顶角是20度的等腰三角形问题
等腰三角形的性质习题附答案
等腰三角形的性质一.判断题 (本大题共 40 分)1. 等腰三角形内一点到底边两端点距离相等, 则这点和这个等腰三角形的顶点及底边 中点在同一直线上. ( )2. 已知如图AB ＝AC, OB ＝OC, 则∠ABO ＝∠ACO( )3. 如图已知△ABC 中AB ＝AC, AD 平分△ABC 的外角∠EAC, 则AD ∥BC. ( )4. ( )5. 等腰三角形的底角一定是锐角．( )6. 已知如图, △ABC 是等边三角形, D 是BC 中点 DE ⊥AC 于E, 则 EC ＝AC( )7. 等腰三角形的底角不一定是锐角. ( )8. 如图△ABC 中AB ＝AC, D 、E 分别为AC 、BC 上的点, 则DB ＞DE ( )9. 等腰三角形底边上的高上任意一点到两腰的距离相等 ( ) 10. 等腰三角形两腰上中线的交点到底边的两端点距离相等.( ) 11. 如图, D 是等腰三角形底边BC 上一点. 则 ∠ADC ＞∠C. ( )12. 等腰三角形一腰上中线把它周长分为15cm 和6cm 两部分,则这个三角形三边长为10cm 、10cm 、1cm( )13. 等腰三角形中, 两个角的比为1:4, 则顶角的度数为20°. ( )14. 等边三角形的边长为a, 则高为 a. ( ) 15. 等腰三角形的顶角可以是直角、锐角或钝角. ( )16. 如图, 已知: △ABC 的AB ＝AC, D 是AB 上一点, DE ⊥BC, E 是垂足, ED 的延长线交CA 的 延长线于F, 则AD ＝AF. ( )17. 如图B 、D 、E 、C 在同一直线上, 若AB ＝AC, ∠1＝∠2, 则 ∠3＝∠4. ( )18. 等边三角形ABC 中, D 是AC 中点, E 为BC 延长线上一点, 且 DB ＝DE. 则 CE ＝CD( )19. 已知, △ABC 中, AB ＝AC, ∠B ＝75°, CD ⊥AB 于D, 则CD ＝AB( )20. 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.( )21. 如图, B 、D 、E 、C 在同一直线上, 若AB ＝AC, ∠3＝∠4, 则∠1＝∠2.( )22. 因为等腰三角形的底角一定是锐角, 所以等腰三角形是锐角三角形. ( ) 23. 如图, △ABC 和△CDE 都是等边三角形, 则 AD ＝BE. ( )24. 如图, 已知: 四边形ABCD 中, ∠ABC ＝∠ADC, AB ＝AD, 则 CB ＝CD. ( )25. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半, 这个三角形不一定是直角三角形. ( ) 26. 等腰三角形角平分线、高线、中线在同一条直线上 ( ) 27. 已知如图, △ABC 中, ∠B ＞∠C, 点D 是AC 上的一点, 且AD ＝AB, 则∠DBC ＝(∠ABC-∠C)( )28. 如果等腰三角形的顶角为50°, 那么一腰上的高与底边的夹角是40°.( )29. 已知△ABC 中, AB ＝AC, D 在AB 上且∠DCB ＝∠A, 则 CD ⊥AB ( )30. 等腰三角形两腰上的中线相等. ( )31. 已知△ABC 中, AB ＝AC, CD ⊥AB 于D, 则 ∠DCB ＝∠A( )32. 如图, AB ＝AE, ∠B ＝∠E, CB ＝ED. F 是CD 的中点, 则AF ⊥CD. ( )33. 等腰三角形顶角的顶点到两腰中线的距离相等. ( )34. 已知: 如图在△ABC 中, AB ＝AC, D 是BC 延长线上一点, E 是AB 上一点, DE 交AC 于点F , 则 AE ＜AF ( )35. 在△ABC 中, AB ≤AC, 延长CB 到D, 使BD ＝BA, 连结AD, 则 AD ＜AC.( )36. 已知: 如图, D 为等腰直角△ABC 的直角边BC 延长线上一点, 且CD ＝CE, BE 延长线交AD 于F, 则BF ⊥AD( )37. 在△ABC 中, ∠A ＝2∠B, 则BC ＜2AC. ( )38. 已知, 如图 AD ＝DC, DE 平分∠ADB, F 是AC 中点, 则DE ⊥DF. ( )39. 已知如图: △ABC 和△ADE 都是等腰三角形且顶角∠BAC ＝∠DAE, 则BD ＝CE ( )40. 如图, 已知: △ABC 中, ∠ABC ＝2∠C, AH ⊥BC, 垂足为H 延长AB 至D, 使 BD ＝BH,DH 的延长线交AC 于点M, 则MA ＝MC( )二.单选题 (本大题共 60 分)1.在△ABC中, AB=AC, ∠A=40°, 点O在三角形内且∠OBC=∠OCA, 则∠BOC的度数是[ ]A.110°B.35°C.140°D.55°2.如图在△ABC中, AB＝AC, ∠A＝40°, P为△ABC内的一点, 且∠PBC＝∠PCA,则∠BPC的度数是[ ] A.115° B.110° C.120°D.130°3.等腰三角形一边长5cm, 另一边长是3cm, 它的周长是 [ ]A.11cmB.13cmC.11cm或13cmD.以上都不对4.等腰三角形的一个角等于20°, 则它的另外两个角等于 [ ]A.20°、140°B.20°、140°或80°、80°C.80°、80°D.20°、80°5.已知等腰三角形的一边长为4, 另一边长为9, 则它的周长为[ ]A.17B.17或22C.22D.136.一个等腰三角形的一个内角为70°, 则它一腰上的高与底边所夹的角的度数为[ ] A.55° B.55°或70° C.20°D.20°或35°7.等腰三角形顶角的度数是底角度数的4倍, 那么,它的底角的度数是[ ]A.120°B.30°C.60°D.90°8.有一个角是50°的等腰三角形其顶角的度数为 [ ] A.80° B.50° C.80°或50° D.65.5°9.等腰三角形周长12厘米，其中一边长2厘米，其他两边分别长 [ ]A．2厘米，8厘米 B．5厘米，5厘米C．5厘米，5厘米或2厘米，8厘米 D．无法确定10.等腰三角形两边分别为35厘米和22厘米, 则它的第三边长为 [ ]A.35cmB.22cmC.35cm或22cmD.15cm11.已知等腰三角形的两个角之比为1∶2, 则顶角的度数是[ ]A.90°B.36°C.36°或90°D.120°12.等腰三角形两边长是9cm和15cm, 则它的周长是 [ ]A.24cmB.33cmC.39cmD.33cm或39cm13.等边三角形ABC中, CD是∠ACB的平分线, 过D作BC的平行线交AC于E, 若△ABC的边长是a, 则△ADE的周长是 [ ]A.2aB. aC. aD. a14.如果等腰三角形的周长为21, 其中一边长为5, 那么此等腰三角形底边长是 [ ]A.11B.5C.5或11D.815.已知等腰三角形中一个角为50°, 则这个三角形腰上的高和底边夹角的度数为 [ ]A.25°B.40°C.25°或40°D.以上答案都不对16.在等腰△ABC中, AB的长是AC的二倍, 三角形的周长是40, 则AB的长等于. [ ]A.20B.16C.20或16D.1017.等腰三角形的底边为a, 顶角是底角的4倍. 则腰上的高为 [ ]A.aB.C. aD.2a18.已知等腰三角形的一边长为5, 另一边长为6, 则它的周长为 [ ]A.16B.16或17C.17D.1119.等腰三角形底边长为5厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长之差为3厘米，则它的腰长为[ ]A ．8厘米B ．5厘米C ．2厘米或8厘米D ．2厘米20. 等腰三角形有一个角是45°, 那么这个三角形是 [ ] A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不唯一确定21. 如图△ABC 中, AB ＝AC, 且EB ＝BD ＝DC ＝CF, ∠A ＝40°, 则∠EDF 的度数为[ ]A.70°B.110°C.55°D.60°22. 已知等腰三角形的一个角为20°, 则它的另外两个角分别为[ ]A.20°,140°B.80°,80°C.20°,140°或80°,80°D.20°,80°23. 如果一个等腰三角形的一腰是顶角平分线的2倍, 那么这个三角形必有一个内角等于[ ]A.45°B.60°C.90°D.120°24. 如图, 在Rt △ABC 中, ∠C=90°, ∠DBC=26°,且AD=DB,则∠A=[ ]A.26°B.32 °C.64°D.52° 25. 一个等腰三角形的角平分线、高线和中线的总数最多有[ ]A ．3条B ．5条C ．7条D ．9条26. 至少有两边相等的三角形是 [ ] A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形D ．锐角三角形27. 已知：等腰三角形的一边等于4, 一边等于8, 则这个等腰三角形的周长是 [ ] A.20 B.16 C.20或16 D.无法确定 28. 如图, AB ＝AC, FD ⊥BC 于D, DE ⊥AB 于E, 若∠AFD ＝155°, 那么∠EDF 的度数是[ ]A.45°B.55°C.65°D.75°29. 一条等腰三角形底边上的高等于底边的一半, 那么这个等腰三角形的顶角 [ ]A.小于60°B.等于60°C.等于90°D.大于90°30. 等边三角形的高、中线、角平分线共有________条．[ ]A.9B.7C.6D.3 31. 等腰三角形有一个角是，则它顶角的大小为 [ ] A ． B ．C ．D ．32. 等腰三角形的两边长为25cm 和12cm, 那么它的第三条边长为[ ]A.25cmB.12cmC.25cm 或12cmD.37cm 33. 在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，并交AC 于D ．如果∠CDB ＝，那么∠A 等于[ ]A ．B ．C ．D ．34. 若一个等腰三角形的两边分别是3cm 和6cm, 则它的周长为 [ ]A.15cmB.12cmC.12cm 或15cmD.18cm35. 如果一个三角形的三条高线的交点恰是这个三角形的一个顶点，那么此三角形 [ ] A ．是锐角三角形 B ．是钝角三角形 C ．是直角三角形D ．形状不确定36. 等腰三角形两边是9cm 和15cm, 则它的周长是 [ ]A.24cmB.33cmC.39cmD.33cm 或39cm37. 等腰Rt △ABC 中, ∠C ＝90° D 是BC 上一点, 且AD ＝2CD 则 ∠ADB 的度数为 [ ] A.30° B.60° C.120° D.150°38. 已知等腰三角形的一边等于4, 一边等于8, 则这个等腰三角形的周长是 [ ] A.20 B.16 C.20或16 D.无法确定39. 已知：如图, △ABD 和△ACE 均为等边三角形, 那么△ADC ≌△AEB 的根据是 [ ]A.边,边,边B.边,角,边C.角,边,角D.角,角,边40. 一个等腰三角形底边上的高等于底边的一半, 那么这个等腰三角形的顶角 [ ] A.小于60° B.等于60° C.等于90° D.大于90° 41. 在△ABC 中, AB ＝AC, ∠A+ ∠B ＝130°, 则∠A 、∠B 、∠C 的度数是[ ]A.∠A ＝50°、∠B ＝80°、∠C ＝80°B.∠A ＝50°、∠B ＝80°、∠C ＝50°C.∠A ＝50°、∠B ＝50°、∠C ＝80°D.∠A ＝80°、∠B ＝50°、∠C ＝50°42. 等腰三角形顶角是84°,则一腰上的高与底边所成角的度数是 [ ] A.42° B.6° C.36° D.46°43. 如图: AB ＝AC, ∠BAD ＝30°AD ⊥BC 且AD ＝AE, 则∠EDC ＝[ ]A.10°B.12.5°C.15°D.20° 44. 等腰三角形一腰上的高与底所夹的角等于 [ ] A.顶角 B.顶角的 C.顶角的2倍 D.底角的45. 等腰三角形边长分别是3和6，这个三角形的周长是[ ]A ．9B ．12C ．15D ．12或1546. 用一条长为12cm 的铁丝做等腰三角形, 底和腰的长必须是正整数, 若底的长为xcm,则腰的长y 可为 [ ]A.5cmB.5cm 或4cmC.4cmD.-5cm47. 一个等腰三角形底边为8cm, 从底边上一个端点引腰的中线, 分三角形周长为两部 分, 其中一部分比另一部分长2cm, 则腰长为 [ ]A.6cmB.10cmC.6cm 或10cmD.以上都不对48. 一个等腰但非等边三角形, 它的角平分线, 中线和高线的条数共为 [ ] A.6 B.7 C.8 D.949. 已知：如图在△ABC 中, AB=AC, CD 为∠ACB 平分线,DE ∥BC,∠A=40°, 则∠EDC 的度数是[ ]A.30°B.36°C.35°D.54°50. 等腰三角形两个角的比为4∶1, 则顶角为 [ ]A.120°B.20°C.120°或20°D.150°51. 如图已知: AB ＝AC ＝BD, 那么∠1与∠2之间的关系满足[ ]A.∠1＝2∠2B.2∠1+∠2＝180°C.∠1+3∠2＝180°D.3∠1-∠2＝180°52. 若等腰三角形的两边a 、b 满足，则此等腰三角形的周长为 [ ] A ．7 B ．5 C ．8 D ．7或553. 等腰△ABC 中，两腰上的中线BE 、CD 交于O ，则下列判断中错误的是[ ]A ．△ADC ≌△AEB B ．△DBC ≌△ECB C ．△ABE ≌△BCDD ． △BOD ≌△COE54. 从等腰三角形底边上任一点，分别作两腰的平行线所成的四边形的周长等于此等腰三角形的[ ]A ．周长B ．周长一半C ．一腰长D ．两腰长的和 55. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于 [ ]A ．顶角B ．顶角的一半C ．顶角的2倍D ．底角的一半56. 如下图，△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，且DE=BE ，DF=DC ，若∠A=，则∠EDF=[ ]A ．B ．C ．D ．57. 等腰三角形底边长为5厘米, 一腰上的中线把三角形分成两部分, 其周长之差为3厘米, 则它的腰长为 [ ]A.2厘米B.8厘米C.2厘米或8厘米D.9厘米58. 如图△ABC 中, AB ＝AC, ∠A ＝50°, P 是△ABC 内的一点, 且∠PBC ＝∠PCA, 则∠BPC的度数为[ ]A.115°B.100°C.130°D.140°59. 如图, △ABC 中, AB ＝AC, CD ⊥AB, 则关于∠A 正确的等式是[ ]A.∠A ＝∠BB.∠A ＝∠ACBC.∠A ＝2∠ACBD.∠A ＝2∠DCB60. 如图在△ABC 中, AB ＝AC, BC ＝BD, AD ＝DE ＝EB, 则∠A 的度数是[ ]A.30°B.36°C.45°D.54°三.填空题 (本大题共 30 分)1. 周长为20cm 的等腰三角形中, 底边长为acm, 则一腰长为________cm ．2. 如图△ABC 中, AB ＝AC, ∠A ＝40°, ∠AED ＝∠F, 则∠F ＝___________度.3. 已知等腰三角形有两条边的长分别是3cm 和7cm, 那么这个三角形的周长等于__________cm4. 已知如图, A 、D 、C 在一条直线上AB ＝BD ＝CD, ∠C ＝40°, 则∠ABD ＝______度.5. 等腰三角形的周长为36, 腰比底长3, 则此等腰三角形的腰长为________, 底边长为________．6. 等腰三角形的底边为12cm,且腰是底的, 则三角形的周长是_______cm7. 已知等腰三角形的一个底角等于顶角的4倍, 则这个等腰三角形的顶角为_______度. 8. 等腰三角形底边中线与________和________重合．9. 已知: 如图: △ABC 中, AB ＝BC, ∠B ＝90°, AD ∥BC, ∠D ＝70°, 则∠EFA ＝____度10. 已知：等腰三角形的一个角为100°, 则另两个角的度数为________．11. △ABC 中，如果AB=AC ，点M 是BC 边中点，那么M 到______两边的距离相等，AM 上的点到_____ _两点的距离相等。
顶角为20度的等腰三角形难题
顶角为20度的等腰三角形难题例1. 在⊿ABC中,AB=AC,且∠A=20°,在为AB上一点,AD=BC,连接CD.试求:∠BDC的度数.分析:题中出现相等的线段,以此为突破口,构造全等三角形.@解:作∠DAE=∠B=80°,使AE=BA,(点D,E在AC两侧)连接DE,CE.∵AE=BA;AD=BC;∠DAE=∠B.∴⊿DAE≌⊿CBA(SAS),DE=AE;∠DEA=∠BAC=20°.∠CAE=∠BAE-∠BAC=60°,又AE=AB=AC.∴⊿AEC为等边三角形,DE=CE;∠DEC=∠AEC-∠DEA=40°.则:∠CDE=70°;又∠ADE=80°.故∠ADC=150°,∠BDC=30°.-例2.已知,如图:⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°.点D和E分别在AB,AC上,且∠BCD=50°,∠CBE=60°.试求∠DEB的度数.（本题貌似简单,其实不然.解:过点E作BC的平行线,交AB于F,连接CF交BE于点G,连接DG.易知⊿GEF,⊿GBC均为等边三角形.∴∠FEG=∠EFG=60°;∠AFG=140°,∠DFG=40°;∵∠BCG=50°;∠CBD=60°.∴∠BDC=50°=∠BCD,则BD=BC=BG;又∠ABE=20°.故∠BGD=80°,∠DGF=180°-∠BGD-∠FGE=40°.即∠DGF=∠DFG,DF=DG;又EG=EF;DE=DE.；∴⊿DGE≌⊿DFE(SSS),得:∠DEG=∠DEF=30°.所以,∠DEB=30°.例3.已知,等腰⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°,D和E分别为AB和AC上的点,且∠ABE=10°,∠ACD=20°.试求:∠DEB的度数.$本题相对于上面两道来说,难度又增加了许多.且看我下面的解答.解:在CA上截取CM=CB,连接BM,DM,则∠CMB=∠CBM=50°.作DG∥BC,交AC于G,连接BG,交CD于F,连接FM.易知⊿BCF和⊿DGF为等边三角形,CM=CB=CF.∴∠CMF=∠CFM=80°,∠GMF=100°.∠GFM=∠GFC-∠CFM=40°;∠FGM=∠A+∠ABG=40°.即∠GFM=∠FGM;FM=GM;又∠DF=DG,DM=DM.则⊿DMF≌⊿DMG,∠DMG=∠DMF=50°.故∠DMC=130°=∠EMB;又∠DCM=∠EBM=20°.∴⊿DMC∽⊿EMB,DM/MC=EM/MB;又∠DME=∠BMC=50°.∴⊿DME∽⊿CMB,∠DEM=∠CBM=50°.又∠BEC=∠ABE+∠A=30°.所以,∠DEB=∠DEG-∠BEC=50°-30°=20°.。
数学三角形试题答案及解析
数学三角形试题答案及解析1.如图，从5根小棒中任意取出3根，你能摆出几种不同的三角形呢？【答案】3种【解析】三角形三条边的特性：任意两边的长度和大于第三边，任意两边的长度差小于第三边．根据此特性，进行组合．解：可能的组合是：①2厘米、2厘米、3厘米；②3厘米、3厘米、4厘米；③2厘米、3厘米、4厘米；可以摆3种不同的三角形．答：可以摆3种不同三角形．点评：此题考查三角形三条边的特性：任意两边的长度和大于第三边，任意两边的长度差小于第三边．2.分别在点子图中画出锐角三角形、等腰直角三角形和钝角三角形．【答案】【解析】根据它们的定义：三个角都是锐角的三角形，叫做锐角三角形；有一个角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形；有一个角是钝角的三角形，是钝角三角形；进而画出即可．点评：此题考查了三角形按角分类的方法，应灵活理解并掌握角的概念．3.一个三角形的周长是40厘米，三条边长度的比是3：3：2．这个三角形三条边的长各是多少厘米？这个三角形是什么三角形？【答案】是15厘米，15厘米，10厘米，这个三角形是等腰三角形．【解析】根据比与分数的关系知三条边各占周长的，，，三角形的周长是40厘米，求出三条边的长，再根据三角形的分类确定是什么三角形．解：40×=15（厘米），40×=15（厘米），40×=10（厘米），因有两条边相等，所以这个三角形是等腰三角形．答：三条边的长度分别是15厘米，15厘米，10厘米，这个三角形是等腰三角形．点评：本题的关键是根据比与分数的关系求出各条边占周长的几分之几，再根据分数乘法的意义出各条边的长，然后再确定是什么三角形．4.【答案】【解析】（1）根据锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的含义：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；据此判断；（2）从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，从顶点到垂足之间的线段是三角形的高，据此画图．解：（1）观察图形可知，第一个三角形是直角三角形；第二个三角形是锐角三角形，第三个三角形是钝角三角形；（2）第一个三角形下面的直角边就是图中标出的底上的高；另外两个三角形的高，用三角板的一条直角边与底边重合，沿重合的底边平移三角板，使三角板的另一条直角边和底边对着的顶点重合，过顶点沿直角边向底画垂线段即可；点评：此题考查了学生根据三角形高的定义画高的能力．5.算一算．【答案】74°、53°、61°，61°．【解析】利用三角形的内角和是180度即可作答．解：∠A=180°﹣31°﹣75°=74°；∠C=180°﹣90°﹣37°=53°；∠B=∠C=（180°﹣58°）÷2=61°．如图所示：点评：此题主要考查三角形的内角和等于180°的性质．6.一个直角三角形的锐角是48°，另一个锐角是多少度？【答案】42度．【解析】根据三角形的内角和公式，用“180°﹣90°=90°”求出直角三角形的另外两个内角的度数和，然后根据给出的一个锐角的度数，求出另外一个内角的度数．解：180°﹣90°﹣48°，=90°﹣48°，=42°；答：另一个锐角是42度．点评：此题考查了三角形的内角和，应注意知识的灵活运用．7.一个钝角三角形，它的两个锐角分别是32°和63°．．【答案】错误．【解析】根据三角形按角分类的方法，可知钝角三角形中有一个角是钝角，由此利用三角形的内角和计算出这个三角形的第三个角的度数，即可进行判断．解：两个锐角分别是32°和63°，则：第三个角的度数是：180°﹣32°﹣63°=85°，经过计算可知，这个三角形的三个角都是锐角，它是一个锐角三角形．点评：此题考查钝角三角形的性质以及三角形内角和定理的灵活应用．8.三角形ABC中，∠A=70°，∠B=30°，∠C=？它是什么三角形？【答案】锐角三角形．【解析】根据三角形的内角和等于180°，已知两个角的度数，求出第三个角的度数，即可判断出此三角形的类型．解：因为△ABC中，∠A=70°，∠B=30°，所以∠C=180°﹣30°﹣70°=80°＜90°，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，故此三角形是锐角三角形．点评：题考查了三角形内角和定理及判断三角形类型的方法，较简单．9.求下面每个三角形中未知角的度数．∠2=；∠C=；∠B=．【答案】40°，50°，37°．【解析】在直角三角形中，两个锐角的和是90度，已知其中一个锐角，求另一个锐角用减法计算；在图2中，已知其中两个锐角，求另一个锐角用180度分别减去这两个锐角；据此解答．解：∠2=90°﹣50°=40°，∠C=180°﹣85°﹣45°=50°，∠B=90°﹣53°=37°；点评：本题关键是明确三角形的内角和是180°．10.一个三角形，三个内角的度数比是1：2：3，这是一个什么三角形？【答案】直角三角形．【解析】三角形的内角和为180°，进一步直接利用按比例分配求得份数最大的角，进而按照三角形的分类解答即可．解：180×=90（度），根据直角三角形的含义可知：该三角形是直角三角形；答：这个三角形是直角三角形．点评：此题主要利用三角形的内角和与按比例分配来解答问题；用到的知识点：直角三角形的含义．11.一个三角形三个内角的度数比是2：3：4，这个三角形三个内角分别是多少度？【答案】40°、60°、80°．【解析】三角形的内角和为180°，进一步利用按比例分配直接计算得出结论即可．解：180°×=40°；180°×=60°；180°×=80°．答：这三个内角分别是40°、60°、80°．点评：此题主要利用三角形的内角和与按比例分配解决问题．12.围篱笆．甲乙哪种方法更牢固，为什么？原因是：．【答案】乙，三角形具有稳定性．【解析】根据三角形具有稳定性的性质，即可选择正确答案．解：由三角尺的特性可知：乙种方法最牢固；因为三角形具有稳定性；点评：此题考查了三角形的稳定性，要注意三角形的稳定性在实际生活中的应用．13.一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的度数和的2倍，这个三角形是三角形．【答案】钝角．【解析】如果三角形一个内角的度数等于另外两个内角的度数和的2倍，，那么第三个内角就是最大角，设另外两个角的度数之和是x度，则第三个角的度数就是2x，根据三角形内角和是180度可得：x+2x=180，由此求出x的度数，再根据三角形的分类进行解答．解：设另外两个角的度数之和是x度，则第三个角的度数就是2x，根据三角形内角和是180度可得：x+2x=180，3x=180，x=60，60×2=120（度），最大的角是120度，是钝角，所以这个三角形是钝角三角形．点评：本题的关键是求出三角形的最大角，然后根据三角形的分类确定其形状．14.量一量，这个三角形中最大的角是度，这是一个三角形，请你画出底边上的高．【答案】115，钝角．【解析】先用量角器量出三角形中钝角的度数，即为这个三角形中最大的角的度数，再根据钝角三角形的定义作出判断；从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，从顶点到垂足之间的线段是三角形的高，据此画出底边上的高．解：用量角器测量可知：这个三角形中最大的角是115度，这是一个钝角三角形，点评：本题考查了角的度量，三角形的分类和学生根据三角形高的定义画高的作图能力．15.取4根同样长的火柴，可以摆成一个三角形．．【答案】错误．【解析】根据三角形的含义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，可知：4根同样长的火柴，不可以摆成一个三角形，因为在三角形中，任意两边之和大于第三边；据此判断即可．解：如图：取4根同样长的火柴，如果摆出一个三角形，只能重合；点评：此题应根据三角形的含义，并结合三角形的特性进行解答．16.求下面各角的度数．∠A=∠B=∠B=∠C=∠C=．【答案】56°；48°；66°；29°．【解析】（1）因为是直角三角形，所以∠A和34°角的和是90°，则∠A=90°﹣34°；（2）∠C和18°角、90°角组成一个平角，可以求出∠C的度数，再根据三角形的内角和是180°，即可求出∠B的度数=180°﹣60°﹣∠C；（3）因为是等腰三角形，所以两个底角相等，所以∠B=∠C=（180°﹣48°）÷2；（4）∠A和119°角组成一个平角，即可求出∠A的度数，因为在直角三角形里，所以求出∠C=90°﹣∠A；据此解答即可．解：（1）∠A=90°﹣34°=56°；（2）∠C=180°﹣90°﹣18°=72°，∠B=180°﹣60°﹣72°=48°；（3）∠B=∠C=（180°﹣48°）÷2=66°；（4）∠A=180°﹣119°=61°，∠C=90°﹣61°=29°．点评：此题主要考查三角形内角和的灵活运用．17.学校要举行一次风筝比赛，小红准备亲自设计一个风筝．设计要求这个风筝的造型是等腰三角形，它的一个底角是顶角的2倍．计算一下这个风筝三个内角各是多少度？【答案】顶角是36度，两个底角分别是72度．【解析】依据三角形的内角和是180度，及等腰三角形的两个底角相等，再据顶角和底角的关系即可作答．解：设顶角是x度，则底角就是2x度，x+2x+2x=180，5x=180，x=36，36°×2=72°，答：这个风筝的顶角是36度，两个底角分别是72度．点评：此题主要考查三角形的内角和及等腰三角形的角的度数特点．18.先量一量三角形的三条边，写出它是什么三角形，再画出它的对称轴．【解析】通过测量可知：该三角形的三条边都相等，所以该三角形是等边三角形，等边三角形有3条对称轴；据此画出即可．解：通过测量可知：该三角形的三条边都相等，所以该三角形是等边三角形；如图：点评：明确等边三角形的含义及轴对称图形的意义，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．19.下面每组三条线段，不能围成三角形的有．①7厘米、5厘米、8分米②12厘米、30厘米、15厘米③3厘米、8厘米、5厘米④5米、7米、9米．【答案】①、②、③．【解析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．解：①、因为7+5＜8分米，不能围成三角形；②、15+12＜30，不能围成三角形；③、3+5=8，不能围成三角形；④、因为5+7＞9，所以能围成三角形；点评：解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可．20.长5cm、6cm、11cm的三条线段首尾相接正好能围成一个三角形．．【答案】×．【解析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．解：因为5+6=11，所以长5cm、6cm、11cm的三条线段首尾相接不能围成一个三角形；点评：本题主要考查了三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边．21.有一个等腰三角形，它的两个角的度数比是1：2，这个三角形按角分类可能是什么三角形？【答案】角三角形；【解析】因为该等腰三角形的两个角的度数比是1：2，则这个三角形三个角度数的比为1：2：2或1：1：2，进而根据按比例分配知识，分别求出三角形的最大角的度数，进而根据三角形的分类进行判断即可．解：1+1+2=4，180×=90（度），该三角形是直角三角形；或：1+2+2=5，180×=72（度），最大角为72度，是锐角，所以该三角形的三个角都是锐角，即该三角形是锐角三角形；答：该三角形是直角三角形或锐角三角形．点评：解答此题用到的在知识点：（1）三角形的内角和180度；（2）按比例分配知识；（3）三角形的分类；22.用长度是7cm，7cm，14cm的3根小棒可以拼成三角形．【答案】错误．【解析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．解：因为7+7=14，所以用长度是7cm，7cm，14cm的3根小棒不能拼成三角形；点评：解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答．23.如图，三角形ABC中，AB=AC，AE=AD，∠BAD=30°．∠ACD=40°，那么，∠EDC=度．【答案】15．【解析】要求∠EDC，在△EDC中，只要求出∠DEC即可；要求出∠DEC，只要求出∠AED即可，在△ADE中，AD=AE，只要求出∠DAE即可解决；在△ABC中可以求出∠BAC的度数，由此可以解决问题．解：在△ABC中，AB=AC，∠C=40°，所以∠BAC=180°﹣40°×2=100°；∠DAE=100°﹣30°=70°，在△ADE中，AD=AE，所以∠AED（=180°﹣70°）÷2=55°，所以∠DEC=180°﹣55°=125°（平角的定义），所以在△EDC中，∠EDC=180°﹣40°﹣125°=15°，点评：运用逆向思维对要求的问题进行分析，此题步步紧扣等腰三角形的性质和三角形的内角和进行推理解答．24.最大角是锐角的三角形一定是锐角三角形．．（判断对错）【答案】√．【解析】如果最大角是锐角，那么另外的两个角也一定是锐角，所以这个三角形一定是锐角三角形，由此判断即可．解：如果最大角是锐角，那么另外的两个角也一定是锐角，所以这个三角形一定是锐角三角形，所以上面的说法是正确的．点评：此题主要考查三角形的分类．25.表中∠1、∠2、∠3是三角形的三个内角【答案】40；48；45；60；80．【解析】根据三角形的内角和是180度，已知三角形的两个角，即可计算出第三个角的度数．解：（1）∠3=180°﹣75°﹣65°=40°；（2）∠2=180°﹣90°﹣42°=48°；（3）∠1=180°﹣120°﹣15°=45°；（4）∠3=180°﹣60°﹣60°=60°；（5）∠2=180°﹣50°﹣50°=80°；故填表如下：26.在等腰三角形中，一个底角是顶角的4倍，顶角是度，底角是度．【答案】20，80．【解析】依据三角形的内角和是180度，及等腰三角形的两个底角相等，再据顶角和底角的关系即可作答．解：设顶角为x，则底角为4x，则x+4x+4x=180°，9x=180°，x=20°；20°×4=80°．答：这个等腰三角形度顶角是20°，底角是80°．点评：此题主要考查三角形的内角和及等腰三角形的角的度数特点．27.每个三角形中至少有个锐角；最多有个直角或钝角．【答案】2；1．【解析】紧扣三角形的内角和是180°即可解决问题．解：假设三角形中锐角的个数少于2个，那么三角形中就会出现两个或两个以上的角是钝角或直角，两个钝角或两个直角的和加上第三个角的度数一定大于180°，这就违背了三角形内角和是180°的性质，所以一个三角形至少有2个锐角，最多有1个直角或钝角．答：任何一个三角形至少有2个锐角，最多有1个直角或钝角．点评：此题考查了三角形内角和在三角形分类中的应用．28.把一个三角形中一个20°的锐角截去，剩下图形的内角和是160°．．【答案】×．【解析】三角形截取一个角后，得到的是四边形，根据内角和定理即可求解．解：因为四边形的内角和是360°，所以剩下部分的内角和是360度．点评：本题解题的关键是能理解一个三角形截取一个角后得到的图形的形状．29. 80°，75°，60°是一个三角形的三个内角．．【答案】×．【解析】把三角形的三个内角的度数加起来是否是180°，即可进行判断．解：80°+75°+60°=215°，点评：根据三角形的内角和等于180°进行解答即可．30.把等腰三角形对折后，每个三角形的内角和是90°．．【答案】×．【解析】把等腰三角形对折后，这个等腰三角形被平均分成了两个直角三角形，根据三角形内角和定理：三角形内角和是180°，所以被分的每个三角形的内角和仍是180°．解：把等腰三角形对折后，这个等腰三角形被平均分成了两个直角三角形，所以每个三角形的内角和是90°是错误的，应是180°．点评：此题考查了三角形的内角和定理：三角形内角和是180°．31.根据角的特点，右边是一个三角形；根据边的特点，它也是一个三角形．图中标出的三角形的高是厘米，与它对应的底是厘米．【答案】锐角，等腰，2.7，2．【解析】根据“三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边称为这个三角形的腰”，进行解答，然后经过测量可以测量出高和对应底的长度．解：根据角的特点，右边是一个锐角三角形根据边的特点，它也是一个等腰三角形．图中标出的三角形的高是 2.7厘米，与它对应的底 2是厘米．点评：解答此题根据锐角三角形和等腰三角形的性质进行解答．32.等腰三角形一定不能是直角三角形．．【答案】错误．【解析】根据等腰三角形的特征可知：等腰三角形两个底角相等；等腰三角形的顶角可以是钝角，也可以是直角，还可以是钝角，据此判断即可．解：等腰三角形的顶角可以是钝角，也可以是直角，还可以是钝角；所以等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是直角三角形，还可以是钝角三角形；点评：解答此题用到的知识点：（1）等腰三角形的特征；（2）三角形的分类．33.等边三角形又叫做三角形，每个内角都等于°．【答案】正，60．【解析】三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形又叫做正三角形，其三个内角都相等，根据三角形的内角和是180度，即可进行判断．解：等边三角形又叫做正三角形，因为等边三角形的三个内角都相等，所以每个内角的度数是：180°÷3=60°；点评：解答此题的主要依据是：等边三角形的三个内角都相等以及三角形的内角和定理．34.如果一个三角形的三个内角度数的比是2：3：4，那么最大的角比最小的角多度．【答案】40．【解析】因三角形的三个内角度数的比是2：3：4，最大角就是三角形内角和的，最小角就是三角形内角和的，根据乘法的意义可列式解答．解：180°×﹣180°×，=180°×，=80°﹣40°，=40°．点评：本题考查了学生对三角形内角和以及按比例分配解题的能力．35.一个三角形的两条边的长分别为6cm和5cm，第三边的长度一定小于11cm．．【答案】正确．【解析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．解：根据三角形的特性可得：6﹣5＜第三边＜6+5，所以：1＜第三边＜11，即第三边的长度在1厘米～11厘米之间（不包括1厘米和11厘米）；点评：解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可．36.红领巾有一个角，两个角．【答案】钝、锐．【解析】依据钝角和锐角的意义，即大于90°而小于180°的角叫做钝角，小于90°的角叫做锐角，即可进行解答．解：一条红领巾有3个角，其中有一个钝角，有两个锐角，点评：解答此题的主要依据是：角的意义及分类，需要有一定的生活经验．37.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=130度，那么∠A=度．【答案】80．【解析】要求∠A是多少度，应明确三角形的内角和是180度；根据∠2+∠4+∠5=180°，可得出∠2+∠4=50°；然后根据在△ABC中，∠A=180°﹣50°×2，进行解答即可．解：由题意可得：∠2+∠4+∠5=180°，∠2+∠4=180°﹣130°=50°；在△ABC中，∠A=180°﹣50°×2=80°；答：∠A=80度；点评：解答此题应根据三角形的内角和是180度，进而根据题意，进行分析得出结论．38.小明用同样规格的铁丝做了下面5个框架，在此几个框架中，最不容易变形的是左数第个．【答案】三．【解析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性（易变性），进行解答即可．解：根据三角形的特性可知：小明用同样规格的铁丝做了下面5个框架，在此几个框架中，最不容易变形的是三角形，即是左数第三个；点评：此题考查了三角形的稳定性在实际生活中是应用．39.由于三角形具有，所以在生产生活中应用十分广泛．【答案】稳定性．【解析】在生产生活中三角形应用非常广泛，可以做成房梁，自行车架等等，主要是应用三角形的稳定性，由此填空即可．解：由于三角形具有稳定性，所以在生产生活中应用十分广泛．点评：此题考查了三角形的特性．40.任何三角形最多有一个内角是直角．．【答案】√．【解析】根据三角形内角和定理可知，一个三角形中直角的个数最多有1个．解：由三角形内角和是180度可知，一个三角形中直角的个数最多有1个．点评：主要考查了三角形的内角和定理，三角形的内角和是180度．41.无论什么三角形，其内角和都是度．【答案】180．【解析】根据三角和定理：三角形的内角和是180度，即可作出判断．解：由三角和定理可得：无论什么三角形，其内角和就是180度；点评：本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度．42.把一个等边三角形剪成三个相同的小三角形，其中一个小三角形的内角和是．【答案】180°．【解析】依据三角形的内角和是180度，即可进行解答．解：把一个等边三角形剪成三个相同的小三角形，其中一个小三角形的内角和是180°．点评：此题主要考查三角形的内角和定理．43.一个等腰三角形，它的顶角是一个底角的3倍，顶角是度．【答案】108．【解析】因为等腰三角形的两个底角的度数相等，设底角的度数为x，则顶角的度数为3x，再依据三角形的内角和是180°，即可求出顶角的度数．解：设底角的度数为x，则顶角的度数为3x，2x+3x=180°，5x=180°，x=36°；36°×3=108°；答：这个等腰三角形的顶角的度数是108°．点评：此题主要考查等腰三角形角的特点以及三角形的内角和定理．44.锐角三角形的内角和是180°．钝角三角形的内角和大于180°．．【答案】错误．【解析】根据三角形内角和定理：任何三角形内角和都是180°即可解决．解：因为任何三角形内角和都是180°，所以原题说法是错误的．点评：此题考查了三角形的内角和是180°．45.通过如图的操作过程，能得出什么结论？．【答案】三角形的内角和为180°．【解析】利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°即可解本题．解：三角形的三个内角和等于180°．点评：此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．46.一个等腰直角三角形，按角分它是三角形，按边分是它是三角形．【答案】直角，等腰．【解析】依据三角形的内角和是180度以及等腰直角三角形的特点，即等腰直角三角形的两个底角相等，且两个底角的和为90度；根据等腰三角形的特征：等角对等边，得出该三角形是等腰三角形；从而问题得解．解：一个等腰直角三角形，按角分它是直角三角形，按边分是它是等腰三角形；点评：解答此题的主要依据是：三角形的内角和是180度以及等腰直角三角形的特点．47.甲、乙、丙、丁四个三角形都分别知道其中两个角的度数：甲：50°、80°乙：60°、60°丙：40°、20°丁：70°、20°根据上面的信息可以知道：是锐角三角形，是直角三角形，是钝角三角形；是等腰三角形，是等边三角形．【答案】甲、乙，丁，丙，甲，乙．【解析】三角形的两个内角的度数已知，依据三角形的内角和是180°，即可求出第三个内角的度数，从而可以判定这个三角形的类别．解：甲中第三个角：180﹣50﹣80=50°，甲是锐角三角形，也是等腰三角形；乙中第三个角：180﹣60﹣60=60°，乙是锐角三角形，也是等边三角形；丙中第三个角：180﹣40﹣20=120°，丙是钝角三角形；丁中第三个角：180﹣70﹣20=90°，丁是直角三角形；由此可知：甲、乙是锐角三角形，丁是直角三角形，丙是钝角三角形；甲是等腰三角形，乙是等边三角形；点评：解答此题的主要依据是：三角形的内角和定理以及三角形的分类方法．48.填一填．【答案】【解析】由图可知，既是直角三角形又是等腰三角形的三角形为等腰直角三角形．解：根据分析可知：既是直角三角形又是等腰三角形的三角形为等腰直角三角形．点评：此题考查了等腰直角三角形的特征．49.把“①等腰三角形、②等边三角形、③三角形”填入图中．（填序号）【答案】【解析】三角形按边分为：不等边三角形；等腰三角形（含等边三角形）；进而填入即可．点评：此题考查了三角形的分类．50.一个三角形，其中两个角分别是37度和66度，它的第三个角是，按角分是三角形．【答案】77度；锐角．【解析】先根据三角形内角和定理，求出第三个角的度数，再根据三角形按角分类的方法即可判断三角形的形状．解：第三个角的度数是：180﹣37﹣66=77（度），三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，答：它的第三个角是77度，按角分类是锐角三角形．点评：此题主要考查三角形的内角和定理和三角形按角分类的方法．51.钝角三角形中有个钝角，有个锐角．【答案】1，2．【解析】根据三角形的分类：有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形，由此进行求解．解：钝角三角形中有 1个钝角，由于三角形的内角和是180度，所以剩下的两个角必定是锐角，所以有 2个锐角．点评：解决本题根据钝角三角形的含义，以及三角形的内角和进行求解．52.很多物体都有三角形结构，这是因为三角形具有．【答案】稳定性．【解析】应用三角形的稳定性的特点即可进行解答．解：由分析可知：很多物体都有三角形结构，这是因为三角形具有稳定性；点评：此题考查了三角形的稳定性在生活中的应用．53.有一个三角形，它的三个内角度数的比是3：7：10，最大的内角是，这是一个三角形．【答案】90°、直角．【解析】三个内角度数的比已知，三角形的内角和是180度，利用按比例分配的方法，即可求出最大角的度数，进而即可判断出这个三角形类别．解：180°×=90°，又因90°的角是直角，所以这个三角形是直角三角形；点评：此题主要考查三角形的内角和定理以及三角形的分类方法．54.把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是．【答案】180°．【解析】根据三角形的内角和等于180°即可求解．解：因为三角形的内角和等于180°，所以每个小三角形的内角和也是180°．点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°．55.一个三角形中，不可能有两个钝角．．【答案】正确．【解析】根据三角形的内角为180度和钝角的特点进行判断即可．解：三角形的内角和为180度，而钝角的度数大于90度，如果一个三角形内有两个钝角，则三角形的内角和就大于180度，所以一个三角形中，不可能有两个钝角．点评：此题考查三角形的内角和，根据三角形的内角和钝角特点进行判断．56.在括号内填出合适的角的度数以及理由．一个直角三角形中，两锐角的度数可能是和．你这样填的理由是．【答案】50°、40°、直角三角形两锐角的和是90°．【解析】由三角形的内角和是180度，以及直角三角形的性质，即可解答．解：因为直角三角形两锐角的和是90°，所以一个直角三角形中，两锐角的度数可能是50°和 40°．点评：本题考查了三角形的内角和定理和直角三角形的性质，是基础题．57.一个三角形的三条边的长度分别是3厘米、3厘米、4厘米，按照边来分，这是一个三角形．【答案】等腰．【解析】一个三角形的三条边的长度分别是3厘米、3厘米、4厘米，其中3厘米=3厘米，有两。
2016中考数学等腰三角形中的常见问题
等腰三角形中的常见问题等腰三角形的知识是整个初中数学教材中的重要内容之一，中考中也作为总要的考点。
在教学中笔者总结了解决等腰三角形相关问题的一些实用的解题思想方法，供大家参考。
等腰三角形的知识内容：1、有两边相等的三角形是等腰三角形。
相等的两条边叫等腰三角形的腰，第三条边叫等腰三角形的底边。
2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等。
（简称“等边对等角”） （2）等腰三角形的顶角平分线垂直于底边，并且平分底边。
（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。
（简称“三线合一”）3、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等。
（简称“等角对等边”） 4、等边三角形：（1）三条边均相等的三角形是等边三角形。
（2）等边三角形的每个角都相等，并且每个角都等于60°。
（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
等腰三角形中常见的结论：1、 等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；2、 等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于一腰上的高（运用面积法，底边延长线上的点到两腰距离的差等于一腰上的高）；3、 三条线段能构成等腰三角形的条件是：为腰的两条线段（相等的两条线段）的和大于第三条线段。
4、 过角的平分线上的点作一条边的平行线能构成等腰三角形。
以上知识的运用在等腰三角形的学习中占很重要的地位，现举例如下： 例1、等腰三角形的周长为12，且其各边长均为整数，求各边长。
解：设其腰长为x ，则底边长为（12－2x ），由题意得：2122212x xx >-⎧⎨<⎩解得3<x<6 ∵x 为整数 ∴x=4或5∴该等腰三角形的三边长分别为：4、4、4或5、5、2。
例2、（1）等腰三角形的一个角为50°，求另外两个角的度数。
(2) 等腰三角形的一个外角为100°，求该等腰三角形的顶角。
等腰三角形的性质习题附答案
等腰三角形的性质5. 等腰三角形的底角一定是锐角．( )6. 已知如图, △ABC 是等边三角形, D 是BC 中点 DE ⊥AC 于E, 则 EC ＝AC()7. 等腰三角形的底角不一定是锐角. ( )8. 如图△ABC 中AB ＝AC, D 、E 分别为AC 、BC 上的点, 则DB ＞DE ()9. 等腰三角形底边上的高上任意一点到两腰的距离相等 ( ) 10. 等腰三角形两腰上中线的交点到底边的两端点距离相等.( ) 11. 如图, D 是等腰三角形底边BC 上一点. 则 ∠ADC ＞∠C. ( )12. 等腰三角形一腰上中线把它周长分为15cm 和6cm 两部分,则这个三角形三边长为10c13. 等腰三角形中, 两个角的比为1:4, 则顶角的度数为20°. ( )14. 等边三角形的边长为a, 则高为 a. ( ) 15. 等腰三角形的顶角可以是直角、锐角或钝角. ( )16. 如图, 已知: △ABC 的AB ＝AC, D 是AB 上一点, DE ⊥BC, E 是垂足, ED 的延长于F, 则AD ＝AF.17. 如图B 、D 、E 、C 在同一直线上, 若AB ＝AC, ∠1＝∠2, 则 ∠3＝∠4. (18. 等边三角形ABC 中, D 是AC 中点, E 为BC 延长线上一点, 且 DB ＝DE. 则 CE ＝CD()19. 已知, △ABC 中, AB ＝AC, ∠B ＝75°, CD ⊥AB 于D, 则CD ＝AB( )20. 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.( )21. 如图, B 、D 、E 、C 在同一直线上, 若AB ＝AC, ∠3＝∠4, 则∠1＝∠2.( )22. 因为等腰三角形的底角一定是锐角, 所以等腰三角形是锐角三角形. ( ) 23. 如图, △ABC 和△CDE 都是等边三角形, 则 AD ＝BE. ()24. 如图, 已知: 四边形ABCD 中, ∠ABC ＝∠ADC, AB ＝AD, 则 CB ＝CD. (25. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半, 这个三角形不一定是直角三角形. ( 26. 等腰三角形角平分线、高线、中线在同一条直线上 ( )27. 已知如图, △ABC 中, ∠B ＞∠C, 点D 是AC 上的一点, 且AD ＝AB, 则∠DBC ＝()28. 如果等腰三角形的顶角为50°, 那么一腰上的高与底边的夹角是40°.( )29. 已知△ABC 中, AB ＝AC, D 在AB 上且∠DCB ＝∠A, 则 CD ⊥AB ( )30. 等腰三角形两腰上的中线相等. ( )31. 已知△ABC 中, AB ＝AC, CD ⊥AB 于D, 则 ∠DCB ＝∠A( )32. 如图, AB ＝AE, ∠B ＝∠E, CB ＝ED. F 是CD 的中点, 则AF ⊥CD. ()33. 等腰三角形顶角的顶点到两腰中线的距离相等. ( ) 34. 已知: 如图在△ABC 中, AB ＝AC, D 是BC 延长线上一点, E 是AB 上一点, DE 交AC 于点F , 则 AE ＜AF ( )35. 在△ABC 中, AB ≤AC, 延长CB 到D, 使BD ＝BA, 连结AD, 则 AD ＜AC.36. 已知: 如图, D 为等腰直角△ABC 的直角边BC 延长线上一点, 且CD ＝CE, BE 延BF ⊥AD37. 在△ABC 中, ∠A ＝2∠B, 则BC ＜2AC.38.已知, 如图AD＝DC, DE平分∠ADB, F是AC中点, 则DE⊥DF. () 39.已知如图: △ABC和△ADE都是等腰三角形且顶角∠BAC＝∠DAE, 则BD＝CE ()40.如图, 已知: △ABC中, ∠ABC＝2∠C, AH⊥BC, 垂足为H延长AB至D, 使BD＝BH,DH的延长线交AC于点M, 则MA＝MC()二.单选题 (本大题共 60 分)1.在△ABC中, AB=AC, ∠A=40°, 点O在三角形内且∠OBC=∠OCA, 则∠BOC的度数是[ ]A.110°B.35°C.140°D.55°2.如图在△ABC中, AB＝AC, ∠A＝40°, P为△ABC内的一点, 且∠PBC＝∠PCA, 则∠BPC的度数是A.115°B.110°C.120°D.130°3.等腰三角形一边长5cm, 另一边长是3cm, 它的周长是 [ ]A.11cmB.13cmC.11cm或13cmD.以上都不对4.等腰三角形的一个角等于20°, 则它的另外两个角等于 [ ]A.20°、140°B.20°、140°或80°、80°C.80°、80°D.20°、80°5.已知等腰三角形的一边长为4, 另一边长为9, 则它的周长为[ ]A.17B.17或22C.22D.13 6. 一个等腰三角形的一个内角为70°, 则它一腰上的高与底边所夹的角的度数为[ ] A.55° B.55°或70° C.20° D.20°或35°7. 等腰三角形顶角的度数是底角度数的4倍, 那么,它的底角的度数是 [ ]A.120°B.30°C.60°D.90° 8. 有一个角是50°的等腰三角形其顶角的度数为 [ ] A.80° B.50° C.80°或50° D.65.5°9. 等腰三角形周长12厘M ，其中一边长2厘M ，其他两边分别长 [ ] A ．2厘M ，8厘M B ．5厘M ，5厘M C ．5厘M ，5厘M 或2厘M ，8厘M D ．无法确定10. 等腰三角形两边分别为35厘M 和22厘M, 则它的第三边长为 [ ]A.35cmB.22cmC.35cm 或22cmD.15cm 11. 已知等腰三角形的两个角之比为1∶2, 则顶角的度数是 [ ]A.90°B.36°C.36°或90°D.120° 12. 等腰三角形两边长是9cm 和15cm, 则它的周长是 [ ]A.24cmB.33cmC.39cmD.33cm 或39cm13. 等边三角形ABC 中, CD 是∠ACB 的平分线, 过D 作BC 的平行线交AC 于E, 若△ABC 的边长 是a, 则△ADE 的周长是 [ ]A.2aB. aC. aD. a14. 如果等腰三角形的周长为21, 其中一边长为5, 那么此等腰三角形底边长是 [ A.11 B.5 C.5或11 D.815. 已知等腰三角形中一个角为50°, 则这个三角形腰上的高和底边夹角的度数为 [A.25°B.40°C.25°或40°D.以上答案都不对16. 在等腰△ABC 中, AB 的长是AC 的二倍, 三角形的周长是40, 则AB 的长等于. [A.20B.16C.20或16D.1017. 等腰三角形的底边为a, 顶角是底角的4倍. 则腰上的高为 [ ]A.aB.C. aD.2a 18. 已知等腰三角形的一边长为5, 另一边长为6, 则它的周长为 [ ] A.16 B.16或17 C.17 D.1119. 等腰三角形底边长为5厘M ，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长之差为3厘它的腰长为 A ．8厘M B ．5厘MC ．2厘M 或8厘MD ．2厘M20. 等腰三角形有一个角是45°, 那么这个三角形是 [ ] A.锐角三角形 形 C.钝角三角形 D.不唯一确定21. 如图△ABC 中, AB ＝AC, 且EB ＝BD ＝DC ＝CF, ∠A ＝40°, 则∠EDF 的度数为[ ]A.70°B.110°C.55°D.60°22. 已知等腰三角形的一个角为20°, 则它的另外两个角分别为[ ]A.20°,140°B.80°,80°C.20°,140°或80°,80°D.20°,80° 23. 如果一个等腰三角形的一腰是顶角平分线的2倍, 那么这个三角形必有一个内角等于[ ]A.45°B.60°C.90°D.120°24. 如图, 在Rt △ABC 中, ∠C=90°, ∠DBC=26°,且AD=DB,则∠A=[ ]A.26°B.32 °C.64°D.52°25. 一个等腰三角形的角平分线、高线和中线的总数最多有A ．3条B ．5条C ．7条D ．9条26. 至少有两边相等的三角形是 [ ]A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．锐角三角形 27. 已知：等腰三角形的一边等于4, 一边等于8, 则这个等腰三角形的周长是 [A.20B.16C.20或16D.无28. 如图, AB ＝AC, FD ⊥BC 于D, DE ⊥AB 于E, 若∠AFD ＝155°, 那么∠EDF 的度数A.45°B.55°C.65°D.75°29. 一条等腰三角形底边上的高等于底边的一半, 那么这个等腰三角形的顶角 [ ]A.小于60°B.等于60°C.等于90°D.大于90°30. 等边三角形的高、中线、角平分线共有________条．[ ]A.9B.7C.6D.331. 等腰三角形有一个角是，则它顶角的大小为 [ ] A ． B ．C ．D ．32. 等腰三角形的两边长为25cm 和12cm, 那么它的第三条边长为[ ] A.25cm B.12cm C.25cm 或12cm D.37cm 33. 在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，并交AC 于D ．如果∠CDB ＝，那么∠A 等于 [ ] A ． B ． C ．D ．34. 若一个等腰三角形的两边分别是3cm 和6cm, 则它的周长为 [ ]A.15cmB.12cmC.12cm 或15cmD.18cm35. 如果一个三角形的三条高线的交点恰是这个三角形的一个顶点，那么此三角形 [ ] A ．是锐角三角形B ．是钝角三角形C ．是直角三角形D ．形状不确定36. 等腰三角形两边是9cm 和15cm, 则它的周长是 [ ] A.24cm B.33cm C.39cm D.33cm 或39cm 37. 等腰Rt △ABC 中, ∠C ＝90° D 是BC 上一点, 且AD ＝2CD 则 ∠ADB 的度数为 A.30° B.60° C.120° D.150°38. 已知等腰三角形的一边等于4, 一边等于8, 则这个等腰三角形的周长是 [A.20B.16C.20或16D.无法确定 39. 已知：如图, △ABD 和△ACE 均为等边三角形, 那么△ADC ≌△AEB 的根据是 [A.边,边,边B.边,角,边C.角,边,角D.角,角,边 40. 一个等腰三角形底边上的高等于底边的一半, 那么这个等腰三角形的顶角 [A.小于60°B.等于60°C.等于90°D.大于941. 在△ABC 中, AB ＝AC, ∠A+ ∠B ＝130°, 则∠A 、∠B 、∠C 的度数是A.∠A ＝50°、∠B ＝80°、∠C ＝80°B.∠A ＝50°、∠B ＝80°、∠C ＝50°C.∠A ＝50°、∠B ＝50°、∠C ＝80°D.∠A ＝80°、∠B ＝50°、∠C ＝50°42. 等腰三角形顶角是84°,则一腰上的高与底边所成角的度数是 [ ] A.42° B.6° C.36° D.46°43. 如图: AB ＝AC, ∠BAD ＝30°AD ⊥BC 且AD ＝AE, 则∠EDC ＝[ ]A.10°B.12.5°C.15°D.20°44. 等腰三角形一腰上的高与底所夹的角等于 [ ] A.顶角 B.顶角的 C.顶角的2倍 D.底角的45. 等腰三角形边长分别是3和6，这个三角形的周长是[ ]A ．9B ．12C ．15D ．12或1546. 用一条长为12cm 的铁丝做等腰三角形, 底和腰的长必须是正整数, 若底的长为xcm, 则腰的长y 可为 [ ]A.5cmB.5cm 或4cmC.4cmD.-5cm47. 一个等腰三角形底边为8cm, 从底边上一个端点引腰的中线, 分三角形周长为两部 分,其中一部分比另一部分长2cm, 则腰长为 [ ]A.6cmB.10cmC.6cm 或10cmD.以上都不对48. 一个等腰但非等边三角形, 它的角平分线, 中线和高线的条数共为 [ ]A.6B.7C.8D.949. 已知：如图在△ABC 中, AB=AC, CD 为∠ACB 平分线,DE ∥BC,∠A=40°, 则∠EDC 的度数是A.30°B.36°C.35°50. 等腰三角形两个角的比为4∶1, 则顶角为 [ ]A.120°B.20°C.120°或20°D.51. 如图已知: AB ＝AC ＝BD, 那么∠1与∠2之间的关系满足A.∠1＝2∠2B.2∠1+∠2＝180°C.∠1+3∠2＝180°D.3∠1-∠2＝180°52.若等腰三角形的两边a 、b 满足，则此等腰三角形的周长为[ ]A ．7B ．5C ．8D ．7或553.等腰△ABC 中，两腰上的中线BE 、CD 交于O ，则下列判断中错误的是[ ]A ．△ADC ≌△AEB B ．△DBC ≌△ECBC ．△ABE ≌△BCDD ． △BOD ≌△COE54.从等腰三角形底边上任一点，分别作两腰的平行线所成的四边形的周长等于此等腰三角形的[ ]A ．周长B ．周长一半C ．一腰长D ．两腰长的和55.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于 [ ]A ．顶角B ．顶角的一半C ．顶角的2倍D ．底角的一半56.如下图，△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，且DE=BE ，DF=DC ，若∠A=，则∠EDF=A ．B ．C ．D ．57. 等腰三角形底边长为5厘M, 一腰上的中线把三角形分成两部分, 其周长之差为3厘它的腰长为 [ ]A.2厘MB.8厘MC.2厘M 或8厘MD.9厘M58. 如图△ABC 中, AB ＝AC, ∠A ＝50°, P 是△ABC 内的一点, 且∠PBC ＝∠PCA, 则的度数为A.115°B.100°C.130°59. 如图, △ABC 中, AB ＝AC, CD ⊥AB, 则关于∠A 正确的等式是[ ]A.∠A ＝∠BB.∠A ＝∠ACBC.∠A ＝2∠ACBD.∠A ＝2∠DCB60. 如图在△ABC 中, AB ＝AC, BC ＝BD, AD ＝DE ＝EB, 则∠A 的度数是[ ]A.30°B.36°C.45°D.54°三.填空题 (本大题共 30 分)1. 周长为20cm 的等腰三角形中, 底边长为acm, 则一腰长为________cm ．2. 如图△ABC 中, AB ＝AC, ∠A ＝40°, ∠AED ＝∠F, 则∠F ＝___________度.3. 已知等腰三角形有两条边的长分别是3cm 和7cm, 那么这个三角形的周长等于_______4. 已知如图, A 、D 、C 在一条直线上AB ＝BD ＝CD, ∠C ＝40°, 则∠ABD ＝______度.5. 等腰三角形的周长为36, 腰比底长3, 则此等腰三角形的腰长为________, 底边长为___6. 等腰三角形的底边为12cm,且腰是底的, 则三角形的周长是_______cm7. 已知等腰三角形的一个底角等于顶角的4倍, 则这个等腰三角形的顶角为_______度8. 等腰三角形底边中线与________和________重合．9. 已知:如图: △ABC 中, AB ＝BC, ∠B ＝90°, AD ∥BC, ∠D ＝70°, 则∠EFA ＝10. 已知：等腰三角形的一个角为100°, 则另两个角的度数为________．11.△ABC 中，如果AB=AC ，点M 是BC 边中点，那么M 到______两边的距离相等，A _两点的距离相等。
等腰三角形的性质及计算方法
等腰三角形的性质及计算方法等腰三角形是指两条边相等的三角形。
在数学中，我们经常需要计算三角形的各种属性和特性。
本文将介绍等腰三角形的性质，并提供一些计算等腰三角形的方法。
一、等腰三角形的性质1. 两边相等：等腰三角形的两条边长度相等，即AB = AC。
这是等腰三角形最基本的性质。
2. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即两个基边所对的角）相等，即∠B = ∠C。
3. 顶角平分底角：等腰三角形的顶角（即顶点所对的角）平分底角，即∠A = ∠B = ∠C。
4. 等腰三角形的高：等腰三角形的高是从顶点向底边的垂直距离，记作h。
5. 等腰三角形的中线：等腰三角形的中线是连接底边中点与顶点的线段，记作AM。
二、等腰三角形的计算方法1. 计算等腰三角形的周长：等腰三角形的周长可以通过两边的长度和底边的长度来计算。
由于等腰三角形的两边相等，可以使用以下公式计算周长：周长 = AB + AC + BC = 2AB + BC。
2. 计算等腰三角形的面积：等腰三角形的面积可以通过高和底边的长度来计算。
使用以下公式计算面积：面积 = 1/2 * 底边长度 * 高 = 1/2 * BC * h。
3. 计算等腰三角形的高：若已知等腰三角形底边长度BC和两边的长度AB（或AC），可以使用勾股定理计算三角形的高。
假设底边的中点是M，则通过三角形的中线AM可以得到高h，并使用以下公式计算高：h = √(AB² - (1/2 * BC)²)。
4. 计算等腰三角形的底边长度：若已知等腰三角形的两边长度AB 和AC，可以使用以下公式计算底边的长度：BC = 2√(AB² - (1/2 * AC)²)。
5. 计算等腰三角形的顶角和底角：等腰三角形的顶角和底角相等，可以使用以下方法计算角度值：- 计算顶角的度数：∠A = ∠B = ∠C = 180度 / （3 - 1）= 90度。
- 使用正弦函数计算角度的弧度值：sin(∠A) = sin(∠B) = sin(∠C) = (1/2 * BC) / AB。
专题09 等腰三角形中易漏解或多解得问题(老师版)
专题9等腰三角形中易漏解或多解得问题►易错点一求长度时忽略三边关系例题：已知一个等腰三角形的两边长是3cm 和7cm ，则它的周长为（）A ．13cmB ．17cmC ．13或17cmD ．10cm 【答案】B【解析】【详解】由题意得：三角形的三边可能为3、3、7或3、7、7，然后根据三角形的三边关系可知只能是3、7、7，∴周长为3+7+7=17cm .故选B .【变式训练】1．等腰三角形的两边长分别为4厘米和9厘米，则这个三角形的周长为()A ．22厘米B ．17厘米C ．13厘米D ．17厘米或22厘米【答案】A【解析】【详解】解：若4厘米为腰长，9厘米为底边长，由于4+4＜9，则三角形不存在；若9厘米为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为9+9+4=22（厘米）．故选A ．2．已知实数x ，y 满足2|5|(10)0-+=x y ，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A ．20B ．25C ．20或25D ．以上答案均不对【答案】B【解析】【分析】先根据非负数的性质列式求出x 、y 的值，再分5是腰长与底边两种情况讨论求解即可．【详解】解：2|5|(10)0x y -+-=，|5|0x -≥，2(100)y -≥∴x −5=0，y −10=0，解得x =5，y =10，当5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、10，∵5+5=10，∴不能组成三角形；当5是底边时，三角形的三边分别为5、10、10，能组成三角形，周长=5+10+10=25，所以，三角形的周长为25，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，绝对值非负数，平方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0，求出x 、y 的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．3．等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则该三角形的周长是__．【答案】15【解析】【详解】解：∵等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，∴有两种情况：①6为底，3为腰，而3+3=6，那么应舍去；②3为底，6为腰，那么6+6+3=15，∴该三角形的周长是15．故答案为15．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边的关系，要解本题，应分为两种情况：（1）3为底；（2）6为底，还要注意是否符合三角形三边的关系．4．（1）等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和12两部分，求该三角形各边的长．（2）已知一个等腰三角形的三边长分别为21,1,32x x x -+-，求这个等腰三角形的周长．【答案】（1）8,8,11或者10,10,7；（2）周长为7或者10【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，列出方程求解，注意分类讨论．（2）分三种情况，进行讨论，结合三角形三边关系得出答案．【详解】()1设腰长为2x ,底为y ，根据题意得：①21512x x x y +=⎧⎨+=⎩解得：5,7x y ==∴三边为10,10,7②21215x x x y +=⎧⎨+=⎩解得：4,11x y ==∴三边为8,8,11故本题答案为：8,8,11或者10,10,7()2①当211x x -=+时，解2x =，此时3,3,4，能构成三角形．此时周长为10②当2132x x -=-时，解1x =，此时1,2,1不能构成三角形．③当132x x +=-，解得32x =，此时552,,22，能构成三角形，周长为＝7综上，三角形的周长为7或者10．【点睛】本题考查等腰三角形性质，以及三角形三边关系，属于基础提高题．►易错点二当腰和底不明求角度时没有分类讨论例题：若等腰三角形的一个角等于80°，则其顶角的度数为（）A ．80°B ．20°C ．100°D ．80°或20°【答案】D【解析】【分析】根据等腰三角形的一个角是80°，分两种情况考虑这个角为顶角与底角解答即可．【详解】解：∵等腰三角形的一个角是80°，分两种情况考虑，当80°的角为底角时，顶角为180°-160°=20°，当80°的角为顶角时，顶角为80°，∴该等腰三角形的顶角是80°或20°．故答案选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，解题的关键是熟练地掌握等腰三角形的性质．【变式训练】1．已知等腰三角形的一个内角是72°，那么这个等腰三角形的顶角是______度．【答案】72或36【解析】【分析】本题应分底角为72°、顶角为72°这两种情况，分别计算每种情况下等腰三角形是否存在．【详解】解∶①当72°角是顶角时，顶角为72°，②当72°角是底角时，顶角＝180°－72°×2＝36°，综上顶角为72°或36°．故答案为：72或36．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，，树立分类讨论思想，培养学生全面思考问题的数学素养，在计算等腰三角形有关边、角的问题时，要注意利用分类讨论的思想进行全面讨论是解题的关键．2．有一张三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是__________．【答案】25°或40°或10°【解析】【详解】【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【详解】由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，对于△ABD可能有①AB=BD，此时∠ADB=∠A=80°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-80°=100°，∠C=12（180°-100°）=40°，②AB=AD，此时∠ADB=12（180°-∠A）=12（180°-80°）=50°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-50°=130°，∠C=12（180°-130°）=25°，③AD=BD，此时，∠ADB=180°-2×80°=20°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-20°=160°，∠C=12（180°-160°）=10°，综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10°故答案为25°或40°或10°【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．3．如图，直线a，b交于点O，∠α=40°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，且始终位于直线a的上方，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB=_________°．【答案】40或70或100【解析】【分析】根据△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当OB=AB时，②当OA=AB时，③当OA=OB时，分别求得符合的点B，即可得解．【详解】解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：①当OB 1=AB 1时，∠OAB =∠α=40°；②当OA =AB 2时，∠OAB =180°-2×40°=100°；③当OA =OB 3时，∠OAB =∠OBA =12（180°-40°）=70°；故答案为：40或70或100．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．►易错点三三角形的形状不明时与高结合没有分类讨论例题：若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50︒，则这个等腰三角形的底角的度数为（）A ．20︒B ．50︒或70︒C ．70︒D ．20︒或70︒【答案】D【解析】【分析】首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．【详解】（1）当这个三角形是锐角三角形时，如图所示：∵高与另一腰的夹角为50°，即50ABD ∠=︒，∴顶角905040A ∠=︒-︒=︒，∵A ABC CB =∠∠，()118040702ABC ACB ∴∠=∠=︒-︒=︒；（2）当这个三角形是钝角三角形时，如图所示：∵∠ABD =50°，BD ⊥CD ，∴∠BAD =90°-50°=40°，∵ABC C ∠=∠，40ABC C ∠+∠=︒，∴140202ABC C ∠=∠=⨯︒=︒；综上所述，这个等腰三角形的底角的度数为70°或20°．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的高线，可能在三角形的内部，边上、外部几种不同情况，因此遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论．【变式训练】1．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为____【答案】60°或120°【解析】【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．【详解】解：当高在三角形内部时（如图1），∵30,90ABD ADB ∠=︒∠=︒，∴60A ∠=︒，即顶角是60°；当高在三角形外部时（如图2），∵30,90ABD ADB ∠=︒∠=︒，∴60DAB ∠=︒，∴120CAB ∠=︒，即顶角是120°．故答案为：60或120．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出60°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．2．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56°，则这个等腰三角形底角度数是_______．【答案】73︒或17︒【解析】【分析】在等腰ABC ∆中，AB AC =，BD 为腰AC 上的高，56ABD ∠=︒，讨论：当BD 在ABC ∆内部时，如图1，先计算出34BAD ∠=︒，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出ACB ∠；当BD 在ABC ∆外部时，如图2，先计算出34BAD ∠=︒，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出ACB ∠．【详解】解：在等腰ABC ∆中，AB AC =，BD 为腰AC 上的高，56ABD ∠=︒，当BD 在ABC ∆内部时，如图1，BD Q 为高，90ADB ∴∠=︒，905634BAD ∴∠=︒-︒=︒，AB AC =，1(18034)732ABC ACB ∴∠=∠=︒-︒=︒；当BD 在ABC ∆外部时，如图2，BD Q 为高，90ADB ∴∠=︒，905634BAD ∴∠=︒-︒=︒，AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，而BAD ABC ACB ∠=∠+∠，1172ACB BAD ∴∠==︒，综上所述，这个等腰三角形底角的度数为73︒或17︒．故答案为：73︒或17︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．。
新版2019七年级数学下册章节测试题-《第二章图形的变换》考核题完整版(含答案)
解析：略 30．△ABC，△A1B1C1和△A2B2C2在方格纸中的位置如图所示．方格纸每格的边长为1． (1)将△ABC向下平移 格得到△A1B1C1； (2)将△A1B1C1的各边长放大 倍，得到△A2B2C2； (3)分别计算△A2B2C2和△ABC的面积，并说明△A2B2C2的面积是△ABC的面积的多少倍．
D． 15:10
答案：B
20．如图，正方形ABCD的边长是3
cm，一个边长为1cm的小正方形沿着正方形ABCD的边AB BC CD DA
AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形中箭头的方向（ ）
A．朝左
B．朝上
C．朝右
D．朝下
答案：B
21．在下面四个图形中，既包含图形的旋转，又有图形的轴对称设计的是（ ）
⑵如图，由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中的两个小正方形涂黑（如图 ）．请你用两种不同的方法分别在下图中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称 图形．
解析：略． 28．如图所示，在方格纸中如何通过平移或旋转这两种变换，由图形A得到图形B，再由图 形B得到图形C?(对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回 答出旋转中心、旋转方向和旋转角度)
解析：(1)特征一：都是轴对称图形；特征二：这些图形的面积都等于4个单位面积等； (2)图略 37．如图所示，草原上两个居民点A，B在河流 l 的同旁，一汽车从A出发到B，途中需到河边加水，汽车在哪一点加水可使行驶的路程最短 ?在图中画出该点．
顶角20度等腰三角形几何题
顶角20度等腰三角形几何题题目描述已知一个等腰三角形的顶角为20度，且该三角形的底边等于斜边的一半长度，求该等腰三角形的底边长度和周长。
解题思路设等腰三角形的顶角为20度，底边长度为x，斜边长度为2x（根据题目要求底边等于斜边的一半长度）。
根据三角形内角和定理，我们知道一个三角形的三个内角之和为180度，所以等腰三角形的底角也为80度（180度 - 20度 - 80度 = 80度）。
由于等腰三角形的两腰边长度相等，我们可以将该等腰三角形的两腰边分别记为a和b。
根据正弦定理，我们知道三角形中的任意一条边的长度与该边对应的角的正弦值成比例。
根据正弦定理，我们可以得到以下两个等式：sin(20度)/底边长度 = sin(80度)/斜边长度 = sin(8 0度)/(2x)sin(80度)/底边长度 = sin(20度)/腰边长度 = sin(20度)/(a或者b)我们可以利用这两个等式来解题。
解题步骤步骤一：求底边长度利用正弦定理的第一个等式：sin(20度)/底边长度 = sin(80度)/(2x)可以推导出：底边长度 = (sin(20度) * 2x) / sin(80度)将sin(20度)和sin(80度)的值代入，可以求得底边长度。
步骤二：求周长根据题目要求，底边等于斜边的一半长度，所以斜边的长度为2x。
等腰三角形的周长等于底边长度加上两腰边长度的和，即：周长 = 底边长度 + 2 * 腰边长度将底边长度和腰边长度的值代入，可以求得周长。
解题过程步骤一：求底边长度根据步骤一的公式，带入数值计算：底边长度 = (sin(20度) * 2x) / sin(80度)将sin(20度)和sin(80度)的值代入，可以得到：底边长度 = (0.3420 * 2x) / 0.9848化简上述表达式：底边长度 = 0.6934x步骤二：求周长根据步骤二的公式，带入数值计算：周长 = 底边长度 + 2 * 腰边长度将底边长度的值代入，得到周长为：周长 = 0.6934x + 2 * 腰边长度答案验证我们可以通过代入具体数值进行验证，假设底边长度x = 10，则斜边长度为2x = 20。
(完整版)等腰三角形基础题练习
等腰三角形基础题练习1．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为(）2．若等腰三角形的两边长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为()A. 11B. 16C。
17 D. 16或173．已知一等腰三角形的两边长x，y满足方程组错误!则此等腰三角形的周长为__ __．4．如图，AC平分∠BAD，CD⊥AD，CB⊥AB，连结B D。
，图中等腰三角形有__ _ 对5．已知等腰三角形ABC的底边BC的长为8，且|AC－BC｜＝2，则腰AC的长为（）A．10或6 B．10C．6 D．8或66．若等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数是．7．有一个等腰三角形，三边长分别为3x－2，4x－3,6－2x,则这个等腰三角形的周长为8如图,在▱ABCD中，，,的平分线交BA的延长线于点E，则AE的长为9如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且的度数为,则的度数是A. B. C. D。
10如果一个等腰三角形的一个角为，则这个三角形的顶角为11如图，中，，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则的周长是12已知a、b、c是的三条边,且满足，则是A。
锐角三角形B。
钝角三角形C。
等腰三角形 D. 等边三角形13如图，下列条件不能推出是等腰三角形的是A.B。
，C. ，D。
，14如图,在中,,，,AD平分，交BC于点D,于E，则______ ．15如图,，OC平分，如果射线OA上的点E满足是等腰三角形，那么的度数为______．16如图，在中，，，，点P从点B开始以的速度向点C移动，当要以AB为腰的等腰三角形时,则运动的时间为______．17平行四边形ABCD中，的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平行四边形ABCD 的周长为______cm．18如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12,腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F,若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为______．19如图,中，点D在边BC上，若，，则______度20如图，在中,,AB的垂直平分线MN交AC于D点若BD平分，则______21.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD,且∠EDC=40°,则∠ABC的度数为°22。
等腰三角形的性质与计算
等腰三角形的性质与计算等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形有着独特的性质和计算方法。
本文将介绍等腰三角形的性质，并提供相关计算方法。
一、等腰三角形的性质等腰三角形有以下性质：1. 两边相等：等腰三角形的两条腰（即较短的两边）长度相等。
2. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边两侧的角）的度数相等。
3. 顶角平分底角：等腰三角形的顶角（即顶点处的角）将两个底角平分。
4. 底角平分顶角：等腰三角形的底角将顶角平分。
二、等腰三角形的计算在解决等腰三角形问题时，我们可以利用以下公式和定理进行计算：1. 底角的计算：等腰三角形的底角等于顶角的补角。
例如，如果顶角的度数为60°，则底角的度数为120°。
2. 顶角的计算：等腰三角形的顶角等于底角的补角。
例如，如果底角的度数为40°，则顶角的度数为140°。
3. 腰长的计算：在已知等腰三角形的底边长度和顶角度数的情况下，可以使用正弦、余弦或正切等三角函数计算腰长。
例如，已知等腰三角形的底边长度为5，顶角的度数为30°，可以使用正弦函数计算腰长：sin(30°) = 腰长/5，进而计算出腰长的值。
三、等腰三角形的应用等腰三角形在几何学、物理学、建筑学等领域有广泛的应用。
以下是一些实际应用的例子：1. 圆锥的侧面：在几何学中，圆锥的侧面通常是由等腰三角形组成的。
2. 建筑物的屋顶：在建筑学中，一些传统的建筑物屋顶的形状往往是等腰三角形，这是为了保持结构的稳定性和美观度。
3. 钢琴弦的调音：调音师在调音钢琴时会利用等腰三角形原理，即只调一个弦，而后一个弦的音高会自动与之相等。
四、总结等腰三角形具有两边相等、两底角相等、顶角平分底角和底角平分顶角的性质。
计算等腰三角形可以利用底角和顶角的度数关系，以及三角函数来计算腰长。
在实际应用中，等腰三角形广泛用于几何学、物理学和建筑学等领域。
北师大八年级下《1.1等腰三角形》课时练习含答案解析
北师大数学八年级下册第一章三角形的证明第1节等腰三角形练习一、选择题1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）A ．80°B ．80°或20°C ．80°或50°D ．20° 答案：B解析：解答：当80°的角是底角时，等腰三角形两底角相等，根据三角形内角和定理得到顶角为20°；另一种情况是80°是顶角.分析：等腰三角形等边对等角，结合三角形内角和为180°，从而得出两种结果.2．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（ ）A ．8B ．9C ．10或12D ．11或13答案：D解析：解答：当3是腰时，两腰和为6加上底边5，周长为11；当5是腰时，两腰和为10加上底边3，周长为13.分析：等腰三角形两腰相等，结合三角形中两小边和大于第三边.3．在等腰△ABC 中，AB =AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）A ．7B ．11C ．7或11D ．7或10答案：C解析：解答：设AB =AC =x BC =y则有12,2152x x x y +=+=⎧⎨⎩或者12,2152x x x y +=+=⎧⎨⎩ 所以x =8， y =11或者x =10，y =7.即三角形AB =AC =8，BC =11.或AB =AC =10，BC =7.故选C.分析：等腰三角形两腰相等，会解二元一次方程.4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）A ．60°B ．120°C ．60°或150°D ．60°或120°答案：D解析：解答：分两种情况：一种是这个高在三角形内,即此三角形是锐角三角形顶角=180°-90°-30°=60°，另一种是这个高落在一腰延长线上,即此三角形为钝角三角形顶角的补角=180°-90°-30°=60°，顶角=180°-60°=120°.分析：此题要注意分两种情况，要考虑锐角三角形和钝角三角形.5.在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36°B．54°C．18 °D．64°答案：B解析：解答：∵AB=AC，∠ABC=72°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠A=36°.∵BD⊥AC，∴∠ABD=90°-36°=54°.分析：根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数.6. 在△ABC中，D是BC上的点，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°答案：A解析：解答：∵AB=AD, ∴∠ADB=∠B=70°.∵AD=DC，∴12C DAC ADB∠=∠=∠=35°.分析：等腰三角形两底角相等，再根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和.7. 在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5答案：D解析：解答：∵∠B=∠C，∴AB=AC=5．分析：等腰三角形的性质可得AB=AC，继而得出AC的长．8. 在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则等腰三角形的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2答案：C解析：解答：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO，∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形.分析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=CO=DO，进而得到等腰三角形.9. 在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20 cm，则AB边的取值范围是（）A．1 cm＜AB＜4 cm B．5 cm＜AB＜10 cm C．4 cm＜AB＜8 cm D．4 cm＜AB＜10cm 答案：B解析：解答：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，∴设AB=AC=x cm，则BC=（20-2x）cm，∴2x＞20−2x，即20−2x＞0.解得5 cm＜x＜10 cm．分析：设AB=AC=x，则BC=20-2x，根据三角形的三边关系即可得出结论.10. 在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（）A. 4 cm B．2 cm C. 3 cm D.1 cm答案：C解析：解答：∵ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2ED，∵AE=6cm，∴ED=3cm.∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∴ED=CE，∴CE=3cm.分析：根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得出AE=2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的距离相等得出ED=CE，即可得出CE的值11.在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．5答案B解析：解答：AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，∵A（0，2），B（0，6），∴AB=6-2=4，点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3∴点B到直线y=x的距离为6×32=33，∵33＞4，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，所以，点C的个数是1+2=3．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x 的交点为点C再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为点C，求出点B到直线y=x的距离可知以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线没有交点12. 在△ABC中，AB=20 cm，AC=12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（）A．2.5秒B．3秒C．3.5秒D．4秒答案：D解析：解答：设运动的时间为x cm/s，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20-3x，AQ=2x即20-3x=2x，解得x=4．分析：设运动的时间为x，则AP=20-3x，当APQ是等腰三角形时，AP=AQ，则20-3x=2x，解得x即可.13. 等腰但不等边的三角形的角平分线、高线、中线的总条数是（）A．3 B．5 C．7 D．9答案：C解析：解答：等腰但不等边的三角形底边上的角平分线、中线、高线三线重合成一条；腰上的三条线不重合，因而共有7条线.分析：画出图形，根据等腰三角形的性质进行分析即可得到答案14. 已知△ABC中，三边a，b，c满足|b-c|+（a-b）2=0，则∠A等于（）A. 60°B．45°C．90°D．不能确定答案：A解析：解答：△ABC中，三边a，b，c满足|b-c|+（a-b）2=0∴b-c=0，a-b=0，∴a=b=c，∴三角形是等边三角形，∴∠A=60°.分析：根据非负数的性质列式求解得到a=b=c，然后选择答案即可.15.等腰三角形周长为36cm，两边长之比为4：1，则底边长为（）A．16cm B．4cm C．20cm D．16cm或4cm答案：B解析：解答：因为两边长之比为4：1，所以设较短一边为x，则另一边为4x；(1)假设x为底边，4x为腰；则8x+x=36，x=4，即底边为4；(2)假设x为腰，4x为底边，则2x+4x=36，x=6，4x=24；∵6+6＜24，∴该假设不成立．所以等腰三角形的底边为4cm．分析：题中只给出了两边之比，没有明确说明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析，再结合三角形三边的关系将不合题意的解舍去.二、填空题16. 等腰三角形的一个外角为110°，则底角的度数可能是_______.答案：70°或55°解析：解答：当110°是等腰三角形底角的外角时，底角为70°；当110°是等腰三角形顶角的外角时，因为等腰三角形两底角相等，所以一个底角的度数等于外角110°的一半，即55°分析：外角与它相邻的内角互补，外角等于和它不相邻的两个内角和.17. 等腰三角形的对称轴是____________.答案：底边上的高(顶角平分线或底边的中线)所在的直线解析：解答：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．分析：本题根据等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高所在的直线，因为等腰三角形底边上的高，顶角平分线，底边上的中线三线合一，所以等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．18.△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1 =_______度，此三角形有_______个等腰三角形．答案：72°/3解析：解答：∵AB=AC，∠A=36°，∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠ABC=（180°−36°）12⨯=72°.∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠A=∠DBC=36°，∴AD=BD，△ADB是等腰三角形，∴∠1=180°-36°-72°=72°=∠C，∴BC=BD，△CDB是等腰三角形.图中共有3个等腰三角形．分析：由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏.19. 在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度是_________.答案：80°或50°或20°解析：解答：∵∠A的相邻外角是100°，∴∠A=80°．分两种情况：（1）当∠A为底角时，另一底角∠B=∠A=80°；（2）当∠A为顶角时，则底角∠B=∠C=(180°−80°)12⨯=50°（3）当∠B是顶角时，∠B=180°-2∠A=20°．综上所述，∠B的度数是80°或50°或20°.分析：已知给出了∠A的相邻外角是100°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立.20. 在△ABC中，若∠A=80°，∠B=50°，AC=5，则AB=_______.答案：5解析：解答：∵∠A=80°，∠B=50°，∴∠C=180°-80°-50°=50°.∴AB=AC=5.分析：由已知条件先求出∠C的度数是50°，根据等角对等边的性质求解即可.三、解答题.21.在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，∠C=63°，BC=4，求∠BAD的度数及DC的长.答案：27°/2 解答：∵AB =AC ，∠C =63°，∴∠B =∠C =63°，∴∠BAC =180°-63°-63°=54°. 又∵AD 是BC 边上的高，∴AD 是∠BAC 的平分线，AD 是BC 边上的中线，∴∠BAD =12∠BAC =27°，DC =12BC =2. 解析：分析：根据等腰三角形的两个底角相等求出顶角∠BAC 的度数，再由等腰三角形的三线合一性质即可求出∠BAD =12∠BAC =27°，DC =12BC =2. 22.在△ABC 中，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 相交于F .求证：AF 平分∠BAC答案：证明：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB .又∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠BEC =∠CDB =90°. 在△BCE 和△CBD 中，∠ABC =∠ACB ，∠BEC =∠CDB ，BC =BC.∴△BCE ≌△CBD （AAS ）.∴BE =CD.∵AB =AC ，BE =CD ，∴AB -BE =AC -CD ，∴AE =AD.∴在△AEF 和△ADF 中，AE =AD , AF =AF.△AEF ≌△ADF （HL ）.∴∠EAF =∠DAF ，AF 平分∠BAC.解析：分析：要通过两次三角形全等，再结合等腰三角形的性质得出结论.23.如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形.BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，求证：（1）△BCE ≌△ACD ； 答案：证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，∴∠BCA =∠DCE =60°，BC =AC =AB ，EC =CD =ED ，∴∠BCE =∠ACD .在△BCE 和△ACD 中，,,,BC AC BCE ACD CE CD =⎧∠=∠=⎪⎨⎪⎩∴△BCE ≌△ACD （S A S ）；（2）CF =CH ； 答案：∵△BCE ≌△ACD ，∴∠CBF =∠CAH ．∵∠ACB =∠DCE =60°，在△BCF 和△ACH 中，∴∠ACH =60°，∴∠BCF =∠ACH ，,,,CBF CAH BC AC BCF ACH ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△BCF ≌△ACH （A S A ），∴CF =CH ；（3）△FCH 是等边三角形；答案：∵CF =CH ，∠ACH =60°，∴△CFH 是等边三角形．（4）FH ∥BD.答案：证明：∵△CHF 为等边三角形∴∠FHC =60°，∵∠HCD =60°，∴FH ∥BD解析：分析：由等边三角形的三边相等，三角都是60°，再根据平角的关系，就能证明△BCE ≌△ACD ；由△BCE ≌△ACD 得出对应角相等，结合等边三角形的边角特点证明△BCF ≌△ACH ，能得出CF =CH ；两边等，加上一个角60°推出△CFH 是等边三角形；根据内错角相等，两直线平行推出FH ∥BD .24. 如图，已知AB =AC =AD ，且AD ∥BC ，求证：∠C =2∠D答案：证明：∵AB=AC=AD，∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD.∴∠ABC=∠CBD+∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D，∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D.解析：分析：首先根据AB=AC=AD，∵AD∥BC，∴∠D=∠DBC可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D25.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O点作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB=5，AC=4，求△ADE的周长.答案：解答：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，∴OD=BD，OE=CE，∵AB=5，AC=4，∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9.解析：分析：由在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，易证得△DOB与△EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得△ADE的周长等于AB+AC，即可求得答案．。
等腰三角形的性质习题附答案
等腰三角形的性质一.判断题 (本大题共 40 分)1. 等腰三角形内一点到底边两端点距离相等, 则这点和这个等腰三角形的顶点及底边 中点在同一直线上. ( )2. 已知如图AB ＝AC, OB ＝OC, 则∠ABO ＝∠ACO()3. 如图已知△ABC 中AB ＝AC, AD 平分△ABC 的外角∠EAC, 则AD ∥BC. ()4.()5. 等腰三角形的底角一定是锐角．( )6. 已知如图, △ABC 是等边三角形, D 是BC 中点 DE ⊥AC 于E, 则 EC ＝AC( )7. 等腰三角形的底角不一定是锐角. ( )8. 如图△ABC 中AB ＝AC, D 、E 分别为AC 、BC 上的点, 则DB ＞DE ()9. 等腰三角形底边上的高上任意一点到两腰的距离相等 ( ) 10. 等腰三角形两腰上中线的交点到底边的两端点距离相等.( ) 11. 如图, D 是等腰三角形底边BC 上一点. 则 ∠ADC ＞∠C. ( )12. 等腰三角形一腰上中线把它周长分为15cm 和6cm 两部分,则这个三角形三边长为10cm 、10cm 、1cm( )13. 等腰三角形中, 两个角的比为1:4, 则顶角的度数为20°. ( )14. 等边三角形的边长为a, 则高为 a. ( ) 15. 等腰三角形的顶角可以是直角、锐角或钝角. ( )16. 如图, 已知: △ABC 的AB ＝AC, D 是AB 上一点, DE ⊥BC, E 是垂足, ED 的延长线交CA 的 延长线于F, 则AD ＝AF. ( )17. 如图B 、D 、E 、C 在同一直线上, 若AB ＝AC, ∠1＝∠2, 则 ∠3＝∠4. ()18. 等边三角形ABC 中, D 是AC 中点, E 为BC 延长线上一点, 且 DB ＝DE. 则 CE ＝CD()19. 已知, △ABC 中, AB ＝AC, ∠B ＝75°, CD ⊥AB 于D, 则CD ＝AB( )20. 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.( )21. 如图, B 、D 、E 、C 在同一直线上, 若AB ＝AC, ∠3＝∠4, 则∠1＝∠2.()22. 因为等腰三角形的底角一定是锐角, 所以等腰三角形是锐角三角形. ( ) 23. 如图, △ABC 和△CDE 都是等边三角形, 则 AD ＝BE. ()24. 如图, 已知: 四边形ABCD 中, ∠ABC ＝∠ADC, AB ＝AD, 则 CB ＝CD. ()25. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半, 这个三角形不一定是直角三角形. ( ) 26. 等腰三角形角平分线、高线、中线在同一条直线上 ( ) 27. 已知如图, △ABC 中, ∠B ＞∠C, 点D 是AC 上的一点, 且AD ＝AB, 则∠DBC ＝(∠ABC-∠C)( )28. 如果等腰三角形的顶角为50°, 那么一腰上的高与底边的夹角是40°.( )29. 已知△ABC 中, AB ＝AC, D 在AB 上且∠DCB ＝∠A, 则 CD ⊥AB ( )30. 等腰三角形两腰上的中线相等. ( )31. 已知△ABC 中, AB ＝AC, CD ⊥AB 于D, 则 ∠DCB ＝∠A( )32. 如图, AB ＝AE, ∠B ＝∠E, CB ＝ED. F 是CD 的中点, 则AF ⊥CD. ()33. 等腰三角形顶角的顶点到两腰中线的距离相等. ( )34. 已知: 如图在△ABC 中, AB ＝AC, D 是BC 延长线上一点, E 是AB 上一点, DE 交AC 于点F , 则 AE ＜AF ()35. 在△ABC 中, AB ≤AC, 延长CB 到D, 使BD ＝BA, 连结AD, 则 AD ＜AC.()36. 已知: 如图, D 为等腰直角△ABC 的直角边BC 延长线上一点, 且CD ＝CE, BE 延长线交AD 于F, 则BF ⊥AD()37. 在△ABC 中, ∠A ＝2∠B, 则BC ＜2AC. ()38. 已知, 如图 AD ＝DC, DE 平分∠ADB, F 是AC 中点, 则DE ⊥DF. ()39. 已知如图: △ABC 和△ADE 都是等腰三角形且顶角∠BAC ＝∠DAE, 则BD ＝CE ( )40. 如图, 已知: △ABC 中, ∠ABC ＝2∠C, AH ⊥BC, 垂足为H 延长AB 至D, 使 BD ＝BH,DH 的延长线交AC 于点M, 则MA ＝MC( )二.单选题 (本大题共 60 分)1. 在△ABC 中, AB=AC, ∠A=40°, 点O 在三角形内且∠OBC=∠OCA, 则 ∠BOC 的度数是 [ ]A.110°B.35°C.140°D.55°2. 如图在△ABC 中, AB ＝AC, ∠A ＝40°, P 为△ABC 内的一点, 且∠PBC ＝∠PCA,则∠BPC 的度数是[ ]A.115°B.110°C.120°D.130°3. 等腰三角形一边长5cm, 另一边长是3cm, 它的周长是 [ ] A.11cm B.13cm C.11cm 或13cm D.以上都不对4. 等腰三角形的一个角等于20°, 则它的另外两个角等于 [ ] A.20°、140° B.20°、140°或80°、80° C.80°、80° D.20°、80°5. 已知等腰三角形的一边长为4, 另一边长为9, 则它的周长为[ ]A.17B.17或22C.22D.136. 一个等腰三角形的一个内角为70°, 则它一腰上的高与底边所夹的角的度数为[ ]A.55°B.55°或70°C.20°D.20°或35°7. 等腰三角形顶角的度数是底角度数的4倍, 那么,它的底角的度数是[ ]A.120°B.30°C.60°D.90°8. 有一个角是50°的等腰三角形其顶角的度数为 [ ] A.80° B.50° C.80°或50° D.65.5°9. 等腰三角形周长12厘米，其中一边长2厘米，其他两边分别长 [ ] A ．2厘米，8厘米 B ．5厘米，5厘米 C ．5厘米，5厘米或2厘米，8厘米 D ．无法确定10. 等腰三角形两边分别为35厘米和22厘米, 则它的第三边长为 [ ]A.35cmB.22cmC.35cm 或22cmD.15cm 11. 已知等腰三角形的两个角之比为1∶2, 则顶角的度数是 [ ]A.90°B.36°C.36°或90°D.120° 12. 等腰三角形两边长是9cm 和15cm, 则它的周长是 [ ]A.24cmB.33cmC.39cmD.33cm 或39cm13. 等边三角形ABC 中, CD 是∠ACB 的平分线, 过D 作BC 的平行线交AC 于E, 若△ABC 的边长 是a, 则△ADE 的周长是 [ ]A.2aB. aC. aD. a14. 如果等腰三角形的周长为21, 其中一边长为5, 那么此等腰三角形底边长是 [ ] A.11 B.5 C.5或11 D.815. 已知等腰三角形中一个角为50°, 则这个三角形腰上的高和底边夹角的度数为 [ ] A.25° B.40° C.25°或40° D.以上答案都不对16. 在等腰△ABC 中, AB 的长是AC 的二倍, 三角形的周长是40, 则AB 的长等于. [ ] A.20 B.16 C.20或16 D.1017. 等腰三角形的底边为a, 顶角是底角的4倍. 则腰上的高为 [ ] A.a B. C. a D.2a 18. 已知等腰三角形的一边长为5, 另一边长为6, 则它的周长为 [ ]A.16B.16或17C.17D.1119. 等腰三角形底边长为5厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长之差为3厘米，则 它的腰长为[ ]A ．8厘米B ．5厘米C ．2厘米或8厘米D ．2厘米20. 等腰三角形有一个角是45°, 那么这个三角形是 [ ] A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不唯一确定21. 如图△ABC 中, AB ＝AC, 且EB ＝BD ＝DC ＝CF, ∠A ＝40°, 则∠EDF 的度数为 [ ]A.70°B.110°C.55°D.60°22. 已知等腰三角形的一个角为20°, 则它的另外两个角分别为[ ]A.20°,140°B.80°,80°C.20°,140°或80°,80°D.20°,80°23. 如果一个等腰三角形的一腰是顶角平分线的2倍, 那么这个三角形必有一个内角等于[ ]A.45°B.60°C.90°D.120°24. 如图, 在Rt △ABC 中, ∠C=90°, ∠DBC=26°,且AD=DB,则∠A=[ ]A.26°B.32 °C.64°D.52° 25. 一个等腰三角形的角平分线、高线和中线的总数最多有 [ ]A ．3条B ．5条C ．7条D ．9条26. 至少有两边相等的三角形是 [ ] A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形D ．锐角三角形27. 已知：等腰三角形的一边等于4, 一边等于8, 则这个等腰三角形的周长是 [ ] A.20 B.16 C.20或16 D.无法确定 28. 如图, AB ＝AC, FD ⊥BC 于D, DE ⊥AB 于E, 若∠AFD ＝155°, 那么∠EDF 的度数是[ ]A.45°B.55°C.65°D.75°29. 一条等腰三角形底边上的高等于底边的一半, 那么这个等腰三角形的顶角 [ ] A.小于60° B.等于60° C.等于90° D.大于90°30. 等边三角形的高、中线、角平分线共有________条．[ ]A.9B.7C.6D.3 31. 等腰三角形有一个角是，则它顶角的大小为 [ ] A ． B ．C ．D ．32. 等腰三角形的两边长为25cm 和12cm, 那么它的第三条边长为[ ]A.25cmB.12cmC.25cm 或12cmD.37cm 33. 在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，并交AC 于D ．如果∠CDB ＝，那么∠A 等于[ ]A ．B ．C ．D ．34. 若一个等腰三角形的两边分别是3cm 和6cm, 则它的周长为 [ ]A.15cmB.12cmC.12cm 或15cmD.18cm35. 如果一个三角形的三条高线的交点恰是这个三角形的一个顶点，那么此三角形 [ ] A ．是锐角三角形 B ．是钝角三角形 C ．是直角三角形D ．形状不确定36. 等腰三角形两边是9cm 和15cm, 则它的周长是 [ ]A.24cmB.33cmC.39cmD.33cm 或39cm37. 等腰Rt △ABC 中, ∠C ＝90° D 是BC 上一点, 且AD ＝2CD 则 ∠ADB 的度数为 [ ] A.30° B.60° C.120° D.150°38. 已知等腰三角形的一边等于4, 一边等于8, 则这个等腰三角形的周长是 [ ] A.20 B.16 C.20或16 D.无法确定39. 已知：如图, △ABD 和△ACE 均为等边三角形, 那么△ADC ≌△AEB 的根据是 []A.边,边,边B.边,角,边C.角,边,角D.角,角,边40. 一个等腰三角形底边上的高等于底边的一半, 那么这个等腰三角形的顶角 [ ]A.小于60°B.等于60°C.等于90°D.大于90° 41. 在△ABC 中, AB ＝AC, ∠A+ ∠B ＝130°, 则∠A 、∠B 、∠C 的度数是 [ ]A.∠A ＝50°、∠B ＝80°、∠C ＝80°B.∠A ＝50°、∠B ＝80°、∠C ＝50°C.∠A ＝50°、∠B ＝50°、∠C ＝80°D.∠A ＝80°、∠B ＝50°、∠C ＝50°42. 等腰三角形顶角是84°,则一腰上的高与底边所成角的度数是 [ ] A.42° B.6° C.36° D.46°43. 如图: AB ＝AC, ∠BAD ＝30°AD ⊥BC 且AD ＝AE, 则∠EDC ＝[ ]A.10°B.12.5°C.15°D.20° 44. 等腰三角形一腰上的高与底所夹的角等于 [ ] A.顶角 B.顶角的 C.顶角的2倍 D.底角的45. 等腰三角形边长分别是3和6，这个三角形的周长是[ ] A ．9 B ．12 C ．15D ．12或1546. 用一条长为12cm 的铁丝做等腰三角形, 底和腰的长必须是正整数, 若底的长为xcm, 则腰的长y 可为 [ ]A.5cmB.5cm 或4cmC.4cmD.-5cm47. 一个等腰三角形底边为8cm, 从底边上一个端点引腰的中线, 分三角形周长为两部 分, 其中一部分比另一部分长2cm, 则腰长为 [ ]A.6cmB.10cmC.6cm 或10cmD.以上都不对48. 一个等腰但非等边三角形, 它的角平分线, 中线和高线的条数共为 [ ] A.6 B.7 C.8 D.949. 已知：如图在△ABC 中, AB=AC, CD 为∠ACB 平分线,DE ∥BC,∠A=40°, 则∠EDC 的度数是[ ]A.30°B.36°C.35°D.54°50. 等腰三角形两个角的比为4∶1, 则顶角为 [ ]A.120°B.20°C.120°或20°D.150°51. 如图已知: AB ＝AC ＝BD, 那么∠1与∠2之间的关系满足[ ]A.∠1＝2∠2B.2∠1+∠2＝180°C.∠1+3∠2＝180°D.3∠1-∠2＝180°52. 若等腰三角形的两边a 、b 满足，则此等腰三角形的周长为[ ]A ．7B ．5C ．8D ．7或553. 等腰△ABC 中，两腰上的中线BE 、CD 交于O ，则下列判断中错误的是[ ]A ．△ADC ≌△AEB B ．△DBC ≌△ECB C ．△ABE ≌△BCDD ． △BOD ≌△COE54. 从等腰三角形底边上任一点，分别作两腰的平行线所成的四边形的周长等于此等腰三角形的[ ]A ．周长B ．周长一半C ．一腰长D ．两腰长的和 55. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于 [ ]A ．顶角B ．顶角的一半C ．顶角的2倍D ．底角的一半56. 如下图，△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，且DE=BE ，DF=DC ，若∠A=，则∠EDF=[ ]A ．B ．C ．D ．57.等腰三角形底边长为5厘米, 一腰上的中线把三角形分成两部分, 其周长之差为3厘米, 则它的腰长为 [ ]A.2厘米B.8厘米C.2厘米或8厘米D.9厘米58.如图△ABC中, AB＝AC, ∠A＝50°, P是△ABC内的一点, 且∠PBC＝∠PCA, 则∠BPC的度数为[ ] A.115° B.100° C.130° D.140°59.如图, △ABC中, AB＝AC, CD⊥AB, 则关于∠A正确的等式是[ ] A.∠A＝∠B B.∠A＝∠ACB C.∠A＝2∠ACB D.∠A＝2∠DCB60.如图在△ABC中, AB＝AC, BC＝BD, AD＝DE＝EB, 则∠A的度数是[ ]A.30°B.36°C.45°D.54°三.填空题 (本大题共 30 分)1.周长为20cm的等腰三角形中, 底边长为acm, 则一腰长为________cm．2.如图△ABC中, AB＝AC, ∠A＝40°, ∠AED＝∠F, 则∠F＝___________度.3.已知等腰三角形有两条边的长分别是3cm和7cm, 那么这个三角形的周长等于__________cm4.已知如图, A、D、C在一条直线上AB＝BD＝CD, ∠C＝40°, 则∠ABD＝______度.5.等腰三角形的周长为36, 腰比底长3, 则此等腰三角形的腰长为________, 底边长为________．6.等腰三角形的底边为12cm,且腰是底的, 则三角形的周长是_______cm7.已知等腰三角形的一个底角等于顶角的4倍, 则这个等腰三角形的顶角为_______度.8.等腰三角形底边中线与________和________重合．9.已知: 如图: △ABC中, AB＝BC, ∠B＝90°, AD∥BC, ∠D＝70°, 则∠EFA＝____度10.已知：等腰三角形的一个角为100°, 则另两个角的度数为________．11.△ABC中，如果AB=AC，点M是BC边中点，那么M到______两边的距离相等，AM上的点到_____ _两点的距离相等。
一题多解 多题一解 一题多变(顶角是20度的等腰三角形问题)原创
顶角是20度的等腰三角形有关问题的解法比较在解顶角是20度的等腰三角形有关问题时不难发现，它们有共同之处，就是构造适当的等边三角形进行转化。
举例如下：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=20゜，在AB、AC上分别取点E、D，使∠CBD=60゜，∠BCE=50゜.求∠AED的度数解法（一）解：如图2，作∠CBM=20°,点M在AC上，在AB上取点N，使BN=BM，在AM上取点P，使PM=MN，∵∠A=20゜, AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=80° ,∴∠NBM=60°∴△BMN为等边三角形，∵∠CBM=20°∴∠BMC=∠BCM=80°∴BC=BM=BN=MN=PM∴∠BNM=60°, ∠NMP=180°-∠BMN-∠BMC=40°∠MNP=∠MPN=70°∴∠ANP=180°-∠MNP-∠BNM=50°连接CN，在△BMN中，∵BC=BN，∠NBC=80°∴∠BCN=50°，∴点N就是图1中的点E，连接PB，在△PBM中，∵BM=PM，∠PMB=100°∴∠PBM=40°，∵∠CBM=20°∴∠CBP=60°，∴点P就是图1中的点D，∴∠AED=50°解法二解：如图3，作∠CBM=20°,交AC于点M，连接EM，∵∠A=20°, AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=80° ,BC=BM，∠NBE=60°∵∠BCE=50°∴∠BEC=180°–80°–50°= 50°∴BE=BC=BM∴△BMN为等边三角形，∴∠BEM=60°∵∠BMC =80°∴∠BMD=100°∵∠DBC =60°，∠CBM=20°∴∠DBM=40°在等腰△MDB中∴∠BDM=180°–100°–40°=40°AB CNMP(图2)AB CDE(图1)AB CEMD(图3)∴DM =BM =EM 在等腰△MDE 中 ∵∠BMD =100°∴∠MED =∠MDE =70°∴∠AED =180°-70°-60°=50°解法三：解：如图4 作等边三角形AGD 交AE 与F∴ ∠AGD ＝∠DBC ＝60°∠GAF ＝40° ∵∠A ＝20°AB ＝AC ∴ ∠ABC=∠ACB=80°又∵∠DBC ＝60°∴∠BDC ＝40°∴∠GAF ＝∠BDC ∴∠ABD ＝∠BAC ＝ 20° ∴AG=AD=DB△ AGF ≌△DBC∴AF=DC 又∵AB ＝AC∴BF=AD =DG ………① 又∵∠ABC =80°∠BCE =50゜∴∠BEC=50゜∴BE =BC=GF …………..② 由①②得 BF-BE=DG-GF 即：EF ＝FD又∵∠EFD =∠AFG ＝80°∴∠AED =（180°－80°）÷2=50° 2、（2004年山东省实验中学招生数学试题）12、在△ABC 中,AB=BC,∠ABC=20°,在AB 边上取点M,使BM=AC,则AMC 的大小为解法一_ 图 4_ GC解：作∠FAC=20°使AF＝AB 交AC与E 连结BF CF ∠BAF=80°-20°＝60°可得△BAF为等边三角形，∴BA=BF=AF∵BM=AC ∠FAC=∠CBM=20°∴△MBC≌△ACF ∠BMC=∠ACF∠CBF=60°-20°=40°BC=BA=AF∴∠BCF=(180°-40°)÷2=70°∴∠ACF=80°+70°=150°∴∠BMC=150°∠AMC=30°解法二解：作BD⊥AC交AC与D ∴∠DBC=10°在BD上取点E 使EA=AC 连结EC可得△EAC为等边三角形，∴EC=AC=BM∠BCE=80°-60°＝20°∴∠BCE=∠CBM BC是公共边∴△BCE≌△CBM ∠BCM＝∠DBC=10°∠AMC=∠BCM+∠ABC =30°解法三解：如图作等边三角形△BCN 连结MN ∠MBN=60°＋20°＝80°＝∠BAC∵BM=AC BN=BCC∴△NBM ≌△BAC∠BNM=20° ∠BMN ＝80° ∠MNC=60°-20°=40° ∵NM=BN=NC∴ ∠NMC=(180°-40°)÷2=70° ∴∠BMC =80°+70°=150° ∴∠AMC=30°补充练习：【题1】等腰三角形ABC ，顶角∠C=20°，D 、E 分别在CA 和CB 上，∠EAB=70°，∠DBA ＝60°，求∠DEA 度数。
等腰三角形底边比腰与顶角的关系
等腰三角形底边比腰与顶角的关系全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：等腰三角形是指两条边长度相等的三角形，其中的底边是指两条边长度不等的边，而腰则是指两条边长度相等的边。
在等腰三角形中，底边与顶角之间存在着一定的关系，这个关系可以通过数学方法进行分析和推导。
我们要了解等腰三角形的一些基本性质。
根据等腰三角形的定义，两条腰的长度相等，即AB=AC。
等腰三角形的底角（底边两侧的角）是相等的，记为∠B=∠C。
在等腰三角形中，底边与顶角之间的关系可以用三角函数来描述。
设等腰三角形ABC中，AB=AC=a，BC=b，∠A为顶角。
根据三角函数的定义，正弦、余弦和正切分别为三角形的对边、邻边和斜边之比。
底边与顶角之间的关系可以表示为：sinA = b / 2b = 1 / 2cosA = √(1 - sin^2(A)) = √(1 - 1/4) = √(3) / 2tanA = sinA / cosA = 1 / √(3) = √(3) / 3从上面的公式可以看出，底边与顶角之间的关系是不固定的，而是取决于等腰三角形中底边和斜边的比值。
具体来说，底边与顶角的正弦值为1/2、余弦值为√(3) / 2、正切值为√(3) / 3。
在实际问题中，我们经常需要根据等腰三角形的底边和腰的长度来求解顶角的大小。
可以通过上面的公式来计算顶角的正弦、余弦和正切值，进而得到角度的具体数值。
这对于许多几何问题的求解具有重要的意义。
等腰三角形中底边与顶角之间存在着一定的数学关系，可以通过三角函数来描述，并且该关系是根据底边和腰的比值而定的。
在实际问题中，我们可以利用这个数学关系来求解等腰三角形中顶角的大小，为解决相关问题提供了重要的方法和思路。
【以上内容共414字】考虑将等腰三角形ABC中的底边BC延长至D点，构造等腰三角形ACD。
根据等腰三角形的定义，AD=AC=a，DC=b。
连接BD，并延长至E点，使得DE=AB=a。
由三角形的内角和性质可知，∠A+∠B+∠C=180°。
等腰三角形的边角关系结论
等腰三角形的边角关系结论等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，边角之间存在一些特殊的关系，这些关系对于解题和理解等腰三角形的性质非常重要。
本文将从不同角度探讨等腰三角形的边角关系。
一、底角的性质在等腰三角形中，底边的两个角称为底角。
底角具有以下性质：1. 底角相等：等腰三角形的底角是相等的。
这是等腰三角形最基本的性质之一。
无论等腰三角形的顶角大小如何变化，底角始终保持相等。
2. 底角等于顶角的一半：等腰三角形的底角恒等于顶角的一半。
这是由于等腰三角形的两边长度相等，所以根据三角形内角和的性质可知，底角等于顶角的一半。
二、顶角的性质在等腰三角形中，顶角是位于顶点的角，具有以下性质：1. 顶角等于底角的两倍：等腰三角形的顶角恒等于底角的两倍。
这是由于等腰三角形的两边长度相等，所以根据三角形内角和的性质可知，顶角等于底角的两倍。
2. 顶角小于180度：等腰三角形的顶角始终小于180度。
这是由于等腰三角形是一个三角形，而三角形的内角和等于180度。
由于等腰三角形的底角相等，所以顶角必须小于180度。
三、等腰三角形的对称性等腰三角形具有对称性，即等腰三角形的两边关于顶角的中线对称。
具体来说，等腰三角形的两边关于顶角的中线是重合的。
这是等腰三角形独特的性质，可以用来解题和证明等腰三角形的性质。
四、等腰三角形的高等腰三角形的高是指从顶点到底边的垂直距离。
等腰三角形的高具有以下性质：1. 高是底边的中线：等腰三角形的高是底边的中线，即高和底边的中垂线重合。
这是由于等腰三角形的两边关于顶角的中线是重合的性质。
2. 高和底边关于顶角的边垂线重合：等腰三角形的高和底边关于顶角的边垂线重合。
这是由于等腰三角形的两边关于顶角的中线和边垂线是重合的性质。
五、等腰三角形的角平分线等腰三角形的角平分线是指从顶点到底边的线段，将顶角平分为两个相等的角。
等腰三角形的角平分线具有以下性质：1. 角平分线和底边垂线重合：等腰三角形的角平分线和底边垂线重合。
等腰三角形底角和顶角的关系
等腰三角形底角和顶角的关系等腰三角形是一种非常常见的几何图形，它具有两条边相等的特点。
在等腰三角形中，底角和顶角之间存在一种特殊的关系。
本文将探讨等腰三角形底角和顶角的关系，并通过几个例子来说明这个关系。
我们来定义等腰三角形。
等腰三角形是一种具有两条边相等的三角形。
在等腰三角形中，两条相等的边被称为腰，而剩余的边被称为底。
等腰三角形的底角是指底边两侧与底边不相邻的两个角，而顶角是指顶点与底边相邻的角。
在等腰三角形中，底角和顶角之间存在一种特殊的关系。
这个关系可以通过几何推理来证明。
我们可以假设等腰三角形的底边长度为a，腰的长度为b，顶角为α，底角为β。
我们可以通过等腰三角形的定义得到：a = b。
接下来，我们可以利用三角形内角和的性质得到：α + β + β = 180°。
由于α和β是等腰三角形中的两个角，所以它们是相等的，即α = β。
将α = β代入上述等式中，我们可以得到：α + α + α = 180°。
化简得到：3α = 180°。
进一步化简得到：α = 60°。
所以，在等腰三角形中，底角和顶角的关系是：底角等于顶角的一半。
也就是说，底角β等于顶角α的一半，即β = α/2。
通过上述推理，我们可以得出等腰三角形底角和顶角的关系：底角等于顶角的一半。
下面，我们通过几个例子来进一步说明这个关系。
例子1：假设一个等腰三角形的顶角为60°，求底角的度数。
根据底角等于顶角的一半的关系，我们可以得到底角的度数为60°/2 = 30°。
例子2：假设一个等腰三角形的底角为40°，求顶角的度数。
根据底角等于顶角的一半的关系，我们可以得到顶角的度数为40°*2 = 80°。
通过以上例子，我们可以看到，在等腰三角形中，底角和顶角之间确实存在着一种特殊的关系。
底角等于顶角的一半，这是一个被广泛应用于几何学中的规律。
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顶角是20度的等腰三角形问题
问题A：△ABC中，D在AB上，∠A=20度，AB=AC,AD=BC,求∠BDC的度数
解1：以AB为一边，在AB内侧做正三角形ABF，连结CF。
得∠FBC=80°-60°=20°后，用两边夹角可证明△ADC≌△BCF，得∠CFB=∠DCA。
由CAF=40°得∠AFC=70°，而∠AFB=60°，故∠CFB=10°。
所以∠BDC=20°+10°＝30°。
解2：用正弦定理：如图，在AB上取一点E使BE＝BC，连结CE，
∠A＝20°，∠B＝80°，∠BCE＝50°，∠ACE＝30°
设∠BDC＝α则∠BCD＝100°－α
在△ACE中，CE/AE＝sin20°/sin30°(1)
在△BCD中，BD/BC＝sin(100°－α)/sinα（2）
在△BCE中，BC/CE＝sin50°/sin80°（3）
注意到AE＝BD有(1)×(2)×(3)得：左＝1
∴右＝1即得，
sin20°sin(100°-α)sin50°＝sin30°sin80°sinα
由sin30°=1/2, sin80°=2 sin40°cos40°及正余弦转化公式
化为：sin20°cos(10°－α)cos40°＝sin40°cos40°sinα
再用半角公式得
∴cos(10°－α)＝2cos20°sinα
得锐角α＝30°
问题B：△ABC中，E在AB上，D在AC上，AB=AC，AE=ED=DB=BC,求∠A的度数。
此题为证明角A等于20度较好。
解1：设AE=a，∠BAC=α，∠ABC=β，则α+2β=180°。
过E做DB的平行线交BC于F，过B做DE平行线交EF于G，连接GC。
邻边都为a的平行四边形DBGE是菱形。
用两边夹角可得△ADE≌△ECG。
GC=a，BGC是正三角形。
∠DEG等于2×0.5α。
∠BGC=α+2α=60，α=20°
解2：设AE=a，∠A=α，∠B=β，则α+2β=180°。
做CF使△ABE≌△FB C，FC与AB交于H，则CHB=β，过A做线段较FH于G，使∠GAB=α。
由∠AHG=β得∠AGH=β，AG=AH。
△AGB≌△AH C，得∠AGB=180°-β=α+β，得∠BGH=α，得GC=AD，得FG=GB。
∠FGA=180°-β=α+β。
△AFG≌△AB G。
得△AFC是等边三角形。
∠FAC=3α=60°。
得α=20°。