人教版数学九年级上册24.1.4圆周角(1) 教学设计

教学设计

1. 探究活动一：圆周角概念

角的顶点在圆上，角的两边与圆的位置关系都有哪些类型？

请同学们尝试画一画.

O O

2.圆周角：我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角.

如图，∠ACB为⊙O的圆周角,

所对的弦为AB,

AB

3.练习：判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由：

P 2，P 3，得到三个圆周角∠MP 1N ，∠MP 2N ，∠MP 3N ，分别测量这三个角的角度，并记录下来.

∠MP 1N=__________， ∠MP 2N=_________， ∠MP 3N=_________. 发现：当点P 在优弧MN 上运动时，∠P 始终是55°，

当点P 在劣弧MN 上运动时，∠P 变为125°. 2. 探究活动三：圆周角与圆心的位置关系. 通过观察得到点P 在优弧MN 上的三种位置关系：

即圆心在圆周角外，圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角内。

3. 探究活动四：圆周角与圆心角的关系. 分别证明这三个位置中，圆心角与圆周角的关系 （1）圆心在圆周角的一边上

O

M

N

O

M

N

O

M

N

O

M

N

O

M

N

O

M

N

证明：∵ OA=ON ，

∴ ∠A =∠N ．

又∵ ∠MON 是△AON 的外角,

∴ ∠MON =∠A +∠N ， ∴ ∠MON =2∠A ，

（2）圆心在圆周角内

（3）圆心在圆周角外

4.

圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

如图，∠P 是MN 所对的圆周角，

∠O 是MN 所对的圆心角,

∴∠P =1

∠O .

证明：连接BO 并延长，交⊙O 于点E.

∵∠1=1

2∠3, ∠2=12∠4,

证明：连接CO 并延长，交⊙O 于点F .

∵∠1=1

2∠3,

∠OCN =1

2∠FON ,

如图，∠P ,∠Q 是MN 所对的圆周角，则∠P =∠Q

2.等弧所对的圆周角相等．

已知：如图，MN 与''

M N 相等，求证：∠P=∠Q.

3.

圆周角定理推论（一）

同弧或等弧所对的圆周角相等．

1.探究活动六：特殊的角度

证明：∵∠P =1

2∠O ,

∠Q =1

2∠O ,

证明：连接OM ，ON ，OM’，ON’.

∵MN =''

M N ， ∴∠MON =∠M ’ON ’. ∵∠P =1

2∠MON ，

∠Q =1

∠M ’ON ’.

发现： 当∠O 变为180°，即MN 是圆O 直径时，∠P =90°,

反之，圆周角∠P 为90°时，圆心角∠O 则为180°.

2.圆周角定理推论（二）

半圆（或直径）所对的圆周角是直角． 90°的圆周角所对的弦是直径．

3.练习

1.如图①，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠CAB =40°， 则∠ABC =_______°.

2.如图②，△ABC 的顶点都在⊙O 上，BD 是⊙O 直径，若∠CBD =21°，则∠A =_______°.

O P O

P

MN 为⊙O 直径， ∠MPN=_____°.

∠MPN=90°， ∠MON=_____°.

例：如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC 为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD 的长．

1.圆周角、圆心角与弧之间的关系

提高题：如图，圆上分布着7个点，A1，A2，……，A7，从A1起顺次连接A3，A5，A7，A2，A4，A6，A1，得到“七角星”，则

∠A1+∠A2+……+∠A7=_______