代数选讲
高等代数选讲 第一讲 数域P上的一元多项式环
5. 设c是非零常数,则有c f ( x) | f ( x).
14
例1 证明：xd 1 | xn 1 d | n. 例2 证明：x a | xn an ,又问何时x a | xn an？ 例3 求g(x)=x4+x2+1 整除f(x)=x3m x3n1 x3t2
的条件. (或者 g(x)=x2+x+1）
15
七、最大公因式
设f ( x), g( x)是两个多项式,如果多项式( x) | f ( x), 且 ( x) | g( x),则( x)称为f ( x)与g( x)的一个公因式.
定义6 设f ( x), g( x) P[ x],如果有d( x) P[x],满足 下列条件 :
1) d( x) | f ( x), d( x) | g( x); 2) 若h( x) | f ( x), h( x) | g( x), 都有h( x) | d( x). 则称d( x)是f ( x)与g( x)的一个最大公因式.
例如 对于任意多项式 f (x), f (x)就是 f (x)与0的 一个最大公因式.
u( x) f ( x) v( x)g( x) 1
定理4 若( f ( x), g( x)) 1,且 f ( x) | g( x)h( x),则 f ( x) | h( x).
推论1 若f1 ( x) | g( x), f2 ( x) | g( x),( f1( x), f2 ( x)) 1, 则 f1 ( x) f2 ( x) | g( x).
当 f (x), g(x)不全为零时, 用记号( f (x), g(x))来表 示 f (x)和g(x)的首项系数为1的最大公因式.
高等代数选讲心得体会.doc
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高等代数选讲是学习数学的一部分，也是本学期的重要课程。
上课的过程中，老师不
仅讲解了高等代数的概念，还结合例题，帮助我们更加深入地掌握和理解高等代数。
首先，我主要学习到基本概念和方法。
老师把多元函数的分析和微积分的算法结合起来，辅以丰富的例子，使我们更好地理解和深入研究多元函数分析中各种级数和積分的性质，建立起多元数学抽象层次的理解能力，使我们有效地掌握了多元分析的方法。
其次，我还学习到了如何解决复杂的高等代数问题。
在老师开设的高等代数选讲课上，我们学习拆解复杂的问题，以便将大的题分解为多个有系统的小问题，然后分析每个小问题，最后总结出答案。
这样有计划的、分级分多的解决问题方法，极大地促进了我们解决
类似问题的能力。
最后，老师还教导了我们如何熟练地使用各种计算机软件以及数学分析和表示软件，
提高问题解决能力，以便更有效地表示和解释处理复杂数学难题。
总之，在高等代数选讲课上，老师给了我们许多重要的知识点，使我们对高等代数的
思想有了更深入的理解，对解决复杂的数学问题的技巧有了更多的了解，使我们有了有效
的计算机软件使用技巧，以便有效地解决问题。
因此，这门是课是我学习历程中很有价值
的课程。
高等代数选讲课程标准
高等代数选讲课程标准课程目标1：本课程是专业基础课高等代数的深化和提高。
通过本课程的学习，使学生对高等代数各个知识模块之间有一个系统的理解和掌握，对该课程中的基本概念、基础知识与基本理论等进行巩固、加深、提高，使学生对所学的高等代数知识能做到触类旁通。
课程目标2:通过本课程的学习，使学生具有更好的空间想象能力，具备更强的计算能力、分析问题解决问题的能力；加强数学的证明能力，进一步培养学生应用数学知识的能力。
加强本课程所涉及的抽象思维的重要思想方法的培养，为后续研究生阶段相关学科的学习以及自主学习与职后发展奠定坚实的基础。
课程目标3:了解高等代数的发展历史，提升学生的数学文化素养。
初步了解高等代数在中国的发展历史，并利用老一辈代数学家的典型事迹进行恰当的课程思政教育。
了解高等代数课程在数学专业中的基础地位和作用，了解高等代数课程在其他科学（如物理学、计算机科学、经济学等）的作用和联系。
课程目标4:培养学生的终身学习和专业发展意识，能在高观点下处理初等代数教学中的相关问题。
同时，通过课前预习、课堂启发、课后作业等方式，提升学生的数学思维能力和逻辑推理能力以及学生自主学习与职后发展的能力。
三、课程目标与毕业要求的关系八、课程目标达成度评价参考《数学学院课程目标达成度评价方法》进行评价。
九、本课程各个课程目标的权重依据第八部分中的课程目标达成度评价方法，计算得到本课程的各个课程目标的权重如下:根据学生的课堂表现、平时作业、平时测验情况及教学督导的反馈，检验学生对本课程涉及的学科素养和学会反思的达成情况，及时对教学中的不足之处进行改进，调整教学指导策略；根据学生的课堂表现、平时作业、平时测验及期末考试成绩，检验本课程所支撑的毕业要求分解指标点的达成度情况；根据本课程所支撑的毕业要求分解指标点的达成度情况,参考优秀专业经验，在学院教学指导委员会指导下，重新修订本课程大纲，实现持续改进。
十一、推荐教材及参考书目1.推荐教材北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编，《高等代数》（第五版），北京：高等教育出版社，2019.2.参考书目张禾瑞,郝一新,《高等代数》（第五版），北京：高等教育出版社，2007.姚慕生吴泉水谢启鸿编著，《高等代数学》（第三版），上海：复旦大学出版社,2019年。
初中数学-代数综合选讲
开口朝上时，最小值情况
y
y
7
7
7
6
6
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
–5 –4 –3 –2 –1 O
–1
1
x
1
2
3
4
5
–5 –4 –3 –2 –1 O
–1
1
x
1
2
3
4
5
–5 –4 –3 –2 –1 O
–1
–2
–2
–2
x=a
x=b
x=a
x=b
x
1
2
3
4
5
x=a
x=b
开口朝上时，考虑最小值，则考虑对称轴在范围的右中左三种情况： 1、对称轴在范围右侧，在x=b时取最小值 2、对称轴在范围中间，在顶点处取得最小值 3、对称轴在范围左侧，在x=a时取最小值 （开口朝下是，考虑最大值同理）
7 6 5 4 3 2 1
–5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2
7
6
5
4
3
2
1 x
1
2
3
4
5
–5 –4 –3 –2 –1 O
–1
–2
x
1
2
3
4
5
7 6 5 4 3 2 1
–5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2
x
1
2
3
4
5
二次函数与直线交点情况，无非是上面三种情况： 1、相离，0个交点 2、相切，1个交点 3、相交，2个交点 判断方法是：联立直线与抛物线解析式，消去y后关于x的一元二次方程判别式△=b2-4ac判定
高等代数选讲讲义
高等代数选讲信阳师范学院数学与信息科学学院2006年9月目录第一讲 带余除法 (1)第二讲 不可约多项式 (5)第三讲 互素与不可约、分解 (9)第四讲 多项式的根 (13)第五讲 典型行列式 (17)第六讲 循环行列式 (21)第七讲 特殊行列式方法 (26)第八讲 解线性方程组 (31)第九讲 分块矩阵与求秩 (36)第十讲 矩阵的分解与求逆 (40)第十一讲 广义逆与特殊矩阵对关系 (45)第十二讲特征值、对角线与最小多项式 (51)第十三讲向量的线性相关与自由度 (56)第十四讲双线性型与正定二次型 (61)第十五讲线性空间及其几何背景 (66)第十六讲欧氏空间和正交变换的意义 (71)第十七讲线性变换的核与象 (76)第十八讲线性变换的特征与不变子空间 (81)第一讲 带余除法定理1（带余除法）∀f (x ), g (x )≠0 ∈P [x ]，则有f (x )=g (x )s (x )+r (x )其中r (x )=0或∂(r (x ))＜∂(g (x ))，r (x )，s (x )∈P [x ]定理2 g (x )|f (x )⇔r (x )=0(x －a )|f (x )⇔f (a )=0带余除法可将f (x )，g (x )的性质“遗传”到较低次的r (x )，也可将g (x )，r (x )的性质“反馈”到较高次的f (x )。
边缘性质：若满足某个条件C 的多项式存在，则一定存在一个次数最低的满足条件C 的多项式。
反过来，满足条件D 的多项式次数不超过m ，则这样的集中一定有一个次数最大的。
根据带余除法和边缘性持，创造了求最大公因式的辗转相除法。
可以证明最小公倍式也是存在的，还可以得到更多的其它结论。
例1 a 是一个数，f (x )∈P [x ]且f (a )=0，则P [x ]中存在唯一首项系数=1且次数最低的多项式m a (x )： m a (a )=0证作：Sa ={g (x )∈P [x ]|g (a )=0}那么S ≠φ，故S 中存在一个次数最低且首系=1的多项式m a (x )，现设m (x )也是满足条件的多项式，那么∂(m (x ))=∂(m a (x ))所以∂(m (x )－(m a (x ))＜∂(m a (x ))令 r (x )=m (x )－m a (x )则r (a )=0，得r (x )=0，所以m (x )=m a (x )，唯一性证毕。
高等代数选讲复习资料
高等代数选讲复习资料 一、单项选择题1 、如果AA -1=A -1A =I ，那么矩阵A 的行列式|A |必有（ A ）。
A 、|A |≠0 B 、|A |≠1 C 、|A |=0 D 、|A |=12、设A ，B 为数域F 上的2n 阶方阵，下列等式不成立的是（ A ）。
A 、|A +B |=|A |+|B | B 、|A |=|-A | C 、|kA |=k 2n |A | D 、|AB |=|A ||B |3、A 为正交矩阵，则A =（ B ）。
A 、0B 、1C 、-1D 、24、A ，B ，C 是同阶方阵，且ABC = I ，则必有（ C ） （A ） CB = A -1 （B ） AC = B -1 （C ） AB = C -1 （D ） BA = C -15、设A 为数域F 上的n 阶方阵，满足A 2+2A =0，则下列矩阵哪个可逆（ C ）。
A 、A B 、A -I C 、A +I D 、A -2I6、若矩阵A ，B 满足AB =I ，则（ C ）。
A 、A 不可逆或B 不可逆 B 、A 不可逆且B 不可逆C 、A 可逆且B 可逆D 、以上结论都不正确 7．设向量组123,,ααα线性无关。
124,,ααα线性相关，则（ D ）。
（A ）1α必可由234,,ααα线性表示 （B ）2α必可由134,,ααα线性表示 （C ）3α必可由123,,ααα线性表示 （D ）4α必可由123,,ααα线性表示 8．3R 中下列子集不是3R 的子空间的为（ A ）。
（A ）321231{(,,)|1}w x x x x =∈=R （B ）33123123{(,,)|}w x x x x x x =∈==R （C ）311233{(,,)|0}w x x x x =∈=R （D ）34123123{(,,)|22}w x x x x x x =∈=-R 9．下列集合中，是3R 的子空间的为（ B ），其中123(,,)x x x α'= （A ）{}10x α< （B ）{}1230x x x α-+=（C ）{}11x α=- （D ）{}1231x x x α++=10．已知矩阵A 的特征值为1,2,3-，则B A I =+的特征值为（ A ）。
《高等代数选讲》教学大纲
高等代数选讲Selected Topics in Advanced Algebra一、课程基本情况课程类别：专业任选课课程学分： 2 学分课程总学时：32学时，其中讲课：32 学时课程性质：选修开课学期：第7学期先修课程：高等代数适用专业：信息与计算科学数学与应用数学统计学教材：无开课单位：数学与统计学院数学系二、课程性质、教学目标和任务《高等代数选讲》是数学类各专业继《高等代数》之后的一门专业选修课，《高等代数》是大学数学专业的重要基础课程，它对后续知识的学习及学生的运算能力、逻辑推理能力、抽象概括能力的培养等都起着非常重要的作用。
该门课程有概念抽象、方法繁多、各模块知识联系紧密、系统性强的特点，加之题目浩如烟海，处理问题的方法纷繁多变，因而许多学生学习时感觉存在一定困难。
为了使学生加深对高等代数课程内容的理解，帮助他们掌握该课程处理问题的方法与技巧，进而提高他们分析与解决综合问题的能力，我们在数学专业学生中开设了《高等代数选讲》这一选修课程。
通过这门课的学习，使学生熟悉《高等代数》中一元多项式理论；行列式、线性方程组理论及解法；矩阵理论；线性空间与线性变换的概念和性质；欧氏空间的结构及性质等基本概念、基本理论和基本方法，同时通过一些综合题的讲解，使学生受到进一步的代数方法的严格训练，为学生考研及学习后继课程打下坚实基础。
三、教学内容和要求第1章、多项式（4学时）（1）了解带余除法和因式分解定理；（2）理解辗转相除法和不可约多项式；（3）掌握多项式互素的性质和Eisenstein判别法的应用。
重点：整除和因式分解理论；难点：根理论。
第2章、行列式（4学时）（1）了解行列式的定义；（2）理解行列式的性质；（3）掌握常用的行列式计算方法。
重点：行列式的计算；难点：代数余子式的性质。
第3章、线性方程组与矩阵（6学时）（1）了解矩阵分块的意义与基本方法；（2）理解向量组的线性相关性，线性方程组解的结构；（3）掌握线性方程组的解法，逆矩阵的求法。
代数选讲教学大纲
《代数选讲》教学大纲一、课程名称：《代数选讲》二、课程的性质:数学与应用数学以及信息与计算机科学专业限选课三、先修课程：高等代数四、课程教学目的本课程是专业选修课，进一步提高代数修养开设的代数方面的提高课。
目的和任务是：对高等代数的知识重新认识、理解，弄清主要知识的内在联系，牢固掌握解题的基本方法与基本技巧，特别要掌握一些有用的新方法与新技巧。
课程包括多项式理论和线性代数两大部分，共七讲（多项式、行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、线性变换、 --矩阵、欧氏空间、二次型）五、课程教学原则与教学方法以课堂讲授为主要形式，采用讨论式、研究式的教学方法，充分调动学生学习的主动性和积极性。
教学内容重点突出基本知识与基本技能，既传授知识，又教书育人，注重培养学生的能力与素质。
六、课程总学时本课程秋季学期教学时数为每周4学时，计划教学周数16.5周，总学时为66学时；本课程学分为4学分。
七、课程教学内容要点建议分配学时第一讲行列式本讲要点：行列式的性质；行列式的计算方法。
第二讲线性方程组本讲要点：消元法；向量的线性相关性；线性方程组的结构。
第三讲矩阵本讲要点：矩阵及其运算、伴随矩阵与逆矩阵；矩阵的秩；分块阵；矩阵分解。
第四讲二次型本讲要点：概念、标准型；正交阵、实对称阵的正交标准形；正定二次型。
第五讲向量空间本讲要点：线性空间的概念、基、维数、坐标；子空间、运算、直和。
线性变换及其矩阵表示；特征值与特征向量；值域、核、不变子空间。
不变因子、行列式因子、初等因子和最小多项式；凯莱定理、若当标准形、与对角阵相似条件。
第六讲欧氐空间本讲要点：欧氏空间、标准正交基；正交变换。
第七讲多项式本讲要点：多项式概念、因式、最大公因式、不可约多项式；多项式函数、多项式的根。
八、教材及学生参考书1、黎伯堂，刘桂真，高等代数解题技巧与方法，山东科学技术出版社，1999年.2、钱吉林，“高等代数题解精粹”，中央民族大学出版社，2002年.参考资料1.王品超，“高等代数新方法”（上册），山东教育出版社，1989年.2.王品超，“高等代数新方法”（下册），中国矿业大学出版社，2003年6月.3.杨子胥，“高等代数习题解”（修定版）上册，山东科学技术出版社，2002年.4.杨子胥，“高等代数习题解”（修定版）下册，山东科学技术出版社，2002年.5.徐德余，“高等代数标准化试题库”，电子科技大学出九、课程考试与评估期末考试，占百分之六十，平时成绩（考勤、作业、测验）占百分之四十1、考试标准(命题原则)：以检验考生掌握《高等代数》的基本概念，基本理论，基本方法和基本技巧的熟练程度为目的，兼顾考察考生的数学基础。
第一讲-高等代数选讲之多项式理论
4、一元多项式环 所有系数在数域P中的一元多项式全体称为数域P 上的一元多项式环，记为 P x ，称P为 P x 的系数域。 5、一元多项式环的有关结论 多项式的加、减、乘运算对P x 封闭，且多项式的 加法、乘法均满足交换律与结合律，乘法对加法满足分 配率，乘法还满足消去律。 6、注意零多项式和零次多项式的区别。 零次多项式：不为零的常数 零多项式：常数零
练习：
当a, b, c取何值时，多项式 f x 与g x 相等？
2
其中f x x 5, g ( x) ax 2 bx 1 cx 2 x 2
P4 例1.2.2 1.2.3
例3设 f ( x)是非零实系数多项式， k 是一个 k f ( f ( x ) f ( x) ，则 f ( x) 为零次 正整数，且 k f ( x ) x 多项式或者 。
其中 c 为任意常数。 （10）多项式 f x 与cf x 有相同的因式与倍式； （11）两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大 而改变。 5、综合除法 设以 g x x a 除 f x an xn an1xn1 a1x a0 , 所得的商 q x bn1xn1 b1x b0 ，及余式 r x c0 , 则 比较 f x q x g x r x 两端同次幂的系数得 bn1 an , bn2 an1 abn1,, b0 a1 ab1, c0 a0 ab0
一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分 解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式 存在定理、因式分解唯一性定理。在学习的过程中，如 能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一 元多项式的理论。 对于多元多项式，则要理解 n 元多项式、对称多项 式等有关概念，掌握对称多项式表成初等对称多项式的 多项式的方法。
高等代数考研选讲
高等代数考研选讲高等代数是数学中的一个重要分支，是研究各种代数结构及其性质的学科。
在考研中，高等代数是一个必修科目，考查学生对于代数基本概念、代数系数方程组解法、矩阵理论、群论等方面的掌握情况。
为了帮助考生更好地备战高等代数考研，我们来看一下高等代数考研选讲。
一、基本概念高等代数中有许多重要的概念，例如环、域、群、子群等。
这些概念都是代数学中不可或缺的基础内容。
在考研中，考试题目中通常会涉及这些概念，并要求考生熟练掌握它们的定义及性质。
二、代数系数方程组代数系数方程组是高等代数中的一个重要内容。
在考研中，会考查学生对于代数系数方程组的求解方法和理解程度。
在解代数系数方程组时，要熟练掌握高斯消元法、克拉默法则、行列式法则等基本方法和技巧，如何利用矩阵进行方程组的求解等。
同时，也要重点掌握如何应用线性方程组求解相关实际问题的方法和技巧。
例如，利用代数系数方程组解有关电路问题、统计学问题等等。
三、矩阵理论矩阵理论是高等代数中的重要内容。
在考研中，也会考查学生对于矩阵的基本概念、矩阵的性质、矩阵的逆、特征值、特征向量等方面的掌握情况。
在解题过程中，要善于运用矩阵的基本运算规律，应用矩阵的逆矩阵来解决方程组的求解问题，使得求解过程更为简单和高效。
四、群论群论是代数学中的一个强有力的工具。
在考研中，也会考查学生对于群的基本概念、群的性质、置换群、置换群的群作用、正规子群、左陪集、右陪集、群的同态、群的同构等方面的掌握情况。
在解题中，要注意掌握和应用群论的基本概念和原理，善于构造立体几何、置换群、正规子群、同态等问题，通过群论解决多种类型的代数问题。
五、综合运用高等代数的各个部分是相互联系和影响的，考研中的题目也经常会涉及到多个知识点的综合运用。
在解题的过程中，要注意分析题目的要求和条件，灵活运用各种方法和技巧，有时需要从不同的角度出发去寻找解题思路。
总之，高等代数是考研中重要的一门基础科目，能够为后续的科学研究打下坚实的基础。
《代数选讲》教学大纲
《代数选讲》教学大纲一、课程名称代数选讲二、课程的性质数学与应用数学、信息与计算科学专业的专业选修课，也是为参加硕士研究生考试的学生开设的代数学方面的提高课。
前修课程是《高等代数（一）》和《高等代数（二）》。
三、课程教学目的（一）课程目标在学生已修《高等代数》课程的基础上，旨在进一步提高学生对这门课程的整体认识，深刻理解并弄清主要知识点之间的内在联系，牢固掌握解题的基本方法与基本技巧，并补充考研需要的新内容，掌握有用的新方法与新技巧，从而提高分析问题和解决问题的能力。
（二）教学目标课程包括多项式理论和线性代数两大部分，共八讲（多项式、行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、欧氏空间、二次型、 -矩阵）。
第一讲行列式行列式是代数学的基本概念与工具，这一讲让学生深刻理解n阶行列式的定义、性质、几何意义和应用（Binet-Cauchy公式），熟练掌握行列式的常用计算方法。
第二讲线性方程组让学生了解线性关系是自然界中的最简单、最基本关系，非线性问题局部化后可化为线性问题。
熟练掌握向量的线性相关性、线性方程组有解判别、求解方法和解集合的结构（基础解系）。
第三讲矩阵让学生熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、求逆运算、转置运算、分块运算、求秩运算及相关结论，会做矩阵的重要和式分解、乘积分解，并会利用矩阵工具解决具体问题。
第四讲二次型让学生掌握二次型及相关概念，会用合同变换法和正交变换法化二次型为标准形（规范形）；会对实数域和复数域上的二次型做等价分类；会判定二次型的正定性。
第五讲线性空间与线性变换让学生熟练掌握线性空间及相关概念，会从向量的线性关系、基、子空间、线性映射等方面研究线性空间的结构；会做线性空间的直和分解；掌握线性变换及其矩阵表示；理解线性变换（矩阵）的特征值与特征向量、值域、核、不变子空间等概念的基础上能够求出相关值，会判断线性变换（矩阵）是否可以对角化；理解矩阵的相似关系及其性质与判别法。
《高等代数选讲》课程教学大纲(本科)
《高等代数选讲》课程教学大纲课程编号：07202课程名称：高等代数选讲英文名称：Selected Topics of Advanced Algebra课程类型：专业课课程要求：选修学时/学分：32/2（讲课学时：32；实验学时：0；上机学时：0）开课学期：7适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学授课语言：中文课程网站：无一、课程性质与任务高等代数选讲是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的一门学科基础课；通过本门课程的教学，提高学生对已开设的代数类课程的思想、方法、技巧等方面的认识，进一步提高学生综合运用高等代数中的各种理论解决问题的能力，以满足学生进一步深造及今后工作的需要。
二、课程与其他课程的联系先修课程：《高等代数》，《近世代数》，《矩阵分析》，《泛函分析》三、课程教学目标1．通过本课程的学习，应使学生掌握高等代数的基本理论和知识、方法等。
掌握多项式理论及利用这一理论研究一元n次方程求根问题；熟练掌握行列式理论、矩阵理论及向量空间理论, 利用这些理论解决线性方程组的解的存在性问题、数量问题、解的结构(公式解,通解,一般解) 问题；掌握解决二次型标准化的方法，解决二次型相关问题；掌握线性变换理论及线性变换或矩阵的标准形问题；理解向量空间的进一步结果即欧氏空间，以及线性空间的不变子空间分解方法等内容。
巩固并提高学生的基础知识、专业知识和研究方法，使学生了解本专业及相关领域最新动态和发展趋势，使其能够利用代数学理论解决综合性的理论或实际问题。
（支撑毕业要求指标点4.1）2．培养学生的抽象思维能力、创造思维能力和计算能力，还要特别注意综合运用、分析解决实际问题能力的训练。
使学生具有综合运用代数的理论知识对实际问题进行建模，提高学生解决实际问题的能力。
培养学生独立思考、深入钻研问题的习惯，鼓励学生对同一问题提出多种解决方案，培养学生勇于创新的能力。
使部分有考研意愿的学生能够从容的应付研究生的入学考试。
中学代数选讲共27页
中学代数选讲
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
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代数问题选讲
（湖南师范大学数学与计算机科学学院 吴仁芳 410081）
1． 已知n a a a ,,,21 是任意正实数,且满足121<+++n a a a .证
明:1111211
)1()1)(()1(+≤--++---n n n n n n
a a a a a a a a a .（IMO-39预选试题）
2． 设
n
为正整数,证明
:当
2
≥n 时,有
11
1)1
)(1(1211]1)1[(---<+++<-+n n
n
n n n n n .
3． 数列n a a a ,,,10 满足)1,,2,1,0(1,21210-=+==+n k a n
a a a k k k ，证明：
11
1<<-
n a n
.(1980年芬兰、英国、匈牙利和瑞典四国数学奥林匹克试题) 4． 设
C
B A ,,分别是复数ci z bi z ai z +=+==1,2
1,210对应的不共线的三点
(
c
b a ,,都
是
实数).证明:曲线
)(s i n s i n c o s 2c
o s 422
214
0R t t z t t z t z z ∈⋅+⋅+⋅=与ABC ∆中平行于AC 的中位
线只有一个公共点,并求出此点. (2003全国高中联赛试题) 5． 设平面直角坐标系XOY 中，y 轴正半轴上的点列}{n A 与曲线
)0(2≥=x x y 上的点列}{n B 满足n
OB OA n n 1
||||=
=，直线n n B A 在x 轴上的截距n a ，点n B 的横坐标为*∈N n b n ,.（Ⅰ）证明*+∈>>N n a a n n ,41.（Ⅱ）证
明有
*
∈N n 0，使得对任意
n n >，都有
20041123
12-<+++++-n b b b b b b b b n
n n n .(2004全国高中联赛试题)
6． 试问：当且仅当实数)2(,,10≥n x x x n 满足什么条件时，存在实数
n y y y ,,,10 ，使得2222120n z z z z +++= 成立.其中i iy x z k k k ,+=为虚数单
位，n k ,,2,1,0 =.证明你的结论.（1997年全国高中联赛试题）
7． 实数c b a ,,和正数λ使得c bx ax x x f +++=23)(有三个实数根321,,x x x ,且
满足)(21)2(;)1(21312x x x x x +>=-λ.求3
39272λ
ab
c a -+的最大值. (2002全国高中联赛试题)
8． 求使下列两式⎪⎩⎪⎨⎧-++>++<+++-⋅+-⋅2
222
22210
5)1(8)cos(8)(2cos 2b
b y bx y x b b b y x b y x b 对任何实数y x ,都成立的一切b 值.
9． 求最小正数λ，使得对于任意三角形的三边长c b a ,,，只需3
c
b a +≥
，就有)423(2222bc ab c b a c bc ac -+++≤-+λ.(1993年中国国家队测验试题)
10． 设]2,1[,,,,,,,2121∈n n b b b a a a ,且∑∑===n
i i
n
i i
b a 1
212
.求证:∑∑=≤n i i i i a b a 12
31017并
问等号成立的充要条件. (1998全国高中联赛试题)
11． C B A c b a ,,,,,是6个正实数，使得方程02=+-c bx ax 和02=+-C Bx Ax 有
实根.求证在方程02=+-c bx ax 的两实根之间的任一实数u 与在方程
2=+-C Bx Ax 的两实根之间的任一实数v 有下述不等式:
2
)2
())((B b v C u c Av au +≤++.（1994
年罗马尼亚数学奥林匹克试题）
12． m 个互不相同的正偶数与n 个互不相同的正奇数的总和为1987.对
于所有这样的m 和n ，3m+4n 的最大值是多少？请证明你的结论.（CMO-2试题） 13． 实
数
2
21,,,x x x 满足
2
0|-|20001
1k k
=∑=+k x x
，令
2
001,,2,1),(1
21 =+++=k x x x k
y k k .求∑=+-20001
1||k k k y y 的最大可能值.(2001
年上海市竞赛试题)
14．
k 是一个实数，对于任意实数x ，令1
1
)(2
424++++=x x kx x x f .(1)求)(x f 的最大值和最小值.(2)求所有实数k ，使得对每三个实数b a ,和c ，存在一个三角形，具有边长)(),(b f a f 和)(c f .(1994年保加利亚奥林匹克试题) 15． 已知正实数z y x ,,满足
211
11112
22=+++++z y x .求证：5
6
1112
22222≤+++++x z zx z y yz y x xy .（《中等数学》2010年第6期奥林匹克问题试题）
16． 已知对于一切正整数n ，∏=+≥-+
n
i n k
i 138192
)1311(都成立.试求k 的最大值.
17． 设n x x x ,,,21 与n a a a ,,,21 是满足条件：（1）;01
∑==n
i i x ；（2）∑==n
i i x 1
1||；
（3）n n a a a a a >≥≥≥121, 的任意两组实数.对于任意的2≥n ，试求使不等式)(||11n n
i i i a a A x a -≤∑=恒成立的A 的取值范围.
18． 如果)(x p 是一个n 次多项式，且对n k ,,2,1,0 =，有1
)(+=
k k
k p ，试确定)1(+n p .
19． 将多项式1)(78++=x x x f 在整数范围内分解因式.
20． 设实数多项式n n n a x a x x f +++=- 11)(的根为实数)2(,,,21≥n b b b n ，试
证：对于n
n b x b x b x n x f b b b x -++-+-≥+≥1
112)1(),,,,max(212
21 .
21． 给定复系数多项式n n n c z c z c z f +++=- 110)(，试证：存在复数0z ，适
合1||0≤z ,且|||||)(|00n c c z f +≥.。