人教版数学九年级上册24.1.4圆周角(1) 教学设计

教学设计
1. 探究活动一：圆周角概念
角的顶点在圆上，角的两边与圆的位置关系都有哪些类型？
请同学们尝试画一画.
O O
2.圆周角：我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角.
如图，∠ACB为⊙O的圆周角,
所对的弦为AB,
AB
3.练习：判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由：
P 2，P 3，得到三个圆周角∠MP 1N ，∠MP 2N ，∠MP 3N ，分别测量这三个角的角度，并记录下来.
∠MP 1N=__________， ∠MP 2N=_________， ∠MP 3N=_________. 发现：当点P 在优弧MN 上运动时，∠P 始终是55°，
当点P 在劣弧MN 上运动时，∠P 变为125°. 2. 探究活动三：圆周角与圆心的位置关系. 通过观察得到点P 在优弧MN 上的三种位置关系：
即圆心在圆周角外，圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角内。

3. 探究活动四：圆周角与圆心角的关系. 分别证明这三个位置中，圆心角与圆周角的关系 （1）圆心在圆周角的一边上
O
M
N
O
M
N
O
M
N
O
M
N
O
M
N
O
M
N
证明：∵ OA=ON ，
∴ ∠A =∠N ．
又∵ ∠MON 是△AON 的外角,
∴ ∠MON =∠A +∠N ， ∴ ∠MON =2∠A ，
（2）圆心在圆周角内
（3）圆心在圆周角外
4.
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
如图，∠P 是MN 所对的圆周角，
∠O 是MN 所对的圆心角,
∴∠P =1
∠O .
证明：连接BO 并延长，交⊙O 于点E.
∵∠1=1
2∠3, ∠2=12∠4,
证明：连接CO 并延长，交⊙O 于点F .
∵∠1=1
2∠3,
∠OCN =1
2∠FON ,
如图，∠P ,∠Q 是MN 所对的圆周角，则∠P =∠Q
2.等弧所对的圆周角相等．
已知：如图，MN 与''
M N 相等，求证：∠P=∠Q.
3.
圆周角定理推论（一）
同弧或等弧所对的圆周角相等．
1.探究活动六：特殊的角度
证明：∵∠P =1
2∠O ,
∠Q =1
2∠O ,
证明：连接OM ，ON ，OM’，ON’.
∵MN =''
M N ， ∴∠MON =∠M ’ON ’. ∵∠P =1
2∠MON ，
∠Q =1
∠M ’ON ’.
发现： 当∠O 变为180°，即MN 是圆O 直径时，∠P =90°,
反之，圆周角∠P 为90°时，圆心角∠O 则为180°.
2.圆周角定理推论（二）
半圆（或直径）所对的圆周角是直角． 90°的圆周角所对的弦是直径．
3.练习
1.如图①，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠CAB =40°， 则∠ABC =_______°.
2.如图②，△ABC 的顶点都在⊙O 上，BD 是⊙O 直径，若∠CBD =21°，则∠A =_______°.
O P O
P
MN 为⊙O 直径， ∠MPN=_____°.
∠MPN=90°， ∠MON=_____°.
例：如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC 为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD 的长．
1.圆周角、圆心角与弧之间的关系
提高题：如图，圆上分布着7个点，A1，A2，……，A7，从A1起顺次连接A3，A5，A7，A2，A4，A6，A1，得到“七角星”，则
∠A1+∠A2+……+∠A7=_______。