一元二次方程拓展训练试题
一元二次方程拓展题
一元二次方程拓展题化简求值：1． 已知a 是方程0152=+-x x 的一个根，试求15422++-a a a 的值。
2. 已知0200052=--x x ，那么21)2()2(23-+---x x x 的值是？关于一元二次方程的根：1.已知三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰好有一个公共实数根，则abc ac b bc a 222++的值为？2. 关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，给出的说法如下： （1） 若0=+c a ，则方程必有两个实数根；（2） 若0=++c b a ，则方程必有两个不相等的实数根； （3） 若c a b 32+=，则方程有两个不相等的实数根； （4） 若052<-ac b ，则方程一定没有实数根。
说法正确的是______________.。
3.如果a ，b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么baa b +的值为？4.已知0325052322=-+=--n n m m ，，其中m 、n 为实数，则nm 1-的值？5.若1≠ab ，且有,0520019092001522=++=++b b a a 及则ba的值是？6.设21,x x 是关于ｘ的方程02=++q px x 的两根，1,121++x x 是关于ｘ的方程02=++p qx x 的两根，则ｐ、q 的值分别是多少？7.已知关于x 的方程02=++c bx ax 有一个根为1，另一根为-1，则____________,______,=+=+-=++c a c b a c b a 。
8.已知关于x 的方程01)1(222=++-x k x k 有两个实数根，当k=1时，设这个两个实数根为21,x x ，求1221x x x x +的值。
9.若方程)0(012>=++p px x 的两根之差为1，那么p 等于？10.CD 是ABC Rt ∆斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+=x x 的两根，则ABC Rt ∆的面积是？11.在ABC Rt ∆中90=∠C ，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 的中线长是？关于非负性：1.已知一元二次方程02=++c bx ax 的一个根是1，且a ，b 满足322--+-=a a b ，试求方程0412=-c y 的根。
一元二次方程拓展训练题及答案
一元二次方程1. 下列方程是一元二次方程的是 （ ）A. 21503x x -+=B. 2134x x x +=C. 2110x x--= D. 2111x x =+- 2. 一元二次方程的一般形式是 （ ） A. ax 2＋bx ＋c ＝0B. ax 2＋bx ＋c (a ≠0)C. ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)D. ax 2＋bx ＋c ＝0(b ≠0) 3. 若px 2－3x ＋p 2－p ＝0是关于x 的一元二次方程，则 （ ）A. p ＝1B. p ＞0C. p ≠0D. p 为任意实数4. 关于x 的一元二次方程（3－x ）（3＋x ）－2a （x ＋1）＝5a 的一次项系数为 （ ）A. 8aB. －8aC. 2aD. 7a －95. 若（m 2－4）x 2＋3x －5＝0是关于x 的一元二次方程，则 （ ）A. m ≠2B. m ≠－2C. m ≠－2，或m ≠2D. m ≠－2，且m ≠26. 把方程x (x ＋1)＝2化为一般形式为 ，二次项系数是 .7. 已知0是关于x 的方程（m ＋3）x 2－x ＋9－m 2＝0的根，则m ＝ .8. 某小区有一块等腰直角三角形状的草坪，它的面积为8m 2，求草坪的周长是多少. 设直角边长为x m ，根据题意得方程 . （不解）9. 若关于x 的方程kx 2＋3x ＋1＝0是一元二次方程，则k .10. 当m 时，方程（m －1）x 2－(2m －1)x ＋m ＝0是关于x 的一元一次方程；当m 时，上述方程才是关于x 的一元二次方程.11.已知x ＝1是一元二次方程ax 2＋bx －40＝0的一个根，且a ≠b ，求2222a b a b --的值.12. 如图所示，有一个面积为120m 2的长方形鸡场，鸡场一边靠墙（墙长18m ），另三边用竹篱笆围成，若所围篱笆的总长为32m ，求鸡场的长和宽各为多少米. （只列方程）13. 如果x2＋3x＋2与a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c是同一个二次三项式的两种不同形式，你能求出a，b，c的值吗？参考答案1. A[提示：抓住一元二次方程的三个特征：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数是2. ]2. C3. C[提示：二次项系数不为0. ]4. C[提示：首先把方程整理为一般形式为x 2＋2ax ＋7a －9＝0，其中一次项系数为2a . 故选C. ]5. D[提示：二次项系数m 2－4≠0. ]6. x 2＋x －2＝0 1[提示：∵x(x ＋1)＝2，∴x 2＋x －2＝0. ]7. ±3[提示：此题分两种两种考虑. 当m ＋3＝0时，方程化为一元一次方程；当m ＋3≠0时，方程化为一元二次方程. ] 8. 2182x =[提示：S 等腰直角三角形＝12⨯两腰乘积. ] 9. ≠0[提示：一元二次方程成立的条件为二次项系数不为0. ]10. ＝1 ≠1[提示：考查一元一次方程、一元二次方程成立的条件. ]11. 提示：本题综合考查一元二次方程解的概念和分式的化简及整体代入思想.解：把x ＝1代入一元二次方程ax 2＋bx －40＝0，得a ＋b －40＝0，∴2222a b a b -=-()()2()a b a b a b +-=- 4020.22a b +== 12. 解：设平行于墙的边长为x m ，则垂直于墙的边长为322x -m ，由题意得x ·322x -＝120，即x 2－32x ＋240＝0. 13. 解：能，根据题意得x 2＋3x ＋2＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ，即x 2＋3x ＋2＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋(a ＋b ＋c )，123,2,a a b a b c =⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，∴解得11,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，。
一元二次方程能力拓展题及答案
一元二次方程跟与系数关系1.方程x 2-9x+18=0 的两个根是等腰三角形的底边长和一腰长，则这个三角形的周长是23。
2．(2014·烟台)关于x 的方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a 的值是( D )A ．－1或5B ．1C ．5D ．－13.已知2x 2+3xy-2y 2=0（xy ≠0），求x y x y+-的值。
(-3或13) 3设x 1，x 2是方程x 2－x －2015＝0的两个实数根，求x 13＋2016x 2－2015的值．(2016)解：x 2－x －2015＝0，∴x 2＝x ＋2015，x ＝x 2－2015.又∵x 1，x 2是方程x 2－x －2015＝0的两个实数根，∴x 1＋x 2＝1，∴x 13＋2016x 2－2015＝x 1·x 12＋2016x 2－2015＝x 1·(x 1＋2015)＋2016x 2－2015＝x 12＋2015x 1＋2016x 2－2015＝x 1＋2015＋2015x 1＋2016x 2－2015＝2016(x 1＋x 2)＋2015－2015＝2016因式分解法4．先阅读下列材料，然后解决后面的问题：材料：因为二次三项式x 2＋(a ＋b)x ＋ab ＝(x ＋a)(x ＋b)，所以方程x 2＋(a ＋b)x ＋ab ＝0可以这样解：∵(x ＋a)(x ＋b)＝0，∴x ＋a ＝0或x ＋b ＝0，∴x 1＝－a ，x 2＝－b.问题：(1)用因式分解法解方程x 2－kx －16＝0时，得到的两根均为整数，则k 的值可以为__－15，－6，0，6，15___；(2)已知实数x 满足(x 2－x)2－4(x 2－x)－12＝0，则代数式x 2－x ＋1的值为__7___． 配方法5．选取二次三项式ax 2＋bx ＋c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如：①选取二次项和一次项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2；②选取二次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2＋(22－4)x ，或x 2－4x ＋2＝(x ＋2)2－(4＋22)x ；③选取一次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(2x －2)2－x 2.根据上述材料，解决下列问题：(1)写出x 2－8x ＋4的两种不同形式的配方；(2)已知x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，求x y 的值．解：(1)x 2－8x ＋4＝x 2－8x ＋16－16＋4＝(x －4)2－12；x 2－8x ＋4＝(x －2)2＋4x －8x ＝(x －2)2－4x (2)x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，(x 2＋xy ＋14y 2)＋(34y 2－3y ＋3)＝0，(x ＋12y)2＋34(y －2)2＝0，又∵(x ＋12y)2≥0，34(y －2)2≥0，∴x ＋12y ＝0，y －2＝0，∴x ＝－1，y ＝2，则x y ＝(－1)2＝1。
一元二次方程(拓展练习)
一元二次方程（拓展练习）一．选择题1．若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（）A．2020B．﹣2020C．2019D．﹣20192．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（）A．2018B．2020C．2022D．20243．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）A．﹣4，21B．﹣4，11C．4，21D．﹣8，694．方程x2﹣9x+14＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．11B．16C．11或16D．不能确定5．一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（）A．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2B．x1＝2+2，x2＝2﹣2C．x1＝2+2，x2＝2﹣2D．x1＝2，x2＝﹣26．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（）A．24B．25C．26D．277．下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+x+1＝0B．x2+x﹣1＝0C．x2﹣2x﹣1＝0D．x2﹣2x+1＝08．下列用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中，出现错误的是（）A．①B．②C．③D．④9．对于实数a、b，定义运算“★”：a★b＝，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（）A．t＜B．t＞C．t＜D．t＞10．用求根公式计算方程x2﹣3x+2＝0的根，公式中b的值为（）A．3B．﹣3C．2D．二．填空题11．关于x的方程（m+1）x2﹣（m﹣1）x+1＝0是一元二次方程，那么m．12．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则x1+x2＝，x1x2＝，x12+x22＝．13．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为．14．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．三．解答题16．解方程：（1）x2﹣2x﹣3＝0；（2）2x2+3x﹣1＝017．解下列方程：（1）3x2+8x﹣3＝0（用配方法）（2）4x2+1＝4x（用公式法）（3）2（x﹣3）2＝x2﹣9（用因式分解法）（4）x2+5x﹣6＝0（用适当的方法）18．“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“早黑宝”的种植面积达到196亩．（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，则售价应降低多少元？19．已知关于x的一元二次方程nx2﹣2x+1＝0（n≠0）有实数根．（1）求n的取值范围；（2）当n取最大值时，求方程nx2﹣2x+1＝0（n≠0）的根．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．。
人教版九年级上册数学 第21章 一元二次方程 拓展训练(含答案)
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程拓展训练一．选择题1．已知方程x2﹣（k+1）x+3k＝0的一个根是2，则k为（）A．﹣2 B．﹣3 C．1 D．32．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（）A． B． C． D．3．设x1，x2是方程x2+10x﹣2＝0的两个根，则+的值是（）A．8 B．5 C．4 D．104．一元二次方程x2+11x﹣1＝0（）A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．没有实数根5．若x1是方程ax2﹣4x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣2）2，q＝ac+5，则p与q的大小关系为（）A．p＜q B．p＞q C．p＝q D．不能确定6．已知x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个根，则x1x2为（）A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．37．已知方程x2+x+m＝0有两个不相等的实数根，则（）A．m＜B．m＞C．m≤D．m≥8．某县以“重点整治环境卫生”为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划从2018年起到2020年累计投入4250万元，已知2018年投入1500万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是（）A．1500 （1+2x）＝4250 B．1500 （1+x）2＝4250C．1500+1500x+1500x2＝4250 D．1500+1500 （1+x）+1500 （1+x）2＝42509．设关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，记S1＝x1+2011x2，S2＝x12+2011x22，…，S n＝x1n+2011x2n，则aS2012+bS2011+cS2010的值为（）A．0 B．2011 C．2010 D．201210．三角形两边的长是6和8，第三边满足方程x2﹣24x+140＝0，则三角形周长为（）A．24 B．24或28 C．28 D．以上都不对二．填空题11．关于x的方程x2﹣x+c＝0的一个根是3，则c＝．12．若关于x的方程（m﹣1）x﹣x＝1是一元二次方程，则m＝．13．已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0恰有一个公共实数根，则的值为．14．在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程．15．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有不相等实数根，则k的取值范围是．三．解答题16．解一元二次方程：（1）2x2﹣3x﹣1＝0；（2）x2﹣3x+2＝0．17．某学校计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，另三面用总长28米的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为80平方米．那么这个花圃的长和宽分别应为多少米？18．汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为64万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到100万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变．（1）求年平均增长率；（2）求该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．20．已知等腰△ABC的三边长为a，b，c，其中a，b满足：a2+b2＝6a+12b﹣45，求△ABC的周长．答案一．选择题1．A．2．C．3．B．4．A．5．A．6．C．7．A．8．D．9．A．10．A．二．填空题（共5小题）11．﹣6．12．﹣1．13．3．14．x2﹣6x+6＝0．15． k＞﹣1．三．解答题（共5小题）16．解：（1）2x2﹣3x﹣1＝0，∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝．（2）x2﹣3x+2＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0或x﹣1＝0，所以x1＝2，x2＝1；17．解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（28﹣2x）米，依题意，得：x（28﹣2x）＝80，整理，得：x1＝4，x2＝10．当x＝4时，28﹣2x＝20＞12，不符合题意，舍去；当x＝10时，28﹣2x＝8，符合题意．答：这个花圃的长为10米，宽为8米．18．解：（1）设年平均增长率为x，依题意，得：64（1+x）2＝100，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：年平均增长率为25%．（2）100×（1+25%）＝125（万辆）．答：该品牌汽车2011年的年产量为125万辆．19．解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，∴2a＝2b，即a＝b，∴△ABC的形状是等腰三角形；（2）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，即x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1，即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．20．解：a2+b2＝6a+12b﹣45，a2﹣6a+9+b2﹣12b+36＝0，（a﹣3）2+（b﹣6）2＝0，则a﹣3＝0，b﹣6＝0，解得，a＝3，b＝6，∵△ABC为等腰三角形，∴三边长分别为3、6、6，∴△ABC的周长为3+6+6＝15．。
完整版一元二次方程拓展训练试题
一、解法综合及另一个根的范围.7•解方程： 2 >/3 x2 2 >/3 1 x 6 0&解方程： 1 72 x2 3 72 x 0 9•解方程：2x23x 2 a2 1 x2b2ab 1 x2 10•解方程：abx2a b x 1 011.解方程：2x 3bx2 2a ab 2b 02 1 12. x 213( x ) 2 0xx 班级姓名1. 2关于x的方程x2px q 0 与x qx P 0有一个公共根，则2的值是2. 若方程x2 kx 62 0的两个根为素数，则3. 设a b c为△ ABC的三边，且两个方程: 22ax b 0 和x 2cx b20有一个公共根，证4.△ ABC 一定是直角三角形.X 1 X 6解方程:a是方程组b3x25y215的解；b2mxC是方程组d5y23x 5my3x215的解，求证：0 c2 d2是与m无关的定值.6.对于任意实数k ,方程k21 x22 a k 2x 4k b 0总有一个根是1, 试求实数a, b的值求m的取值范围.13. x 2V x 23x 5 3x 114. 3x 215x 2j x 25x 1 215. J 2x 4 J x 512 216.已知关于x 的方程x 2mx 3m 8m 42,m 2时，原方程总有两实数根.5，另一个大于 (1) 求证：当(2) 若原方程的两根一个小于 二、判别式的应用1.已知方程X 22x m20没有实数根(m 为实数)，则关于x 的二次方程(A )有两个相等的实数根 (C )无实数根(B )有两个不相等的实数根(D )无法确定2 2x 2mx 1 2 m 21 x 1 0的根的情况是(2.已知方程 2 x 2x m 0没有实数根，其中m 是实数.试判定方程 x 22mx m m 10有无实数根. 3. 已知常数 a 为实数，讨论关于 x 的方程a x 2 2a 1 x 0的实数根的个数情况.4. 关于x 的一元二次方程x 2 2yax — 0有实根，其中 a是实数, 求a99x 99的值.5. 若方程 x 2 2 1 a x 3a 2 4ab 4b 22 0有实根，求a, b 的值.6. △ ABC 的一边长为5，另两边长恰是方程2x 212x m 0的两个根，求 m 的取值范围.8.如果关于 2X 的方程mx 2 m 2 x m 50没有实根, 那么关于 X 的方程厂2m 5 x2 m 2 Xm 0的实根个数为()(A ) 2 个 (B ) 1 个(C ) 0 个(D )不确定9.已知关于 X 的方程 m 22 X 2 m 1 X m1 0有实数根，求 m 的非负整数值.10.若关于 X 的方程ax2ax 3 0有实数根，求a 的取值范围.三、根与系数的关系21.设x ,, X 2是方程2x 3x m 0的两个根且8x 1 2x 27，则m 为()A . 1B . 2C . -1D. 022 .若X 1, X 2是方程4x 2(3m 5)x 6m 0的两根且X 13 -X 2，则m 的值为( A . m =5B. m = 1C . m =1 或 m =5D . m = 03 .已知X 1, X 2是方程X 2px q 0的两个根，且(X 1 5), (X 2 5)是方程X 2qx 则p q 的值为( )A . -3B . -4C . 3D . 47.)P 0的两个根,4. 关于x 的方程 x 215一 x 43 a - 2a 3 0的解的一个根是另一个根的平方，则实数 a 的值是C 、 a2xx, y 为实数，且满足 y ------- ，求y 的最大值和最小值. x x 15. 若方程X24X 3 m 0的一个根大于2，另一个根小于2，则m的取值范围是（)B、m 1C、m 1D、m 16. 若X,, X2是方程X2 5x 3 0的两根，则以X1 X2,-X i —为两根的新方程为X27. 关于x的一元二次方程X2 5x 2m 1有实根a和3 ,且I a| + I3|W 6,确定m的取值范围.（答关于X的方程X2mx 0的两个实数根为a, 3,2X 8m 1 X 15m 7 0的两个实数根为a, 丫，求211的值.9.方程21998X 1997 1999x21 0的大根为a，方程X2 1998X 1999 0的小根为b，求a b的值.210.设方程4x 2x 30的两个根是a和3,求4 a 2+ 2 3的值.11 .已知a,3分别是方程X2X 0的两个根，求2 5 5 3的值.212.已知X1、X2是方程4ax4ax 4 0的两个实根.（1）是否能适当选取a的值,使得2x2 x22x,的值等于求使2X22X^的值为整数的aX2的值（a为整数）.13 .设X" x2是方程 3 0的两根，那么xj 4x2219的值是（(A) -4 (C) 6 (B) 8 (D) 014 . 如果m, n 是两个不相等于的实数，且满足 2m 2m2n 1 ,那么代数式2 22m 4n 4n 19992 15.已知P 5p25 0, 5q 2q 1 0其中p, q为不相等实数,求p2四、关于方程的整数根2 1 .设m为整数，且4 m 40 ,方程x22 2m3 X 4m 14m 8 0有两个整数根，则2.已知关于X的方程a2x23a28a x 2a213a 15 0 (其中a是非负整数）至少有一个整数根,求a的值.（答案a 1、3、5）3．已知关于 x 的方程 x2a 6 x a 0 的两根都是整数，求 a 的值．（答案 a 0、16 ）x 的方程 k 2 1 x 23 3k 1 x 180 有两个不相同的正整数根，求 k 的值．例 5 △ ABC 的一边长为 5，另两边长恰是方程 2x 2-12x+m=0的两个根，求 m 的取值范围．6．已知 a 是实数，且关于 x 的方程 x2-ax+a=0 有两个实根 u ，v ， 求证：u2+v2 > 2(u+v)4．已知 k 为整数，且关于。
一元二次方程的应用拓展训练
一元二次方程拓展训练列方程解决应用问题1．水果店花1500元进了一批水果，按50%的利润定价，无人购买．决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利500元．若两次打折相同，每次打了几折？（精确到0．1折）2．为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵．已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的平均年增长率．（精确到1%）3．某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元．服装厂向24名家庭贫困学生免费提供．经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润．问这批演出服共生产了多少套？4.学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．（精确到0．1米）（第7题）5．某商店2月份营业额为50万元，春节过后3月份下降了30%，4月份比3月份有所增长，5月份的增长率又比4月份的增长率增加了5个百分点（即5月份的增长率要比4月份的增长率多5%），营业额达到48．3万元．问4、5两月营业额增长的百分率各是多少？6.商场销售某种空调，每台进价为2500元，市场调查表明当销售价为2900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每台降低50元时，平均每天能多售出4台，要想使这种空调的销售利润平均每天达到5000元，请问：每台空调的定价应为多少元？7.某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售.(1)平均每次下调的百分率.(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案供其选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修每平方米80元，试问：哪种方案更优惠？8.小明家有一块长m 8、宽m 6的矩形空地，妈妈准备在该空地上建造一个花园，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如下的四种方案供妈妈挑选，请你选择其中的一种方案帮小明求出图中的x 值．9. 如图1的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．（1）如图2，《思维游戏》这本书的长为21cm ，宽为15cm ，厚为1cm ，现有一张面积为875cm 2的矩形纸包好了这本书，展开后如图1所示．求折叠进去的宽度；（2）若有一张长为60cm ，宽为50cm 的矩形包书纸，包2本如图2中的书，书的边缘与包书纸的边缘平行，裁剪包好展开后均如图1所示．问折叠进去的宽度最大是多少？10.某西瓜经营户以2元／千克的价格购进一批小型西瓜，以3元／千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元／千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？11.随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆．（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，从2011年初起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆；另据估计，该市从2011年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%．假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数多不能超过多少万辆．。
一元二次方程20道题
一元二次方程20道题一、基础型题目1. 有一个一元二次方程，你能找出这个方程的两个根吗？就像找藏在树洞里的小松鼠一样哦。
2. 方程，这就像一个神秘的小盒子，你得打开它找到里面的答案（也就是方程的根）呢。
3. 对于一元二次方程，先把它化简一下，再求根呀，就像给小宠物梳理毛发一样，先整理好再找问题的关键。
4. 一元二次方程，这个方程看起来很简洁呢，快把它的根找出来，就像从简单的迷宫里找到出口一样容易。
5. 看这个方程，你可以先提取公因式，然后再求解，就像拆礼物一样，一层一层来。
6. 方程，想象你是一个小侦探，要找到让这个方程成立的那些数字（根）哦。
7. 一元二次方程，这个方程就像一个等待被解开的小谜题，你能解开它求出根吗？8. 对于，你得想办法把这个方程破解了，找到那两个能让等式成立的神秘数字（根）呀。
9. 方程，它在向你求救呢，快用你的数学魔法把它的根找出来吧。
10. 一元二次方程，就像走在一条有宝藏（根）的小路上，你要找到那些宝藏哦。
二、稍复杂型题目（含系数不是1的二次项或者配方相关）11. 看这个有点难的一元二次方程，你要像超级英雄一样克服困难求出它的根哦。
12. 方程，这就像一个复杂的拼图，你得把每一块（通过求根的步骤）都放对位置呢。
13. 对于一元二次方程，这个方程可是可以用配方的方法轻松求解的哦，就像给蛋糕做漂亮的装饰（配方）然后再享用（求出根）。
14. 一元二次方程，这个方程看起来有点棘手，不过你要是掌握了配方或者求根公式就没问题啦，就像掌握了魔法咒语一样。
15. 方程，你要想办法把这个方程的根找出来，就像在茂密的森林里找到特定的花朵一样。
16. 对于，先把方程化简一下再求根，就像给杂乱的房间先收拾一下再找东西一样。
17. 一元二次方程，这个方程很适合用配方来求解呢，就像给小机器人调整零件（配方）让它正常运转（求出根）。
18. 方程，你得动动脑筋，是用求根公式还是先化简再求根呢？就像选择走哪条路去远方（求出根）。
第二十一章一元二次方程拓展题
第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程知识要点：1.只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程. 《一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件.》2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项.3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根. 《一元二次方程的根是两个而不是一个》专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值1.已知2(3)1m x -=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A.m ≠3 B.m ≥3 C .m ≥-2 D. m ≥-2且m ≠32. 已知关于x 的方程21(1)(2)10mm x m x +++--=，问：（1）m 取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程； （2）m 取何值时，它是一元一次方程？专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值3.关于x 的一元二次方程015)1(22=-++-m x x m 的常数项为0，求m 的值．4.若一元二次方程2(24)(36)80a x a x a -+++-=没有一次项，则a 的值为 .专题三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式 5.已知关于x 的方程x 2+bx+a=0的一个根是a -（a ≠0），则a-b 值为（ ）A.－1B.0C.1D.26.若一元二次方程02=++c bx ax 中，a －b+c =0，则此方程必有一个根为 .7.已知实数a 是一元二次方程x 2－2013x+1=0的解，求代数式22120122013a a a +--的值.参考答案1. D 【解析】3020m m -≠⎧⎨+≥⎩，解得m ≥-2且m ≠3.2.【解】（1）当212,10m m ⎧+=⎨+≠⎩时，它是一元二次方程.解得：m =1．当m =1时，原方程可化为2x 2-x-1=0； （2）当20,10m m -≠⎧⎨+=⎩或者当m +1+（m -2）≠0且m 2+1=1时，它是一元一次方程.解得：m =-1，m =0.故当m =-1或0时，为一元一次方程．3.【解】由题意，得：210,10.m m ⎧-=⎨-≠⎩ 解得：m =－1．4. -2 【解析】由题意得360,240.a a +=⎧⎨-≠⎩解得a =－2.5. A 【解析】∵关于x 的方程x 2+bx +a =0的一个根是-a （a ≠0），∴a 2－ab +a =0.∴a （a －b +1）=0.∵a ≠0，∴1-b +a =0.∴a -b =-1． 6.x =－1 【解析】比较两个式子会发现：（1）等号右边相同；（2）等号左边最后一项相同；（3）第一个式子x 2对应了第二个式子中的1，第一个式子中的x 对应了第二个式子中的-1.故211x x ⎧=⎨=-⎩.解得x=－1.7. 【解】∵实数a 是一元二次方程x 2－2013x +1=0的解，∴a 2－2013a +1=0.∴a 2+1=2013a ，a 2－2013a =－1.∴=+--20131201222a a a21.2 降次——解一元二次方程知识要点：1.解一元二次方程的基本思想——降次，解一元二次方程的常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.2.一元二次方程的根的判别式△=b 2-4ac 与一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的关系： 当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数解； 当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数解； 当△<0时，一元二次方程没有实数解.3.一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根x 1、x 2与系数a 、b 、c 之间存在着如下关系： x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=.专题一，用直接开平方法解下列一元二次方程。
人教版九年级数学上《一元二次方程》拓展练习 (1)
《一元二次方程》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）已知关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数m的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．22．（5分）若方程x2+mx﹣3＝0的一根为3，则m等于（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．（5分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣4＝0的常数项是0，则（）A．m＝4B．m＝2C．m＝2或m＝﹣2D．m＝﹣24．（5分）已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，代数式a2﹣3a+4的值为（）A．6B．9C．14D．﹣65．（5分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x+2y＝0B．x2﹣4y＝0C．x2+3x＝0D．x+1＝0二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+6＝0的一个根，则代数式2018﹣2a ﹣b的值为．7．（5分）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是﹣2，则m﹣n＝．8．（5分）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2+2x+m2﹣4＝0的一个根是零，则m＝．9．（5分）已知a，b，c为实数，且a+b+c＝，a2+b2+c2＝2，则2a﹣b﹣c＝．10．（5分）已知a是方程x2﹣2017x+1＝0的一个根，则a3﹣2017a2﹣＝．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．（1）求m的值；（2）求△ABC的周长．12．（10分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0．（1）已知x＝2是方程的一个根，求m的值；（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC＝时，△ABC是等腰三角形，求此时m的值．13．（10分）观察下列一组方程：①x2﹣x＝0；②x2﹣3x+2＝0；③x2﹣5x+6＝0；④x2﹣7x+12＝0；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．（1）若x2+kx+56＝0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；（2）请写出第n个方程和它的根．14．（10分）阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝，＝，＝；（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．15．（10分）已知关于x的方程（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0（1）当k取何值时，它是一元一次方程？（2）当k取何值时，它是一元二次方程？《一元二次方程》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）已知关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数m的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】把x＝3代入方程x2+mx﹣6＝0得9+3m﹣6＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：把x＝3代入方程x2+mx﹣6＝0得9+3m﹣6＝0，解得m＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2．（5分）若方程x2+mx﹣3＝0的一根为3，则m等于（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】把x＝3代入方程x2+mx﹣3＝0得9+3m﹣3＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：把x＝3代入方程x2+mx﹣3＝0得9+3m﹣3＝0，解得m＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．3．（5分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣4＝0的常数项是0，则（）A．m＝4B．m＝2C．m＝2或m＝﹣2D．m＝﹣2【分析】根据常数项为0可得m2﹣4＝0，同时还要保证m﹣2≠0，再解即可．【解答】解：根据题意知，解得m＝﹣2，故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握ax2+bx+c＝0（a，b，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．4．（5分）已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，代数式a2﹣3a+4的值为（）A．6B．9C．14D．﹣6【分析】利用一元二次方程根的定义得到a2﹣3a＝5，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【解答】解：∵x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，∴a2﹣3a﹣5＝0，∴a2﹣3a＝5，∴a2﹣3a+4＝5+4＝9．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．5．（5分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x+2y＝0B．x2﹣4y＝0C．x2+3x＝0D．x+1＝0【分析】依据一元二次方程的定义进行判断即可．【解答】解：A．x+2y＝0含有两个未知数，不合题意；B．x2﹣4y＝0含有两个未知数，不合题意；C．x2+3x＝0是一元二次方程，符合题意；D．x+1＝0中未知数的最高次数不是2次，不合题意；故选：C．【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+6＝0的一个根，则代数式2018﹣2a ﹣b的值为2021．【分析】把x＝﹣2代入方程，求出2a+b＝﹣3，再变形后代入，即可求出答案．【解答】解：∵x＝﹣2是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+6＝0的一个根，∴代入得：4a+2b+6＝0，4a+2b＝﹣6，2a+b＝﹣3，∴2018﹣2a﹣b＝2018﹣（2a+b）＝2018﹣（﹣3）＝2021，故答案为：2021．【点评】本题考查了求代数式的值和一元二次方程的解，能求出2a+b＝﹣3是解此题的关键．7．（5分）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是﹣2，则m﹣n＝2．【分析】把x＝﹣2代入方程x2+mx+2n＝0得出4﹣2m+2n＝0，再求出即可．【解答】解：把x＝﹣2代入方程x2+mx+2n＝0得：4﹣2m+2n＝0，即﹣2m+2n＝﹣4，m﹣n＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的解，能理解一元二次方程的解的定义是解此题的关键．8．（5分）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2+2x+m2﹣4＝0的一个根是零，则m＝2．【分析】把x＝0代入方程，求出m，再判断即可．【解答】解：把x＝0代入方程（m+2）x2+2x+m2﹣4＝0得：0+0+m2﹣4＝0，解得：m＝±2，∵方程（m+2）x2+2x+m2﹣4＝0是关于x的一元二次方程，∴m+2≠0，即m≠﹣2，所以m＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，能根据题意得出m2﹣4＝0和m+2≠0是解此题的关键．9．（5分）已知a，b，c为实数，且a+b+c＝，a2+b2+c2＝2，则2a﹣b﹣c＝0．【分析】利用换元法构造一元二次方程，然后利用根与系数的关系解答．【解答】解：由已知得a+b＝﹣c①（a+b）2+c2﹣2ab＝2 ②将①代入②得（﹣c）2+c2﹣2ab＝2，∴ab＝c2﹣c+2 ③由①③可知，a、b是关于t的方程t2﹣（﹣c）t+c2﹣c+2＝0 ④的两个实数根．∴△＝（﹣c）2﹣4（c2﹣c+2）≥0，化简得（c﹣）2≤0，而（c﹣）2≥0，∴c＝．将c＝代入④，解得t1＝t2＝，∴a＝b＝，∴a＝b＝c＝，∴2a﹣b﹣c＝0，故答案是：0．【点评】考查了利用换元法根据根与系数的关系构造一元二次方程，还涉及非负数的性质等内容，需要认真对待．10．（5分）已知a是方程x2﹣2017x+1＝0的一个根，则a3﹣2017a2﹣＝﹣2017．【分析】由方程的根的定义得a2﹣2017a＝﹣1、a2+1＝2017a，代入原式＝a（a2﹣2017a）﹣逐步化简可得．【解答】解：∵a是方程x2﹣2017x+1＝0的一个根，∴a2﹣2017a+1＝0，即a2﹣2017a＝﹣1，a2+1＝2017a，则原式＝a（a2﹣2017a）﹣＝﹣a﹣＝﹣＝﹣＝﹣2017，故答案为：﹣2017．【点评】本题主要考查方程的解的定义，熟练掌握整体代入思想是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．（1）求m的值；（2）求△ABC的周长．【分析】（1）直接把x＝2代入方程x2﹣2mx+3m＝0可求出m的值；（2）先解方程x2﹣8x+12＝0，解得x1＝2，x2＝6，再利用三角形三边的关系确定等腰三角形的腰与底，然后计算它的周长．【解答】解：（1）把x＝2代入方程得4﹣4m+3m＝0，解得m＝4；（2）当m＝4时，原方程变为x2﹣8x+12＝0，解得x1＝2，x2＝6，∵该方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，且不存在三边为2，2，6的等腰三角形∴△ABC的腰为6，底边为2，∴△ABC的周长为6+6+2＝14．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．12．（10分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0．（1）已知x＝2是方程的一个根，求m的值；（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC＝时，△ABC是等腰三角形，求此时m的值．【分析】（1）把x＝2代入方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0得到关于m的一元二次方程，然后解关于m的方程即可；（2）先计算出判别式，再利用求根公式得到x1＝m+2，x2＝m+1，则AC＝m+2，AB＝m+1．然后讨论：当AB＝BC时，有m+1＝；当AC＝BC时，有m+2＝，再分别解关于m 的一次方程即可．【解答】解：（1）∵x＝2是方程的一个根，∴4﹣2（2m+3）+m2+3m+2＝0，∴m＝0或m＝1；（2）∵△＝（2m+3）2﹣4（m2+3m+2）＝1，＝1；∴x＝∴x1＝m+2，x2＝m+1，∵AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根，∴AC＝m+2，AB＝m+1．∵BC＝，△ABC是等腰三角形，∴当AB＝BC时，有m+1＝，∴m＝﹣1；当AC＝BC时，有m+2＝，∴m＝﹣2，综上所述，当m＝﹣1或m＝﹣2时，△ABC是等腰三角形．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了等腰三角形的判定．13．（10分）观察下列一组方程：①x2﹣x＝0；②x2﹣3x+2＝0；③x2﹣5x+6＝0；④x2﹣7x+12＝0；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．（1）若x2+kx+56＝0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；（2）请写出第n个方程和它的根．【分析】（1）直接利用连根一元二次方程得出k的值；（2）利用因式分解法得出符合题意的值．【解答】解：（1）由题意可得：k＝﹣15，则原方程为：x2﹣15x+56＝0，则（x﹣7）（x﹣8）＝0，解得：x1＝7，x2＝8；（2）第n个方程为：x2+（2n﹣1）x+n（n﹣1）＝0，（x﹣n）（x﹣n+1）＝0，解得：x1＝n﹣1，x2＝n．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法以及新定义，正确得出规律是解题关键．14．（10分）阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝4，＝14，＝194；（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．【分析】（1）模仿例题利用完全平方公式即可解决．（2）模仿例题利用完全平方公式以及立方和公式即可．【解答】解；（1）∵x2﹣4x+1＝0，∴x+＝4，∴（x+）2＝16，∴x2+2+＝16，∴x2+＝14，∴（x2+）2＝196，∴x4++2＝196，∴x4+＝194．故答案为4，14，194．（2）∵2x2﹣7x+2＝0，∴x+＝，x2+＝，∴＝（x+）（x2﹣1+）＝×（﹣1）＝．【点评】本题考查一元一次方程的解、完全平方公式、立方和公式，解决问题的关键是灵活应用完全平方公式，记住两边平方不能漏项（利用完全平方公式整体平方），属于中考常考题型．15．（10分）已知关于x的方程（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0（1）当k取何值时，它是一元一次方程？（2）当k取何值时，它是一元二次方程？【分析】（1）根据二次项的系数为零且一次项的系数不为零是一元一次方程，可得答案；（2）根据一元二次方程：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．【解答】解：（1）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元一次方程，得或，解得k＝﹣1或k＝0，当k＝﹣1或k＝0时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元一次方程；（2）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元二次方程，得，解得k＝1，当k＝1时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元二次方程．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．。
一元二次方程训练题50道
一元二次方程训练题50道理解一元二次方程是解决数学问题的基础，因此训练题对于加深理解和掌握解题方法非常重要。
以下是50道一元二次方程的训练题：1. 解方程，x^2 4x + 4 = 0。
2. 解方程，2x^2 7x + 3 = 0。
3. 解方程，3x^2 + 5x 2 = 0。
4. 解方程，4x^2 12x + 9 = 0。
5. 解方程，x^2 + 6x + 9 = 0。
6. 解方程，2x^2 + 3x 2 = 0。
7. 解方程，x^2 5x + 6 = 0。
8. 解方程，3x^2 8x 3 = 0。
9. 解方程，4x^2 + 4x + 1 = 0。
10. 解方程，x^2 3x 10 = 0。
11. 解方程，2x^2 11x + 5 = 0。
12. 解方程，3x^2 + 7x 6 = 0。
13. 解方程，x^2 9 = 0。
14. 解方程，2x^2 18 = 0。
15. 解方程，3x^2 27 = 0。
16. 解方程，x^2 2x + 1 = 0。
17. 解方程，2x^2 8x + 8 = 0。
18. 解方程，3x^2 + 6x + 3 = 0。
19. 解方程，x^2 7x + 10 = 0。
20. 解方程，2x^2 5x 3 = 0。
21. 解方程，3x^2 + 4x 4 = 0。
22. 解方程，x^2 4 = 0。
23. 解方程，2x^2 8 = 0。
24. 解方程，3x^2 12 = 0。
25. 解方程，x^2 6x + 9 = 0。
26. 解方程，2x^2 + 2x 4 = 0。
27. 解方程，3x^2 3x 6 = 0。
28. 解方程，x^2 8x + 16 = 0。
29. 解方程，2x^2 12x + 18 = 0。
30. 解方程，3x^2 + 9x + 6 = 0。
31. 解方程，x^2 5 = 0。
32. 解方程，2x^2 20 = 0。
33. 解方程，3x^2 45 = 0。
34. 解方程，x^2 5x + 6 = 0。
人教版数学九年级上册第21章 一元二次方程 拓展训练【答案】
九年级上册第21章拓展训练一．选择题1．下列方程属于一元二次方程的是（）A．x2+y﹣2＝0B．x+y＝3C．x2+2x＝3D．x +＝52．方程9x2＝8x+2化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是（）A．9x2，8x，2B．﹣9x2，﹣8x，﹣2C．9x2，﹣8x，﹣2D．9x2，﹣8x，23．一元二次方程3x2﹣2＝x化成一般形式后，二次项系数为3，它的一次项系数和常数项分别是（）A．1、2B．﹣1、﹣2C．3、2D．0、﹣24．一元二次方程x2﹣x＝0的解是（）A．x1＝﹣1，x2＝0B．x1＝1，x2＝0C．x1＝﹣1，x2＝1D．x1＝x2＝15．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A ．x（x+1）＝110B ．x（x﹣1）＝110C．x（x+1）＝110D．x（x﹣1）＝1106．已知（a2+b2+2）（a2+b2）＝8，那么a2+b2的值是（）A．2B．﹣4C．2或﹣4D．不确定7．关于x的方程（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m＝（）A．2或﹣2B．2C．﹣2D．0第5页（共13页）8．一元二次方程y2+y＝0，配方后可化为（）A．（y +）2＝1B．（y ﹣）2＝1C．（y +）2＝D．（y ﹣）2＝9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≠0B．m ≤C．m ＜D．m ＞10．已知a≠b且a2﹣a＝6，b2﹣b＝6，则a+b＝（）A．1B．﹣1C．3D．﹣3二．填空题11．若2是方程x2﹣c＝0的一个根，则c 的值为．12．将方程3x（x﹣1）＝2（x+2）化成ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式为．13．某校棋艺社开展围棋比赛，共m位学生参赛．比赛为单循环制，所有参赛学生彼此恰好比赛一场，记分规则为：每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后，有所有参赛者的得分总和为76分且平局的场数不超过比赛场数的，则m ＝．14．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别为和．15．关于x的一元二次方程（2k+3）x2﹣x﹣＝0有实数根，则常数k的取值范围是．三．解答题16．解一元二次方程：（1）（x﹣2）2＝9；第5页（共13页）（2）x2+2x﹣1＝0．17．（1）解方程：2x2+5x+3＝0（2）某校为解决大班额问题，拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为90分、86分、90分，综合成绩笔试占40%，试讲占50%，面试占10%，求该名教师的综合成绩？18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2＝0．（1）若该方程有实数根，求m的取值范围．（2）若m＝﹣1时，求的值．第5页（共13页）19．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0．（1）求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一根为3，求m的值及另一个根．20．知识经验我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0．即：如果a•b＝0，那么a＝0，或b＝0．知识迁移第5页（共13页）I解方程：（x+1）（x+2）＝0．解：（x+1）（x+2）＝0．∴x+1＝0，或x+2＝0．∴x1＝1，或x2＝﹣2．Ⅱ解方程：x2+6x﹣7＝0．解：x2+6x﹣7＝0．∴x2+2×3x+32﹣32﹣7＝0．∴（x+3）2﹣16＝0∴（x+3）2﹣42＝0．∴（x+3+4）（x+3﹣4）＝0．∴（x+7）（x﹣1）＝0∴x+7＝0，或x﹣1＝0．∴x1＝﹣7，或x2＝1．理解应用（1）解方程：x2﹣10x﹣39＝0．拓展应用（2）如图，有一块长宽分别为80cm，60cm的矩形硬纸板，在它的四个角上分别剪去四个相同的小正方形，然后将四周突出的部分折起来，就可以做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子．求所剪去的小正方形的边长．第5页（共13页）第5页（共13页）参考答案一．选择题1．解：A、该方程中含有2个未知数，不符合一元二次方程的定义，此选项不符合题意；B、该方程中含有未知数的项的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，此选项不符合题意；C、该方程符合一元二次方程的定义，此选项符合题意；D、该方程中含有分式，不符合二元一次方程的定义，此选项不符合题意．故选：C．2．解：方程整理得：9x2﹣8x﹣2＝0，则二次项、一次项、常数项分别为9x2，﹣8x，﹣2．故选：C．3．解：方程整理得：3x2﹣x﹣2＝0，则方程的一次项系数和常数项分别是﹣1，﹣2．故选：B．4．解：x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，∴x＝0或x﹣1＝0，∴x1＝0，x2＝1．故选：B．第5页（共13页）5．解：设有x个队参赛，则x（x﹣1）＝110．故选：D．6．解：设a2+b2＝y，则原方程可化为：（y+2）y＝8，解得：y1＝﹣4，y2＝2，∵a2+b2＞0，∴a2+b2＝2．故选：A．7．解：由题意可知：|m|＝2，且m+2≠0，所以m＝±2且m≠﹣2．所以m＝2．故选：B．8．解：∵y2+y＝0，∴y2+y ＝，则y2+y +＝+，即（y +）2＝1，故选：A．9．解：根据题意得，△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＝﹣4m+1≥0，解得：m ≤，第5页（共13页）。
实际问题与一元二次方程拓展训练
实际问题与一元二次方程拓展训练1.某木器厂今年一月份生产课桌500张，因管理不善，2月份的产量减少了10%，从3月份起加强了管理，产量逐月上升，4月份的产量达到了648张，求工厂3月份和4月份的平均增长率. 工厂3月份和4月份的平均增长率为20%.2. 小明将勤工俭学挣得的100元钱，按一年定期存入“少儿银行”，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本金和利息共66元，求这种存款的年利率。
这种存款的年利率为10%。
3.某农户种植花生，原来种植的花生的亩产量为200kg，出油率为50%（即每100kg花生可加工成花生油50kg），现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132kg，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的一半，求：新品种花生亩产量的增长率.新品种花生亩产量的增长率是20%.4. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？每件衬衫降价15元时，平均每天获利最多.5. 制造一种产品，原来每件的成本是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使第二个月的销售利润达到原来的水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？该产品的成本价平均每月应降低10%.6. 巴中日报讯：今年我市粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x, 则可列方程为（）B7. 某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为________. 10％8. 如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边．地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽．9. 如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。
一元二次方程全章拓展练习
第21章 一元二次方程全章拓展练习（1）一、选择题：1．下列方程中不含一次项的是A ．x x 2532=-B ．2916x x =C ．0)7(=-x xD ．0)5)(5(=-+x x2. 一元二次方程0624)2(2=-+--m mx x m 有两个相等的实数根，则m 为A. 6-B. 1C. 6-或1D. 23．已知1x =-是方程20ax bx c ++=的根（0b ≠） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．24．用配方法解一元二次方程1442=-x x ，变形正确的是 A.0)21(2=-x B. 21)21(2=-x C.21)1(2=-x D.0)1(2=-x 5．一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70% 出售，那么每台售价为A ．（1+25%）（1+70%）a 元B ．70%（1+25%）a 元C ．（1+25%）（1-70%）a 元D ．（1+25%+70%）a 元6．如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是A ．14k >-B ．14k >-且0k ≠ C ．14k <- D ．14k ≥-且0k ≠ 7. 若关于x 的一元二次方程036)1(2=++-x x k 有实数根，则实数k 的取值范围为A. k ≤4，且k ≠1B. k ＜4，且k ≠1C. k ＜4D. k ≤48. 三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程060162=+-x x 的一个实数根， 则该三角形的面积是A ．24B ．24或58C ．48D ．589. 方程210x ax ++=和20x x a --=有一个公共根，则a 的值是A ．0B ．1C ．2D ．310．根据下列表格对应值：判断关于的方程0,(0)ax bx c a ++=≠的一个解的范围是A ．x ＜3.24B ．3.24＜x ＜3.25C ．3.25＜x ＜3.26D ．3.25＜x ＜3.28二、填空题：11．若一元二次方程20,(0)ax bx c a ++=≠有一个根为1，则=++c b a _________；若有一个根是 -1，则b 与a 、c 之间的关系为_________；若有一个根为0，则c ＝________.12．方程24(1)10x k x +++=的一个根是2，那么k ＝ ，另一根是________.13．若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则m 的取值范围是．14．已知1x =是一元二次方程2400ax bx +-=的一个根，且a b ≠， 则2222a b a b--的值为________．15．已知代数式10)5(7++x x 与代数式99-x 的值相等，则x ＝ ．16. 已知实数x 满足24410x x -+=，则代数式2x +x21的值为________．17. 如果1x =是方程230ax bx ++=的一个根，则2()4a b ab -+的值为________．18．已知yx y x y y xy x +-≠=-+则),0(04322的值为 ． 19．如果216()40()250x y x y -+-+=，那么x 与y 的关系是 ．20．方程0132=+-x x 的两根是1x ，2x ，则=+2221x x ；=+2111x x ．三、解答题：21. 用适当的方法解下列方程：（1）()22)3(32+=-x x （2）0682=+-x x（3）())15(3152-=-x x （4）56)1()1(2++-=+x x（5）12+=-x x x （6）04722=--x x (用配方法)22. 已知关于x 的一元二次方程x 2-4x+m =0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果m 是符合条件的最大整数，试求出此时方程的解．23. 若m 是非负整数，且关于x 的方程2(1)220m xmx m --++=有两个实数根，求m 的值及其对应方程的根.24. 已知：关于x 的一元二次方程2(31)210kx k x k ++++=.（1）求证：该方程必有两个实数根；（2）设方程的两个实数根分别是1x ，2x ，若1y 是关于x 的函数，且11y mx =-，其中m =12x x ,求这个函数的解析式；（3）若关于x 的一元二次方程2(31)210kx k x k ++++=只有整数根，且k 是小于0的整数.求k 的值.25．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B•两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，•几秒后△PCQ•的面积为Rt△ACB面积的一半．26．某商场将进货价为每个30元的台灯以每个40元出售，平均每月能售出600个．经过调查表明：如果每个台灯的售价每上涨1元，那么其销售数量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，问每个台灯的售价应定为多少元？27．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外，超过部分还要按每千瓦时100A 元收费． （1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A 表示）（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况根据上表数据，求电厂规定的A 值为多少？。
一元二次方程拓展训练题及答案
一元二次方程1. 下列方程是一元二次方程的是 （ ）A. 21503x x -+=B. 2134x x x +=C. 2110x x--= D. 2111x x =+- 2. 一元二次方程的一般形式是 （ ） A. ax 2＋bx ＋c ＝0B. ax 2＋bx ＋c (a ≠0)C. ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)D. ax 2＋bx ＋c ＝0(b ≠0) 3. 若px 2－3x ＋p 2－p ＝0是关于x 的一元二次方程，则 （ ）A. p ＝1B. p ＞0C. p ≠0D. p 为任意实数4. 关于x 的一元二次方程（3－x ）（3＋x ）－2a （x ＋1）＝5a 的一次项系数为 （ ）A. 8aB. －8aC. 2aD. 7a －95. 若（m 2－4）x 2＋3x －5＝0是关于x 的一元二次方程，则 （ ）A. m ≠2B. m ≠－2C. m ≠－2，或m ≠2D. m ≠－2，且m ≠26. 把方程x (x ＋1)＝2化为一般形式为 ，二次项系数是 .7. 已知0是关于x 的方程（m ＋3）x 2－x ＋9－m 2＝0的根，则m ＝ .8. 某小区有一块等腰直角三角形状的草坪，它的面积为8m 2，求草坪的周长是多少. 设直角边长为x m ，根据题意得方程 . （不解）9. 若关于x 的方程kx 2＋3x ＋1＝0是一元二次方程，则k .10. 当m 时，方程（m －1）x 2－(2m －1)x ＋m ＝0是关于x 的一元一次方程；当m 时，上述方程才是关于x 的一元二次方程.11.已知x ＝1是一元二次方程ax 2＋bx －40＝0的一个根，且a ≠b ，求2222a b a b --的值.12. 如图所示，有一个面积为120m 2的长方形鸡场，鸡场一边靠墙（墙长18m ），另三边用竹篱笆围成，若所围篱笆的总长为32m ，求鸡场的长和宽各为多少米. （只列方程）13. 如果x2＋3x＋2与a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c是同一个二次三项式的两种不同形式，你能求出a，b，c的值吗？参考答案1. A[提示：抓住一元二次方程的三个特征：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数是2. ]2. C3. C[提示：二次项系数不为0. ]4. C[提示：首先把方程整理为一般形式为x 2＋2ax ＋7a －9＝0，其中一次项系数为2a . 故选C. ]5. D[提示：二次项系数m 2－4≠0. ]6. x 2＋x －2＝0 1[提示：∵x(x ＋1)＝2，∴x 2＋x －2＝0. ]7. ±3[提示：此题分两种两种考虑. 当m ＋3＝0时，方程化为一元一次方程；当m ＋3≠0时，方程化为一元二次方程. ] 8. 2182x =[提示：S 等腰直角三角形＝12⨯两腰乘积. ] 9. ≠0[提示：一元二次方程成立的条件为二次项系数不为0. ]10. ＝1 ≠1[提示：考查一元一次方程、一元二次方程成立的条件. ]11. 提示：本题综合考查一元二次方程解的概念和分式的化简及整体代入思想.解：把x ＝1代入一元二次方程ax 2＋bx －40＝0，得a ＋b －40＝0，∴2222a b a b -=-()()2()a b a b a b +-=- 4020.22a b +== 12. 解：设平行于墙的边长为x m ，则垂直于墙的边长为322x -m ，由题意得x ·322x -＝120，即x 2－32x ＋240＝0. 13. 解：能，根据题意得x 2＋3x ＋2＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ，即x 2＋3x ＋2＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋(a ＋b ＋c )，123,2,a a b a b c =⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，∴解得11,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，。
一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)
一元二次方程拓展提高题1、已知0200052=--x x，则()()211223-+---x x x 的值是 .2、已知0120042=+-a a ，则_________120044007222=++-a a a . 3、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b a.4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a .5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 .6、已知0=++c b a ，2=abc ，0 c ，则（ ）A 、0 abB 、2-≤+b aC 、3-≤+b aD 、4-≤+b a 7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a .10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11 x ，03 ++q p ，则2x ( ) A 、小于1 B 、等于1 C 、大于1 D 、不能确定11、已知α是方程0412=-+x x 的一个根，则ααα--331的值为 .12、若132=-x x ，则=+--+200872129234x x x x （ ）A 、2011B 、2010C 、2009D 、2008 13、方程22323=--+x x 的解为 . 14、已知06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（ ）A 、14B 、15C 、16D 、18 15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根，则=m （ ）A 、1B 、1.5C 、2D 16、方程9733322=-+-+x x x x 的全体实数根之积为（ ）A 、60B 、60-C 、10D 、10-17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （ ）A 、1B 、2C 、21 D 、23 18、已知是α、β方程012=-+x x 的两个实根，则_______34=-βα. 19、若关于x 的方程xax x x x x a 1122++-=-只有一解，求a 的值。
一元二次方程50道题
一元二次方程50道题一、基础形式类（1 - 10题）1. 解方程x^2+3x + 2 = 0。
这个方程就像是一个小迷宫，我们得找到让这个等式成立的x的值哦。
2. 求解方程x^2-5x + 6 = 0。
这就好比是给x找一个合适的家，让这个等式舒舒服服的。
3. 解一元二次方程x^2+x - 6 = 0。
这个方程像是一个小谜题，x是那个神秘的答案呢。
4. 求方程x^2-3x - 4 = 0的解。
感觉就像在数字的森林里找宝藏，宝藏就是x的值。
5. 解方程x^2+2x - 3 = 0。
这个方程是一个等待我们破解的小密码，密码就是x 的正确数值。
6. 求解x^2-4x + 3 = 0。
这就像是一场数字的捉迷藏，x躲在某个地方，我们要把它找出来。
7. 解一元二次方程x^2+4x + 3 = 0。
这个方程像是一个数字的小盒子，我们要打开它找到x。
8. 求方程x^2-2x - 8 = 0的解。
就像是在数字的海洋里捞针，针就是x的值。
9. 解方程x^2+5x - 14 = 0。
这个方程是一个数字的小挑战，看我们能不能征服它找到x。
10. 求解x^2-6x + 8 = 0。
这就像给x安排一个合适的位置，让这个等式完美成立。
二、含系数类（11 - 20题）11. 解2x^2+3x - 2 = 0。
这个方程里2就像是x的一个小跟班，我们要一起找到合适的x。
12. 求解3x^2-5x + 2 = 0。
3在这儿可有点小威风，不过我们可不怕，照样能找到x。
13. 解一元二次方程 - x^2+2x + 3 = 0。
这个负号就像个小捣蛋鬼，但我们能搞定它找到x。
14. 求方程4x^2-4x + 1 = 0的解。
4这个家伙让方程看起来有点复杂，不过没关系。
15. 解方程 - 2x^2-3x + 1 = 0。
这个负2就像个小乌云，我们要拨开乌云见x。
16. 求解5x^2+2x - 3 = 0。
5在这里就像个大力士，不过我们要指挥它来找到x。
人教版数学九年级上册第21章【一元二次方程】综合拓展训练
【一元二次方程】综合拓展训练一．选择题1．下列是一元二次方程的是（）A．x2﹣2x﹣3＝0B．x﹣2y+1＝0C．2x+3＝0D．x2+2y﹣10＝02．将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（）A．5，﹣1B．5，4C．5，﹣4D．5，13．若m是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的根，则代数式4m﹣m2的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣224．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2＝0B．x﹣3＝0C．x2﹣5＝0D．x2+2＝05．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0，原方程应变形为（）A．（x﹣1）2＝2B．（x+1）2＝2C．（x﹣1）2＝1D．（x+1）2＝16．设x1为一元二次方程x2﹣2x＝较小的根，则（）A．0＜x1＜1B．﹣1＜x1＜0C．﹣2＜x1＜﹣1D．﹣5＜x1＜﹣47．已知三角形的两边长分别是3和4，第三边是方程x2﹣12x+35＝0的一个根，则此三角形的周长是（）A．12B．14C．15D．12或148．（m2﹣n2）（m2﹣n2﹣2）﹣8＝0，则m2﹣n2的值是（）A．4B．﹣2C．4或﹣2D．﹣4或29．若关于x的方程kx2﹣2x+＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＜4B．k＜4且k≠0C．k≤4D．k≤4且k≠010．已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2﹣2n+2015的值是（）A．2021B．2020C．2019D．2018二．填空题11．方程（n﹣3）x|n|﹣1+3x+3n＝0是关于x的一元二次方程，n＝．12．将方程x2﹣2x+1＝4﹣3x化为一般形式为．13．关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2020＝0有一个根为x＝﹣1，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝，b＝．14．一元二次方程x2﹣c＝0的一个根是2，则常数c的值是．15．用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果是．16．用公式法解一元二次方程，得：x＝，则该一元二次方程是．三．解答题17．用配方法解下列方程：（1）x2+12x＝﹣9．（2）﹣x2+4x﹣3＝0．18．关于x的方程是一元二次方程，求m的值．19．已知P＝（a﹣3+）÷．（1）化简P；（2）若a为方程x2﹣x﹣2＝0的解，求P的值．20．李老师在课上布置了一个如下的练习题：若（x2+y2﹣3）2＝16，求x2+y2的值．看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程：解：∵（x2+y2﹣3）2＝16，①∴x2+y2﹣3＝±4，②∴x2+y2＝7，x2+y2＝﹣1．③晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤．参考答案一．选择题1．解：A、是一元二次方程，故此选项正确；B、是二元一次方程，故此选项错误；C、是一元一次方程，故此选项错误；D、是二元二次方程，故此选项错误；故选：A．2．解：5x2﹣1＝4x，5x2﹣4x﹣1＝0，二次项的系数和一次项系数分别是5、﹣4，故选：C．3．解：将x＝m代入原式可得：m2﹣4m＝1，∴原式＝4m﹣m2＝﹣1，故选：B．4．解：A．由x2＝0得x1＝x2＝0，不符合题意；B．由x﹣3＝0得x＝3，不符合题意；C．由x2﹣5＝0得x1＝，x2＝﹣，符合题意；D．x2+2＝0无实数根，不符合题意；故选：C．5．解：x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝2，（x﹣1）2＝2．故选：A．6．解：x2﹣2x＝，8x2﹣16x﹣5＝0，x＝＝，∵x1为一元二次方程x2﹣2x＝较小的根，∴x1＝＝1﹣，∵5＜＜6，∴﹣1＜x1＜0．故选：B．7．解：解方程x2﹣12x+35＝0得x＝5或x＝7，当x＝5时，三角形三边长为3、4、5，此时三角形的周长为3+4+5＝12；当x＝7时，三角形三边长为3、4、7，由于3+4＝7，不能构成三角形，此情况舍去；故选：A．8．解：设x＝m2﹣n2，则原方程可化为：x（x﹣2）﹣8＝0即x2﹣2x﹣8＝0解得：x＝4或﹣2．故选：C．9．解：当k≠0时，△＝4﹣4k×＝4﹣k≥0，∴k≤4，当k＝0时，也符合题意，∴k≤4，故选：C．10．解：∵m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，∴m2+2m＝1，m+n＝﹣2，∴m2﹣2n+2015＝（m2+2m）﹣2（m+n）+2015＝1+4+2015＝2020．故选：B．二．填空题11．解：∵方程（n﹣3）x|n|﹣1+3x+3n＝0是一元二次方程，∴|n|﹣1＝2，且n﹣3≠0，即n＝﹣3．故答案为：﹣3．12．解：方程整理得：x2+x﹣3＝0，故答案为：x2+x﹣3＝013．解：把x＝﹣1代入ax2+bx﹣2020＝0得a﹣b﹣2020＝0，当a＝1时，b＝﹣2019．故答案为：1，﹣2019．14．解：将x＝2代入x2﹣c＝0，∴4﹣c＝0，∴c＝4，故答案为：4；15．解：∵x2﹣6x﹣8＝0，∴x2﹣6x＝8，则x2﹣6x+9＝8+9，即（x﹣3）2＝17，故答案为：（x﹣3）2＝17．16．解：根据题意得：a＝3，b＝5，c＝1，则该一元二次方程是3x2+5x+1＝0，故答案为：3x2+5x+1＝0三．解答题17．解：（1）x2+12x+36＝﹣9+36，（x+6）2＝27，x+6＝±3，所以x1＝﹣6+3，x2＝﹣6﹣3；（2）x2﹣4x＝﹣3，x2﹣4x+4＝﹣3+4，（x﹣2）2＝1，x﹣2＝±1，所以x1＝3，x2＝1．18．解：依题意有，m2﹣7＝2，∴m＝±3，∵m﹣3≠0，∴m≠3，∴m＝﹣3，∴当m＝﹣3时方程是一元二次方程．19．解：（1）P＝（a﹣3+）÷＝×＝×＝a2﹣3a；（2）∵a为方程x2﹣x﹣2＝0的解，∴a2﹣a﹣2＝0，∴a2﹣3a＝6，∴P的值是6．20．解；第③步出错了，正确步骤如下，∵（x2+y2﹣3）2＝16，∴x2+y2﹣3＝±4，∵x2+y2≥0，∴x2+y2＝7．。
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北京十一学校初二数学培优讲义——一元二次方程
班级____________姓名____________
一、解法综合
1．关于x 的方程02=++q px x 与02=++p qx x 有一个公共根，则()2
q p +的值是____________． 2．若方程0622=+-kx x 的两个根为素数，则=k ____________．
3．设a b c 、、为ΔABC 的三边，且两个方程：2220x ax b ++=和2220x cx b +-=有一个公共根，证明ΔABC 一定是直角三角形．
4．解方程：16252736
x x x x x x x x +++++=+++++. 5．设x a y b =⎧⎨=⎩是方程组223515x y y mx ⎧+=⎨=⎩的解；x c y d =⎧⎨=⎩是方程组223515350x y x my ⎧+=⎨-=⎩
的解，求证：2222d c b a +++是与m 无关的定值．
6．对于任意实数k ，方程()()2
2221240k x a k x k k b +-++++=总有一个根是1，试求实数a b ，的值及另一个根的范围．
7．解方程：()2
22160x x --=
8．解方程：((2130x x +-++= 9．解方程：()()()
2222223211x x a x b ab x --+-=+
10．解方程：()210abx a b x ---= 11．解方程：222320x bx a ab b --++=
12．02)1(3122=-+-+x x x
x 13．135322+=+--x x x x
14．23152x x ++=
151=
16．已知关于x 的方程0483222=-+--m m mx x ．
（1）求证：当2m >时，原方程总有两实数根．
（2）若原方程的两根一个小于5，另一个大于2，求m 的取值范围．
二、判别式的应用
1．已知方程2
20x x m --=没有实数根（m 为实数），则关于x 的二次方程
()()
222212110x mx m x +++-+=的根的情况是（ ）
（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根
（C ）无实数根 （D ）无法确定
2．已知方程220x x m --=没有实数根，其中m 是实数．试判定方程()2210x mx m m +++=有无实数根．
3．已知常数a 为实数，讨论关于x 的方程()()22210a x a x a -+-++=的实数根的个数情况．
4．关于x 的一元二次方程()22104a x --+=有实根，其中a 是实数，求9999a x +的值．
5．若方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根，求a b ，的值．
6．△ABC 的一边长为5，另两边长恰是方程22120x x m -+=的两个根，求m 的取值范围．
7．x y ，为实数，且满足221
x y x x =++，求y 的最大值和最小值． 8．如果关于x 的方程()22250mx m x m -+++=没有实根，那么关于x 的方程
()()25220m x m x m --++=的实根个数为 （ ）
（A ）2个 （B ）1个
（C ）0个 （D ）不确定
9．已知关于x 的方程()()2
22110m x m x m ---++=有实数根，求m 的非负整数值． 10．若关于x 的方程2230ax ax --=有实数根，求a 的取值范围．
三、根与系数的关系
1．设12x x ，是方程0322=+-m x x 的两个根且72821=-x x ，则m 为（ ）
A ．1
B ． 2
C ．-1
D ．０
2．若12x x ，是方程224(35)60x m x m ---=的两根且2123x x -
=，则m 的值为（ ） A ． m =5 B ．m =１ C ．m =1或m =5 D ．m =０
3．已知21,x x 是方程20x px q ++=的两个根，且1(5)x -，2(5)x -是方程20x qx p ++=的两个根，则p q +的值为（ ）
A ．-3
B ．-4
C ．3
D ．4
4．关于x 的方程231504x x a -
+=的解的一个根是另一个根的平方，则实数a 的值是（ ） A 、25-=a B 、23=a C 、2
325或-=a D 、0=a 5．若方程0342=-+-m x x 的一个根大于2，另一个根小于2，则m 的取值范围是（ ）
A 、1-<m
B 、1->m
C 、1<m
D 、1>m
6．若12x x ，是方程0352=+-x x 的两根，则以12x x +，
2122x x +为两根的新方程为_______． 7．关于x 的一元二次方程2251x x m -=-有实根a 和β，且｜α｜+｜β｜≤6，确定m 的取值范围．（答
案m <<） 8．关于x 的方程250x mx m -++=的两个实数根为α，β，()2811570x m x m -+++=的两个实数根
为α，γ，求112+βγα的值．
9．方程()2
19981997199910x x -⨯-=的大根为a ，方程2199819990x x +-=的小根为b ，求a b -的值．
10．设方程24230x x --=的两个根是α和β，求4α2＋2β的值．
11．已知α，β分别是方程210x x +-=的两个根，求5325αβ+的值．
12．已知12x x 、是方程24440ax ax a -++=的两个实根．
（1）是否能适当选取a 的值，使得()()122122x x x x --的值等于54（2）求使222112
x x x x +的值为整数的a 的值（a 为整数）．
13．设12x x 、是方程230x x +-=的两根，那么3212419x x -+的值是（ ）
（A ）-4 （B ）8
（C ）6 （D ）0
14．如果m n ，是两个不相等于的实数，且满足122=-m m ，122=-n n ，那么代数式
=+-+199944222n n m ．
15．已知2550p p --=，25210q q +-=其中p q ，为不相等实数，求221q
p +
的值． 四、关于方程的整数根
1．设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，则m =____________．
2．已知关于x 的方程()2222
38213150a x a a x a a --+-+=（其中a 是非负整数）至少有一个整数根，求a 的值．（答案135a =、、）
3．已知关于x 的方程()260x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．（答案016a =、）
4．已知k 为整数，且关于x 的方程()()221331180k x k x ---+=有两个不相同的正整数根，求k 的值．
6．已知a 是实数，且关于x 的方程x2-ax+a=0有两个实根u ，v ，求证：u2+v2≥2(u+v)
例5△ABC 的一边长为5，另两边长恰是方程
2x 2-12x+m=0
的两个根，求m 的取值范围．。