61二次函数定义

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二次函数的判别式与根的情况

二次函数的判别式与根的情况二次函数是高中数学中重要的一部分，它的判别式和根的情况是我们学习和掌握二次函数的基础。

通过研究二次函数的判别式和根的情况，我们可以更好地理解和运用二次函数，解决实际问题。

本文将对二次函数的判别式和根的情况进行详细的说明和分析。

一、二次函数的一般形式二次函数的一般形式可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

其中，a控制二次函数的开口方向，b控制二次函数的对称轴位置，c控制二次函数的纵轴截距。

二、二次函数的判别式二次函数的判别式是通过计算Δ = b^2 - 4ac来判断二次函数的根的情况。

判别式的值可以分为三种情况：1. 当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根。

这表示二次函数与x轴交于两个点，即二次函数的图像与x轴有两个交点。

2. 当Δ = 0时，二次函数有两个相等的实根。

这表示二次函数与x轴相切于一个点，即二次函数的图像与x轴有一个交点。

3. 当Δ < 0时，二次函数没有实根，而是两个共轭复根。

这表示二次函数的图像与x轴没有交点，全部位于x轴上方或下方。

通过判别式的值，我们可以预测和判断二次函数与x轴的交点情况，从而更好地理解和掌握二次函数的性质和特点。

三、二次函数根的情况根据二次函数的判别式，我们可以进一步分析二次函数的根的情况：1. 当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根。

这意味着二次函数的图像与x轴有两个交点，即二次函数的图像开口朝上或朝下，并且与x轴交于两个不同的点。

2. 当Δ = 0时，二次函数有两个相等的实根。

这表示二次函数的图像与x轴相切于一个点，即二次函数的图像开口朝上或朝下，与x轴交于同一个点。

3. 当Δ < 0时，二次函数没有实根，而是两个共轭复根。

这意味着二次函数的图像与x轴没有交点，即二次函数的图像完全位于x轴上方或下方，开口朝上或朝下。

根的情况进一步揭示了二次函数图像的性质和特点，帮助我们更好地理解和应用二次函数。

二次函数自变量取值范围

二次函数自变量取值范围一、二次函数的定义和特点二次函数是数学中的一种函数，其一般形式为f(x) = ax + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二次函数的特点包括：1.抛物线图像：二次函数的图像为一条抛物线。

2.顶点：抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

3.开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

二、自变量取值范围的影响因素1.抛物线的顶点：自变量取值范围受到顶点坐标的影响。

2.开口方向：当抛物线开口向上时，自变量取值范围较大；当抛物线开口向下时，自变量取值范围较小。

3.抛物线与坐标轴的交点：抛物线与坐标轴的交点也会影响自变量的取值范围。

三、常见二次函数的自变量取值范围1.标准式：y = ax + bx + c，其中a ≠ 0。

这种二次函数的自变量取值范围为全体实数。

2.顶点式：y = a(x - h) + k，其中a ≠ 0，h、k为实数。

这种二次函数的自变量取值范围为全体实数。

3.截距式：y = a(x + b) + c，其中a ≠ 0，b、c为实数。

这种二次函数的自变量取值范围为全体实数。

四、如何确定二次函数的自变量取值范围1.根据二次函数的定义，判断抛物线的开口方向和顶点坐标。

2.分析抛物线与坐标轴的交点，确定自变量取值范围。

3.对于复合函数或含有绝对值等复杂情况的二次函数，需要进行分类讨论，逐步确定自变量取值范围。

五、实例分析以二次函数y = 2x - 3x + 1为例，先求出顶点坐标：顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中b = -3，a = 2。

顶点坐标为：(3/4, 1/8)。

由于a > 0，抛物线开口向上。

又因为抛物线与y轴交于点(0, 1)，所以自变量取值范围为全体实数。

综上，二次函数y = 2x - 3x + 1的自变量取值范围为全体实数。

二次函数的奇偶性分析

二次函数的奇偶性分析二次函数即一元二次方程的图像可以分析其奇偶性。

对于一元二次方程y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。

我们来探讨二次函数的奇偶性，并分析其图像的特点。

一、二次函数的定义二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数是一种常见的非线性函数，其图像通常呈现抛物线形状。

二、二次函数的奇偶性奇函数满足f(-x)=-f(x)，即函数图像关于y轴对称；偶函数满足f(-x)=f(x)，即函数图像关于原点对称。

我们将分别讨论二次函数的三个系数a、b、c对函数的奇偶性的影响。

1. a的奇偶性当a为正数时，二次函数的图像开口向上，是一个向上凸的抛物线，此时函数是一个偶函数。

例如，y=x^2、y=2x^2等都是以原点为中心的偶函数。

当a为负数时，二次函数的图像开口向下，是一个向下凸的抛物线，此时函数是一个奇函数。

例如，y=-x^2、y=-2x^2等都是以原点为中心的奇函数。

综上所述，a的奇偶性决定了二次函数的奇偶性。

2. b的奇偶性对于二次函数f(x)= ax^2+bx+c，b的奇偶性不会影响二次函数的奇偶性。

无论b是奇数还是偶数，二次函数的奇偶性都由a决定。

3. c的奇偶性对于二次函数f(x)= ax^2+bx+c，c的奇偶性也不会影响二次函数的奇偶性。

无论c是奇数还是偶数，二次函数的奇偶性仍由a决定。

通过分析二次函数的系数a、b、c，我们可以得出以下结论：当a为正数时，二次函数是一个偶函数，图像开口向上，以原点为中心；当a为负数时，二次函数是一个奇函数，图像开口向下，以原点为中心。

三、二次函数图像的特点1. 对称轴：二次函数的对称轴是与y轴平行的一条直线，可以通过求解x=-b/2a得到对称轴的方程。

2. 顶点：对称轴上的点称为顶点，也是二次函数的最值点。

通过对称轴方程求解可得到顶点的坐标。

3. 开口方向：a的正负决定了二次函数的图像开口方向，向上或向下。

二次函数与一次函数

二次函数与一次函数一、二次函数的定义与性质二次函数是指函数的自变量为二次方的多项式函数，一般的二次函数可以表示为：\[f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0) \]其中，a、b、c为实数，且a不等于0。

在这个函数中，x是自变量，f(x)是函数的值。

1. 定义二次函数中的平方项$ax^2$是二次项，一次项$bx$是一次项，常数项c是常数。

对于二次函数，它的图像通常是一个开口向上或者开口向下的抛物线。

2. 函数图像：开口方向和顶点位置根据二次函数的形式，可以得知函数的开口方向和顶点位置：- 如果a大于0，表明抛物线的开口向上；- 如果a小于0，表明抛物线的开口向下。

而抛物线的顶点位置可以通过一定的方法求解，其中，顶点的横坐标为$x_v = \frac{-b}{2a}$，纵坐标为$y_v = f(x_v)$。

3. 对称轴对于二次函数的图像，存在一条对称轴，即抛物线左右两侧的图像关于该直线对称。

对称轴的方程可以表示为$x = \frac{-b}{2a}$。

4. 判别式与根的情况对于二次函数的解析式$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中判别式为$D =b^2 - 4ac$。

根据判别式可以判断二次函数的根的情况：- 当D大于0时，函数有两个不相等的实根；- 当D等于0时，函数有两个相等的实根；- 当D小于0时，函数无实根。

5. 求根公式当二次函数存在实根时，可以根据求根公式得到实根的解析表达式：\[ x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \quad x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \]二、一次函数的定义与性质一次函数是指函数的自变量是一次方的多项式函数，一般的一次函数可以表示为：\[ f(x) = kx + b \]其中，k和b为实数。

1. 定义一次函数是指只有一次方的函数，它的图像是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，b表示直线与y轴的交点。

二次函数图表总结

二次函数图表总结二次函数图表总结y＝ax图象2a>0ay＝ax+k图象2a>0a0开口对称性顶点k0ky＝a(x-ｈ)2图象a>0a0开口对称性顶点增减性h0hy＝a(x-ｈ)+k2a>0a0,k>0h>0,k0,kh0顶点是最低点左右平移y=ax2+k上下平移y=a(xh)2+k上下平移y=a(xh)2左右平移y=ax2一般地,抛物线y=a(x-h)+k与y=ax2的形状相同,位置不同。

2y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k扩展阅读：二次函数单元总结二次函数单元总结【知识归纳和总结】一、知识网络二次函数的定义yax2bxc(a0)yax2(a0)二次函数的图像ya(xm)2k(a0)yax2bxc(a0)二次函数二次函数的性质开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性，二次函数与一元二次方程的关系二次函数的应用最大面积、利润等二、知识要点分布1.二次函数的定义：形如yax2bxc(a、b、c为常数，a0）的函数叫二次函数。

任何一个二次函数的表达式都可以化为yax2bxc的形式，这就是二次函数的一般形式。

2.二次函数表达式的几种形式：（1）y=ax2；（2）y=ax2+k；（3）y=a(x+h)2；（4）（5）y=ax2+bx+c(a0)。

y=a(x+h)2+k；3.二次函数表达式的形式及对称轴、顶点坐标。

（1）一般式：yaxbxc(a、b、c为常数，a0），其对称轴为直线x=-2b，顶点2ab4ac-b2坐标为-,。

2a4a（2）顶点式：y=a(x+h)+k(a、h、k为常数，a0），其对称轴为直线x=-h，顶点坐标为-h,k。

（3）交点式：y=ax-x1x-x2，其中a0，x1、x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标，即一元二次方程ax-x1x-x2=0的两个根。

4.二次函数图像之间的平移关系1向上（k>0）或向下（k0）或向下（k0）或向下（k0a对称轴顶点坐标直线x=-b2a直线x=-b2ab4ac-b2-,2a4a当x-小；当x-大；b4ac-b2-,2a4a 当x-大；性质增减性b时，y随x的增大而减2ab时，y随x的增大而增2ab时，y随x的增大而增2ab时，y随x的增大而减2a当x-小；最值当x=-b时，y有最小值，2a当x=-b时，y有最大值，2a4ac-b2y最小值=4a","p":{"h":19.298,"w":9.111,"x":407.786,"y":455.644,"z":象而具体了。

二次函数的图像与性质-完整版课件

二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$）的解即为二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，二次函数与 $x$ 轴有两个交点；当 $Delta = 0$ 时，有一个交点；当 $Delta < 0$ 时，没有交点。
• 分析：根据题意设交点坐标为$(-1, y_1)$和$(3, y_2)$，代入直线方程可得两个方程。又因为这两个点也在抛物线上，所以代入抛物线方程也可得两个方程。联立这四个方程即可求出二次函数的解析式。
• 示例2：已知二次函数$y = ax^2 + bx + c (a • eq 0)$的图像与直线$y = x + m (m • eq 0)$相交于两点，且这两点关于原点对称，求二次函数的解析式。 • 分析：根据题意设交点坐标为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，由于两点关于原点对称，所以有$x_1 = -x_2$和
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二次函数的图像与性质-完
整版课件
汇报人：XXX
2024-01-29
• 二次函数基本概念 • 二次函数图像特征 • 二次函数性质探讨 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景举例说明 • 总结回顾与拓展延伸
目录
CONTENTS
零点存在性及个数判断方法
零点定义
二次函数零点存在性判断方法
对于函数f(x)，若存在x0∈D，使得f(x0)=0，则称x0为函数 f(x)的零点。
通过判别式Δ=b^2-4ac来判断。当Δ>0时，二次函数有两个不相等的零点；当Δ=0时，二次函数有两个相等的零点（即一个重根）；当Δ<0时，二次函数无零点。

二次函数知识点总结与典型例题

二次函数知识点总结及典型例题一、二次函数得概念与图像1、二次函数得概念一般地,如果,那么y叫做x 得二次函数。

叫做二次函数得一般式。

2、二次函数得图像二次函数得图像就是一条关于对称得曲线,这条曲线叫抛物线。

抛物线得主要特征:①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。

3、二次函数图像得画法---五点法:二、二次函数得解析式二次函数得解析式有三种形式:(1)一般式:(2)顶点式:(3)当抛物线与x轴有交点时,即对应二次好方程有实根与存在时,根据二次三项式得分解因式,二次函数可转化为两根式。

如果没有交点,则不能这样表示。

三、抛物线中,得作用(1)决定开口方向及开口大小,这与中得完全一样、(2)与共同决定抛物线对称轴得位置、由于抛物线得对称轴就是直线,故:①时,对称轴为轴所在直线;②(即、同号)时,对称轴在轴左侧;③(即、异号)时,对称轴在轴右侧、(3)得大小决定抛物线与轴交点得位置、当时,,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,):①,抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴、以上三点中,当结论与条件互换时,仍成立、如抛物线得对称轴在轴右侧,则、四、二次函数得性质1、二次函数得性质一元二次方程得解就是其对应得二次函数得图像与x轴得交点坐标。

因此一元二次方程中得,在二次函数中表示图像与x轴就是否有交点。

当>0时,图像与x轴有两个交点;当=0时,图像与x轴有一个交点;当<0时,图像与x轴没有交点。

补充:函数平移规律:左加右减、上加下减六、二次函数得最值如果自变量得取值范围就是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当时,。

如果自变量得取值范围就是,那么,首先要瞧就是否在自变量取值范围内,若在此范围内,则当x=时,;若不在此范围内,则需要考虑函数在范围内得增减性,如果在此范围内,y随x得增大而增大,则当时,,当时,;如果在此范围内,y随x得增大而减小,则当时,,当时,。

典型例题1、已知函数,则使y=k成立得x值恰好有三个,则k得值为( )A.0B.1C.2D.32、如图为抛物线得图像,A、B、C为抛物线与坐标轴得交点,且OA=OC=1,则下列关系中正确得就是( )A.a＋b=－1B. a－b=－1C. b<2aD. ac<03、二次函数得图象如图所示,则反比例函数与一次函数在同一坐标系中得大致图象就是( )、4、如图,已知二次函数得图象经过点(－1,0),(1,－2),当随得增大而增大时,得取值范围就是 .5、在平面直角坐标系中,将抛物线绕着它与y 轴得交点旋转180°,所得抛物线得解析式就是( ).A. B.C. D.6、已知二次函数得图像如图,其对称轴,给出下列结果①②③④⑤,则正确得结论就是( )A ①②③④B ②④⑤C ②③④D ①④⑤ 7.x … －2 －1 0 1 2 … y…4664…从上表可知,下列说法中正确得就是 .(①抛物线与轴得一个交点为(3,0); ②函数得最大值为6;③抛物线得对称轴就是; ④在对称轴左侧,随增大而增大.8、如图,在平面直角坐标系中,O 就是坐标原点,点A 得坐标就是(－2,4),过点A 作AB ⊥y 轴,垂足为B ,连结OA . (1)求△OAB 得面积; (2)若抛物线经过点A . ①求c 得值;②将抛物线向下平移m 个单位,使平移后得到得抛物线顶点落在△OAB 得内部(不包括△OA B 得边界),求m 得取值范围(直接写出答案即可).9.已知二次函数y =14 x 2+ 32x 得图像如图.(1,-2)-1(1)求它得对称轴与x 轴交点D 得坐标;(2)将该抛物线沿它得对称轴向上平移,设平移后得抛物线与x 轴、y 轴得交点分别为A 、B 、C 三点,若∠ACB =90°,求此时抛物线得解析式;(3)设(2)中平移后得抛物线得顶点为M ,以AB 为直径,D 为圆心作⊙D ,试判断直线CM 与⊙D 得位置关系,并说明理由.10、如图,在平面直角坐标系xOy 中,AB 在x 轴上,AB ＝10,以AB 为直径得⊙O′与y 轴正半轴交于点C ,连接BC ,AC 、CD 就是⊙O′得切线,AD ⊥CD 于点D ,tan ∠CAD ＝,抛物线过A ,B ,C 三点、(1)求证:∠CAD ＝∠CAB ; (2)①求抛物线得解析式;②判定抛物线得顶点E 就是否在直线CD 上,并说明理由;(3)在抛物线上就是否存在一点P ,使四边形PBCA 就是直角梯形、若存在,直接写出点P得坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由、11、如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD 就是直角梯形,BC ∥AD ,∠BAD = 90°,BC 与y 轴相交于点M ,且M 就是BC 得中点,A 、B 、D 三点得坐标分别就是A (-1,0),B ( -1,2),D ( 3,0),连接DM ,并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ,若抛物线y =ax 2+bx +c 经过点D 、M 、N .(1)求抛物线得解析式(2)抛物线上就是否存在点P .使得P A = PC .若存在,求出点P 得坐标;若不存在.请说明理由。

二次函数基础及应用

二次函数基础及应用二次函数，在数学中是一种重要的函数形式。

它的表达式通常为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

本文将介绍二次函数的基础知识，并探讨一些它在实际应用中的使用。

一、二次函数的基本形式二次函数的基本形式是y=ax^2+bx+c。

其中，a代表抛物线的开口方向和狭宽程度，正值表示向上开口，负值表示向下开口；b代表抛物线在x方向的平移；c代表抛物线与y轴的交点。

二、二次函数的图像特点对于二次函数y=ax^2+bx+c，根据a的值的不同，抛物线的图像会有以下几种情况：1. 当a>0时，抛物线向上开口，最低点在顶部，为最小值点；2. 当a<0时，抛物线向下开口，最高点在顶部，为最大值点。

三、二次函数的性质1. 零点和根在二次函数中，零点和根是指使函数等于零的x值。

二次函数的零点可以通过解方程ax^2+bx+c=0来求解。

根据韦达定理，二次函数的判别式Δ=b^2-4ac可以帮助我们判断二次函数的零点个数和性质。

- 当Δ>0时，二次函数有两个不相等的实根；- 当Δ=0时，二次函数有两个相等的实根；- 当Δ<0时，二次函数没有实根。

2. 对称轴二次函数的对称轴是其抛物线的对称轴。

对称轴的方程可以通过x=-b/(2a)得到。

3. 极值点在二次函数的顶点或者底点，函数取得最大或最小值，称为极值点。

根据抛物线的开口方向，可以判断极值点是最大值还是最小值。

四、二次函数的应用二次函数在现实生活中具有广泛的应用。

下面将介绍一些常见的应用场景：1. 抛物线的建模许多物理问题可以通过二次函数来建模。

例如，一个抛出的物体在空中的高度可以用二次函数来描述，通过分析抛体运动方程可以确定其最高点、最远距离等关键属性。

2. 金融与经济学在金融和经济学中，二次函数经常用于描述成本、收益、利润等与产量或销量相关的指标之间的关系。

通过分析二次函数的图像和性质，可以计算最优产量或者销量，帮助决策者做出最佳决策。

二次函数的图象课件

二次函数的图象课件
这份课件将带您深入了解二次函数的概念、表达形式和图像特征。还将介绍二次函数在不同领域的应用，以及常见错误和避免方法。让我们开始探索二次函数的奥秘吧！
什么是二次函数
二次函数是一个以二次项为最高次的代数函数，它的图像呈现出抛物线的形状，并且具有特定的顶点和对称轴。
二次函数的标准式
二次函数的一般式是 y = ax^2 + bx + c，通过一般式可以求出二次函数的零点和判别式，进一步分析函数的特性。
ห้องสมุดไป่ตู้次函数在坐标系中的图像
二次函数在坐标系中的图像呈现出抛物线的形状，具有对称性和特定的轨迹。图像的形状和位置可以通过函数的系数来推测。
二次函数的对称轴
二次函数的对称轴是图像的对称线，它垂直于 x 轴并过顶点。通过对称轴可以进一步确定图像的形状和特征。
二次函数的标准式是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数常数。通过标准式，可以得到二次函数的图像特征和解析式。
二次函数的顶点式
二次函数的顶点式是 y = a(x - h)^2 + k，其中 (h, k) 是顶点的坐标。顶点式可以直接得到二次函数的顶点和对称轴。
二次函数的一般式
二次函数的判别式
二次函数的判别式是 b^2 - 4ac，通过判别式可以判断二次函数的解的情况，进一步分析函数的开口方向和交点情况。
二次函数的零点和解析式
二次函数的零点是函数与 x 轴交点的横坐标，解析式是零点的一种简化表达方式。通过求解零点和解析式，可以进一步分析函数的特性。

苏科版九年级下册61二次函数ppt课件

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二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式是描述函数与自变量之间关系的数学式子。
详细描述
二次函数的表达式是用来描述函数与自变量之间关系的数学式子。对于一般的二次函数，其表达式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$是常数，且$a neq 0$。这个表达式可以用来计算任意自变量值对应的函数值。
详细描述
二次函数的顶点坐标可以通过公式(-b/2a, c-b^2/4a)计算得出。其中，b和a是二次函数的一般形式 y=ax^2+bx+c中的系数。顶点是抛物线的最低点或最高点，也是抛物线与对称轴的交点。
二次函数的对称轴
总结词
对称轴的方程是x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程是x=-b/2a。对称轴是抛物线与x轴平行的线，它穿过抛物线的顶点，并且将抛物线平分为两个对称的部分。
04
习题与练习
基础习题
基础习题1
已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(1,0)$，且$a + b + c = 0$，求证：这个二次函数的图象必与$x$轴相交于两点。
基础习题2
已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0,2)$，且$a - b + c = 0$，求证：这个二次函数的图象必与$x$轴相交于一点。
矩形面积问题
在二次函数图像上选择合适的点作为矩形的顶点，可以计算出矩形的面积。
利用二次函数解决实际问题
抛物线拱桥问题
在实际生活中，抛物线拱桥的形状可以通过二次函数来描述，从而解决与拱桥相关的问题。

5类基本的二次函数

《二次函数1》1、二次函数的定义：一般地，形如)0(2≠++=a c b c bx ax y 是常数，、的函数，叫做x 的二次函数。

其中自变量的取值范围是全体实数。

二次函数的三个特例：y=ax 2+bx （a≠0）；y=ax 2+c （a≠0）；y=ax 2（a≠0），这样我们知道：看一个函数是否是二次函数的关键是看二次项的系数是否为0．【例1】函数y=（m ＋2）x＋2x －1是二次函数，则m= ．若2221()mm y m m x --=+是二次函数，则_______=m ；【总结】(1) 关于x 的代数式一定是整式,a,b,c 为常数,且a≠0.(2) 等式的右边自变量的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项. (3) 二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)还有以下几种特殊表示形式:①y=ax² ----- (a≠0,b=0,c=0,). ①y=ax²+c ------ (a≠0,b=0,c≠0). ①y=ax²+bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).2、二次函数y=x 2的图象和性质我们可以利用描点法来作出y=x 2的图象，在这过程中，认真理解掌握二次函数y=x 2的性质，这是掌握二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a≠0）的基础，是二次函数图象、表达式及性质认识应用的开始，只有很好的掌握，才会把二次函数学好。

要学会由图象概括出二次函数y=x 2性质，结合图象来记忆二次函数的性质。

一、作二次函数y=x 2的图象。

二、通过图像你可以得到一些什么结论？ 1.描述一下图象的形状： 2.图象与x 轴有交点的坐标是：3.当x<0时，y 随着x 的增大，y 的值如何变化？当x>0时呢？4.当x=（）时，y 的值最小。

5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？【例1】已知a ＜－1，点（a －1，y 1）、（a ，y 2）、（a ＋1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，则（）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 2＜y 1＜y 3练习：若a ＞1，点（－a －1，y 1）、（a ，y 2）、（a ＋1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，判断y 1、y 2、y 3的大小关系？22-m【例2】求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式：（1）y=ax 2经过（1，2）；（2）y=ax 2与y=x 2的开口大小相等，开口方向相反；（3）y=ax 2与直线y=x ＋3交于点（2，m ）．【总结】二次函数y ＝ax 2的图象是一条顶点在原点关于y 轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线．．．。

二次函数知识点归纳总结

二次函数知识点归纳1.概念：一样地，若是c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的极点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔极点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔极点为其最高点.（3）极点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方式可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一样，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、极点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.专门地，y 轴记作直线0=x .7.极点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，若是二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是极点的位置不同. 8.求抛物线的极点、对称轴的方式（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴极点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方式：运用配方的方式，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，取得极点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，因此对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是极点.用配方式求得的极点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 一起决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右边. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线通过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右边，则 0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特点如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一样式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一样式. （2）极点式：()k h x a y +-=2.已知图像的极点或对称轴，通常选择极点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). （3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情形能够由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（极点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数量来确信：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121二次函数图象的平移（左加右减） 1. 平移步骤：方式一：⑴ 将抛物线解析式转化成极点式()2y a x h k =-+，确信其极点坐标()h k ，； ⑵ 维持抛物线2y ax =的形状不变，将其极点平移到()h k ，处，具体平移方式如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．归纳成八个字“左加右减，上加下减”．方式二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）。

6.1二次函数教案苏科版九年级下

§6.1 二次函数[ 教案]备课时间: 主备人:教学目标:1.探索并归纳二次函数的定义.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.教学重点:1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数.教学难点: 经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.教学方法: 讨论探索法.课时： 2 课时教学过程:（一）复习引入回忆学过的函数类型－一次函数（正比例函数）、反比例函数、三角函数；函数定义－在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.本节课我们将开始教学初中阶段的最后一个函数二次函数.（二）新课1、由实际问题探索二次函数某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些因变量?(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子，因此果园橙子的总产量y＝(100+x)(600—5x)＝-5x2+100x+60000．提出问题：判断上式中的y是否是x的函数？若是，与我们前面所学的函数相同吗？（根据函数的定义，y是x的函数，从形式上看不同于我们所学函数，猜测是二次函数）2、想一想在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的产量最多?我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化情况．你能根据表格中的数据作出猜3、做一做银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的。

也就是说，利率是一个变量．在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)：22100(1)100200100y x x x =+=++.如果考虑利息税，那么22100(180%)64160100y x x x =+=++.4、二次函数的定义一般地，形如y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数.注意：定义中只要求二次项系数a 不为零（必须存在二次项），一次项系数b 、常数项c 可以为零。

(完整版)初三数学知识点整理

初三数学知识点整理一、《二次函数》1、二次函数的定义:形如y=ax2+bx+c (a≠0)形式叫二次函数。

2、解析式的形式：①一般式:y=ax2+bx+c （a≠0）②顶点式:y=a(x—h)2+k3、图像性质：【顶点的横坐标即图像的对称轴，纵坐标即函数的极值】4 、 a、b、c的作用①a决定：图像的开口方向,a＞0,开口向上，a＜0,开口向下。

② |a ︳决定：图像的开口大小，|a ︳越大，开口越小.②a、b共同决定：对称轴，当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧。

当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧。

③c决定：图像与Y轴交点的纵坐标.5、变换求解析式时,考虑两个方面：①a的值②顶点的变化6二次函数与一元二次方程对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0），当Y=0时,得一元二次方程ax2+bx+c=0当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点，交点横坐标为方程的实根.当b2－4ac=0时,方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点，交点横坐标为方程的实根。

当b2－4ac＜0时，方程没有实数根,抛物线与x轴没有交点。

7、对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）①如何求与x轴的交点坐标：令y=0代入函数关系式,解得方程的根即为交点的横坐标。

②如何求与y轴的交点坐标：令x=0代入函数关系式。

交点坐标为(0,c）③如何求两个函数图像的交点坐标：将两个函数解析式组成方程组求解。

8、对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）①当图像顶点在x2－4ac=0 对应解析式为y=a(x—h)2②当图像顶点在y对应解析式为y=ax2+c③当图像顶点在原点时，对应解析式为 y=ax2④当图像过原点时，对应解析式为 y=ax2+bx9、①方程ax2+bx+c=K的解为函数y=ax2+bx+c与直线Y=K的交点的横坐标。

②抛物线的对称轴方程为221xx，其中x1，x2为图像上两对称点的横坐标。

二次函数知识点总结大全

二次函数1.二次函数的定义：形如(a ≠0，a ，b ，c 为常数)的函数为二次函数.2、二次函数的解析式三种形式一般式y=ax 2 +bx+c(a≠0)顶点式 2()y a x h k =-+224()24b ac b y a x a a -=-+ 两根式 12()()y a x x x x =--3、二次函数的性质：对称轴：2bx a=-顶点坐标：24(,)24b ac b a a--与y 轴交点坐标（0，c ）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小 (1)二次函数y=ax 2 (a ≠0)的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点； (2)二次函数当a ＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x ＞-，y 随x 的增大而增大，x ＜-， y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点 (3)当a ＞0时，当时，函数有最小值；当a ＜0时，当时，函数有最大值 .4.二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的各项系数a 、b 、c 对其图象的影响 (1) a 决定抛物线的开口方向和开口大小：a ＞0，开口向上；a ＜0，开口向下. |a|的越大，开口越小. (2) a 与b 决定抛物线对称轴的位置：a 、b 同号，抛物线的对称轴(即直线)或顶点在y 轴左侧； a 、b 异号，抛物线的对称轴(即直线)或顶点在y 轴右侧；(左同右异)；b=0时，抛物线的对称轴是y 轴. (3) c 决定抛物线与y 轴交点(0，c)的位置：c ＞0，抛物线与y 轴交于正半轴；c ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴；c=0，抛物线与y 轴交点是坐标原点. c 相同的抛物线都过点(0，c).这些内容应该能够由数得形、依形判数.　5.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a≠0）的根。

《二次函数》知识点解读

《二次函数》知识点解读二次函数是数学中的一种重要函数类型，它在图形学、物理学、经济学等多个学科中广泛应用。

本文将从定义、性质、图像、最值、应用等几个方面对二次函数进行解读。

一、定义二次函数是一种形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。

函数中的x的最高次数为2，因此称为"二次"函数。

a决定了函数的开口方向和形状，b决定了函数在x轴上的平移，c决定了函数图像在y轴上的平移。

二、性质1.对称性：二次函数的图像关于与顶点的纵轴对称。

2.单调性：当a>0时，二次函数向上开口，凹上凸下；当a<0时，二次函数向下开口，凹下凸上。

3. 零点：二次函数的零点是函数与x轴的交点，即满足ax^2 + bx+ c = 0的解。

4.最值：当a>0时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当a<0时，函数的最大值为顶点的纵坐标。

三、图像二次函数的图像通常为开口向上或向下的抛物线。

根据函数的a值的正负关系，可以得到不同形状的抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上，顶点在最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点在最高点。

函数的b值影响了抛物线在x轴方向上的平移，c值影响了抛物线在y轴方向上的平移。

四、最值对于二次函数y = ax^2 + bx + c，根据函数的开口方向和抛物线的顶点位置，可以知道函数的极值。

当a > 0时，函数是最小值，即抛物线的顶点是函数的最低点；当a < 0时，函数是最大值，即抛物线的顶点是函数的最高点。

五、应用1.物理学中，二次函数可以用于描述自由落体运动、抛体运动等。

2.经济学中，二次函数可以用于描述成本、利润等与产量的关系。

3.图形学中，二次函数可以用于生成平滑的曲线和曲面。

六、解题技巧1.求二次函数的顶点坐标：二次函数的顶点坐标可以通过公式x=-b/2a和y=c-b^2/4a来求得。

2. 求二次函数的零点：二次函数的零点可以通过求解ax^2 + bx +c = 0的解来得到，可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法进行求解。

二次函数与一次函数

二次函数与一次函数二次函数和一次函数都是高中数学课程中的重要内容，它们在代数学中有着广泛的应用。

本文将详细介绍二次函数和一次函数的定义、特征以及它们之间的关系。

一、二次函数的定义和特征二次函数是一个非常常见的函数形式，其一般表达式为 f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。

二次函数的图像通常为一个开口朝上或朝下的抛物线。

1. 零点和解析式二次函数的零点是指使函数等于零的 x 值。

对于二次函数 f(x) = ax²+ bx + c，其零点可以通过求解二次方程 ax² + bx + c = 0 来获得。

一般情况下，二次函数有两个零点，除非该函数没有实数解。

2. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是垂直于函数图像的一条直线，它通过抛物线的最高点或最低点，也称为顶点。

对称轴的方程可以通过将二次函数的 x 换成 -b/2a 来得到。

3. 开口和凹凸性二次函数的开口方向由 a 的正负决定。

当 a > 0 时，抛物线开口朝上；当 a < 0 时，抛物线开口朝下。

凹凸性是指在对应开口的一侧，抛物线的曲率是向上还是向下，与开口的方向相反。

4. 函数图像二次函数的图像形状是一个抛物线。

根据 a 的正负和顶点的位置，抛物线的形态可以有所不同。

当 a > 0 时，抛物线开口朝上，顶点位于图像的最低点；当 a < 0 时，抛物线开口朝下，顶点位于图像的最高点。

二、一次函数的定义和特征一次函数也被称为线性函数，其一般表达式为 f(x) = kx + b，其中 k 和 b 是常数，且k ≠ 0。

一次函数的图像通常是一条直线。

1. 斜率和截距一次函数的斜率 k 表示函数图像的倾斜程度。

斜率可以表示为两个不同点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。

截距 b 表示函数图像与 y轴的交点的纵坐标。

2. 与二次函数的关系一次函数与二次函数在数学中有着密切的联系。

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