平面图及其性质
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，(d)是(c)的一种细分图。容易知道，若G1是G 的细分图，则G1与G同为平面图或非平面图
G'
Kuratowski定理
定理 5.23（Kuratowski定理）
一个图是平面图当且仅当它不包含与K3,3 或K5的细分图 同构的子图。
例5.7
例5.7 证明图（a）（Petersen图）不是平面图。
若e=1，这时有两种情况： 1) 该边是自回路， 则有v＝1,r＝2。 所以 v－e＋r ＝ 1－1＋2 ＝2。 2) 该边不是自回路， 则有n＝2， r＝1。 所以 v－e＋r ＝ 2－1＋1 ＝2。
假设对小于e条边的所有图，欧拉公式成立。现 考虑e条边的图G，设它有v个结点。
增加一条边，为使图连通，这时只有如下两种情 况：
平面图的定义
定义5.30 若简单图G=<V,E>的图形在平面上能画成如下
形式： （1）没有两个结点重合； （2）除结点外每条边不相交，则称G是具有平面 性的图，或简称为平面图（Planar Graph）。
示例
对于平面图G的定义，通俗的来说，就是能够把G 的所有结点和边画在平面上，且使得任何两条边除了 端点外没有其他的交点。 例如
了平面图的本质。
细分图
首先，在图G的边(u,v)上新增加一个2度结 点w，称为图G的细分。
严格的说，细分是从G中先删去边(u,v),再 增加一个新结点w及边(u,w)和边(v,w)。一条
边上也可以同时增加有限个2度结点，所得的
新图称为原图的细分图。
细分图示例
例如，在图5.23中(b)是(a)的一种细分图
v1
v4
R2 的边界：v1v2v3v1 ，
v6 deg(R2)=3 ；
R1
R2
v2
v3
v5 R0
R0 的边界为复杂回路： v1v2v3v4v5v6v5v4v1， deg(R0)=8 。
例题
ຫໍສະໝຸດ Baidu
R1的边界: a R2的边界: bce R3的边界: fg R0的边界: abcdde, fg
deg(R1)= 1 deg(R2)= 3 deg(R3)= 2 deg(R0)= 8
下图（1）~（4）是平面图，（5）不是平面图。
应当注意，有些图从表面上看，它的某些边是相 交的，但是不能就此肯定它不是平面图。 如图 5.6.2(a)表面上看有几条边相交，但是把它画成图 5.6.2(b)，则可以看出它是一个平面图。
图5.6.2 平面图示例
平面图的特点
定义5.31
设G是一个平面图.若G的图形中由边围成的 封闭区域不能再分割成两个或两个以上的包含 更少边数的子区域，则称这个区域为G的面（ Face），包围这个区域的边称为面的边界 (Bound)，其中有一个面的区域为这个平面图的 外部边界组成，这个面称为外部面或无限面 (Exterior Face)。面的边界中的边数称为面的 度（Degree）（割边在计算时算作两条边！）
，矛盾。
定理 5.22
定理 5.22
K5和K3，3都是非平面图
K5如图5.6.4，这里v＝5，e＝10，而3v－6=3×5 －6＝9≤10，所以K5不是平面图。
图 5.6.4 图K5
证明
若K3,3是平面图，则每个面的度为4，因而 有4r=2e，即2r=e，代入欧拉公式v－e＋r = 2 ，则应有2v-e=4,但2×6－9＝3，矛盾。 故K3,3不是平面图。
， 而 R3 在 图 形 之 外 ， 称 为 无 限 面 （ 外 部 面 ） ， 它 由 回 路 v1v2v3v4v7v1所围，所以
deg(R1) =8 ，deg(R2) =3 ，deg(R3) =5。
图5.6.3 有限面和无限面（外部面 ）示例
定理5.20
定理 5.20 一个有限平面图，其面的度之和等于其边数的两倍
，即
r
deg(Ri ) 2e
i
其中，r是G的面数，e为边数。
定理5.20证明
因任何一条边，或者是两个面的公共边 ，或者是在一个面中作为边界被重复计算两 次。故 面的次数之和等于其边数的两倍。
3
例如在图5.6.3中, deg(ri) 83516 i1
这正好是边数８的两倍。
欧拉公式
欧拉公式
1750年欧拉发现，任何一个凸多面体的顶点数v 、边数e和面数r之间满足关系式
综合以上，欧拉公式得证。
定理5.19的推论
推论
设平面图G=<V,E>有k个连通分支，它 的顶点数，边数和面数分别为v,e和r，则 有v-e+r=k+1.
定理5.21
定理 5.21 设G是一个阶数（结点数）大于2的简单
连通平面图，顶点数和边数分别为v，e， 则有
e≤3v－6
设G有r个面， 因为每个面至少由3条边围成，所以 G的各面的度之和为
v－e＋r = 2
这就是著名的欧拉公式。这个结论也可以推广到 平面图上来。
定理 5.19 设连通平面图G=<V,E>的顶点数，边数和面数分
别为v,e和r则有欧拉公式 v－e＋r＝2
数学归纳法
第一数学归纳法 一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步
骤：
（1）证明当n取第一个值n0 时命题成立。n0 对于一般数
证明：删去Petersen图（a）中的结点b,得其细分 图(b)H.而图（b）H的细分图（去掉2度结点a，c，g ）与K3.3同构，由库拉托夫斯基定理可得Petersen图 不是平面图.
例题
指出下图所示平面 图的面、面的边界及面 的度数。
此平面图，共有3 个面： R0,R1,R2 ；
R1 的边界： v1v3v4v1， deg(R1) =3；
(1)该边的一端是悬挂点(以该点为端点的边数为 1的点)，这时增加了一个顶点和一条边，面数不变， 满足欧拉公式，即（v+1）-（e+1）+r=v-e+r=2;
(2)该边的两端为原图的两个顶点，这时顶点数 不增加，但增加了一条边和一个面，所以也满足欧拉 公式，即v-(e+1)+(r+1)=v-e+r=2;
，面R 的度数记为deg(R)。
面
面的概念也可以用下面形象的说法 加以描述：假设把一个平面图画在平面上 ，然后用一把小刀，沿着图的边切开，那 么平面就被切成许多块，每一块就是图的 一个面。
更确切地说，平面图的一个面就是平 面的一块，它用边作边界线，且不能再分 成更小的块。
割边及与割边相关的概念
对边割集和割边通俗的理解： 边割集：无向图G去掉几条边以后，这个图的连通分支增
虽然欧拉公式可用来判别某个图是非平面 图，但是当结点数和边数较多时，应用欧拉公 式进行判别就会相当困难。
一个图是否有平面的 图形表示 是判别平 面图的最具说服力的方法，但是又因为工作量 太大而不实用。要找到一个好的方法去判断任 何一个图是否是平面图，就得对平面图的本质 有所了解。
Kuratowski建立了一个定理，定性地说明
如图5.6.1（a）所示，A，B，Ｃ是3个车间，M，Ｎ ，P是3座仓库。经过努力表明，要想建造不相交的道路 是不可能的，但可以使交叉点最少（如图5.6.1（b））
。
图5.6.1
引入
这些实际问题涉及到平面图的研究。近年 来，由于大规模集成电路的发展，也促进了平 面图的研究。
例如在电路设计中常常要考虑布线是否可 以避免交叉以减少元件间的互感影响。如果必 然交叉，那么怎样才能使交叉处尽可能少？或 者如何进行分层设计，才使每层都无交叉？
由定理5.20可知 2 e 3 r
代入欧拉公式v－e＋r = 2消去r，可得 e 3v 6
定理5.21推论
推论
在任何简单连通平面图中，至少存在一个其度不 超过5的结点。
r
若全部结点的度均大于5，则有 6v deg(Ri ) 2e i 1
即3v≤e，再由定理5.21的公式e≤3v－6可得3v≤3v－6
加了（即 之前一个图变为现在两个图），而这些边所构成 的集合称为边割集。 割边：边割集中只有一条边，这条边就称为割边。
割边只能是一个面的边界！
若一条边不是割边，它必是两个面的公共边界； 两个以一条边为公共边界的面称为相邻的面。
示例解析
如图5.6.3的图有7个结点、8条边，它把平面分成三个
面：R1，R2，R3。其中： R1由回路v1v2v3v4v5v6v5v4v1所围，R2由回路v1v4v7v1 所围
列取值为0或1，但也有特殊情况；
（2）假设当n=k（ k≥ n0 ，k为自然数）时命题成立，证
明当n=k+1时命题也成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（n≥ n0 ），命题P(n）
都成立。
证明
对G的边数e进行归纳。
若e=0，由于G是连通图， 故必有v ＝1。 这时 只有一个无限面， 即r＝1。所以有v －e＋r＝2。
5.6.1 平面图及其性质
基本内容
平面图的相关概念 欧拉公式 Kuratowski(库拉托夫斯基)定理
平面图的定义
先从一个简单的例子谈起。一个工厂 有 3 个车间和 3 个仓库。为了工作需要 ，车间与仓库之间将设专用的车道。为避 免发生车祸，应尽量减少车道的交叉点， 最好是没有交叉点，这是否可能？
G'
Kuratowski定理
定理 5.23（Kuratowski定理）
一个图是平面图当且仅当它不包含与K3,3 或K5的细分图 同构的子图。
例5.7
例5.7 证明图（a）（Petersen图）不是平面图。
若e=1，这时有两种情况： 1) 该边是自回路， 则有v＝1,r＝2。 所以 v－e＋r ＝ 1－1＋2 ＝2。 2) 该边不是自回路， 则有n＝2， r＝1。 所以 v－e＋r ＝ 2－1＋1 ＝2。
假设对小于e条边的所有图，欧拉公式成立。现 考虑e条边的图G，设它有v个结点。
增加一条边，为使图连通，这时只有如下两种情 况：
平面图的定义
定义5.30 若简单图G=<V,E>的图形在平面上能画成如下
形式： （1）没有两个结点重合； （2）除结点外每条边不相交，则称G是具有平面 性的图，或简称为平面图（Planar Graph）。
示例
对于平面图G的定义，通俗的来说，就是能够把G 的所有结点和边画在平面上，且使得任何两条边除了 端点外没有其他的交点。 例如
了平面图的本质。
细分图
首先，在图G的边(u,v)上新增加一个2度结 点w，称为图G的细分。
严格的说，细分是从G中先删去边(u,v),再 增加一个新结点w及边(u,w)和边(v,w)。一条
边上也可以同时增加有限个2度结点，所得的
新图称为原图的细分图。
细分图示例
例如，在图5.23中(b)是(a)的一种细分图
v1
v4
R2 的边界：v1v2v3v1 ，
v6 deg(R2)=3 ；
R1
R2
v2
v3
v5 R0
R0 的边界为复杂回路： v1v2v3v4v5v6v5v4v1， deg(R0)=8 。
例题
ຫໍສະໝຸດ Baidu
R1的边界: a R2的边界: bce R3的边界: fg R0的边界: abcdde, fg
deg(R1)= 1 deg(R2)= 3 deg(R3)= 2 deg(R0)= 8
下图（1）~（4）是平面图，（5）不是平面图。
应当注意，有些图从表面上看，它的某些边是相 交的，但是不能就此肯定它不是平面图。 如图 5.6.2(a)表面上看有几条边相交，但是把它画成图 5.6.2(b)，则可以看出它是一个平面图。
图5.6.2 平面图示例
平面图的特点
定义5.31
设G是一个平面图.若G的图形中由边围成的 封闭区域不能再分割成两个或两个以上的包含 更少边数的子区域，则称这个区域为G的面（ Face），包围这个区域的边称为面的边界 (Bound)，其中有一个面的区域为这个平面图的 外部边界组成，这个面称为外部面或无限面 (Exterior Face)。面的边界中的边数称为面的 度（Degree）（割边在计算时算作两条边！）
，矛盾。
定理 5.22
定理 5.22
K5和K3，3都是非平面图
K5如图5.6.4，这里v＝5，e＝10，而3v－6=3×5 －6＝9≤10，所以K5不是平面图。
图 5.6.4 图K5
证明
若K3,3是平面图，则每个面的度为4，因而 有4r=2e，即2r=e，代入欧拉公式v－e＋r = 2 ，则应有2v-e=4,但2×6－9＝3，矛盾。 故K3,3不是平面图。
， 而 R3 在 图 形 之 外 ， 称 为 无 限 面 （ 外 部 面 ） ， 它 由 回 路 v1v2v3v4v7v1所围，所以
deg(R1) =8 ，deg(R2) =3 ，deg(R3) =5。
图5.6.3 有限面和无限面（外部面 ）示例
定理5.20
定理 5.20 一个有限平面图，其面的度之和等于其边数的两倍
，即
r
deg(Ri ) 2e
i
其中，r是G的面数，e为边数。
定理5.20证明
因任何一条边，或者是两个面的公共边 ，或者是在一个面中作为边界被重复计算两 次。故 面的次数之和等于其边数的两倍。
3
例如在图5.6.3中, deg(ri) 83516 i1
这正好是边数８的两倍。
欧拉公式
欧拉公式
1750年欧拉发现，任何一个凸多面体的顶点数v 、边数e和面数r之间满足关系式
综合以上，欧拉公式得证。
定理5.19的推论
推论
设平面图G=<V,E>有k个连通分支，它 的顶点数，边数和面数分别为v,e和r，则 有v-e+r=k+1.
定理5.21
定理 5.21 设G是一个阶数（结点数）大于2的简单
连通平面图，顶点数和边数分别为v，e， 则有
e≤3v－6
设G有r个面， 因为每个面至少由3条边围成，所以 G的各面的度之和为
v－e＋r = 2
这就是著名的欧拉公式。这个结论也可以推广到 平面图上来。
定理 5.19 设连通平面图G=<V,E>的顶点数，边数和面数分
别为v,e和r则有欧拉公式 v－e＋r＝2
数学归纳法
第一数学归纳法 一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步
骤：
（1）证明当n取第一个值n0 时命题成立。n0 对于一般数
证明：删去Petersen图（a）中的结点b,得其细分 图(b)H.而图（b）H的细分图（去掉2度结点a，c，g ）与K3.3同构，由库拉托夫斯基定理可得Petersen图 不是平面图.
例题
指出下图所示平面 图的面、面的边界及面 的度数。
此平面图，共有3 个面： R0,R1,R2 ；
R1 的边界： v1v3v4v1， deg(R1) =3；
(1)该边的一端是悬挂点(以该点为端点的边数为 1的点)，这时增加了一个顶点和一条边，面数不变， 满足欧拉公式，即（v+1）-（e+1）+r=v-e+r=2;
(2)该边的两端为原图的两个顶点，这时顶点数 不增加，但增加了一条边和一个面，所以也满足欧拉 公式，即v-(e+1)+(r+1)=v-e+r=2;
，面R 的度数记为deg(R)。
面
面的概念也可以用下面形象的说法 加以描述：假设把一个平面图画在平面上 ，然后用一把小刀，沿着图的边切开，那 么平面就被切成许多块，每一块就是图的 一个面。
更确切地说，平面图的一个面就是平 面的一块，它用边作边界线，且不能再分 成更小的块。
割边及与割边相关的概念
对边割集和割边通俗的理解： 边割集：无向图G去掉几条边以后，这个图的连通分支增
虽然欧拉公式可用来判别某个图是非平面 图，但是当结点数和边数较多时，应用欧拉公 式进行判别就会相当困难。
一个图是否有平面的 图形表示 是判别平 面图的最具说服力的方法，但是又因为工作量 太大而不实用。要找到一个好的方法去判断任 何一个图是否是平面图，就得对平面图的本质 有所了解。
Kuratowski建立了一个定理，定性地说明
如图5.6.1（a）所示，A，B，Ｃ是3个车间，M，Ｎ ，P是3座仓库。经过努力表明，要想建造不相交的道路 是不可能的，但可以使交叉点最少（如图5.6.1（b））
。
图5.6.1
引入
这些实际问题涉及到平面图的研究。近年 来，由于大规模集成电路的发展，也促进了平 面图的研究。
例如在电路设计中常常要考虑布线是否可 以避免交叉以减少元件间的互感影响。如果必 然交叉，那么怎样才能使交叉处尽可能少？或 者如何进行分层设计，才使每层都无交叉？
由定理5.20可知 2 e 3 r
代入欧拉公式v－e＋r = 2消去r，可得 e 3v 6
定理5.21推论
推论
在任何简单连通平面图中，至少存在一个其度不 超过5的结点。
r
若全部结点的度均大于5，则有 6v deg(Ri ) 2e i 1
即3v≤e，再由定理5.21的公式e≤3v－6可得3v≤3v－6
加了（即 之前一个图变为现在两个图），而这些边所构成 的集合称为边割集。 割边：边割集中只有一条边，这条边就称为割边。
割边只能是一个面的边界！
若一条边不是割边，它必是两个面的公共边界； 两个以一条边为公共边界的面称为相邻的面。
示例解析
如图5.6.3的图有7个结点、8条边，它把平面分成三个
面：R1，R2，R3。其中： R1由回路v1v2v3v4v5v6v5v4v1所围，R2由回路v1v4v7v1 所围
列取值为0或1，但也有特殊情况；
（2）假设当n=k（ k≥ n0 ，k为自然数）时命题成立，证
明当n=k+1时命题也成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（n≥ n0 ），命题P(n）
都成立。
证明
对G的边数e进行归纳。
若e=0，由于G是连通图， 故必有v ＝1。 这时 只有一个无限面， 即r＝1。所以有v －e＋r＝2。
5.6.1 平面图及其性质
基本内容
平面图的相关概念 欧拉公式 Kuratowski(库拉托夫斯基)定理
平面图的定义
先从一个简单的例子谈起。一个工厂 有 3 个车间和 3 个仓库。为了工作需要 ，车间与仓库之间将设专用的车道。为避 免发生车祸，应尽量减少车道的交叉点， 最好是没有交叉点，这是否可能？