优化模型.ppt
数学建模中的优化模型ppt课件
2
3
4
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大.
• 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，
那么最优的生产计划应作何改变？ 15
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
小型 钢材 1.5 时间 280 利润 2
中型 3
250 3
大型 5
400 4
现有量 600 60000
p(t)w(t) p(t)w(t) 4
每天利润的增值 每天投入的资金
保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售
由 S(t,r)=3 若 1.8 w 2.2(10%), 则 7 t 13（30%） 建议过一周后(t=7)重新估计 p, p, w, w, 再作计算。
13
研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g=0.1
• 设r=2不变
t 3 20 g , 0 g 0.15 g
t 对g的（相对）敏感度 30
t
S(t, g) Δ t / t dt g 20 Δ g / g dg t
S(t, g) 3 3 3 20 g
7
常用优化软件
1. LINGO软件 2. MATLAB优化工具箱 3. EXCEL软件的优化功能 4. SAS(统计分析)软件的优化功能 5. 其他
8
2.简单的优化模型
——生猪的出售时机
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。
市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。
均为整数，重新求解. 17
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记IP)
第四讲---多变量优化模型
2
函数存在唯一的驻点
(1) A是正定矩阵
对称矩阵
xmin A 1b, f min c bT A 1b
(2) A是负定矩阵
(2) a>0, 抛物线开口向下,
xmax b 4ac b 2 arg max{ f ( x)} , f max x 2a 4a
xmax A 1b, f max c bT A 1b
问题描述的一般形式
可行解集合
S {x n : gi (x) ci , i 1, 2,, m}
min{ f ( x)} n
x
数学建模～最优化模型(课件)
投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
《非线性最优化模型》课件
无约束优化模型
定义
无约束优化模型是指在没有任何约束条件限制下，寻找目标函数的最大值或最 小值。
求解方法
无约束优化模型的求解方法主要包括梯度法、牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法 等。这些方法通过迭代的方式逐步逼近最优解，利用目标函数的梯度信息或海 森矩阵进行搜索。
混合整数优化模型
特点
混合整数优化模型是指目标函数 和约束条件中同时包含连续变量 和整数变量，整数变量的取值只 能是整数。
《非线性最优化模型》ppt课 件
Байду номын сангаас
CONTENTS
• 非线性最优化模型概述 • 非线性最优化模型的分类 • 非线性最优化模型的求解方法 • 非线性最优化模型的实际应用
案例 • 非线性最优化模型的未来发展
与挑战
01
非线性最优化模型概述
定义与特点
总结词
非线性最优化模型是一种数学方法，用于解决具有非线性约束和目标的优化问题。
优点
收敛速度快，精度高。
缺点
对Hessian矩阵敏感，计算量大，可能面临数值稳定问题。
拟牛顿法
总结词
改进的牛顿法 01
详细描述
02 通过迭代更新Hessian矩阵近似值 ，构造拟牛顿矩阵，以实现牛顿 法的数值稳定性和收敛速度。
优点
数值稳定性好，收敛速度快。
03
缺点
04 需要存储和计算Hessian矩阵或其 近似值。
客户需求。
运输优化
非线性最优化模型可用于 优化运输路线和运输方式 ，降低运输成本并提高运
输效率。
采购优化
通过非线性最优化模型， 可以确定最佳供应商和采 购策略，以降低采购成本
并确保产品质量。
ppt4-最优化模型
【条件设置】 总成本必须是最小值； 月末库存 = 月初库存 + 本月生产量 – 需求量 月初库存 = 上月末库存 储存成本是每月末库存量之和与单位储存成本 之乘积； 各种生产方式每月的产量必须大于等于0； 每月的库存量不能小于0； 各种生产方式的月生产量不能大于其月生产能 力。
【例】 某移动通讯公司准备在一城市建立发射塔，该 城有4个地区，现有4个建塔位置，每个位置对各 地区的覆盖情况和费用如单元格区域 C2:G7 所示 （其中：1表示能覆盖该区域）。 （ 1 ）假设在每个位置都建塔，计算每个地区被 覆盖的次数和建塔总费用。 （ 2 ）用规划求解工具求解最优建塔位置（必须 确给保覆盖所有地区）和总费用的最小值。【发 射塔规划】
200
销地3 6 5
产地A 产地B
【例】 某农场主拥有两个农场，分别有 80 和 100 亩耕 地。他可用两个农场的全部耕地来种植玉米和小 麦。根据高层需求，他今年的生产指标是玉米 20000千克和小麦50000千克。两个农场的产量及 成本如下所示。该农场主应如何合理安排种植面 积。 【规划求解1】
P103
1、最优化问题分类 ▲根据有无约束条件可以分为： 有约束条件的最优化问题 即在资源限定的情况下求解最佳目标。 无约束条件的最优化问题 即在资源无限的情况下求解最佳目标。 ▲根据决策变量在目标函数与约束条件中出现的 形式可分为： 线性规划问题 目标函数与约束条件函数都是线性的。 非线性规划问题 目标函数与约束条件函数都是非线性的。
最优化模型
在生产、经营和管理中，经常遇到求最大值和 最小值的问题，如经济订货量等，这些都属于最 优化问题。 最优化问题是运筹学的一个重要分支，根据其 形式又分为： 数学规划 动态规划 网络规划
一、最优化问题概述 最优化问题就是在给定的条件下寻找最佳方案 的问题。最佳的含义包括两个方面： 在资源给定时寻找最好的目标 在目标确定下使用最少的资源
第一讲 优化模型·
• 0-1整数规划
0-1型整数规划
★变量xi 仅取值0或1，这时候 xi 成为0-1变量，或称二进制 变量（Excel中就是称作二进制变量）。 例 某8名实习生, 在生产流水线上按2人一队负责某产 品同一道工序, 共分成四队. 假设8名实习生两两之间组 队的工作效率如下表所示,由于对称性,只列出上三角部 分。为使工作效率最高, 问应如何组队?
1 2 B( b A( aij ) 4 0 i 0 4
1x1 2 x2 8 4 x1 0 x2 16 s.t . 8 0 x 4 x 12 1 2 ) 16 x 、 x 0 12 1 2
Ⅰ 设备 1 Ⅱ 2 8台时
例
一、引入决策变量
16kg 12kg
原材料A 原材料B
4 0
0 4
产品Ⅰ的生产量
x1
产品Ⅱ的生产量 x2
二、确定目标函数
max z 2 x1 3 x2
Ⅰ
设备 原材料A 原材料B 1 4 0
Ⅱ
2 0 4 8台时 16kg 12kg
从而，得到了如下模型：
三、约束条件的确定
优化模型的一般形式
目标
Min(或Max) z f ( x), x ( x1 , x n )T
约束
s.t . gi ( x) 0, i 1, 2,m
决策变量包含在数学表达式中
• 线性规划
线性规划
某工厂要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单 位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如 表所示。该工厂生产一单位产品Ⅰ可获利2元，生产一 单位产品Ⅱ可获利3元，问应如何安排生产，使其获得 最多收益？
ordU( X ) (U ( X 1 ),U ( X 2 ),....,U ( X p ))T s.t. g i ( X ) 0 hj (X ) 0
数学建模之优化模型
从最小规模的子问题开始，逐步求解更大规模的子问 题，最终得到原问题的最优解。
自顶向下求解
从原问题开始，将其分解为子问题，通过迭代求解子 问题，最终得到原问题的最优解。
状态转移方程
通过状态转移方程描述子问题之间的关系，从而求解 子问题和原问题。
动态规划模型的应用实例
最短路径问题
如Floyd-Warshall算法，通过动 态规划求解所有节点对之间的最 短路径。
遗传算法
03
模拟生物进化过程的自然选择和遗传机制，通过种群迭代优化
，找到最优解。
整数规划模型的应用实例
生产计划问题
通过整数规划模型优化生产计划，提高生产效 率、降低成本。
投资组合优化
通过整数规划模型优化投资组合，实现风险和 收益的平衡。
资源分配问题
通过整数规划模型优化资源分配，提高资源利用效率。
THANKS
需要进行调整和改进。
02
CATALOGUE
线性规划模型
线性规划模型的定义与特点
线性规划模型是数学优化模型的 一种，主要用于解决具有线性约 束和线性目标函数的优化问题。
线性规划模型的特点是目标函数 和约束条件都是线性函数，形式
简单且易于处理。
线性规划模型广泛应用于生产计 划、资源分配、投资决策等领域
背包问题
如0-1背包问题、完全背包问题和 多重背包问题等，通过动态规划 求解在给定容量的限制下使得总 价值最大的物品组合。
排班问题
如工作调度问题，通过动态规划 求解满足工作需求和工人技能要 求的最优排班方案。
05
CATALOGUE
整数规划模型
整数规划模型的定义与特点
定义
整数规划是一种特殊的线性规划，要求决策变量取整数值。
数学建模～最优化模型(课件ppt)
用MATLAB解无约束优化问题 解无约束优化问题
1. 一元函数无约束优化问题 一元函数无约束优化问题: min f ( x )
x1 ≤ x ≤ x 2
常用格式如下： 常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) ） （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options) ） （3）[x，fval]= fminbnd（…） ） ， （ （4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（…） ） ， ， （ （5）[x，fval，exitflag，output]= fminbnd（…） ） ， ， ， （ 其中等式（ ）、（ ）、（5）的右边可选用（ ） ）、（4）、（ 其中等式（3）、（ ）、（ ）的右边可选用（1）或（2） ） 的等式右边. 的等式右边 函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求 函数 的算法基于黄金分割法和二次插值法， 的算法基于黄金分割法和二次插值法 目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解. 目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解
有约束最优化问题的数学建模
有约束最优化模型一般具有以下形式： 有约束最优化模型一般具有以下形式：
min
x
f (x)
或
max
x
f (x)
st. ...... .
st. ...... .
其中f(x)为目标函数，省略号表示约束式子，可以是 为目标函数，省略号表示约束式子， 其中 为目标函数 等式约束，也可以是不等式约束。 等式约束，也可以是不等式约束。
标准型为： 标准型为：min F ( X ) 命令格式为: 命令格式为 ）；或 （1）x= fminunc（fun,X0 ）；或x=fminsearch（fun,X0 ） ） （ （ （2）x= fminunc（fun,X0 ，options）； ） （ ）； 或x=fminsearch（fun,X0 ，options） （ ） （3）[x，fval]= fminunc（...）； ） ， （ ）； 或[x，fval]= fminsearch（...） ， （ ） （4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）； ） ， ， （ ）； 或[x，fval，exitflag]= fminsearch ， ， （5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）； ） ， ， ， （ ）； 或[x，fval，exitflag，output]= fminsearch（...） ， ， ， （ ）
第一章组合优化模型【ppt】
第一章组合优化模型【PPT】第一章第一章模模型型§§1 关于模型关于模型1§§2 数学模型数学模型§§3 组合优化模型组合优化模型第一章第一章组合优化模型组合优化模型模型（模型（model ）是所研究的系统、过程、事物或）是所研究的系统、过程、事物或由于研究目的的不同，对于同一个对象系统，由于研究目的的不同，对于同一个对象系统，概念的一种表达形式概念的一种表达形式 .可以建立完全不同的模型，分别反映该系统的不同侧面；出于相同的研究目的，对于同一个对象系统，也可能建立不同的模型，反映不同的研究角度、考察因素和价值取向度、考察因素和价值取向.§§§§1 1 关于模型关于模型关于模型关于模型一、模型的概念一、模型的概念2模型不是研究对象本身，而是对研究对象的一种模型不是研究对象本身，而是对研究对象的一种统，也可能建立不同的模型，反映不同的研究角抽象，它反映现实中对象系统的主要特征，但它又高于现实，因而具有同类问题的共性 .于现实，因而具有同类问题的共性 .抽象，它反映现实中对象系统的主要特征，但它又高可以建立完全不同的模型，分别反映该系统的不同侧面；出于相同的研究目的，对于同一个对象系§§§§1 1 关于模型关于模型关于模型关于模型二、模型的本质二、模型的本质从系统概念上看，模型是系统中各种关系的表达形式形式 . 因此，建立模型要从状态和过程两个方面去寻找、把握和描述各系统要素之间的相互关系找、把握和描述各系统要素之间的相互关系 .从系统概念上看，模型是系统中各种关系的表达因此，建立模型要从状态和过程两个方面去寻3状态状态：事物在某个时刻所处的状况或表现形态表现形态状态和过程是相对的状态和过程是相对的 .：事物在某个时刻所处的状况或过程过程：事物状态的变化在时间上的持续和空间上的延伸续和空间上的延伸：事物状态的变化在时间上的持过程和状态两者紧密联系、不可分割，状态决定和影响过程，过程又决定和影响新的状态定和影响过程，过程又决定和影响新的状态 .过程和状态两者紧密联系、不可分割，状态决从认识论上看，模型是作为认识与实践活动的中介从认识论上看，模型是作为认识与实践活动的中介 .模型既是认识的表达，又是实践活动的先导 .模型参与认识世界和改造世界的不断的循环往复过程，既是认识不断深化的体现，又是实践活动不断过程，既是认识不断深化的体现，又是实践活动不断拓展的体现拓展的体现 .模型既是认识的表达，又是实践活动的先导 .模型参与认识世界和改造世界的不断的循环往复第一章第一章组合优化模型组合优化模型4现实世界现实世界认识（信息）认识（信息）模型模型实践活动实践活动概念化概念化用信息载体表达用信息载体表达决策（行动方案）决策（行动方案）产品和服务产品和服务模型化过程示意图模型化过程示意图§§§§1 1 关于模型关于模型关于模型关于模型从信息论上看，模型和认识之间存在密切的反馈关系关系 . 从已知信息可以通过模型加工产生出新的信息，相关信息的积累可以从量变产生质变，形成新的概念，促使认识深化概念，促使认识深化 . 从信息论上看，模型和认识之间存在密切的反馈从已知信息可以通过模型加工产生出新的信息，相关信息的积累可以从量变产生质变，形成新的5因此，模型的建立和完善不仅要注重对系统物质形态和能量形态的认识、把握和描述，而且也依赖于对系统相关信息不断的采集、积累和加工，这就是用模型研究问题的现实活动模型研究问题的现实活动 .因此，模型的建立和完善不仅要注重对系统物质形态和能量形态的认识、把握和描述，而且也依赖于对系统相关信息不断的采集、积累和加工，这就是用三、模型的分类三、模型的分类1、原样模型、原样模型原样模型原样模型是在工程开发末期建立的一种具象实体，是具有实物形态的模型 .体，是具有实物形态的模型 .是在工程开发末期建立的一种具象实第一章第一章组合优化模型组合优化模型6它与目的工程在结构和过程方面基本相同 .它与目的工程在结构和过程方面基本相同 .原样模型经过试验改进和完善后便是所要开发的目的工程的目的工程 .原样模型经过试验改进和完善后便是所要开发新产品的样机、新著作的原稿新产品的样机、新著作的原稿…§§§§1 1 关于模型关于模型关于模型关于模型2、相似模型、相似模型系统分析和设计人员常常借助于这些图形模型来开发、构建一个新系统的想象力和创造力，逐步引申出与之有关的问题和需要进一步探索的问题，使所要开发的系统变得越来越清晰、越来越具体 .开发的系统变得越来越清晰、越来越具体 .相似模型相似模型是根据不同系统间的相似规律（包括几何相似、逻辑相似和过程相似等）而建立的用于研究的模型的模型 .是根据不同系统间的相似规律（包括几何相似、逻辑相似和过程相似等）而建立的用于研究出与之有关的问题和需要进一步探索的问题，使所要图形模型图形模型、图形模型图形模型图形模型图形模型可以表达非常丰富的内容，主要有：可以表达非常丰富的内容，主要有：地球仪地球仪、地球仪地球仪、（没有严格的规范）（没有严格的规范）、船体放船体放、船体放船体放称为不严格图称为不严格图系统分析和设计人员常常借助于这些图形模型来开发、构建一个新系统的想象力和创造力，逐步引申73、样模型、飞机风洞实验模拟模型等等拟模型等等样模型、飞机风洞实验模①① 图画图画——一种可以示形的图形；②② 草图草图——一种可以示意的图形；③③ 框图框图——一种可以表示系统的部分之间或部分与整体之间联系的图形；与整体之间联系的图形；一种可以示形的图形；一种可以示意的图形；一种可以表示系统的部分之间或部分④④ 逻辑图逻辑图——一种可以反映因素或对象间逻辑关系的图形；的图形；⑤⑤ 工程图工程图——一种可以反映物体确定的结构和顺序关系的图形；关系的图形；⑥⑥ 图论图图论图包括图论所定义的无向图包括图论所定义的无向图 G(V，它或能解释某些客观现象它或能解释某些客观现象，，或能预测未来的发展规⑥⑥ 图论图图论图——包括图论所定义的无向图包括图论所定义的无向图G(V，有向图有向图 G(V，，A)、加权有、加权有(无律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略优策略或较好策略 .一种可以反映因素或对象间逻辑关系数学模型是用数学的语言、方法去近似地刻画实际是用数学的语言、方法去近似地刻画实际 ,是由数字、字母或其他数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法象数量规律的数学公式、图形或算法 .是对现实对象本质属性的抽象而又简洁的刻画，是对现实对象本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象它或能解释某些客观现象，，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最如：程序流程图、控制关系图制关系图 etc.如：建筑工程图、如：建筑工程图、铁路站场配置图铁路站场配置图或能预测未来的发展规铁路站场配置图铁路站场配置图 etc.无)向图向图G(V，如：程序流程图、控（有严格确定的结构形式和规范）形式和规范）一种可以反映物体确定的结构和顺序（有严格确定的结构，E) 、，E) 、，w).、、关系关系称为严格图称为严格图数学模型是由数字、字母或其他数学符号组成的，描述现实对第一章第一章组合优化模型组合优化模型8，A(E)，4、数学模型、数学模型数学模型数学模型是指运用数学符号和公式来表达、研究对象系统的结构或过程的模型 .对象系统的结构或过程的模型 .是指运用数学符号和公式来表达、研究或能预测未来的发展规Go back§§§§2 2 数学模型数学模型数学模型数学模型Example 1七桥问题七桥问题18世纪的德国有个哥尼斯堡城，在流贯全城的普雷尔河两岸和河中两个岛之间架设了七座桥，把河的两岸和两岛连接起来，能否有这样一种走法，它通过两岸和两岛连接起来，能否有这样一种走法，它通过每座桥一次且仅一次每座桥一次且仅一次 .世纪的德国有个哥尼斯堡城，在流贯全城的普雷尔河两岸和河中两个岛之间架设了七座桥，把河的该问题由该问题由Euler在1736年解决年解决在9Solution :ABCD显然，解决该问题时，两岸和岛的大小、形状以及桥的长短曲直都无关，重要的是什么？的是什么？对问题进行数学抽象：对问题进行数学抽象：显然，解决该问题时，两岸和岛的大小、形状以及桥的长短曲直都无关，重要把两岸和两岛都看做顶点把两岸和两岛都看做顶点，把两岸和两岛都看做顶点把两岸和两岛都看做顶点，当作边，于是得到一无向图当作边，于是得到一无向图 .，将连接这些顶点的桥将连接这些顶点的桥，将连接这些顶点的桥将连接这些顶点的桥第一章第一章组合优化模型组合优化模型10每块陆地间有几座桥几座桥每块陆地间有则七桥问题就成为无向图中是否存在通过每一边一次且仅一次的路（即一笔画）问题 .一次且仅一次的路（即一笔画）问题 .则七桥问题就成为无向图中是否存在通过每一边§§§§2 2 数学模型数学模型数学模型数学模型ABCDEuler 在他的论文中证明在他的论文中证明：问题原型七桥问题七桥问题：一个图中存在一笔画的充要条件是同时满足：充要条件是同时满足：有无解？有无解？一个图中存在一笔画的1、图是连通的；、图是连通的；无无( ( 一次过七座桥不可能一次过七座桥不可能) )2、、与图中每一顶点（可能有两点例外）相连的边（线度）必须是偶数条 .（线度）必须是偶数条 .问题原型数学模型一笔画问题一笔画问题数学模型解解无无解解( ( 一笔画不可能一笔画不可能) )( ( 一笔画不可能一笔画不可能) )数学抽象数学抽象逻辑推理逻辑推理翻译回去翻译回去11与图中每一顶点（可能有两点例外）相连的边这是关于图论的第一篇论文的第一篇论文这是关于图论见图可知，与四个顶点相连的边都是奇数条，因而不可能存在通过每条边一次且仅一次的画法，即一笔画不存在 . 故七桥问题不可能有解笔画不存在 . 故七桥问题不可能有解 .见图可知，与四个顶点相连的边都是奇数条，因而不可能存在通过每条边一次且仅一次的画法，即一( ( 一次过七座桥不可能一次过七座桥不可能) )这是利用数学模型分析和解决问题的一个成功范例这是利用数学模型分析和解决问题的一个成功范例一、数学模型的特点一、数学模型的特点1、、高度的抽象性数学方法不仅要抛开事物的次要属性，突出事物的本质属性，而且要舍弃事物的物质和能量方面的具的本质属性，而且要舍弃事物的物质和能量方面的具体内容体内容，，只考虑其数量关系和空间形式只考虑其数量关系和空间形式，体内容体内容，，只考虑其数量关系和空间形式只考虑其数量关系和空间形式，这些数量关系和空间形式作进一步的抽象，加以形式化和符号化，以便能够进行逻辑推理和数值运算化和符号化，以便能够进行逻辑推理和数值运算 .高度的抽象性数学方法不仅要抛开事物的次要属性，突出事物，同时还要把同时还要把，同时还要把同时还要把第一章第一章组合优化模型组合优化模型12这些数量关系和空间形式作进一步的抽象，加以形式这种高度的抽象性，实质是对事物认识上的高度概括和深化，对同类问题包含更多的经验和理解概括和深化，对同类问题包含更多的经验和理解 .这种高度的抽象性，实质是对事物认识上的高度§§§§2 2 数学模型数学模型数学模型数学模型2、、高度的精确性高度的精确性数学方法的高度精确性表现在三个方面：数学方法的高度精确性表现在三个方面：一是一是表达各种因素、变量和它们之间的关系相当明确、清楚；明确、清楚；二是二是逻辑推演和运算规则十分严密；逻辑推演和运算规则十分严密；三是是结论非常确定结论非常确定是是结论非常确定结论非常确定 .表达各种因素、变量和它们之间的关系相当三13数学方法可以处理多变量、关系复杂的问题，可在有意义的范围内获得令人满意的计算精度在有意义的范围内获得令人满意的计算精度 .数学方法可以处理多变量、关系复杂的问题，可特别适合于揭示事物的量的规定性，成为定量研究的有力工具究的有力工具 .特别适合于揭示事物的量的规定性，成为定量研3、、应用的普适性应用的普适性数学方法的高度抽象和精确，使之比任何一种科学方法的应用范围都更为广泛学方法的应用范围都更为广泛 .只存在尚未运用数学方法的领域而不存在不能运只存在尚未运用数学方法的领域而不存在不能运用数学方法的领域用数学方法的领域用数学方法的领域用数学方法的领域 .许多相同形式的数学模型可用于不同的实际问题，具有重要类比和借鉴意义题，具有重要类比和借鉴意义 .数学方法的形式化和数学模型缺乏直观性、形象性和实时感数学模型缺乏直观性、形象性和实时感数学方法的高度抽象和精确，使之比任何一种科第一章第一章组合优化模型组合优化模型14许多相同形式的数学模型可用于不同的实际问公理化，使模型本身、计算过程和计算结果都便于交流，数学模型易变动，便于修改和改变计算关系，分析和求解问题速度快，求解成本低 .析和求解问题速度快，求解成本低 .数学方法的形式化和公理化，使模型本身、计算过程和计算结果都便于交流，数学模型易变动，便于修改和改变计算关系，分§§§§2 2 数学模型数学模型数学模型数学模型二、数学模型分类二、数学模型分类数学模型分类的方法很多，如：数学模型分类的方法很多，如：1、、按所研究问题的性质分类按所研究问题的性质分类⑴⑴ 静态模型与动态模型静态模型与动态模型15⑵⑵ 确定型模型与随机型模型确定型模型与随机型模型⑶⑶ 连续模型与离散模型连续模型与离散模型⑷⑷ 线性模型与非线性模型线性模型与非线性模型⑸⑸ 宏观模型与微观模型宏观模型与微观模型2、、按模型的解的特征分类按模型的解的特征分类解析模型与数值模型解析模型与数值模型3、、按模型所用的数学方法分类按模型所用的数学方法分类初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等化模型等化模型等化模型等第一章第一章组合优化模型组合优化模型164、按模型研究的实际范畴分类、按模型研究的实际范畴分类人口模型、生态系统模型、交通流模型、经济模型、基因模型等模型、基因模型等5、按对实际问题了解的程度分类、按对实际问题了解的程度分类白箱模型、灰箱模型、黑箱模型白箱模型、灰箱模型、黑箱模型人口模型、生态系统模型、交通流模型、经济§§§§2 2 数学模型数学模型数学模型数学模型三、数学建模的基本步骤三、数学建模的基本步骤数学模型因问题不同而异，对同一问题，从不同角度、不同要求出发，甚至问题的解表示结构不同，都可以建立不同的数学模型都可以建立不同的数学模型. 建立数学模型也没有固定的方法、标准定的方法、标准 . 不同的实际问题，建模模式千差万不同的实际问题，建模模式千差万别别. 在此介绍通常的几个步骤：在此介绍通常的几个步骤：1、、明确问题明确问题数学模型因问题不同而异，对同一问题，从不同角度、不同要求出发，甚至问题的解表示结构不同，建立数学模型也没有固合理地、有目的地注意精度注意精度合理地、有目的地17数学建模问题直接来源各领域实际，往往含糊不清（目的、条件、类型清（目的、条件、类型 etc.）行全面的、深入细微的调查和研究行全面的、深入细微的调查和研究. 明确所解决问题的性质，着手收集数据；的性质，着手收集数据；数学建模问题直接来源各领域实际，往往含糊不）. 首先，要对该问题进首先，要对该问题进明确所解决问题2、、合理假设合理假设现实问题错综复杂，涉及面非常之广现实问题错综复杂，涉及面非常之广. 一个数学模型面面俱到、无所不包地反映一个现实是不可能的，即使可能，也因其过于复杂而很难求解，也是没的，即使可能，也因其过于复杂而很难求解，也是没有必要的有必要的所以所以，，要作要作合理合理的假设有必要的有必要的 . 所以所以，，要作要作合理合理的假设作假设的依据通常是出于对问题内在规律的认识作假设的依据通常是出于对问题内在规律的认识,或来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合或来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合. 善于辨别问题的主次，抓住主要因素，通过合理假设善于辨别问题的主次，抓住主要因素，通过合理假设,使问题简化以便进行数学描述使问题简化以便进行数学描述 .假设是在模型的建立、求解和分析过程中完善假设是在模型的建立、求解和分析过程中完善 .一个数学模型面面俱到、无所不包地反映一个现实是不可能的假设的假设 .1、简化问题、简化问题2、限定适用范围、限定适用范围相关的因素相关的因素但也不能忽略实质但也不能忽略实质通常开始让问题尽通常开始让问题尽可能简化可能简化可能简化可能简化第一章第一章组合优化模型组合优化模型18§§§§2 2 数学模型数学模型数学模型数学模型3、、建立模型建立模型建模时，要分清问题的类型恰当使用数学工具；抓住问题的本质简化变量之间的关系抓住问题的本质简化变量之间的关系 .建模时，要分清问题的类型恰当使用数学工具；用什么样的方法建立数学模型，没有绝对的标用什么样的方法建立数学模型，没有绝对的标准；；数学模型的形式可以是多种多样数学模型的形式可以是多种多样，准准；；数学模型的形式可以是多种多样数学模型的形式可以是多种多样，格、图形、算法格、图形、算法 .模型的优劣在于是否采用了恰当的方法，合理地描述了实际问题，而不在于是否用到了高深的数学工具具 .数学建模是一个过程数学建模是一个过程 .准，数学公式数学公式、，数学公式数学公式、、表、表表表19模型的优劣在于是否采用了恰当的方法，合理地描述了实际问题，而不在于是否用到了高深的数学工4、、模型求解模型求解不同的模型要用到不同的数学工具求解不同的模型要用到不同的数学工具求解 . 这就要求从事实际工作者对相应的数学分支知识有一定的了解解 . 可借助计算机，特别是利用数学工具软件可借助计算机，特别是利用数学工具软件 .5模型分析模型分析5、、模型分析模型分析这就要求从事实际工作者对相应的数学分支知识有一定的了robustness第一章第一章组合优化模型组合优化模型20对模型求出的解进行数学上的分析，有助于对实际问题的解决际问题的解决 .如如：：① 结果的误差分析① 结果的误差分析分析误差来源：建模假设的误差；数据测量的误差；分析误差来源：建模假设的误差；数据测量的误差；结果是否符合特定的统计规律结果是否符合特定的统计规律③ 模型对数据的灵敏度分析③ 模型对数据的灵敏度分析模型的结果是否会因数据的微小改变而发生大的变化模型的结果是否会因数据的微小改变而发生大的变化模型的结果是否对某一假设非常依赖模型的结果是否对某一假设非常依赖⑤ 不同模型间的对比分析⑤ 不同模型间的对比分析对模型求出的解进行数学上的分析，有助于对实误差是否在允许的范围内误差是否在允许的范围内②② 结果的统计分析结果的统计分析④ 对假设的鲁棒性分析④ 对假设的鲁棒性分析近似求解方法的误差；计算工具的舍入误差近似求解方法的误差；计算工具的舍入误差 .§§§§2 2 数学模型数学模型数学模型数学模型6、、模型检验模型检验将求解结果和分析结果翻译回到实际问题之中，与实际现象、实际数据进行比较，检验是否与实际吻合合 . 如果吻合较好，则模型及其结果可以应用于实际问题；如果吻合不好，则需要对模型进行修正问题；如果吻合不好，则需要对模型进行修正 .、改进模型改进模型吻合不好，问题常常出现在模型假设上吻合不好，问题常常出现在模型假设上 . 可能由于假设了过于苛刻的条件，或者忽略了一些不该忽略的因素的因素. 所以所以, 要对实际问题中的主次因素再次分析要对实际问题中的主次因素再次分析,对模型进行修改、补充、完善对模型进行修改、补充、完善 . 需要多次反复才能达到比较满意的程度。
第八讲网络最优化模型【共61张PPT】
第八讲 网络最优化模型
最短路模型
最短路模型的求解
求解最短路问题实际上就是找一条总长度最短的路 线，对于这样的最短路问题，可以建立0-1整数规划数学
模型求解（如下图）。
第八讲 网络最优化模型
最短路模型
最短路模型的求解
为简化求解过程，可以建立专门的最短路求解模型 ，用计算机求解：可以将图中各条边和每条边是的权数 直接录入到求解模型中，直接得到结果。因此可以称下 图就是一个最短路问题的数学表述模型。
条路，使两点间的总距离为最短。
第八讲 网络最优化模型
最短路模型
例8.1 如下图所示，某人每天从住处S开车到工作地T上
班，图中各弧旁的数字表示道路的长度（千米），试问 他从家出发到工作地，应选择哪条路线，才能使路上行 驶的总距离最短？
第八讲 网络最优化模型
最短路模型的基本特征
最短路模型
1、在网络中选择一条路，始于发点（源点）,终于收点（目的
条道路及道路维修。工期和所需劳动力见下表。该公司共 有劳动力120人，任一工程在一个月内的劳动力投入不能超 过80人，问公司应如何分配劳动力以完成所有工程，是否能按
期完成？
工程 A．地下通道 B．人行天桥 C．新建道路 D．道路维修
工期和所需劳动力
工期 5～7月 6～7月 5～8月
8月
需要劳动力（人） 100 80 200 80
赵●
(v1)
e1
e3
钱● (v2)
●孙 (v3) e4
●李 (v4)
第八讲 网络最优化模型
基本概念
图
7、 回路 始点和终点重合的路叫做回路。上图中（v3，v5，v6
，v7，v4 ，v3）就是一条回路。
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最优解：x21 = x32 = x43 = x51 = 1, 成绩为4’17”7
乙~ 蝶泳、丙~ 仰泳、 原 甲~ 自由泳、乙~ 蝶泳、
丁~ 蛙泳、戊~ 自由泳
方 案
丙~ 仰泳、丁~ 蛙泳.
指派(Assignment)问题：每项任务有且只有一人承担，
每人只能承担一项，效益不同，怎样分派使总效益最大.
约束条件为：8 25 x1 815 x2 1800
8 8
25 15
x1 x2
1800 1800
x1 0, x2 0
线性规划模型：
min z 40x1 36x2
5x1 3x2 45
s.t.
x1 x2
9 15
x1 0, x2 0
6
问题三 混合泳接力队的选拔
5名候选人的百米成绩
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳
甲 1’06”8 1’15”6 1’27” 58”6
乙 57”2 1’06” 1’06”4 53”
丙 1’18” 1’07”8 1’24”6 59”4
丁 1’10” 1’14”2 1’09”6 57”2
戊 1’07”4 1’11” 1’23”8 1’02”4
s.t.
0x.34x1x6
500 1.1x2
x3
800
0.5
x4
xi 0,i
1.2x5 1.3x6 1,2,,6
900
4
问题二： 某厂每日8小时的产量不低于1800件。为 了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员。 一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%， 计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15件/ 小时，正确率95%，计时工资3元/小时。检验员每错 检一次，工厂要损失2元。为使总检验费用最省，该工 厂应聘一级、二级检验员各几名？
要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课
解 设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、 x2人, 则应付检验员的工资为：
8 4 x1 8 3 x2 32x1 24x2
因检验员错检而造成的损失为：
(8 25 2% x1 815 5% x2 ) 2 8x1 12x2 故目标函数为：
min z (32x1 24x 2 ) (8x1 12x2 ) 40x1 36x2 5
优化模型题，下面介绍几个简单的优化模型。
线性规划是运筹学的一个重要分支，它起源于工 业生产组织管理的决策问题。在数学上它用来确定多 变量线性函数在变量满足线性约束条件下的最优值； 随着计算机的发展，出现了如单纯形法等有效算法， 它在工农业、军事、交通运输、决策管理与规划等领 域中有广泛的应用。
3
解 设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、 x2、x3，在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为 x4、x5、x6。
可建立以下线性规划模型：
min z 13x1 9x2 10 x3 11x4 12 x5 8x6
x1 x4 400
x2
x5
600
丙 1’18” 1’07”8 1’24”6 59”4
丁 1’10” 1’14”2 1’09”6 57”2
戊
1’07”4 1’11” 1’23”8 1’02”4
9
讨论 丁蛙泳c43 =69.675.2，戊自由泳c54=62.4
57.5, 方案是否调整？
c43, c54 的新数据重新输入模型，用LINDO求解
10
问题四 选课策略
课号
课名
学分
所属类别
先修课要求
1
微积分
5
数学
2
线性代数
4
数学
3
最优化方法
4
数学；运筹学 微积分；线性代数
4
数据结构
3
数学；计算机
计算机编程
5
应用统计
4
数学；运筹学 微积分；线性代数
6
计算机模拟
3
计算机；运筹学
计算机编程
7
计算机编程
2
计算机
8
预测理论
2
运筹学
应用统计
9
数学实验
3
运筹学；计算机 微积分；线性代数
END INT 20
最优解：x14 = x21 = x32 = x43 = 1, 其它变量为0;
成绩为253.2(秒)=4’13”2
甲~ 自由泳、乙~ 蝶泳、 丙~ 仰泳、丁~ 蛙泳.
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳
甲 1’06”8 1’15”6 1’27” 58”6
乙 57”2 1’06” 1’06”4 53”
2
问题一 ： 任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用于
加工三种工件。假定这两台车床的可工作时间分别为 800和900，三种工件的数量分别为400、600和500， 且已知车床甲加工单位数量三种工件所需的时间和加工 费分别为0.4、1.1、1和13、9、10，车床乙加工单位数 量三种工件所需的时间和加工费分别为0.5、1.2、1.3和 11、12、8。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足 加工工件的要求，又使加工费用最低？
条件
4
xij 1, i 1,5
j 1
5
xij 1, j 1,4
i 1
8
模型求解 输入LINDO求解
MIN 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14 +… … +67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54
SUBJECT TO x11+x12+x13+x14 <=1 …… x41+x42+x43+x44 <=1 x11+x21+x31+x41+x51 =1 …… x14+x24+x34+x44+x54 =1
78
70
67.4
j=2
75.6
66
67.8
74.2
71
j=3
87
66.4
84.6
69.6
83.8
j=4
58.6
53
59.4
57.2
62.4
若选择队员i参加泳姿j 的比赛，记xij=1, 否则记xij=0
目标 函数
45
Min Z
cij xij
j 1 i1
约束 每人最多入选泳姿之一 每种泳姿有且只有1人
如何选拔队员组成4100米混合泳接力队?
丁的蛙泳成绩退步到1’15”2；戊的自由泳成绩进 步到57”5, 组成接力队的方案是否应该调整？
穷举法：组成接力队的方案共有5!=120种。
7
0-1规划模型 cij(秒)~队员i 第j 种泳姿的百米成绩
cij
i=1
i=2
i=3
i=4
i=5
j=1
66.8
57.2