圆与方程 复习课件

x
（2）x+y 的最大值与最小值；
（3） (x 2)2 y2 的最大值与最小值。
解：（2）设 x+y=b，则 y=-x+b。由图（2）可知，当直线 y=-x+b 与 圆 C 相切时，b 取得最值。而圆心 C(3,3)到直线 y=-x+b 的距离为
d2= | 6 b | ，所以当 | 6 b | = 6 ，
x
(1)可知，当直线 OP 与圆 C 相切时，斜率取得最值。
因为点 C(3,3)到直线 y=kx 的距离 d1= | 3k 3 | ，所以当 | 3k 3 | = 6 ，
k2 1
k2 1
即 k=3±2 2 时，直线 OP 与圆相切，
数形结合可知， y 的最大值与最小值分别是 3+2 2 与 3-2 2 。
即时训练 4-1：如果实数 x，y 满足等式 x2+(y-3)2=1，那么 y 的
x
取值范围是( ) (A)[2 2 ,+∞) (B)(-∞,-2 2 ] (C)[-2 2 ,2 2 ] (D)(-∞,-2 2 ]∪[2 2 ,+∞)
解析：设 y =k,则 y=kx。由于点(x,y)满足 x2+(y-3)2=1，也满足
和直线y=0相切的圆的方程。
错解：由题知，所求圆的圆心为 A(a,4)，半径长为 4，故可设 所求圆的方程为(x-a)2+(y-4)2=42。 由圆 C 的方程配方,得(x-2)2+(y-1)2=32， 所以圆 C 的圆心为 C(2,1)，半径长 r=3。 由两圆相切,得|CA|=7， 所以(a-2)2+(4-1)2=72， 解得 a=2±2 10 ， 所以所求圆的方程为(x-2-2 10 )2+(y-4)2=16 或 (x-2+2 10 )2+(y-4)2=16。
真题体验·素养升级
1.圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1,则 a 等于( A )
(A)- 4 (B)- 3 (C) 3 (D)2
3
4
解析：圆心(1,4)，则 | a 4 1| =1，解得 a=- 4 。故选 A。
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a2 1
3
2.已知圆 M:x2+y2-2ay=0(a＞0)截直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 2 。则圆 M 与圆 N:(x-1)2+(y-1)2=1 的位置关系是( B ) (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离
根据两点间的距离公式,得半径 r= 10 , 因此，所求的圆 C 的方程为(x+1)2+(y+2)2=10。
法二 设所求圆 C 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 根据已知条件得
(2 a)2 (3 b)2 r2, a 1,
(2

a)2

(5

b)2

r2,
即时训练 2-1：(2018·福建宁德市一模)已知圆 C:x2+y2-2x+4y=0 关于直线 3x-ay-11=0
对称，则圆 C 中以( a ,- a )为中点的弦长为( ) 44
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
解析：因为圆 C:x2+y2-2x+4y=0 关于直线 3x-ay-11=0 对称， 所以直线 3x-ay-11=0 过圆心 C(1,-2)，
即时训练1-1：已知两点A（-1，3），B（3，1），C在坐标轴上， 若∠ACB=90°，则这样的点C的个数为（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解析：由题意，点C应该为以AB为直径的圆与坐标轴的交点， 以AB为直径的圆的方程是（x+1）（x-3）+（y-3）（y-1）=0， 令x=0，解得y=0或4；令y=0，解得x=0或2。所以该圆与坐标 轴的交点有三个：（0，0），（0，4），（2，0）。故选C。
2
2
即 b=6±2 3 时，直线 y=-x+b 与圆 C 相切， 所以 x+y 的最大值与最小值分别为 6+2 3 与 6-2 3 。
（3）代数式 (x 2)2 y2 的几何意义是圆 C 上的点到定点(2,0)的距离。
因为圆心(3,3)与定点(2,0)间的距离是 (3 2)2 32 = 10 ，圆 C 的半径是
题型二 直线与圆的位置关系
【典例 2】 圆 C:x2+y2-2x-8=0 内有一点 P(2,2)，过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A，B 两点。 （1）当弦 AB 最长时,求直线 l 的方程； （2）当直线 l 被圆 C 截得的弦长为 4 2 时,求 l 的方程。
解：（1）因为圆 C 的圆心为 C(1,0)。 又弦 AB 最长时，直线 l 过点(1,0)和(2,2)， 所以直线 l 的方程为 2x-y-2=0。 （2）当直线斜率存在时， 设直线的方程为 y-2=k(x-2)，由平面几何知识，得( | k 2 2k | )2+8=9，
纠错：错解只考虑了圆心在直线y=0上方的情形，而漏掉了圆心在直线y=0 下方的情形，另外错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的。
正解：设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),圆心为 A。又圆 A 与直线 y=0 相切且半径长为 4，故圆心为 A(a,4)或 A(a,-4)。圆 C 的圆心为 C(2,1)，半径 长为 r=3。若两圆相切，则|CA|=4+3=7 或|CA|=4-3=1。作分类讨论： 当取 A(a,4)时，(a-2)2+(4-1)2=72 或(a-2)2+(4-1)2=12(无解)，故 a=2±2 10 ， 此时所求圆的方程为(x-2-2 10 )2+(y-4)2=16 或(x-2+2 10 )2+(y-4)2=16； 当取 A(a,-4)时，(a-2)2+(-4-1)2=72 或(a-2)2+(-4-1)2=12(无解)， 所以 a=2±2 6 ，此时所求圆的方程为(x-2-2 6 )2+(y+4)2=16 或(x-2+2 6 )2+ (y+4)2=16。 综上所述，所求圆的方程为(x-2-2 10 )2+(y-4)2=16 或(x-2+2 10 )2+(y-4)2=16 或(x-2-2 6 )2+(y+4)2=16 或(x-2+2 6 )2+(y+4)2=16。
（2）若圆C的圆心在直线3x+y+5=0上，求圆C的方程。
解：（2）法一 因为 kAB= 1 ,AB 中点为(0,-4)， 2
所以 AB 中垂线方程为 y+4=-2x， 即 2x+y+4=0，
解方程组
2x 3x

y y

4 5

0, 0
得
x

y

1, 2,
所以圆心 C 为(-1,-2)。
44
题型三 圆与圆的位置关系
【典例3】 已知圆M：x2+y2=10和圆N：x2+y2+2x+2y-14=0，求过两圆交点，
且面积最小的圆的方程。
解：设两圆交点为 A，B，则以 AB 为直径的圆就是所求的圆。 将两圆方程相减得直线 AB 的方程为 x+y-2=0。 两圆圆心连线的方程为 x-y=0。
即时训练3-1：已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0相 交，则圆C1与圆C2的公共弦所在的直线方程为（ ） （A）x+2y+1=0 （B）x+2y-1=0 （C）x-2y+1=0 （D）x-2y-1=0
解析：因为圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0相交，所以 两圆的方程作差得6x+12y-6=0，即公共弦所在直线方程为x+2y-1=0。故 选B。
⇒
b

2,
3a b 5 0
r 2 10,
所以所求圆 C 的方程为(x+1)2+(y+2)2=10。
规律方法 用待定系数法求圆的方程的一般步骤
（1）选择圆的方程的某一形式； （2）由题意得关于a，b，r（或D，E，F）的方程 （组）； （3）解出a，b，r（或D，E，F）； （4）代入圆的方程。
所以 3+2a-11=0，解得 a=4，所以中点( a ,- a )为(1,-1)，
44
又点(1,-1)到圆心 C(1,-2)的距离 d= (11)2 (1 2)2 =1，
圆 C:x2+y2-2x+4y=0 的半径 r= 1 4 16 = 5 ，
2
所以圆 C 中以( a ,- a )为中点的弦长为 2 r2 d 2 =2 5 1 =4。故选 D。
（2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间 距离公式计算弦长。 （3）利用弦长公式：设直线 l:y=kx+b，与圆的两交点(x1,y1)，(x2,y2)，将直线方程代入 圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长
l= 1 k 2 |x1-x2|= (1 k2) [ x1 x2 2 4x1x2] 。
k2 1
解得 k= 3 ，此时直线 l 的方程为 3x-4y+2=0，经检验 k 不存在时的直线 x-2=0 也符合条件。 4
所以直线 l 的方程为 x-2=0 或 3x-4y+2=0。
规律方法 解决圆中弦长问题常用方法
（1）应用圆中直角三角形：半径 r，圆心到直线的距离 d，弦长 l 具有的关系：r2=d2+( l )2。 2
x
y=kx。 从而直线 y=kx 与圆 x2+(y-3)2=1 有公共点。即圆心到直线的距离
d= | 3 | ≤1，
k2 1
所以 k2+1≥9，所以 k2≥8， 解得 k≥2 2 或 k≤-2 2 。选 D。
题型五 易错辨析——考虑问题不全面造成失解
【典例5】 求半径长为4，与圆C：x2+y2-4x-2y-4=0相切，且
解方程组
x x

y y

2 0,
0,
得圆心坐标为(1,1)，
圆心 M(0,0)到直线 AB 的距离为 d= 2 ，
弦 AB 的长为|AB|=2 ( 10)2 ( 2)2 =4 2 ，
所以所求圆的半径为 2 2 。 所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=8。
规律方法 两圆相交常见问题的解法 （1）若两圆相交，只要x2，y2的系数对应相等，两圆方程作 差所得方程即为两圆公共弦所在直线方程。 （2）求两圆公共弦长，①利用两圆方程组成的方程组求得 两交点的坐标，再利用两点间距离公式求解即可；②利用圆 心到公共弦所在直线的距离及勾股定理也可求得公共弦长。
第四章 圆与方程 复习课件
网络建构
知识辨析
判断下列说法是否正确（请在括号中填“√”或“×”） 1.方程（x-a）2+（y-b）2=r2表示圆。（ × ）
2.当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆。（ √ ）
3.若直线x-y+a=0与圆x2+y2=a相切，则a=1。（ × ） 4.直线y=kx-k与圆x2+y2=2一定相交。（ √ ） 5.若圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则两圆方 程联立消去x2，y2后得到的方程即为两圆相交弦所在直线方程。（ √ ） 6.点A（1，2，3）关于z轴的对称点坐标为A′（1，2，-3）。（ × ） 7.点B（2，-3，-5）关于坐标平面xOy的对称点坐标为 B′（-2，3，-5）。 （×） 8.圆（x-a）2+（y-b）2=r2的半径为r。（ × ）
题型四 与圆有关的最值问题 【典例 4】 已知实数 x，y 满足方程(x-3)2+(y-3)2=6，求：
（1） y 的最大值与最小值； x
解：（1）设 P(x,y)，则点 P 的轨迹就是圆 C:(x-3)2+(y-3)2=6。而 y 的几何意
x
义就是直线 OP 的斜率(O 为坐标原点)，设 y =k,则直线 OP 的方程为 y=kx，由图
6 ，所以 (x 2)2 y2 的最大值是 10 + 6 ，最小值是 10 - 6 。
规律方法 利用数形结合解决有关圆的最值问题
利用数形结合解决最值问题时，首先将代数表达式赋 予几何意义，画出图形，根据图形的几何性质，观察出最 值出现的时机和位置，从而解决求代数表达式的最值问题。 这是用几何方法解决代数问题的常用方法，即数形结合。
题型探究 真题体验
题型探究·素养提升
题型一 圆的方程 【典例1】 已知动圆C经过点A（2，-3）和B（-2，-5） （1）当圆C面积最小时，求圆C的方程；
解：（1）要使圆 C 的面积最小，则 AB 为圆 C 的直径。 圆心 C(0,-4)，半径 r= 1 |AB|= 5 ，
2 所以所求圆 C 的方程为 x2+(y+4)2=5。