高考文科数学专题训练 专题二 第2讲

第2讲 三角恒等变换与解三角形

高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.

真 题 感 悟

1.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( ) A.－79 B.－29 C.29

D.79

解析 sin 2α＝2sin αcos α＝（sin α－cos α）2－1－1＝－7

9.

答案 A

2.(2016·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.34π B.π

3 C.π4

D.π6

解析 因为b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，

所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－2b 2（1－sin A ）

2b 2

，则cos A ＝sin A .

在△ABC 中，A ＝π

4. 答案 C

3.(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋ sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )

A.π12

B.π6

C.π4

D.π3

解析 由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0， 则sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫A ＋π4＝0，

因为sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫A ＋π4＝0，

又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π

4.

由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得2sin 3π4

＝2

sin C ，

则sin C ＝12，得C ＝π

6. 答案 B

4.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫α－π4＝________.

解析 由tan α＝2得sin α＝2 cos α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝1

5.

因为α∈⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255.

因为cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4

＝55×22＋255×22＝31010.

答案 31010

考 点 整 合

1.三角函数公式

(1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin α

cos α＝tan α.

(2)诱导公式：对于“k π

2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；

cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝

tan α±tan β

1∓tan αtan β

.

(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (5)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a . 2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理

在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c

sin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)； 变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a

2R ， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等. (2)余弦定理

在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；

变形：b 2

＋c 2

－a 2

＝2bc cos A ，cos A ＝

b 2＋

c 2－a 2

2bc .

(3)三角形面积公式

S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1

2ac sin B.

热点一 三角恒等变换及应用

【例1】 (1)(2017·九江一模)已知tan θ＝3，则cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

32π＋2θ＝( )

A.－45

B.－35

C.35

D.45

(2)如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫12

13，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2·cos α2

－3

2的值为________.

解析 (1)∵tan θ＝3，

∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

32π＋2θ＝sin 2θ

＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝610＝35

. (2)由题意得|OC |＝|OB |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形， 所以sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝5

13，

又因为3cos 2α2－sin α2cos α2－3

2

＝3·1＋cos α2－sin α2－32

＝－12sin α＋3

2cos α

＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3－α＝513.

答案 (1)C (2)5

13

探究提高 1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值. 2.解决条件求值问题的三个关注点

(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角. (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示. (3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.

【训练1】 (1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称 .若sin α＝1

3，则sin β＝________.

(2)(2017·石家庄质检)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π

2，则α＋β的值为________.

解析 (1)α与β的终边关于y 轴对称，则α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴β＝π－α＋2k π，