2020年高三数学大串讲第19讲(数列单调性、奇偶项、存在性问题)(原卷版)

第19讲（数列单调性、奇偶项、存在性问题）

【目标导航】

中学研究的特殊数列只有等差数列与等比数列，一个是线性数列，一个是类指数数列，但数列性质却远远不止这些，因此新数列的考查方向是多样的、不定的，不仅可考查函数性质，而且常对整数的性质进行考查．明确考查方向是解决以新数列为背景的解答题的前提，恰当运用对应性质是解决问题思想方法． 【例题导读】

例1、设数列{}n a ()*n N ∈是公差不为零等差数列，满足2

369579,6a a a a a a +=+=；数列{}n b ()

*n N ∈的前n 项和为n S ，且满足423n n S b +=． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；

（2）在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1112,,b x b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数2122,x x ，使

221223,,,b x x b 成等差数列；……；在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,...,n n nm x x x ，使121,,,...,n n n nm n b x x x b +成等

差数列，

（i ）求11212212......n n n nm T x x x x x x =+++++++； （ii ）是否存在正整数,m n ，使1

2m n m

a T a +=成立？若存在，求出所有的正整数对(),m n ；若不存在，请说明理由．

例2、有限个元素组成的集合为{}12,,,n A a a a =L ，*n N ∈，集合A 中的元素个数记为()d A ，定义

{},A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +的个数记为()d A A +，当()()()()

12

d A d A d A A ⋅++=

，称

集合A 具有性质Γ．

（1）设集合{}1,,M x y =具有性质Γ，判断集合M 中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由； （2）设正数列{}n d 的前n 项和为n S ，满足1123n n S S +=+

，其中11

3

d =，数列{}n d 中的前2020项：1232020,,,,d d d d L 组成的集合{}1232020,,,,d d d d L 记作D ，将集合D D +中的所有元素

()*123,,,,k t t t t k N ∈L 从小到大排序，即123,,,,k t t t t L 满足123k t t t t <<<

（3）已知集合{}12,,,n C c c c =L ，其中数列{}n c 是等比数列，0n c >，且公比是有理数，判断集合C 是否具有性质Γ，说明理由．

例3、已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(

)2

*

241n n n a a S n N

+=-∈．

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2121

1

n n n n a b S S -++=

⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围；

（3）若()2

1

1,22,n n n

a n c n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数

为偶数

()*n N ∈，从数列{}n c 中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．

例4、已知n *∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n S a a +=-；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足

()1

12

n n n T b n n b +=++，且12a b =．

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设n

n n

a c

b =

，问：数列{}n c 中是否存在不同两项i c ，j c （1i j ≤<，i ，j *

∈N ），使i j c c +仍是数列{}n c 中的项?若存在，请求出i ，j ；若不存在，请说明理由．

例5、已知数列{}n a 的前n 项和n S ，对任意正整数n ，总存在正数,,p q r 使得1

n n a p -=，n n S q r =-恒成

立：数列{}n b 的前n 项和n T ，且对任意正整数n ，2n n T nb =恒成立． （1）求常数,,p q r 的值； （2）证明数列{}n b 为等差数列；

（3）若12b =，记3

1222224n n n n n b n b n b P a a a +++=

++ 1212222n n n n n n

n b n b a a ---+++⋯++，是否存在正整数k ，使得对任意正整数n ，n P k ≤恒成立，若存在，求正整数k 的最小值，若不存在，请说明理由．

例6、定义：若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“()M q 数列”．设数列{}n b 中131,7b b ==

（1）若24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11

22

n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为“()M q 数列”，并说明理由；

（3）若数列{}n b 是“(2)M 数列”，是否存在正整数,m n ，使得40394040

20192019

m n b b <<？若存在，请求出所有满足条件的正整数,m n ；若不存在，请说明理由．

例7、设数列A ：1a ，2a ，…N a (N ≥)．如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”．记“)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合． （1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出)(A G 的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ；

（3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2，3，…，N ），则)(A G 的元素个数不小于N a -1a ．

【反馈练习】

1．已知数列{}n a 的首项13a =，对任意的*n ∈N ，都有11(0)n n a ka k +=-≠，数列{}1n a -是公比不为1的等比数列．

（1）求实数k 的值；