【3-代数】10.调整法证明不等式【学生版】

自招竞赛秋季数学讲义

调整法证明不等式

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量的项放在不等号的左侧，常数项放在右侧，通过严格求出左侧的最值来证明不等号的成立性。一般可以通俗地分为两种类型：往中间调整和往两侧调整。本章将深入介绍两种调整办法的适用场合和使用方法以及其他的调整法。

知识梳理与例题精讲

一、 对于

()i

f

x ∑类的不等式的调整

如果()f x 在区间D 中二阶可导，12,,,n x x x D ∈，则我们有如下的方法求

()i

f x ∑的最大值、最小值：

（1）()0f D ''≥，则有

121

()(

)n

n

i i x x x f x nf n

=++

+≥∑

（琴生不等式）

设1122x x x x x x D -∆≤≤≤+∆

∈，0x ∆≥，有 1212()()()()f x f x f x x f x x +≤-∆++∆

（2）()0f D ''≤，则有

121

()(

)n

n

i i x x x f x nf n

=++

+≤∑

（琴生不等式）

设1122x x x x x x D -∆≤≤≤+∆

∈，0x ∆≥，有 1212()()()()f x f x f x x f x x +≥-∆++∆

通俗地讲，就是下凸函数往中间调函数值变小，往两侧调函数值变大；上凸函数往中间调函数值变大，往两侧调函数值变小。

对于往中间调的函数值变化由琴生不等式保证，而往两侧调的函数值变化我们以（1）为例给出证明：

证明：1

111()()()x x x

f x f x x f x dx -∆'--∆=

⎰

21

2

12212()()()()x x

x x x x

f x x f x f x dx f x x x x dx +∆-∆''+∆-=

=-++∆⎰

⎰

因为()0f D ''≥，所以12()()f x f x x x x ''≤-++∆，

故

1

1

1112()()x x x x

x x

f x dx f x x x x dx -∆-∆''≤-++∆⎰

⎰

，

故1212()()()()f x f x f x x f x x +≤-∆++∆，得证。

事实上，在处理实际问题中，不一定能找到这样一个区间D 有这样的性质且包含所有的i x ，那就需要我们灵活运用其他如分类讨论等方法辅助处理。有时D 在不具有二阶导数恒不变号的性质，但仍然有上述调整法成立，所以我们在实际做题的过程中往往可以直接用具体的()f x 来证明这样调整的合理性而不依赖于其凹凸性。

在不等式中没有具体的()f x 存在但每个变量地位对称的时候，这种考虑往中间调整、往两侧调整的方法也是极为重要的，这就需要直接拿两项来看，究竟是往中间调整总体变大呢，还是往两侧调整总体变大呢，然后给出严格的证明，接着就能用两项的调整法逐步将n 项向两侧或中间调整，求得最值。 【例1】 【题目来源】

【题目】设,,a b c R +

∈，3a b c ++=9≤

【知识点】调整法证明不等式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【例2】 【题目来源】

【题目】设,,0a b c ≥，3a b c ++=7≥ 【知识点】调整法证明不等式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2

对

()i

f x ∑类不等式的调整法已经较为成熟，且已形成常规套路，所以这里就举这两个

例题帮助理解前面的两种调整法，不再过多赘述。下面着重介绍几个利用向中间、两侧调整思想的题。 【例3】 【题目来源】

【题目】若干个正整数和为2005，求它们积的最大值。 【知识点】调整法证明不等式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【例4】 【题目来源】 【题目】设12,,

,,

n a a a 是一个不减的正整数数列，对于1m ≥，定义

{}min ,m n b n a m =≥，若已知1985a =，求12191285a a a b b b +++++++的最大值。

【知识点】调整法证明不等式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4

【题目来源】

【题目】对于满足条件121n x x x +++=的非负实数i x (1,2,

,)i n =，

求45

1

()n

j j j x x =-∑的最大值。

【知识点】调整法证明不等式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4

二、 对于其他代数式的调整

累次求极值法：局部调整，固定一些变量，考察另一些变量在满足什么条件下（与被固定的变量有关）整个代数式取得最值，从而一步一步直至求出目的最值。 【例6】

【题目来源】2003年新加坡数学奥林匹克 【题目】若,,x y z 是正实数，求函数(15)(43)(56)(18)

xyz

x x y y z z ++++的最大值

【知识点】调整法证明不等式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2

【题目来源】

【题目】若,,a b c 为非负实数且1a b c ++=，试求3S ab bc ca abc =++-的最大值 【知识点】调整法证明不等式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【例8】 【题目来源】

【题目】设非负数,,αβγ满足2

π

αβγ++=

，求函数

cos cos cos cos cos cos (,,)cos cos cos f αββγγα

αβγγαβ

=

++的最小值 。

【知识点】调整法证明不等式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4