初中数学新定义与阅读理解创新型问题中考真题专题训练及答案解析

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2019-2020年中考数学专题51 新定义和阅读理解型问题(含解析)

yxO2019-2020年中考数学专题51 新定义和阅读理解型问题（含解析）新定义和阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题。

在新定义和阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直觉思维。

因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理，前面诸专题对存在性探究问题型进行了命题，后面将有专题对规律探究型问题进行命题。

本专题原创编写新定义和阅读理解型问题模拟题。

1.阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1，b=-2，又b ＜0，所以1※（-2）请你参考小明的解题思路，回答下列问题：（1）计算：2※3= ；（2）若5※m= ．（3）函数y=2※x （x≠0）的图象大致是（）【解析】考点：规律探索应用，反比例函数的图像2.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题? （2）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=c ，AC=b ，BC=a ，且b>a ，若Rt △ABC 是奇异三角形，求a ：b ：c ；（3）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（不与点A ，B 重合），D是半圆的中点，C ，D 在直径AB 的两侧，若在⊙O 内存在点E ，使AE=AD ，CB=CE ．①求证：△ACE 是奇异三角形；②当△A CE 是直角三角形时，求∠AOC 的度数．【答案】（1）真命题．（2）a ：b ：c=1（3）①见解析②60°或120°．【解析】1．然后分两种情况讨论.试题解析：解：（1）真命题．（2分）ADB（3）在Rt ΔABC 中，a 2+b 2=c 2，①证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt ΔACB 中，AC 2+BC 2=AB 2；在Rt ΔADB 中，AD 2+BD 2=AB 2．∵D是半圆的中点，∴， ∴AD=BD ，（6分），∴AB 2=AD 2+BD 2=2AD 2，（7分）又∵CB=CE ．AE=AD ，∴AC 2+CE 2=2AE 2． ∴ΔACE 是奇异三角形．（8分）⋂⋂=BD AD ⋂ADB考点：1.命题；2.勾股定理；3.圆周角定理及推论；4.直角三角形的性质.3.阅读理解：对于任意正实数a 、b ，∵2≥0，∴a －b ≥0，∴a ＋b ≥a＝b 时，等号成立.结论：在a ＋b ≥a 、b 均为正实数）中，若ab 为定值p ，则a+b ≥a ＝b 时，a ＋b 有最小值根据上述内容，回答下列问题：（1）若m ＞0，只有当m ＝时，m 有最小值；若m ＞0，只有当m ＝时，2m 有最小值 .（2）如图，已知直线L 1：y ＋1与x 轴交于点A ，过点A 的另一直线L 2与双曲线y （x >0）相交于点B （2，m ），求直线L 2的解析式.（3）在（2）的条件下，若点C 为双曲线上任意一点，作CD ∥y 轴交直线L 1于点D ，试求当线段CD 最短时，点A 、B 、C 、D 围成的四边形面积.【答案】（1）当时，有最小值为2；当时，8（2）（3）232--=x y 2=m m m 1+1=m∴A （-2，0）又点B （2，m∴设直线的解析式为：，则有，解得：∴直线的解析式为：；2--=x y 2L ⎩⎨⎧-=-=21b k ⎩⎨⎧-=+=+-4202b k b k b kx y +=2L )4,2(,4--=B m4.如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”。

中考数学专题-新定义与阅读理解创新型问题-(解析版)

新定义与阅读理解创新型问题一、单选题1．（四川省雅安市2021年中考数学真题）定义：{}()min ,()a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若函数()2min 123y x x x =+-++，，则该函数的最大值为（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可．【详解】令(),y min a b =,当2123x x x +≤-++时，即220x x --≤时，1y x =+，令22w x x =-- ，则w 与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0）， ∴当0w ≤时，12x -≤≤， ∴1y x =+（12x -≤≤）， ∴y 随x 的增大而增大， ∴当x =2时，3y =最大；当2123x x x +>-++时，即220x x -->时，2y x 2x 3=-++，令22w x x =-- ，则w 与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0）， ∴当0w >时，2x >或1x <-， ∴2y x 2x 3=-++（2x >或1x <-）， ∴2y x 2x 3=-++的对称轴为x =1， ∴当2x >时，y 随x 的增大而减小， ∴当x =2时，2y x 2x 3=-++=3， ∴当2x >时，y <3；当1x <-，y 随x 的增大而增大， ∴当x =-1时，2y x 2x 3=-++=0； ∴当1x <-时，y <0；综上，()2min 123y x x x =+-++，的最大值为3．故选C ．【点睛】本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解．2．（广东省2021年中考真题数学试卷）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b cp ++=，则其面积S =．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若5,4p c ==，则此三角形面积的最大值为（）A B ．4C ．D ．5【答案】C 【分析】由已知可得a +b =6，5S ab ==-，把b =6-a 代入S 的表达式中得：256S a a -+S 的最大值．【详解】 ∴p =5，c =4，2a b cp ++= ∴a +b =2p -c =6∴55S ab ==-由a +b =6，得b =6-a ，代入上式，得：25(6)5565S a a a a =--=-+-设2+65y a a =--，当2+65y a a =--取得最大值时，S 也取得最大值 ∴22+65(3)4y a a a =--=--+ ∴当a =3时，y 取得最大值4∴S =故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出a +b =6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题． 3．（内蒙古通辽市2021年中考数学真题）定义：一次函数y ax b =+的特征数为[],a b ，若一次函数2y x m =-+的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数3y x=-的图象交于A ，B 两点，且点A ，B 关于原点对称，则一次函数2y x m =-+的特征数是（） A ．[]2,3 B ．[]2,3-C ．[]2,3-D ．[]2,3--【答案】D 【分析】先求出平移后的直线解析式为23y x m =-++，根据与反比例函数3y x=-的图象交于A ，B 两点，且点A ，B 关于原点对称，得到直线23y x m =-++经过原点，从而求出m ，根据特征数的定义即可求解．【详解】解：由题意得一次函数2y x m =-+的图象向上平移3个单位长度后解析式为23y x m =-++， ∴直线23y x m =-++与反比例函数3y x=-的图象交于A ，B 两点，且点A ，B 关于原点对称， ∴点A ，B ，O 在同一直线上， ∴直线23y x m =-++经过原点， ∴m +3=0， ∴m =-3，∴一次函数2y x m =-+的解析式为23y x =--， ∴一次函数2y x m =-+的特征数是[]2,3--．故选：D 【点睛】本题考查了新定义，直线的平移，一次函数与反比例函数交点，中心对称等知识，综合性较强，根据点A ，B 关于原点对称得到平移后直线经过原点是解题关键．4．（江苏省无锡市2021年中考数学真题）设1(,)P x y ，2(,)Q x y 分别是函数1C ，2C 图象上的点，当a x b≤≤时，总有1211y y -£-£恒成立，则称函数1C ，2C 在a x b ≤≤上是“逼近函数”，a x b ≤≤为“逼近区间”．则下列结论：①函数5y x =-，32y x =+在12x ≤≤上是“逼近函数”； ①函数5y x =-，24y x x =-在34x ≤≤上是“逼近函数”； ①01x ≤≤是函数21y x =-，22y x x =-的“逼近区间”； ①23x ≤≤是函数5y x =-，24y x x =-的“逼近区间”．其中，正确的有（） A ．①① B ．①① C ．①① D ．①①【答案】A 【分析】分别求出12y y -的函数表达式，再在各个x 所在的范围内，求出12y y -的范围，逐一判断各个选项，即可求解．【详解】解：∴∴15y x =-，232y x =+，∴()()1253227y y x x x -=--+=--，当12x ≤≤时，12119y y -£-£-， ∴函数5y x =-，32y x =+在12x ≤≤上不是“逼近函数”；∴∴15y x =-，224y x x =-，∴()()12225554x y y x x x x --=--=-+-，当34x ≤≤时，1211y y -£-£，函数5y x =-，24y x x =-在34x ≤≤上是“逼近函数”；∴∴211y x =-，222y x x =-， ∴()()22122112x x x y y x x -=--=-+--，当01x ≤≤时，12314y y -£-£-， ∴01x ≤≤是函数21y x =-，22y x x =-的“逼近区间”；∴∴15y x =-，224y x x =-，∴()()12225554x y y x x x x --=--=-+-，当23x ≤≤时，12514y y £-£， ∴23x ≤≤不是函数5y x =-，24y x x =-的“逼近区间”．故选A 【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的性质，掌握一次函数与二次函数的增减性，是解题的关键． 5．（2021·广西来宾市·中考真题）定义一种运算：,,a a ba b b a b ≥⎧*=⎨<⎩，则不等式(21)(2)3x x +*->的解集是（） A ．1x >或13x < B ．113x -<<C ．1x >或1x <-D ．13x >或1x <- 【答案】C 【分析】根据新定义运算规则，分别从212x x +≥-和212x x +<-两种情况列出关于x 的不等式，求解后即可得出结论．【详解】解：由题意得，当212x x +≥-时，即13x ≥时，(21)(2)21x x x +*-=+，则213x +>，解得1x >，∴此时原不等式的解集为1x >；当212x x +<-时，即13x <时，(21)(2)2x x x +*-=-，则23x ->，解得1x <-，∴此时原不等式的解集为1x <-；综上所述，不等式(21)(2)3x x +*->的解集是1x >或1x <-．故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x 的不等式．6．（2021·广西中考真题）如{}1,2,M x =，我们叫集合M ，其中1，2，x 叫做集合M 的元素．集合中的元素具有确定性（如x 必然存在），互异性（如1x ≠，2x ≠），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合{},1,2N x =，我们说M N =．已知集合{}1,0,A a =，集合1,,b B a a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若A B =，则b a -的值是（） A ．－1 B ．0C ．1D ．2【答案】C 【分析】根据集合的确定性、互异性、无序性，对于集合B 的元素通过分析，与A 的元素对应分类讨论即可．【详解】解：∴集合B 的元素1,ba a，a ，可得， ∴0a ≠， ∴10≠a，0b a =，∴0b =，当11a =时，1a =，{}1,0,1A =，{}1,1,0B =，不满足互异性，情况不存在，当1a a=时，1a =±，1a =（舍），1a =-时，{}1,0,1A =-，{}1,1,0B =-，满足题意，此时，=1b a -．故选：Ｃ【点睛】本题考查集合的互异性、确定性、无序性。

初中数学中考模拟复习专题51 新定义和阅读理解型问题考试卷及答案

xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1，b=-2，又b＜0，所以1※（-2）=．请你参考小明的解题思路，回答下列问题：（1）计算：2※3= ；（2）若5※m=，则m= ．（3）函数y=2※x（x≠0）的图象大致是（）评卷人得分试题2:我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题?（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A，B重合），D是半圆的中点，C，D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE．①求证：△ACE是奇异三角形；②当△A CE是直角三角形时，求∠AOC的度数．试题3:阅读理解：对于任意正实数a、b，∵(－)2≥0，∴a－2＋b≥0，∴a＋b≥2，只有当a＝b时，等号成立.结论：在a＋b≥2（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2，只有当a＝b时，a＋b有最小值2. 根据上述内容，回答下列问题：（1）若m＞0，只有当m＝时，m＋有最小值；若m＞0，只有当m＝时，2m＋有最小值 .（2）如图，已知直线L1：y＝x＋1与x轴交于点A，过点A的另一直线L2与双曲线y＝（x>0）相交于点B（2，m），求直线L2的解析式.（3）在（2）的条件下，若点C为双曲线上任意一点，作CD∥y轴交直线L1于点D，试求当线段CD最短时，点A、B、C、D围成的四边形面积.试题4:如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”。

中考数学复习《新定义及阅读理解型问题》测试题(含答案)

中考数学复习《新定义及阅读理解型问题》测试题（含答案）题型解读1.考查题型：①新定义计算型；②阅读理解型；③新定义与阅读理解结合题. 2.考查内容：①新定义下的实数运算；②涉及“新定义”的阅读理解及材料分析；③与函数、多边形、圆结合，通过材料或定义进行相关证明或计算.3.在做此类题型时，首先要理解新定义的运算方式，提升从材料阅读中提取信息的能力，结合已知条件中的推理方法，学以致用，便可得以解决．1.对于实数a ，b ，定义一种新运算“⊗”为：a ⊗b ＝1a －b 2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝11－32＝－18，则方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是( ) A . x ＝4 B . x ＝5 C . x ＝6 D . x ＝72.对于实数a 、b ，我们定义符号max {a ，b}的意义为：当a≥b 时，max {a ，b}＝a ；当a ＜b 时，max {a ，b}＝b ；如max {4，－2}＝4，max {3，3}＝3.若关于x 的函数为y ＝max {x ＋3，－x ＋1}，则该函数的最小值是( )A . 0B . 2C . 3D . 43.我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216＝4，②log 525＝5，③log 212＝－1.其中正确的是( )A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③4.设a ，b 是实数，定义关于@的一种运算如下：a@b ＝(a ＋b)2－(a －b)2，则下列结论：( ) ①若a@b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②a@(b ＋c)＝a@b ＋a@c ；③不存在实数a ，b ，满足a@b ＝a 2＋5b 2;④设a ，b 是矩形的长和宽，若该矩形的周长固定，则当a ＝b 时，a@b 的值最大．其中正确的是( )A . ②③④B . ①③④C . ①②④D . ①②③5.对于实数a ，b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b）a －b （a<b ），例如：因为 4>2，所以4*2＝42－4×2＝8，则(－3)*(－2)＝________．6.规定：log a b(a>0，a ≠1，b>0)表示a ，b 之间的一种运算．现有如下的运算法则：log a a n＝n ，log N M ＝log a Mlog a N(a>0，a ≠1，N>0，N ≠1，M>0)，例如：log 223＝3，log 25＝log 105log 102，则log 1001000＝________．第7题图7.实数a ，n ，m ，b 满足a<n<m<b ，这四个数在数轴上对应的点分别是A ，N ，M ，B(如图)．若AM 2＝BM·AB，BN 2＝AN·AB，则称m 为a ，b 的“黄金大数”，n 为a ，b 的“黄金小数”，当b －a ＝2时，a ，b 的黄金大数与黄金小数之差m －n ＝________． 8.请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes ，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al －Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al －Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图①，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC>AB ，M 是ABC ︵的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD ＝AB ＋BD.下面是运用“截长法”证明CD ＝AB ＋BD 的部分证明过程．证明：如图②，在CB 上截取CG ＝AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG. ∵M 是ABC ︵的中点， ∴MA ＝MC. …图① 图②任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图③，已知等边△ABC 内接于⊙O，AB ＝2，D 为AC ︵上一点，∠ABD ＝45°，AE ⊥BD 于点E ，则△BDC 的周长是________．图③9.如果三角形三边的长a 、b 、c 满足a ＋b ＋c3＝b ，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．(1)如图①，已知两条线段的长分别为a 、c(a<c)，用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a 、c 的“匀称三角形”(不写作法，保留作图痕迹)；(2)如图②，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AB 延长线于点E ，交AC 于点F.若BE CF ＝53，判断△AEF 是否为“匀称三角形”？请说明理由．10.我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p×q(p，q 是正整数，且p≤q)，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的最佳分解，并规定：F(n)＝pq .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝34. (1)如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，我们称正整数a 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F(m)＝1；(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y(1≤x≤y≤9，x ，y 是自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．11.已知点P(x 0，y 0)和直线y ＝kx ＋b ，则点P 到直线y ＝kx ＋b 的距离d 可用公式d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2计算．例如：求点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离．解：因为直线y ＝3x ＋7，其中k ＝3，b ＝7，所以点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|3×（－1）－2＋7|1＋32＝210＝105. 根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离；(2)已知⊙Q 的圆心Q 坐标为(0，5)，半径r 为2，判断⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系并说明理由； (3)已知直线y ＝－2x ＋4与y ＝－2x －6平行，求这两条直线之间的距离．12.【图形定义】如图，将正n 边形绕点A 顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O ，连接AO ，我们称AO 为“叠弦”；再将“叠弦”AO 所在的直线绕点A 逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P ，连接PO ，我们称∠OAB 为“叠弦角”，△AOP 为“叠弦三角形”．【探究证明】(1)请在图①和图②中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(即△AOP)是等边三角形； (2)如图②，求证：∠OAB＝∠OAE′. 【归纳猜想】(3)图①、图②中“叠弦角”的度数分别为__________，__________； (4)图中，“叠弦三角形”__________等边三角形(填“是”或“不是”)； (5)图中，“叠弦角”的度数为__________(用含n 的式子表示)．13.若抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系．此时直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”．(1)若直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝x 2－2x ＋n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；(2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6x 的图象上，它的“带线”l 的解析式为y ＝2x －4，求此“路线”L 的解析式；(3)当常数k 满足12≤k≤2时，求抛物线L ：y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 的“带线”l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围．1. B 【解析】根据题意a ⊗b ＝1a －b 2，则 x ⊗(－2)＝1x －（－2）2＝1x －4，又∵x ⊗(－2)＝2x －4－1，∴1x －4＝2x －4－1，解得x ＝5，经检验x ＝5是原方程的根，∴原方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是x ＝5. 2. B 【解析】当x ＋3≥－x ＋1时，max{x ＋3，－x ＋1}＝x ＋3，此时x ≥－1，∴y ≥2；当x ＋3＜－x ＋1时，max{x ＋3，－x ＋1}＝－x ＋1，此时x ＜－1，∴y ＞2.综上y 的最小值为2.3. B 【解析】①∵24＝16，∴log 216＝4，故①正确；②∵52＝25，∴log 525＝2，故②不正确；③∵2－1＝12，∴log 212＝－1，故③正确． 4. C 【解析】∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2，若a @b ＝0，则(a ＋b )2－(a －b )2＝0，∴(a ＋b )2＝(a －b )2, ∴a ＋b ＝±(a －b )，∴a ＝0或b ＝0，∴①正确；∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2，∴a @(b ＋c )＝[a ＋(b ＋c )]2－[a －(b ＋c )]2＝[a ＋(b ＋c )＋a －(b ＋c )][a ＋(b ＋c )－(a －b －c )]＝4ab ＋4ac ，∵a @b ＋a @c ＝(a ＋b )2－(a －b )2＋(a ＋c )2－(a －c )2＝a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋2ab －b 2＋a 2＋2ac ＋c 2－ a 2＋2ac －c 2＝4ab ＋4ac ，∴a @(b ＋c )＝a @b ＋a @c ，∴②正确；∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2＝ a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋2ab －b 2＝4ab ，当a ＝b ＝0时，满足a @b ＝a 2＋5b 2，∴③错误；若矩形的周长固定，设为2c ，则2c ＝2a ＋2b ，b ＝c －a ，a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab ＝4a (c －a )＝－4(a －12c )2＋c 2，∴当a ＝12c 时，4ab 有最大值是c 2，即a ＝b 时，a @b 的值最大，∴④正确．综上，正确结论有①②④.5. －1 【解析】根据新定义，当a<b 时，a*b ＝a －b 列出常规运算，进行计算便可．∵－3<－2，∴由定义可知，原式＝－3－(－2)＝－1.6. 32 【解析】根据新运算法则，得log 1001000＝log 101000log 10100＝log 10103log 10102＝32. 7. 25－4 【解析】设AN ＝y ，MN ＝x ，由题意可知：AM 2＝BM ·AB ，∴(x ＋y)2＝2(2－x －y)，解得x ＋y ＝5－1(取正)，又BN 2＝AN·AB ，∴(2－y)2＝2y ，解得y ＝3－5(y ＜2)，∴m －n ＝MN ＝x ＝5－1－(3－5)＝25－4，故填25－4.8. 解：(1)又∵∠A ＝∠C ，CG ＝AB. ∴△MBA ≌△MGC(SAS )，∴MB ＝MG . 又∵MD ⊥BC ， ∴BD ＝GD ，∴CD ＝CG ＋GD ＝AB ＋BD. (2)2＋2 2.【解法提示】折线BDC 为⊙O 的一条折弦，由题意知A 为BDC ︵中点，由材料中折弦定理易得BE ＝DE ＋CD ，在Rt △ABE 中可得BE ＝2，所以△BCD 周长为BC ＋CD ＋DE ＋BE ＝2＋2 2.9. 解：(1)作图如解图①.第9题解图①(2)△AEF是“匀称三角形”．理由如下：如解图②，第9题解图②连接AD、OD，∵AB是⊙O直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D是BC中点，∵O是AB中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC.∵DF切⊙O于D点，∴OD⊥DF，∴EF⊥AF，过点B作BG⊥EF于点G，易证Rt△BDG≌Rt△CDF(AAS)，∴BG＝CF，∵BECF＝53，∴BEBG＝53，∵BG∥AF(或Rt△BEG∽Rt△AEF)，∴BEBG＝AEAF＝53.在Rt△AEF中，设AE＝5k，则AF＝3k，由勾股定理得，EF＝4k，∴AF＋EF＋AE3＝3k＋4k＋5k3＝4k＝EF，∴△AEF是“匀称三角形”．10. (1)证明：∵m是一个完全平方数，∴m＝p×q，当p＝q时，p×q就是m的最佳分解，∴F(m)＝pq＝pp＝1.(2)解：由题意得，(10y＋x)－(10x＋y)＝18，得y＝x＋2(y≤9)，∴t＝10x＋y＝10x＋x＋2＝11x＋2(1≤x≤7)，则所有的“吉祥数”为：13，24，35，46，57，68，79共7个，∵13＝1×13，24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，35＝1×35＝5×7，46＝1×46＝2×23，57＝1×57，68＝1×68＝2×34＝4×17，79＝1×79，∴F(13)＝113，F(24)＝46＝23，F(35)＝57，F(46)＝223，F(57)＝157，F(68)＝417，F(79)＝179，∴“吉祥数”中F(t)的最大值为：F(35)＝57.11. 解：(1)∵直线y ＝x －1，其中k ＝1，b ＝－1， ∴点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离为： d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|1－（－1）－1|1＋12＝12＝22.(2)相切．理由如下：∵直线y ＝3x ＋9，其中k ＝3，b ＝9，∴圆心Q(0，5)到直线y ＝3x ＋9的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|3×0－5＋9|1＋（3）2＝42＝2，又∵⊙Q 的半径r 为2，∴⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系为相切．(3)在直线y ＝－2x ＋4上任意取一点P ，当x ＝0时，y ＝4， ∴P(0，4)，∵直线y ＝－2x －6，其中k ＝－2，b ＝－6，∴点P(0，4)到直线y ＝－2x －6的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|－2×0－4－6|1＋（－2）2＝105＝25，∴这两条直线之间的距离为2 5.12. (1)选择图①.证明：依题意得∠DAD′＝60°，∠PAO ＝60°. ∵∠DAP ＝∠DAD′－∠PAD′＝60°－∠PAD′，∠D ′AO ＝∠PAO －∠PAD ′＝60°－∠PAD′， ∴∠DAP ＝∠D′AO.∵∠D ＝∠D′，AD ＝AD′， ∴△DAP ≌△D ′AO(ASA )， ∴AP ＝AO ，又∵∠PAO ＝60°，∴△AOP 是等边三角形．选择图②.证明：依题意得∠EAE′＝60°，∠PAO ＝60°. ∵∠EAP ＝∠EAE′－∠PAE′＝60°－∠PAE′， ∠E ′AO ＝∠PAO －∠PAE′＝60°－∠PAE′， ∴∠EAP ＝∠E′AO(ASA )． ∵∠E ＝∠E′，AE ＝AE′， ∴△EAP ≌△E ′AO ， ∴AP ＝AO ，又∵∠PAO ＝60°， ∴△AOP 是等边三角形．第12题解图(2)证明：如解图，连接AC ，AD ′，CD ′. ∵AE ′＝AB ，∠E′＝∠B ＝180°×（5－2）5＝108°，E ′D ′＝BC ，∴△AE ′D ′≌△ABC(SAS )，∴AD ′＝AC ，∠AD ′E ′＝∠ACB ， ∴∠AD ′C ＝∠ACD′， ∴∠OD ′C ＝∠OCD′， ∴OC ＝OD′，∴BC －OC ＝E′D′－OD′，即BO ＝E′O. ∵AB ＝AE′，∠B ＝∠E′， ∴△ABO ≌△AE ′O(SAS )， ∴∠OAB ＝∠OAE′. (3)15°，24°.【解法提示】∵由(1)得，在图①中，△AOP 是等边三角形， ∴∠DAP ＋∠OAB ＝90°－60°＝30°，在△OAB 和△OAD′中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OABA ＝D′A， ∴△ABO ≌△AD ′O(HL )， ∴∠OAB ＝∠D′AO ，由(1)知∠D′AO ＝∠DAP ， ∴∠OAB ＝∠DAP ， ∴∠OAB ＝12×30°＝15°；∵由(1)得，在图②中，△PAO 为等边三角形， ∴∠PAE ＋∠BAO ＝∠EAB －∠PAO ，∵∠EAB＝15×180°×(5－2)＝108°，∴∠PAE＋∠BAO＝48°，同理可证得∠OAB＝∠PAE，∴∠OAB＝12×48°＝24°.(4)是．【解法提示】由(1)(2)可知，“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，AO＝AP，且∠PAO ＝60°，故△AOP是等边三角形．(5)60°－180°n(n≥3)．【解法提示】由(1)(2)(3)可知，“叠弦角”的度数为正n边形的内角度数减去60°之后再除以2，即∠OAB＝180°（n－2）n－60°2，化简得∠OAB＝60°－180°n(n≥3)．13. 解：(1)由题意得n＝1，∴抛物线y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，顶点为Q(1，0)，将(1，0)代入y＝mx＋1，得m＝－1，∴m＝－1，n＝1.(2)由题意设“路线”L的解析式为y＝a(x－h)2＋k，∵顶点Q的坐标在y＝6x和y＝2x－4上，∴⎩⎪⎨⎪⎧k＝6hk＝2h－4，解得h＝－1或3，∴顶点Q的坐标为(－1，－6)或(3，2)，∴y＝a(x＋1)2－6或y＝a(x－3)2＋2，又∵“路线”L过P(0，－4)，代入解得a＝2(顶点为(－1，－6))，a＝－23(顶点为(3，2))，∴y＝2(x＋1)2－6或y＝－23(x－3)2＋2，即y＝2x2＋4x－4或y＝－23x2＋4x－4.(3)由题可知抛物线顶点坐标为(－3k2－2k＋12a，4ak－（3k2－2k＋1）24a)，设带线l：y＝px＋k，代入顶点坐标得p＝3k2－2k＋12，11 ∴y ＝3k 2－2k ＋12x ＋k ，令y ＝0，则带线l 交x 轴于点(－2k 3k 2－2k ＋1，0)，令x ＝0，则带线l 交y 轴于点(0，k)， ∵k ≥12＞0， ∴3k 2－2k ＋1＝3(k －13)2＋23＞0， ∴带线l 与坐标轴围成三角形面积为S ＝12·2k 3k 2－2k ＋1·k ＝k 23k 2－2k ＋1＝11k 2－2·1k ＋3，令t ＝1k ，∵12≤k ≤2，∴12≤t ≤2，∴S ＝1t 2－2t ＋3，∴1S ＝t 2－2t ＋3＝(t －1)2＋2，故当t ＝2时，(1S )max ＝3；当t ＝1时，(1S )min ＝2.∴13≤S ≤12.。

中考数学压轴题专题-创新型与新定义综合问题(解析版)

决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品专题18创新型与新定义综合问题【考点1】几何综合探究类阅读理解问题【例1】综合与实践：阅读理解：数学兴趣小组在探究如何求tan 75︒的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：如图1，作Rt ABC ∆，使90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，延长CB 至点D ，使BD BA =，连接AD .设1AC =，则2BD BA ==，3BC =.tan 75tan DC DB BC DAC AC AC +︒=∠==23231+==+.请解决下列问题：（1）类比求解：求出tan 22.5︒的值；（2）问题解决：如图2，某住宅楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹角是22.5︒时，住宅在建筑物的墙上留下高3m 的影子CE ；而当光线与地面的夹角是45︒时，住宅楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有13m 的距离（B ，F ，C 在一条直线上）.求住宅楼AB 的高度（结果保留根号）；（3）探究发现：如图3，小明用硬纸片做了两个直角三角形，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =；在Rt DEF ∆中，90FED ∠=︒，45EFD ∠=︒，2DF =.他将DEF ∆的斜边DF 与ABC ∆的斜边AC 重合在一起，并将DEF ∆沿CA 方向移动.在移动过程中，D ，F 两点始终在CA 边上（移动开始时点F 与点C 重合）.探究在DEF ∆移动过程中，是否存在某个位置，使得22.5ECD ∠=︒？如果存在，直接写出CD 的长度；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）21-；（2）住宅楼的高为()823m +.（3）存在某个位置，使得22.5ECD ∠=︒，CD 的长为22+.【分析】（1）如图1，只需借鉴思路一或思路二的方法，即可解决问题；（2）在Rt ABF ∆中，设AB 为x m 得出13BC BF FC x =+=+，在Rt AEM ∆中，根据tan 22.5AM ME ︒=列出关于x 的方程32113x x -=-+求解即可；（3）因为在Rt DEF ∆中，90FED ∠=︒，45EFD ∠=︒，2DF =，所以=2FE ；假设在DEF ∆移动过程中，存在某个位置使得22.5ECD ∠=︒，因为45EFD ∠=︒，所以CF=FE=2，所以CD 的长为22+.【详解】（1）如图，延长CB 至点D ，使BD BA =，连接AD .在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，45ABC ∠=︒，设1AC =，则1BC AC ==.∴2222112BD BA BC AC ==+=+=∴tan 22.5tan AC AC ADC DC BD BC ︒=∠==+()()12121212121-===-++-.（2）如图，过点E 作EM AB ⊥，垂足为M .在Rt ABF ∆中，45AFB ∠=︒，设AB 为x m .∴BF AB x ==. ∴13BC BF FC x =+=+.∵在Rt AEM ∆中，22.5AEM ∠=︒，∴3AM AB BM AB CE x =-=-=-，13ME BC x ==+.∵tan 22.5AM ME ︒=， ∴32113x x -=+. ∴()()132102************x -==--+ 16268232==. 答：住宅楼的高为()823m .（3）存在某个位置，使得22.5ECD ∠=︒，理由如下：当22.5ECD ∠=︒时，∵45EFD ∠=︒，∴∠ECF=∠CEF，∴CF=EF，∵90FED ∠=︒，45EFD ∠=︒，2DF =，∴2EF =22CD CF DF =+=+.【点睛】本题考查了学生综合运用数学知识的能力，解题的方法不唯一，可让学生采用不同的方法求解，培养学生的思维能力.【变式1-1】如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由见解析.（2）见解析.（3）GE=73．【解析】（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）如图1，∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；（3）连接CG、BE，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，AG ACGAB CAE AB AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG2，BE2，∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE73【名师点睛】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．【变式1-2】综合与实践正方形内“奇妙点”及性质探究定义：如图1，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以D为圆心，DA为半径作AC，与半圆O 交于点P.我们称点P为正方形ABCD的一个“奇妙点”．过奇妙点的多条线段与正方形ABCD无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．性质探究：如图2，连接DP 并延长交AB 于点E ，则DE 为半圆O 的切线．证明：连接OP OD ，．由作图可知，DP DC OP OC ==，，又OD OD =．.OPD OCD SSS ∴≌（）90OPD OCD ∴∠=∠=︒，∴DE 是半圆O 的切线．问题解决：（1）如图3，在图2的基础上，连接OE .请判断∠BOE 和CDO ∠的数量关系，并说明理由；（2）在（1）的条件下，请直接写出线段DE BE CD ，，之间的数量关系；（3）如图4，已知点P 为正方形ABCD 的一个“奇妙点”，点O 为BC 的中点，连接DP 并延长交AB 于点E ，连接CP 并延长交AB 于点F ，请写出BE 和AB 的数量关系，并说明理由；（4）如图5，已知点E F G H ，，，为正方形ABCD 的四个“奇妙点”．连接AG BH CE DF ，，，，恰好得到一个特殊的“赵爽弦图”．请根据图形，探究并直接写出一个不全等的几何图形面积之间的数量关系．【答案】（1）BOE CDO ∠=∠，理由见解析；（2）DE BE CD =+；（3）14BE AB =，理由见解析；（4）答案不唯一，如：ABH 的面积等于正方形EFGH 的面积；正方形EFGH 的面积等于正方形ABCD 面积的15等．【分析】（1）先提出猜想，在图2以及上面结论的基础上，根据全等三角形的性质、四边形的内角和、邻补角的性质可得出BOP PDC ∠=∠，再由边边边定理可证得POE BOE ≌，然后利用全等三角形的性质、等式性质可得证结论；（2）由（1）可知OPD OCD ≌、POE BOE ≌，根据全等三角形的性质、线段的和差即可得到结论；（3）先提出猜想，添加辅助线构造出直角三角形，由（1）可知BOE CDO ∠=∠，则其正切值相等，再根据正方形的性质即可得证结论；（4）根据前面的结论结合赵爽弦图可证得 1===5RtDFC Rt DAG Rt ABH Rt BCE EFGH ABCD S S S S S S ==正方形正方形，即可提出猜想．【详解】解：（1）结论：BOE CDO ∠=∠理由如下：∵OPD OCD ≌∴90OPD OCD ∠=∠=︒，POD COD ∠=∠，12CDO PDO PDC ∠=∠=∠ ∴360180POC PDC OPD OCD ∠+∠=-∠-∠=︒︒∵180POC BOP ∠+∠=︒∴BOP PDC ∠=∠在Rt POE △和Rt BOE △中∵OE OE =，OP OB =∴POE BOE ≌∴12POE BOE BOP ∠=∠=∠ ∵12CDO PDO PDC ∠=∠=∠ ∴BOE CDO ∠=∠；（2）∵由（1）可知，OPD OCD ≌、POE BOE ≌∴DP CD =，PE BE =∵DE DP PE =+∴DE BE CD =+∴线段DE 、BE 、CD 之间的数量关系是DE BE CD =+；（3）结论：14BE AB = 理由：连接OE 、OD ，如图：由（1）可知，BOE CDO ∠=∠∵90B OCD ∠=∠=︒∴tan tan BOE CDO ∠=∠∵点O 为BC 的中点 ∴12BE OC BO DC == ∴11112224BE BO BC BC ==⨯= ∵四边形ABCD 是正方形∴AB BC =∴14BE AB =；（4）延长DF 交BC 于点O ，连接DE 、OE ，如图：∵由前面的结论可知OED OCD ≌ ∴DE DC =∵此图为赵爽弦图即DF CE ⊥∴EF CF =同理可得FG DG =、GH AH =、HE BE =∵四边形EFGH 是正方形∴EF FG GH HE ===∴EF FG GH HE CF DG AH BE =======∴在Rt EHQ 和Rt DGQ 中，()90EQH DQG QHE QGD EH DG ⎧∠=∠⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩对顶角相等∴()Rt EHQ Rt DGQ AAS ≌∴Rt EHQ Rt DGQ S S =∴Rt DEFEFGH S S =正方形∴1===5Rt DFC Rt DAG Rt ABH Rt BCEEFGH ABCD S S S S S S==正方形正方形∴答案不唯一，例如，ABH的面积等于正方形EFGH的面积；正方形EFGH的面积等于正方形ABCD面积的15等等．【点睛】本题属于新定义问题，涉及到的知识点有全等三角形的判定和性质、正方形的性质、直角三角形的性质、锐角三角函数、邻补角的性质、对顶角的性质、线段的和差等知识点，考查了创新能力和知识的迁移能力，有一定的难度．【考点2】代数类新定义及阅读理解型问题【例2】阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，以此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a n．所以，数列的一般形式可以写成：a1、a2、a3，…，a n，…，一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，期中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为______，第5项是______．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，a n，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，a n﹣a n﹣1＝d，…．所以a2＝a1+d，a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d ＝（a1+2d）+d＝a1+3d……，由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n＝a1+（______）d（3）求﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第几项？并说明理由．【答案】（1）5，25；（2）n﹣1；（3）第2018项，理由见解析．【分析】（1）根据题目中的材料，可以得到等差数列5，10，15，…的公差d和第5项的值；（2）根据题目中推导，可以得到等差数列的通项公式；（3）根据题意和题目中的数据，利用（2）中的结论，可以得到等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的公差和通项公式，从而可以求得﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第几项.【详解】解：（1）由题意可得，d＝15﹣10＝5，第5项是：15+5+5＝25，故答案为：5，25；（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，a n，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，a n﹣a n﹣1＝d，…．所以a2＝a1+d，a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n＝a1+（n﹣1）d，故答案为：n﹣1；（3）﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第2018项，理由：等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…，∴d＝﹣7﹣（﹣5）＝﹣7+5＝﹣2，∴a n＝﹣5+（n﹣1）×（﹣2）＝﹣2n﹣3，令﹣2n﹣3＝﹣4039，解得，n＝2018，即﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第2018项.【点睛】此题考查数的计算规律，解题的关键是读懂题意，理解等差数列及等差数列公差的定义，由此正确计算各等差数列中的公差，得到数据的计算规律由此解决问题.【变式2-1】（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为mn，易知mn=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc=100a+10b+c．【基础训练】（1）解方程填空：①若2x+3x=45，则x=__________；②若7y–8y=26，则y=__________；③若93t+58t=131t，则t=__________；【能力提升】（2）交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm，则mn+nm一定能被__________整除，mn–nm一定能被__________整除，mn•nm–mn一定能被__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532–235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________；②设任选的三位数为abc（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．【答案】（1）①2．②4．③7．（2）11；9；10．【解析】（1）①∵mn=10m+n，∴若2x+3x=45，则10×2+x+10x+3=45，∴x=2，故答案为：2．②若7y–8y=26，则10×7+y–（10y+8）=26，解得y=4，故答案为：4．③由abc=100a+10b+c，及四位数的类似公式得若93t+58t=131t，则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1，∴100t=700，∴t=7，故答案为：7．（2）∵mn+nm=10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n），∴则mn+nm一定能被11整除，∵mn–nm=10m+n–（10n+m）=9m–9n=9（m–n），∴mn–nm一定能被9整除．∵mn•nm–mn=（10m+n）（10n+m）–mn=100mn+10m2+10n2+mn–mn=10（10mn+m2+n2）∴mn•nm–mn一定能被10整除．故答案为：11；9；10．（3）①若选的数为325，则用532–235=297，以下按照上述规则继续计算，972–279=693，963–369=594，954–459=495，954–459=495，…故答案为：495．②当任选的三位数为abc时，第一次运算后得：100a+10b+c–（100c+10b+a）=99（a–c），结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2，∴a–c≥2，又9≥a＞c≥0，∴a–c≤9，∴a–c=2，3，4，5，6，7，8，9，∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，再让这些数字经过运算，分别可以得到：981–189=792，972–279=693，963–369=594，954–459–495，954–459=495…，故都可以得到该黑洞数495．【名师点睛】本题是较为复杂的新定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异，总体中等难度略大．【变式2-2】阅读下列材料：小明为了计算220172018+++++的值，采用以下方法：12222设220172018S12222=+++++①则220182019=++++②2S2222②-①得2019-=-2S S21∴2201720182019S 1222221=+++++=- （1）291222++++= ;（2）210333+++ = ;（3）求2n 1a a a ++++的和（0a > ，n 是正整数，请写出计算过程）.【答案】（1）1021-; （2）11312- ; （3）n+1或 n 11a 1S a +--=. 【解析】【分析】（1）利用题中的方法设S=1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S=2+22+…+29，然后把两式相减计算出S 即可；（2）利用题中的方法设S=1+3+32+33+34+…+310 ，两边乘以3得到3S=3+32+33+34+35+…+311 ，然后把两式相减计算出S 即可；（3）利用（2）的方法计算．【详解】（1）设S=1+2+22+…+29① 则2S=2+22+…+210 ② ②-①得2S-S=S=210-1 ∴S=1+2+22+…+29=210-1；故答案为210-1（2）设S=3+3+32+33+34+…+310 ①，则3S=32+33+34+35+…+311 ②， ②-①得2S=311-1，所以S=11312-，即3+32+33+34+…+310=11312-；故答案为11312-；（3）设S=1+a+a 2+a 3+a 4+..+a n ①，则aS=a+a 2+a 3+a 4+..+a n +a n+1②，②-①得：（a-1）S=a n+1-1，a=1时，不能直接除以a-1，此时原式等于n+1；a 不等于1时，a-1才能做分母，所以S=111n a a +--，即1+a+a 2+a 3+a 4+..+a n=111n a a +--. 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．【考点3】函数类新定义综合型问题【例3】已知函数12y kx k =+与函数2223,y x x =-+定义新函数21y y y =-（1）若2,k =则新函数y = ；（2）若新函数y 的解析式为22,y x bx =+-则k = ，b = ；（3）设新函数y 顶点为(),m n ．①当k 为何值时，n 有最大值，并求出最大值； ②求n 与m 的函数解析式；（4）请你探究：函数1y 与新函数y 分别经过定点,A B ，函数2223y x x =-+的顶点为C ，新函数y 上存在一点D ，使得以点,,,A B C D 为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出k 的值．【答案】（1）261-+x x ；（2）5,12-；（3）①当32k =-时，174n =最大值；②24=--+n m m ；（4）1712=k 或1712k =-或3512k =- 【分析】（1）将k=2代入函数，然后用21y y -得到新函数；（2）先求出新函数，然后比较2个函数，利用对应位置的系数相同可求得；（3）①先用k 表示新函数的定点，得出m 、n 和k 的关系式，再利用配方法求得n 最大时k 的值； ②已求得m 、n 关于k 的关系式，将1k m =-代入n 中，化简可得m 、n 的关系式；（4）先求出定点A 、B 、C ，如下图，存在3处D 可构成平行四边形，利用平行四边形的特点求出点D 的坐标，进而得出k 的值．【详解】（1）当k=2时1222=42y x x =⋅⋅++221=2342y y y x x x =--+--=261-+x x（2）2221232kx (22)(3)y y y x x k x k x k =-=-+--=-++- ∵新函数的解析式为：22,y x bx =+- ∴b=(22)k -+，－2=(3－k) 解得：k=5，b=－12 （3）①新函数()2213y x k x k =-++-项点为(),m n .()22132y x k k k ∴=----+.21,3 2.m k n k k =+⎧∴⎨=--+⎩ 223173224n k k k ⎛⎫∴=--+=-++ ⎪⎝⎭当32k =-时，174n =最大值 ∴新函数y 的顶点的绿坐标有最大值，最大值为174②21,3 2.m k n k k =+⎧⎨=--+⎩将1k m =-代入232n k k =--+得:24n m m ∴=--+（4）∵点A 是12y kx k =+的定点坐标1(21)y x k =+，当x=12-时，y=0∴A(12-，0)∵点B 是新函数2(22)(3)y x k x k =-++-上的定点2(21)(23)y x k x x =--+-+当x=12-时，y=174 ∴点B(12-，174) ∵点C 是2223y x x =-+的定点22(1)2y x =-+∴C(1，2)∵四边形ABCD 是平行四边形，存在如下图3种情况：根据平行四边形的性质，易知：图1中，点D(1，94-) 图2中，点D(1，254) 图3中，点D(-2，94)当点D(1，94-)时，代入新函数2(22)(3)y x k x k =-++-解得：k=1712同理可得1712k =-或3512k =- ∴1712=k 或1712k =-或3512k =-【点睛】本题考查二次函数的综合，难点在第（4）问，解题关键是先确定定点A 、B 和顶点C 的坐标，根据平行四边形的性质得出点D 的坐标．【变式3-1】特例感知（1）如图1，对于抛物线211y x x =--+，2221y x x =--+，2331y x x =--+，下列结论正确的序号是_________；①抛物线1y ，2y ，3y 都经过点(0,1)C ；②抛物线2y ，3y 的对称轴由抛物线1y 的对称轴依次向左平移12个单位得到； ③抛物线1y ，2y ，3y 与直线1y =的交点中，相邻两点之间的距离相等. 形成概念（2）把满足21n y x nx =--+（n 为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.知识应用在（2）中，如图2.①“系列平移抛物线”的顶点依次为1P ，2P ，3P ，…，n P ，用含n 的代数式表示顶点n P 的坐标，并写出该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：1C ，2C ，3C ，…，n C ，其横坐标分别为：1k --，2k --，3k --，…，k n --（k 为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.③在②中，直线1y =分别交“系列平移抛物线”于点1A ，2A ，3A ，…，n A ，连接n n C A ，11n n C A --，判断n n C A ，11n n C A --是否平行？并说明理由.【答案】（1）①②③（2）①2,124n n n P ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，21y x =+．③不平行，直线n n C A 的斜率（比例系数）为k n +，与n 取值有关(若两直线平行，则斜率会相等). 【解析】（1）①当x =0,1231y y y ===，所以正确；②123,,y y y 的对称轴分别是直线112x =-，21x =-，332x =-，所以正确；③123,,y y y 与1y =交点（除了点C ）横坐标分别为–1，–2，–3，所以距离为1，都相等，正确．（2）①2224124n n n y x nx x +⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，所以顶点24,24n n n P ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，令顶点n P 横坐标2n x =-，纵坐标244n y +=，22241142n n y x +⎛⎫==-+=+ ⎪⎝⎭，即：n P 顶点满足关系式21y x =+.②相邻两点之间的距离相等．理由：根据题意得；()2,1n C k n k nk ----+，()211,1n C k n k nk k ---+--++， ∴C n C n –1两点之间的铅直高度=()2211k nk k k nk k --++---+=． C n C n –1两点之间的水平距离=1()1k n k n --+---=． ∴由勾股定理得C n C n –12=k 2+1，∴C n C n –1. ③n n C A 与11n n C A --不平行．理由：根据题意得：()2,1n C k n k nk ----+，()211,1n C k n k nk k ---+--++，(),1n A n -，()11,1n A n --+．过C n ，C n –1分别作直线y =1的垂线，垂足为D ，E ，所以D （–k –n ，1），E （–k –n +1，1）. 在Rt △DA n C n 中，tan ∠DA n C n =()2211()n n k nk C D k nkk n A D n k n k---++===+----，在Rt △EA n –1C n –1中，tan ∠EA n –1C n –1=()22111111(1)n n k nk k C E k nk kk n A E n k n k-----+++-===+--+---+，∵1k n +-≠k n +，∴tan ∠DA n C n ≠tan ∠EA n –1C n –1， ∴n n C A 与11n n C A --不平行．【变式3-1】（2019•山东威海）（1）阅读理解如图，点A ，B 在反比例函数y =1x的图象上，连接AB ，取线段AB 的中点C ．分别过点A ，C ，B 作x 轴的垂线，垂足为E ，F ，G ，CF 交反比例函数y =1x的图象于点D ．点E ，F ，G 的横坐标分别为n ﹣1，n ，n +1（n >1）．小红通过观察反比例函数y =1x的图象，并运用几何知识得出结论： AE +BG =2CF ，CF >DF ，由此得出一个关于11n -，11n +，2n，之间数量关系的命题：若n >1，则__________．（2）证明命题小东认为：可以通过“若a ﹣b ≥0，则a ≥b ”的思路证明上述命题．小晴认为：可以通过“若a>0，b>0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．请你选择一种方法证明（1）中的命题．【解析】（1）∵AE+BG=2CF，CF>DF，AE=11n-，BG=11n+，DF=1n，∴11n-+11n+>2n．故答案为：11n-+11n+>2n．（2）方法一：∵11n-+11n+﹣2n=22222(1)(1)n n n n nn n n++--+-+=2(1)(1)n n n-+，∵n>1，∴n（n﹣1）（n+1）>0，∴11n-+11n+﹣2n>0，∴11n-+11n+>2n．方法二：∵11112n nn+-+=221nn->1，∴11n-+11n+>2n．【名师点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，反比例函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式3-2】定义一种新运算：a⊕b＝a(a b) b(a b)⎧≤⎨>⎩（1）请写出函数y＝x⊕1的解析式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象；（2）观察（1）中图象，探究得到y的最小值是．【答案】（1）y ＝x(x 0)x(0x 1)1(x 1)-<⎧⎪⎨⎪>⎩，图象见解析；（2）0．【解析】【分析】（1）根据新运算可得到y= ()()111x x x ⎧≤⎪⎨⎪⎩＞，分别讨论x ＜0和0≤x≤1时，去绝对值符号，即可得到函数y=x ⊕1的解析式，在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象，即可得到答案，（2）观察（1）中图象，即可得到当x=0时，y 有最小值，即可得到答案．【详解】解：（1）根据题意得：y ＝()()111x x x ⎧≤⎪⎨⎪⎩＞，当x ＜0时，|x |＝﹣x ，当0≤x ≤1时，|x |＝x ，即y ＝()x(x 0)x 0x 11(x 1)-<⎧⎪⎨⎪>⎩，该函数图象如下图所示：（2）由图象可知：当x ＝0时，y 有最小值0．故答案为：（1）()()()00111x x x x x -⎧⎪≤≤⎨⎪⎩＜＞，图象见解析；（2）0．【点睛】本题考查函数的图象，一次函数的图象，解题的关键是正确观察函数图象．【考点4】变换操作类阅读型问题【例4】类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD 中，添加一个条件，使得四边形ABCD 是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件：．（2）问题探究：如图2，小红画了一个ABC Rt ∆，其中90ABC ∠=︒，2AB =，1BC =，并将ABC Rt ∆沿B ∠的平分线BB '方向平移得到'''C B A ∆，连结AA '、BC '．小红要使平移后的四边形ABC A ''是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB '的长）？（3）应用拓展：如图3，“等邻边四边形”ABCD 中，AB AD =，90BAD BCD ∠+∠=︒，AC 、BD 为对角线，2AC =．试探究BC 、CD 、BD 的数量关系．【答案】（1）DA=AB（答案不唯一）；（2）应平移2或5或2或1422的距离；（3）BC2+CD2=2BD2．【解析】试题分析：（1）由“等邻边四边形”的定义易得出结论；（2）①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等，得出结论；②由平移的性质易得BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论；（3）由旋转的性质可得△ABF≌△ADC，由全等性质得∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD，由相似的性质和四边形内角和得∠CBF=90°，利用勾股定理，等量代换得出结论．解：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即可）；（2）①正确，理由为：∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，∴这个“等邻边四边形”是菱形；②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，∴AC=，∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2；（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=；（III）当A′C′=BC′=时，如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，∵BB′平分∠ABC，∴∠ABB′=∠ABC=45°，∴∠BB′D=′∠ABB′=45°∴B′D=B，设B′D=BD=x，则C′D=x+1，BB′=x，∵在Rt△BC′D中，BD2+（C′D）2=（BC′）2∴x2+（x+1）2=（）2，解得：x1=1，x2=﹣2（不合题意，舍去），∴BB′=x=（Ⅳ）当BC′=AB=2时，如图4，与（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+（C′D）2=（BC′）2，设B′D=BD=x，则x2+（x+1）2=22，解得：x1=，x2=（不合题意，舍去），∴BB′=x=；（3）BC，CD，BD的数量关系为：BC2+CD2=2BD2，如图5，∵AB=AD，∴将△ADC绕点A旋转到△ABF，连接CF，∴△ABF≌△ADC，∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，∴∠BAD=∠CAF，==1，∴△ACF∽△ABD，∴==，∴BD，∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣（∠BAD+∠BCD）=360°﹣90°=270°，∴∠ABC+∠ABF=270°，∴∠CBF=90°，∴BC2+FB2=CF2=（BD）2=2BD2，∴BC2+CD2=2BD2．考点：1．阅读理解题；2．平移，旋转的图形变换性质；3．三角形全等、相似的判定与性质；4．勾股定理的运用．【变式4-1】我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.(1)写出你所学过的特殊的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称、；(2)如图1，已知格点（小正方形的顶点）O(0,0)、A(3,0)、B(0,4)，点C 为图中所给方格中的另一个格点，四边形OACB 是以OA 、OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形，求点C 的坐标；(3)如图2，将∆ABC（BC >AB ）绕顶点B 按顺时针方向旋转60︒，得到∆DBE ，连接AD 、DC ，四边形ABCD 是勾股四边形，其中DC 、BC 为勾股边，求∠DCB 的度数.【答案】（1）矩形，正方形（答案不唯一）；（2）C（3,4），（4,3）；（3）∠DCB=30°.【解析】【分析】（1）根据矩形与正方形的性质可得答案；（2）利用勾股定理可得AB=5，然后在格点中找满足OC=5的点即可；（3）连接CE，根据旋转的性质可得△ABC≌△DBE，则BC=BE，因为∠CBE=60°，所以△BCE是等边三角形，则BC=CE，∠BCE=60°，根据勾股四边形的定义与勾股定理的逆定理可得∠DCE=90°，则可得∠DCB 的度数.【详解】解：（1）矩形；正方形（答案不唯一）；（2），则C点坐标如图为：（3,4），（4,3）；（3）连接CE，由旋转的性质得：△ABC ≌△DBE ，则BC=BE ，AC=BD ，∵∠CBE=60°，∴△BCE 是等边三角形，∴BC=CE ，∠BCE=60°，∵四边形ABCD 为勾股四边形，其中DC 、BC 为勾股边， ∴， ∴，∴∠DCE=90°，∴∠BCD=∠DCE ﹣∠BCE=90°﹣60°=30°.【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，全等三角形-旋转，等边三角形的判定等，解此题的关键在于准确理解题中勾股四边形的定义，利用勾股定理及其逆定理进行证明.与计算.【变式4-2】根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①四条边成比例的两个凸四边形相似；（__________命题）②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（__________命题）③两个大小不同的正方形相似．（__________命题）（2）如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1，11AB A B =11BC B C =11CD C D ．求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似．（3）如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ．记四边形ABFE 的面积为S 1，四边形EFCD 的面积为S 2，若四边形ABFE 与四边形EFCD 相似，求21S S 的值．【解析】（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．③两个大小不同的正方形相似．是真命题．故答案为假，假，真．（2）如图1中，连接BD ，B 1D 1．∵∠BCD =∠B 1C 1D 1，且11BC B C =11CD C D ， ∴△BCD ∽△B 1C 1D 1，∴∠CDB =∠C 1D 1B 1，∠C 1B 1D 1=∠CBD ，∵11AB A B =11BC B C =11CD C D ，∴11BD B D =11AB A B ， ∵∠ABC =∠A 1B 1C 1，∴∠ABD =∠A 1B 1D 1，∴△ABD ∽△A 1B 1D 1，∴11AD A D =11AB A B ，∠A =∠A 1，∠ADB =∠A 1D 1B 1， ∴11AB A B =11BC B C =11CD C D =11AD A D ，∠ADC =∠A 1D 1C 1，∠A =∠A 1，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1， ∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似．（3）如图2中，∵四边形ABCD 与四边形EFCD 相似，∴DE AE =EF AB ， ∵EF =OE +OF ，∴DE AE =OE OF AB+， ∵EF ∥AB ∥CD ，∴DE AD =OE AB ，DE OC OF AD AB AB==， ∴DE AD +DE AD =OE AB +OF AB ，∴2DE AD =DE AE， ∵AD =DE +AE ，∴2DE AE +=1AE， ∴2AE =DE +AE ，∴AE =DE ，∴21S S =1．【名师点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．1．阅读理解：已知两点1122,,()(),M x y N x y ，则线段MN 的中点(),K x y 的坐标公式为：122x x x +=，122y y y +=．如图，已知点O 为坐标原点，点()30A -,，O 经过点A ，点B 为弦PA 的中点．若点(),P a b ，则有,a b 满足等式：229a b +=．设(),B m n ，则,m n 满足的等式是（）A ．229m n +=B ．223922m n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()222323m n ++= D ．()222349m n ++=【答案】D 【解析】【分析】根据中点坐标公式求得点B 的坐标，然后代入,a b 满足的等式进行求解即可. 【详解】∵点()30A -,，点(),P a b ，点(),B m n 为弦PA 的中点， ∴32a m -+=，02b n +=， ∴23,2a m b n =+=，又,a b 满足等式：229a b +=， ∴()222349m n ++=，故选D ．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是理解中点坐标公式．2．阅读理解：解方程2||20x x --=．解：（1）当0x ≥时，原方程可以化为220x x --=，解得122,10x x ==-<（不合题意，舍去）；（2）当0x <时，原方程可以化为220x x +-=，解得122,10x x =-=>（舍去），∴原方程的解为122,2x x ==-．那么方程2|1|10x x ---=的解为（）A ．120,1x x ==B ．122,1x x =-=C ．121,2x x =-=D ．121,2x x ==【答案】B 【分析】根据绝对值的定义当x≥1时方程为x 2-x+1-1=0，求出方程的解；当x ＜1时方程为x 2+x-1-1=0，求出方程的解，即可求出答案．【详解】当x≥1时，方程为x 2-x+1-1=0，∴x 1=0（舍去），x 2=1；当x ＜1时，方程为x 2+x-1-1=0， ∴x 1=-2，x 2=1（舍去）， ∴方程的解是x 1=-2，x 2=1．故选：B ．【点睛】此题考查绝对值，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能正确去绝对值符号是解题的关键．3．阅读理解：a ，b ，c ，d 是实数，我们把符号a b c d称为22⨯阶行列式，并且规定：a b a d b c c d=⨯-⨯，例如：323(2)2(1)62412=⨯--⨯-=-+=---.二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解可以利用22⨯阶行列式表示为：xy D x DD y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；其中1122a b D a b =，1122xc b D c b =，1122ya c D a c =.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组213212x y x y +=⎧⎨-=⎩时，下面说法错误的是（）A ．21732D ==-- B ．14x D =-C ．27yD =D ．方程组的解为23x y =⎧⎨=-⎩【答案】C 【解析】【分析】根据阅读材料中提供的方法逐项进行计算即可得. 【详解】A 、D=2132-=2×（-2）-3×1=﹣7，故A 选项正确，不符合题意； B 、D x =11122-=﹣2﹣1×12=﹣14，故B 选项正确，不符合题意；C 、D y =21312=2×12﹣1×3=21，故C 选项不正确，符合题意；D 、方程组的解：x=147x D D -=-=2，y=217y D D =-=﹣3，故D 选项正确，不符合题意，故选C ．【点睛】本题考查了阅读理解型问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，读懂题意，根据材料中提供的方法进行解答是关键.4．将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m 组第n 个数字，则m +n ＝_____．【答案】65 【分析】根据题目中数字的特点，可知每组的个数依次增大，每组中的数字都是连续的偶数，然后即可求出2020是多少组第多少个数，从而可以得到m 、n 的值，然后即可得到m +n 的值．【详解】解：∵将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…， ∴第m 组有m 个连续的偶数， ∵2020＝2×1010， ∴2020是第1010个偶数， ∵1+2+3+ (44)44(441)2⨯+＝990，1+2+3+…+45＝45(451)2⨯+＝1035，∴2020是第45组第1010－990＝20个数， ∴m ＝45，n ＝20， ∴m +n ＝65．故答案为：65．【点睛】本题考查探索规律，认真观察所给数据总结出规律是解题的关键． 5．观察下列各式：11111122⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭，111112323⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭，111113434⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭，请利用你发现的规律，计算：2222222211111111111112233420182019+++++++++⋯+++，其结果为____．【答案】201820182019．【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可．【详解】2222222211111111111112233420182019++++++++++++11111111122320182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111201812233420182019=+-+-+-++- 201820182019=，故答案为201820182019．【点睛】本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题的关键．6．右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为1a ，第二个数记为2a ，第三个数记为3a ，……，第n 个数记为n a ，则4200a a +=_________．【答案】20110 【分析】根据所给数据可得到关系式()12n n n a +=，代入即可求值．由已知数据1，3，6，10，15，……，可得()12n n n a +=， ∴445102a ⨯==，200200201201002a ⨯==， ∴420020100+10=20110+=a a ．故答案为20110．【点睛】本题主要考查了数字规律题的知识点，找出关系式是解题的关键． 7．阅读理解：对于任意正实数a 、b ，∵（）2≥0，∴a-2，∴a+b≥2，当且仅当a=b时，等号成立．结论：在a+b（a 、b 均为正实数）中，若ab 为定值P ，则a+b，当且仅当a=b 时，a+b 有最小值．根据上述内容，回答下列问题：（1）若x ＞0，只有当x= 时，4x+有最小值为．（2）探索应用：如图，已知A （-2，0），B （0，-3），点P 为双曲线y=（x ＞0）上的任意一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥y 轴于点D ，求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状．（3）已知x ＞0，则自变量x 为何值时，函数y=取到最大值，最大值为多少？【答案】（1），12；（2）最小值为12，四边形ABCD 是菱形；（3）．。

新定义与阅读理解问题九年级数学专项训练(含解析)

新定义与阅读理解问题一、单选题A．1B．4C．6D()(A．113︒B．92二、填空题16．定义一种新的运算：a☆三、解答题17．若定义一种运算：a b∆()(32-=--+⨯-2Δ32(3)23参考答案：1．A【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题中的新定义是解此类题的关键．根据题中的新定义计算即可求出4-※2的值．【详解】解：根据新定义得：4-※22422=-⨯+84=-+4=-，故选：A 2．B【分析】本题考查了新运算，解一元一次方程，掌握新运算正确计算是解题的关键，根据()310312x ⎡⎤+⨯=⎣⎦★，()336x +⨯=-解方程即可．【详解】解：根据新定义得()31012x =★★()310312x ⎡⎤+⨯=⎣⎦★()3104x +=★()36x =-★()336x +⨯=-5x =-故选：B 3．D【分析】据提供的“F ”运算，对正整数n 分情况(奇数、偶数)循环计算，由于449n =为奇数应先进行F ①运算，发现从第4次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1，而第201次是奇数，这样循环计算一直到第201次“F ”运算，得到的结果为8．本题主要考查了新定义运算，有理数的混合运算．熟练掌握“F ”运算法则，找到结果存在的规律，根据有理数的混合运算求出答案，是解题的关键．【详解】解：第一次：344951352⨯+=，故选：A．8．C【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、相似三角形的性质等知识带你，由10．12x =，22x =-【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义问题，根据已知公式得出24420x +=，解之可得答案．【详解】解：420x ⊗= ，24420x ∴+=，即2416x =，解得：12x =，22x =-．故答案为：122,2x x ==-．11．5【分析】此题考查了解一元一次方程和平方根解方程．根据题中的新定义分两种情况化简已知等式，求出x 的值即可．【详解】解：当4x ≥时，则1629x +=，解得13x =，不符合题意；当4x <时，则2429x +=，解得15=x ，25x =-（舍去），综上，x 的值为5．故答案为：5．12．3-【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“衍生函数”的定义，找出一次函数21y x =-+的“衍生函数”是解题的关键．【详解】解：由定义知，一次函数21y x =-+的“衍生函数”为()()210210x x y x x ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，∵点()2,P m -在一次函数的“衍生函数”图象上，20x =-<，∴()2213m =⨯-+=-．故答案为：3-．13．1【分析】本题考查了解一元一次方程．理解题意，正确的列一元一次方程是解题的关键．由题意知，()3434341a =⨯+++※，3420=※，即()3434120a ⨯+++=，计算求解即可．【详解】解：由题意知，()3434341a =⨯+++※，3420=※，∵圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，∴圆心O就是三角形的内心，过C时，且在等腰直角三角形∴当O、、过点O分别作弦CG CF DE。

中考数学复习专项练习卷_新定义型问题(含答案解析)

中考数学二轮复习精品资料附参考答案新定义型问题一、中考专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新定义例2 （2013•河北）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a－b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2－5）+1=2×（－3）+1=－6+1==－5。

（1）求（－2）⊕3的值；（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．思路分析：（1）按照定义新运算a⊕b=a（a－b）+1，求解即可；（2）先按照定义新运算a⊕b=a（a－b）+1，得出3⊕x，再令其小于13，得到一元一次不等式，解不等式求出x的取值范围，即可在数轴上表示．解：（1）∵a⊕b=a（a－b）+1，∴（－2）⊕3=－2（－2－3）+1=10+1=11；（2）∵3⊕x＜13，∴3（3－x）+1＜13，9－3x+1＜13，－3x＜3，x＞－1．在数轴上表示如下：例3 （2013•钦州）定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5思路分析：“距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线l1、l2的距离分别为1、2．由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，它们有4个交点，即为所求．解：如图，∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，∴“距离坐标”是（1，2）的点是M1、M2、M3、M4，一共4个．故选C．点评：本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键．-CE PC PC a s2考点四：开放题型中的新定义例4 （2013•宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C 均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．思路分析：（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；»BC上任意一点构成的四边形（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形，（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD 的度数．解：（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴∠ABD=∠ADB，∴△ADB是等腰三角形．在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，∴∠BDC=∠C=75°，∴△BCD为等腰三角形，∴BD是梯形ABCD的和谐线；（2）由题意作图为：图2，图3（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，∴△ACD是等腰三角形．∵AB=AD=BC，如图4，当AD=AC时，A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点思路分析：如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），先根据新定义运算得出（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），则x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，若令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=－x+k上．解：∵对于点A（x1，y1），B（x2，y2），A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2），如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），那么C⊕D=（x3+x4）+（y3+y4），D⊕E=（x4+x5）+（y4+y5），E⊕F=（x5+x6）+（y5+y6），F⊕D=（x4+x6）+（y4+y6），又∵C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，∴（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=－x+k上，∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上．故选A．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度．对应训练5．（2013•天门）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．（1）判断与操作：如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．（2）探究与计算：已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形四、中考真题演练一、选择题1．（2013•成都）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（）A．y=－x+3 B．y= 5xC．y=2x D．y=－2x2+x－71．C2．（2013•绍兴）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．90°B．120°C．150°D．180°2．DA．40 B．45 C．51 D．563．C4．（2013•乌鲁木齐）对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，－b）．如f（1，2）=（1，－2）；g（a，b）=（b，a）．如g（1，2）=（2，1）．据此得g（f（5，－9））=（）A．（5，－9）B．（－9，－5）C．（5，9）D．（9，5）4．D5．（2013•常德）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（）A．B．C．D．5．C二、填空题6．（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．6．30°7．（2013•宜宾）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是．三、解答题10．（2013•莆田）定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．（3）作EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AD 于G ，EH ⊥CD 于H ，∴∠BFE =∠CHE =90°．∵AE 平分∠BAD ，DE 平分∠ADC ，∴EF =EG =EH ，在Rt △EFB 和Rt △EHC 中BE CE EF EH=⎧⎨=⎩， ∴Rt △EFB ≌Rt △EHC （HL ），∴∠3=∠4．∵BE =CE ，∴∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠4即∠ABC =∠DCB ，∵ABCD 为AD 截某三角形所得，且AD 不平行BC ，∴ABCD 是“准等腰梯形”．当点E 不在四边形ABCD 的内部时，有两种情况：如图4，当点E 在BC 边上时，同理可以证明△EFB ≌△EHC ，∴∠B =∠C ，∴ABCD 是“准等腰梯形”．如图5，当点E 在四边形ABCD 的外部时，同理可以证明△EFB ≌△EHC ，∴∠EBF =∠ECH ．∵BE =CE ，∴∠3=∠4，∴∠EBF －∠3=∠ECH －∠4，即∠1=∠2，。

专题31新定义与阅读理解创新型问题-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题31新定义与阅读理解创新型问题一．选择题（共3小题）1．（2022•娄底）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（）A．5B．2C．1D．02．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n ＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．33．（2022•常德）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共1小题）4．（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为．三．解答题（共23小题）5．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．①当MN＝6a时，求点P的坐标；②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．6．（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．7．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．8．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．9．（2022•盐城）【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为．【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．【深度思考】小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．10．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．（1）求双曲线y＝上的“黎点”；（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．11．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1＝和k2＝两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k＜，请直接写出a的取值范围．12．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM；（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．13．（2022•青岛）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC 和△A'B'C'是等高三角形．【性质探究】如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′，∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性质应用】（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝；（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝，S△CDE＝；（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝．14．（2022•常州）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．（1）正方形“等形点”（填“存在”或“不存在”）；（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝4，OA＝5，BC＝12，连接AC，求AC的长；（3）在四边形EFGH中，EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求的值．15．（2022•青海）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD＝CE；（2）解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由．16．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．17．（2022•兰州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，M为AB边上一动点，BN ⊥CM，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（0≤x≤5），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B 点重合时，B，N两点间的距离为0）．小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/cm00.51 1.5 1.82 2.53 3.54 4.55y/cm4 3.96 3.79 3.47a 2.99 2.40 1.79 1.230.740.330请你通过计算，补全表格：a＝；（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x 的图象；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：；（4）解决问题：当BN＝2AM时，AM的长度大约是cm．（结果保留两位小数）18．（2022•深圳）二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．y＝2x2y＝2（x﹣3）2+6（0，0）（3，m）（1，2）（4，8）（2，8）（5，14）（﹣1，2）（2，8）（﹣2，8）（1，14）（1）m的值为；（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标；（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1＞y2，则x1x2．（填不等号）19．（2022•潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017﹣2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如图．小亮认为，可以从y＝kx+b（k＞0），y＝（m＞0），y＝﹣0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．（1）小莹认为不能选y＝（m＞0）．你认同吗？请说明理由；（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？20．（2022•潍坊）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点（﹣1，﹣1），且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．【观察发现】请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．【思考交流】小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．请你探究这个方法，写出探究过程．21．（2022•临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；若0＜y＜48，求x的取值范围．（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．x/kg……0.250.5124……y/cm…………22．（2022•赤峰）阅读下列材料定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a．例如：min|﹣1，3|＝﹣1；min|﹣1，﹣2|＝﹣2．完成下列任务（1）①min|（﹣3）0，2|＝；②min|﹣，﹣4|＝．（2）如图，已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝﹣2x+b的图象交于A、B两点．当﹣2＜x＜0时，min|，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2，求这两个函数的解析式．23．（2022•赤峰）【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的长方形水池ABCD 进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．【问题解决】（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是（可省略单位），水池2面积的最大值是m2；（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是，此时的x（m）值是；（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是；（4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值．24．（2022•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH ＝1．【基础训练】（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：，．【技能训练】（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；【能力提升】（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；【拓展升华】（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点．如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．25．（2022•贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在▱ABCD 中，AN为BC边上的高，＝m，点M在AD边上，且BA＝BM，点E是线段AM上任意一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得△FBE．（1）问题解决：如图①，当∠BAD＝60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则＝；（2）问题探究：如图②，当∠BAD＝45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；（3）拓展延伸：当∠BAD＝30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．26．（2022•呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF 于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：；（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF；（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．设＝k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．27．（2022•潍坊）【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题31新定义与阅读理解创新型问题一．选择题（共3小题）1．（2022•娄底）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（）A．5B．2C．1D．0【分析】首先根据定义运算提取公因式，然后利用定义运算计算即可求解．【解析】原式＝lg5（lg5+lg2）+lg2＝lg5×lg（5×2）+lg2＝lg5lg10+lg2＝lg5+lg2＝lg10＝1．故选：C．2．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n ＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据“加算操作”的定义可知，当只给x﹣y加括号时，和原式相等；因为不改变x，y的运算符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，因为z，m，n中只有加减两种运算，求出即可．【解析】①（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，与原式相等，故①正确；②∵在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，无法改变x，y的符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；故②正确；③在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，加括号后只有加减两种运算，∴2×2×2＝8种，所有可能的加括号的方法最多能得到8种不同的结果．故选：D．3．（2022•常德）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】将（4，12），（9，91）代入验证即可判断①②；将（a，380）代入公式，建立方程可得出结论；若（x，y）是完美方根数对，则满足给出公式，化简可得出结论．【解析】将（4，12）代入＝4，＝4，＝4，…，∴（4，12）是完美方根数对；故①正确；将（9，91）代入＝10≠9，＝，∴（9，91）不是完美方根数对，故②错误；③∵（a，380）是完美方根数对，∴将（a，380）代入公式，＝a，＝a，解得a＝20或a＝﹣19（舍去），故③正确；④若（x，y）是完美方根数对，则＝x，＝x，整理得y＝x2﹣x，∴点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，故④正确；故选：C．二．填空题（共1小题）4．（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为．【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．【解析】由题意得：＝1，解得：x＝．经检验，x＝是原方程的根，∴x＝．故答案为：．三．解答题（共23小题）5．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．①当MN＝6a时，求点P的坐标；②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出C2的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出C2的顶点坐标；（2）①设点P的横坐标为m，则可表达点M和点N的坐标，根据两点间距离公式可表达MN的长，列出方程，可求出点P的坐标；②分情况讨论，当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，分别得出C2的最大值和最小值，进而列出方程，可求出a的值．【解析】（1）根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为：y＝ax2+4ax+4a﹣3，∵y＝ax2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2﹣3，∴C2的顶点坐标为（﹣2，﹣3）；（2）①设点P的横坐标为m，∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N，∴M（m，4am2+am+4a﹣3），N（m，am2+4am+4a﹣3），∴MN＝|4am2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2﹣3am|，∵MN＝6a，∴|3am2﹣3am|＝6a，解得m＝﹣1或m＝2，∴P（﹣1，0）或（2，0）．②∵C2的解析式为：y＝a（x+2）2﹣3，∴当x＝﹣2时，y＝﹣3，当x＝a﹣4时，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3，当x＝a﹣2时，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3，根据题意可知，需要分三种情况讨论，Ⅰ、当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，0＜a≤2，且当0＜a≤1时，函数的最大值为a（a﹣2）2﹣3；函数的最小值为﹣3，∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝2﹣或a＝2+（舍）；当1≤a≤2时，函数的最大值为a3﹣3；函数的最小值为﹣3，∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝或a＝﹣（舍）；Ⅱ、当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，a≥2，函数的最大值为a3﹣3，函数的最小值为a（a﹣2）2﹣3；∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a，解得a＝（舍）；Ⅲ、当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，a≤0，不符合题意，舍去；综上，a的值为2﹣或．6．（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①由题意求出M＝6066，N＝2022，再由定义可求h的值；②分两种情况讨论：②当k＞0时，M＝kt+k+b，N＝kt﹣k+b，h＝k；当k＜0时，M＝kt﹣k+b，有N＝kt+k+b，h＝﹣k；（2）由题意t﹣≥1，M＝，N＝，则h＝，所以h有最大值；（3）分四种情况讨论：①当2≤t﹣时，M＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，h＝t﹣2；②当t+≤2时，N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝﹣（t+﹣2）2+4+k，h＝2﹣t，；③当t﹣≤2≤t，即2≤t≤，N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，M＝4+k，h＝（t﹣）2；④当t＜2≤t+，N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝4+k，h＝（t﹣）2，画出h的函数图象，结合图象可得＝4+k，解得k＝﹣．【解析】（1）①∵t＝1，∴≤x≤，∵函数y＝4044x，∴函数的最大值M＝6066，函数的最小值N＝2022，∴h＝2022；②当k＞0时，函数y＝kx+b在t﹣≤x≤t+有最大值M＝kt+k+b，有最小值N＝kt﹣k+b，∴h＝k；当k＜0时，函数y＝kx+b在t﹣≤x≤t+有最大值M＝kt﹣k+b，有最小值N＝kt+k+b，∴h＝﹣k；综上所述：h＝|k|；（2）t﹣≥1，即t≥，函数y＝（x≥1）最大值M＝，最小值N＝，∴h＝，当t＝时，h有最大值；（3）存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值，理由如下：∵y＝﹣x2+4x+k＝﹣（x﹣2）2+4+k，∴函数的对称轴为直线x＝2，y的最大值为4+k，①当2≤t﹣时，即t≥，此时M＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，∴h＝t﹣2，此时h的最小值为；②当t+≤2时，即t≤，此时N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝﹣（t+﹣2）2+4+k，∴h＝2﹣t，此时h的最小值为；③当t﹣≤2≤t，即2≤t≤，此时N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，M＝4+k，∴h＝（t﹣）2，④当t＜2≤t+，即≤t＜2，此时N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝4+k，∴h＝（t﹣）2，h的函数图象如图所示：h的最小值为，由题意可得＝4+k，解得k＝﹣；综上所述：k的值为﹣．7．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．【分析】（1）根据“和倍数”的定义依次判断即可；（2）设A＝（a+b+c＝12，a＞b＞c），根据“和倍数”的定义表示F（A）和G（A），代入中，根据为整数可解答．【解析】（1）∵357÷（3+5+7）＝357÷15＝23……12，∴357不是“和倍数”；∵441÷（4+4+1）＝441÷9＝49，∴441是9的“和倍数”；（2）设A＝（a+b+c＝12，a＞b＞c），由题意得：F（A）＝，G（A）＝，∴＝＝＝，∵a+c＝12﹣b，为整数，∴＝＝＝＝7+（1﹣b），∵1＜b＜9，∴b＝3，5，7，∴a+c＝9，7，5，①当b＝3，a+c＝9时，（舍），，则A＝732或372；②当b＝5，a+c＝7时，，则A＝156或516；③当b＝7，a+c＝5时，此种情况没有符合的值；综上，满足条件的所有数A为：732或372或156或516．8．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是2022；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．【分析】（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以80，81，82，83，再把所得结果相加即可得解；（2）根据n进制数和十进制数的计算方法得到关于n的方程，解方程即可求解．【解析】（1）3746＝3×83+7×82+4×81+6×80＝1536+448+32+6＝2022．故八进制数字3746换算成十进制是2022．故答案为：2022；（2）依题意有：n2+4×n1+3×n0＝120，解得n1＝9，n2＝﹣13（舍去）．故n的值是9．9．（2022•盐城）【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为（﹣3，4）或（3，4）．【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．【深度思考】小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．【分析】【分析问题】根据题意可知：该点的纵坐标为4，利用勾股定理，即可求出该点的横坐标，进而可得出点的坐标；【解决问题】设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（n﹣1），利用勾股定理可得出该点的坐标为（﹣，n﹣1）或（，n﹣1），结合点横、纵坐标间的关系，可得出该点在二次函数y＝x2﹣的图象上，进而可证出小明的猜想正确；【深度思考】设该点的坐标为（±，n﹣1），结合⊙M的圆心坐标，利用勾股定理，即可用含n 的代数式表示出m的值，再结合m，n均为正整数，即可得出m，n的值．【解答】【分析问题】解：根据题意，可知：所描的点在半径为5的同心圆上时，其纵坐标y＝5﹣1＝4，∵横坐标x＝±＝±3，∴点的坐标为（﹣3，4）或（3，4）．【解决问题】证明：设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（n﹣1），∴该点的横坐标为±＝±，∴该点的坐标为（﹣，n﹣1）或（，n﹣1）．∵（±）2＝2n﹣1，n﹣1＝，∴该点在二次函数y＝（x2﹣1）＝x2﹣的图象上，∴小明的猜想正确．【深度思考】解：设该点的坐标为（±，n﹣1），⊙M的圆心坐标为（0，m），∴＝m，∴m＝＝＝＝n﹣1+2+．又∵m，n均为正整数，∴n﹣1＝1，∴m＝1+2+1＝4，∴存在所描的点在⊙M上，m的值为4．10．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．（1）求双曲线y＝上的“黎点”；（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．【分析】（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m，﹣m），构建方程求解即可；（2）抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解，即ax2﹣6x+c＝0，Δ＝36﹣4ac＝0，可得结论．【解析】（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m，﹣m），则有﹣m＝，∴m＝±3，经检验，m＝±3的分式方程的解，∴双曲线y＝上的“黎点”为（3，﹣3）或（﹣3，3）；（2）∵抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，∴方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解，即ax2﹣6x+c＝0，Δ＝36﹣4ac＝0，∴ac＝9，∴a＝，∵a＞1，∴0＜c＜9．。

中考数学专题51新定义及阅读理解型问题含解析.doc

2019-2020 年中考数学专题51新定义和阅读理解型问题（含解析）新定义和阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题。

本专题原创编写新定义和阅读理解型问题模拟题。

1.阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：ab＞0 ；b定义运算“※”为： a※ b 求1※ 2 的值 .ab＜0 .b1小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1， b=-2 ，又 b＜ 0，所以 1※（ -2 ）= 2 ．请你参考小明的解题思路，回答下列问题：（ 1）计算： 2※ 3= ；5（ 2）若 5※ m=6，则 m= ．（ 3）函数 y=2※ x（x≠0）的图象大致是（）y y y y2【答案】解：（） 3O xOx O xO 1 x （ 2）± 6（ 3） D【解析】考点：规律探索应用，反比例函数的图像2.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题（ 2）在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°， AB=c， AC=b， BC=a，且 b>a，若 Rt △ ABC是奇异三角形，求? a： b：c；（ 3）如图， AB 是⊙ O的直径， C 是⊙ O 上一点（不与点 A， B 重合）， D 是半圆ADB的中点， C， D 在直径AB的两侧，若在⊙ O内存在点 E，使 AE=AD， CB=CE．①求证：△ ACE是奇异三角形；②当△ ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．【答案】（1）真命题．（ 2） a： b： c=1：2：3．（3）①见解析②60°或120°．【解析】2： 1 ．然后分两种情况讨论 .试题解析：解：（ 1）真命题．（ 2 分）（ 3）在 Rt ABC中， a2+b2=c2，①证明：∵ AB 是⊙ O的直径，∴∠ ACB=∠ ADB=90°，在 Rt2 2 2 ACB中， AC+BC=AB；在 Rt2 2 2 ADB中， AD+BD=AB．∵ D 是半圆ADB的中点，∴AD BD ，∴ AD=BD，（ 6 分），2 2 2 2（ 7 分）∴ AB =AD+BD=2AD，2 2 2又∵ CB=CE． AE=AD，∴ AC+ CE=2AE．∴ ACE是奇异三角形．（ 8 分）考点： 1. 命题； 2. 勾股定理； 3. 圆周角定理及推论；4. 直角三角形的性质 .3. 阅读理解：对于任意正实数a 、，∵ ( a－ b ) 2 ≥ 0，∴a － 2 ab ＋ ≥ 0，∴ ＋ ≥ 2 ab ，只有当abb a b＝ b 时，等号成立 .结论：在 a ＋ b ≥2 ab（ a 、b 均为正实数）中，若ab 为定值 p ，则 a+b ≥2p，只有当 a ＝ b 时， a ＋ b 有最小值 2 p.根据上述内容，回答下列问题：（ 1）若 m ＞ 0，只有当 m ＝时， m ＋ m 有最小值；若＞ 0，只有当＝时， 2 ＋ m 有最小值.m mm1（ 2）如图，已知直线 L 1： y ＝ 2 x ＋ 1 与 x 轴交于点 A ，过点 A 的另一直线 L 2 与双曲线 y ＝ x（ x >0）相交于点 B （2， m ），求直线 L 2 的解析式 .（ 3）在（ 2）的条件下，若点C 为双曲线上任意一点，作∥y 轴交直线L1 于点，试CDD求当线段最短时，点、、、 D 围成的四边形面积 .CD A B Cm18【答案】（1）当m m有最小值为 2；当m 2时，2m1时，m有最小值为 8（ 2）yx2（ 3） 23∴A（ -2 ，0）y 8(x 0)又点 B（ 2， m）在x 上，∴ m4, B(2, 4)设直线L2的解析式为：y kx b ，则有，解得：2k b0 2k b 4k 1b 2∴直线L2的解析式为：y x 2；1 6 4 1(5 6) 22 2 12 11234.如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”。

2023年中考数学真题(全国通用)：专题30 新定义与阅读理解创新型问题(共31题)(解析版)

专题30新定义与阅读理解创新型问题（31题）∵ 0,30A ， 20,10,B ∴130203002ABO S V ∵OA 上有31个格点，OB 上的格点有 2,1，A． B．3【答案】B【分析】根据等边三角形的性质及弧长公式【详解】解：∵等边三角形ABCA．3【答案】C【答案】5【分析】把半径和圆心角代入弧长公式即可；【详解】15065 180180n rl故填：5 ．统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：∴2CD OD OC ∴222CD s AB OA9022360l ，在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要OABC 4【答案】712或2512 【分析】根据题意求得点【详解】由(y x三、解答题指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．由作图可知满足比例关系为1:2:1的关系；②按照①中作出圆的圆心O ，过圆心画一条直径AB ，过点A 作一条射线，然后以A 为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C 、D 、E ，连接BE ，然后分别过点C 、D 作BE 的平行线，交AB 于点F 、G ，进而以FG 为直径画圆，则问题得解；如图所示：【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键．17．（2023·浙江宁波·统考中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．(1)如图1，在四边形ABCD 中，,90AD BC A ∥，对角线BD 平分ADC ．求证：四边形ABCD 为邻等四边形．(2)如图2，在6×5的方格纸中，A ，B ，C 三点均在格点上，若四边形ABCD 是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D ．(3)如图3，四边形ABCD 是邻等四边形，90DAB ABC ，BCD 为邻等角，连接AC ，过B 作BE AC ∥交DA 的延长线于点E ．若8,10AC DE ，求四边形EBCD 的周长．（3）如图，过C 作CQ ∵90DAB ABC ，我查阅了许多资料，得知这个平行四边形 1654，－Varingnon Pierre①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图证明：如图2，连接．∵DG∴DN DGNM GC∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∥，即HG∥∵HG AC【答案】(1)三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）(2)答案不唯一，见解析(3)平行四边形EFGH 的周长等于对角线（3）瓦里尼翁平行四边形EFGH 的周长等于四边形ABCD 的两条对角线AC 证明如下：∵点,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点，∴11,22EF AC GH AC ．∴EF GH AC ．19．（2023·河北·统考中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(,)x y 移动到点(2,1)x y 称为一次甲方式：从点(,)x y 移动到点(1,2)x y 称为一次乙方式．例、点P 从原点O 出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点(4,2)M ；若都按乙方式，最终移动到点(2,4)N ；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点(3,3)E ．(1)设直线1l 经过上例中的点,M N ，求1l 的解析式；并直接．．写出将1l 向上平移9个单位长度得到的直线2l 的解析式；(2)点P 从原点O 出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点(,)Q x y ．其中，按甲方式移动了m 次．①用含m 的式子分别表示,x y ；②请说明：无论m 怎样变化，点Q 都在一条确定的直线上．设这条直线为3l ，在图中直接画出3l 的图象；(3)在（1）和（2）中的直线123,,l l l 上分别有一个动点,,A B C ，横坐标依次为,,a b c ，若A ，B ，C 三点始终在一条直线上，直接写出此时a ，b ，c 之间的关系式．【答案】(1)1l 的解析式为6y x ；2l 的解析式为15y x ；(2)①10,20x m y m ；②3l 的解析式为30y x ，图象见解析；(3)538a c b【分析】（1）根据待定系数法即可求出1l 的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减即可求出直线2l 的解析式；（2）①根据题意可得：点P 按照甲方式移动m 次后得到的点的坐标为 2,m m ，再得出点 2,m m 按照乙方式移动 10m 次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；②由①的结果可得直线3l 的解析式，进而可画出函数图象；（3）先根据题意得出点A ，B ，C 的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB 的解析式，再把点C 的坐标代入整理即可得出结果．【详解】（1）设1l 的解析式为y kx b ，把(4,2)M 、(2,4)N 代入，得4224k b k b ，解得：16k b，∴1l 的解析式为6y x ；将1l 向上平移9个单位长度得到的直线2l 的解析式为15y x ；（2）①∵点P 按照甲方式移动了m 次，点P 从原点O 出发连续移动10次，∴点P 按照乙方式移动了 10m 次，∴点P 按照甲方式移动m 次后得到的点的坐标为 2,m m ；∴点 2,m m 按照乙方式移动 10m 次后得到的点的横坐标为21010m m m ，纵坐标为21020m m m ，∴10,20x m y m ；②由于102030x y m m ，∴直线3l 的解析式为30y x ；函数图象如图所示：（3）∵点,,A B C 的横坐标依次为,,a b c ，且分别在直线123,,l l l 上，(1)如图2，在53 个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB 为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点．．．．．．．．的方法，作出以线段AB 为等联线、某格点P 为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在Rt APC △中，90A ，AC AP ，延长AP 至点B ，使AB AC ，作A PBD ．将APC △沿PC 折叠，使点A 落在点M 处，得到MPC ，再延长PM 交BD 的延长线于并延长交PD 的延长线于F ，连接BF ．NE （2）①PCF 是等腰直角三角形．理由为：如图，过点C 作CN BE 交BE 的延长线于N ．由折叠得AC CM ，CMP AC AB ∵，A PBD N 四边形ABNC 为正方形CN AC CM又CE CE ∵，于Q，FR ②过点F作FQ BE∵，155690，16是等腰直角三角形知：由PCF△△，≌APC RFPAAS，而AC AP FR，AC PR(1)如图①，矩形ABCD 的顶点坐标分别是 1,2A ， 1,1B ， 3,1C ， 33,3M 中，是矩形ABCD “梦之点”的是___________；(2)点 2,2G 是反比例函数1k y x图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个___________，直线GH 的解析式是2y ___________．当12y y 时，x 的取值范围是(3)如图②，已知点A ，B 是抛物线21922y x x 上的“梦之点”，点C 是抛物线的顶点，连接BC ，判断ABC 的形状，并说明理由．由图可得，当12y y 时，故答案为： 2,2H ，（3）ABC 是直角三角形，理由如下：∵点A ，B 是抛物线y 19(1)如图，点 1,0A ，1B ①在点 11,1C ，20()2,C ②若点C 是弦2AB 的“关联点(2)已知点 0,3M ，65,05N种情况，分别位于点相切，AC经过点O，a、若12C B与O①当S 位于点 0,3M 时，MP 为O 的切线，作PJ OM ∵ 0,3M ，O 的半径为1，且MP 为O 的切线，∴OP MP ，证明：设BE k ，∵1tan 2，∴易证AAS AEB EFC △≌△∴2,EC k CF k ，(1)求反比例函数的解析式；(2)直接写出tan tan BAM NAE 、的值；任务2利用0 t 时，30h ；t 【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务减少偏差．通过查阅资料后知道：应h 的观察值之差的平方和．．．．．．，记为任务3（1）计算任务2得到的函数解析式的（2）请确定经过 0,30的一次函数解析式，使得w 的值最小．【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．任务4请你简要写出时间刻度的设计方案．【答案】任务1：见解析；任务2：0.130h t ；任务3：（1）0.05，（2）0.10230h t ；任务4：见解析【分析】任务1：根据表格每隔10min 水面高度数据计算即可；任务2：根据每隔10min 水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h 与流水时间t 的是一次函数关系，由待定系数法求解；任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w 值；（2）设30h kt ，然后根据表格中数据求出此时w 的值是关于k 的二次函数解析式；由此求出w 的值最小时k 值即可；任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min 可以代替单位长度要素．【详解】解：任务1：变化量分别为， 29301cm ； 28.1290.9cm ；2728.1 1.1cm ； 25.827 1.2cm ；任务2：设h kt b ，∵0 t 时，30h ，10t 时，29h ；∴301029b k b ，．∴水面高度h 与流水时间t 的函数解析式为0.130h t ．任务3：（1）当0 t 时，0.13030h t ，当10t 时，0.13029h t ，当20t 时，0.13028h t ，当30t 时，0.13027h t ，当40t 时，0.13026h t ，∴ 22222303029292828.127272625.8w 0.05 ．(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的DBE绕点B逆时针方向旋转，使点问题．①“善思小组”提出问题：如图3，当ABE交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．【答案】(1)正方形，见解析(2)①AM BE，见解析；【分析】（1）先证明四边形形；（2）①由已知ABE的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．27．（2023·吉林长春·统考中考真题）的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形ABC的外接圆，．小明发现，延长C重合），连结PA、PB、PC．求证：PB PC通过证明PBC EBA△△，可推得PBE是等边三角形，进而得证．≌下面是小明的部分证明过程：，连结至点E，使AE PC的内接四边形，O180 ．180 ，．是等边三角形．(SAS)请你补全余下的证明过程．O是ABC的外接圆，PB、PC．若22，则PB PA；探究：见解析；应用：【分析】感知：由圆周角定理即可求解；，连结至点E，使AE PC故答案为：45；探究：证明：延长PA 至点E ，使AE PC ，连结BE ，∵四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ．180BAP BAE ∵，BCP BAE ．ABC ∵ 是等边三角形．BA BC ，(SAS)PBC EBA ≌，∴PB EB ，PBC EBA ，60EBA ABP PBC ABP ABC ，PBE 是等边三角形，PB PE ，PB PE PA AE PA PC ，即PB PA PC ；应用：延长PA 至点E ，使AE PC ，连结BE ，∵四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ．180BAP BAE ∵，BCP BAE ．AB CB ∵，(SAS)PBC EBA ≌，∴PB EB ，PBC EBA ，90EBA ABP PBC ABP ABC ，PBE 是等腰直角三角形，222PB BE PE ，222PB PE ，【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造进行转换求解．28．（2023·广西·统考中考真题）折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．请完成：(1)观察图1中1 ，2 和3 ，试猜想这三个角的大小关系(2)证明（1）中的猜想；AB请完成：的一条三等分线．(3)证明BB 是NBC【答案】(1)123(2)见详解(3)见详解【分析】（1）根据题意可进行求解；≌(1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点 4,0M 的直线l y 轴，作ABC 关于y 轴对称的图形111A B C △，再分别作111A B C △关于x 轴和直线l 对称的图形222A B C △和333A B C △，则222A B C △可以看作是绕点O 顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；333A B C △可以看作是ABC 向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．(2)探究迁移：如图2，ABCD Y 中， 090BAD ，P 为直线AB 下方一点，作点（2）①2 ，理由如下，连接1AP ，。

2020年中考数学专题汇编新定义型、阅读理解型问题(含解析)

新定义型、阅读理解型问题一、选择题1．（2020·遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合“思想的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°＝ACCD12tan22.5°的值为（） A ．＋1 B ．－ 1 C ．D ．12{答案}B{解析}本题考查阅读理解能力，要求能用类比的方法解决问题．如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，所以tan 22.5°＝ACCD－1．故选B .2．（2020·河南）定义运算:m ☆n =21mn mn .例如: 4☆2=4×22-4×2-1=7.则1☆x =0方程的根的情况为( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根 {答案}A{解析}由定义新运算可得210x x ，∴△=411-14-1-2+=⨯⨯）（）（=5＞0，所以方程有两个不相等的实数根，因此本题选A ．3．（2020·枣庄）对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：21a b a b ⊗=-，这里等式右边是实数运算．例如：21113138⊗==--．则方程()2214⊗-=--x x 的解是（） A ．x ＝4 B ．x ＝5 C ．x ＝6 D ．x ＝7{答案}B{解析}根据新定义运算，把方程转化为分式方程．因为211(2)(2)4x x x ⊗-==---，所以原方程可转化为12144x x =---，解得x ＝5．经检验，x ＝5是原方程的解． 4.（2020·淮安）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为"幸福数"．下列数中为"幸福数"的是（）A.205B.250C.502D.520{答案} D{解析}设较小的奇数为x ，较大的为x +2，根据题意列出方程，求出解判断即可．D设较小的奇数为x ，较大的为x +2，根据题意得：（x +2）2﹣x 2＝（x +2﹣x ）（x +2+x ）＝4x +4，若4x +4＝205，即x =2014，不为整数，不符合题意；若4x +4＝250，即x =2464，不为整数，不符合题意；若4x +4＝502，即x =4984，不为整数，不符合题意；若4x +4＝520，即x ＝129，符合题意．故选：D ．5．（2020·随州）将关于x 的一元二次方程0=q +px -x 2变形为q -px x 2=，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如=-=⋅=)(23q px x x x x …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知：0=1-x -x 2，且x ＞0，则3x +2x -x 34的值为（）A.51-B.53-C.51+D.53+ {答案}C{解析}本题考查了降次法、整体代入法、整式的化简求值，一元二次方程的解法.解答过程如下： ∵0=1-x -x 2，∴1x x 2+=，∴3x +2x -x 34=3x +1)2x (x -)1(x 2++=3x +2x -2x -12x x 22++=3x +x -12=3x +1)(x -1+ =3x +1-x -1=2x ，∵0=1-x -x 2，且x ＞0，∴x=251+，∴原式=2×251+=51+.因此本题选C ． 6.(2020·潍坊)若定义一种新运算：(2)6(2)a b a b a b ab ab 例如：31312⊗=-=；545463⊗=+-=．则函数(2)(1)y x x =+⊗-的图象大致是（）A. B. C. D.{答案}A{解析}本题考查了一次函数的图象，在新定义下，求出函数关系式是解题的关键.根据(2)6(2)a b a b a bab ab ，可得当22(1)x x 时，4x ≤，分两种情况当4x ≤时和当4x >时， (2)(1)(2)(1)213x x x x x x ,即：3y =; 当4x >时，(2)(1)(2)(1)621625x x xx xx x ，即：25y x =-，∴20k =>，∴当4x >时，25y x =-，函数图像y 随x 的增大而增大，A 选项符合题意，故选：A ．7．（2020·恩施）在实数范围内定义运算“☆”：1a b a b =+-☆，例如：232314=+-=☆．如果21x =☆，则x 的值是（）．A. 1-B. 1C. 0D. 2{答案}C{解析}根据题目中给出的新定义运算规则进行运算：2211☆=+-=+x x x ，又21x =☆，∴11x +=，∴0x =．故选：C ．二、填空题8．（2020·衢州）定义(1)a b a b =+※，例如232(31)248=⨯+=⨯=※，则(1)x x -※的结果为．{答案}21x -{解析}解析：根据题中的新定义得：(1)x x -※＝(1)(1+1)x x -⋅-＝21x -．9．（2020·枣庄）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S 可用公式S ＝a ＋21b －1（a 是多边形内的格点数，b 是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick ）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S ＝________．{答案}6{解析}直接利用所给的公式计算即可．由图可知，五边形内部格点有4个，故a ＝4；五边形边上格点有6个，故b ＝6．∴S ＝a ＋21b －1＝4＋21×6－1＝6． 10．（2020·乐山）我们用符号[x ]表示不大于x 的最大整数．例如：[1.5]＝1，[－1.5]＝－2，那么：（1）当－1＜[x ]≤2时，x 的取值范围是________；（2）当－1≤x ＜2时，函数y ＝x 2－2a [x ]＋3的图象始终在函数y ＝[x ]＋3的图象下方，则实数a 的范围是________．{答案}（1）0≤x ≤3；（2）a ＜－1或a ≥32．{解析}（1）根据符号[x ]表示不大于x 的最大整数，得到－1＜[x ]≤2时[x ]＝0，1，2；当[x ]＝0时，0≤x ＜1；当[x ]＝1时，1≤x ＜2；当[x ]＝2时，2≤x ＜3；从而x 的取值范围是0≤x ＜3；（2）本题可根据题意构造新函数，采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负，继而根据函数性质反求参数．令y 1＝x 2－2a [x ]＋3，y 2＝[x ]＋3，y 3＝y 2－y 1，由题意可知：y 3＝－x 2＋(2a ＋1)[x ]＞0时，函数y ＝x 2－2a [x ]＋3的图象始终在函数y ＝[x ]＋3的图象下方． ①当－1≤x ＜0时，[x ]＝－1，y 3＝－x 2－(2a ＋1)，此时y 3随x 的增大而增大，故当x ＝－1时，y 3有最小值－2a －2＞0，得a ＜－1；②当0≤x ＜1时，[x ]＝0，y 3＝－x 2，此时y 3≤0；③1≤x ＜2时，[x ]＝1，y 3＝－x 2+(2a ＋1)，此时y 3随x 的增大而减小，故当x ＝2时，y 3有最小值2a －3≥0，得a ≥32；综上所述，a ＜－1或a ≥32．11．(2020·青海)对于任意两个不相等的数a ，b ，定义一种新运算“⊕”如下： a ⊕b，如：3⊕212⊕4＝______． {答案{解析}依题意可知12⊕4．12．（2020·宜宾）定义：分数nm （m ，n 为正整数且互为质数）的连分数123111a a a +++（其中a 1，a 2，a 3，…，为整数，且等式右边的每个分数的分子都为1），记作nm△11a +21a +31a +…，例如：719＝1197＝1527+＝11275+＝112215++＝1121152++＝11211122+++，719的连分数为11211122+++，记作719△12+11+12+12，则 △11+12+13． {答案}710{解析}根据连分数的定义列式计算即可解答．11+12+13△111123++＝11173+＝1317+＝1107＝710．三、解答题13.(2020·宁波)(本题14分)定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.（1）如图1，∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角，若∠A ＝a ，请用含a 的代数式表示∠E .（2）如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ＝BD ，四边形ABCD 的外角平分线DF 交⊙O 于点F ，连结BF 并延长交CD 的延长线于点E .求证：∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角. （3）如图3，在（2）的条件下，连结AE ，AF ，若AC 是⊙O 的直径. ①求∠AED 的度数；②若AB ＝8，CD ＝5，求△DEF 的面积.{解析}（1）根据外角的性质及角平分线的概念求解；（2）根据圆内按四边形的性质，同弧或等弧所对圆周角的性质分别证明BE 、CE 为△ABC 的内角及外角平分线即可；（3）①连结CF ，根据遥望角的性质及同弧所对圆周角的性质证明∠BEC ＝∠FAD ，再由△FDE ≌△FDA 证明AD ＝DE ，最后由等腰直角三角形的性质求得∠AED 的度数；②作AG⊥BE于点G，FM⊥CE于点M，根据相似三角形的判定证明△EGA∽△ADC，由相似三角形的性质及勾股定理求得△ACD边长，进而求得△DEF的面积．{答案}24.解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD．∴∠E＝∠ECD－∠EBD＝12(∠ACD－∠ABC)＝12∠A＝12a（2）如图，延长BC到点T.∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC＋∠FBC＝180°，又∵∠FDE＋∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵AD＝BD，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD＋∠BCD＝180°，∠DCT＋∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.（3）①如图，连结CF.∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC＋∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠BEC＝∠FAD，又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA(AAS)，∴DE＝AD，∵∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直径∴∠ADC＝90°，∴∠AED＋∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°.②如图，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M.∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FAC＝∠EBC＝12∠ABC＝45°，∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠FAC，∵∠FED＝∠FAD，∴∠AED－∠FED＝∠FAC－∠FAD，∴∠AEG＝∠CAD，∴∠EGA＝∠ADC＝90°，∴△EGA∽△ADC，∴AE：AC＝AG:CD∵在Rt△ABG中，AG＝22AB＝42，在Rt△ADE中，AE＝2AD，∴AD:AC＝45，在Rt△ADC中，AD2＋DC2＝AC2，∴设AD＝4x，AC＝5x，则有(4x)2＋52＝(5x)2，∴x＝53，∴ED＝AD＝203，∴CE＝CD＋DE＝353，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EM＝12CE＝356，∴DM＝DE－EM＝56，∵∠FDM＝45° ,∴FM＝DM＝56，∴S△DEF＝12DE·FM＝259.14．（2020·黔西南州）规定:在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如:正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题:（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；A．矩形 B．正五边形C．菱形 D．正六边形（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有:________（填序号）；（3）下列三个命题:①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（）个；A．0 B．1 C．2 D．3（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．{解析}本题考查了新定义“旋转对称图形”．（1）根据旋转对称图形的定义进行判断；（2）先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断；（3）根据旋转对称图形的定义进行判断；（4）利用旋转对称图形的定义进行设计．{答案}解:（1）B（2）（1）（3）（5）（3）C（4）如答图:15．（2020·重庆B卷）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4,2,6都不为0，且4+2=6，6能被6整除;643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．（1）判断312，675是否是“好数”?并说明理由；（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．{解析}本题是一道新定义问题，正确理解“好数”是解题的关键．（1）根据“好数”的定义进行判断即可；（2）设n=100a+10b+c,根据“好数”的定义可知6≤a≤9,1≤b≤4,1≤c≤9.由题意，得a=b+5①，a+b=mc②，将①代入，得2b+5=mc.所以2b+5，m,c都为奇数，进而分类讨论求解即可.{答案}解：（1）312是“好数”，675不是“好数”.理由如下：312是“好数”，因为3,1,2都不为0，且3+1=4,4能被2整除；675不是“好数”，因为6+7=13,13不能被5整除.（2）设n =100a +10b +c （a ,b ，c 为整数且6≤a ≤9,1≤b ≤4,1≤c ≤9）. 由题意，得a +b =mc （m 为正整数），a =b +5，∴2b +5=mc . 又∵2b +5为奇数，∴m ,c 同时为奇数.当b =1时，a =6,mc =7，则m =7,c =1或m =1,c =7,此时“好数”有2个：611,617；当b =2时，a =7,mc =9，则m =9,c =1或m =1,c =9或m =3,c =3，此时“好数”,3个：721,729,723；当b =3时，a =8,mc =11，则m =11,c =1,此时“好数”有1个：831；当b =4时，a =9,mc =13，则m =13,c =1,此时“好数”有1个：941；所以共有“好数”2+3+1+1=7（个）.综上所述，百位数字比十位数字大5的所有“好数”共有7个.16．（2020·北京）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB =1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A ´B ´（A´，B´分别为点A ，B 的对应点），线段AA ´长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12P P 和34PP ，则这两条弦的位置关系是；在点1234,,,P P P P 中，连接点A 与点的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B都在直线y +上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫⎪⎝⎭，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．{解析}（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；（2）过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交弦CD 于点F ，分别求出OE 、OF 的长，由1d OE OF =-得到1d 的最小值；（3）线段AB 的位置变换，可以看作是以点A 32,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O 上都存在两条对应线段A ´B ´和A ´´B ´´ ,满足它们平行且相等，由平移距离可知，AA ´的长度的最小值即为平移距离，因此当且仅当AA ´＝AA´´时，平移距离最大（否则谁小取谁）{答案}解：（1）平行；P 3；（2）如图，线段AB在直线y =+上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD ，CD ∥AB ，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交弦CD 于点F ，OF ⊥CD ，令0y =，直线与x 轴交点为（-2，0），直线与x 轴夹角为60°，∴2sin 60OE ︒==．由垂径定理得：OF ==，∴1d OE OF =-=；（3）线段AB 的位置变换，可以看作是以点A 32,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O 内找到与之平行，且长度为1的弦即可；点A 到O的距离为52AO ==．如图，平移距离2d 的最小值即点A 到⊙O 的最小值：53122-=；如图，由平移距离可知，AA ´的长度的最小值即为平移距离，因此当且仅当AA ´＝AA´´时，平移距离最大，如图所示：由题意可知：△AA ´O ≌△AA ´´O ，可得∠AOA ´´＝120°，在Rt △A ´OC 中，A ´C，所以AA ´．∴232d ≤≤．17．（2020·常州）(10分)如图1，⊙I 与直线a 相离，过圆心I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交⊙I 于P 、Q 两点(Q 在P 、H 之间)．我们把点P 称为⊙I 关于直线a 的“远点”，把PQ ·PH 的值称为⊙I 关于直线a 的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为(0，4)，半径为1的⊙O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D ．①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则⊙O 关于直线m 的“远点”是点________(填“A ”“B ”“C ”或“D ”)，⊙O 关于直线m 的“特征数”为________；②若直线n 的函数表达式为y ＝3x ＋4，求⊙O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy ，直线l 经过点M (1，4)，点F 是坐标平面内一点，以F 为圆心，2为半径作⊙F ．若⊙F 与直线l 相离，点N (－1，0)是⊙F 关于直线l 的“远点”，且⊙F 关于直线l 的“特征数”是45，求直线l 的函数表达式．{答案}解：（1）根据定义得⊙O 关于直线m 的远点是D ；（2）如图1，圆O 关于直线m 的特征数为DB ×DE ＝[1－(－1)]·[4－（－1）]＝2×5＝10． ②如图2，过O 点作OA 1⊥直线n 于A 1，延长A 1O 交圆O 于点B 1，设4y =+ 与y 轴交于点C 1，∴OC 1＝4∵k∴直线4y =+与x 轴的所夹锐角为60°． ∴∠A 1C 1O ＝90°－60°＝30° 在Rt △A 1C 1O 中，A 1O ＝12C 1O ＝2 ∵OB 1＝1，∴⊙O 关于直线n 的特征数＝2B 1O ×A 1B 1＝2(2＋1)＝6 (2)如图3，设过M 的直线l 解析式为y ＝k 1x ＋b 1∴4＝k 1＋b 1，即k 1＝4－b 1，∴l 的解析式为y ＝(4－b 1)x ＋b 1 设⊙F 与NF 所在直线交D 1，NF 的延长线交y ＝k 1x ＋b 1于E 1 ∵⊙F，∴NF ＝FD 1∵⊙F 关于直线l 的“特征数”是 ∴ND 1·NE 1＝1NE =即1NE 由点N 到直线l的距离公式得1NE ==∴b 1＝7或113 经检验，b 1＝7或113都是原方程的解，且符合题意．当b 1＝7时，k 1＝－3，此时直线l 的函数表达式为y ＝－3x ＋7．当b1＝113时，k1＝13此时直线l的函数表达式为11137y x=+．综上所述，此时直线l的函数表达式为y＝－3x＋7或11137y x=+．图1 图2图3{解析}本题是新定义问题，直接应用定义就可以求出原点和特征数；（2）过点过O点作OA1⊥直线n于A1，延长A1O交圆O于点B1，然后求出B1O和A1B1的值后即可求出特征值；（3）如图3，先根据特征数和半径的值，求出点N到直线的距离，直线l要经过点M，又要到N l的解析式．18．（2020·山西）阅读与思考下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．任务:(1)填空:“办法一”依据的一个数学定理是;（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS ＝90°; （3）①尺规作图:请在图③的木板上，过点C 作出AB 的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）;②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．{解析}本题考查作图在实际中的应用.（1）由作图方法可知“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；（2）由“办法二”可知: QR ＝QC ，QS ＝QC ，根据等边对等角得∠QCR ＝∠QRC ，∠QCS ＝∠QSC ，根据三角形内角和定理可得结论．（3）①图略；②答案不唯一．第20题图③ABCx 年x 月x 日星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料:木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB ，现根据木板的情况，要过AB 上的一点C ，作出AB 的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢?办法一:如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB 上量出CD ＝ 30cm ，然后分别以D ，C 为圆心，以50cm 与40cm 为半径画圆弧，两弧相交于点E ，作直线CE ，则∠DCE 必为90°．办法二:如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M ，N 两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M 与点C 重合，用铅笔在木板上将点N 对应的位置标记为点Q ，保持点N 不动，将木棒绕点N 旋转，使点M 落在AB 上，在木板上将点M 对应的位置标记为点R ．然后将RQ 延长，在延长线上截取线段QS ＝MN ，得到点S ，作直线SC ，则∠RCS ＝90°．我有如下思考:以上两种办法依据的是什么数学原理呢?我还有什么办法不用直角尺也{答案}解:（1）勾股定理的逆定理(或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形) .（2）解:证明:由作图方法可知: QR ＝QC ，QS ＝QC ， ∴∠QCR ＝∠QRC ，∠QCS ＝∠QSC . 又∵∠SRC ＋∠RCS ＋∠RSC ＝180°，∴∠QCR ＋∠QCS ＋∠QRC ＋ ∠QSC ＝ 180°．. ∴2 （∠QCR ＋∠QCS ）＝ 180°．∴∠QCR ＋∠QCS ＝90°．即∠RCS ＝ 90°．. （3）①如图，直线CP 即为所求，作图正确．.②答案不唯一，如:三边分别相等的两个三角形全等（或SSS ）;等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形三线合"）;到条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．……（8分）19．（2020·湖北荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值. 【问题】解方程：2224250x x xx【提示】可以用“换元法”解方程. t （t ≥0），则有222xx t ，原方程可化为：2450t t【续解】229t{解析}在解无理方程时最常用的方法是换元法，一般方法是通过观察确定用来换元的式子．本题用来换元t ，其两边分别平方后有222xx t ，这样原方程可变形为关于t 的一元二次方程，即可求得t 的值，再根据所设条件对t 的值进行讨论后作出取舍，即可求出x 的值． {答案}解：【续解】229t ∴23t ，即11t ，25t第20题图④∵220t x x ，∴221t x x ，则有221x x ，配方，得：212x解得：112x ，212x经检验：112x ，212x 是原方程的根.20．（2020·怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）下面四边形是垂等四边形的是；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，过点D 作BD 垂线交BC 的延长线于点E ，且∠DBC ＝45°，证明：四边形ABCD 是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD 内接于⊙O 中，∠BCD ＝60°．求⊙O 的半径．{答案}解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形； ②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形； ③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形； ④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；故选：④；（2）∵AC ⊥BD ，ED ⊥BD ， ∴AC ∥DE ，又∵AD ∥BC ，∴四边形ADEC 是平行四边形， ∴AC ＝DE ，又∵∠DBC ＝45°，∴△BDE 是等腰直角三角形， ∴BD ＝DE ，∴BD ＝AC ，又∵BD ⊥AC ，∴四边形ABCD 是垂等四边形；（3）如图，过点O 作OE ⊥BD ，∵四边形ABCD 是垂等四边形， ∴AC ＝BD ，又∵垂等四边形的面积是24， ∴12AC •BD ＝24，解得，AC ＝BD ＝4√3，又∵∠BCD ＝60°， ∴∠DOE ＝60°，设半径为r ，根据垂径定理可得：在△ODE 中，OD ＝r ，DE =2√3， ∴r =DEsin60°=2√332=4，∴⊙O 的半径为4．{解析}本题是一道圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、新定义、圆周角定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用新定义解答问题．（1）根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可；（2）根据已知条件可证明四边形ACED 是平行四边形，即可得到AC ＝DE ，再根据等腰直角三角形的性质即可得到结果；（3）过点O 作OE ⊥BD ，根据面积公式可求得BD 的长，根据垂径定理和锐角三角函数即可得到⊙O 的半径．21. （2020·张家界）阅读下面材料：对于实数,a b ，我们定义符号min{,}a b 的意义为：当a b <时，min{,}a b a =；当a b 时，min{,}a b b =，如：min{4,2}2,min{5,5}5-=-=．根据上面的材料回答下列问题：（1）min{1,3}-=______；（2）当2322min ,233x x x -++⎧⎫=⎨⎬⎩⎭时，求x 的取值范围．（1）﹣1 ；（2）x≥134{解析}本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．（1）比较大小，即可得出答案；（2）根据题意判断出2x 3x+223－≥解不等式即可判断x 的取值范围． {答案}解：（1）由题意得min{1,3}-=﹣1 故答案为：﹣1；（2）由题意得：2x 3x+223－≥ 3（2x －3）≥2（x+2） 6x －9≥2x+4 4x≥13 X≥134∴x 的取值范围为x≥134． 22．（2020·长沙）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”，根据该约定，完成下列各题（1）在下列关于x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”,不是“H 函数”的打“×” ①x y 2＝（） ②()0≠m xmy ＝（） ③13－＝x y （）（2）若点A （1，m ）与点B （n ，－4）关于x 的“H 函数”()02≠a c bx ax y ＋＋＝的一对“H 点”，且该函数的对称轴始终位于直线x ＝2的右侧，求a ,b ,c 的值或取值范围；（3）若关于x 的“H 函数”c bx ax y 322＋＋＝（a ,b ,c 是常数）同时满足下列两个条件：①0＝＋＋c b a ,②()()0322＜＋＋－＋a b c a b c ,求该“H 函数”截x 轴得到的线段长度的取值范围．{解析}本题考查了审题能力，二次函数的性质、图形和系数的关系等．（1）正比函数是原点对称图形，所以①是“H 函数”，反比例函数一定是原点对称图形，所以②是“H 函数”，而最后③的图形是直线，但是不原点对称，所以③不是“H 函数”；（2）先求出A (1，4)，B (－1，－4)，根据二次函数的性质就能知道图像的开口向下，把A (1，4)，B (－1，－4)，代入关系式，加上对称轴公式，就能得到4＝a ＋b ＋c ,－4＝a－b ＋c , ab2－＞2，用代入消元法解出结果即可；（3）与（2）的方法近似，根据题意先设一对“H 点”（m ，n ）和（－m ，－n ）代入，再加上题里给的关系式0＝＋＋c b a ,()()0322＜＋＋－＋a b c a b c ，这样随不能求出具体数，但是能够得到系数之间的数量关系，这样这问求的()21221241x x x x x x －＋＝－，就能进行化简求值a c a b x x 342221⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛－＝－，最后要找到最大与最小值即可． {答案}答案（1）√，√，×（2）解:由題意得A , B 两点关于原点对称 ∴A (1，4)，B (－1，－4)又∵函数的对称轴始终位于直线x ＝2的右侧， ∴A ，B 两点都在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大， ∴a ＜0将A ，B 两点代入原方程可得： 4＝a ＋b ＋c , －4＝a －b ＋c 解得 b ＝4,a ＝－c 又∵ab2－＞2 ∴－1＜a ＜0 ∵a ＝－c∴－1＜－c ＜0,解得 0＜c ＜1 又∵a ≠0，∴c ≠0綜上所述: b ＝4,－1＜a ＜0，0＜c ＜1（3）当y ＝0时，y ＝ax 2＋2bx ＋3c 可化为ax 2＋2bx ＋3c ＝0， ()21221241x x x x x x －＋＝－当在x 轴有两个交点时，（2b ）2－4×a ×3c ≥0，x 1＋x 2＝ab 2－，x 1·x 2＝a c 3∴a ca b x x 342221⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛－＝－，∵0＝＋＋c b a ,∴3234221＋＋＝－⎪⎭⎫ ⎝⎛a b x x又∵()()0322＜＋＋－＋a b c a b c ,解得－3＜ab＜1 ∵这是关于x 的“H 函数”，∴设（m ，n ）和（－m ，－n ）代入y ＝ax 2＋2bx ＋3c 中可得n ＝am 2＋2bm ＋3c ，－n ＝am 2－2bm ＋3c ，两式相加得2am 2＋6c ＝0， ∵m 2＞0，∴ac26－＞0，又∵0＝＋＋c b a ,∴a b ＞－1，∴－1＜a b ＜1，∵3234221＋＋＝－⎪⎭⎫ ⎝⎛a b x x ∴2＜21x x －＜7223. (2020·湘潭)阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC 的重心为点O ，求△OBC 与△ABC 的面积．（2）性质探究：如图（二），已知△ABC 的重心为点O ，请判断OD OA 、OBC ABCSS是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，连接BE 交对角线AC 于点M ．①若正方形ABCD 的边长为4，求EM 的长度； ②若1CMES=，求正方形ABCD 的面积．{解析}（1）连接DE ，利用相似三角形证明12OD AO =，运用勾股定理求出AD 的长，运用三角形面积公式求解即可；（2）根据（1）的证明可求解；（3）①证明△CME ∽△ABM 得12EM BM =，再运用勾股定理求出BE 的长即可解决问题； ②分别求出S △BMC 和S △ABM 即可. {答案}（1）连接DE ，如图，∵点O 是△ABC 的重心，AD ∴，BE 是BC，A C 边上的中线，D E ∴，为BC ，AC 边上的中点，DE ∴为△ABC 的中位线，//DE AB ∴，12DE AB =， ∴~ODE OAB ，12OD DE OA AB ∴==， 2AB ∴=，1BD =AD ∴=，OD =，11222OBCSBC OD ∴=⨯⨯=⨯=11222ABCSBC AD =⋅⋅=⨯=；（2）由（1）可知，12OD OA =是定值； 112132OBC ABCBC OD S OD S AD BC AD ⋅===⋅是定值；（3）①∵四边形ABCD 是正方形，//CD AB ∴，4AB BC CD ÷==，∴CMEAMBEM CEBM AB∴= ∵E 为CD的中点，122CE CD ∴==BE ∴==12EM BM ∴= 13EM BE ∴=，即EM = ②∴1CMES =，且12ME BM = ∴2BMCS =，∵12ME BM =，∴214CME AMB S ME SBM ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴4S4AMB CME S ==， 246ABC BMC ABM S S S ∴=+=+=，又ADC ABC S S =△△∴6ADC S =．∴正方形ABCD 的面积为：6+6=12．24．（2020·内江）我们知道，任意一个正整数x 都可以进行这样的分解：x m n =⨯（m ，n 是正整数，且m n ≤），在x 的所有这种分解中，如果m ，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称m n ⨯是x 的最佳分解．并规定：()m f x n=．例如：18可以分解成118⨯，29⨯或36⨯，因为1819263->->-，所以36⨯是18的最佳分解，所以()311862f ==．（1）填空：()6________f =；()9_________f =；（2）一个两位正整数t （10t a b =+，19a b ≤≤≤，a ，b 为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求()f t 的最大值；（3）填空：①()22357_____________f ⨯⨯⨯=；②()32357_____________f ⨯⨯⨯=；③()42357_____________f ⨯⨯⨯=；④()52357_____________f ⨯⨯⨯=．{答案}解：（1）6＝1×6＝2×3，∵6−1＞3−2，∴()6f ＝23；9=1×9=3×3，∵9−1＞3−3， ∴()9f =1，故答案为：23；1；（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b ＋a−10a−b ＝9（b−a ）＝54，∴b−a ＝6，∵1≤a≤b≤9，∴b ＝9，a ＝3或b ＝8，a ＝2或b ＝7，a ＝1， ∴t 为39，28，17；∵39＝1×39＝3×13，∴()39f ＝313；28＝1×28＝2×14＝4×7， ∴()28f ＝47；17＝1×17，∴()11717f =；∴()f t 的最大值47．（3）①∵22357⨯⨯⨯=20×21∴()220235721f ⨯⨯⨯=；②32357⨯⨯⨯=28×30∴()3281423573015f ⨯⨯⨯==； ③∵42357⨯⨯⨯=56×30∴()4301523575628f ⨯⨯⨯==； ④∵52357⨯⨯⨯=56×60∴()5561423576015f ⨯⨯⨯==，故答案为：20141514,,,21152815． {解析}本题考查了因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．（1）6＝1×6＝2×3，由已知可求()6f ＝23；9=1×9=3×3，由已知可求()9f =1；（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b ＋a−10a−b ＝9（b−a ）＝54，得到b−a ＝6，可求t 的值，故可得到()f t 的最大值；（3）根据()m f x n=的定义即可依次求解．25．（2020·通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m 和n ，规定m ※n ＝m 2n ﹣mn ﹣3n ，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）求（﹣2（2）若3※m ≥﹣6，求m 的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．{解析}（1）根据定义进行列式计算；（2）根据定义列出不等式，再进行求解，然后把解集在数轴上表示出来．{答案}解：（1）（－2（－2）223（2）∵3※m =32 m －3 m －3 m =3 m ，又∵3※m ≥﹣6，∴3 m ≥﹣6，得m ≥﹣2．在数轴上表示如下：26．（7分）（2020•呼和浩特）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x ﹣＝0，就可以利用该思维方式，设＝y ，将原方程转化为：y 2﹣y ＝0这个熟悉的关于y 的一元二次方程，解出y ，再求x ，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足，求x2+y2的值．解：令xy＝a，x+y＝b，则原方程组可化为：，整理得：，②﹣①得：11a2＝275，解得：a2＝25，代入②可得：b＝4，∴方程组的解为：或，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝b2﹣2a，当a＝5时，x2+y2＝6，当a＝﹣5时，x2+y2＝26，因此x2+y2的值为6或26．27．（9分）（2020•遂宁）阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，∴，解得：，∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3））＝﹣6，∴点C的坐标为（0，﹣6）．当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，解得：a＝﹣2，过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．。

中考数学压轴题新定义和阅读理解型问题17个填空题解析版

01．对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y=_____________.【答案】60【解析】由题意可知：，解得：．∵x＜y，∴原式=5×12=60．故答案为：60．【关键点拨】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．02．观察下列运算过程：S=1+3+32+33+…+32017+32018 ①，①×3得3S=3+32+33+…+32018+32019 ②，②﹣①得2S=32019﹣1，S=．运用上面计算方法计算：1+5+52+53+…+52018=____．【答案】【解析】设S=1+5+52+53+…+52018 ①，则5S=5+52+53+54…+52019②，②﹣①得：4S=52019﹣1，所以S=，故答案为：．【关键点拨】本题考查了规律型——数字的变化类，涉及了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．03．对于任意实数a、b，定义：a◆b=a2+ab+b2．若方程（x◆2）﹣5=0的两根记为m、n，则m2+n2= ．【答案】6．【解析】∵（x◆2）﹣5=x2+2x+4﹣5，∴m、n为方程x2+2x﹣1=0的两个根，∴m+n=﹣2，mn=﹣1，∴m2+n2=（m+n）2﹣2mn=6．故答案为：6．【关键点拨】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．04．规定：，如：，若，则＝__.【答案】1或-3【解析】依题意得：（2+x）x=3，整理，得x2+2x=3，所以（x+1）2=4，所以x+1=±2，所以x=1或x=-3．故答案是：1或-3．【关键点拨】用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．05．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为_____．【答案】1【解析】由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）=6，整理得，3x+3=6，解得，x=1，故答案为：1．【关键点拨】本题考查了解方程，涉及到完全平方公式、多项式乘法的运算等，根据题意正确得到方程是解题的关键．06．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为______．【答案】1【解析】∵S=，∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：S==1，故答案为：1．【关键点拨】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．07．对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高．如图2，菱形ABCD的边长为1，边AB水平放置．如果该菱形的高是宽的，那么它的宽的值是_____．【答案】【解析】在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，设AF=x，则CF=x，在Rt△CBF中，CB=1，BF=x﹣1，由勾股定理得：BC2=BF2+CF2，即：12=（x-1）2+（x）2，解得：x=或0（舍），即它的宽的值是，故答案为：．【关键点拨】本题考查了新定义题，矩形的性质、勾股定理等，根据题意正确画出图形，熟练应用相关的知识进行解答是关键.08．对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b=ab﹣a+b﹣2．例如，2※5=2×5﹣2+5﹣2=ll．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是_____．【答案】1【解析】∵3※x=3x﹣3+x﹣2＜2，∴x＜，∵x为正整数，∴x=1，故答案为：1．【关键点拨】本题考查一元一次不等式的整数解以及实数的运算，通过解不等式找出x＜是解题的关键．09．如图，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P 作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标，在某平面斜坐标系中，已知θ=60°，点M′的斜坐标为（3，2），点N与点M关于y轴对称，则点N的斜坐标为_____．【答案】（﹣2，5）【解析】如图作ND∥x轴交y轴于D，作NC∥y轴交x轴于C．MN交y轴于K．∵NK=MK，∠DNK=∠BMK，∠NKD=∠MKB，∴△NDK≌△MBK，∴DN=BM=OC=2，DK=BK，在Rt△KBM中，BM=2，∠MBK=60°，∴∠BMK=30°，∴DK=BK=BM=1，∴OD=5，∴N（-2，5），故答案为（-2，5）【关键点拨】本题考查坐标与图形变化，轴对称等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．10．如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而=45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．图2中的图案外轮廓周长是_____；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_____．【答案】14 21【解析】图2中的图案外轮廓周长是：8﹣2+2+8﹣2=14；设∠BPC=2x，∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为：，以∠APB为内角的正多边形的边数为：，∴图案外轮廓周长是=﹣2+﹣2+﹣2=+﹣6，根据题意可知：2x的值只能为60°，90°，120°，144°，当x越小时，周长越大，∴当x=30时，周长最大，此时图案定为会标，则则会标的外轮廓周长是=﹣6=21，故答案为：14，21．【关键点拨】本题考查了阅读理解问题和正多边形的边数与内角、外角的关系，明确正多边形的各内角相等，各外角相等，且外角和为360°是关键，并利用数形结合的思想解决问题．11．若为实数，则表示不大于的最大整数，例如，，等.是大于的最小整数，对任意的实数都满足不等式. ①，利用这个不等式①，求出满足的所有解，其所有解为__________．【答案】或1.【解析】∵对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，[x]=2x-1，∴2x-1≤x＜2x-1+1，解得，0＜x≤1，∵2x-1是整数，∴x=0.5或x=1，故答案为：x=0.5或x=1.【关键点拨】本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，会解答一元一次不等式.12．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步．【答案】．【解析】如图，∵四边形CDEF是正方形，∴CD=ED，DE∥C F，设ED=x，则CD=x，AD=12-x，∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴＝，∴x=，故答案为：.【关键点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．13．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的而积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形EFGH的面积的所有可能值是_____（不包括5）．【答案】9或13或49.【解析】①当DG=，CG=2时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=，可得正方形EFGH的面积为13．②当DG=8，CG=1时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=7，可得正方形EFGH的面积为49；③当DG=7，CG=4时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=3，可得正方形EFGH的面积为9. 故答案为：9或13或49．【关键点拨】本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．14．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S=_____．（结果保留根号）【答案】【解析】依照题意画出图象，如图所示．∵六边形ABCDEF为正六边形，∴△ABO为等边三角形，∵⊙O的半径为1，∴OM=1，∴BM=AM=，∴AB=，∴S=6S△ABO=6×××1=2．故答案为：2.【关键点拨】本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键．15．定义新运算：a※b=a2+b，例如3※2=32+2=11，已知4※x=20，则x=_____．【答案】4【解析】∵4※x=42+x=20，∴x=4．故答案为：4．【关键点拨】本题考查了有理数的混合运算以及解一元一次方程，依照新运算的定义找出关于x的一元一次方程是解题的关键．16．设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”.当双曲线的眸径为6时，的值为__________.【答案】【解析】以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，如图所示．联立直线AB及双曲线解析式成方程组，，解得：，，∴点A的坐标为（-，-），点B的坐标为（，）．∵PQ=6，∴OP=3，点P的坐标为（-，）．根据图形的对称性可知：AB=OO′=PP′，∴点P′的坐标为（-+2，+2）．又∵点P′在双曲线y=上，∴（-+2）•（+2）=k，解得：k=．故答案为：．【关键点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及解一元一次方程，利用矩形的性质结合函数图象找出点P′的坐标是解题的关键．17．如图，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若PA=，则PB+PC=_____．【答案】1+．【解析】作CH⊥AB于H．∵CA=CB，CH⊥AB，∠ACB=120°，∴AH=BH，∠ACH=∠BCH=60°，∠CAB=∠CBA=30°，∴AB=2BH=2•BC•cos30°=BC，∵∠PAC=∠PCB=∠PBA，∴∠PAB=∠PBC，∴△PAB∽△PBC，∴，∵PA=，∴PB=1，PC=，∴PB+PC=1+．故答案为1+．【关键点拨】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题．。

中考数学专项突破——新定义阅读理解创新题型(word版+详细解答)

中考数学专项突破——新定义阅读理解创新题型1.阅读下列材料，解答下列问题：材料一：一个三位以上的自然数，如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数，我们称满足此特征的数叫“网红数”.如：65362，362-65=297=11×27，称65362是“网红数”.材料二：对任意的自然数p 均可分解为p =100x +10y +z （x ≥0，0≤y ≤9,0≤z ≤9且想，x ，y ，z 均为整数），如：5278=52×100+10×7+8，规定：G （p ）= zx x z x x -++-+112）（ . （1）求证：任意两个“网红数”之和一定能被11整除；（2）已知：s =300+10b +a ，t =1000b +100a +1142（1≤a ≤7,0≤b ≤5，且a 、b 均为整数），当s +t 为“网红数”时，求G （t ）的最大值.（1）证明：设两个“网红数”为mn ，ab （n ，b 分别为mn ，ab 末三位表示的数，m ，a 分别为mn ，ab 末三位之前的数字表示的数），则n -m =11k 1，b -a =11k 2， ∴mn +ab =1001m +1001a +11（k 1+k 2）=11（91m +91a +k 1+k 2）. 又∵k 1，k 2，m ，n 均为整数，∴91m +91a +k 1+k 2为整数，∴任意两个“网红数”之和一定能被11整除.（2）解：s =3×100+10b +a ，t =1000（b +1）+100（a +1）+4×10+2， S +t =1000（b +1）+100（a +4）+10（b +4）+a +2，①当1≤a ≤5时，s +t =））（）（）（（2a 4b 4a 1b ++++，则））（）（（2a 4b 4a +++-（b +1）能被11整除，∴101a +9b +441=11×9a +2a +11b -2b +40×11+1能被11整除， ∴2a -2b +1能被11整除.∵1≤a ≤5，0≤b ≤5，∴-7≤2a -2b +1≤11，∴2a -2b +1=0或11，∴a =5，b =0，∴t =1642，G （1642）=17141， ②当6≤a ≤7时，s +t =））（）（）（（2a 4b 6a 2b ++-+，则））（）（（2a 4b 6a ++--（b +2）能被11整除，∴101a +9b -560=11×9a +2a +11b -2b -51×11+1能被11整除，∴2a -2b +1能被11整除.∵6≤a ≤7，0≤b ≤5，∴3≤2a -2b +1≤15，∴2a -2b +1=11，∴⎩⎨⎧==1b 6a ，⎩⎨⎧==2b 7a ， ∴t =2742或3842，G （2742）=28251，G （3842）=39361，综上，G （t ）的最大值为39361. 2.若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P ，到点P 距离为1的点所对应的数分别记为a ，b .定义：若数K ＝a 2＋b 2－ab ，则称数K 为“尼尔数”．例如：若P所表示的数为3，则a ＝2，b ＝4，那么K ＝22＋42－2×4＝12；若P 所表示的数为12，则a ＝11，b ＝13，那么K ＝132＋112－13×11＝147，所以12，147是“尼尔数”．(1)请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；(2)已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”．解：(1)6不是尼尔数，39是尼尔数．证明：设P 表示的数为3m ，则a ＝(3m －1)，b ＝(3m ＋1)， K ＝(3m －1)2＋(3m ＋1)2－(3m －1)(3m ＋1)＝9m 2＋3，∵m 为整数，∴m 2为整数，∴9m 2＋3被9除余3；(2)设这两个尼尔数分别是K 1，K 2，将两个“尼尔数”所对应的“3倍点数”P 1，P 2分别记为3m 1，3m 2.∴K 1－K 2＝9m 12－9m 22＝189，∴m 12－m 22＝21，∵m 1，m 2都是整数，∴m 1＋m 2＝7，m 1－m 2＝3，∴⎩⎨⎧==2m 5m 21， ∴⎩⎨⎧==39k 228k 21.3.若在一个两位正整数 N 的个位数字与十位数字之间添上数字 2 ，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为 N 的“诚勤数”，如 34 的“诚勤数”为 324 ；若将一个两位正整数 M 加 2 后得到一个新数，我们称这个新数为 M 的“立达数”，如 34 的“立达数”为 36.(1)求证：对任意一个两位正整数 A ，其“诚勤数”与“立达数”之差能被 6 整除；(2)若一个两位正整数 B 的“立达数”的各位数字之和是 B 的各位数字之和的一半，求 B 的值.解：（1）设A 的十位数字为a ，个位数字为b ，则A ＝10a +b ，它的“诚勤数”为100a +20+b ，它的“立达数”为10a +b +2， ∴100a +20+b -（10a +b +2）＝90a +18＝6（15a +3），∵a 为整数，∴15a +3是整数，则“诚勤数”与“立达数”之差能被6整除；（2）设B ＝10m +n ，1≤m ≤9，0≤n ≤9（B 加上2后各数字之和变小，说明个位发生了进位），∴B +2＝10m +n +2，则B 的“立达数”为10（m +1）+（n +2-10），∴m +1+n +2﹣10=21（m +n ），整理，得m +n ＝14，∵1≤m ≤9，0≤n ≤9，∴⎩⎨⎧==6n 8m 、⎩⎨⎧==8n 6m 、⎩⎨⎧==5n 9m 、⎩⎨⎧==9n 5m 、⎩⎨⎧==7n 7m ，经检验：77、86和95不符合题意，舍去，∴所求两位数为68或59．4．一个正偶数k 去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数k 为“魅力数”，把这个商叫做k 的魅力系数，记这个商为F （k ）．如：722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19=4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记(722)4F =．(1)计算：(304)(2052)F F +；(2)若m 、n 都是“魅力数”，其中3030101m a =+，40010n b c =++(0≤a ≤9，0≤b ≤9，0≤c ≤9，a 、b 、c 是整数)，规定：(,)a c G m n b-=．当()()24F m F n +=时，求(,)G m n 的值．解：（1）∵30+2×4=38，38÷19=2，∴F (304)=2.∵205+2×2=209,209÷19=11， ∴F （2025）=11.∴F （304）+F （2052）=13；（2）∵m =3030+101a =3000+100a +30+a ，∴F （m ）=19a 23a 10300+++=19a 12303+=15+19a 1218+. ∵m 是“魅力数”， ∴19a 1218+是整数. ∵0≤a ≤9，且a 是偶数，∴a =0,2,4,6,8.当a =0时，19a 1218+=1918不符合题意. 当a =2时，19a 1218+=1942不符合题意. 当a =4时，19a 1218+=1966不符合题意.当a =6时，19a 1218+=1990不符合题意. 当a =8时，19a 1218+=19114=6符合题意. ∴a =8，此时m =3838，F （m ）=F （3838）=6+15=21.又∵F （m ）+F （n ）=24，∴F （n ）=3.∵n =400+10b +c ，∴F （n ）=19c 2b 40++=3， ∴b +2c =17，∵n 是“魅力数”，∴c 是偶数，又∵0≤c ≤9，∴c =0，2,4,6,8.当c =0时，b =17不符合题意.当c =2时，b =13不符合题意.当c =4时，b =9符合题意.此时，G （m ，n ）=b c a -=948-=94. 当c =6时，b =5符合题意.此时，G （m ，n ）=b c a -=568-=52. 当c =8时，b =1符合题意.此时，G （m ，n ）=b c a -=188-=0. ∵ 94＞52＞0， ∴G （m ，n ）的最大值是94. 5.已知一个正整数，把其个位数字去掉，再将余下的数加上个位数字的4倍，如果和是13的倍数，则称原数为“超越数”．如果数字和太大不能直接观察出来，就重复上述过程．如：1131：113+4×1＝117，117÷13＝9，所以1131是“超越数”；又如：3292：329+4×2＝337，33+4×7＝61，因为61不能被13整除，所以3292不是“超越数”．（1）请判断42356是否为“超越数”（填“是”或“否”），若ab+4c ＝13k（k为整数），化简abc除以13的商（用含字母k的代数式表示）．（2）一个四位正整数N＝abcd，规定F（N）＝|a+d2﹣bc|，例如：F （4953）＝|4+32﹣5×9|＝32，若该四位正整数既能被13整除，个位数字是5，且a＝c，其中1≤a≤4．求出所有满足条件的四位正整数N中F（N）的最小值．解：（1）否，4235+4×6＝4259，425+4×9＝461，46+4×1＝50，因为50不能被13整除，所以42356不是超越数.∵ab+4c＝13k，∴10a+b+4c＝13k，∴10a+b＝13k﹣4c，∵abc＝100a+10b+c＝10（10a+b）+c＝130k﹣40c+c＝130k﹣39c＝13（10k﹣3c），abc＝10k﹣3c；∴13（2）由题意得d＝5，a＝c，∴N＝1000a+100b+10c+5，∵N能被13整除，∴设100a+10b+c+4×5＝13k，∴101a +10b +20＝13k ，且a 为正整数，b ，k 为非负整数， 1≤a ≤4，∴a ＝2，b ＝9，k ＝24 或a ＝3，b ＝8，k ＝31，或a ＝4，b ＝7，k ＝38，∴F （N ）＝|2+25﹣18|＝9，或F （N ）＝|3+25﹣24|＝4，或 F （N ）＝|4+25﹣28|＝1，∴F （N ）最小值为1．6.一个两位正整数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n 为“启航数”，将n 的两个数位上的数字对调得到一个新数'n .把'n 放在n 的后面组成第一个四位数，把n 放在'n 的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为()F n ，例如：23n =时，32n '=，23323223(23)8111F -==-. （1）计算(42)_____;F = 若m 为“启航数”，()F m 是一个完全平方数，求()F m 的值；（2）s t 、为“启航数”，其中10,10s a b t x y =+=+（1≤b ≤a ≤9，1≤x 、y ≤5，且y x b a ,,,为整数）规定：(,)s t K s t t-=，若()F s 能被7整除，且()()81162F s F t y +-=，求(,)K s t 的最大值.解：（1）F （42）=162，设m =pq （1≤p ≤q ≤9，且p 、q 为整数），则()=81()11pqqp qppq F m p q -=-，∵()F m 完全平方数，∴p q -为完全平方数，∵1≤p ≤q ≤9，且p 、q 为整数，∴0＜p -q ≤8，∴14p q -=或，∴F （m ）=81或324；（2）由题意知：s =ab ，t =xy （1≤b ≤a ≤9,1≤x 、y ≤5，且a b x y 、、、为整数），∴()81()F s a b =-，()81()F t x y =-，∵()F s 能被7整除，∴81()7a b -为整数，又∵1≤b ≤a ≤9，∴0＜a -b ≤8，∴7a b -=，∴9,28,1a b a b ====或，∴s =92或81.又∵()()81162F s F t y +-=，∴81（a -b ）+81（x -y ）-81y =162，∴2y =x +5，∵1≤x ，y ≤5且x y ≠，∴1,33,4x y x y ====或，∴t =13 或34， ∴79(92,13)13K =，K （92，34）=3458，68(81,13)13K =，47(81,34)34K = K max =1379. 7.若一个三位数，其个位数加上十位数等于百位数，可表示为t ＝100（x +y ）+10y +x （x +y ≤9），则称实数t 为“加成数”，将t 的百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，组成一个新的三位数q，例如：321是一个“加成数”，将其h．规定q＝t﹣h，f（m）＝9百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，得到的数h＝213，108＝12．∴q＝321﹣213＝108，f（m）＝9（1）当f（m）最小时，求此时对应的“加成数”的值；（2）若f（m）是24的倍数，则称f（m）是“节气数”，猜想这样的“节气数”有多少个，并求出所有的“节气数”．q，解：（1）∵f（m）＝9∴当f（m）最小时，q最小，∵t＝100（x+y）+10y+x=101x+110y，h＝100y+10x+x+y＝101y+11x，∴q＝t﹣h＝101x+110y﹣（101y+11x）＝9y+90x，且1≤y≤9，0≤x ≤9，x、y为正整数，当x＝0，y＝1时，q＝9，此时对应的“加成数”是110；（2）∵f（m）是24的倍数，设f（m）＝24n（n为正整数），q，q＝216n，则24n＝9由（1）知：q＝9y+90x＝9（y+10x），∴216n＝9（y+10x），24n＝y+10x，（x+y＜10）①当n＝1时，即y+10x＝24，解得：x＝2，y＝4，则这样的“节气数”是24；②当n＝2时，即y+10x＝48，解得：x＝4，y＝8，x+y＝12＞10，不符合题意；③当n＝3时，即y+10x＝72，解得：x＝7，y＝2，则这样的“节气数”是72；④当n＝4时，即y+10x＝96，解得：x＝9，y＝6，x+y＝15＞10，不符合题意；⑤当n＝5时，即y+10x＝120，没有符合条件的整数解，综上，这样的“节气数”有2个，分别为24，72．8.在任意n（n＞1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”．若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”．比如1324的“顺数”为16324，1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324﹣13264＝3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍档数”．（1）请根据以上方法判断31568（填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N的值．（2）证明：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．（1）解：是；【解法提示】∵361568﹣315668＝45900，且45900÷17＝2700，∴根据最佳拍档数的定义可知，31568是“最佳拍档数”；故答案为：是设“最佳拍档数”N的十位数字为x，百位数字为y，则个位数字为8﹣x，y≥x，N＝5000+100y+10x+8﹣x＝100y+9x+5008，∵N是四位“最佳拍档数”，∴50000+6000+100y+10x+8﹣x﹣[50000+1000y+100x+60+8﹣x]，＝6000+100y+9x+8﹣1000y﹣100x﹣68+x，＝5940﹣90x﹣900y，＝90（66﹣x﹣10y），∴66﹣x﹣10y能被17整除，①x＝2，y＝3时，66﹣x﹣10y＝34，能被17整除，此时N为5326；②x＝3，y＝8时，66﹣x﹣10y＝﹣17，能被17整除，此时N为5835；③x＝5，y＝1时，66﹣x﹣10y＝51，能被17整除，但x＞y，不符合题意；④x＝6，y＝6时，66﹣x﹣10y＝0，能被17整除，此时N为5662；⑤x＝8，y＝3时，66﹣x﹣10y＝28，不能被17整除，但x＞y，不符合题意；⑥当x＝9，y＝4时，66﹣x﹣10y＝17，能被17整除，但x＞y，不符合题意；综上，所有符合条件的N的值为5326，5835，5662；（2）证明：设三位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，它的“顺数”：1000z+600+10y+x，它的“逆数”：1000z +100y +60+x ，∴（1000z +600+10y +x ）﹣（1000z +100y +60+x ）＝540﹣90y ＝90（6﹣y ），∴任意三位正整数K 的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，设四位正整数K 的个位数字为x ，十位数字为y ，百位数字为z ，千位数字为a ，∴（10000a +6000+100z +10y +x ）﹣（10000a +1000z +100y +60+x ）＝5940﹣900z ﹣90y ＝90（66﹣10z ﹣y ），∴任意四位正整数K 的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，同理得：任意三位或三位以上的正整数K 的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．9.若实数a 可以表示成两个连续自然数的倒数差，即a ＝n 1-1n ＋1，那么我们称a 为第n 个“1阶倒差数”，例如21＝1-21，∴21是第1个“1阶倒差数”，61＝21-31，∴16是第2个“1阶倒差数”．同理，若b ＝n 1-2n 1 ，那么，我们称b 为第n 个“2阶倒差数”．(1)判断132是否为“1阶倒差数”；直接写出第5个“2阶倒差数”；(2)若c ，d 均是由两个连续奇数组成的“2阶倒差数”，且d 1-c 1＝22，求c ，d 的值．解：(1)132不是“1阶倒差数”，235；【解法提示】∵32＝1×32＝2×16＝4×8，不是两个连续自然数的积， ∴321不是“1阶倒差数”．第5个“2阶倒差数”为51-71＝352. (2)设m 是由两个连续奇数2x -1，2x +1组成的“2阶倒差数”，则m =1x 21--1x 21+=））（（）（1x 21x 21x 21x 2-+--+=1x 422-. ∵c ，d 是两个连续奇数组成的“2阶倒差数”，∴可设c ＝1y 422-，d ＝1z 422-， ∵d 1－c 1＝22，∴4z 2－12－4y 2－12＝22，即z 2－y 2＝11，∴(z ＋y )(z －y )＝11>0，∴z ＞y .∵11＝1×11，∴⎩⎨⎧=-=+1y z 11y z ，解得⎩⎨⎧==6z 5y ， ∴c =15422-⨯=299，d =16422-⨯=2143. 10.任意一个正整数n ，都可以表示为：n ＝a ×b ×c （a ≤b ≤c ，a ，b ，c 均为正整数），在n 的所有表示结果中，如果|2b ﹣（a +c ）|最小，我们就称a ×b ×c 是n 的“阶梯三分法”，并规定：F （n ）＝bc a +，例如：6＝1×1×6＝1×2×3，因为|2×1﹣（1+6）|＝5，|2×2﹣（1+3）|＝0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即F（6）＝231+＝2．（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p 是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）＝2；（2）t是一个两位正整数，t＝10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值．解：（1）∵m为立方数，∴设m＝q×q×q，∴|2q﹣（q+q）|＝0，∴q×q×q是m的阶梯三分法，∴F（m）=q qq+=2；（2）由已知，[23（10x+y）+x+y]能被13整除，整理得：231x+24y能被13整除，∵231x+24y＝13（18x+2y）﹣（3x+2y），∴3x+2y能被13整除，∵1≤x≤9，0≤y≤9，∴3≤3x+2y≤45，∵x，y均为整数，∴3x+2y的值可能为13、26或39，①当3x+2y＝13时，∵x ≥y ，x +y ≤10，∴x ＝3，y ＝2，t ＝32，∴32的阶梯三分法为2×4×4， ∴F （32）＝23242=+； ②同理，当3x +2y ＝26时，可得x ＝8，y ＝1或x ＝6，y ＝4， ∴t ＝81或64，∴F （81）＝4，F （64）＝2； ③同理，当3x +2y ＝39时，可得x ＝9，y ＝6（不合题意舍去）， ∴综合①②③，F （t ）最小值为23.。

新中考数学真题分项汇编专题28新定义与阅读理解创新型问题(共50道)(解析版)

专题28新定义与阅读理解创新型问题【共50道】一．选择题（共4小题）1．（2020•荆州）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】利用新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△＞0可判断方程根的情况．【解析】∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）＝4k2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．2．（2020•枣庄）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=1a−b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=11−32=−18．则方程x⊗（﹣2）=2x−4−1的解是（）A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7 【分析】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．【解析】根据题意，得1x−4=2x−4−1，去分母得：1＝2﹣（x﹣4），解得：x＝5，经检验x＝5是分式方程的解．故选：B．3．（2020•潍坊）若定义一种新运算：a⊗b={a−b(a≥2b)a+b−6(a＜2b)，例如：3⊗1＝3﹣1＝2；5⊗4＝5+4﹣6＝3．则函数y＝（x+2）⊗（x﹣1）的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据a ⊗b ={a −b(a ≥2b)a +b −6(a ＜2b)，可得当x +2≥2（x ﹣1）时，x ≤4，分两种情况：当x ≤4时和当x ＞4时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可得出结论．【解析】∵当x +2≥2（x ﹣1）时，x ≤4，∴当x ≤4时，（x +2）⊗（x ﹣1）＝（x +2）﹣（x ﹣1）＝x +2﹣x +1＝3，即：y ＝3，当x ＞4时，（x +2）⊗（x ﹣1）＝（x +2）+（x ﹣1）﹣6＝x +2+x ﹣1﹣6＝2x ﹣5，即：y ＝2x ﹣5， ∴k ＝2＞0，∴当x ＞4时，y ＝2x ﹣5，函数图象向上，y 随x 的增大而增大，综上所述，A 选项符合题意．故选：A ．4．（2020•长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P 与加工煎炸时间t （单位：分钟）近似满足的函数关系为：p ＝at 2+bt +c （a ≠0，a ，b ，c 是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A ．3.50分钟B ．4.05分钟C ．3.75分钟D ．4.25分钟【分析】将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p ＝at 2+bt +c 中，可得函数关系式为：p ＝﹣0.2t 2+1.5t ﹣1.9，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，求出即可得结论．【解析】将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p ＝at 2+bt +c 中， {9a +3b +c =0.816a +4b +c =0.925a +5b +c =0.6，解得{a =−0.2b =1.5c =−1.9，所以函数关系式为：p ＝﹣0.2t 2+1.5t ﹣1.9，由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标： t =−b2a =− 1.52×(−0.2)=3.75，则当t ＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．故选：C ．二．填空题（共11小题）5．（2020•临沂）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点A （2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为 √5−1 ．【分析】连接AO交⊙O于B，则线段AB的长度即为点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离，根据勾股定理即可得到结论．【解析】连接AO交⊙O于B，则线段AB的长度即为点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离，∵点A（2，1），∴OA=√22+12=√5，∵OB＝1，∴AB=√5−1，即点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为√5−1，故答案为：√5−1．6．（2020•十堰）对于实数m，n，定义运算m*n＝（m+2）2﹣2n．若2*a＝4*（﹣3），则a＝﹣13．【分析】根据给出的新定义分别求出2*a与4*（﹣3）的值，根据2*a＝4*（﹣3）得出关于a的一元一次方程，求解即可．【解析】∵m*n＝（m+2）2﹣2n，∴2*a＝（2+2）2﹣2a＝16﹣2a，4*（﹣3）＝（4+2）2﹣2×（﹣3）＝42，∵2*a＝4*（﹣3），∴16﹣2a＝42，解得a＝﹣13，故答案为：﹣13．7．（2020•青海）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b=√a+b√a−b ，如：3⊕2=√3+2√3−2=√5，那么12⊕4＝√2．【分析】先依据定义列出算式，然后再进行计算即可．【解析】12⊕4=√12+4√12−4=√2．故答案为：√2．8．（2020•湘潭）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：数字形式1 2 3 4 5 6 7 8 9纵式| || ||| |||| |||||横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：，则表示的数是9167．【分析】根据算筹计数法来计数即可．【解析】根据算筹计数法，表示的数是：9167故答案为：9167．9．（2020•长沙）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，A同学拿出二张扑克牌给B同学；第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为7．【分析】本题是整式加减法的综合运用，设每人有牌x张，解答时依题意列出算式，求出答案．【解析】设每人有牌x张，B同学从A同学处拿来二张扑克牌，又从C同学处拿来三张扑克牌后，则B同学有（x+2+3）张牌，A同学有（x﹣2）张牌，那么给A同学后B同学手中剩余的扑克牌的张数为：x+2+3﹣（x﹣2）＝x+5﹣x+2＝7．故答案为：7．10．（2020•常德）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx ﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为x＝2或x＝﹣1+√2或x＝﹣1−√2．【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．【解析】∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1±√2，故答案为：x＝2或x＝﹣1+√2或x＝﹣1−√2．11．（2020•衢州）定义a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x﹣1）※x的结果为x2﹣1．【分析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可．【解析】根据题意得：（x﹣1）※x＝（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1．故答案为：x2﹣1．12．（2020•枣庄）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S＝a+12b﹣1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S＝6．【分析】分别统计出多边形内部的格点数a和边界上的格点数b，再代入公式S＝a+12b﹣1，即可得出格点多边形的面积．【解析】∵a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积，∴a＝4，b＝6，∴该五边形的面积S＝4+12×6﹣1＝6，故答案为：6．13．（2020•荆州）我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为（1，0）、（2，0）或（0，2）．【分析】根据题意令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，利用求根公式可得m，将m代入可得函数图象与x轴的交点坐标；令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．【解析】根据题意，令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，△＝（﹣m﹣2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2＞0，∴mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0有两个根，由求根公式可得x=m+2±√(−m−2)2−8m2mx=m+2±|m−2|2mx1=m+2+(m−2)2m=1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；x2=m+2+2−m2m=42m，当m＝1或2时符合题意；x2＝2或1；x3=m+2−m+22m=42m，当m＝1或2时符合题意；x3＝2或1；x4=m+2−2+m2m=1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；所以这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）；令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）或（0，2）；故答案为：（2，0），（1，0）或（0，2）．14．（2020•乐山）我们用符号[x]表示不大于x的最大整数．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么：（1）当﹣1＜[x]≤2时，x的取值范围是0≤x＜3；（2）当﹣1≤x＜2时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象下方．则实数a的范围是a＜−1或a≥32．【分析】（1）根据[x]表示不大于x的最大整数，解决问题即可．（2）由题意，构建不等式即可解决问题．【解析】（1）由题意∵﹣1＜[x]≤2，∴0≤x＜3，故答案为0≤x＜3．（2）由题意：当﹣1≤x＜2时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象下方，则有x＝﹣1时，1+2a+3＜﹣1+3，解得a＜﹣1，或x＜2时，4﹣2a+3≤1+3，解得a≥3 2，故答案为a＜﹣1或a≥3 2．15．（2020•泰州）以水平数轴的原点O为圆心，过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox逆时针依次旋转30°、60°、90°、…、330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A、B的坐标分别表示为（5，0°）、（4，300°），则点C的坐标表示为（3，240°）．【分析】直接利用坐标的意义进而表示出点C的坐标．【解析】如图所示：点C的坐标表示为（3，240°）．故答案为：（3，240°）．三．解答题（共35小题）16．（2020•湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC 的重心为点O ，求△OBC 与△ABC 的面积．（2）性质探究：如图（二），已知△ABC 的重心为点O ，请判断OD OA、S △OBC S △ABC是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，连接BE 交对角线AC 于点M ． ①若正方形ABCD 的边长为4，求EM 的长度； ②若S △CME ＝1，求正方形ABCD 的面积．【分析】（1）连接DE ，利用相似三角形证明OD AO=12，运用勾股定理求出AD 的长，运用三角形面积公式求解即可；（2）根据（1）的证明可求解；（3）①证明△CME ∽△ABM ，得EM BM=12，再运用勾股定理求出BE 的长即可解决问题；②分别求出S △BMC 和S △ABM 即可求得正方形ABCD 的面积．【解析】（1）连接DE ，如图， ∵点O 是△ABC 的重心，∴AD ，BE 是BC ，AC 边上的中线， ∴D ，E 为BC ，AC 边上的中点， ∴DE 为△ABC 的中位线， ∴DE ∥AB ，DE =12AB ， ∴△ODE ∽△OAB ， ∴OD OA=DE AB=12，∵AB ＝2，BD ＝1，∠ADB ＝90°， ∴AD =√3，OD =√33，∴S △OBC=BC⋅OD 2=2×√332=√33，S △ABC =BC⋅AD 2=2×√32=√3；（2）由（1）可知，OD OA=12，是定值；点O 到BC 的距离和点A 到BC 的距离之比为1：3，则△OBC 和△ABC 的面积之比等于点O 到BC 的距离和点A 到BC 的距离之比，故S △OBC S △ABC=13，是定值；（3）①∵四边形ABCD 是正方形， ∴CD ∥AB ，AB ＝BC ＝CD ＝4， ∴△CME ～△AMB ， ∴EM BM=CE AB，∵E 为CD 的中点， ∴CE =12CD =2，∴BE =√BC 2+CE 2=2√5， ∴EM BM =12，∴EM BE=13，即EM =23√5； ②∴S △CME ＝1，且ME BM=12，∴S △BMC ＝2， ∵ME BM=12，∴S △CME S △AMB=(ME BM)2=14，∴S △AMB ＝4，∴S △ABC ＝S △BMC +S △ABM ＝2+4＝6，又S △ADC ＝S △ABC ， ∴S △ADC ＝6，∴正方形ABCD 的面积为：6+6＝12．17．（2020•徐州）我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果BC AB=AB AC，那么称点B 为线段AC的黄金分割点．它们的比值为√5−12．（1）在图①中，若AC ＝20cm ，则AB 的长为（10√5−10） cm ；（2）如图②，用边长为20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD 得折痕EF ，连接CE ，将CB 折叠到CE 上，点B 对应点H ，得折痕CG ．试说明：G 是AB 的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a 的正方形ABCD 的边AD 上任取点E （AE ＞DE ），连接BE ，作CF ⊥BE ，交AB 于点F ，延长EF 、CB 交于点P ．他发现当PB 与BC 满足某种关系时，E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．【分析】（1）由黄金分割点的概念可得出答案；（2）延长EA ，CG 交于点M ，由折叠的性质可知，∠ECM ＝∠BCG ，得出∠EMC ＝∠ECM ，则EM ＝EC ，根据勾股定理求出CE 的长，由锐角三角函数的定义可出tan ∠BCG =√5−12，即BGBC=√5−12，则可得出答案；（3）证明△ABE ≌△BCF （ASA ），由全等三角形的性质得出BF ＝AE ，证明△AEF ∽△BPF ，得出AE BP=AF BF，则可得出答案．【解析】（1）∵点B 为线段AC 的黄金分割点，AC ＝20cm ， ∴AB =√5−12×20＝（10√5−10）cm ．故答案为：（10√5−10）．（2）延长EA ，CG 交于点M ，∵四边形ABCD 为正方形， ∴DM ∥BC ， ∴∠EMC ＝∠BCG ，由折叠的性质可知，∠ECM ＝∠BCG ， ∴∠EMC ＝∠ECM ， ∴EM ＝EC ， ∵DE ＝10，DC ＝20，∴EC =√DE 2+DC 2=√102+202=10√5， ∴EM ＝10√5， ∴DM ＝10√5+10， ∴tan ∠DMC =DCDH =105+10=5+1=√5−12．∴tan ∠BCG =√5−12，即BG BC =√5−12， ∴BG AB=√5−12， ∴G 是AB 的黄金分割点；（3）当BP ＝BC 时，满足题意．理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠BAE ＝∠CBF ＝90°， ∵BE ⊥CF ，∴∠ABE +∠CBF ＝90°，又∵∠BCF +∠BFC ＝90°，∴∠BCF ＝∠ABE ， ∴△ABE ≌△BCF （ASA ）， ∴BF ＝AE ， ∵AD ∥CP ， ∴△AEF ∽△BPF ， ∴AE BP=AF BF，当E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点时， ∵AE ＞DE ， ∴AF BF=BF AB，∵BF ＝AE ，AB ＝BC ， ∴AF BF =BF AB =AE BC，∴AE BP=AE BC，∴BP ＝BC ．18．（2020•株洲）如图所示，△OAB 的顶点A 在反比例函数y =kx （k ＞0）的图象上，直线AB 交y 轴于点C ，且点C 的纵坐标为5，过点A 、B 分别作y 轴的垂线AE 、BF ，垂足分别为点E 、F ，且AE ＝1．（1）若点E 为线段OC 的中点，求k 的值；（2）若△OAB 为等腰直角三角形，∠AOB ＝90°，其面积小于3． ①求证：△OAE ≌△BOF ；②把|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|称为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点间的“ZJ 距离”，记为d （M ，N ），求d （A ，C ）+d （A ，B ）的值．【分析】（1）由点E为线段OC的中点，可得E点坐标为(0，52)，进而可知A点坐标为：A(1，52)，代入解析式即可求出k；（2）①由△OAB为等腰直角三角形，可得AO＝OB，再根据同角的余角相等可证∠AOE＝∠FBO，由AAS即可证明△OAE≌△BOF；②由“ZJ距离”的定义可知d（M，N）为MN两点的水平离与垂直距离之和，故d（A，C）+d（A，B）＝BF+CF，即只需求出B点坐标即可，设点A（1，m），由△OAE≌△BOF可得B（m，﹣1），进而代入直线AB解析式求出k值即可解答．【解析】（1）∵点E为线段OC的中点，OC＝5，∴OE=12OC=52，即：E点坐标为(0，52)，又∵AE⊥y轴，AE＝1，∴A(1，52 )，∴k=1×52=52．（2）①在△OAB为等腰直角三角形中，AO＝OB，∠AOB＝90°，∴∠AOE+∠FOB＝90°，又∵BF⊥y轴，∴∠FBO+∠FOB＝90°，∴∠AOE＝∠FBO，在△OAE和△BOF中，{∠AEO =∠OFB =90°∠AOE =∠FBO AO =BO，∴△OAE ≌△BOF （AAS ）， ②解：设点A 坐标为（1，m ）， ∵△OAE ≌△BOF ，∴BF ＝OE ＝m ，OF ＝AE ＝1， ∴B （m ，﹣1），设直线AB 解析式为：l AB ：y ＝kx +5，将AB 两点代入得：则{k +5=m km +5=−1．解得{k 1=−3m 1=2，{k 2=−2m 2=3．当m ＝2时，OE ＝2，OA =√5，S △AOB =52＜3，符合；∴d （A ，C ）+d （A ，B ）＝AE +CE +（BF ﹣AE ）+（OE +OF ）＝1+CE +OE ﹣1+OE +1＝1+CE +2OE ＝1+CO +OE ＝1+5+2＝8，当m ＝3时，OE ＝3，OA =√10，S △AOB ＝5＞3，不符，舍去；综上所述：d （A ，C ）+d （A ，B ）＝8．19．（2020•宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角，若∠A ＝α，请用含α的代数式表示∠E ．（2）如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD̂=BD ̂，四边形ABCD 的外角平分线DF 交⊙O 于点F ，连结BF 并延长交CD 的延长线于点E ．求证：∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE ，AF ，若AC 是⊙O 的直径． ①求∠AED 的度数；②若AB ＝8，CD ＝5，求△DEF 的面积．【分析】（1）由角平分线的定义可得出结论；（2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC +∠FBC ＝90°，得出∠FDE ＝∠FBC ，证得∠ABF ＝∠FBC ，证出∠ACD ＝∠DCT ，则CE 是△ABC 的外角平分线，可得出结论；（3）①连接CF ，由条件得出∠BFC ＝∠BAC ，则∠BFC ＝2∠BEC ，得出∠BEC ＝∠F AD ，证明△FDE ≌△FDA （AAS ），由全等三角形的性质得出DE ＝DA ，则∠AED ＝∠DAE ，得出∠ADC ＝90°，则可求出答案；②过点A 作AG ⊥BE 于点G ，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，证得△EGA ∽△ADC ，得出AE AC=AG CD，求出AD AC=45，设AD ＝4x ，AC ＝5x ，则有（4x ）2+52＝（5x ）2，解得x =53，求出ED ，CE 的长，求出DM ，由等腰直角三角形的性质求出FM ，根据三角形的面积公式可得出答案．【解析】（1）∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，∴∠E ＝∠ECD ﹣∠EBD =12（∠ACD ﹣∠ABC ）=12∠A =12α，（2）如图1，延长BC 到点T ，∵四边形FBCD 内接于⊙O ， ∴∠FDC +∠FBC ＝180°，又∵∠FDE +∠FDC ＝180°， ∴∠FDE ＝∠FBC ，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，̂=BD̂，∵AD∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）①如图2，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠F AD，∴∠BEC＝∠F AD，又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE ＝DA ， ∴∠AED ＝∠DAE ， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝90°， ∴∠AED +∠DAE ＝90°， ∴∠AED ＝∠DAE ＝45°，②如图3，过点A 作AG ⊥BE 于点G ，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC ＝90°， ∵BE 平分∠ABC ，∴∠F AC ＝∠EBC =12∠ABC ＝45°， ∵∠AED ＝45°， ∴∠AED ＝∠F AC ， ∵∠FED ＝∠F AD ，∴∠AED ﹣∠FED ＝∠F AC ﹣∠F AD ， ∴∠AEG ＝∠CAD ， ∵∠EGA ＝∠ADC ＝90°， ∴△EGA ∽△ADC ， ∴AE AC=AG CD，∵在Rt △ABG 中，AG =√22AB =4√2，在Rt △ADE 中，AE =√2AD ， ∴√2AD AC =4√25，∴AD AC=45，在Rt △ADC 中，AD 2+DC 2＝AC 2，∴设AD ＝4x ，AC ＝5x ，则有（4x ）2+52＝（5x ）2， ∴x =53， ∴ED ＝AD =203， ∴CE ＝CD +DE =353， ∵∠BEC ＝∠FCE ， ∴FC ＝FE ， ∵FM ⊥CE ， ∴EM =12CE =356， ∴DM ＝DE ﹣EM =56， ∵∠FDM ＝45°， ∴FM ＝DM =56， ∴S △DEF =12DE •FM =259． 20．（2020•陕西）问题提出（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＞BC ，∠ACB 的平分线交AB 于点D ．过点D 分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ．垂足分别为E ，F ，则图1中与线段CE 相等的线段是 CF 、DE 、DF ．问题探究（2）如图2，AB 是半圆O 的直径，AB ＝8．P 是AB̂上一点，且PB ̂=2PA ̂，连接AP ，BP ．∠APB 的平分线交AB 于点C ，过点C 分别作CE ⊥AP ，CF ⊥BP ，垂足分别为E ，F ，求线段CF 的长．问题解决（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O 的直径AB ＝70m ，点C 在⊙O 上，且CA ＝CB ．P 为AB 上一点，连接CP 并延长，交⊙O 于点D ．连接AD ，BD ．过点P 分别作PE ⊥AD ，PF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ．按设计要求，四边形PEDF 内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP 的长为x （m ），阴影部分的面积为y （m 2）． ①求y 与x 之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP 的长度为30m 时，整体布局比较合理．试求当AP ＝30m时．室内活动区（四边形PEDF ）的面积．【分析】（1）证明四边形CEDF 是正方形，即可得出结果；（2）连接OP ，由AB 是半圆O 的直径，PB ̂=2PA ̂，得出∠APB ＝90°，∠AOP ＝60°，则∠ABP ＝30°，同（1）得四边形PECF 是正方形，得PF ＝CF ，在Rt △APB 中，PB ＝AB •cos ∠ABP ＝4√3，在Rt △CFB 中，BF =CFtan∠ABC =√3CF ，推出PB ＝CF +BF ，即可得出结果；（3）①同（1）得四边形DEPF 是正方形，得出PE ＝PF ，∠APE +∠BPF ＝90°，∠PEA ＝∠PFB ＝90°，将△APE 绕点P 逆时针旋转90°，得到△A ′PF ，P A ′＝P A ，则A ′、F 、B 三点共线，∠APE ＝∠A ′PF ，证∠A ′PB ＝90°，得出S △P AE +S △PBF ＝S △P A ′B =12P A ′•PB =12x （70﹣x ），在Rt △ACB 中，AC ＝BC ＝35√2，S △ACB =12AC 2＝1225，由y ＝S △P A ′B +S △ACB ，即可得出结果；②当AP ＝30时，A ′P ＝30，PB ＝40，在Rt △A ′PB 中，由勾股定理得A ′B =√A′P 2+PB 2=50，由S△A ′PB=12A ′B •PF =12PB •A ′P ，求PF ，即可得出结果．【解析】（1）∵∠ACB ＝90°，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ， ∴四边形CEDF 是矩形，∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ， ∴DE ＝DF ，∴四边形CEDF 是正方形， ∴CE ＝CF ＝DE ＝DF ，故答案为：CF 、DE 、DF ；（2）连接OP ，如图2所示： ∵AB 是半圆O 的直径，PB̂=2PA ̂， ∴∠APB ＝90°，∠AOP =13×180°＝60°， ∴∠ABP ＝30°，同（1）得：四边形PECF 是正方形， ∴PF ＝CF ，在Rt △APB 中，PB ＝AB •cos ∠ABP ＝8×cos30°＝8×√32=4√3，在Rt △CFB 中，BF =CF tan∠ABC =CF tan30°=CF33=√3CF ，∵PB ＝PF +BF ， ∴PB ＝CF +BF ，即：4√3=CF +√3CF ，解得：CF ＝6﹣2√3；（3）①∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°， ∵CA ＝CB ， ∴∠ADC ＝∠BDC ，同（1）得：四边形DEPF 是正方形，∴PE ＝PF ，∠APE +∠BPF ＝90°，∠PEA ＝∠PFB ＝90°，∴将△APE 绕点P 逆时针旋转90°，得到△A ′PF ，P A ′＝P A ，如图3所示：则A ′、F 、B 三点共线，∠APE ＝∠A ′PF ， ∴∠A ′PF +∠BPF ＝90°，即∠A ′PB ＝90°， ∴S △P AE +S △PBF ＝S △P A ′B =12P A ′•PB =12x （70﹣x ），在Rt △ACB 中，AC ＝BC =√22AB =√22×70＝35√2，∴S △ACB =12AC 2=12×（35√2）2＝1225，∴y ＝S △P A ′B +S △ACB =12x （70﹣x ）+1225=−12x 2+35x +1225； ②当AP ＝30时，A ′P ＝30，PB ＝AB ﹣AP ＝70﹣30＝40，在Rt △A ′PB 中，由勾股定理得：A ′B =√A′P 2+PB 2=√302+402=50， ∵S △A ′PB =12A ′B •PF =12PB •A ′P ， ∴12×50×PF =12×40×30，解得：PF ＝24，∴S 四边形PEDF ＝PF 2＝242＝576（m 2），∴当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2．21．（2020•咸宁）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．理解：（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为90°或270°；证明：（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．【分析】（1）对余四边形的定义即可得出结果；（2）由圆周角定理得出∠BAM+∠BCN＝90°，即∠BAD+∠BCD＝90°，即可得出结论；（3）对余四边形的定义得出∠ADC＝30°，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，则△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°，得出BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BF A，则△BFD是等边三角形，得出BF＝BD＝DF，易证∠BF A+∠ADB＝30°，由∠FBD+∠BF A+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，得出∠AFD+∠ADF＝90°，则∠F AD＝90°，由勾股定理即可得出结果．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是对余四边形，∴∠A+∠C＝90°或∠A+∠C＝360°﹣90°＝270°，故答案为：90°或270°；（2）证明：∵MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，∴∠BAM+∠BCN＝90°，即∠BAD+∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是对余四边形；（3）解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，理由如下：∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝30°，∵AB＝BC，∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图3所示：∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BF A，∴△BFD是等边三角形，∴BF＝BD＝DF，∵∠ADC＝30°，∴∠ADB+∠BDC＝30°，∴∠BF A+∠ADB＝30°，∵∠FBD+∠BF A+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，∴∠AFD+∠ADF＝90°，∴∠F AD＝90°，∴AD2+AF2＝DF2，∴AD2+CD2＝BD2．22．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是P1P2∥P3P4；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点P3的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线y=√3x+2√3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（3）若点A的坐标为（2，32），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．【分析】（1）根据平移的性质，以及线段AB到⊙O的“平移距离”的定义判断即可．（2）如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1，设直线y=√3x+2√3交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，2√3），过点E作EH⊥MN于H，解直角三角形求出EH即可判断．（3）如图2中，以A为圆心1为半径作⊙A，作直线OA交⊙O于M，交⊙A于N，以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边△ODB′和等边△OB′A′，则AB∥A′B′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”，点A′与M重合时，AA′的值最小，当点B与N重合时，AA′的长最大，如图3中，过点A′作A′H⊥OA于H．解直角三角形求出AA′即可．【解析】（1）如图，平移线段AB 得到⊙O 的长度为1的弦P 1P 2和P 3P 4，则这两条弦的位置关系是P 1P 2∥P 3P 4；在点P 1，P 2，P 3，P 4中，连接点A 与点P 3的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”．故答案为：P 1P 2∥P 3P 4，P 3．（2）如图1中，作等边△OEF ，点E 在x 轴上，OE ＝EF ＝OF ＝1，设直线y =√3x +2√3交x 轴于M ，交y 轴于N ．则M （﹣2，0），N （0，2√3），过点E 作EH ⊥MN 于H ， ∵OM ＝2，ON ＝2√3， ∴tan ∠NMO =√3， ∴∠NMO ＝60°， ∴EH ＝EM •sin60°=√32，观察图象可知，线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 1的最小值为√32．（3）如图2中，以A 为圆心1为半径作⊙A ，作直线OA 交⊙O 于M ，交⊙A 于N ，以OA ，AB 为邻边构造平行四边形ABDO ，以OD 为边构造等边△ODB ′，等边△OB ′A ′，则AB ∥A ′B ′，AA ′的长即为线段AB 到⊙O 的“平移距离”，当点A ′与M 重合时，AA ′的值最小，最小值＝OA ﹣OM =52−1=32，当点B 与N 重合时，AA ′的长最大，如图3中，过点A ′作A ′H ⊥OA 于H ．由题意A ′H =√32，AH =12+52=3， ∴AA ′的最大值=(√32)2+32=√392，∴32≤d 2≤√392．23．（2020•怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）下面四边形是垂等四边形的是 ④ ；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，过点D 作BD 垂线交BC 的延长线于点E ，且∠DBC ＝45°，证明：四边形ABCD 是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD 内接于⊙O 中，∠BCD ＝60°．求⊙O 的半径．【分析】（1）根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可；（2）根据已知条件可证明四边形ACED 是平行四边形，即可得到AC ＝DE ，再根据等腰直角三角形的性质即可得到结果；（3）过点O 作OE ⊥BD ，根据面积公式可求得BD 的长，根据垂径定理和锐角三角函数即可得到⊙O 的半径．【解析】（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形； ②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形； ③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形； ④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；故选：④；（2）∵AC ⊥BD ，ED ⊥BD ， ∴AC ∥DE ，又∵AD ∥BC ，∴四边形ADEC 是平行四边形， ∴AC ＝DE ，又∵∠DBC ＝45°，∴△BDE 是等腰直角三角形， ∴BD ＝DE ， ∴BD ＝AC ，又∵BD ⊥AC ，∴四边形ABCD 是垂等四边形；（3）如图，过点O 作OE ⊥BD ，∵四边形ABCD 是垂等四边形， ∴AC ＝BD ，又∵垂等四边形的面积是24， ∴12AC •BD ＝24，解得，AC＝BD＝4√3，又∵∠BCD＝60°，∴∠DOE＝60°，设半径为r，根据垂径定理可得：在△ODE中，OD＝r，DE=2√3，∴r=DEsin60°=2√3√32=4，∴⊙O的半径为4．24．（2020•常州）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点D（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为20；②若直线n的函数表达式为y=√3x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，√2为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4√5，求直线l的函数表达式．【分析】（1）①根据远点，特征数的定义判断即可．②如图1﹣1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．解直角三角形求出PH，PQ的长即可解决问题．（2）如图2﹣1中，设直线l的解析式为y＝kx+b．分两种情形k＞0或k＜0，分别求解即可解决问题．【解析】（1）①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数＝DB•DE＝2×5＝20，故答案为D，20．②如图1﹣1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．设直线y=√3x+4交x轴于F（−4√33，0），交y轴于E（0，4），∴OE＝4，OF=4√3 3∴tan∠FEO=OFOE=√33，∴∠FEO＝30°，∴OH=12OE＝2，∴PH＝OH+OP＝3，∴⊙O关于直线n的“特征数”＝PQ•PH＝2×3＝6．（2）如图2﹣1中，设直线l的解析式为y＝kx+b．当k ＞0时，过点F 作FH ⊥直线l 于H ，交⊙F 于E ，N ．由题意，EN ＝2√2，EN •NH ＝4√5， ∴NH =√10，∵N （﹣1，0），M （1，4）， ∴MN =√22+42=2√5，∴HM =√MN 2−NH 2=√20−10=√10， ∴△MNH 是等腰直角三角形， ∵MN 的中点K （0，2）， ∴KN ＝HK ＝KM =√5， ∴H （﹣2，3），把H （﹣2，3），M （1，4）代入y ＝kx +b ，则有{k +b =4−2k +b =3，解得{k =13b =113， ∴直线l 的解析式为y =13x +113，当k ＜0时，同法可知直线i 经过H ′（2，1），可得直线l 的解析式为y ＝﹣3x +7．综上所述，满足条件的直线l 的解析式为y =13x +113或y ＝﹣3x +7．25．（2020•连云港）（1）如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作EF ∥BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若BE ＝2，PF ＝6，△AEP 的面积为S 1，△CFP 的面积为S 2，则S 1+S 2＝ 12 ；（2）如图2，点P 为▱ABCD 内一点（点P 不在BD 上），点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设四边形AEPH 的面积为S 1，四边形PFCG 的面积为S 2（其中S 2＞S 1），求△PBD 的面积（用含S 1、S 2的代数式表示）；（3）如图3，点P 为▱ABCD 内一点（点P 不在BD 上），过点P 作EF ∥AD ，HG ∥AB ，与各边分别相交于点E 、F 、G 、H ．设四边形AEPH 的面积为S 1，四边形PGCF 的面积为S 2（其中S 2＞S 1），求△PBD 的面积（用含S 1、S 2的代数式表示）；（4）如图4，点A 、B 、C 、D 把⊙O 四等分．请你在圆内选一点P （点P 不在AC 、BD 上），设PB 、PC 、BĈ围成的封闭图形的面积为S 1，P A 、PD 、AD ̂围成的封闭图形的面积为S 2，△PBD 的面积为S 3，△P AC 的面积为S 4，根据你选的点P 的位置，直接写出一个含有S 1、S 2、S 3、S 4的等式（写出一种情况即可）．【分析】（1）如图1中，求出△PFC 的面积，证明△APE 的面积＝△PFC 的面积即可．（2）如图2中，连接P A ，PC ，在△APB 中，因为点E 是AB 的中点，可设S △APE ＝S △PBE ＝a ，同理，S△APH＝S △PDH ＝b ，S △PDG ＝S △PGC ＝c ，S △PFC ＝S △PBF ＝d ，证明S 四边形AEPH +S 四边形PFCG ＝S 四边形PEBF +S 四边形PHDG＝S 1+S 2，推出S △ABD =12S 平行四边形ABCD ＝S 1+S 2，根据S △PBD ＝S △ABD ﹣（S 1+S △PBE +S △PHD ）＝S 1+S 2﹣（S 1+a +S 1﹣a ）＝S 2﹣S 1．可得结论．（3）如图3中，由题意四边形EBGP ，四边形HPFD 都是平行四边形，利用平行四边形的性质求解即可．（4）分四种情形：如图4﹣1中，结论：S 2﹣S 1＝S 3+S 4．设线段PB ，线段P A ，弧AB 围成的封闭图形的面积为x ，线段PC ，线段PD ，弧CD 的封闭图形的面积为y ．由题意：S 1+x +S 4＝S 1+y +S 3，推出x ﹣y ＝S 3﹣S 4，由题意S 1+S 2+x +y ＝2（S 1+x +S 4），可得S 2﹣S 1＝x ﹣y +2S 4＝S 3+S 4．其余情形同法可求．【解析】（1）如图1中，过点P 作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ． ∵四边形ABCD 是矩形，EF ∥BC ，∴四边形AEPM ，四边形MPFD ，四边形BNPE ，四边形PNCF 都是矩形，∴BE ＝PN ＝CF ＝2，S △PFC =12×PF ×CF ＝6，S △AEP ＝S △APM ，S △PEB ＝S △PBN ，S △PDM ＝S △PFD ，S △PCN ＝S△PCF，S△ABD＝S△BCD，∴S矩形AEPM＝S矩形PNCF，∴S1＝S2＝6，∴S1+S2＝12，故答案为12．（2）如图2中，连接P A，PC，在△APB中，∵点E是AB的中点，∴可设S△APE＝S△PBE＝a，同理，S△APH＝S△PDH＝b，S△PDG＝S△PGC＝c，S△PFC＝S△PBF＝d，∴S四边形AEPH+S四边形PFCG＝a+b+c+d，S四边形PEBF+S四边形PHDG＝a+b+c+d，∴S四边形AEPH+S四边形PFCG＝S四边形PEBF+S四边形PHDG＝S1+S2，∴S△ABD=12S平行四边形ABCD＝S1+S2，∴S△PBD＝S△ABD﹣（S1+S△PBE+S△PHD）＝S1+S2﹣（S1+a+S1﹣a）＝S2﹣S1．（3）如图3中，由题意四边形EBGP，四边形HPFD都是平行四边形，∴S四边形EBGP＝2S△EBP，S四边形HPFD＝2S△HPD，∴S△ABD=12S平行四边形ABCD=12（S1+S2+2S△EBP+2S△HPD）=12（S1+S2）+S△EBP+S△HPD，∴S△PBD＝S△ABD﹣（S1+S△EBP+S△HPD）=12（S2﹣S1）．（4）如图4﹣1中，结论：S2﹣S1＝S3+S4．理由：设线段PB，线段P A，弧AB围成的封闭图形的面积为x，线段PC，线段PD，弧CD的封闭图形的面积为y．由题意：S1+x+S4＝S1+y+S3，∴x﹣y＝S3﹣S4，∵S 1+S 2+x +y ＝2（S 1+x +S 4）， ∴S 2﹣S 1＝x ﹣y +2S 4＝S 3+S 4．同法可证：图4﹣2中，有结论：S 1﹣S2=S 3+S 4．图4﹣3中和图4﹣4中，有结论：|S 1﹣S 2|＝|S 3﹣S 4|．26．（2020•南京）如图，在△ABC 和△A 'B 'C '中，D 、D '分别是AB 、A 'B '上一点，AD AB=A′D′A′B′．（1）当CD C′D′=AC A′C′=AB A′B′时，求证△ABC ∽△A 'B 'C ．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当CD C′D′=AC A′C′=BC B′C′时，判断△ABC 与△A 'B 'C ′是否相似，并说明理由．【分析】（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．（2）过点D ，D ′分别作DE ∥BC ，D ′E ′∥B ′C ′，DE 交AC 于E ，D ′E ′交A ′C ′于E ′．首先证明△CED ∽△C ′E ′D ′，推出∠CED ＝∠C ′E ′D ′，再证明∠ACB ＝∠A ′C ′B ′即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AD AB=A′D′A′B′，∴AD A′D′=AB A′B′，。

中考数学专题31新定义与阅读理解创新型问题(全国通用解析版)

新定义与阅读理解创新型问题一．选择题（共3小题）1．（2022•娄底）若10x＝N.则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100.则2＝lg100.100＝1.则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0.N＞0时.lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15.则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（）A．5B．2C．1D．0【分析】首先根据定义运算提取公因式.然后利用定义运算计算即可求解．【解析】原式＝lg5（lg5+lg2）+lg2＝lg5×lg（5×2）+lg2＝lg5lg10+lg2＝lg5+lg2＝lg10＝1．故选：C．2．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号.加括号后仍只有减法运算.然后按给出的运算顺序重新运算.称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z ﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n.x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n.…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”.使其运算结果与原多项式相等.②不存在任何“加算操作”.使其运算结果与原多项式之和为0.③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据“加算操作”的定义可知.当只给x﹣y加括号时.和原式相等.因为不改变x.y的运算符号.故不存在任何“加算操作”.使其运算结果与原多项式之和为0在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中.可通过加括号改变z.m.n的符号.因为z.m.n中只有加减两种运算.求出即可．【解析】①（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n.与原式相等.故①正确.②∵在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中.可通过加括号改变z.m.n的符号.无法改变x.y的符号.故不存在任何“加算操作”.使其运算结果与原多项式之和为0.故②正确.③在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中.可通过加括号改变z.m.n的符号.加括号后只有加减两种运算.∴2×2×2＝8种.所有可能的加括号的方法最多能得到8种不同的结果．故选：D．3．（2022•常德）我们发现：＝3.＝3.＝3.….＝3.一般地.对于正整数a.b.如果满足＝a时.称（a.b）为一组完美方根数对．如上面（3.6）是一组完美方根数对.则下面4个结论：①（4.12）是完美方根数对.②（9.91）是完美方根数对.③若（a.380）是完美方根数对.则a＝20.④若（x.y）是完美方根数对.则点P（x.y）在抛物线y＝x2﹣x上.其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】将（4.12）.（9.91）代入验证即可判断①②.将（a.380）代入公式.建立方程可得出结论.若（x.y）是完美方根数对.则满足给出公式.化简可得出结论．【解析】将（4.12）代入＝4.＝4.＝4.….∴（4.12）是完美方根数对.故①正确.将（9.91）代入＝10≠9.＝.∴（9.91）不是完美方根数对.故②错误.③∵（a.380）是完美方根数对.∴将（a.380）代入公式.＝a.＝a.解得a＝20或a＝﹣19（舍去）.故③正确.④若（x.y）是完美方根数对.则＝x.＝x.整理得y＝x2﹣x.∴点P（x.y）在抛物线y＝x2﹣x上.故④正确.故选：C．二．填空题（共1小题）4．（2022•内江）对于非零实数a.b.规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1.则x 的值为．【分析】利用新规定对计算的式子变形.解分式方程即可求得结论．【解析】由题意得：＝1.解得：x＝．经检验.x＝是原方程的根.∴x＝．故答案为：．三．解答题（共23小题）5．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y ＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标.（2）若a＞0.过x轴上一点P.作x轴的垂线分别交抛物线C1.C2于点M.N．①当MN＝6a时.求点P的坐标.②当a﹣4≤x≤a﹣2时.C2的最大值与最小值的差为2a.求a的值．【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出C2的解析式.再将该解析式化成顶点式.可得出C2的顶点坐标.（2）①设点P的横坐标为m.则可表达点M和点N的坐标.根据两点间距离公式可表达MN的长.列出方程.可求出点P的坐标.②分情况讨论.当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时.当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时.当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时.分别得出C2的最大值和最小值.进而列出方程.可求出a的值．【解析】（1）根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为：y＝ax2+4ax+4a ﹣3.∵y＝ax2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2﹣3.∴C2的顶点坐标为（﹣2.﹣3）.（2）①设点P的横坐标为m.∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1.C2于点M.N.∴M（m.4am2+am+4a﹣3）.N（m.am2+4am+4a﹣3）.∴MN＝|4am2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2﹣3am|.∵MN＝6a.∴|3am2﹣3am|＝6a.解得m＝﹣1或m＝2.∴P（﹣1.0）或（2.0）．②∵C2的解析式为：y＝a（x+2）2﹣3.∴当x＝﹣2时.y＝﹣3.当x＝a﹣4时.y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3.当x＝a﹣2时.y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3.根据题意可知.需要分三种情况讨论.Ⅰ、当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时.0＜a≤2.且当0＜a≤1时.函数的最大值为a（a﹣2）2﹣3.函数的最小值为﹣3.∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a.解得a＝2﹣或a＝2+（舍）.当1≤a≤2时.函数的最大值为a3﹣3.函数的最小值为﹣3.∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a.解得a＝或a＝﹣（舍）.Ⅱ、当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时.a≥2.函数的最大值为a3﹣3.函数的最小值为a（a﹣2）2﹣3.∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a.解得a＝（舍）.Ⅲ、当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时.a≤0.不符合题意.舍去.综上.a的值为2﹣或．6．（2022•长沙）若关于x的函数y.当t﹣≤x≤t+时.函数y的最大值为M.最小值为N.令函数h＝.我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．（1）①若函数y＝4044x.当t＝1时.求函数y的“共同体函数”h的值.②若函数y＝kx+b（k≠0.k.b为常数）.求函数y的“共同体函数”h的解析式.（2）若函数y＝（x≥1）.求函数y的“共同体函数”h的最大值.（3）若函数y＝﹣x2+4x+k.是否存在实数k.使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在.求出k的值.若不存在.请说明理由．【分析】（1）①由题意求出M＝6066.N＝2022.再由定义可求h的值.②分两种情况讨论：②当k＞0时.M＝kt+k+b.N＝kt﹣k+b.h＝k.当k＜0时.M＝kt﹣k+b.有N＝kt+k+b.h＝﹣k.（2）由题意t﹣≥1.M＝.N＝.则h＝.所以h有最大值.（3）分四种情况讨论：①当2≤t﹣时.M＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k.N＝﹣（t+﹣2）2+4+k.h＝t﹣2.②当t+≤2时.N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k.M＝﹣（t+﹣2）2+4+k.h＝2﹣t..③当t﹣≤2≤t.即2≤t≤.N＝﹣（t+﹣2）2+4+k.M＝4+k.h ＝（t﹣）2.④当t＜2≤t+.N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k.M＝4+k.h＝（t﹣）2.画出h的函数图象.结合图象可得＝4+k.解得k＝﹣．【解析】（1）①∵t＝1.∴≤x≤.∵函数y＝4044x.∴函数的最大值M＝6066.函数的最小值N＝2022.∴h＝2022.②当k＞0时.函数y＝kx+b在t﹣≤x≤t+有最大值M＝kt+k+b.有最小值N ＝kt﹣k+b.∴h＝k.当k＜0时.函数y＝kx+b在t﹣≤x≤t+有最大值M＝kt﹣k+b.有最小值N ＝kt+k+b.∴h＝﹣k.综上所述：h＝|k|.（2）t﹣≥1.即t≥.函数y＝（x≥1）最大值M＝.最小值N＝.∴h＝.当t＝时.h有最大值.（3）存在实数k.使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值.理由如下：∵y＝﹣x2+4x+k＝﹣（x﹣2）2+4+k.∴函数的对称轴为直线x＝2.y的最大值为4+k.①当2≤t﹣时.即t≥.此时M＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k.N＝﹣（t+﹣2）2+4+k.∴h＝t﹣2.此时h的最小值为.②当t+≤2时.即t≤.此时N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k.M＝﹣（t+﹣2）2+4+k.∴h＝2﹣t.此时h的最小值为.③当t﹣≤2≤t.即2≤t≤.此时N＝﹣（t+﹣2）2+4+k.M＝4+k.∴h＝（t﹣）2.④当t＜2≤t+.即≤t＜2.此时N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k.M＝4+k.∴h＝（t﹣）2.h的函数图象如图所示：h的最小值为.由题意可得＝4+k.解得k＝﹣.综上所述：k的值为﹣．7．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N.若N能被它的各数位上的数字之和m整除.则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19.∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4.∴214不是“和倍数”．（1）判断357.441是否是“和倍数”？说明理由.（2）三位数A是12的“和倍数”.a.b.c分别是数A其中一个数位上的数字.且a＞b＞c．在a.b.c中任选两个组成两位数.其中最大的两位数记为F（A）.最小的两位数记为G（A）.若为整数.求出满足条件的所有数A．【分析】（1）根据“和倍数”的定义依次判断即可.（2）设A＝（a+b+c＝12.a＞b＞c）.根据“和倍数”的定义表示F（A）和G（A）.代入中.根据为整数可解答．【解析】（1）∵357÷（3+5+7）＝357÷15＝23……12.∴357不是“和倍数”.∵441÷（4+4+1）＝441÷9＝49.∴441是9的“和倍数”.（2）设A＝（a+b+c＝12.a＞b＞c）.由题意得：F（A）＝.G（A）＝.∴＝＝＝.∵a+c＝12﹣b.为整数.∴＝＝＝＝7+（1﹣b）.∵1＜b＜9.∴b＝3.5.7.∴a+c＝9.7.5.①当b＝3.a+c＝9时.（舍）..则A＝732或372.②当b＝5.a+c＝7时..则A＝156或516.③当b＝7.a+c＝5时.此种情况没有符合的值.综上.满足条件的所有数A为：732或372或156或516．8．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素.展现了我国古代数学的文化魅力.其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统.有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021.表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是2022.（2）小华设计了一个n进制数143.换算成十进制数是120.求n的值．（1）根据已知.从个位数字起.将八进制的每一位数分别乘以80.81.82.83.【分析】再把所得结果相加即可得解.（2）根据n进制数和十进制数的计算方法得到关于n的方程.解方程即可求解．【解析】（1）3746＝3×83+7×82+4×81+6×80＝1536+448+32+6＝2022．故八进制数字3746换算成十进制是2022．故答案为：2022.（2）依题意有：n2+4×n1+3×n0＝120.解得n1＝9.n2＝﹣13（舍去）．故n的值是9．9．（2022•盐城）【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O为圆心.相邻横线的间距为半径画圆.然后半径依次增加一个间距画同心圆.描出了同心圆与横线的一些交点.如图1所示.他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察.提出猜想：按此步骤继续画圆描点.所描的点都在某二次函数图象上．【分析问题】小明利用已学知识和经验.以圆心O为原点.过点O的横线所在直线为x轴.过点O且垂直于横线的直线为y轴.相邻横线的间距为一个单位长度.建立平面直角坐标系.如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时.其坐标为（﹣3.4）或（3.4）．【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．【深度思考】小明继续思考：设点P（0.m）.m为正整数.以OP为直径画⊙M.是否存在所描的点在⊙M上．若存在.求m的值.若不存在.说明理由．【分析】【分析问题】根据题意可知：该点的纵坐标为4.利用勾股定理.即可求出该点的横坐标.进而可得出点的坐标.【解决问题】设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上.则该点的纵坐标为（n﹣1）.利用勾股定理可得出该点的坐标为（﹣.n﹣1）或（.n ﹣1）.结合点横、纵坐标间的关系.可得出该点在二次函数y＝x2﹣的图象上.进而可证出小明的猜想正确.【深度思考】设该点的坐标为（±.n﹣1）.结合⊙M的圆心坐标.利用勾股定理.即可用含n的代数式表示出m的值.再结合m.n均为正整数.即可得出m.n的值．【解答】【分析问题】解：根据题意.可知：所描的点在半径为5的同心圆上时.其纵坐标y＝5﹣1＝4.∵横坐标x＝±＝±3.∴点的坐标为（﹣3.4）或（3.4）．【解决问题】证明：设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上.则该点的纵坐标为（n﹣1）.∴该点的横坐标为±＝±.∴该点的坐标为（﹣.n﹣1）或（.n﹣1）．∵（±）2＝2n﹣1.n﹣1＝.∴该点在二次函数y＝（x2﹣1）＝x2﹣的图象上.∴小明的猜想正确．【深度思考】解：设该点的坐标为（±.n﹣1）.⊙M的圆心坐标为（0. m）.∴＝m.∴m＝＝＝＝n﹣1+2+．又∵m.n均为正整数.∴n﹣1＝1.∴m＝1+2+1＝4.∴存在所描的点在⊙M上.m的值为4．10．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中.如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数.则称该点为“黎点”．例如（﹣1.1）.（2022.﹣2022）都是“黎点”．（1）求双曲线y＝上的“黎点”.（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”.当a＞1时.求c的取值范围．【分析】（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m.﹣m）.构建方程求解即可.（2）抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”.推出方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解.即ax2﹣6x+c＝0.Δ＝36﹣4ac＝0.可得结论．【解析】（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m.﹣m）.则有﹣m＝.∴m＝±3.经检验.m＝±3的分式方程的解.∴双曲线y＝上的“黎点”为（3.﹣3）或（﹣3.3）.（2）∵抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”.∴方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解.即ax2﹣6x+c＝0.Δ＝36﹣4ac＝0.∴ac＝9.∴a＝.∵a＞1.∴0＜c＜9．11．（2022•兰州）在平面直角坐标系中.P（a.b）是第一象限内一点.给出如下定义：k1＝和k2＝两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．（1）求点P（6.2）的“倾斜系数”k的值.（2）①若点P（a.b）的“倾斜系数”k＝2.请写出a和b的数量关系.并说明理由.②若点P（a.b）的“倾斜系数”k＝2.且a+b＝3.求OP的长.（3）如图.边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动.P（a.b）是正方形ABCD上任意一点.且点P的“倾斜系数”k＜.请直接写出a的取值范围．【分析】（1）根据“倾斜系数”k的定义直接计算即可.（2）①根据“倾斜系数”k的的定义分情况得出结论即可.②根据“倾斜系数”k的的定义求出P点坐标.进而求出OP的值即可.（3）根据k的取值.分情况求出a的取值范围即可．【解析】（1）由题意知.k＝＝3.即点P（6.2）的“倾斜系数”k的值为3.（2）①∵点P（a.b）的“倾斜系数”k＝2.∴＝2或＝2.即a＝2b或b＝2a.∴a和b的数量关系为a＝2b或b＝2a.②由①知.a＝2b或b＝2a∵a+b＝3.∴或.∴OP＝＝.（3）由题意知.当P点与D点重合时.且k＝时.a有最小临界值.如下图：连接OD.延长DA交x轴于E.此时＝.则.解得a＝.当P点与B点重合时.且k＝时.a有最大临界值.如下图：连接OB.延长CB交x轴于F.此时＝.则＝.解得a＝3+.综上所述.若点P的“倾斜系数”k＜.则+1＜a＜3+．12．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中.已知点M（a.b）.N．对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度.再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度.得到点P′.点P′关于点N的对称点为Q.称点Q为点P的“对应点”．（1）如图.点M（1.1）.点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2.0）.点Q 为点P的“对应点”．①在图中画出点Q.②连接PQ.交线段ON于点T.求证：NT＝OM.（2）⊙O的半径为1.M是⊙O上一点.点N在线段OM上.且ON＝t（＜t＜1）.若P为⊙O外一点.点Q为点P的“对应点”.连接PQ．当点M在⊙O上运动时.直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．【分析】（1）①根据定义.先求出P'的坐标.从而得出Q的位置.②连接PP'.利用三角形中位线定理得NT＝PP'.从而证明结论.（2）连接PO.并延长至S.使OP＝OS.延长SQ到T.使ST＝OM.由题意知.PP1∥OM.PP1＝OM.P1N＝NQ.利用三角形中位线定理得QT的长.从而求出SQ的长.在△PQS中.PS﹣QS＜PS+QS.则PS的最小值为PS﹣QS.PS的最大值为PS+QS.从而解决问题．【解析】（1）①由题意知.P'（﹣2+1.0+1）.∴P'（﹣1.1）.如图.点Q即为所求.②连接PP'.∵∠P'PO＝∠MOx＝45°.∴PP'∥ON.∵P'N＝QN.∴PT＝QT.∴NT＝PP'.∵PP'＝OM.∴NT＝OM.（2）如图.连接PO.并延长至S.使OP＝OS.延长SQ到T.使ST＝OM.由题意知.PP1∥OM.PP1＝OM.P1N＝NQ.∴TQ＝2MN.∵MN＝OM﹣ON＝1﹣t.∴TQ＝2﹣2t.∴SQ＝ST﹣TQ＝1﹣（2﹣2t）＝2t﹣1.在△PQS中.PS﹣QS＜PS+QS.∴PS的最小值为PS﹣QS.PS的最大值为PS+QS.∴PQ长的最大值与最小值的差为（PS+QS）﹣（PS﹣QS）＝2QS＝4t﹣2．13．（2022•青岛）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、例如：如图①.在△ABC和△A'B'C'中.AD.A'D'分别是BC和B'C'边上的高线.且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．【性质探究】如图①.用S△ABC.S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积.则S△ABC＝BC•AD.S△A'B'C′＝B′C′•A′D′.∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性质应用】（1）如图②.D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3.DC＝4.则S△ABD：S△ADC＝3：4.（2）如图③.在△ABC中.D.E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2.CD：BC＝1：3.S△ABC＝1.则S△BEC＝.S△CDE＝.（3）如图③.在△ABC中.D.E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m.CD：BC＝1：n.S△ABC＝a.则S△CDE＝．【分析】（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比.直接求出答案.（2）同（1）的方法即可求出答案.（3）同（1）的方法即可求出答案．【解析】（1）∵BD＝3.DC＝4.∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4.故答案为：3：4.（2）∵BE：AB＝1：2.∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2.∵S△ABC＝1.∴S△BEC＝.∵CD：BC＝1：3.∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3.∴S△CDE＝S△BEC＝×＝.故答案为：..（3）∵BE：AB＝1：m.∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m.∵S△ABC＝a.∴S△BEC＝S△ABC＝.∵CD：BC＝1：n.∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n.∴S△CDE＝S△BEC＝•＝.故答案为：．14．（2022•常州）在四边形ABCD中.O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD.则点O叫做该四边形的“等形点”．（1）正方形不存在“等形点”（填“存在”或“不存在”）.（2）如图.在四边形ABCD中.边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝4.OA＝5.BC＝12.连接AC.求AC的长.（3）在四边形EFGH中.EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”.求的值．【分析】（1）根据“等形点”的定义可知△OAB≌△OCD.则∠OAB＝∠C＝90°.而O是边BC上的一点．从而得出正方形不存在“等形点”.（2）作AH⊥BO于H.由△OAB≌△OCD.得AB＝CD＝4.OA＝OC＝5.设OH＝x.则BH＝7﹣x.由勾股定理得.（4）2﹣（7﹣x）2＝52﹣x2.求出x的值.再利用勾股定理求出AC的长即可.（3）根据“等形点”的定义可得△OEF≌△OGH.则∠EOF＝∠HOG.OE＝OG.∠OGH＝∠OEF.再由平行线性质得OE＝OH.从而推出OE＝OH＝OG.从而解决问题．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形.∴∠C＝90°.∵△OAB≌△OCD.∴∠OAB＝∠C＝90°.∵O是边BC上的一点．∴正方形不存在“等形点”.故答案为：不存在.（2）作AH⊥BO于H.∵边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”.∴△OAB≌△OCD.∴AB＝CD＝4.OA＝OC＝5.∵BC＝12.∴BO＝7.设OH＝x.则BH＝7﹣x.由勾股定理得.（4）2﹣（7﹣x）2＝52﹣x2.解得.x＝3.∴OH＝3.∴AH＝4.∴CH＝8.在Rt△CHA中.AC＝＝＝4.（3）如图.∵边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”.∴△OEF≌△OGH.∴∠EOF＝∠HOG.OE＝OG.∠OGH＝∠OEF.∵EH∥FG.∴∠HEO＝∠EOF.∠EHO＝∠HOG.∴∠HEO＝∠EHO.∴OE＝OH.∴OH＝OG.∴OE＝OF.∴＝1．15．（2022•青海）两个顶角相等的等腰三角形.如果具有公共的顶角的顶点.并把它们的底角顶点连接起来.则形成一组全等的三角形.把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）问题发现：如图1.若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形.BC.DE分别是底边．求证：BD＝CE.（2）解决问题：如图 2.若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形.∠ACB＝∠DCE＝90°.点A.D.E在同一条直线上.CM为△DCE中DE边上的高.连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM.AE.BE之间的数量关系并说明理由．【分析】（1）根据△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形.证明△ABD≌△ACE（SAS）.即可得BD＝CE.（2）根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形.可得△ACD≌△BCE（SAS）.即有AD＝BE.∠ADC＝∠BEC.从而可得∠BEC＝∠ADC＝135°.即知∠AEB ＝∠BEC﹣∠CED＝90°.由CD＝CE.CM⊥DE.∠DCE＝90°.可得DM＝ME ＝CM.故AE＝AD+DE＝BE+2CM．【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形.∴AB＝AC.AD＝AE.∠BAC＝∠DAE.∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC.即∠BAD＝∠CAE.∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴BD＝CE.（2）解：∠AEB＝90°.AE＝BE+2CM.理由如下：如图：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形.∴AC＝BC.DC＝EC.∠ACB＝90°＝∠DCE.∴∠ACD＝∠BCE.∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD＝BE.∠ADC＝∠BEC.∵△CDE是等腰直角三角形.∴∠CDE＝∠CED＝45°.∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°.∴∠BEC＝∠ADC＝135°.∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°.∵CD＝CE.CM⊥DE.∴DM＝ME.∵∠DCE＝90°.∴DM＝ME＝CM.∴DE＝2CM.∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．16．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1）.用直尺和圆规作AB上的一点P.使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2.以AB为斜边作等腰直角三角形ABC.再以点A为圆心.AC长为半径作弧.交线段AB于点P.点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP.点D为线段AC上的动点.点E在AB的上方.构造△DPE.使得△DPE∽△CPB．①如图3.当点D运动到点A时.求∠CPE的度数．②如图4.DE分别交CP.CB于点M.N.当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD）.猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明.再利用AC＝AP.即可得出结论.（2）①由题意可得：∠CAB＝∠B＝45°.∠ACB＝90°.AC＝AP＝BC.再求解∠ACP＝∠APC＝67.5°.∠CPB＝112.5°.证明∠DPE＝∠CPB＝112.5°.从而可得答案.②先证明△ADP∽△ACB.可得∠APD＝45°.DP∥CB.再证明MP＝MD＝MC ＝MN.∠EMP＝45°.∠MPE＝90°.从而可得出结论．【解析】（1）赞同.理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形.∴AC＝BC.∠A＝∠B＝45°.∴cos45°＝.∵AC＝AP.∴.∴点P为线段AB的“趣点”．（2）①由题意得：∠CAB＝∠B＝45°.∠ACB＝90°.AC＝AP＝BC.∴＝67.5°.∴∠BCP＝90°﹣67.5°＝22.5°.∴∠CPB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°.∵△DPE∽△CPB.D.A重合.∴∠DPE＝∠CPB＝112.5°.∴∠CPE＝∠DPE+∠CPB﹣180°＝45°.②点N是线段ME的趣点.理由如下：当点D为线段AC的趣点时（CD＜AD）.∴.∵AC＝AP.∴.∵.∠A＝∠A.∴△ADP∽△ACB.∴∠ADP＝∠ACB＝90°.∴∠APD＝45°.DP∥CB.∴∠DPC＝∠PCB＝22.5°＝∠PDE.∴DM＝PM.∴∠MDC＝∠MCD＝90°﹣22.5°＝67.5°.∴MD＝MC.同理可得MC＝MN.∴MP＝MD＝MC＝MN.∵∠MDP＝∠MPD＝22.5°.∠E＝∠B＝45°.∴∠EMP＝45°.∠MPE＝90°.∴＝.∴点N是线段ME的“趣点”．17．（2022•兰州）如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AC＝3cm.BC＝4cm.M为AB 边上一动点.BN⊥CM.垂足为N．设A.M两点间的距离为xcm（0≤x≤5）.B.N 两点间的距离为ycm（当点M和B点重合时.B.N两点间的距离为0）．小明根据学习函数的经验.对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程.请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是根据A.M两点间的距离x进行取点、画图、测量.分别得到了y与x的几组对应值：x/cm00.51 1.5 1.82 2.53 3.54 4.55 y/cm4 3.96 3.79 3.47a 2.99 2.40 1.79 1.230.740.330请你通过计算.补全表格：a＝ 3.2.（2）描点、连线：在平面直角坐标系中.描出表中各组数值所对应的点（x.y）.并画出函数y关于x的图象.（3）探究性质：随着自变量x的不断增大.函数y的变化趋势：y随x的增大而减小.（4）解决问题：当BN＝2AM时.AM的长度大约是 1.67cm．（结果保留两位小数）【分析】（1）先求出AB边上的高.进而求出AM'.判断出点M与M'重合.即可得出答案.（2）先描点.再连线.即可画出图象.（3）根据图象直接得出结论.（4）利用表格和图象估算出AM的长度．【解析】（1）如图.在Rt△ABC中.AC＝3.BC＝4.根据勾股定理得.AC＝5.过点C作CM'⊥AB于M.∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CM'.∴CM'＝.在Rt△ACM'中.根据勾股定理得.AM'＝＝1.8.当x＝1.8时.点M与点M'重合.∴CM⊥AB.∵BN⊥CM.∴点M.N重合.∴a＝BN＝BM＝AB﹣AM＝3.2.故答案为：3.2.（2）如图所示.（3）由图象知.y随x的增大而减小.故答案为：y随x的增大而减小.（3）借助表格和图象得.当BN＝2AM时.AM的长度大约是1.67cm.故答案为：1.67．18．（2022•深圳）二次函数y＝2x2.先向上平移6个单位.再向右平移3个单位.用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．y＝2x2y＝2（x﹣3）2+6（0.0）（3.m）（1.2）（4.8）（2.8）（5.14）（﹣1.2）（2.8）（﹣2.8）（1.14）（1）m的值为6.（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标.（3）点P（x1.y1）.Q（x2.y2）在新的函数图象上.且P.Q两点均在对称轴同一侧.若y1＞y2.则x1＜或＞x2．（填不等号）【分析】（1）根据平移的性质分析对应点的坐标.（2）利用描点法画函数图象.联立方程组求得两函数的交点坐标.（3）结合二次函数图象的性质分析求解．【解析】（1）将（0.0）先向上平移6个单位.再向右平移3个单位后对应点的坐标为（3.6）.∴m＝6.故答案为：6.（2）平移后的函数图象如图：联立方程组.解得.∴y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标为（.）.（﹣.）.（3）∵点P（x1.y1）.Q（x2.y2）在新的函数图象上.且P.Q两点均在对称轴同一侧.当P.Q两点同在对称轴左侧时.若y1＞y2.则x1＜x2.当P.Q两点同在对称轴右侧时.若y1＞y2.则x1＞x2.故答案为：＜或＞．19．（2022•潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展.小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据.分别在直角坐标系中描出表示2017﹣2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度.横轴表示年度.纵轴表示年产量）.如图．小亮认为.可以从y＝kx+b（k＞0）.y＝（m＞0）.y＝﹣0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型.模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．（1）小莹认为不能选y＝（m＞0）．你认同吗？请说明理由.（2）请从小亮提供的函数模型中.选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势.并求出函数表达式.（3）根据（2）中你选择的函数模型.请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？【分析】（1）由当m＞0时.y＝的性质可得答案.（2）观察①号田和②号田的年产量变化趋势可知.①号田为y＝kx+b（k＞0）.②号田为y＝﹣0.1x2+ax+c.用待定系数法可得模拟①号田的函数表达式为y＝0.5x+1.模拟①号田的函数表达式为y＝﹣0.1x2+x+1.（3）设①号田和②号田总年产量为w吨.w＝0.5x+1+（﹣0.1x2+x+1）＝﹣0.1x2+1.5x+2＝﹣0.1（x﹣7.5）2+7.625.根据二次函数性质可得答案．【解析】（1）认同.理由是：当m＞0时.y＝中.y随x的增大而减小.而从图中描点可知.x增大y随之增大.故不能选y＝（m＞0）.（2）观察①号田和②号田的年产量变化趋势可知.①号田为y＝kx+b（k＞0）.②号田为y＝﹣0.1x2+ax+c.把（1.1.5）.（2.2.0）代入y＝kx+b得：.解得.∴y＝0.5x+1.把（1.1.9）.（2.2.6）代入y＝﹣0.1x2+ax+c得：.解得.∴y＝﹣0.1x2+x+1.答：模拟①号田的函数表达式为y＝0.5x+1.模拟②号田的函数表达式为y＝﹣0.1x2+x+1.（3）设①号田和②号田总年产量为w吨.由（2）知.w＝0.5x+1+（﹣0.1x2+x+1）＝﹣0.1x2+1.5x+2＝﹣0.1（x﹣7.5）2+7.625.∵﹣0.1＜0.抛物线对称轴为直线x＝7.5.而x为整数.∴当x＝7或8时.w取最大值.最大值为7.6.答：①号田和②号田总年产量在2023年或2024年最大.最大是7.6吨．20．（2022•潍坊）为落实“双减”.老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点（﹣1.﹣1）.且不经过第一象限.写出满足这些条件的一个函数表达式．【观察发现】请完成作业.并在直角坐标系中画出大致图象．【思考交流】小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同.请举例说明．【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多.老师不方便批阅.于是探究了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数a.b.c的关系.得出了提高老师作业批阅效率的方法．请你探究这个方法.写出探究过程．【分析】由题意写出一个符合条件的函数解析式即可.【观察发现】画出一个符合条件的函数图象即可.【思考交流】由题意可知抛物线的对称轴可以在y轴的左侧.也可以在y轴的右侧.或者是y轴.抛物线的图象一定在x轴的下方.【概括表达】设经过点（﹣1.﹣1）的函数解析式为y＝a（x+1）2+m（x+1）﹣1.则b＝2a+m.c＝a+m﹣1.由a＜0.c≤0.a﹣b+c＝﹣1.可得b＜1．【解析】y＝﹣x2（答案不为唯一）.【观察发现】如图：【思考交流】∵抛物线的对称轴为x＝﹣.a＜0.∴抛物线的对称轴可以在y轴的左侧.也可以在y轴的右侧.或者是y轴.例如：y＝﹣x2.∴小亮的说法不正确.∵抛物线不经过第一象限.∴抛物线的图象一定在x轴的下方.∴小莹的说法不正确.【概括表达】设经过点（﹣1.﹣1）的函数解析式为y＝a（x+1）2+m（x+1）﹣1.∴y＝ax2+（2a+m）x+a+m﹣1.∵y＝ax2+bx+c.∴b＝2a+m.c＝a+m﹣1.∵二次函数的图象不经过第一象限.∴a＜0.c≤0.∵经过点（﹣1.﹣1）.∴a﹣b+c＝﹣1.∴a+m﹣1≤0.∴a+m≤1.∴b＝2a+m＝a+a+m≤a+1.∴b＜1.综上所述：a＜0.b＜1.c≤0且a﹣b+c＝﹣1．21．（2022•临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂）.小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm）.确定支点O.并用细麻绳固定.在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩.作为秤钩.第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．（1）图1中.把重物挂在秤钩上.秤砣挂在支点O右侧的B处.秤杆平衡.就能称得重物的质量．当重物的质量变化时.OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg.OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式.若0＜y＜48.求x的取值范围．（2）调换秤砣与重物的位置.把秤砣挂在秤钩上.重物挂在支点O右侧的B处.使秤杆平衡.如图2．设重物的质量为xkg.OB的长为ycm.写出y关于x的函数解析式.完成下表.画出该函数的图象．x/kg……0.250.5124……y/cm……421……【分析】（1）根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂解答即可.（2）根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂求出解析式.然后根据列表、描点、连线的步骤解答．【解析】（1）∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂.∴重物×OA＝秤砣×OB.∵OA＝2cm.重物的质量为xkg.OB的长为ycm.秤砣为0.5kg.∴2x＝0.5y.∴y＝4x.∵4＞0.∴y随x的增大而增大.∵当y＝0时.x＝0.当y＝48时.x＝12.∴0＜x＜12.（2）∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂.∴秤砣×OA＝重物×OB.∵OA＝2cm.重物的质量为xkg.OB的长为ycm.秤砣为0.5kg.∴2×0.5＝xy.∴y＝.当x＝0.25时.y＝＝4.当x＝0.5时.y＝＝2.当x＝1时.y＝1.当x＝2时.y＝.当x＝4时.y＝.故答案为：4.2.1...作函数图象如图：22．（2022•赤峰）阅读下列材料定义运算：min|a.b|.当a≥b时.min|a.b|＝b.当a＜b时.min|a.b|＝a．例如：min|﹣1.3|＝﹣1.min|﹣1.﹣2|＝﹣2．完成下列任务（1）①min|（﹣3）0.2|＝1.②min|﹣.﹣4|＝﹣4．（2）如图.已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝﹣2x+b的图象交于A、B两点．当﹣2＜x＜0时.min|.﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2.求这两个函数的解析式．【分析】（1）根据定义运算的法则解答即可.（2）根据反比例函数和一次函数图象的性质解答即可．【解析】（1）由题意可知：①min|（﹣3）0.2|＝1.②min|﹣.﹣4|＝﹣4.故答案为：1.﹣4．（2）当﹣2＜x＜0时.min|.﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2＝﹣2x﹣3.∵一次函数y2＝﹣2x+b.∴b＝﹣3.∴y2＝﹣2x﹣3.当x＝﹣2时.y＝1.∴A（﹣2.1）将A点代入y1＝中.得k＝﹣2.∴y1＝﹣．23．（2022•赤峰）【生活情境】为美化校园环境.某学校根据地形情况.要对景观带中一个长AD＝4m.宽AB＝1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图①.改造后的水池ABNM仍为长方形.以下简称水池1）．同时.再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②.以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0）.加长后水池1的总面积为y1（m2）.则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）.设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6）.面积为y2（m2）.则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6）.上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．【问题解决】（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小.则EF长度的取值范围是3≤x＜6（可省略单位）.水池2面积的最大值是9m2.（2）在图③字母标注的点中.表示两个水池面积相等的点是C.E.此时的x （m）值是1或4.（3）当水池1的面积大于水池2的面积时.x（m）的取值范围是0＜x＜1或4＜x＜6.（4）在1＜x＜4范围内.求两个水池面积差的最大值和此时x的值.（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m）.其他条件不变（这个加长改。

2024届九年级中考数学第三轮热点题型阅读理解及新定义专项练习(附解析)

2024届九年级中考数学第三轮热点题型阅读理解及新定义专项练习热点解读中考数学中阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频 “亮相”，应引起我们特别地重视，这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力，属于新颖数学题。

如果对这类题型了解不清楚的情况下，很多同学直接就选择了放弃，其实其难度并不是特别大部分，分值拿到手还是非常轻松的。

解题思路解决这类问题的关键是要认真仔细地阅读所给的材料，边读边勾画出重要的信息，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题。

所以这类题型并不是像其他题型一样定点考察个别明确的知识点，而是通过材料的阅读。

分析匹配到相对应的基础知识内容，结合题目当中所给的方法来进行解题。

在历年的考题当中，以下的三大类阅读型的题型值得大家在复习当中明确其考查的方式和方法，对于大家对阅读型理解题型的了解迈出重要的一步。

首先，阅读试题所提供的新定义，新定理，解决新问题。

这类题型的解决方法以及做题的规律都从题目当中进行寻找，题目已经给出，只要结合题目中的方法进行简单的推理，那么就可以得到我们解决问题的方法，其中计算的方式是大家比较困难的，所以题目中所给的例子一定要研读清楚，搞清楚其变化的规律，就能掌握其解题的技巧。

针对练习1、（2024·陕西西安·二模）完成下列各题(1)【问题提出】如图1，为的一条弦，点C 在弦所对的优弧上，根据圆周角性质，我AB O AB 们知道的度数______（填“变”或“不变”）；若，则______度．即：若ACB ∠100AOB ∠=︒ACB =∠∵60BE AD A ⊥∠=︒，，∴，315sin 5322BE AB A =⨯=⨯=设经过圆心O 时的线段为，则PC 11PC 1PC∵90BAD BCD ∠=∠=︒∴45CBD CDB ∠=∠=︒∴180BAD BCD ∠+∠=∴四点共圆，A B C D ，，，∴45BAC CDB ∠=∠=︒∴2MON MAN ∠=∠=则ADC PBC ≌，∴90CP CA ACP =∠=，，．∵180BAD BCD ∠+∠=∴180D ABC ∠+∠=︒，∴180ABC CBP ∠+∠=∴三点共线，A B P ，，∴为等腰直角三角形，ACP △，2290,2EAG EG AE ∴∠=︒=∵，2222AE BE DE =+222,EG BE DE ∴=+∴，222EG DG DE =+90,EDG ∴∠=︒∴，180EAG EDG ∠+∠=︒，180AED AGD ∴∠+∠=︒∴，180AED AEB ∠+∠=︒点在对角线上．∴E BD 3、（2024九年级·全国·竞赛）如图，点为等腰直角斜边的中点，与分别相O ABC BC O AB AC 、切于点，交于点的延长线交的延长线于点，已知．D E 、OC F DF ，AC G 8cm AB =(1)求的长；DE (2)求证：；CFG CGF ∠=∠(3)求由和所围成的图形（阴影部分）的面积．D G 、E G DE 【正确答案】(1)2πcm(2)见解析点分别为与的切点，D E 、O AB AC 、，且OD AB OE AC ∴⊥⊥，OD OE =为等腰直角的斜边，BC ABC ，，90A ∴∠=︒45B ∠=︒则1142422DEG S EG OE =⨯⨯=⨯⨯ ()2290π44πcm 360DOE S S ︒=⨯⨯=︒扇形，阴影部分的面积为DEG DOE S S +- 扇形设，则dm EF y =MF =(1)观察猜想如图①，四边形是对补四边形，且对角线平分ABCD BD 关系是________．(2)深入探究如图②，在直角三角形中，，ACB 90ACB ∠=︒60cm AB =于点D ，E 为边上的一点，连接，作与交于点AC DE DF DE ⊥BC【分析】（1）过点作，，通过证明即可求解；D DE AB ⊥DF BC ⊥()AAS DCF DAE ≌（2）①过点D 作于点G ，于点H ，利用全等三角形的判定与性质，求解即可；DG AC ⊥DH BC ⊥②过点D 作，交于点G ，通过证明求解即可；DG AB ⊥BC ()ASA ADE GDF △≌△（3）利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：，理由如下：AD CD =过点作，，如下图：D DE AB ⊥DF BC ⊥则，90DEA DFC ∠=∠=︒由题意可得：，180A BCD ∠+∠=︒180DCF BCD ∠+∠=︒∴，DCF A ∠=∠又∵平分BD ABC∠∴DF DE=∴()AAS DCF DAE ≌∴DA DC=（2）解：①如图②，过点D 作于点G ，于点H ．DG AC ⊥DH BC ⊥又平分，∴．CD ACB ∠DG DH =又∵90ACB ∠=︒∴四边形为矩形，DGCH 又∵CD 平分，，ACB ∠DG AC ⊥DH BC⊥∴DG DH=∴矩形是正方形．DGCH ∵，90ACB EDF ∠=∠=︒∴，．180DEC DFC ∠+∠=︒DEC DEA ∠+∠=180︒∴．DEA DFC ∠=∠又，90DGE DHF ∠=∠=︒∴．DGE DHF ≌∴DGCHCFDE S S =正方形四边形∵，，DG BC ∥:1:3AD AB =∴．:1:3DG BC =设，则，，，，cm DG x =3cm BC x =2cm BH x =cm DH x =40cm BD =在中，，Rt DHB △222DH BH BD +=∴．222(2)40x x +=∴．2320x =∴．2320cm DGCH S =四边形∴．2320cm CFDE S =四边形∴四边形的面积为．CFDE 2320cm ②如图③，过点D 作，交于点G ．DG AB ⊥BC由（1）可知，．DE DF =DEA DFG ∠=∠∵，EDF ∠=90ADG ∠=︒∴．ADE GDF ∠=∠∴．()ASA ADE GDF △≌△【正确答案】图中阴影部分面积的最小值为【分析】设，DM EM a ==BN 有最大值，则图中阴影部分面积有最小值，当CMN S 【详解】解：设与的切点为MN BD∴，AD AE AB ==ADM ∠=∴，Rt Rt ADM AEM ≌△△Rt ∴，，=DM EM BN EN =设，DM EM a ==BN EN =∵，222MC NC MN +=则都是等腰直角三角形，CFM CFN 、△△在正方形中，ABCD AD CD ==∴，424FC =-∴，48322CMN S =-△【正确答案】（1）①；（【分析】（1）求出函数y（2）求出函数y x c =+（1）取，的中点D ，E ，在边上作；AB AC BC MN DE =（2）连接，分别过点D ，N 作，，垂足为G ，H ；EM DG EM ⊥NH EM ⊥（3）将四边形剪下，绕点D 旋转至四边形的位置，将四边形BDGM 180︒ADPQ E 旋转至四边形的位置；180︒AEST （4）延长，交于点F ．PQ ST[任务3]的方法画出示意图如图由【任务2】可得PQ BC ∥过点D 作，垂足为DR BC ⊥在中，Rt DCR sin DCB ∠=∴4sin 95DR CD DCB =⋅∠=⨯(12GEST ABCD S S ==⨯正方形梯形（3）方法迁移：ABCD用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：E小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得2设，则DG x =2AG =-根据折叠，可得GH GD =在中，Rt BEC △EC =∴，52EH =-理由如下，连接，设正方形的边长为GE设，则DG x =4AG x=-根据折叠，可得GH GD =在中，Rt BEC △EC =∴，174EH =-设，则DG x =1AG x=-根据折叠，可得GH GD =在中，Rt BEC △EC EB =∴，211EH m =+-在中，Rt ,Rt AEG GHE(1)若菱形为“可旋四边形”，其面积是，则菱形ABCD 4(2)如图1，四边形为“可旋四边形”，边ABCD AB 的度数；ACB ∠(3)如图2，在四边形中，，与ABCD AC BD =AD 请说明理由．∵四边形为“可旋四边形ABCD ∴，OC OB =∴，OCB OBC ∠=∠由方法1可知，不等式故；23x -<<（2）解：由题意知，故选：D ；（3）解：如图2，作函数由图像可得，的解集为260x x --<综上，的解集为260x x --<2-本题考查了数形结合求一元二次不等式的解集，作二次函数、一次函数、反比例函数的图像．解题∵四边形为平行四边形，若，ABCD ,AB a BC b ==∴，,,AB DC a AD BC AD BC b ====∥∵，，AE BC ⊥DF BC ⊥∴，AE DF =∴，()Rt Rt HL ABE DCF ≌△△∴，BE CF =∴222222AC BD AE CE BF DF+=+++()()()22222AB BE BC BE BC CF DF =-+-+++222222222AB BE BC BC BE BE BC BC BE BE AE =-+-⋅+++⋅++22222AB BC BC BE AE =++++2222AB BC BC AB =+++()222AB BC =+；()222a b =+拓展提升：延长到点C ，使，BO OD BO =∵为的一条中线，BO ABC ∴，OA CO =∴四边形是平行四边形，ABCD ∵．,,AB a BC b AC c ===(1)滑块从点到点的滑动过程中，的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”）A B d (2)滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式；B A d t (3)在整个往返过程中，若，求的值．18d =t 【正确答案】(1)由负到正(2)12234d t =-+(3)当或时，6t =18t =18d =【分析】（1）根据等式，结合题意，即可求解；12d l l =-（2）设轨道的长为，根据已知条件得出，则，根据当AB n 121l l n ++=12d l l =-181t n =-+和时，与之对应的的两个值互为相反数；则时，，得出，继而求得4.5s t = 5.5s d 5t =0d =91d =滑块返回的速度为，得出，代入，即可求解；()()91115=6m/s -÷()2612l t =-12d l l =-（3）当时，有两种情况，由（2）可得，①当时，②当时，分别令，18d =010t ≤≤1227t ≤≤18d =进而即可求解．【详解】（1）∵，12d l l =-当滑块在点时，，，A 10l =2d l =-0<当滑块在点时，，，B 20l =1d l =0>∴的值由负到正．d 故由负到正．（2）解：设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时，AB n ∵，121l l n ++=∴，211l n l =--∴()12111221291181d l l l n l l n t n t n =-=---=-+=⨯-+=-+∴是的一次函数，d t ∵当和时，与之对应的的两个值互为相反数；4.5s t =5.5s d ∴当时，，5t =0d =∴，18510n ⨯-+=∴，91d =∴滑块从点到点所用的时间为，A B ()911910-÷=()s ∵整个过程总用时（含停顿时间）．当滑块右端到达点时，滑块停顿，27s B 2s ∴滑块从点到点的滑动时间为，B A 27102=--15s ∴滑块返回的速度为，()()91115=6m/s -÷∴当时，，1227t ≤≤()2612l t =-∴，()12911906121626l l t t =--=--=-∴，()12162661212234l l t t t -=---=-+∴与的函数表达式为；d t 12234d t =-+（3）当时，有两种情况，18d =由（2）可得，①当时，，010t ≤≤1891118t -+=解得：；6t =②当时，，1227t ≤≤1223418t -+=解得：，18t =综上所述，当或时，．6t =18t =18d =本题考查了一次函数的应用，分析得出，并求得往返过程中的解析式是解题的关键．91n =17、（2023·江苏连云港·中考真题试卷）【问题情境建构函数】（1）如图1，在矩形中，是的中点，，垂足为．设ABCD 4,AB M =CD AE BM ⊥E ，试用含的代数式表示．,BC x AE y ==x y【由数想形新知初探】y x（2）在上述表达式中，与是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图【数形结合深度探究】x（3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：y增大；②函数值的取值范围是∽∽∽在图像上存在四点A B C__________．（写出所有正确结论的序号）（3）根据函数图象可得①函数值②由(1)可得函数值，故函数值的范围为y AB <③根据中心对称的性质，不存在一条直线与该函数图像有四个交点，故④因为平行四边形是中心对称图形，则在图像上存在四点四边形，故④正确；或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图①，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻ABC A ADE V ADE V A l 折，得到，则与成自位似轴对称．AFG ABC AFG(1)如图②，在中，，，，垂足为，下列3对三角形：①ABC 90ACB ∠=︒AC BC <CD AB ⊥D 与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是ABC ACD BAC BCD △DAC △DCB △________（填写所有符合条件的序号）；(2)如图③，已知经过自位似轴对称变换得到，是上一点，用直尺和圆规作点，ABC ADE V Q DE P 使与是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；P Q (3)如图④，在中，是的中点，是内一点，，，连ABC D BC E ABC ABE C ∠=∠BAE CAD ∠=∠接，求证：．DE DE AC ∥【正确答案】(1)①②(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据题中定义作出图形，即可得出结论；②与成自位似轴对称，对称轴为BAC BCD △ ③与不成自位似轴对称，DAC △DCB △故①②；（2）解：如图，1）分别在和上截取AC AB AE '=（3）证明：延长交于点BE AC本题考查位似和轴对称的性质、相似三角形的判定与性质，理解题中所给定义，熟练掌握轴对称性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．19、（2022·江苏南通·中考真题试卷）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于。

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