填空题1、已知解析函数22),()(y x y x u z f -=的实部，则这个解析函数为。
数理方法答案
i
1
+
1 1!3i
(z
− i)
−
2 2!9i2
(z
− i)2
+ ... +
1 11 k ! 3 3
−
1
1 3
−
2
...
1 3
−
k
+ 1 i−k
(z
− i)k
+ ...
R
=
lim
k →∞
ak ak +1
= lim k →∞
1 k!
1 3
1 3
( ) ( ) 解 z 3 = (x + iy)3 = x3 − 3xy 2 + i 3x2 y − y3 = ρ 3ei3ϕ = ρ 3 (cos 3ϕ + i sin 3ϕ )
其中
ρ = x2 + y2
ϕ
=
arctg
y x
(6) e1−i
解 e1+i = e × ei = e(cos1 + i sin1)
e x cosy
∴ v = −e x cos y + c
则f(z) = e x sin y − ie x cos y + ic = e x [sin y + i(− cos y)]+ ic
= e x( − i)[cos y + i sin y]+ ic = −ie x+iy + ic = −ie z + ic
故必须求出 ∂ 2u ∂x 2
= ... = 2F '+4x2 F"
∂2u ∂y 2
数学物理方法习题集
数学物理方法习题集第一章 复数与复变函数习题1，计算：（1），1)(1i ---。
（2），iii i 524321-+-+。
（3），5(1)(2)(3)i i i ---。
（4），4(1)i -。
（5），bi a +。
2，求下列复数的实部u 与虚部v ，模r 与幅角θ：（1），ii i i 524321----。
（2），1(2n+, 4,3,2=n 。
（3），i +1。
（4），3)i -。
（5），231i -。
3，设211i z +=，i z -=32，试用三角形表示21z z 及21z z 。
4，若21=+Z z θcos ，证明21=+m m zz θm cos 。
5，求下列复数z 的主幅角z arg ：（1），iz 312+-=。
（2），6)z i =-。
6，用指数形式证明：（1），(1)2i i -+=+。
（2），i ii2125+=+。
（3），7(1)8(1)i i -+=-+。
（4），1011(12(1)--=-。
7，试解方程44(0)z a a +=>。
8，证明：（1），1212Re()Re()Re()z z z z +=+ ；一般1212Re()Re()Re()z z z z ≠。
（2），1212Im()Im()Im()z z z z +=+ ；一般1212Im()Im()Im()z z z z ≠。
（3），2121z z z z = ；一般2121z z z z +≠+。
9，证明：（1），2121z z z z +=±。
（2），2121z z z z ⋅=。
（3），1122(z zz z = （02≠z ）。
（4），121212122Re()2Re()z z z z z z z z +==。
（5），()z z ≤Re ，()z z ≤Im 。
（6），2121212z z z z z z ≤+。
（7），222121212()()z z z z z z -≤+≤+。
数学物理方法课后答案 (1)
充分性。设任给ε > 0，存在N(ε ) > 0，使当n>N时，zn+ p − z0 < ε成立。由
xn+ p − xn ≤ （xn+ p − xn）（2 yn+ p − yn）2 = zn+ p − zn < ε
yn+ p − yn ≤ （xn+ p − xn）（2 yn+ p − yn）2 = zn+ p − zn < ε
②
将①式与②式相除，易见 c 3 = 1,即 c = 1，由此得证。
8.试利用 Re z = x ≤ x2 + y2 = z 证明 z1 + z2 ≥ z1 + z2 , z1 − z2 ≥ z1 − z2
证 将第一个不等式两边平方，则不等式右边的式子为
z1 + z 2 2 = ( z1 + z 2 )( z1 + z 2 )∗ = z1 z1∗ + z 2 z 2∗ + z1 z 2∗ + z1∗ z 2
4x ≥ 0
x≥0
3 见课上例题
4. 求在ω = 1 下，直线 Re z = c （常数）映射为什么图形？
z
μ ν 解：在ω = 1 的映射下, 与 满足什么方程？ z
右半平面（包括 y 轴）
由c = Re z = Re 1 w
= Re 1 μ + iν
=
μ μ2 +ν 2
∴c(μ 2 +ν 2 ) = μ
25(x2 − 6x + 9) + 25 y2 = 625 −150x + 9x2
16x2 + 25 y2 = (20)2 ，点集为椭圆： ( x )2 + ( y )2 = 1 54
李明奇数学物理方法作业
杨立-201122050231-第1次作业-4班习题2.1.2长为L ，均匀细杆，x=0端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长b 静止后（在弹性限度内）突然放手，细杆作自由振动。
试写出振动方向的定解条件。
解：由于x=0端固定，可知0|0x u ==，又L 端为自由端，知|0x L u ==。
t=0时刻杆上点的位移0|t b u kx x L===，又t=0时刻的速度为0，即0|0t t u ==。
习题2.2.1一根半径为r ，密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k 的均质园杆，如同界面上的温度相同，其侧面与温度为1u 的介质发生热交换，且热交换的系数为1k 。
试导出杆上温度u 满足的方程。
解：如图所示通过两截面而留下的热量=微元段升 温吸热+与侧面交换所留下的热量因为 11[(,)(,)(,)(,)]()2x x t kdt u x dx t s x dx t u x t s x t c sdxu dt k u u rdxdt ρπ++-=+- 其中，k 为进入截面的系数；s 为横截面；x u 为沿轴温度的法向导数；2πrdx 为侧面。
所以 221()t xx u a u b u u -=--，2k a cp =，212k b c r ρ= 习题2.3.3由静电场Gauss 定理 1s V E dS dV ρε⋅=⎰⎰⎰⎰⎰ ，求证：E ρε∇⋅=，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。
解：因为 s VE dS EdV ⋅=⎰⎰⎰⎰⎰且 1s VE dS dV ρε⋅=⎰⎰⎰⎰⎰ 比较可得 E ρε∇⋅=即 ()E ερ∇⋅=可令 E u =-∇ 代入上式可得2u u ρε∇=∆=-0 x x+dx L X习题2.4.2求下列方程的通解（2）230xx xy yy u u u +-=；（5）161630xx xy yy u u u ++=；解：（2）230xx xy yy u u u +-=此方程式双曲型的第二标准型，将其化成第一标准型特征方程2230dy dy dx dx ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得12dy dx=± 令3x y x yζη=-⎧⎨=+⎩ 可得111212220880a a a a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦10b =；20b =；0c =；0f =可得标准型0u ζη=因此 (3)()u f x y g x y =-++。
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法 作业答案
则 f (z) = ex sin y − iex cos y + iC = −iez + iC
因此，（5）= cos 5ϕ −10 cos3 ϕ sin2 ϕ + 5 cosϕ sin4 ϕ ，
（6）= 5cos4 ϕ sin ϕ −10 cos2 ϕ sin3 ϕ + sin5 ϕ
（7） cosϕ + cos 2ϕ + cos 3ϕ + ... + cos nϕ ，（8） sinϕ + sin 2ϕ + sin 3ϕ + ... + sin nϕ
综上所述，可知 z 为左半平面 x<0，但除去圆 x2 + y2 −1 + 2x = 0 及其内部
（7） z -1 ≤ 1, z +1
[ ] 解：
z -1 z +1
=
x −1+iy x +1+iy
=
⎡ x2 + y2 −1 ⎤2
⎢⎣(x
+1)2
+
y2
⎥ ⎦
+
4y2
(x +1)2 +
y2
2
( ) [ ] 所以 x2 + y2 −1 2 + 4 y2 ≤ (x + 1)2 + y2 2
第一章 复变函数
§1.1 复数与复数运算
1、下列式子在复数平面上个具有怎样的意义？ （1） z ≤ 2
解：以原点为心，2 为半径的圆内，包括圆周。 （2） z − a = z − b ，（a、b 为复常数）
解：点 z 到定点 a 和 b 的距离相等的各点集合，即 a 和 b 点连线的垂直平分线。 （3） Re z ＞1/2 解：直线 x = 1/ 2 右半部分，不包括该直线。 （4） z + Re z ≤ 1
数学物理方法习题
z z c ( 0为复常数, c为实常数 )
四川大学数学学院 邓瑾
第二章习题
6. 求下列函数的解析区域: (1)
f ( z ) xy iy
16. cos z在哪些曲线上取实数值. 17. 求下列各值:
(1) Ln( 1), ln( 1); Lni , ln i; L(3 2i ), ln( 2 i ) (2) 1 2 , ( 2) 2 , 2i , (3 4i )1 i (3) cos(2 i ), sin 2i
e d z , 并证明 z
z
0
14. 求积分
6
e cos cos(sin )d .
(1 z
C
z2
2 2
)
dz , 其中C为包围 i 且位于上半
平面的围线.
四川大学数学学院 邓瑾
四川大学数学学院 邓瑾
20. 求解析函数 f ( z ) u iv, 使其分别满足下列条件:
1 sin( n 1 2 ) 1 2 2sin k 1 2 n cos( n 1 1 2 ) (2) sin k cot 2 1 2 2sin k 1 2 (1) cos k
n
0 .
3. 利用复数的三角式或指数式计算下列各题:
(1) i (1 3i )( 3 i ); (2) ( 3 i )3 ; (3) 3 1 i
一、必做题 5i 1. 计算 2 3i 2. 用三角式及指数式表示下列复数,并求辐角一般值:
z 2 2i; z 3i; z 1 cos i sin
第一章习题
二、选做题 5. 如果是1的立方根的一个复根,求证: 1 2 0. 7. 用复数的指数式证明下列等式:
数学物理方法习题解答
第一章 复变函数1.1 复数与复数运算【1】下列式子在复数平面上各具有怎样的意义？ 5，arg ,Re ,z a z b αβ<<<<（,,a αβ和b 为实常数）解：射线ϕα=与ϕβ=，直线x a =与x b =所围成的梯形。
7，111z z -≤+解：11111z z z z -≤⇒-≤++，令z x iy =+，则11z z -≤+即()()2222110x y x y x -+≤++⇒≥。
即复数平面的右半平面0x ≥。
【2】将下列复数用代数式，三角式和指数式几种形式表示出来。
3，1+解：代数式即：1z =+；2ρ=，且z 的辐角主值arg 3z π=，因此三角式：2cos2sin33z i ππ=+；指数式：232i k i z e eππϕρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，k ∈ 。
7，1i 1i-+解：21i (1i)2i i 1i(1i)(1i)2---===-++-，因此，其代数式：i z =-，三角式：33cos sin22z i ππ=+；指数式：322i k i z e eππϕρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，k ∈ 。
【3】计算下列数值。
（a ，b 和ϕ为实常数）2，解：将被开方的i 用指数式表示：22ei k i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，k ∈ 。
那么2322eexp 63i k k i ππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫==+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k ∈ 。
7，cos cos 2cos 3cos n ϕϕϕϕ++++ 解：因为，cos R e (1)ik k e k n ϕϕ=≤≤，因此()[]2323cos cos 2cos 3cos R e R e R e R e (1)R e R e 1cos cos(1)sin sin(1)R e 1cos sin 222sin sin cos 222R e 2sin sin 2i i i in i in i i i in i n e eeee e eeeee n i n i n n n i ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++=++++⎡⎤-=++++=⎢⎥-⎣⎦⎧⎫-++-+⎪⎪=⎨⎬--⎪⎪⎩⎭++⎛⎫- ⎪⎝⎭= 222(1)2sin 2R e sin cos 2221(1)sin sin sin sin cos 22222R e sin sin2sin222n i i n i n e i e n n n n e ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫++- ⎪⎝⎭===1.2 复变函数【2】计算下列数值。
数学物理方法作业
《数学物理方法》作业年级： 专业： 学号： 姓名：1．复数31i +的指数式为（ ）.A. i e 62πB. i e 32πC. i e 6πD. i e 3π2. 点0=z 是函数21z 的（ ）阶极点. A. 1 B. 2 C. 3 D. 43．条件0|sin x u a t ω==是第 类边界条件.A. 一B. 二C. 三D. 以上都不对4.积分dz z z z )3()2(1--⎰=的值为:A . 0 B. 1 C. 21 D.2 5．方程),(2t x f u a u xx t =-是（ ）方程.A. 波动方程B. 热传导方程C.位势方程D. 以上都不是6．下面对复球面描述正确的是A. 复数球的S 极对应复平面上的原点，N 极对应复平面上的有限远点B. 复数球的S 极对应复平面上的无穷远点，N 极对应复平面上的有限远点C. 复数球的S 极对应复平面上的无穷远点，N 极对应复平面上的无穷远点D. 复数球的S 极对应复平面上的原点，N 极对应复平面上的无穷远点7.方程2=+i z 表示复平面上的（ ）A . 圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 椭圆 8. 0Im(z)> 表示复平面上的（ ）A . 有界单连通区域 B. 无界单连通区域C. 无界复连通区域D. 有界复连通区域9.扩充复平面是指（ ）A. 有限复平面B. 包含“无穷远”点的复平面C. 不包含“无穷远”点的复平面D. 都不是10.下面对函数的解析和函数可导间关系说法错误的是（ ）A. 若函数在某点可导，则在该点一定解析B. 若函数在某点及其邻域内处处可导，则函数在该点解析C. 若函数在某点可导，但在该点不一定解析D. 若函数在某点解析，则在该点一定可导11.函数)(z f 以0z 为中心的洛朗展开的系数公式为（ ）A ． ⎰+-=l k k z z dz z f i C 10)()(21π B. !)(0)(k z f C k k = B. ⎰+-=l k k z d f i C 10)()(21ζζζπ C. ⎰+-=l k k z d f i k C 10)()(2!ζζζπ 12.将)(z f 在挖去0z 的环域的洛朗级数含无穷多负幂项时，则0z 叫（ ）A ．本性奇点 B. 可去奇点 C. 单极点 D. 高阶极点13.洛朗级数的负幂部分叫（ ）A ．主要部分 B. 可去奇点 C. 单极点 D. 高阶极点14.下列方程是波动方程的是（ ）A ．f u a u xx tt +=2 B. f u a u xx t +=2 C. xx t u a u 2= D. x tt u a u 2=15.对泛定方程02=-xx tt u a u 而言，边界条件,00==x x u 00==x x u 是（ ）A ．第一类边界条件 B. 第二类边界条件C. 第三类边界条件D. 自然边界条件16.下列方程是输运方程的是（ ）A ．f u a u xx tt +=2 B. f u a u xx t +=2 C. xx t u a u 2= D. x tt u a u 2=17.用分离变量法求解偏微分方程定解问题的一般步骤是（ ）A ．分离变量→解单变量本征值问题→得单变量解→得分离变量解B. 分离变量→得单变量解→解单变量本征值问题→得分离变量解C. 解单变量本征值问题→得分离变量解→分离变量→得分离变量解D. 解单变量本征值问题→分离变量→得分离变量解→得分离变量解 18.)(z f 为解析函数是指（ ）A ．若)(z f 在0z 点处可导，则称其为解析函数B. 若)(z f 在0z 点及其领域内处处可导，则称其为解析函数C. 若)(z f 只在0z 点领域内处处可导，则称其为解析函数D. 以上均不对 19.31i +的指数式为（ ）A.3/22i e πB.3/2i e πC. 3/2i e πD. 3/i e π20.边界条件为t u u l x x sin 0====为（ ）A. 第一类齐次边界条件B. 第一类非齐次边界条件C. 第二类非齐次边界条件D. 自然边界条件二、填空（每小题２分，共４０分）1、说明物理现象初始状态的条件称为 ，说明边界上的约束情况的条件称为 .2、数学物理方程可分为___________、_________和位势方程.3、复变函数的孤立奇点可分为___________、__________和本性奇点三类．4、在直角坐标系，柯西—黎曼条件为y x u u =和___________．5、复数231i -的实部u=___________,虚部v=___________. ６、函数z 为___________.（填多值函数或单值函数）. ７、级数∑∞1n z n 的收敛半径为___________.８、2)(z z f =的导数为___________.９、复数i +1的三角表达式为__________.１０、方程),(2t x f u a u xx tt =-是__________方程.三、简答题１.留数定理的内容２.柯西积分定理的内容四、计算题1、用柯西积分公式计算积分 dz z e z z⎰=-42. ２、用留数定理计算积分 dz z z z z ⎰=-+1)2(12.３、用分离变量法求解定解问题.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤==≥==><<=-====.0),(),(,0,0,0,0,0,00002l x x u x u t u u t l x u a u t t t l x x xx tt ψϕ ４、用行波法求解定解问题.⎪⎩⎪⎨⎧∞<<∞==∞<<∞>=-==. - ),( ),( , - 0, t ,0002x x u x u x u a u t t t xx tt ψϕ５.在环域0<1-z <1上将)2)(1(1)(--=z z z f 展开成洛朗展式.。
数学物理方法习题及答案
数学物理⽅法习题及答案数学物理⽅法习题第⼀章：应⽤⽮量代数⽅法证明下列恒等式 1、3r ?= 2、0r ??=3、()()()()()A B B A B A A B A B =?-?-?+?4、21()0r ?=5、()0A = 第⼆章：1、下列各式在复平⾯上的意义是什么? （1）0;2Z a Z b z z -=--=（2）0arg4z i z i π-<<+; 1Re()2z =2、把下列复数分别⽤代数式、三⾓式和指数式表⽰出来。
1;1i i e ++3、计算数值（a 和b 为实常数，x 为实变数）sin5ii ? sin sin()iaz ib za ib e -+4、函数1W z =将z 平⾯的下列曲线变为W 平⾯上的什么曲线？（1）224x y += （2）y x =5、已知解析函数()f z 的实部(,)u x y 或虚部(,)x y υ，求解析函数。
（1）22sin ;,(0)0;,(1)0x u e y u x y xy f u f ?==-+===；（2）(00)f υ==6、已知等势线族的⽅程为22x y +=常数，求复势。
第三章：1、计算环路积分：2211132124sin4(1).(2).11sin (3).(4).()231(5).(1)(3)zz z i z z z z z e dz dzz z ze dz dzz z z dzz z ππ+=+====-+--+-2、证明：21()!2!n n z n l z z e d n i n ξξπξξ=其中l 是含有0ξ=的闭合曲线。
3、估计积分值222iidz z +≤?第四章： 1、泰勒展开（1） ln z 在0z i = （2）11ze-在00z = （3）函数211z z -+在1z = 2、（1）1()(1)f z z z =-在区域01z <<展成洛朗级数。
（2）1()(3)(4)f z z z =--按要求展开为泰勒级数或洛朗级数：①以0z =为中⼼展开；②在0z =的邻域展开；③在奇点的去⼼邻域中展开；④以奇点为中⼼展开。
数学物理方法试卷与答案
数学物理方法试卷与答案《数学物理方法》试卷一、选择题（每题4分，共20分）1．柯西问题指的是（）A．微分方程和边界条件.B.微分方程和初始条件.C．微分方程和初始边界条件.D.以上都不正确.2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（）A．存在性和唯一性.B.唯一性和稳定性.C.存在性和稳定性.D.存在性、唯一性和稳定性.2u0,3．牛曼内问题u有解的必要条件是（）nfA．f0.B．u0.C．fdS0.D．udS0.某''(某)某(某)0,0某l4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题某(0)某(l)0的解是（）nnnn某).B．(某).A．(,co,inllll(2n1)(2n1)(2n1)(2n1)某).D．(某).C．(,co,in2l2l2l2l22225．指出下列微分方程哪个是双曲型的（）A．u某某4u某y5uyyu某2uy0.B．u某某4u某y4uyy0.C．某2u某某2某yu某yy2uyy某yu某y2uy0.D．u某某3u某y2uyy0.二、填空题（每题4分，共20分）2u2u220,0某,t0t某1．求定解问题u某02int,u某2int,t0的解是_______________ut00,utt02co某,0某______________________.2．对于如下的二阶线性偏微分方程a(某,y)u某某2b(某,y)u某yc(某,y)uyydu某euyfu0其特征方程为________________________________________________________.3．二阶常微分方程y''(某)1'13y(某)(2)y(某)0的任一特解y__________某44某_______________________________________________.4．二维拉普拉斯方程的基本解为________________________________________，三维拉普拉斯方程的基本解为__________________________________________.5．已知J1(某)222in某,J1(某)co某，利用Beel函数递推公式求某某2J3(某)_______________________________________.2三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题22u2ut2a某20,0某l,t0uu0,0,t0某某l某某0u某,utt00,0某l.t02四、（10分）用行波法求解下列问题2u2u2u320,y0,某,22某yy某u2u3某,0,某.y0yy0五、（10分）用Laplace变换法求解定解问题：u2u2,0某2,t0,t某u某0u某20,t0,ut0in某,0某2.3六、（15分）用格林函数法求解下定解问题2u2u某2y20,y0,uf(某),某.y0七、（10分）将函数f某某在区间[0，1]上展成Beel函数系{J1(m(1)某)}m1的级数，其中m(1)为Beel函数J1(某)的正零点，m1,2,.42022—2022学年第二学期《数学物理方法》试卷B答案一、选择题（每题4分，共20分）1．柯西问题指的是（B）A．微分方程和边界条件.B.微分方程和初始条件.C．微分方程和初始边界条件.D.以上都不正确.2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（D）A．存在性和唯一性.B.唯一性和稳定性.C.存在性和稳定性.D.存在性、唯一性和稳定性.2u0,3．牛曼内问题u有解的必要条件是（C）fnA．f0.B．u0.C．fdS0.D．udS0.某''(某)某(某)0,0某l4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题某(0)某(l)0的解是（B）nnnn某).B．(某).A．(,co,inllll(2n1)(2n1)(2n1)(2n1)某).D．(某).C．(,co,in2l2l2l2l22225．指出下列微分方程哪个是双曲型的（D）A．u某某4u某y5uyyu某2uy0.B．u某某4u某y4uyy0.C．某2u某某2某yu某yy2uyy某yu某y2uy0.5D．u某某3u某y2uyy0.二、填空题（每题4分，共20分）2u2u220,0某,t0t某1．求定解问题u某02int,u某2int,t0的解是(2intco某).ut00,utt02co某,0某2．对于如下的二阶线性偏微分方程a(某,y)u某某2b(某,y)u某yc(某,y)uyydu某euyfu0其特征方程为(a(某,y)(dy)22b(某,y)d某dyc(某,y)(d某)20).3．二阶常微分方程y''(某)或0).4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ln1（）.r1），三维拉普拉斯方程的基本解为r1'13y(某)(2)y(某)0的任一特解y（J某44某1(某)3225．已知J1(某)222in某,J1(某)co某，利用Beel函数递推公式求某某23J3(某)（221221din某(in某co某)某()()）.某某某d某某三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题22u2ut2a某20,0某l,t0uu0,0,t0某某某l某0u某,utt00,0某l.t06解：第一步：分离变量(4分)设u(某,t)某(某)T(t)，代入方程可得某''(某)T''(某)某(某)T(t)a某(某)T(t)某(某)a2T(某)''2''此式中，左端是关于某的函数，右端是关于t的函数。
数学物理方法习题解答（完整版）
数学物理方法习题解答（完整版）数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux=?，0v y ?=?，u v x y ??≠??。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件，所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ??= =??。
v vx y==0 ??。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y, 在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ===='=+=-= ? ?????????。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z→?→?=?=?'==?=?-?=?。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=?→?→?→+?+?+??==+??→。
【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z zz z==??】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ?+++≠?=+，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ?-+≠?=+?+??， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ?++≠?=+?+??。
数学物理方法答案-部分
向安平 2003年9月30日
目录
iii
目录
I 复变函数概论 复变函数 复数与复数运算 .......................................................................... 复变函数 ................................................................................... 导数 ......................................................................................... 解析函数 ................................................................................... 平面标量场 ................................................................................ 多值函数 ................................................................................... 复变函数的积分 复变函数的积分 .......................................................................... 柯西定理 ................................................................................... 不定积分 ................................................................................... 柯西公式 ................................................................................... 幂级数展开 复数项级数 ............................................................................... 幂级数 ...................................................................................... 泰勒级数展开 ............................................................................. 解析延拓 ................................................................................... 洛朗级数展开 ............................................................................. 孤立奇点的分类 .......................................................................... 留数定理 留数定理 ................................................................................... 应用留数定理计算实变函数定积分 .................................................. 计算定分的补充例体 .................................................................... 傅里叶变换 傅里叶级数 ................................................................................ Fourier积分与Fourier变换 ............................................................... δ函数 ....................................................................................... Laplace 变 换 符号法 ...................................................................................... Laplace变换 ............................................................................... Laplace变换的反演 ....................................................................... 应用例 ......................................................................................
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目录一．实际现象的描述 3二．问题的求解4（一）求弦振动泛定方程 4（二）解弦振动方程 (6)Ⅰ.达朗贝尔法求“无限和半无限的”弦振动函数 (6)Ⅱ.分离变量法求两端固定弦振动方程 (7)三．各种情形下的弦振动求解及图像 (9)四．总结21一·实际现象的描述演奏者在演奏弦乐器（如二胡、提琴）时，用弓在弦上来回拉动，并通过另一只手指在按不同弦的不同地位的协调作用，奏出各种不同的美妙的音乐。
演奏者所用的乐器不同，奏出音乐的悦耳度也就不同。
演奏者虽然用弓所接触的只是弦的很小一段，似乎应该只引起这个小段的振动，而事实上，振动总是传播到整根弦。
这振动是怎样传播的呢？如何利用数学方法来求解这种物理问题？如何通过直观的方程来说明不同乐器演奏出的音乐效果不同的原因？可否利用matlab来将这种振动直观表示出来？通过对于弦振动方程的学习，及对matlab的初步了解，我对于不同定解问题下弦振动方程的求解做了初级小结。
也尝试利用matlab 直观表述不同定解条件下的弦振动动态图像。
二·问题的求解（一）求弦振动泛定方程在求解时，我们不妨认为弦是柔软的，就是说在放松的条件下，把弦完成任意的形状，它都保持静止。
由于弦乐器所用的弦往往是很轻的，它的重量只有力的几万分之一。
跟拉力相比，弦的重量完全可以略去，这样，真实的弦就抽象为“没有重量”的弦。
把没有重量的弦绷紧，它在不振动时是一根直线，就取这直线作为x轴。
把弦上各点的横向位移记作u。
这样，横向位移u是x和t的函数，记作u（x，t）。
要求解弦振动，首先应找出u所遵从的方程。
把弦细分为许多极小的小段，拿区间(x,x+dx)上的小段B为代表加以研究。
B既然没有重量而且是柔软的，它就只受到邻段A和C的拉力和。
弦的每小段都没有纵向（即x方向）的运动，所以作用于B的纵向合力应为零。
弦的横向加速度记作。
按照，小段B的纵向和横向运动分别为式中时弦的线密度，即单位长度的质量。
ds为小段B的弧长。
因考虑的振动为小围振动，这时、为小量，如果忽略、以上的高阶小量，则，，，，,又，。
这样，（1）和（2）简化为因此，弦中力不随x而变，它在整根弦中取同一数值。
另一方面，在振动过程中的每个时刻都有长度ds=dx，即长度ds不随时间而变，所以作用于B段的力也不随时间而变。
弦中力即跟x无关，又跟t无关，只能是常数，记为T。
则（4）式为由于dx取得很小，。
这样，B段的运动方程就成为（5）由于B是作为代表任选的，所以方程（5）适用于弦上各处，是弦做微小横振动的运动方程，简称弦振动方程。
由此就求得了自由振动状态下的弦振动方程为若为受迫振动，则方程为（二）解弦振动方程Ⅰ .达朗贝尔法求“无限和半无限的”弦振动函数弦振动方程为：即 (6)先求其通解：依据方程（6）的形式作代换，即在此代换之下，由此，方程（6）可化为（7）先对η积分，得（8）其中f是任意函数，再对ξ积分，就得到通解u dξ+f= （9）通解中的与可用定解条件确定。
因我们在此求解的为“无限长或半无限长的”弦，因而此种情况下就不存在边界条件，设初始条件是（10）将一般解（9）带入初始条件，得即由此解得以此带回（9）式即得满足初始条件（10）的特解dξ.即所谓的达朗贝尔公式。
Ⅱ.分离变量法求两端固定弦振动方程定解问题为：泛定方程（11）边界条件 (12)初始条件 (0) (13) 解：令 u(x,t)=X(x)T(t)带入泛定方程及边界条件得X (14)(15)因T(t)不恒等于零，故而（15）式即为 X(0)=0,X(l)=0 (16) 用遍除（14）式各项即得因此式左边是时间t的函数，与坐标x无关；右边是坐标x的函数，跟时间t无关。
若两边相等，则两边比为一常数。
将此常数记为-，即由此化为(19)先求解X，将（1）当λ时，方程（17）的解为X(x)=积分常数由条件（18）确定，即由此解出，进而有X，所以此解为无意义之解，故排除λ的可能。
（2）当λ时，方程（17）的解为X(x)=积分常数由条件（18）确定，即由此解出，进而有X，所以此解为无意义之解，故也排除λ的可能。
（3）当λ时，方程（17）的解为X(x)=积分常数由条件（18）确定，即由于，为使函数有意义，只能，进而解得由此可得 X(x)=（21）其中为任意常数将式（20）代入方程（19）得这个方程的解为其中A,B为任意常数将（21）和（22）代入u(x,t)=X(x)T(t) 即得分离变数的解进而可得弦振动方程的解为其中系数情况一：初速度不为零，初位移为零设初速度为ψ其解析解为其中系数取a=2，l=1，则弦振动动画的源程序为：function u(x,t)N=50;t=0:0.005:2.0; x=0:0.001:1;ww=u1fun1(N,0);h= plot(x,ww,'linewidth',3);axis([ 0, 1, -1, 1])sy=[ ];for n=2:length(t)ww=u1fun1(N,t(n));set(h,'ydata',ww);drawnow;sy=[sy,sum(ww)];endfunction wtx=u1fun1(N,t)x=0:0.001:1; a=2; wtx=0;for k=1:NBk=5/(k*k*pi*pi)*(cos(2*k*pi/5)-cos(4*k*pi/5)); wtx=wtx+Bk*sin(2*k*pi*t)*sin(k*pi*x);end此种情况与可用差分法求解clearN=4010; dx=0.0024;dt=0.0005; c=dt*dt/dx/dx;u(1:420,1)=0; x=linspace(0,1,420)';u(2:280,1)=0.05/280*(2:280)';u(281:419,1)=0.05/(419-280)*(419-(281:419)');u(2:419,2)=u(2:419,1)+c/2*(u(3:420,1)-2*u(2:419,1)+u(1:418,1));h=plot(x,u(:,1),'linewidth',3)axis([0,1,-0.05,0.05]);set(h,'EraseMode','xor','MarkerSize',18)for k=2:Nset(h,'XData',x,'YData',u(:,2));drawnow;u(2:419,3)=2*u(2:419,2)-u(2:419,1)+c*(u(3:420,2)-2*u(2:419,2)+u(1:418,2)); u(2:419,1)=u(2:419,2);u(2:419,2)=u(2:419,3);end此种情况下n=1，2，3,4,5,6时的本征振动随时间分布图cleara=1;l=1;x=0:0.05:1;t=0:0.001:3;u=0;n=1;[X,T]=meshgrid(x,t)R=5/(n*n*pi*pi)*(cos(2*n*pi/5)-cos(4*n*pi/5)) u=u+(R*sin(n*pi*a*T/l)).*sin(n*pi*X/l);figure(1)axis([0 1 -0.05 0.05])mesh(X,T,u)title('n=1本征振动随时间分布图')xlabel('x')xlabel('t')xlabel('u')情况二：初速度为零，初位移不为零设初位移为取a=1，l=1得其中系数此种情况下弦振动动画的源程序为：function FN=50t=0:0.005:2.0;x=0:0.001:1;ww=wfun(N,0);ymax=max(abs(ww));h= plot(x,ww,’linewidth’,3);axis([ 0, 1, -ymax, ymax])sy=[ ];for n=2:length(t)ww=wfun(N,t(n));set(h,’ydata’,ww);drawnow;sy=[sy,sum(ww)];endfunction wtx=wfun(N,t)x=0:0.001:1; a=1; wtx=0;for I=1:Nif I~=5wtx=wtx+0.05*( (sin(pi*(5-I)*4/5)-sin(pi*(5-I)*2/5)).../(5-I)/pi-(sin(pi*(5+I)*4/5)-sin(pi*...(5+I)*2/5))/(5+I)/pi )*cos(I*pi*a*t).*sin(I*pi*x);elsewtx=wtx+0.05/5*cos(I*pi*a*t).*sin(I*pi*x);endend情况三：有驱动力的弦振动方程定解问题为因有，所以此类问题可以用傅里叶级数法求解，如果初始条件为零，则同样也可用冲量法求解傅里叶级数法求解过程为：因边界条件为下的本征函数是（n=0,1,…）。
所以可以把所求的解展开为傅里叶余弦级数将这个级数代入泛定方程得将傅里叶级数展开等式两边比较系数得将的傅里叶余弦级数代入初始条件，得由傅里叶级数基本函数族的正交性可得的常微分方程在以上初始条件下的解为由此可得，所求的解是初始条件为零时的冲量法求解过程为：应用冲量定理法，先求解因边界条件为下的本征函数是（n=0,1,…）。
所以可以把所求的解展开为傅里叶余弦级数将此代入泛定方程得由此分离出的常微分方程为这个常微分方程的解为这样解v的傅里叶级数是将上式代入初始条件得比较等式两边系数得至此求得：因故而可得当l=1; a=1，在驱动力作用下的弦振动图像为w=0.5; al=pi*a/l; A=2;x=0:0.05:1;m=moviein(301);for k=0:300u=A/al/(w^2 - al^2)*(w*sin(al*k*0.1)...-A*al*sin(w*k*0.1))*cos(pi*x./l);plot(x,u);axis([0 1 -0.5 0.5])m(:,k+1)=getframe;end总结通过这次对于弦振动解法的小结，让我更深刻的了解了实际问题中为什么不同的乐器会奏出不同的音乐，主要是因为求解出的振动函数展开为傅里叶级数所包含的项不同，外加弹奏着所使用的驱动力不同，也会使振动效果不同，自然悦耳度也就不同。
通过利用matlab对于不同情况下的弦振动的动态表述，让我对于matlab有了更深的认识，由于时间有限，外加对于matlab的掌握程度比较低，也让我的操作受了很大的限制。
在今后的学习中更因该加强这方面的操作，真正将利用软件和原始计算求解能够完美结合，以此来加深自己对于数理方程的更深刻了解。