匈牙利算法的步骤：
匈牙利算法详细步骤例题
匈牙利算法详细步骤例题
嘿，朋友们！今天咱就来讲讲这神奇的匈牙利算法。
你可别小瞧它，这玩意儿在好多地方都大有用处呢！
咱先来看个具体的例子吧。
就说有一堆任务，还有一堆人，要把这
些任务分配给这些人，怎么分才能最合理呢？这时候匈牙利算法就闪
亮登场啦！
第一步，咱得弄个表格出来，把任务和人之间的关系都给标上。
比
如说，这个人干这个任务合适不合适呀，合适就标个高分，不合适就
标个低分。
这就好像给他们牵红线似的，得找到最合适的搭配。
然后呢，开始试着给任务找人。
从第一个任务开始，找个最合适的人。
要是这个人还没被别的任务占着，那太好了，直接就配对成功啦！要是已经被占了呢，那就得看看能不能换一换，让大家都更合适。
就好比是跳舞，你得找到最合适的舞伴，跳起来才带劲嘛！要是随
便找个人就跳，那多别扭呀。
这中间可能会遇到一些麻烦，比如好几个人都对同一个任务感兴趣，那可咋办？这就得好好琢磨琢磨啦，得权衡一下，谁更合适。
有时候你会发现，哎呀，怎么这么难呀，怎么都找不到最合适的搭配。
别急别急，慢慢来，就像解一道难题一样，得一点点分析。
咱再说说这算法的奇妙之处。
它就像是一个聪明的红娘，能把最合适的任务和人牵到一起。
你想啊，要是没有它，那咱不得乱点鸳鸯谱呀，那可不行，得把资源都好好利用起来才行呢。
比如说，有五个任务，五个。
指派问题匈牙利算法最大值
指派问题匈牙利算法最大值
指派问题是一个优化问题，旨在确定如何将 n 个任务分配给 n 个人员，以便完成总成本最小或总利润最大。
匈牙利算法是解决指派问题的经典算法之一，通过寻找增广路径来找到最大权值的匹配。
在指派问题中，我们有一个 n x n 的成本矩阵，其中的每个元素表
示将特定任务分配给特定人员的成本或利润。
问题的目标是找到一种分配方式，使得总成本最小或总利润最大。
匈牙利算法是一种基于图论的算法，它通过构建二分图和寻找增广路径来解决指派问题。
算法的核心思想是通过不断改进当前的匹配，直到找到最优解。
具体来说，匈牙利算法的步骤如下：
1. 初始化一个空的匹配集合。
2. 对于每个任务，找到一个未被分配的人员，并将其分配给该任务。
如果该任务没有未被分配的人员，则考虑将其他任务分配给当前人员，并将当前任务分配给其它人员。
3. 如果存在一个未被匹配的任务，寻找一条从该任务出发的增广路径。
增广路径是一条交替经过匹配边和非匹配边的路径，起点和终点都是未匹配的任务。
4. 如果存在增广路径，则改进当前的匹配，即通过将增广路径上的
非匹配边变为匹配边，并将增广路径上的匹配边变为非匹配边。
5. 重复步骤3和步骤4，直到不存在增广路径为止。
匈牙利算法的运行时间复杂度为 O(n^3)，其中 n 是任务或人员的数量。
该算法可以找到指派问题的最优解，并且在实践中表现良好。
总之，指派问题是一个重要的优化问题，而匈牙利算法是一种解决指派问题的经典算法。
通过构建二分图并寻找增广路径，匈牙利算法可以找到指派问题的最优解。
匈牙利算法的描述
（一）、修正矩阵，使每行每列中都有零元素：
1．如果最终目标是求最大效能，那么改变所有元素的符号；
2．每行各元素都减去该行的最小元素；
3．每列各元素都减去该列的最小元素；
（二）、对矩阵进行试分配，对其中的零元素作标记：
4．对所有行和列作无标记处理；
5．从首行开始逐行处理，若该行只有一个0元素没有标记，就对该0元素标记△，并对该0同一列的0元素标记×；重复上述过程直到不能再进行标记为止；
6．从首列开始逐列处理，若该列只有一个0元素没有标记，就对该0元素标记△，并对该0同一行的其它0元素标记×；重复上述过程直到不能再进行标记为止；
7．三种情况的判断：
（1）每行都有一个△，其对应的元素就是最优解，输出△对应的元素，退出；
（2）不是每行都有△，但所有0都已标记，转8；
（3）如有多于2行或2列至少有2个没有标记的0，就对其中任一个0标△，并对同行同列的其他0标记×，转5；
（三）、作覆盖所有零元素的最少直线：
8．对无△的行作标记对号；
9．对标记对号行上的所有有0的列标记对号，无论该0标记什么；
10．对标记对号列上的所有有△的行标记对号；
11．重复9和10直到标记结束；
12．对无标记对号的行划横线，对有标记对号的行划竖线；
（四）、产生新的效能矩阵，使零元素移动：
13．在无直线覆盖的元素中找最小值d；
14．未画横线的行的所有元素减d；
15．已划竖线的列的所有元素加d；
16．转4。
hungarian method
hungarian methodHungarian method是一种经典的解决分配问题的算法。
该算法在二十世纪五六十年代由匈牙利数学家Dénes Kőnig和Jenő Egerváry所发明，用于解决在线性规划中常见的任务分配问题。
这种算法结合了图论和线性规划的技术，是一种非常高效和精准的优化算法。
1. 问题定义在任务分配问题中，我们需要将n项活动分配给n个人，每个人只能完成一项活动。
每项活动有一个与之相关联的成本或权重，我们需要最小化这些权重的总和。
该问题可描述为一个n*n的矩阵，其中每个元素aij代表将任务i分配给人j所需的代价。
2. 算法步骤Hungarian method的实现步骤如下：（1）首先，对原始的代价矩阵进行列减法和行减法，得到一个新的矩阵。
（2）使用最小化（或最大化）算法，将矩阵的元素分组为行和列，并将它们连接起来。
（3）通过在每个组内选择最小的元素并在每个组之间进行替换来得到最优解。
（4）如果问题没有得到解决，则回到步骤1并继续执行算法，直到找到最优解为止。
3. 矩阵的处理在第一步中，我们需要对原始的代价矩阵进行行减法和列减法。
对于每一行和每一列，我们从其中选择一个最小的元素，并将该最小元素从行（或列）的其他元素中减去。
通过这种方式，我们可以得到一个新的矩阵，它的元素最少有一个为0。
该矩阵称为减法矩阵。
4. 匈牙利算法的实现在第二步中，我们使用最小化算法将减法矩阵的元素分组为行和列。
我们将行中的最小元素和列中的最小元素连接起来，并用直线穿过它们。
接下来，我们用相邻线覆盖矩阵的其他元素，直到矩阵的每个元素都被覆盖。
第三步是通过在组内选择最小元素并在组和列之间进行替换来获得最优解的。
如果我们无法替换元素，例如在第二步中，我们没有找到足够的相邻行或列，则需要回到第1步并继续。
5. 求解复杂度的分析Hungarian method是一种精确的分配算法，可以在多项多项任务分配问题上得到最优解。
指派问题匈牙利算法步骤
匈牙利算法是解决二分图最大匹配问题的经典算法。
以下是匈牙利算法的步骤：
初始化：创建一个二分图，并将所有边的匹配状态初始化为未匹配。
选择一个未匹配的左侧顶点作为起始点，开始进行增广路径的寻找。
在增广路径的寻找过程中，首先选择一个未访问的左侧顶点作为当前路径的起点。
针对当前路径的起点，依次遍历与其相邻的右侧顶点。
对于每个右侧顶点，如果该顶点未被访问过，则标记为已访问，并判断该顶点是否已匹配。
如果该右侧顶点未匹配，则找到了一条增广路径，结束路径的寻找过程。
如果该右侧顶点已匹配，将其与之匹配的左侧顶点标记为已访问，并继续寻找与该左侧顶点相邻的右侧顶点，构建新的路径。
如果当前路径无法找到增广路径，则回溯到上一个路径的起点，并继续寻找其他路径。
当所有的路径都无法找到增广路径时，算法结束。
根据最终得到的匹配结果，即可得到二分图的最大匹配。
这些步骤描述了匈牙利算法的基本流程。
具体实现时，可以采用递归或迭代的方式来寻找增广路径，通过标记顶点的访问状态来进行路径的选择和回溯。
算法的时间复杂度为O(V*E)，其中V是顶点的数量，E是边的数量。
运筹学指派问题的匈牙利法
运筹学课程设计指派问题的匈牙利法专业：姓名：学号：1.算法思想：匈牙利算法的基本思想是修改效益矩阵的行或列，使得每一行或列中至少有一个为零的元素，经过修正后，直至在不同行、不同列中至少有一个零元素，从而得到与这些零元素相对应的一个完全分配方案。
当它用于效益矩阵时，这个完全分配方案就是一个最优分配，它使总的效益为最小。
这种方法总是在有限步內收敛于一个最优解。
该方法的理论基础是：在效益矩阵的任何行或列中，加上或减去一个常数后不会改变最优分配。
2.算法流程或步骤：1.将原始效益矩阵C的每行、每列各元素都依次减去该行、该列的最小元素，使每行、每列都至少出现一个0元素，以构成等价的效益矩阵C’。
2.圈0元素。
在C’中未被直线通过的含0元素最少的行（或列）中圈出一个0元素，通过这个0元素作一条竖（或横）线。
重复此步，若这样能圈出不同行不同列的n个0元素，转第四步，否则转第三步。
3.调整效益矩阵。
在C’中未被直线穿过的数集D中，找出最小的数d，D中所有数都减去d，C’中两条直线相交处的数都加的d。
去掉直线，组成新的等价效益矩阵仍叫C’，返回第二步。
X=0，这就是一种最优分配。
最低总4.令被圈0元素对应位置的X ij=1,其余ij耗费是C中使X=1的各位置上各元素的和。
ij算法流程图：3.算法源程序：#include<iostream.h>typedef struct matrix{float cost[101][101];int zeroelem[101][101];float costforout[101][101];int matrixsize;int personnumber;int jobnumber;}matrix;matrix sb;int result[501][2];void twozero(matrix &sb);void judge(matrix &sb,int result[501][2]);void refresh(matrix &sb);void circlezero(matrix &sb);matrix input();void output(int result[501][2],matrix sb);void zeroout(matrix &sb);matrix input(){matrix sb;int m;int pnumber,jnumber;int i,j;float k;char w;cout<<"指派问题的匈牙利解法:"<<endl;cout<<"求最大值，请输入1;求最小值，请输入0:"<<endl;cin>>m;while(m!=1&&m!=0){cout<<"请输入1或0:"<<endl;cin>>m;}cout<<"请输入人数(人数介于1和100之间):"<<endl;cin>>pnumber;while(pnumber<1||pnumber>100){cout<<"请输入合法数据:"<<endl;cin>>pnumber;}cout<<"请输入工作数(介于1和100之间):"<<endl;cin>>jnumber;while(jnumber<1||jnumber>100){cout<<"请输入合法数据:"<<endl;cin>>jnumber;}cout<<"请输入"<<pnumber<<"行"<<jnumber<<"列的矩阵,同一行内以空格间隔,不同行间以回车分隔,以$结束输入:\n";for(i=1;i<=pnumber;i++)for(j=1;j<=jnumber;j++){cin>>sb.cost[i][j];sb.costforout[i][j]=sb.cost[i][j];}cin>>w;if(jnumber>pnumber)for(i=pnumber+1;i<=jnumber;i++)for(j=1;j<=jnumber;j++){sb.cost[i][j]=0;sb.costforout[i][j]=0;}else{if(pnumber>jnumber)for(i=1;i<=pnumber;i++)for(j=jnumber+1;j<=pnumber;j++){sb.cost[i][j]=0;sb.costforout[i][j]=0;}}sb.matrixsize=pnumber;if(pnumber<jnumber)sb.matrixsize=jnumber;sb.personnumber=pnumber;sb.jobnumber=jnumber;if(m==1){k=0;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.cost[i][j]>k)k=sb.cost[i][j];for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)sb.cost[i][j]=k-sb.cost[i][j];}return sb;}void circlezero(matrix &sb){int i,j;float k;int p;for(i=0;i<=sb.matrixsize;i++)sb.cost[i][0]=0;for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)sb.cost[0][j]=0;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.cost[i][j]==0){sb.cost[i][0]++;sb.cost[0][j]++;sb.cost[0][0]++;}for(i=0;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=0;j<=sb.matrixsize;j++)sb.zeroelem[i][j]=0;k=sb.cost[0][0]+1;while(sb.cost[0][0]<k){k=sb.cost[0][0];for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){if(sb.cost[i][0]==1){for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.cost[i][j]==0&&sb.zeroelem[i][j]==0)break;sb.zeroelem[i][j]=1;sb.cost[i][0]--;sb.cost[0][j]--;sb.cost[0][0]--;if(sb.cost[0][j]>0)for(p=1;p<=sb.matrixsize;p++)if(sb.cost[p][j]==0&&sb.zeroelem[p][j]==0){sb.zeroelem[p][j]=2;sb.cost[p][0]--;sb.cost[0][j]--;sb.cost[0][0]--;}}}for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++){if(sb.cost[0][j]==1){for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)if(sb.cost[i][j]==0&&sb.zeroelem[i][j]==0)break;sb.zeroelem[i][j]=1;sb.cost[i][0]--;sb.cost[0][j]--;sb.cost[0][0]--;if(sb.cost[i][0]>0)for(p=1;p<=sb.matrixsize;p++)if(sb.cost[i][p]==0&&sb.zeroelem[i][p]==0){sb.zeroelem[i][p]=2;sb.cost[i][0]--;sb.cost[0][p]--;sb.cost[0][0]--;}}}}if(sb.cost[0][0]>0)twozero(sb);elsejudge(sb,result);}void twozero(matrix &sb){int i,j;int p,q;int m,n;float k;matrix st;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)if(sb.cost[i][0]>0)break;if(i<=sb.matrixsize){for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++){st=sb;if(sb.cost[i][j]==0&&sb.zeroelem[i][j]==0){sb.zeroelem[i][j]=1;sb.cost[i][0]--;sb.cost[0][j]--;sb.cost[0][0]--;for(q=1;q<=sb.matrixsize;q++)if(sb.cost[i][q]==0&&sb.zeroelem[i][q]==0){sb.zeroelem[i][q]=2;sb.cost[i][0]--;sb.cost[0][q]--;sb.cost[0][0]--;}for(p=1;p<=sb.matrixsize;p++)if(sb.cost[p][j]==0&&sb.zeroelem[p][j]==0){sb.zeroelem[p][j]=2;sb.cost[p][0]--;sb.cost[0][j]--;sb.cost[0][0]--;}k=sb.cost[0][0]+1;while(sb.cost[0][0]<k){k=sb.cost[0][0];for(p=i+1;p<=sb.matrixsize;p++){if(sb.cost[p][0]==1){for(q=1;q<=sb.matrixsize;q++)if(sb.cost[p][q]==0&&sb.zeroelem[p][q]==0)break;sb.zeroelem[p][q]=1;sb.cost[p][0]--;sb.cost[0][q]--;sb.cost[0][0]--;for(m=1;m<=sb.matrixsize;m++)if(sb.cost[m][q]=0&&sb.zeroelem[m][q]==0){sb.zeroelem[m][q]=2;sb.cost[m][0]--;sb.cost[0][q]--;sb.cost[0][0]--;}}}for(q=1;q<=sb.matrixsize;q++){if(sb.cost[0][q]==1){for(p=1;p<=sb.matrixsize;p++)if(sb.cost[p][q]==0&&sb.zeroelem[p][q]==0)break;sb.zeroelem[p][q]=1;sb.cost[p][q]--;sb.cost[0][q]--;sb.cost[0][0]--;for(n=1;n<=sb.matrixsize;n++)if(sb.cost[p][n]==0&&sb.zeroelem[p][n]==0){sb.zeroelem[p][n]=2;sb.cost[p][0]--;sb.cost[0][n]--;sb.cost[0][0]--;}}}}if(sb.cost[0][0]>0)twozero(sb);elsejudge(sb,result);}sb=st;}}}void judge(matrix &sb,int result[501][2]){int i,j;int m;int n;int k;m=0;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.zeroelem[i][j]==1)m++;if(m==sb.matrixsize){k=1;for(n=1;n<=result[0][0];n++){for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.zeroelem[i][j]==1)break;if(i<=sb.personnumber&&j<=sb.jobnumber)if(j!=result[k][1])break;k++;}if(i==sb.matrixsize+1)break;elsek=n*sb.matrixsize+1;}if(n>result[0][0]){k=result[0][0]*sb.matrixsize+1;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.zeroelem[i][j]==1){result[k][0]=i;result[k++][1]=j;}result[0][0]++;}}else{refresh(sb);}}void refresh(matrix &sb){int i,j;float k;int p;k=0;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.zeroelem[i][j]==1){sb.zeroelem[i][0]=1;break;}}while(k==0){k=1;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)if(sb.zeroelem[i][0]==0){sb.zeroelem[i][0]=2;for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.zeroelem[i][j]==2){sb.zeroelem[0][j]=1;}}for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++){if(sb.zeroelem[0][j]==1){sb.zeroelem[0][j]=2;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)if(sb.zeroelem[i][j]==1){sb.zeroelem[i][0]=0;k=0;}}}}p=0;k=0;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){if(sb.zeroelem[i][0]==2){for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++){if(sb.zeroelem[0][j]!=2)if(p==0){k=sb.cost[i][j];p=1;}else{if(sb.cost[i][j]<k)k=sb.cost[i][j];}}}}for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){if(sb.zeroelem[i][0]==2)for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)sb.cost[i][j]=sb.cost[i][j]-k;}for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++){if(sb.zeroelem[0][j]==2)for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)sb.cost[i][j]=sb.cost[i][j]+k;}for(i=0;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=0;j<=sb.matrixsize;j++)sb.zeroelem[i][j]=0;circlezero(sb);}void zeroout(matrix &sb){int i,j;float k;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){k=sb.cost[i][1];for(j=2;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.cost[i][j]<k)k=sb.cost[i][j];for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)sb.cost[i][j]=sb.cost[i][j]-k;}for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++){k=sb.cost[1][j];for(i=2;i<=sb.matrixsize;i++)if(sb.cost[i][j]<k)k=sb.cost[i][j];for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)sb.cost[i][j]=sb.cost[i][j]-k;}}void output(int result[501][2],matrix sb) {int k;int i;int j;int p;char w;float v;v=0;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){v=v+sb.costforout[i][result[i][1]];}cout<<"最优解的目标函数值为"<<v;k=result[0][0];if(k>5){cout<<"解的个数超过了限制."<<endl;k=5;}for(i=1;i<=k;i++){cout<<"输入任意字符后输出第"<<i<<"种解."<<endl;cin>>w;p=(i-1)*sb.matrixsize+1;for(j=p;j<p+sb.matrixsize;j++)if(result[j][0]<=sb.personnumber&&result[j][1]<=sb.jobnumber)cout<<"第"<<result[j][0]<<"个人做第"<<result[j][1]<<"件工作."<<endl;}}void main(){result[0][0]=0;sb=input();zeroout(sb);circlezero(sb);output(result,sb);}4. 算例和结果：自己运算结果为：->⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3302102512010321->⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡330110241200032034526635546967562543----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡可以看出：第1人做第4件工作；第2人做第1件工作；第3人做第3件工作；第4人做第2件工作。
匈牙利算法代码解析
匈牙利算法代码解析匈牙利算法又称作增广路算法，主要用于解决二分图最大匹配问题。
它的基本思想是在二分图中查找增广路，然后将这条增广路上的边反转，这样可以将匹配数增加一个，由此不断寻找增广路并反转边直到无法找到为止，最后所找到的就是二分图的最大匹配。
匈牙利算法的流程如下：1. 从左边开始选择一个未匹配的节点，将其标记为当前节点；2. 再从当前节点出发，依次寻找与它相连的未匹配节点；3. 如果找到了一个未匹配节点，则记录该节点的位置，并将当前节点标记为该节点；4. 如果当前节点的所有连边都不能找到未匹配节点，则退回到上一个节点，再往其他的连接点继续搜索；5. 如果到达已经匹配节点，则将该节点标记为新的当前节点，返回步骤4；6. 如果找到了一条增广路，则将其上的边反转，并将匹配数+1；7. 重复以上步骤，直至无法找到增广路为止。
在匈牙利算法中，增广路的查找可以使用DFS或BFS，这里我们以DFS为例进行解释。
匈牙利算法的时间复杂度为O(nm)，n和m分别表示左边和右边的节点数，因为每条边至多遍历两次，所以最多需要执行2n次DFS。
以下为匈牙利算法的Python代码：```Pythondef findPath(graph, u, match, visited):for v in range(len(graph)):if graph[u][v] and not visited[v]:visited[v] = Trueif match[v] == -1 or findPath(graph, match[v], match, visited):# 如果v没有匹配或者匹配的右匹配节点能找到新的匹配match[v] = u # 更新匹配return Truereturn Falsedef maxMatching(graph):n = len(graph)match = [-1] * n # 右部节点的匹配数组，初始化为-1表示没有匹配count = 0return match, count```其中，findPath函数是用来查找增广路的DFS函数，match数组是右边节点的匹配数组，初始化为-1表示没有匹配，count则表示匹配数。
munkres函数
Munkres算法，也称为匈牙利算法，是一种用于解决二分图最大匹配问题的线性时间复杂度算法。
二分图最大匹配问题是在一个二分图中寻找最大的匹配，即找到最大的子集，使得图中的每条边都有一个与之匹配的顶点。
Munkres算法的基本思想是通过在原图中构造增广路径，并在增广路径上不断进行增广操作，最终得到最大匹配。
具体步骤如下：
1. 初始化：将所有未匹配的点标记为0，已匹配的点标记为无穷大。
2. 寻找增广路径：从任意一个未匹配的点开始，进行DFS或BFS 等搜索方法，直到找到一个增广路径。
增广路径是指从起点开始，沿着一条路径可以一直匹配到终点，但终点尚未匹配。
3. 进行增广操作：在增广路径上，将路径上的所有点与对应的未匹配点进行匹配，并将这些点标记为已匹配。
4. 重复步骤2和3，直到所有的点都已匹配或者找不到增广路径为止。
Munkres算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V是顶点的数量。
这是因为在最坏的情况下，需要枚举所有可能的增广路径，而每条增广路径最多包含V个顶点。
因此，Munkres算法是一种非常高效的算法，被广泛应用于解决二分图最大匹配问题。
匈牙利法的基本步骤
匈牙利法是一种用于求解线性规划问题的算法，其基本步骤如下：
1. 将线性规划问题转化为标准形式，即目标函数为最大化或最小化，约束条件为等式或不等式。
2. 构建一个成本矩阵，其中每行代表一个约束条件，每列代表一个变量。
3. 对成本矩阵进行行和列的减操作，使得每行和每列至少有一个零元素。
4. 选择一个零元素最少的行或列，用该行或列中的零元素覆盖其他行或列中的零元素。
5. 重复步骤 4，直到所有零元素都被覆盖。
6. 对于每个被覆盖的零元素，将其对应的变量标记为已分配。
7. 对于未被分配的变量，选择一个成本最小的变量，并将其分配给一个未被覆盖的零元素。
8. 重复步骤 7，直到所有变量都被分配。
9. 计算目标函数的值，并检查是否满足约束条件。
如果满足，则得到最优解；如果不满足，则需要重新选择分配变量。
匈牙利法是一种简单而有效的线性规划算法，但对于大规模问题可能会比较耗时。
在实际应用中，通常会使用更高效的算法来求解线性规划问题。
匈牙利规则
匈牙利规则
"匈牙利规则"通常指的是在图论中解决二分图匹配问题的一个算法，也称为匈牙利算法或Kőnig算法。
这个算法由匈牙利数学家Dénes Kőnig在1925年提出，用于寻找二分图中的最大匹配。
二分图是一种特殊的图，其顶点可以分成两个不相交的集合，并且图中的每条边都连接这两个集合中的一个顶点。
匈牙利算法的步骤如下：
1. 选择一个未匹配的顶点u from U，U是图中的一半顶点集合。
2. 对于u的每个邻接顶点v from V，如果v尚未匹配，则将其标记为未使用的。
3. 如果u的所有邻接顶点都已被使用，则算法结束，当前匹配是最大匹配。
4. 如果存在一个未使用的顶点v，则将v与u匹配，并转步骤1。
5. 如果u的所有邻接顶点都已被使用，但不是都与u匹配，选择一个与u匹配的顶点w，并找出通过u和w形成的未使用的环。
在这个环上，交替取消匹配的边，直到找到一个未匹配的顶点x。
6. 选择x的一个未使用的邻接顶点y，并取消u与y的匹配。
7. 匹配x和y，并转步骤1。
这个算法可以找到二分图中最大的匹配，并且在实现上相对高效。
它在理论计算机科学和组合优化中有着广泛的应用，例如在网络流问题、调度问题以及一些经济和生物信息学问题中。
匈牙利算法及程序
匈牙利算法及程序匈牙利算法及程序匈牙利算法自然避不开Hall定理，即是：对于二部图G，存在一个匹配M，使得X的所有顶点关于M饱和的充要条件是：对于X的任意一个子集A，和A邻接的点集为T(A)，恒有：│T(A)│ = │A│匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，其基本步骤为：1．任给初始匹配M；2．若X已饱和则结束，否则进行第3步；3．在X中找到一个非饱和顶点x0，作V1 ← {x0}, V2 ← Φ；4．若T(V1) = V2则因为无法匹配而停止，否则任选一点y ∈T(V1)\V2；5．若y已饱和则转6，否则做一条从x0 →y的可增广道路P，M←M?E(P)，转2；6．由于y已饱和，所以M中有一条边(y,z)，作V1 ← V1 ∪{z}, V2 ← V2 ∪ {y}，转4；设数组up[1..n] --- 标记二分图的上半部分的点。
down[1..n] --- 标记二分图的下半部分的点。
map[1..n，1..n] --- 表示二分图的上，下部分的点的关系。
True-相连，false---不相连。
over1[1..n]，over2[1..n] 标记上下部分的已盖点。
use[1..n，1..n] - 表示该条边是否被覆盖。
首先对读入数据进行处理，对于一条边(x，y) ，起点进集合up，终点进集合down。
标记map中对应元素为true。
1. 寻找up中一个未盖点。
2. 从该未盖点出发，搜索一条可行的路线，即由细边出发，由细边结束，且细粗交错的路线。
3. 若找到，则修改该路线上的点所对应的over1，over2，use的元素。
重复步骤1。
4. 统计use中已覆盖的边的条数total，总数n减去total即为问题的解。
匈牙利算法开放分类：算法、数据结构、离散数学、二分图匹配求最大匹配的一种显而易见的算法是：先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。
但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级函数。
因此，需要寻求一种更加高效的算法。
数学建模匈牙利算法
数学建模匈牙利算法
匈牙利算法是用于解决二分图的最大匹配问题的一种算法。
它的基本思想是通过不断寻找可增广路径来找到最大匹配。
算法的步骤如下：
1. 初始化一个空的匹配集合M。
2. 对于每个未匹配的顶点v，从v开始尝试寻找增广路径。
- 如果从v开始能找到增广路径，则将路径上的边添加到匹配集合M中。
- 如果从v开始无法找到增广路径，则将v标记为无法增广的顶点。
3. 如果所有的顶点都标记为无法增广的顶点，则结束算法，此时M为最大匹配。
4. 否则，在未标记的顶点中选择一个顶点u，将u标记为无法增广的顶点，并从u开始继续寻找增广路径。
5. 返回步骤2。
匈牙利算法的关键在于如何寻找增广路径。
通常使用深度优先搜索（DFS）进行搜索，寻找增广路径的过程就是不断地在未匹配的顶点中进行DFS搜索。
值得注意的是，匈牙利算法的时间复杂度为O(VE)，其中V 和E分别为二分图中的顶点数和边数。
在实际应用中，为了提高算法的效率，可以使用优化的匈牙利算法，如路径压缩和增广路优化。
总结起来，匈牙利算法是一种通过寻找增广路径来解决二分图最大匹配问题的算法，其时间复杂度为O(VE)。
两个点集配对问题 匈牙利算法
两个点集配对问题匈牙利算法目录1.引言2.两个点集配对问题的定义和背景3.匈牙利算法的原理和步骤4.匈牙利算法的应用实例5.总结正文1.引言在图论中，点集配对问题（也称为任务分配问题或车辆路径问题）是一个经典的问题。
给定两个点集，分别代表供应点和需求点，我们需要找到一种方式，使得从供应点到需求点的距离总和最小。
匈牙利算法（Hungarian algorithm）是解决这类问题的一种经典算法，它通过不断地寻找最短路径，将供应点与需求点一一对应，使得总距离最小。
2.两个点集配对问题的定义和背景假设我们有两个点集 A 和 B，分别有 m 个供应点和 n 个需求点。
每个供应点可以被分配给任意一个需求点，而每个需求点只能被分配给一个供应点。
我们的目标是找到一种分配方案，使得从每个供应点到其对应的需求点的距离总和最小。
3.匈牙利算法的原理和步骤匈牙利算法的基本思想是：对于没有分配的供应点和需求点，我们寻找一条最短路径，将这两个点连接起来。
这样，我们就可以将问题规模缩小，直到所有的供应点和需求点都被分配。
匈牙利算法的具体步骤如下：(1) 初始化：将所有的供应点和需求点都视为未分配，计算每个供应点到其他所有需求点的距离。
(2) 寻找最短路径：遍历所有的供应点和需求点，找到一条最短路径，将一对供应点和需求点连接起来。
(3) 更新距离：更新已经被连接的供应点和需求点的距离，将它们之间的距离设为 0，同时将其他供应点到这个需求点的距离加 1。
(4) 重复步骤 2 和 3：回到步骤 2，继续寻找最短路径，直到所有的供应点和需求点都被连接。
4.匈牙利算法的应用实例匈牙利算法广泛应用于实际问题中，如物流配送、任务分配、基因匹配等。
其中一个著名的应用实例是旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP），即给定一组城市和它们之间的距离，我们需要找到一个访问每个城市一次并返回出发点的最短路径。
虽然 TSP 问题目前没有已知的多项式时间算法，但匈牙利算法可以应用于其子问题，如最小生成树问题（Minimum Spanning Tree, MST），帮助我们找到一个较好的解决方案。
匈牙利算法 描述
匈牙利算法描述匈牙利算法是一种用于解决二分图最大匹配问题的算法，它由匈牙利数学家DénesKőnig和JenőEgerváry于1930年代开发而成。
该算法的主要用途是在给定一个二分图后，找出其最大的匹配，即找到最大的匹配顶点对，使得图中的边连接了尽可能多的顶点。
匈牙利算法在组合优化、网络流、计算几何等领域都有广泛的应用。
一、匈牙利算法原理匈牙利算法的基本原理是通过不断增广现有的匹配来逐步找到最大匹配。
在算法执行的过程中，它会不断尝试改进当前的匹配，找到更多的匹配边，直到无法再增广为止。
匈牙利算法是通过交替路径来实现增广匹配的。
在每一轮中，它会选择一个未匹配的起始顶点，并试图在图中找到一条交替路径，这条路径的定义是一种交替的交错顶点序列，其中相邻的两个顶点分别属于两条不相交的边。
找到这样的交替路径后，就可以通过将原匹配中的所选路径上的所有边的匹配状态进行交换，来增大当前的匹配数，如此不断重复直到无法再找到增广路径为止。
在匈牙利算法的执行过程中，需要着重考虑如何找到一条增广路径，以及如何有效地交换匹配。
通过合适的优化策略，匈牙利算法可以在较短的时间内找到最大匹配。
二、匈牙利算法步骤实际应用匈牙利算法时，通常会按照以下步骤来执行：1. 初始化：首先将所有顶点标记为未访问状态，并设置所有匹配为未知。
然后从第一个顶点开始，尝试寻找从该顶点出发的增广路径。
2. 寻找增广路径：从未匹配的顶点开始，逐一尝试寻找增广路径。
如果找到了增广路径，则将原来的匹配进行交换；如果找不到增广路径，则执行第4步。
3. 重标记：如果无法找到增广路径，需要对当前的标记状态进行调整，重新寻找增广路径。
4. 完成匹配：当无法再找到增广路径时，当前的匹配即为最大匹配，算法结束。
在实际的算法实现中，还可以通过一些优化措施来提高匈牙利算法的效率，例如路径压缩、节点标记等。
这些优化措施可以进一步提高算法的运行效率，使得匈牙利算法可以应用到更大规模的问题中。
匈牙利算法原理
匈牙利算法原理
匈牙利算法是一种用于解决二分图最大匹配问题的算法。
在二分图中，将图中的节点分为两个集合，分别为左侧节点集合和右侧节点集合，且左侧节点集合中的节点与右侧节点集合中的节点之间不存在边，只有左侧节点集合中的节点与右侧节点集合中的节点之间存在边。
二分图最大匹配问题就是找到一种最优的匹配方式，使得左侧节点集合中的每个节点都与右侧节点集合中的一个节点匹配。
匈牙利算法的基本思想是：从左侧节点集合中的每个节点开始，依次寻找与其匹配的右侧节点，如果找到了一个右侧节点，就将该右侧节点与左侧节点匹配，并继续寻找下一个左侧节点的匹配。
如果找不到一个右侧节点与该左侧节点匹配，就回溯到上一个左侧节点，并尝试匹配其他右侧节点，直到找到一个能够匹配的右侧节点或者所有的右侧节点都已经尝试过。
匈牙利算法的实现过程可以分为以下几个步骤：
1. 初始化：将所有的左侧节点都标记为未匹配状态。
2. 从左侧节点集合中的每个未匹配节点开始，依次进行匹配。
3. 对于每个未匹配节点，寻找与其相连的所有右侧节点，并尝试将其与该左侧节点匹配。
4. 如果找到了一个未匹配的右侧节点，就将该右侧节点与该左侧节点匹配，并将该左侧节点标记为已匹配状态。
5. 如果找不到一个未匹配的右侧节点与该左侧节点匹配，就回溯到上一个左侧节点，并尝试匹配其他右侧节点。
6. 如果所有的左侧节点都已经匹配完成，就得到了一个最大匹配。
7. 如果还存在未匹配的左侧节点，就说明无法找到一个最大匹配。
匈牙利算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n为节点的数量。
虽然时间复杂度比较高，但是匈牙利算法在实际应用中表现良好，可以处理大规模的二分图最大匹配问题。
km(kuhn-munkres)算法的具体表达
km(kuhn-munkres)算法的具体表达KM算法，即Kuhn-Munkres算法（又称为匈牙利算法），是一种用于求解二分图最大权匹配问题的经典算法。
它由Eugene L. Lawler于1960年首次提出，后来由James Munkres在1957年独立发表，因此常称为Kuhn-Munkres算法。
二分图最大权匹配问题是指给定一个带权二分图，要求在图中选取权重之和最大的边集合，使得任意两条边不属于同一个顶点。
其中，带权二分图是指图的每条边都带有一个非负权重。
KM算法使用了两个关键的概念：交错树和相等子图。
交错树是指一个T=（S，P）的有向树，其中S是原二分图的所有顶点的集合，P是树中的边集合。
相等子图是指原二分图的一个子图，其中T中所有入树边的权重之和等于所有出树边的权重之和。
KM算法具体的步骤如下：1.初始化：将图中所有边的权重初始化为0，构建了一个初始的交错树T=（X，Y）（其中X，Y分别表示两个顶点集合）。
2.判断相等子图：对于T中的每个顶点x，如果存在一条满足lx+ly=W（其中lx是x在T中所有入树边的权重之和，ly是x在T中所有出树边的权重之和，W是x在原图G中的权重），则把x加入到相等子图中。
3.寻找未匹配节点：在相等子图中寻找未匹配节点，并标记为未父节点。
4.寻找增广路：如果存在未匹配节点，则从中选择一个起始节点，寻找一条与之交替出现的边构成的路径，使路径的最后一个边是一条与未匹配节点关联的边。
这样的路径称为增广路。
5.修改标号：对于相等子图中的每个顶点x，从已匹配节点中选择一个与之关联的顶点y，并计算d=min(lx+ly-w)（其中w是x和y之间的边的权重），为了使增广路更优，将T中所有x节点的入树边的权重减去d，将T中所有y节点的出树边的权重加上d。
6.更新交错树：将增广路中的所有边和T中的所有非树边进行调整，得到新的交错树。
7.重复步骤3-6，直到没有未匹配节点为止。
匈牙利算法
匈牙利算法
一、计算步骤
1、列出单价运算表。
2、找出各个行中的最小值，分别每行分别减去该行的最小值；其次，找出各个列的最小值，每一列减去该列相对应的最小值。
3、通过第二步，会得到一部分的0值，我们对这一部分的0值，进行运算即：找出唯一只有一个0的行，将这个0圈出，并将有这个0的这一列划去，对剩余部分的找出唯一只有一个0的列，将这个0圈出，将有0的这一行划去。
4、重复步骤三，知道所有0都被找出。
5、若被圈出0的个数与行（列）数m相同即为最优解。
6、若小于m，找出剩余数中的最小值k，没被划去的每行的ui=k，其余为0，没被划去的每列的vj=0，其余为-k，用每一个值减去对应行列的ui,vj.
7、重复步骤6，直至被圈出0的个数等于m，即找到最优解。
二、例题
有一份说明书, 要分别译成英、日、德、俄四种文字, 交甲乙丙丁四个人去完成. 因各人专长不同, 他们完成翻译不同文字所需的时间如表所示. 应如何分配, 使这四人分别完成这四项任务总的时间最少.。
匈牙利算法的步骤：
匈牙利算法的步骤：
第一步变换效率矩阵，使各行各列都出现 0 元素。
1°效率矩阵每行元素都减去该行最小元素；
2°效率矩阵每列元素都减去该列最小元素。
第二步圈出不同行且不同列的 0 元素，进行试指派。
1°（行搜索）给只有一个0 元素的行中的0 画圈，记作“◎”，并划去与其同列的其余0元素；
2°（列搜索）给只有一个0 元素的列中的0 画圈，记作“◎”，并划去与其同行的其余0元素；
3°反复进行1°、2°，直至所有0元素都有标记为止。
4°若行（列）的0元素均多于一个，则在0元素最少的行（列）中选定一个0元素，标“◎”,并划去与其同行同列的其余0元素。
5°若不同行且不同列的“◎”已达n个，则令它们对应的xij =1，其余xij =0，已得最优解，计算停，否则转第三步。
第三步用最少直线覆盖效率矩阵中的0元素。
1°对没有“◎”的行打“√”；
2°对打“√”行中的0元素所在列打“√”；
3°对打“√”列中“◎”所在行打“√”；
4°反复进行2°、 3°，直至打不出新“√”为止。
5°对没打“√”的行画横线，对打“√”列画竖线，则效率矩阵中所有0元素被这些直线所覆盖。
第四步调整效率矩阵，使出现新的0元素。
1°找出未被划去元素中的最小元素，以其作为调整量θ；2°矩阵中打“√”行各元素都减去θ，打“√”列各元素都加θ（以保证原来的0元素不变），然后去掉所有标记，转第二步。
分布式匈牙利算法
分布式匈牙利算法分布式匈牙利算法是一种用于解决二分图最大匹配问题的算法。
它将经典匈牙利算法中的搜索过程并行化，从而加快了解决问题的速度。
本文将介绍分布式匈牙利算法的原理、步骤以及应用。
1. 原理分布式匈牙利算法的原理是将一个大的二分图分成若干个小的二分图，每个小二分图可以在一个处理单元上运行，处理单元之间通过通信协作实现匹配过程。
具体来说，算法会将一个大的二分图分为若干个互不相交的子二分图，在每个子二分图中使用经典的匈牙利算法来寻找匹配，然后将匹配好的节点发送给其他的子二分图进行进一步的匹配，直到所有的子二分图都没有匹配可做为止。
分布式匈牙利算法的核心在于如何将大的二分图分解成小的二分图。
这个问题可以通过图分割算法来解决。
常用的图分割算法有最小割算法和谱聚类算法。
最小割算法将图划分为两个互不相交的子图，谱聚类算法则是一种基于矩阵特征值分解的算法，它可以将图划分为若干个互不相交的子图。
2. 步骤步骤1：将大的二分图分解成若干个互不相交的子二分图。
可以使用最小割算法或谱聚类算法实现。
步骤2：在每个子二分图上使用经典的匈牙利算法寻找匹配。
步骤3：将匹配好的节点发送给其他的子二分图进行进一步的匹配。
步骤4：重复步骤2和步骤3，直到所有的子二分图都没有匹配可做为止。
步骤5：将所有子二分图上匹配的结果合并成一个大的匹配结果。
3. 应用分布式匈牙利算法可以应用于解决大型二分图匹配问题。
在实际生产中，分布式匈牙利算法可以应用于图像识别、推荐系统、社交网络等方面。
例如，在推荐系统中，分布式匈牙利算法可以通过将用户和推荐物品分为若干个子二分图，然后在每个子二分图上使用匈牙利算法来寻找匹配，最终得出所有用户和物品的匹配结果。
匈牙利算法流程
匈牙利算法流程匈牙利算法是一种经典的图论算法，用于解决二分图的最大匹配问题，其流程简洁而高效。
下面将以人类的视角来叙述匈牙利算法的流程。
我们假设有一个二分图，其中左边有一组顶点，右边有另一组顶点。
我们的目标是找到一个最大的匹配，即找到左边的每个顶点与右边的某个顶点之间的边，使得每个右边的顶点最多与一个左边的顶点相连。
开始时，我们将所有的边标记为未匹配状态。
然后，我们从左边的第一个顶点开始，尝试寻找一个未匹配的右边的顶点。
如果找到了，我们将这条边标记为匹配状态，并继续寻找下一个左边的顶点。
如果没有找到，我们就需要进行增广路径的寻找。
为了寻找增广路径，我们从未匹配的左边顶点开始，沿着它的边逐个访问右边的顶点。
如果当前的右边顶点已经匹配了，我们就尝试寻找与这个右边顶点相匹配的左边顶点，然后再以这个左边顶点为起点，继续递归地寻找下一个右边顶点。
如果找到了增广路径，我们就可以通过交替匹配和取消匹配来增加匹配数目。
为了实现这个过程，我们需要用一个数组来保存每个左边顶点的匹配状态，另一个数组来保存每个右边顶点的匹配状态。
同时，我们还需要一个标记数组来记录每个左边顶点是否已经访问过。
通过深度优先搜索的方式，我们可以找到增广路径并更新匹配状态。
当所有的左边顶点都被访问过时，我们就找到了一个最大的匹配。
此时，我们可以输出匹配数目，或者根据需要输出具体的匹配方案。
总结一下，匈牙利算法通过不断寻找增广路径来增加匹配数目，直到无法找到增广路径为止。
它的核心思想是通过深度优先搜索来寻找增广路径，以达到最大匹配的目标。
这个算法简单而高效，被广泛应用于实际问题的求解中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
匈牙利算法的步骤：
第一步变换效率矩阵，使各行各列都出现 0 元素。
1°效率矩阵每行元素都减去该行最小元素；
2°效率矩阵每列元素都减去该列最小元素。
第二步圈出不同行且不同列的 0 元素，进行试指派。
1°（行搜索）给只有一个0 元素的行中的0 画圈，记作“◎”，并划去与其同列的其余0元素；
2°（列搜索）给只有一个0 元素的列中的0 画圈，记作“◎”，并划去与其同行的其余0元素；
3°反复进行1°、2°，直至所有0元素都有标记为止。
4°若行（列）的0元素均多于一个，则在0元素最少的行（列）中选定一个0元素，标“◎”,并划去与其同行同列的其余0元素。
5°若不同行且不同列的“◎”已达n个，则令它们对应的xij =1，其余xij =0，已得最优解，计算停，否则转第三步。
第三步用最少直线覆盖效率矩阵中的0元素。
1°对没有“◎”的行打“√”；
2°对打“√”行中的0元素所在列打“√”；
3°对打“√”列中“◎”所在行打“√”；
4°反复进行2°、 3°，直至打不出新“√”为止。
5°对没打“√”的行画横线，对打“√”列画竖线，则效率矩阵中所有0元素被这些直线所覆盖。
第四步调整效率矩阵，使出现新的0元素。
1°找出未被划去元素中的最小元素，以其作为调整量θ；2°矩阵中打“√”行各元素都减去θ，打“√”列各元素都加θ（以保证原来的0元素不变），然后去掉所有标记，转第二步。