数学物理方法大作业1

目录

一．实际现象的描述 3

二．问题的求解4

（一）求弦振动泛定方程 4

（二）解弦振动方程 (6)

Ⅰ.达朗贝尔法求“无限和半无限的”弦振动函数 (6)

Ⅱ.分离变量法求两端固定弦振动方程 (7)

三．各种情形下的弦振动求解及图像 (9)

四．总结21

一·实际现象的描述

演奏者在演奏弦乐器（如二胡、提琴）时，用弓在弦上来回拉动，并通过另一只手指在按不同弦的不同地位的协调作用，奏出各种不同的美妙的音乐。演奏者所用的乐器不同，奏出音乐的悦耳度也就不同。

演奏者虽然用弓所接触的只是弦的很小一段，似乎应该只引起这个小段的振动，而事实上，振动总是传播到整根弦。

这振动是怎样传播的呢？如何利用数学方法来求解这种物理问题？如何通过直观的方程来说明不同乐器演奏出的音乐效果不同的原因？可否利用matlab来将这种振动直观表示出来？

通过对于弦振动方程的学习，及对matlab的初步了解，我对于不同定解问题下弦振动方程的求解做了初级小结。也尝试利用matlab 直观表述不同定解条件下的弦振动动态图像。

二·问题的求解

（一）求弦振动泛定方程

在求解时，我们不妨认为弦是柔软的，就是说在放松的条件下，把弦完成任意的形状，它都保持静止。由于弦乐器所用的弦往往是很轻的，它的重量只有力的几万分之一。跟拉力相比，弦的重量完全可以略去，这样，真实的弦就抽象为“没有重量”的弦。

把没有重量的弦绷紧，它在不振动时是一根直线，就取这直线作为x轴。把弦上各点的横向位移记作u。这样，横向位移u是x和t的函数，记作u（x，t）。要求解弦振动，首先应找出u所遵从的方程。

把弦细分为许多极小的小段，拿区间(x,x+dx)上的小段B为代表加以研究。B既然没有重量而且是柔软的，它就只受到邻段A和C的拉力和。弦的每小段都没有纵向（即x方向）的运动，所以作用于B的纵向合力应为零。

弦的横向加速度记作。按照，小段B的纵向和横向运动分别为

式中时弦的线密度，即单位长度的质量。ds为小段B的弧长。

因考虑的振动为小围振动，这时、为小量，如果忽略、以上的高阶小量，则，，，，,又，。这样，（1）和（2）简化为

因此，弦中力不随x而变，它在整根弦中取同一数值。另一方面，在振动过程中的每个时刻都有长度ds=dx，即长度ds不随时间而变，所以作用于B段的力也不随时间而变。弦中力即跟x无关，又跟t无关，只能是常数，记为T。则（4）式为

由于dx取得很小，。这样，B段的运动方程就成为

（5）

由于B是作为代表任选的，所以方程（5）适用于弦上各处，是弦做微小横振动的运动方程，简称弦振动方程。

由此就求得了自由振动状态下的弦振动方程为

若为受迫振动，则方程为

（二）解弦振动方程

Ⅰ .达朗贝尔法求“无限和半无限的”弦振动函数

弦振动方程为：

即 (6)

先求其通解：

依据方程（6）的形式作代换

，即

在此代换之下，

由此，方程（6）可化为

（7）

先对η积分，得（8）

其中f是任意函数，再对ξ积分，就得到通解

u dξ+f= （9）

通解中的与可用定解条件确定。

因我们在此求解的为“无限长或半无限长的”弦，因而此种情况下就不存在边界条件，设初始条件是

（10）将一般解（9）带入初始条件，得

即

由此解得

以此带回（9）式即得满足初始条件（10）的特解

dξ.

即所谓的达朗贝尔公式。

Ⅱ.分离变量法求两端固定弦振动方程

定解问题为：

泛定方程（11）

边界条件 (12)

初始条件 (0) (13) 解：令 u(x,t)=X(x)T(t)

带入泛定方程及边界条件得

X (14)

(15)

因T(t)不恒等于零，故而（15）式即为 X(0)=0,X(l)=0 (16) 用遍除（14）式各项即得

因此式左边是时间t的函数，与坐标x无关；右边是坐标x的函数，跟时间t无关。若两边相等，则两边比为一常数。将此常数记为-，即

由此化为

(19)

先求解X，将

（1）当λ时，方程（17）的解为X(x)=

积分常数由条件（18）确定，即

由此解出，进而有X，所以此解为无意义之解，故排除λ的可能。

（2）当λ时，方程（17）的解为X(x)=

积分常数由条件（18）确定，即

由此解出，进而有X，所以此解为无意义之解，故也排除λ的可能。

（3）当λ时，方程（17）的解为X(x)=

积分常数由条件（18）确定，即

由于，为使函数有意义，只能，进而解得

由此可得 X(x)=（21）其中为任意常数

将式（20）代入方程（19）得

这个方程的解为

其中A,B为任意常数

将（21）和（22）代入u(x,t)=X(x)T(t) 即得分离变数的解

进而可得弦振动方程的解为

其中系数

情况一：初速度不为零，初位移为零

设初速度为

ψ

其解析解为

其中系数

取a=2，l=1，则弦振动动画的源程序为：

function u(x,t)

N=50;

t=0:0.005:2.0; x=0:0.001:1;

ww=u1fun1(N,0);

h= plot(x,ww,'linewidth',3);

axis([ 0, 1, -1, 1])

sy=[ ];

for n=2:length(t)

ww=u1fun1(N,t(n));

set(h,'ydata',ww);

drawnow;

sy=[sy,sum(ww)];

end

function wtx=u1fun1(N,t)

x=0:0.001:1; a=2; wtx=0;

for k=1:N

Bk=5/(k*k*pi*pi)*(cos(2*k*pi/5)-cos(4*k*pi/5)); wtx=wtx+Bk*sin(2*k*pi*t)*sin(k*pi*x);

end