顶角是20度的等腰三角形问题

顶角是20度的等腰三角形问题

问题A：△ABC中，D在AB上，∠A=20度，AB=AC,AD=BC,求∠BDC的度数

解1：以AB为一边，在AB内侧做正三角形ABF，连结CF。得∠FBC=80°-60°=20°后，用两边夹角可证明△ADC≌△BCF，得∠CFB=∠DCA。由CAF=40°得∠AFC=70°，而∠AFB=60°，故∠CFB=10°。所以∠BDC=20°+10°＝30°。

解2：用正弦定理：如图，在AB上取一点E使BE＝BC，连结CE，

∠A＝20°，∠B＝80°，∠BCE＝50°，∠ACE＝30°

设∠BDC＝α则∠BCD＝100°－α

在△ACE中，CE/AE＝sin20°/sin30°(1)

在△BCD中，BD/BC＝sin(100°－α)/sinα（2）

在△BCE中，BC/CE＝sin50°/sin80°（3）

注意到AE＝BD有(1)×(2)×(3)得：左＝1

∴右＝1即得，

sin20°sin(100°-α)sin50°＝sin30°sin80°sinα

由sin30°=1/2, sin80°=2 sin40°cos40°及正余弦转化公式

化为：sin20°cos(10°－α)cos40°＝sin40°cos40°sinα

再用半角公式得

∴cos(10°－α)＝2cos20°sinα

得锐角α＝30°

问题B：△ABC中，E在AB上，D在AC上，AB=AC，AE=ED=DB=BC,求∠A的度数

。此题为证明角A等于20度较好。解1：设AE=a，∠BAC=α，∠ABC=β，则α+2β=180°。过E做DB的平行线交BC于F，过B做DE平行线交EF于G，连接GC。邻边都为a的平行四边形DBGE是菱形。用两边夹角可得△ADE≌△ECG。GC=a，BGC是正三角形。∠DEG等于2×0.5α。∠BGC=α+2α=60，α=20°

解2：设AE=a，∠A=α，∠B=β，则α+2β=180°。做CF使△ABE≌△FB C，FC与AB交于H，则CHB=β，过A做线段较FH于G，使∠GAB=α。由∠AHG=β得∠AGH=β，AG=AH。△AGB≌△AH C，得∠AGB=180°-β=α+β，得∠BGH=α，得GC=AD，得FG=GB。∠FGA=180°-β=α+β。△AFG≌△AB G。得△AFC是等边三角形。∠FAC=3α=60°。得α=20°