高二数学圆锥曲线基础练习题(一)讲义
【T】【G2】圆锥曲线综合类总结讲义
【解析】双曲线 - =1的焦点(4,0)到渐近线 的距离为 ,
【答案】A
10.“ ”是“方程 ”表示焦点在y轴上的椭圆”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】将方程 转化为 , 根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足 所以 .
A. B.
C. D.
【解析】易得准线方程是
所以 即 所以方程是
联立 可得 由 可解得A.
【答案】A
7.已知双曲线 的左、右焦点分别是 、 ，其一条渐近线方程为 ，点 在双曲线上.则 · ＝( )
A. －12 B. －2 C. 0 D. 4
【解析】由渐近线方程为 知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是 ，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且 或 .不妨去 ，则 ， .
D．直线 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点”
【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.
本题采作数形结合法易于求解，如图，
设 ，
则 ，
∵ ，
∴
消去n,整理得关于x的方程 （1）
∵ 恒成立，
∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.
【答案】A
【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查.
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，∴ ，
又由余弦定理，得 ，
∴ ，故应填 .
18.(2008上海春季) 已知 是双曲线 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方
程为 .设 分别为双曲线的左、右焦点.若 ，则 .
高二数学圆锥曲线学案练习题
高二数学圆锥曲线学案练习题高二数学圆锥曲线学案练习题练习题是以巩固学习效果为目的要求解答的问题;从广义上讲,练习题是指以反复学习、实践,以求熟练为目的的问题,包括生活中遇到的麻烦、难题等。
下面是小编精心整理的高二数学圆锥曲线学案练习题，希望对大家有所帮助！2.1 圆锥曲线一、知识要点1.通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出椭圆;抛物线模型的过程;2.椭圆的定义：3.双曲线的定义：4.抛物线的定义：5.圆锥曲线的概念：二、例题例1.试用适当的方法作出以两个定点为焦点的一个椭圆。
例2.已知：⑴到两点距离之和为9的点的轨迹是什么图形?⑵到两点距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是什么图形?⑶到点的距离和直线的距离相等的点的轨迹是什么图形?例3.(参选)在等腰直角三角形中，以为焦点的椭圆过点，过点的直线与该椭圆交于两点，求的周长。
三、课堂检测1.课本P26 22.课本P26 33.已知中，且成等差数列。
⑴求证：点在一个椭圆上运动;⑵写出这个椭圆的焦点坐标。
四、归纳小结五、课后作业1.已知是以为焦点，直线为准线的抛物线上一点，若点M到直线的'距离为，则 = 。
2.已知点，动点满足，则点的轨迹是。
3.已知点，动点满足 ( 为正常数)。
若点的轨迹是以为焦点的双曲线，则常数的取值范围是。
4. 已知点，动点满足，则动点的轨迹是。
5.若动圆与圆外切，对直线相切，则动圆圆心的轨迹是。
6.已知中，，且成等差数列。
⑴求证：点在一个椭圆上运动;⑵写出这个椭圆的焦点坐标。
7.已知中，长为6，周长为16，那么顶点在怎样的曲线上运动?8.如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点上。
把笔尖放在点处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线是双曲线的一支，试说明理由。
9.若一个动点到两个定点的距离之差的绝对值为定值，试确定动点的轨迹。
10.动点的坐标满足，试确定的轨迹。
高考数学圆锥曲线习题精选精讲可编辑
学前教育理论与实务袁玉长春光华学院．第三章学前教育观第一节学前教育的价值第二节学前教育的发展第三节学前教育的目标第四节科学学前教育观的树立学前儿童的因材施教第五节第一节学前教育的价值一、学前教育在儿童发展中的作用学前教育对于儿童的成长至关重要。
无论是对胎儿，还是对婴儿，或是对幼儿，只要有适宜的教育和训练，就能得到很好的成长与发展。
（一）保证胎儿健康的出生胎儿在5个月，听觉系统的发育已基本完善，6－7个月时能分辨出母亲的情感。
孕妇的情绪会通过神经——体液的变化，去影响胎儿的血液供应、呼吸、胎动等。
（二）保证婴儿及时的成长婴儿期是学前儿童发展的第二个重要时期。
有研究者认为：儿童八个月-2岁这段时期是特别重要的，因为语言、好奇心、智能和社会化的发展等基础都是在此期间奠定的、脑科学研究的人员发现：每个人的学习能力的50%是在生命的头4年发展起来的，早期学习不但不会剥夺童年的换了，而且能够为儿童提供各种发展的良机。
1.母乳喂养有利于婴儿免疫能力的增强。
母乳喂养对婴儿的呼吸道有保护作用，能降低呼吸道的发病率，母乳中含有较多的疾病免疫的因子，有助于刺激婴儿免疫系统的成熟。
母乳最佳喂养方式：产后半小时开始喂奶；出生后4个月内坚持母乳喂养，4-6个月开始添加辅食，具体月龄依婴儿生长情况而定，6个月月龄的婴儿均应添加辅食。
2.母亲注意卫生保健有利于婴儿的生长发育。
在婴儿哺乳期间，母亲吸烟，分泌的乳汁会减少，并增加婴儿的支气管和肺炎发生率。
3.成人重视体育锻炼，有助于婴儿健康成长。
成人注意语言刺激有利于婴儿4.的智力发展。
成人注意激发阅读兴趣有益于5.婴儿良好品行的塑造。
．成人注意音乐刺激有助于婴儿6.的情感陶冶。
（三）保证幼儿迅速的发展1.重视体育锻炼，能促进幼儿身心健康成长。
重视音乐训练，能提高幼儿的智力水平。
2.3.幼儿期教育能为儿童做好入学准备。
研究表明：上过幼儿园的儿童与未上过幼儿园的儿童相比，适应小学生活的能力更强，语文、数学平均成绩更高，当班干部、三好学生的比例更大。
高中数学《圆锥曲线的离心率问题》基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《圆锥曲线的离心率问题》基础知识与练习题（含答案解析）离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。
一、基础知识： 1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：222a b c =+，① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a += ② 2b ：短轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 （2）双曲线：222c b a =+① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a −=② 2b ：虚轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。
从而可求解 （2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。
如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、典型例题：例1：设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ） A ．33 B ．36C ．13D ．16思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角三角形12PF F 中，1212::2:1:3PF PF F F =，且12122,2a PF PF c F F =+=，所以12122323F F c c e a a PF PF ∴====+ 答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。
圆锥曲线专题一(图文课件分享)
高二数学专题1.2 圆锥曲线(苏教版)(原卷版+解析版)
高二数学第一学期期末考试总动员（苏教版）第一篇回顾基础篇专题1.2 第二章圆锥曲线【基础知识】1．椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆①在平面内；②与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；③常数大于|F1F2|.(2)焦点：两定点．(3)焦距：两焦点间的距离．2．椭圆的标准方程和几何性质【易错提醒】1．椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a＜|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．【重要方法】1．求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．2．椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.3．求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)．【典型例题】例1.（1）如图，P为椭圆x225＋y216＝1上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，则△PF1F2的周长为________．（2）一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2, 3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为________．（3）已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．【方法与技巧】1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．2．利用定义和余弦定理可求得|PF 1|·|PF 2|，再结合|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2| 进行转化，可求焦点三角形的周长和面积．3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B＞0，且A ≠B )．例2 椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．变：本例条件变为“过F 1，F 2的两条互相垂直的直线l 1，l 2的交点在椭圆的内部”求离心率的取值范围.【方法与技巧】椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形． (2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．例3 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (4m,0)(m >0，m 为常数)，离心率等于0.8，过焦点F ，倾斜角为θ的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若θ＝90°时，1MF ＋1NF ＝529，求实数m 的值；(3)试判断1MF ＋1NF的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论．【方法与技巧】1．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2．直线和椭圆相交的弦长公式 |AB |＝ (1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]或|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]. 例4．点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．例5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，离心率为22，分别过点O ，F 的两条弦AB ，CD 相交于点E (异于A ，C 两点)，且OE ＝EF .(1)求椭圆的方程；(2)求证：直线AC ，BD 的斜率之和为定值．例6如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点⎝⎛⎭⎫2，62.(1)求椭圆E的方程．(2)若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M.①设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；②设过点M垂直于PB的直线为m，求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．【基础知识】1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程和几何性质【易错提醒】1．双曲线的定义中易忽视2a ＜|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ＞|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同． 若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±ba ，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±ab.【重要方法】1．待定系数法求双曲线方程的常用方法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(2)若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)；(3)若过两个已知点则设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．2．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 3．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 4．渐近线与离心率x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为b a ＝ b 2a 2＝ c 2－a 2a2＝e 2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．【典型例题】例1．（1）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．（2）已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为________．（3）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是________．【方法与技巧】1．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．2．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混．例2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为________．例3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率为________．例4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________．例5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为________．【方法与技巧】解决渐近线与离心率关系的问题方法(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分m ＝b a 或m ＝ab 讨论．(2)注意数形结合思想在处理渐近线夹角，离心率范围求法中的应用．例6 若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC ＝m (OA ＋OB )，求k ，m 的值．【方法与技巧】1．解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．2．与中点有关的问题常用点差法．注意：根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．例7 已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1―→·MF 2―→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．例8 在平面直角坐标系xOy 中，点F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A ，延长F A 与另一条渐近线交于点B .若FB ＝2FA ，则双曲线的离心率为________．【基础知识】 1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质【易错提醒】1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视只有p ＞0，才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．【重要方法】1．转化思想在定义中应用抛物线上点到焦点距离常用定义转化为点到准线的距离． 2．与焦点弦有关的常用结论 (以下图为依据)(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． 【典型例题】例1.（1）若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (2，m )到焦点的距离为6，则p ＝________. （2）抛物线y 2＝4x 的准线方程是________．（3）从抛物线x 2＝4y 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为________．【方法与技巧】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．例2已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________．例3已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．例4已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作y轴垂线，垂足分别为C、D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．【方法与技巧】与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．例5如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C.若BC ＝2BF，且AF＝3，则此抛物线的方程为________．【方法与技巧】求解直线与抛物线位置关系问题的方法在解决直线与抛物线位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系．在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合的思想求解．例6已知点A(0,2)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，线段F A交抛物线于点B，过B作l 的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p＝________.例7如图，直线AB经过抛物线y2＝2px的焦点F，交抛物线于点A、B，交抛物线的准线l于点C，若BC＝－2BF，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．例8如图，A1，A2，A3，…，A n分别是抛物线y＝x2上的点，A1B1垂直于x轴，A1C1垂直于y轴，线段B1C1交抛物线于A2，再作A2B2⊥x轴，A2C2⊥y轴，线段B2C2交抛物线于A3，这样下去，分别可以得到A4，A5，…，A n，其中A1的坐标为(1,1)，则S矩形A n B n OC n＝________.【基础知识】1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．弦长公式设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝ 1＋1k 2·|y 1－y 2| ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 【易错提醒】1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点． 【重要方法】1．用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤 设点―设出弦的两端点坐标 ↓代入―代入圆锥曲线方程 ↓作差―两式相减，再用平方差公式把上式展开 ↓整理―转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解 2．函数与方程思想和数形结合思想在直线与圆锥曲线中的应用直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．【典型例题】例1 设A 1，A 2与B 分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点与上顶点，直线A 2B 与圆C ：x 2＋y 2＝1相切．(1)求证：1a 2＋1b2＝1；(2)P 是椭圆E 上异于A 1，A 2的一点，直线P A 1，P A 2的斜率之积为－13，求椭圆E 的方程；(3)直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，且OM ·ON ＝0，试判断直线l 与圆C 的位置关系，并说明理由．【方法与技巧】研究直线与圆锥曲线位置关系的方法研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．对于填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．例2 已知圆O ：x 2＋y 2＝8交x 轴于A ，B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，直线l ：x ＝－4为准线的椭圆．(1)求椭圆的标准方程；(2)若M 是直线l 上的任意一点，以OM 为直径的圆K 与圆O 相交于P ，Q 两点，求证：直线PQ 必过定点E ，并求出E 的坐标；(3)如图所示，若直线PQ 与椭圆C 交于G ，H 两点，且EG ＝3HE ，试求此时弦PQ 的长．【方法与技巧】有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．例3 已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________．例4 过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则p 的值是________．例5 已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x上，则实数m 的值为________．【方法与技巧】处理中点弦问题常用的求解方法 1．点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．2．根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．例6 已知椭圆E ：x 24＋y 2＝1的左、右顶点分别为A ，B ，圆x 2＋y 2＝4上有一动点P ，P 在x 轴上方，C (1,0)，直线P A 交椭圆E 于点D ，连结DC ，PB .(1)若∠ADC ＝90°，求△ADC 的面积S ；(2)设直线PB ，DC 的斜率存在且分别为k 1，k 2，若k 1＝λk 2，求实数λ的取值范围．例7 如图，圆O 与离心率为32的椭圆T ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)相切于点M (0,1)．(1)求椭圆T 与圆O 的方程；(2)过点M 引两条互相垂直的直线l 1，l 2与两曲线分别交于点A ，C 和点B ，D (均不重合)．①若P 为椭圆上任意一点，记点P 到两直线的距离分别为d 1，d 2，求d 21＋d 22的最大值；②若3MA ·MC ＝4MB ·MD ，求直线l 1与l 2的方程．例8 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，且2AF ＋52BF ＝0.(1)求椭圆E 的离心率；(2)若D (1,0)为线段OF 2的中点，M 为椭圆E 上的动点(异于点A ，B )，连结MF 1并延长交椭圆E 于点N ，连结MD ，ND 并分别延长交椭圆E 于点P ，Q ，连结PQ ，设直线MN ，PQ 的斜率存在且分别为k 1，k 2，试问是否存在常数λ，使得k 1＋λk 2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．例9 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，焦点为F .圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为π3的直线n 交l 于点A ，交圆M 于另一点B ，且AO ＝OB ＝2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程；(2)若P 为抛物线C 上的动点，求PM ·PF 的最小值；(3)过l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点为S ，T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．例10 如图，已知椭圆E ：x 2100＋y 225＝1的上顶点为A ，直线y ＝－4交椭圆E 于点B ，C (点B 在点C的左侧)两点，点P 在椭圆E 上．(1)若点P 的坐标为(6,4)，求四边形ABCP 的面积； (2)若四边形ABCP 为梯形，求点P 的坐标；(3)若BP ＝m ·BA ＋n ·BC (m ，n 为实数)，求m ＋n 的最大值．例11 已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM |＝1，且OM ·PM ＝0，则当|PM |取得最小值时的点P 到双曲线C 的渐近线的距离为________．【方法与技巧】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．例12 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点到它的两个焦点(－c,0)，(c,0)的距离之和为22，且它的焦距为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点不在圆x 2＋y 2＝59内，求m的取值范围．【方法与技巧】求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．例13 设点A 1，A 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于点A 1、A 2的点P ，使得PO ⊥P A 2，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．例14 已知长轴在x 轴上的椭圆的离心率e ＝63，且过点P (1,1)． (1)求椭圆的方程；(2)若点A (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝1上任一点，过点A 作圆的切线交椭圆于B ，C 两点，求证：CO ⊥OB (O 为坐标原点)．【方法与技巧】圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．例15 已知椭圆的左、右焦点分别为F 1和F 2，下顶点为A ，直线AF 1与椭圆的另一个交点为B ，△ABF 2的周长为8，直线AF 1被圆O ：x 2＋y 2＝b 2截得的弦长为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点P (1,3)的动直线l 与圆O 相交于不同的两点C ，D ，在线段CD 上取一点Q ，满足CP ＝－λPD ，CQ ＝λQD ，λ≠0且λ≠±1.求证：点Q 总在某定直线上．例16 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，右准线为l ：x ＝4.M 为椭圆上不同于A ，B 的一点，直线AM 与直线l 交于点P .(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM ＝MP ，判断点B 是否在以PM 为直径的圆上，并说明理由； (3)连结PB 并延长交椭圆C 于点N ，若直线MN 垂直于x 轴，求点M 的坐标．例17 在平面直角坐标系xOy 中，过点A (－2，－1)的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，短轴端点分别为B 1，B 2，1FB ·2FB ＝2b 2. (1)求a ，b 的值；(2)过点A 的直线l 与椭圆C 的另一个交点为Q ，与y 轴的交点为R .过原点O 且平行于l 的直线与椭圆的一个交点为P .若AQ ·AR ＝3OP 2，求直线l 的方程．例18 如图，已知椭圆E 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，圆E 2的方程为x 2＋y 2＝a 2，斜率为k 1的直线l 1过椭圆E 1的左顶点A ，且直线l 1与椭圆E 1和圆E 2分别相交于点B ，C .(1)若k 1＝1，B 恰好为线段AC 的中点，试求椭圆E 1的离心率e ；(2)若椭圆E 1的离心率e ＝12，F 2为椭圆的右焦点，当BA ＋BF 2＝2a 时，求k 1的值；(3)设D 为圆E 2上不同于点A 的一点，直线AD 的斜率为k 2，当k 1k 2＝b 2a 2时，试问直线BD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【方法与技巧】1．求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．2．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．例19在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝1与x轴正半轴的交点为F，AB为该圆的一条弦，直线AB的方程为x＝m.记以AB为直径的圆为圆C.记以点F为右焦点，短半轴长为b(b>0，b为常数)的椭圆为D.(1)求圆C和椭圆D的标准方程；(2)当b＝1时，求证：椭圆D上的任意一点都不在圆C的内部；(3)已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点，过点M且与x轴不垂直的直线交椭圆D于P，Q 两点(点P在x轴上方)，点P关于x轴的对称点为N，设直线QN交x轴于点L，试判断OM·OL是否为定值，并证明你的结论．【方法与技巧】1．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．2．求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．例20已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)以抛物线y2＝8x的焦点为顶点，且离心率为12.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆E相交于A，B两点，与直线x＝－4相交于Q点，P是椭圆E上一点且满足OP＝OA＋OB(其中O为坐标原点)，试问在x轴上是否存在一点T，使得OP·TQ为定值？若存在，求出点T的坐标及OP·TQ的值；若不存在，请说明理由．变：本例(2)中条件变为“过椭圆E的右焦点F2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点，线段OF2上是否存在点M(m,0)使得QP·MP＝PQ·MQ？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.【方法与技巧】解决存在性问题应注意以下几点存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．例21 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M (32，2)，离心率e ＝223.(1)求椭圆C 的方程．(2)过点M 作两条直线与椭圆C 分别交于相异两点A ，B ，F 2是椭圆的右焦点． ①若直线MA 过坐标原点O ，求△MAF 2外接圆的方程；②若∠AMB 的平分线与y 轴平行，探究直线AB 的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．例22 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且椭圆C 过点P ⎝⎛⎭⎫43，b 3，以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2.(1)求椭圆C的方程；(2)若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由．例23已知椭圆O的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点A(2,0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为32.不经过点A的动直线y＝12x＋m交椭圆O于P，Q两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)求证：P，Q两点的横坐标的平方和为定值；(3)过点A，P，Q的动圆记为圆C，动圆C过不同于A的定点，请求出该定点坐标．例24已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点P⎝⎛⎭⎫22，12，记椭圆的左顶点为A.(1)求椭圆的方程；(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k2＝2，求证：直线DE恒过一个定点．。
高二文科数学圆锥曲线基础训练一
高二文科数学圆锥曲线基础训练（一）1．k 为何值时，直线y=kx+2和椭圆632x 22=+y 有两个交点 （A ．B ．k< C ． D．k ≤ 【解析】 ：（2+3k 2）x 2+12kx+6=0，由△=144k 2-24k<2．抛物线4x y 2=上一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( )A. 0 D. 【答案】A 1,所以110=+x ，所以得00=y 。
3．过点（0，1共有 （ ）A.1条B.2条C.3条D.4条 【答案】D4．椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为（ ）5．值是（ A ．m-a B C ．22a m - D【答案】A【解析】设P 是第一象限的交点，P 到1F 、2F 的距离BC D 7．已知k ＜4,( ) A. 相同的准线C. 相同的离心率D. 相同的长轴 8( )9．抛物线212y x =的准线与双曲线B. C.2A10．右两焦点分别为21,F F ，点A在椭圆上，e 等于(D.得112AFF F ⊥,又4521=∠AF F，x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好___________18，即2a=18，得a=9，因为两个焦点恰好将长轴三等分，∴，得c=3，因此，b 2=a 2-c 2=81-9=72，再结合椭圆焦点在y 121的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B1314满足3-试题分析：不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|-|PF 2|=4………………①又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，|F 1F 2|=10，所以|PF 1|+|PF 2|=20………………②由①②可得|PF 1|=12，|PF 2|=8．所以由余弦定理得：cos∠F1PF2所以sin∠F1||PF2|sin∠F1PF218．(本题满分12分)双曲线与椭圆212736x y+=有相同焦点，且经过点4)，求其方程．解：椭圆2213627y x+=的焦点为(0，±3)，c=3，设双曲线方程为222219y xa a-=-，∵过点4)，则22161519a a-=-得a2=4或36，而a2<9，∴a2=4，双曲线方程为22145y x-=．(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，点M是椭圆C上异于A，B的任意一点．①求证：直线MA，MB的斜率之积为定值；②若直线MA，MB与直线x＝4分别交于点P，Q，求线段PQ长度的最小值．【解析】(1)(－2,0)，(2,0)，离心率则在椭圆C中故在椭圆C中c b＝1，所以椭圆C(2)①设0≠±2)A(－2,0)，则k MA k MB故k MA·k MB点M在椭圆C上，故k MA·k MB MA，MB的斜率之积为定值。
高二数学圆锥曲线练习题导数
高二数学圆锥曲线练习题导数一、题目描述在高二数学学习中，圆锥曲线是一个非常重要的知识点。
掌握圆锥曲线的性质和相关的计算方法对于解题和应用都具有重要意义。
在本文中，我们将针对圆锥曲线的导数进行练习题的讲解和解答。
通过深入理解导数的概念和应用，希望能够帮助同学们掌握圆锥曲线的导数计算方法，并培养解题的思维能力。
二、概念回顾在开始解答练习题之前，我们先来回顾一下圆锥曲线的导数概念。
导数是函数在某一点处的变化率，表示了函数在该点处的斜率或切线的斜率。
对于圆锥曲线而言，我们可以通过导数来计算曲线在某一点处的切线斜率，从而得到曲线的性质和特点。
三、练习题解答以下是几道典型的圆锥曲线导数练习题的解答，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握导数的计算方法。
1. 已知椭圆的方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1，求椭圆在点(x_0, y_0)处的切线斜率。
解：首先，我们需要求得椭圆方程的导函数。
对方程两边同时求导，得到：(2x/a^2) + (2y/b^2)y' = 0y' = -b^2*x/(a^2*y)将点(x_0, y_0)代入导函数中，即可求得切线斜率：y_0' = -b^2*x_0/(a^2*y_0)2. 已知双曲线的方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，求双曲线在点(x_0, y_0)处的切线斜率。
解：同样地，对双曲线方程求导，得到：(2x/a^2) - (2y/b^2)y' = 0y' = x*b^2/(a^2*y)将点(x_0, y_0)代入导函数中，可求得切线斜率：y_0' =x_0*b^2/(a^2*y_0)3. 已知抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c，求抛物线在点(x_0, y_0)处的切线斜率。
解：同样地，对抛物线方程进行求导，得到导函数为：y' = 2ax + b 将点(x_0, y_0)代入导函数中，可求得切线斜率：y_0' = 2ax_0 + b四、总结与思考通过以上的练习题解答，我们可以看出，在求解圆锥曲线的导数时，首先需要对给定的方程进行求导，然后将待求的点坐标代入导函数中，即可得到切线的斜率。
高二数学圆锥曲线练习题
数学基础知识与典型例题(第八章圆锥与⊙O2的半径分别为=答案例1. D 例2. B 例3. C 先考虑M+m=2a，然后用验证法.例4. B提示：e=54,P点到左准线的距离为2.5，它到左焦点的距离是2， 2a=10, P点到右焦点的距离是8，∴P点到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是4 : 1;例 5. B∵1212||||||||22sin15sin751sin15sin75sin15cos15PF PF PF PFc a+====︒︒︒+︒︒+︒，∴22cea==例6.C提示：椭圆3x＋4y2=48中，a=4, c=2,e=21, 设椭圆上的P点到右准线的距离为d，则d|PF|=21, ∴|AP|＋2|PF|=|AP|＋d, ∴当AP平行于x轴且P点在A点与右准线之间时，|AP|＋d为一直线段，距离最小，此时P点纵坐标等于3，∴P点坐标是(23, 3)例7. (3,±4) 或(-3, ±4)例8. (1)1162522=+yx或1251622=+yx;(2) 13622=+yx;(3)1922=+yx或181922=+yx;(4) 1422=+yx或116422=+yx.例9.12||||PF PF⋅≤2212||||()42PF PFa+==例10. 解:设椭圆方程为22ax+22by=1,(a>b>0)⑴P Q⊥x轴时，F(-c,0)，|FP|=ab2，又|F Q|=|FP|且OP⊥O Q，∴|OF|=|FP|,即c=ab2∴ac=a2-c2,∴e2+e-1=0,∴e=215-与题设e=23不符,所以P Q不垂直x轴.⑵P Q∶y=k(x+c),P(x1,y1),Q(x2,y2),∵e=23,∴a2=34c2,b2=31c2,所以椭圆方程可化为:3x2+12y2-4c2=0,将P Q方程代入，得(3+12k2)x2+24k2cx+12k2c2-4c2=0,∴x1+x2=2212324kck+-,x1x2=2222123412kcck+-由|P Q|=920得21k+·2222222123)412(4)12324(kcckkck+--+=920①∵OP⊥O Q,∴11xy·22xy= -1即x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+k2c(x1+x2)+c2k2=0②把21xx+，21xx代入，解②得k2=114，把1142=k代入①解得c2=3∴a2=4,b2=1，则所求椭圆方程为42x+y2=1.例11. B 例12. C 例13. D例14. C 例15. C例16. A假设12PF PF>,由双曲线定义12PF PF-=且12PF PF +=解得12PF PF ==而12F F =由勾股定理得1212112PF F S PF PF =⋅=[点评]考查双曲线定义和方程思想.例17.)2(112422-<=-x y x 例18. 12 例19.⑴设双曲线方程为22916x y λ-=(λ≠0),∴ 2(3)9λ-=∴ 14λ=, ∴ 双曲线方程为221944x y -=;⑵设双曲线方程为221164x y k k -=-+16040k k ->⎛⎫⎪+>⎝⎭∴ 2214k-=+,解之得k =4,∴ 双曲线方程为221128x y -= 评注：与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程为2222x y a bλ-=(λ≠0)，当λ>0时，焦点在x 轴上；当λ<0时，焦点在y 轴上。
完整版)高二数学圆锥曲线基础练习题(一)
完整版)高二数学圆锥曲线基础练习题(一)高二数学圆锥曲线基础练题（一）1.抛物线 $y^2=4x$ 的焦点坐标为（）A．$(1,0)$ B．$(0,1)$ C．$(-1,0)$ D．$(0,-1)$2.双曲线 $mx+y=1$ 的虚轴长是实轴长的2倍，则$m=$（）A．$-\frac{1}{2}$ B．$-4$ C．$4$ D．$\frac{1}{4}$3.双曲线 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 的一个焦点到渐近线距离为3，则双曲线的另一个焦点到渐近线的距离为（）A．$6$ B．$5$ C．$4$ D．$3$4.已知 $\triangle ABC$ 的顶点 $B$、$C$ 在椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ 上，顶点 $A$ 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在 $BC$ 边上，则 $\triangleABC$ 的周长是（）A．$23$ B．$6$ C．$43$ D．$12$5.已知椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ 右支上的一点，双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ 的一条渐近线方程为 $3x-y=0$。
设该点到该渐近线的距离为 $a$，则该点到双曲线的焦点距离为（）A．$5\sqrt{2}$ B．$4\sqrt{2}$ C．$3\sqrt{2}$ D．$2\sqrt{2}$6.已知 $P$ 是双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点为 $F_1$、左焦点为 $F_2$。
若$PF_2=3$，则 $PF_1=$（）A．$5\sqrt{2}$ B．$4$ C．$3$ D．$2$7.将抛物线 $y=(x-2)^2+1$ 按向量 $a$ 平移，使顶点与原点重合，则向量 $a$ 的坐标是（）A．$(-2,-1)$ B．$(2,1)$ C．$(2,-1)$ D．$(-2,1)$8.已知双曲线的两个焦点为 $F_1(-5,0)$，$F_2(5,0)$，$P$ 是此双曲线上的一点，且 $PF_1\perp PF_2$，$|PF_1|\cdot|PF_2|=2$，则该双曲线的方程是（）A．$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ B．$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ C．$y^2=1-\frac{x^2}{16}$ D．$x^2-\frac{y^2}{9}=1$9.设 $A(x_1,y_1)$，$B(4,0)$，$C(x_2,y_2)$ 是右焦点为$F$ 的椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ 上三个不同的点，则“$AF,BF,CF$ 成等差数列”是“$x_1+x_2=8$”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既非充分也非必要条件10.已知双曲线 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 的左右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，$P$ 为此双曲线上一点，且$PF_2=F_1F_2$，则 $\triangle PF_1F_2$ 的面积等于（）A．$24$ B．$36$ C．$48$ D．$96$11.已知点 $P$ 在抛物线 $y=4x$ 上，那么点 $P$ 到点$Q(2,-1)$ 的距离与点 $P$ 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 $P$ 的坐标为（）A．$(\frac{1}{3},1)$ B．$(-\frac{1}{3},-1)$ C．$(1,2)$ D．$(1,-2)$12.设 $P$ 是双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$ 上的一点，若 $2P$ 是该双曲线上的点，则 $P$ 的坐标为（）A．$(\sqrt{2},\sqrt{2})$ B．$(\sqrt{2},-\sqrt{2})$ C．$(-\sqrt{2},\sqrt{2})$ D．$(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$1.在第一行加上“已知”，并且将“F1、F2”改为“左、右焦点”，将“ab圆”改为“以线段PF2为直径的圆”，将“双曲线的实轴”改为“实轴”，最后将选项改为“内切、外切或不相切”。
圆锥曲线培优讲义
一 原点三角形面积公式1. 已知椭圆的离心率为，且过点．若点M （x 0，y 0）在椭圆C 上，则点称为点M 的一个“椭点”．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y=kx +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试求△AOB 的面积．2. 己知椭圆，过原点的两条直线 和 分别与椭圆交于点 ，和 ，．记 的面积为 ．（1）设，．用 ， 的坐标表示点 到直线 的距离，并证明 ；（2）设，，，求 的值．（3）设 与 的斜率之积为，求的值，使得无论 与 如何变动，面积 保持不变．3. 已知椭圆()0,01:2222>>=+b by x C αα的左、右两焦点分别为()()0,1,0,121F F -,椭圆上有一点A 与两焦点的连线构成的21F AF ∆中，满足.127,121221ππ=∠=∠F AF F AF （1）求椭圆C 的方程；（2）设点D C B ,,是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称，设直线OC OB CD BC ,,,的斜率分别为4321,,,k k k k ，且4321k k k k ⋅=⋅，求22OC OB +的值.4. 在平面直角坐标系xoy 内，动点(,)M x y 与两定点(2,0),(2,0)-，连线的斜率之积为14- (1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设点1122(,),(,)A x y B x y 是轨迹C 上相异的两点．(I)过点A ，B 分别作抛物线2y =的切线1l 、2l ，1l 与2l 两条切线相交于点(,)N t ，证明：0NA NB =；(Ⅱ)若直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，证明：AOB S ∆为定值，并求出这个定值·5. 已知 、 分别是 轴和 轴上的两个动点，满足，点 在线段 上，且（ 是不为 的常数），设点 的轨迹方程为．（1）求点 的轨迹方程 ；（2）若曲线 为焦点在 轴上的椭圆，试求实数 的取值范围；（3）若，点， 是曲线 上关于原点对称的两个动点，点 的坐标为，求的面积 的最大值．6. 已知椭圆的焦点在 轴上，中心在坐标原点；抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点．在 ， 上各取两个点，将其坐标记录于表格中：（1）求 ， 的标准方程；（2）已知定点， 为抛物线上一动点，过点 作抛物线的切线交椭圆于 ， 两点，求面积的最大值．7. 已知抛物线的焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 ， 两点．（1）若 ，求直线 的斜率；（2）设点在线段上运动，原点 关于点的对称点为 ，求四边形面积的最小值．8. 设椭圆：的左、右焦点分别是、，下顶点为 ，线段 的中点为 （ 为坐标原点），如图．若抛物线：与 轴的交点为 ，且经过，点．（1）求椭圆 的方程；（2）设， 为抛物线上的一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于 、 两点，求 面积的最大值．二 定点定值问题9. 动点P 在圆E ：22(1)16x y ++=上运动，定点(1,0)F ，线段PF 的垂直平分线与直线PE 的交点为Q ． （Ⅰ）求Q 的轨迹T 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线1l ，2l 分别交轨迹E 于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥．证明：过AB 和CD 中点的直线过定点．10. 在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是双曲线D 抛物线C 的焦点与双曲线D 的焦点相同． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若点(,1)P t (0)t >为抛物线C 上的定点，A ，B 为抛物线C 上两个动点．且PA⊥PB ，问直线AB 是否经过定点若是，求出该定点，若不是，说明理由．11. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆 的离心率为，直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于两点．当直线 垂直于 轴且点 为椭圆 的右焦点时，弦 的长为．（1）求椭圆 的方程；（2）若点 的坐标为，点 在第一象限且横坐标为 ，连接点与原点 的直线交椭圆 于另一点 ，求 的面积；（3）是否存在点 ，使得为定值?若存在，请指出点 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．12. 已知椭圆的左焦点为F ，不垂直于x 轴且不过F 点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．（1）如果直线FA ，FB 的斜率之和为0，则动直线l 是否一定经过一定点若过一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． （2）如果FA ⊥FB ，原点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围．13. 如图，已知直线:1(0)l y kx k =+>关于直线1y x =+对称的直线为1l ，直线1,l l 与椭圆22:14x E y +=分别交于点A 、M 和A 、N，记直线l的斜率为k .（Ⅰ）求1k k ⋅的值；（Ⅱ）当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点恒过定点，请说明理由.14.如图，椭圆（）的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于 ， 两点．当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆 的方程； （2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点 ，使得恒成立? 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．15.已知动圆过定点，且与直线相切，其中．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）设、 是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．16. 已知抛物线的准线与 轴交于点，过点 做圆的两条切线，切点为，，．（1）求抛物线 的方程；（2）设， 是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且（ 其中为坐标原点）．①求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标；②过点作的垂线与抛物线交于， 两点，求四边形面积的最小值．17.18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点M(x0，y0)是椭圆C ：2212x y +=上一点，从原点O 向圆M:22002()()3x x y y -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点P 、Q ，直线OP 、OQ 的斜率分别记为k1，k2 (1)求证：k1k2为定值;(2)求四边形OPMQ 面积的最大值.19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()00 R x y ，是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆()()2200:8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于P ，Q .（1）若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程；（2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为12 k k ，，求12 k k ，的值； （3）试问22OP OQ +是否为定值若是，求出该值；若不是，说明理由. 三 中点弦问题20. 椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为P 为椭圆C 上异于顶点的一个动点，O 为坐标原点，2A 为椭圆C 的右顶点，点M 为线段2PA 的中点，且直线2PA 与直线OM 的斜率之积为12-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C的左焦点1F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于两点,A B，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，N点的横坐标的取值范围是1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭，求线段AB的长的取值范围.21.在平面直角坐标系xoy中，过椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>右焦点的直线x y+-=交椭圆C于,M N两点，P为,M N的中点，且直线OP的斜率为13．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设另一直线l与椭圆C交于,A B两点，原点O到直线l的距离为2，求AOB∆面积的最大值．22.如图，椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>左右顶点为A、B，左右焦点为1212,,4,F F AB F F==(0)y kx m k=+>交椭圆E于点C、D两点，与线段12F F椭圆短轴分别交于M、N两点（M、N不重合），且CM DN=.（1）求椭圆E的方程；（2）设直线,AD BC的斜率分别为12,k k，求12kk的取值范围.23.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：)0(12222>>=+babyax的离心率21=e，左顶点为)0,4(-A，过点A作斜率为)0(≠kk的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的)0(≠kk都有EQOP⊥，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由;（Ⅲ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求||||||OM AE AD +的最小值.24. 已知椭圆过点，且离心率．（1）求椭圆的方程； （2）若椭圆上存在点关于直线对称，求的所有取值构成的集合，并证明对于， 的中点恒在一条定直线上．25. 如图，在直角坐标系中，点到抛物线的准线的距离为．点是上的定点，， 是上的两动点，且线段被直线平分．（1）求， 的值； （2）求面积的最大值．26. 已知抛物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线，分别交抛物线于点， 和点，，线段，的中点分别记为，．（1）求面积的最小值； （2）求线段的中点满足的方程．27. 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率是，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是E 上动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．四 定比分点28. 已知点)0,2(-E ，点P 是椭圆F ：36)2(22=+-y x 上任意一点，线段EP 的垂直平分线FP 交于点M ，点M 的轨迹记为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过F 的直线交曲线C 于不同的A ，B 两点,交y 轴于点N ，已知m =，BF n NB =，求n m +的值.29. 在直角坐标系xOy 上取两个定点12(A A 再取两个动点1(0 , )N m ，2(0 , )N n ，且2mn =．（Ⅰ）求直线11A N 与22A N 交点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过(3 , 0)R 的直线与轨迹C 交于P ,Q ，过P 作PN x ⊥轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若(1)RP RQ λλ=>，求证：NF FQ λ=.30. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=()0a b ＞＞的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设11PF FQ λ=． （1）若点P 的坐标为3(1,)2，且2PQF △的周长为8，求椭圆C 的方程；（2）若2PF 垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率1,2e ∈⎡⎢⎣，求实数λ的取值范围．五 结论31. 已知椭圆 20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点(2 且离心率等于2，点 A B ，分别为椭圆C 的左右顶点，点P 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2） M N ，是椭圆C 上非顶点的两点，满足 OM AP ON BP ∥，∥，求证：三角形MON 的面积是定值.32. 过点 ，离心率为 ．过椭圆右顶点 的两条斜率乘积为 的直线分别交椭圆 于 ， 两点．（1）求椭圆 的标准方程；（2）直线 是否过定点 ?若过定点 ，求出点 的坐标，若不过点 ，请说明理由．33. 已知椭圆的两个焦点为()1F ，)2F ，M 是椭圆上一点，若120MF MF ⋅=，128MF MF ⋅=．34. （1）求椭圆的方程；35. （2）点P 是椭圆上任意一点，12A A 、分别是椭圆的左、右顶点，直线12PA PA ，与直线2x =分别交于,E F 两点，试证：以EF 为直径的圆交x 轴于定点，并求该定点的坐标.36. 已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，直线4x =与x 轴的交点为P ，与抛物线的交点为Q,且5.4QF PQ =（1）求抛物线的方程；（2）如图所示，过F 的直线l 与抛物线相交于A,D 两点，与圆()2211x y +-=相交于B,C 两点（A ，B 两点相邻），过A,D 两点分别作我校的切线，两条切线相交于点M,求ABM ∆与CDM ∆的面积之积的最小值.37. 已知椭圆 ，其右准线 与轴交于点 ，椭圆的上顶点为 ，过它的右焦点且垂直于长轴的直线交椭圆于点 ，直线 恰经过线段的中点 ．（1）求椭圆的离心率；（2）设椭圆的左、右顶点分别是、，且，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，设 是椭圆右准线 上异于 的任意一点，直线，与椭圆的另一个交点分别为、 ，求证：直线与 轴交于定点．38. 已知点(1,0)A -，(1,0)B ，直线AM 与直线BM 相交于点M ，直线AM 与直线BM的斜率分别记为AM k 与BM k ，且2AM BM k k ⋅=-． （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过定点(0,1)F 作直线PQ 与曲线C 交于,P Q 两点，OPQ ∆的面积是否存在最大值若存在，求出OPQ ∆面积的最大值；若不存在，请说明理由．39. 已知一个动圆与两个定圆41)2(22=+-y x 和449)2(22=++y x 均相切,其圆心的轨迹为曲线C. (1) 求曲线C 的方程；(2) 过点F （0,2)做两条可相垂直的直线21,l l ，设1l 与曲线C 交于A,B 两点, 2l 与曲线 C 交于C,D 两点，线段AC ，BD 分别与直线2=x 交于M ，M,N 两点。
12级高二数学零诊复习讲义圆锥曲线练习题
圆锥曲线复习一．定义 1.第一定义：椭圆：12122(2)MF MF a a F F +=>（当122a F F =时，轨迹是线段．．12F F ；当122a F F <时，轨迹不存在）双曲线：12122(2)MF MF a a F F -=<（当122a F F =时，轨迹是两条射线．．．．；当122a F F >时，轨迹不存在）2.圆锥曲线统一定义：平面上到定点（焦点）的距离与到定直线（相应准线）的距离之比为常数(0)e e >的动点的轨迹.01e <<时，轨迹是椭圆；1e =时，轨迹是抛物线；1e >时，轨迹是双曲线. 二．标准方程焦点在x 轴上的标准方程 焦点在y 轴上的标准方程椭圆 22221(0)x y a b a b +=>> 22221(0)y x a b a b +=>>双曲线 22221(,0)x y a b a b -=> 22221(,0)y x a b a b-=>抛物线 )0(22>=p px y （开口向右） 22(0)x py p =>（开口向上） 22(0)y px p =->（开口向左） 22(0)x py p =->（开口向下） 三．性质椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 双曲线22221(,0)x y a b a b-=> 抛物线)0(22>=p px y1.基本量,,(),,ca b c a b c e aa b b p cca=+==2222222,,(),,c a b c a b c e aa b b p cca=+==2222222 2p p长轴长= ；短轴长= 实轴长= ；虚轴长=2.参数方程：22221(0)cos sin x y a b a b x a y b θθ+=>>=⎧⇔⎨=⎩ 22221(,0)sec tan x y a b a bx a y b θθ-=>=⎧⇔⎨=⎩222(0)22y px p x pt y pt =>⎧=⇔⎨=⎩ 范围 [][],,,x a a y b b ∈-∈- ,x a y R ≥∈ 0,x y R ≥∈ 对称性 轴：,x y 轴；中心：()0,0 轴：,x y 轴；中心：()0,0 轴：x 轴焦点 ()()12,0,0F c F c -、 ()()12,0,0F c F c -、 ,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭顶点()()()()1212,0,,0,0,,0,A a A a B b B b -- ()()12,0,,0A a A a - ()0,0O准线方程 2a x c =± 2a x c=± 2p x =-渐近线方程 22220b x y y x a a b=±⇔-=焦半径1020;PF a ex PF a ex =+=-1020;PF a ex PF a ex =+=- 02pPF x =+焦点弦长12()2()AB a e x x =++左 12()2()AB a e x x =++左 12AB x x p =++焦点三角形周长4l a =；面积 2tan2ABC S b θ∆=焦点弦的性质 4,221221p x x p y y =-=4.其它性质：1. 椭圆：以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切双曲线：以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.2. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离（椭圆）或相交（双曲线）或相切（抛物线）. 四．参数方程：例 题 讲 解8 求圆锥曲线方程19. 与椭圆221123x y +=有相同的焦点，且经过点)2,10(双曲线方程为_______；与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且过点)32,3(-的双曲线方程为_______.20. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ,直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 .21. 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且,OP OQ PQ ⊥=.22.已知抛物线22(0)y px p =>，有一内接直角三角形，直角顶点在坐标原点，一直角边所在的直线方程为2y x =，斜边长等于.9 圆锥曲线的几何性质23. 抛物线方程为20(0)Ax By AB +=≠，则其焦点坐标为 .24.抛物线284y x =-的准线方程是 ，圆心在该抛物线的顶点，且与其准线相切的圆的方程是 .25.双曲线221916y x -=的渐近线方程是 ；焦点到准线的距离为 .26. 已知21,F F 为双曲线的左、右焦点，以双曲线右支上任一点P 为圆心，1PF 为半径的圆与以2F 为圆心，2121F F 为半径的圆内切，则双曲线两条渐近线的夹角是 .27. 设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是 .28. 设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的半焦距为c 原点与直线1x y a b -=上点的距离的最小值为4，则双曲线的离心率为 .10 圆锥曲线定义的应用—求焦半径与焦点弦长29. 椭圆221259x y +=的焦点为12F F 、，点M 是椭圆上不与长轴端点重合的点，则12MF F ∆的周长 为 ；若M 到焦点1F 的距离为2,N 是1MF 的中点, 则ON = ；若M 到右准线的距离 为52，则M 到左焦点的距离为 ；30. 设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则____FA FB FC ++=；过点F 的直线交抛物线于1122(,)(,)A x y B x y 、，若125y y +=，则AB = .31. 过抛物线24y x =的焦点的直线依次交抛物线和圆22(1)1x y -+=于点A B CD 、、、，则________AB CD ⋅=.11 圆锥曲线定义的应用—焦点弦三角形的运算32. 椭圆221259x y +=的焦点为12F F 、，点M 是椭圆上不与长轴端点重合的点，则满足12MF MF ⊥的点M 有 个；若12MF F ∆的面积为12_____PF PF ⋅=33.椭圆14922=+y x 的焦点为21,F F ，点P 为其上的动点，则12cos F PF ∠的最小值是 ．当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是_________.34. 若椭圆221(1)x y m m +=>与双曲线221(0)x y n n-=>有相同的焦点12F F P 、，是两曲线的一个 交点，则12F PF ∆的面积是 .35. 已知P 是以 1F ,2F 为焦点的椭圆)0,0(12222>>=+b a b y ax 上的一个点,若120PF PF ⋅=，且123tan 4PF F ∠=， 则此椭圆的离心率为 .12 解析几何最值问题36. 已知椭圆22143x y +=内有一点(1,1)M -，12,F F 是椭圆的左、右焦点，设P 是椭圆上的点，则2PM PF +的最大值为 ；若P 使212PM PF +最小，则P 点坐标为 .37. 已知实数,x y 满足：222220x y x y ++--=，则2x y +的最大值是 ; 13y x ++的取值范围是 ；点(0,1)与圆上点的距离的最小值是 .38. 已知实数,x y 满足：2233x y +=,则222x y xy +-的取值范围是 .13y x ++的取值范围是 ；点(),P x y 到直线240x y --=的距离的最小值为 .39.已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则23x yz -=的最大值是 ；22(1)(1)x y ++-的最大值是 ；1y x+的取值范围是 .40. 在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4200x y s y x y x 下，当53≤≤s 时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是（ ）A. ]15,6[B. ]15,7[C. ]8,6[D. ]8,7[41. 是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由. (1)渐近线方程为2020x y x y +=-=及；（2）点(5,0)A 到双曲线上动点P42. 如图，已知椭圆122-+m y m x =1(2≤m ≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A 、B 、C 、D ，设f (m )=||AB |－|CD || (1)求f (m )的解析式； (2)求f (m )的最值13. 直线与圆锥曲线的位置关系43. 直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，则m 的取值范围是 .44. 设双曲线22221(0)x y a b a b-=>，的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于A ，若FA 与双曲线的左右支都相交，则离心率e 的取值范围是 .45. 过点()01，与抛物线2(0)y mx m =>只有一个公共点的直线有 条.14弦长与中点问题弦长公式 设圆锥曲线:(,)0C f x y =与直线:l y kx b =+相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则弦长AB 为： 1212AB x y =-=- 注：若弦AB 过圆锥曲线的焦点F ，则可用焦半径求弦长． 中点问题解法 1）点差法2）联立方程，用韦达定理求解.46. 已知双曲线22:12y C x -=，过点()3,0A 作直线l 与C 交于P Q 、两点，若PQ 的长等于双曲线C 的实轴长的4倍，求l 的倾斜角.47. 给定双曲线2222x y -=（1）过点(2,1)B 的直线l 与所给双曲线交于12P P 、两点，求线段12PP 中点的轨迹方程；（2）过点(1,1)B 能否作直线m ，使m 与所给双曲线交于两点12Q 、Q ，且点B 是线段12Q Q 的中点？若能，求出其方程，若不能，说明理由.48. 设()()1122,,A x y B x y 、两点在抛物线22y x =上，l 是AB 的垂直平分线. （1）当且仅当12x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ，证明你的结论； （2）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围.15 求值与求取值范围49. 直线l ：1+=kx y 与双曲线C ：1222=-y x 的右支交于不同的两点A 、B 。
人教A版高二数学选修2-1圆锥曲线基础练习讲义
圆锥曲线基础练习 一、选择题： 1．设P 是双曲线22143y x -=上的动点，则P 到该双曲线两个焦点的距离之差为（ ） ()A 4 ()B 23 ()C 25 ()D 272．已知椭圆22221y x a b+=()0a b >>分别过点()2,0A 和()0,1B -，则该椭圆的焦距为（ ）()A 3 ()B 23 ()C 5 ()D 25 3． R θ∈，则方程224sin y x θ+=表示的曲线不可能是（ ） ()A 圆 ()B 椭圆 ()C 双曲线 ()D 抛物线4．若双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的离心率为5，则其渐近线方程为（ ）. ()A 6y x =± ()B 6y x =± ()C 2y x =± ()D 2y x =±5．抛物线 24y x = 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当FPM 为等边三角形时，其面积为( ) ()A ()B ()C ()D6．已知直线1y kx =+与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)4y x b b +=>总有公共点，则b 的取值范围是 ()A (1,2) ()B ()1,+∞ ()C [)1,+∞ ()D [)1,27．椭圆C 的焦点在x 轴上，一个顶点是抛物线 2:16E y x = 的焦点，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，则椭圆的离心率为 （ ）()A 12 ()B ()C ()D8．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）()A ()B 1 ()C ()D 29．若椭圆C ：22143y x +=的左焦点为F ，点P 在椭圆C 上，则PF 的最大值为（ ）()A 1 ()B 3 ()C 5 ()D 7二、填空题：10. 设12,F F 为椭圆221259y x +=的焦点，P 为椭圆上一点，则12F PF ∆的周长为 11. 已知双曲线()222103y x a a-=>的离心率为2a ，则该双曲线的渐近线方程为12．若过抛物线28y x =的焦点，且倾斜角为3π的直线交抛物线于A ，B ，则AB =13．双曲线22221y x b a+=的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是。
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高二数学圆锥曲线基础练习题（一）一、选择题：１.抛物线x y 42=的焦点坐标为 ﻩ ( ） A ．)1,0( ﻩＢ.)0,1( C ． )2,0(D ．)0,2(2．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = （ ）ﻩA.14-ﻩB ．4- C.4 D ．143.双曲线221916x y -=的一个焦点到渐近线距离为 （ )ﻩA ．６ B.5 C ．4 D.3４．已知△ＡBC 的顶点Ｂ、C 在椭圆错误!＋ｙ2=１上,顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是 （ ） ﻩA.2＼ｒ(，3） ﻩB.６C.4 3 ﻩD ．1２5.已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4,则m 等于 ﻩ( ) A.4 ﻩＢ．5 C ．7 ﻩD.86.已知P 是双曲线22219x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=． 设 12F F 、分别为双曲线的左、右焦点. 若23PF =，则1PF = ﻩ( ) ﻩA ． 5 ﻩB.４ ﻩC ．3 ﻩD ．27．将抛物线2(2)1y x =-+按向量a 平移，使顶点与原点重合，则向量ａ的坐标是（ ) ﻩA.(2,1)--B ．(2,1) ﻩC.(2,1)-D ．(2,1)-8．已知双曲线的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ,P 是此双曲线上的一点，且21PF PF ⊥,12||||2PF PF ⋅=,则该双曲线的方程是 ﻩ（ ）A.13222=-y x ﻩＢ．12322=-y x ﻩC.1422=-y x D ．1422=-y x 9．设11229(,),(4,),(,)5A x yBC x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点,则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的 ﻩ( ) ﻩA.充要条件 ﻩＢ.必要不充分条件１0.已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点,且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于 ﻩ（ )A.24 ﻩB.36 ﻩC.48 ﻩD ．96１1.已知点Ｐ在抛物线24y x =上,那么点P 到点Q （２,-1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为 ﻩﻩ（ ）A ．（14,-1) Ｂ.(14，1) ﻩC.(1，2) Ｄ．(1，－2)１2．设P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点,1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点,则以线段2PF 为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是（ ）ﻩA.内切ﻩB ．外切 C.内切或外切ﻩＤ.不相切二、填空题:１3．点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到直线1-=x 的距离和的最小值是ﻩ ﻩ;1４．已知Ｐ是椭圆2214x y +=在第一象限内的点,Ａ(2，0）,Ｂ（0,1)，O 为原点，求四边形O ＡPB 的面积的最大值_____＿___;15.已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ；1６.若直线03=-+ny mx 与圆322=+y x 没有公共点，则n m ,满足的关系式为_______;以(ｍ，n ）为点Ｐ的坐标,过点P 的一条直线与椭圆13722=+y x 的公共点有_＿_＿个。
三、解答题:1７．已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ，焦点在ｘ轴上,若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3. (I ）求椭圆的标准方程；（II)设直线l :m x y +=,是否存在实数m,使直线l 椭圆有两个不同的交点M 、Ｎ,且AN AM =,若存在,求出 m 的值；若不存在，请说明理由.１8．如图，椭圆by a x 222+=1（a ＞b>0）与过点A （2,0）B （０,1)的直线有且只有一个公共点Ｔ，且椭圆的离心率23=e . （I)求椭圆方程；(ＩＩ）设Ｆ1、F 2分别为椭圆的左、右焦点,求证:2121||||||2AT AF AF ＝.19．已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234x y +=上,对角线BD 所在直线的斜率为1.(Ⅰ）当直线BD 过点(01)，时，求直线AC 的方程; (Ⅱ）当60ABC ∠=时，求菱形ABCD 面积的最大值.２0．已知△OFQ 的面积为26OF FQ m ⋅=. （I)646m ≤≤求OFQ ∠正切值的取值范围; (II)设以O 为中心，Ｆ为焦点的双曲线经过点Q （如图),26||,1)OF c m c ==-,当 ||OQ 取得最小值时, 求此双曲线的方程。
21．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是102０m,试确定该巨响发生的位置．(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)22.已知抛物线C :22y x =,直线2y kx =+交C 于A B ，两点,M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N .（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(Ⅱ）是否存在实数k 使0=⋅NB NA ,若存在,求k 的值；若不存在,说明理由．参考答案一、选择题 １．B ．2.A.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为2214x y -+=，∴ m ＝14-．3．C.4．C. 由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得ABC ∆的周长为4ａ=35．D ．由题意,得 24c =,2c =.222,10a m b m =-=-，代入222a b c =+,有2104,m m -=-+即8m =.6.Ａ. 由课本知识,得知双曲线的渐近线方程为30x ay -=,或者30x ay +=.与已知的渐近线方程30x y -=对应，立得正数1a =．显然,由双曲线定义有122PF PF a -=，所以15PF =.7.A. 将抛物线方程配方，得2(2)1x y -=-．画图，知道a (2,1)=--． 8．C.显然双曲线的特征量5c =21PF PF ⊥得，222124PF PF c +=.对于关系122PF PF a -=,两边平方，得22444c a -=,即2214a c =-=，于是21b =．从而双曲线的方程是1422=-y x . 9.A.1０.Ｃ.∵双曲线22:1916x y C -=中,3,4,5a b c ===, ∴()()125,0,5,0F F - ∵212PF F F =,∴12261016PF a PF =+=+=. 作1PF 边上的高2AF ,则18AF =．∴26AF == ∴12PF F ∆的面积为12111664822PF PF ⋅=⨯⨯=. 11．A .将点Ｐ到抛物线焦点距离转化为点P 到准线距离，容易求得当PQ ∥x 轴时，P 到点Q （2，-1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小，令1y =-，得14x =,故点Ｐ 为(14，-１),选A. 1２．Ｃ. 利用双曲线的定义，通过圆心距判断出当点P 分别在左、右两支时,两圆相内切、外切. 二、填空题13.2 ．由于x y 42=的准线是1-=x ，所以点p 到1-=x 的距离等于P 到焦点F 的距离，故点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到x =1-的距离之和的最小值是2=FA . 14．21５．２． 由抛物线21y ax =-的焦点坐标为1(0,1)4a -为坐标原点得，14a =,则2114y x =- 与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)--，则以这三点围成的三角形的面积为14122⨯⨯=.16．0<ｍ2+ｎ2<3, 2. ∵直线mx+n ｙ-3=0与圆x 2+y ２=3没有公共点,∴3＼ｒ(m 2+n 2)>错误!，解得０<m ２+ｎ２<３.∴错误!,即点P(m ,ｎ)在椭圆内部,故过P 的直线必与椭圆有两个交点. 三、解答题17.（I ）依题意,设椭圆的方程为,1222=+y ax 设右焦点为(c,０），则3222=+c ------－----4分2=∴c a 2=b 2+ｃ2=３-------－--－-------－--－6分 ∴椭圆方程为1322=+y x .(II ）设M(x 1,y 1),N(ｘ2,y 2）, 由 22,1,3y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得４ｘ2+6m ｘ+3ｍ2-3=０. 当判别式△>0 时,4)1(3,2322121-=⋅-=+∴m x x m x x221my y =+∴ ----－--－-----－-9分 AN AM = 22222121)1()1(++=++∴y x y x∴)22(23+-=-mm , 故 m ＝2,但此时判别式0=∆，∴满足条件的m 不存在． -－－-----－------－--１2分 1８.解：(Ⅰ)过 A 、B 的直线方程为 12x y +=.ﻫ由题意得22221112x y a b y x ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-+⎪⎩有惟一解． ﻫ即2222221()04b a x a x a b +-+=有惟一解,所以 2222(44)0(0),a b a b ab ∆=+-=≠ -－-－-----------－-－3分 故22440a b +-=.因为2c =,即22234a b a -= , 所以224a b = 从而, 得 2212,,2a b ==ﻫ故所求的椭圆方程为22212x y +=. ---－-－－－---－－－--－-6分ﻫ（Ⅱ）由(Ⅰ)得c =, 所以12(F F . 由 22221112x y a b y x ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-+⎪⎩ 解得 121,x x ==, --－--－----------－-9分因此1(1,)2T =． 从而 254AT=，因为1252AF AF ⋅=， 所以21212AT AF AF =⋅. -----------－--－---12分 19.解：(Ⅰ)由题意得直线BD 的方程为1y x =+.因为四边形ABCD 为菱形,所以AC BD ⊥． 于是可设直线AC 的方程为y x n =-+．由2234x y y x n⎧+=⎨=-+⎩，得2246340x nx n -+-=.-－----－-----－-----2分 因为A C ，在椭圆上,所以212640n ∆=-+>,解得n <<． 设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，,则 1232nx x +=,212344n x x -=,11y x n =-+,22y x n =-+. 所以 122ny y +=. ---------------－--4分 所以AC 的中点坐标为344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，. 由四边形ABCD 为菱形可知,点344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，在直线1y x =+上, 所以3144n n=+，解得2n =-. 所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=． -－---－－-----－----7分 （Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形,且60ABC ∠=,所以AB BC CA ==.所以菱形ABCD的面积2S =. ------------－-----9分 由(Ⅰ)可得22221212316()()2n AC x x y y -+=-+-=，所以2316)433S n n ⎛=-+-<< ⎝⎭. 所以当0n =时，菱形ABCD的面积取得最大值－---－－---－-------1２分２0．解:（I ）设OFQ θ∠=, 则||||cos()1||||sin 2OF FQ mOF FQ πθθ⎧⋅-=⎪⎨⋅⋅=⎪⎩tan m θ⇒=- . -－－----------－-3分6m ≤≤,4tan 1θ∴-≤≤-. －----------－---－--５分(II ）设所求的双曲线方程为221111221(0,0),(,),(,)x y a b Q x y FQ x c y a b-= >> =-则∴11||||2OFQ S OF y ∆=⋅= ∴1y c=±． 又∵OF FQ m ⋅=,∴2111(,0)(,)()(14OF FQ c x c y x c c c ⋅=⋅-=-⋅=- )． -－－--－----－----－-9分211,||x OQ x∴= ∴==当且仅当4c =时，||OQ 最小,此时Q 的坐标是或22222266141216a ab b a b ⎧⎧-==⎪⎪∴ ⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎩, 所求方程为221.412x y -= －-－－－－---－-－------12分 ２1.解:如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为ｘ轴、y 轴正向,建立直角坐标系.设A 、B 、Ｃ分别是西、东、北观测点，则A(-10２0,0）,B （1020，０)，C(０,1020). -－----－－-－-3分 设P （x ,y ）为巨响发生点，由A 、Ｃ同时听到巨响声，得｜PA|＝｜PC|,故P 在AC 的垂直平分线P Ｏ上,P Ｏ的方程为y =-x ，因B 点比A 点晚4ｓ听到爆炸声,故 ｜PB|－｜P Ａ｜=３40×４＝13６0． ---－--------－--－-－6分由双曲线定义知Ｐ点在以Ａ、Ｂ为焦点的双曲线22221x y a b-=上,依题意得a =6８０,ｃ＝10２0,∴b 2=c 2-a 2＝10２02-6８02＝５×3402，故双曲线方程为错误!. －----－－－－--９分 用y =-x 代入上式，得ｘ=±６80５， ∵|P Ｂ|>|ＰA|,∴ｘ=-68０错误!，y ＝68０错误!, 即P （－68０＼ｒ(５）,6８05), 故PO ＝68010.答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心680１0 m 处. --－-－--－-－---－--－－12分２2． 解：(Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，, 把2y kx =+代入 22y x =得2220x kx --=， －－----－-－由韦达定理得122k x x +=,121x x =-, ∴1224N M x x k x x +===， ∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫⎪⎝⎭，.设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=,------------------5分 直线l 与抛物线C 相切,2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭,m k ∴=．即l AB ∥. --－－------－-－-----7分 (Ⅱ)假设存在实数k ，使0NA NB =,则NA NB ⊥.又M 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=． －--－-－－--－－-------9分由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥x 轴,22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=． ---－－－--------－－--１2分.2,16141816.16121)1(4)2(14)(1||1||2222222212212212±=+⋅+=+∴+⋅+=-⨯-⋅+=-+⋅+=-⋅+=k k k k k k k k x x x x k x x k AB 解得又即存在2k =±,使.0=⋅ ------－---－－－-----1４分。