平面图及其性质
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施工现场平面布置图及说明
施工现场平面布置图及说明第一节施工平面布置说明一、施工总平面的总体规划1、在满足施工条件，尽量节约施工用地，满足施工需要和文明施工的前提下，对施工总平面布置进行合理规划，同时保证场内交通运输畅通和满足施工对材料存放要求，最大限度地减少场内运输。
2、为便于工程文明施工管理，结合本工程现场条件，将宿舍区、办公区、材料堆放区分开，各区根据自身特点制定不同的管理制度。
3、根据场地实际合理地进行布局，材料及构件按现场布置图规定设置堆放，并随不同施工阶段调整。
二、施工总平面的管理1、施工平面科学管理的关键是科学的规划和周密详细的计划，在进度网络计划基础上形成材料、机械、劳动力的进退场，垂直运输、安装网络计划，充分均衡利用平面为目标，制定平面管理实施计划。
2、根据工程进度计划的实施及调整情况，分阶段发布平面管理实施计划，包含时间计划表、责任人、执行标准、奖罚标准。
计划执行中，定期召开调度会，以充分协调、研究后，发布计划调整书。
3、施工平面管理由项目经理负责，由项目管理部、材料管理部、综合办公室实施，按平面分片包干管理措施进行管理，建立保卫保安制度,落实区域责任制。
4、施工现场建立文明、安全、用电、卫生、消防等管理制度，大门入口处,设置“五牌一图”，施工作业人员进入现场全部佩带胸卡,由保安人员确认后方可进入。
5、在施工现场显眼处放置安全生产,文明施工的标志及操作规程，消防设施齐全有效，所有施工人员均会正确使用消防器材，场地硬化、平整无积水，并作好明沟排水排污措施。
6、建筑材料分类、分规格堆放，并作好标识，现场构件保管将依据标准采取必要的防雨、防潮、防晒、防火、防爆、防损坏等措施，机械布置整齐有序,保持道路畅通；现场的排水、排污应埋设排水管。
第二节临时设施布置计划一、临时设施布置原则临时设施布置要符合国家和郑州市安全文明的有关规定。
施工现场临时设施搭设及供水、供电、卫生、生活设施的布置，均先绘制平面布置图报甲方或总承包方批准后进行。
建筑平面图识图(精品课件超详细)精选全文
面图投影方向；
（2）查阅图纸目录
查看剖面图。
剖切位置
投影方向 投影方向
2、首层平面图识图要点 楼板
剖面图识读要
点：结合平面
图想立体。
门洞 过梁
梁 门
标高 窗
2、首层平面图识图要点
12、识读索引
符号：断面剖 剖切位置 切位置，详图
编号及页码，
查看详图。
详图在本 页，编号 为1号的
详图
投影方向： 引出线在哪 边往哪边看
M1为双扇 平开门，向
外开启
M4为推拉 门
平面图推拉 门的表达方
法 门的位置、 开启方向及
编号
2、首层平面图识图要点
7、平面图--门识读 要点： （2）查图纸目录， 找到门窗表看门窗 洞口尺寸；
门窗表
类 别
编号
洞口尺寸
数 量
C-1 3300x1800 2
C-2 2700x1800 2
C-3 900x1500 2
楼梯间在平面 图中的位置
点：
（1）楼梯间的
在平面图中的
位置、楼梯的 走向。
楼梯详图所 在页码，建 施图第 6页
ห้องสมุดไป่ตู้
只有上表示底 层；有上有下 表示中间层； 只有下表示顶
层
楼梯的走向
2、首层平面图识图要点 楼梯宽
9、楼梯识读要点： （2）查阅图纸目录， 找到对应楼梯详图， 查看楼梯步数、踏面 宽度和梯段长度以及 休息平台尺寸。
M4门洞距4 号轴线 240mm
M4门洞 宽
1800m m
2、首层平面图识图要点
8、平面图--窗识读要点： （1）看窗编号：窗户编号 一般用C+数字进行编号； （2）查图纸目录，找到门 窗表看门窗洞口尺寸； （3）查图纸目录找到对应 编号门窗大样图看细节。
平面图
17.4 平面图的对偶图
实线边图为平面图，虚线边图为其对偶图。
17.4 平面图的对偶图
从定义不难看出G的对偶图G*有以下性质： G*是平面图，而且是平面嵌入。 G*是连通图。 若边 e 为 G中的环，则 G*与 e对应的边 e* 为桥，若 e 为桥， 则G*中与e对应的边e*为环。 在多数情况下，G*为多重图（含平行边的图）。
i 1 i 1 k k
(17.1)
由于每个Gi 有一个外部面，而G只有一个外部面，所以G的面数 k r ri k 1
i 1
于是，对(17.1)的两边同时求和得
2k (ni mi ri ) ni mi ri n m r k 1
17.3 平面图的判断
例17.1 证明彼得松图不是平面图。
证 明
将彼得松图顶点标顺序，见图 (1)所示。 在图中将边(a,f), (b,g), (c,h), (d,i), (e,j)收缩，
所得图为图 (2)所示，它是K5，
由定理17.1彼得松图，令 G'=G-{(j,g),(c,d)} G‘如图 (3)所示，易知它与K3,3同胚， 由定理17.15可知，G为非平面图。
17.4 平面图的对偶图
一、对偶图的定义 定义17.6 设G是某平面图的某个平面嵌入，构造G的对偶图 G*如下： 在G的面Ri中放置G*的顶点vi* 。
设e为G的任意一条边，
若 e 在 G 的面 Ri 与 Rj 的公共边界上，做 G* 的边 e* 与 e 相交， 且e*关联G*的位于Ri与Rj中的顶点vi*与vj*，即e*=(vi*,vj*) ，e*不与其它任何边相交。 若e为G中的桥且在面Ri的边界上，则e*是以Ri中G*的顶点 vi*为端点的环，即e*=(vi*,vi*)。
第3章 平图与平面图
第1节 平图与Euler公式
基本性质 性质1
10
若图 G 是平面图，则 G 的任何子图都是平面图。
性质2
性质3
若图 G 是非平面图，则 G 的任何母图都是非平面图。
若图 G 是平面图，则在 G 中添加重边或环边后所得之
图仍是平面图。
注：由以上定理知
(1) K n ( n ≤ 4 ) 和 K1,n (n ≥ 1) 及其所有子图都是平面图。 (2) 环边和重边不影响图的平面性。
返回 结束
第1节 平图与Euler公式
定理3.1.2
14
平面图 G 中所有面的次数之和等于 G 的边数的
两倍，即
deg( f ) 2
i 1 i
r
其中 f1 , … , fr 是 G 的所有面。
证明：对
G 的任何一条边 e ，若 e 是两个面 fi 和 fj 的公共
边界，则在计算 fi 和 fj 的次数时， e 各提供了 1 ；若 e 只 是某一个面的边界，则在计算该面的次数时， e 提供了 2 。
返回 结束
第2节 Kuratowski定理
定理3.2 (Kuratowski定理 1930)
24
P125
图G是平面图 G不含K5或K3,3的细分图。
根据Kuratowski定理，可以断定：所有树都是平面图。
补充 (Wager定理 1937)
P128
图G是平面图 G不含边收缩为K5或K3,3的子图。
定理3.1.4 设G是简单平面图，则G是极大的 ε= 3ν- 6。 推论3.1.4.1 设G是简单平面图，则 ε≤ 3ν- 6。 推论3.1.4.2 若图G是简单平面图，则δ≤5。 推论3.1.4.3 K5是非平面图。
平面图上如何判断断层性质
平面图上如何判断断层性质
首先你要学会断层的表示方法，判断断层的性质，是正断层还是逆断层；然后，根据垂直于断层走向的方向上两盘对应点等值线的值（或地层的深浅）来判断上盘和下盘：1、如果是正断层，等值线绝对值（深度在海拔以下前面加负号）大的或地层深的一盘为上盘（下降盘，当然，上升或下降是相对位置而言，断层分析里有讲的），另一盘为下盘（上升盘）；2、如果是逆断层，等值线绝对值大的或地层深的一盘为下盘（下降盘），另一盘为上盘（上升盘）。
不知道我讲清楚了没有，你可以针对不同的情况，自己画上几张草图就明白了。
顺便附上别人画的示意图。
建筑平面布置图(2024)
4
设计原则及规范要求
2024/1/29
设计原则
满足建筑物的使用功能要求；满 足安全要求；满足施工要求；满 足经济要求。
规范要求
建筑平面布置图应按照《房屋建 筑制图统一标准》进行绘制，包 括图线、字体、比例、符号等均 需符合规范要求。
5
绘制方法与步骤
绘制方法
一般采用正投影法绘制，特殊情况下也可采用斜投影法或透视法。
根据建筑用途和业主需求 ，将空间划分为不同的功 能区，如卧室、客厅、厨 房、卫生间等。
房间面积与比例
合理分配各功能区的面积 和比例，确保空间利用的 合理性。
9
楼梯间及电梯间布局
楼梯间位置
根据建筑平面布局和消防安全要求， 确定楼梯间的位置和数量。
电梯间布局
对于高层建筑或需要垂直交通的建筑 ，合理规划电梯间的位置和数量，确 保交通便捷和安全。
绘制步骤
确定绘图比例和图幅大小；绘制建筑定位轴线；绘制墙身轮廓线及门窗洞口； 标注尺寸及标高；绘制楼梯、台阶等细部结构；检查并加深图线；注写文字说 明及图名、比例等。
2024/1/29
6
02
建筑平面布置图基本要素
2024/1/29
7
墙体与门窗设置
01
02
03
墙体类型
根据建筑结构和功能需求 ，选择合适的墙体类型， 如承重墙、非承重墙等。
VS
案例分析
该高科技企业总部办公楼平面布置图以高 效、灵活、舒适为设计目标，通过合理的 功能分区和交通组织，实现了高效的工作 流程和舒适的办公环境。同时，结合企业 文化和员工需求，打造了具有科技感和创 新氛围的办公空间。
2024/1/29
25
办公类项目案例剖析
设计原则及规范要求
2024/1/29
设计原则
满足建筑物的使用功能要求；满 足安全要求；满足施工要求；满 足经济要求。
规范要求
建筑平面布置图应按照《房屋建 筑制图统一标准》进行绘制，包 括图线、字体、比例、符号等均 需符合规范要求。
5
绘制方法与步骤
绘制方法
一般采用正投影法绘制，特殊情况下也可采用斜投影法或透视法。
根据建筑用途和业主需求 ，将空间划分为不同的功 能区，如卧室、客厅、厨 房、卫生间等。
房间面积与比例
合理分配各功能区的面积 和比例，确保空间利用的 合理性。
9
楼梯间及电梯间布局
楼梯间位置
根据建筑平面布局和消防安全要求， 确定楼梯间的位置和数量。
电梯间布局
对于高层建筑或需要垂直交通的建筑 ，合理规划电梯间的位置和数量，确 保交通便捷和安全。
绘制步骤
确定绘图比例和图幅大小；绘制建筑定位轴线；绘制墙身轮廓线及门窗洞口； 标注尺寸及标高；绘制楼梯、台阶等细部结构；检查并加深图线；注写文字说 明及图名、比例等。
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02
建筑平面布置图基本要素
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墙体与门窗设置
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墙体类型
根据建筑结构和功能需求 ，选择合适的墙体类型， 如承重墙、非承重墙等。
VS
案例分析
该高科技企业总部办公楼平面布置图以高 效、灵活、舒适为设计目标，通过合理的 功能分区和交通组织，实现了高效的工作 流程和舒适的办公环境。同时，结合企业 文化和员工需求，打造了具有科技感和创 新氛围的办公空间。
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办公类项目案例剖析
图论课件第六章平面图
A6
A2
A5
A3
A4
7
第7页，本讲稿共35页
例子3：3间房子和3种设施问题
问题：要求把3种公用设施(煤气，水和电)分别用煤气管 道、水管和电线连接到3间房子里，要求任何一根线或管道 不与另外的线或管道相交，能否办到？
上面问题可以模型为如下偶图：
G
W
E
H1
H2
H3
问题转化为，能否把上面偶图画在平面上，使得边与边 之间不会交叉？
1、平面图的次数公式
12
第12页，本讲稿共35页
定理1 设G=(n, m)是平面图，则：
deg(f )2m
f
证明：对G的任意一条边e, 如果e是某面割边，那么由面 的次数定义，该边给G的总次数贡献2次；如果e不是割边， 那么，它必然是两个面的公共边，因此，由面的次数定义 ，它也给总次数贡献2次。于是有：
19
第19页，本讲稿共35页
所以， l (n2)4(62)8
l2
2
而m=9，这样有：
m l (n 2) l 2
所以，由推论2，K3,3是非平面图。
推论3 设G是具有n个点m条边ф个面的简单平面图， 则：
m3n6
20
第20页，本讲稿共35页
证明：情形1，G连通。 因为G是简单图，所以每个面的次数至少为3，即l=3 。于是，由推论2得：
如果把每个景点分别模型为一个点，景点间连线，当且 仅当两景点间要铺设空调管道。那么，上面问题直接对应 的图为：
A1
A6
A2
A5 A3
A4
于是，问题转化为：能否把上图画在平面上，使得边不 会相互交叉？
6
第6页，本讲稿共35页
通过尝试，可以把上图画为：
离散数学平面图
则满足欧拉公式 v – e + r = 2 即：6-9+r=2，解得r=5
又因为任取K3,3中三个结点，至少有两个点不邻接， 所以不能组成一个面，即K3,3中任何 一个面至少由四条边围成，即：所有面 的次数之和deg(r) >=4r=20 又由定理1知：deg(r)=2|E|=18 即18>=20矛盾不。论怎所么以画，K总3,有3不交是叉点平面图。
❖ 平面图基本性质
设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v3, 则：e<=3v-6。等价于: 若不满足e<=3v-6，则G不是连通平面图。
例题：证明k5图不是平面图。
K5图中,v=5,e=10,10 3*v-6=35-6=9
但定理的条件只是必要条件。
如K3,3中v= 6,e =9, e<3v-6=12 满足条件，但K3,3不是平面图。
离散数学
❖ 图论
1 图的基本概念 2 路与回路 3 图的矩阵表示 4 欧拉图与汉密尔顿图 5 平面图 6 对偶图与着色 7 树与生成树
❖ 平面图基本概念
定义1：设G=<V,E>是一个无向图，如果能把G的所有结点和
边画在平面上，且使得任何两条边除了端点外没有其他的交点， 就称G是一个平面图。
(1)
G为k条边，再添加一条边，只有下述两种情况：
面数不变 点树加1 边数加1
点数不变 面数加1 边数加1
(Vk+1)-(ek+1)+rk=2成立
(Vk)-(ek+1)+(rk+1)=2成立
通过上述归纳法证明欧拉公式v-e+r=2成立。
❖ 平面图基本性质
例1：证明K3,3不是平面图
证：假设K3,3是平面图，
又因为任取K3,3中三个结点，至少有两个点不邻接， 所以不能组成一个面，即K3,3中任何 一个面至少由四条边围成，即：所有面 的次数之和deg(r) >=4r=20 又由定理1知：deg(r)=2|E|=18 即18>=20矛盾不。论怎所么以画，K总3,有3不交是叉点平面图。
❖ 平面图基本性质
设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v3, 则：e<=3v-6。等价于: 若不满足e<=3v-6，则G不是连通平面图。
例题：证明k5图不是平面图。
K5图中,v=5,e=10,10 3*v-6=35-6=9
但定理的条件只是必要条件。
如K3,3中v= 6,e =9, e<3v-6=12 满足条件，但K3,3不是平面图。
离散数学
❖ 图论
1 图的基本概念 2 路与回路 3 图的矩阵表示 4 欧拉图与汉密尔顿图 5 平面图 6 对偶图与着色 7 树与生成树
❖ 平面图基本概念
定义1：设G=<V,E>是一个无向图，如果能把G的所有结点和
边画在平面上，且使得任何两条边除了端点外没有其他的交点， 就称G是一个平面图。
(1)
G为k条边，再添加一条边，只有下述两种情况：
面数不变 点树加1 边数加1
点数不变 面数加1 边数加1
(Vk+1)-(ek+1)+rk=2成立
(Vk)-(ek+1)+(rk+1)=2成立
通过上述归纳法证明欧拉公式v-e+r=2成立。
❖ 平面图基本性质
例1：证明K3,3不是平面图
证：假设K3,3是平面图，
基础平面图和基础详图
基础平面图和基础详图在建筑设计和工程中，基础平面图和基础详图是两个非常重要的技术文档。
它们为建筑物的地基设计和施工提供了详细的工程图形和数据。
一、基础平面图基础平面图是一种二维的工程图形，它描绘了建筑物的地基布局和结构。
这种图通常是在初步设计阶段绘制的，其目的是为了表示建筑物的基础形式、尺寸和位置。
基础平面图也包括地质条件、地下管线和其他可能影响基础设计的相关信息。
基础平面图的内容可能因项目的复杂性和规模而异，但通常包括以下元素：1、建筑物的位置和尺寸2、基础的形状和尺寸3、地下管线的位置和方向4、地质条件的概述5、其他相关的注释和说明基础平面图为工程师和建筑师提供了一个共享的基础，以便他们可以在此基础上进行详细设计，并确保建筑物的基础能够满足结构和安全的要求。
二、基础详图基础详图是一种更详细的工程图形，它提供了建筑物基础的详细尺寸和构造信息。
这种图通常在详细设计阶段绘制，其目的是为了指导施工队伍进行建筑物的地基施工。
基础详图的内容可能因项目的复杂性和规模而异，但通常包括以下元素：1、基础的详细尺寸和形状2、基础的构造材料和类型3、地下管线的详细位置和方向4、地质条件的详细描述5、其他相关的注释和说明基础详图为施工队伍提供了清晰的指导，使他们能够准确地理解和执行地基的设计。
同时，它也为质量控制人员提供了依据，以确保地基的施工符合设计要求。
总结基础平面图和基础详图是建筑设计和工程中不可或缺的部分。
它们提供了建筑物地基的全面描述，从位置、尺寸到构造细节，以及相关的地质和水文条件。
这些图形对于指导施工队伍进行施工、确保设计意图的准确实现以及质量控制都至关重要。
它们也为结构工程师提供了评估和优化设计的机会，以确保建筑物的结构安全性和稳定性。
公允价值计量的逻辑基础和价值基础公允价值计量是一种以市场为基础的会计计量方法，它强调的是在公平市场上，交易双方自愿达成的交易价格。
这种计量方法的逻辑基础和价值基础对于理解其应用和意义非常重要。
离散数学--6.5 平面图
例4 设简单连通平面图有n(n3)个顶点、m条边, 则 m3n-6 证 不难证明3阶以上的简单连通平面图每个面的次数至 少为3, 由定理6.15立即得到要证的结论.
13
同Hale Waihona Puke 与收缩消去2度顶点v 如图从(1)到(2) 插入2度顶点v 如图从(2)到(1) G1与G2同胚: G1与G2同构, 或 经过反复插入、或消去2度顶 点后同构 收缩边e 如图从(3)到(4)
10
欧拉公式(续)
推论 设平面图G有 p (p2) 个连通分支, 则 nm+r=p+1 其中n, m, r 分别是G的阶数, 边数和面数. 证 设第 i 个连通分支有 ni个顶点, mi 条边和 ri 个面. 对各 连通分支用欧拉公式, ni mi + ri = 2, i = 1, 2, … , p 求和并注意 r = r1+…+rp p+1, 即得 nm+r=p+1
R3 R2 R1
(2)
说明: (1) 一个平面图可以有多个不同形式的平面嵌入, 它们都同构. (2) 可以通过变换(测地投影法)把平面图的任何一面作为 外部面
5
平面图的面与次数(续)
定理6.13 平面图各面的次数之和等于边数的2倍 证 一条边或者是2个面的公共边界, 或者在一个面的边界 中出现2次. 在计算各面的次数之和时, 每条边恰好被计算 2次.
与K5同胚 也可收缩到K5
16
对偶图
定义6.28 设平面图G有n个顶点, m条边和r个面, G的对偶 图G*=<V*,E*>构造如下: 在G的每一个面Ri中任取一个点vi*作为G*的顶点, V*= { vi*| i=1,2,…,r }. 对G每一条边ek, 若ek在G的面Ri与Rj的公共边界上, 则作边
13
同Hale Waihona Puke 与收缩消去2度顶点v 如图从(1)到(2) 插入2度顶点v 如图从(2)到(1) G1与G2同胚: G1与G2同构, 或 经过反复插入、或消去2度顶 点后同构 收缩边e 如图从(3)到(4)
10
欧拉公式(续)
推论 设平面图G有 p (p2) 个连通分支, 则 nm+r=p+1 其中n, m, r 分别是G的阶数, 边数和面数. 证 设第 i 个连通分支有 ni个顶点, mi 条边和 ri 个面. 对各 连通分支用欧拉公式, ni mi + ri = 2, i = 1, 2, … , p 求和并注意 r = r1+…+rp p+1, 即得 nm+r=p+1
R3 R2 R1
(2)
说明: (1) 一个平面图可以有多个不同形式的平面嵌入, 它们都同构. (2) 可以通过变换(测地投影法)把平面图的任何一面作为 外部面
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平面图的面与次数(续)
定理6.13 平面图各面的次数之和等于边数的2倍 证 一条边或者是2个面的公共边界, 或者在一个面的边界 中出现2次. 在计算各面的次数之和时, 每条边恰好被计算 2次.
与K5同胚 也可收缩到K5
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对偶图
定义6.28 设平面图G有n个顶点, m条边和r个面, G的对偶 图G*=<V*,E*>构造如下: 在G的每一个面Ri中任取一个点vi*作为G*的顶点, V*= { vi*| i=1,2,…,r }. 对G每一条边ek, 若ek在G的面Ri与Rj的公共边界上, 则作边
图论第6章-平面图
n–m+r=( n′+1)–(m′ +1)+r′= n′-m′ +r′ =2。
若G不是树，则G中含有回路。设边e在G的 某个回路上。令G′=G-e(从G中删除边e，而得 到G′)，则G′仍然是连通图。设n′，m′和r′分别是 的结点数、边数和面数。则n′=n，m′=m-1=k， r′=r–1 。 于 是 n=n′ ， m=m′+1 ， r=r′+1 。 因 为 G′ 是连通图且m′=k，所以G′满足归纳假设的条件。 由归纳假设知：n′–m′＋r′=2，所以 n–m+r= n′–(m′+1)+(r′+1)= n′-m′+r′=2。
v1
v4
R0 R2 R1 v2
v3 v5
v6
又例：下图为非连通的平面图，有两个连
通分支， deg(R1)=3， deg(R2)=4， R0的 边界由两个初级回路v1 v2 v3v1 和v4 v5 v6 v7 v4围成， deg(R0)=7 。
v1
v4
v7
v2
R1 v3R0 v5
R2
v6
定理：设G=V,E是有限平面图，有r个面，
如下图G1,G2,G3是同胚的。
G1
G2
G3
定理 (库拉斯基定理) 一个图G是非平面的，当 且仅当它包含一个同胚于K3.3或K5的子图。
例 说明彼得森图不是平面图。
解:删去下图(a)皮得森图的结点b,得其子图
(b)H。a 而H胚于Kf 3,3,所以皮c 得森不是平f面图。d
j
f ejg baFra bibliotekd g
6
36
4
54 12
7
8
若G不是树，则G中含有回路。设边e在G的 某个回路上。令G′=G-e(从G中删除边e，而得 到G′)，则G′仍然是连通图。设n′，m′和r′分别是 的结点数、边数和面数。则n′=n，m′=m-1=k， r′=r–1 。 于 是 n=n′ ， m=m′+1 ， r=r′+1 。 因 为 G′ 是连通图且m′=k，所以G′满足归纳假设的条件。 由归纳假设知：n′–m′＋r′=2，所以 n–m+r= n′–(m′+1)+(r′+1)= n′-m′+r′=2。
v1
v4
R0 R2 R1 v2
v3 v5
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又例：下图为非连通的平面图，有两个连
通分支， deg(R1)=3， deg(R2)=4， R0的 边界由两个初级回路v1 v2 v3v1 和v4 v5 v6 v7 v4围成， deg(R0)=7 。
v1
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R1 v3R0 v5
R2
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定理：设G=V,E是有限平面图，有r个面，
如下图G1,G2,G3是同胚的。
G1
G2
G3
定理 (库拉斯基定理) 一个图G是非平面的，当 且仅当它包含一个同胚于K3.3或K5的子图。
例 说明彼得森图不是平面图。
解:删去下图(a)皮得森图的结点b,得其子图
(b)H。a 而H胚于Kf 3,3,所以皮c 得森不是平f面图。d
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f ejg baFra bibliotekd g
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7
8
离散数学-图论-平面图
Scientific American数学 游戏栏目编辑
1975年4月1日,他发表 了声称只能用五色完成 的地图.
试试用四色?
18
作业
作业
P293: 2，5，6 P296: 2，5 b)，7, 5 a) c)
19
内部面.
例:面,边界,度,周线,相邻
边界为何不一定是圈?
因为割边的存在
面的度与边数
定理:平面图中面的度与图的边数m满足 fF(G) d(f ) = 2m
计算面的度时, 割边要算2次.
推论:平面图中奇度面数必为偶数.
欧拉公式
定理(欧拉1852):设G是连通平面图,它的顶点 数n, 边数m, 面数r 之间有 n–m+r=2
等号成立G是极大平面图 推论:简单平面图G中存在度小于6的顶点.
12
对偶图
定义:给定图G,如下构造的图G*,称为G的对偶 图(dual graph). 1.G中每个面Ri内放一个G*顶点v*i ; 2.对应面Ri和Rj的公共边e,作一条仅与e相交一 次的边e* (v*i,v*j) E(G*); 3.若割边e在面Ri的边界上,则作v*i上仅与e相交 一次的环e*.
例: K5是不可平面图.
K5是结点数最少的不可平面图.
例: K3,3是不可平面图.
K3,3是n6时边数最少的不可平面图.
8
Kuratowski定理
加细:在图的边上任意增加一些度为2的顶点.
原图与加细图称为同胚.
定理(Kuratowski):G是可平面图 G没有同胚 于K5和K3,3的子图.
平面图
1
平面图
定义:图G若能画在平面上,使任何两条边在顶 点之外都不相交, 就称G可嵌入平面,或称G是 可平面图.否则称不可平面图.
1975年4月1日,他发表 了声称只能用五色完成 的地图.
试试用四色?
18
作业
作业
P293: 2，5，6 P296: 2，5 b)，7, 5 a) c)
19
内部面.
例:面,边界,度,周线,相邻
边界为何不一定是圈?
因为割边的存在
面的度与边数
定理:平面图中面的度与图的边数m满足 fF(G) d(f ) = 2m
计算面的度时, 割边要算2次.
推论:平面图中奇度面数必为偶数.
欧拉公式
定理(欧拉1852):设G是连通平面图,它的顶点 数n, 边数m, 面数r 之间有 n–m+r=2
等号成立G是极大平面图 推论:简单平面图G中存在度小于6的顶点.
12
对偶图
定义:给定图G,如下构造的图G*,称为G的对偶 图(dual graph). 1.G中每个面Ri内放一个G*顶点v*i ; 2.对应面Ri和Rj的公共边e,作一条仅与e相交一 次的边e* (v*i,v*j) E(G*); 3.若割边e在面Ri的边界上,则作v*i上仅与e相交 一次的环e*.
例: K5是不可平面图.
K5是结点数最少的不可平面图.
例: K3,3是不可平面图.
K3,3是n6时边数最少的不可平面图.
8
Kuratowski定理
加细:在图的边上任意增加一些度为2的顶点.
原图与加细图称为同胚.
定理(Kuratowski):G是可平面图 G没有同胚 于K5和K3,3的子图.
平面图
1
平面图
定义:图G若能画在平面上,使任何两条边在顶 点之外都不相交, 就称G可嵌入平面,或称G是 可平面图.否则称不可平面图.
最大外平面图和最大平面图的性质
最大外平面图和最大平面图的性质最大外平面图和最大平面图的性质冯纪先武汉大学电子信息学院,湖北武汉摘要对最大外平面图的区数、边数、度数和色数等性质进行了研讨.利用步进法,证明了最大外平面图的色数为,且是唯一可着色的结论.利用最大外平面图的性质,对最大平面图的区数、边数、度数和色数等性质进行了讨论,并证明了色数为的那种最大平面图,是唯一可着色的结论.关键词最大外平面图;最大平面图;图着色;唯一是可着色中图分类号. 文献标识码文章编号本文首先对外平面图及最大外平面图最大平面图不一定含有圈‘.定义嵋的基本特性进行了若一个最大平面图存在圈,分析和讨论,得到一些有用的结果.然后,将这些结则称此最大平面图为最大平面图.果用来对平面图和最大平面图显然,不存在圈的最大平面图为非最大平面图.的某些性质作进一步的研讨,由此又得到另一些有意义的结果.本文也对最大外平面图的着色定义设图的边数为,令,则称为问题进行了探讨,求得最大外平面图的色数为,并图的度数.显然,也为图的所有点的度数之和.证明了最大外平面图为唯一可着色的.最大外平面图的性质定义若平面图的所有点在同一个区上,性质设最大外平面图‰有咒个点,,≥一般将这个区选为外部区无限区,则称此平面图,那么外平面图为最大外平面图的充要条件为在圈为外平面图。
.当然,也可通过“测地投影”法将外部区无限区转化成内部区有限区.设外平面图。
内的所有区均为三角形,也即最大外平面图为一多边形边数不小于的一个三角剖分图的阶数点数为,外部区无限区的边界也就.成为圈。
.显然,外平面图的边要么在圈。
上,要性质。
设最大外平面图的点数为咒,么在圈内.为了方便,本文将圈上的边称为周当咒≥时,圈外的外部区的区数为,圈内的边,圈内的边称为弦边.通过“测地投影”法,当将内部区的区数为挖一.外部区无限区转化为内部区有限区时,外平面性质设最大外平面图的点数为,图的边,有的在圈。
上,有的在圈外,此时圈外的边也就称为弦边. 当”≥时,圈外的边数为,圈上的边数即周定义叼若外平面图不能再加上边而不失边数为以,圈内的边数即弦边数为~.去外平面性,则称此外平面图为最大外平面图. 性质最大外平面图加的色数为,且最由定义和定义可见,外平面图和最大外平大外平面图是唯一可着色的.证明面图的外部区无限区的边界,即挖点圈。
建筑总平面图
原有建筑用细实线框表示，并在线框内，也用数字表示建筑层 数。拟建建筑物用虚线表示。拆除建筑物用细实线表示,并在其细实
线上打叉。
建筑总平面图
建筑总平面图 - 图示内容：
5、附近的地形地物，如等高线、道路、水沟、河流、池塘、土坡等。 6、指北针和风向频率玫瑰图 7、绿化规划、管道布置 8、道路(或铁路)和明沟等的起点、变坡点、转折点、终点的标高与 坡向箭头。
建筑总平面图 – 设计要求
1.注明城市道路中线（中粗点划线表示）及道路红线（细实 线表示）及其控制点坐标和道路宽度； • 2.注明用地界线及转角座标（与市规划局出具的用地界限图 的座标一致）； • 3.用地内的道路、硬地、停车位及其它小品用细实线表示、 绿地用细点（专用符号）表格； • 4.市政设施须按专业符号表示其位置、平面形状并注明名称， 市政管线须标出控制点实测坐标及国家规定的保护范围； • 5.注明原有建筑物（细实线表示）和拟拆除建筑物（细虚线 表示）及各部分层数、尺寸； • 6.注明规划建筑（粗实线表示）和报建建筑（粗实线加细阴 影线表示）各部分的层数、外包尺寸和名称，并注明建筑最凸部分 （阳台、雨篷等）与周围建筑、用地红线的距离；
建筑总平面图
建筑总平面图也是房屋及其他设施施工的定位、土方施工以及 绘制水、暖、电等管线总平面图和施工总平面图的依据。 •在建筑总平面图中应包括以下内容: •总平面图 •(1)保留的地形和地物; •(2)测量坐标网、坐标值，场地范围的测量坐标(或定位尺寸)，道 路红线、建筑控制线，用地红线; •(3)场地四邻原有及规划的道路、绿化带等的位置(主要坐标或定位 尺寸)和主要建筑物及构筑物的位置、名称、层数、间距; •(4)建筑物、构筑物的位置(人防工程、地下车库、油库、贮水池等 隐蔽工程用虚线表 •(5)与各类控制线的距离，其中主要建筑物、构筑物应标注坐标 •(或定位尺寸)、与相邻建筑物之间的距离及建筑物总尺寸、名称 (或编号)、层数;
线上打叉。
建筑总平面图
建筑总平面图 - 图示内容：
5、附近的地形地物，如等高线、道路、水沟、河流、池塘、土坡等。 6、指北针和风向频率玫瑰图 7、绿化规划、管道布置 8、道路(或铁路)和明沟等的起点、变坡点、转折点、终点的标高与 坡向箭头。
建筑总平面图 – 设计要求
1.注明城市道路中线（中粗点划线表示）及道路红线（细实 线表示）及其控制点坐标和道路宽度； • 2.注明用地界线及转角座标（与市规划局出具的用地界限图 的座标一致）； • 3.用地内的道路、硬地、停车位及其它小品用细实线表示、 绿地用细点（专用符号）表格； • 4.市政设施须按专业符号表示其位置、平面形状并注明名称， 市政管线须标出控制点实测坐标及国家规定的保护范围； • 5.注明原有建筑物（细实线表示）和拟拆除建筑物（细虚线 表示）及各部分层数、尺寸； • 6.注明规划建筑（粗实线表示）和报建建筑（粗实线加细阴 影线表示）各部分的层数、外包尺寸和名称，并注明建筑最凸部分 （阳台、雨篷等）与周围建筑、用地红线的距离；
建筑总平面图
建筑总平面图也是房屋及其他设施施工的定位、土方施工以及 绘制水、暖、电等管线总平面图和施工总平面图的依据。 •在建筑总平面图中应包括以下内容: •总平面图 •(1)保留的地形和地物; •(2)测量坐标网、坐标值，场地范围的测量坐标(或定位尺寸)，道 路红线、建筑控制线，用地红线; •(3)场地四邻原有及规划的道路、绿化带等的位置(主要坐标或定位 尺寸)和主要建筑物及构筑物的位置、名称、层数、间距; •(4)建筑物、构筑物的位置(人防工程、地下车库、油库、贮水池等 隐蔽工程用虚线表 •(5)与各类控制线的距离，其中主要建筑物、构筑物应标注坐标 •(或定位尺寸)、与相邻建筑物之间的距离及建筑物总尺寸、名称 (或编号)、层数;
建筑平面图
1600
平开门 1000
2700
平开门 1000
2400
平开门 900
1900
普通双层窗 1800
2100
普通双层窗 1500
2100
普通双层窗 1200
2100
双层组合窗 2400
2100
8 4 4
标准图集 代号
平行双跑楼梯
平行双分式楼梯。
北
指北针：描述建筑朝向的符号。两种形式， 另一种形式是用风玫瑰图，该图不但表达了 建筑的朝向，还说明了该地区常年风向及该地区 每年刮风的频率。
北
北
建筑平面图图形部分阅读—了解房屋的平面布置及房屋功能。
建筑平面图图形部分阅读—了解房屋的平面布置及房屋功能。
二、三层平面图 1:100
建筑平面图图形部分阅读—了解房屋的平面布置及房屋功能。
四层平面图1:100
建筑平面图图形部分阅读—了解屋顶排水。
箭头为下坡方向，坡度为15%， （既水平方向100个单位，升高15个单位）
1.轴网（定位轴线及编号）：轴线用点画线、细线绘制。
A
2.指北针：
轴线为点画 线（细线）
直径8mm
次承重构件 轴线编号
1/6
3.标高符号：
细实线,直 径24mm
(数字)
45
约3mm
指针尾部宽 度约3mm
4. 图线要求： 在未平被面剖图切中到，的被可剖见切轮到廓的（墙如、窗柱台等、轮散廓水线、用楼粗梯实等线）绘，制尺寸线， 字体，用细实线绘制。门窗均用细实线绘制。
3-2 房屋建筑施工图---建筑平面图
平面图概述 平面图阅读
平面图绘制
建筑平面图概念
1.建筑平面图的形成： 建筑平面图是将房屋用假想的水平剖切平面沿门窗口 的位置剖切后,移去剖切平面以上的部分,从上部向下看得到的视图。
平面图及其性质
由定理5.20可知
2e 3r
代入欧拉公式v－e＋r = 2消去r，可得 e 3 v 6
定理5.21推论
推论
在任何简单连通平面图中，至少存在一个其度不 超过5的结点。
r
若全部结点的度均大于5，则有 6v
deg( R ) 2e
i 1 i
即3v≤e，再由定理5.21的公式e≤3v－6可得3v≤3v－6 ，矛盾。
所以 v－e＋r ＝ 2－1＋1 ＝2。
假设对小于 e 条边的所有图，欧拉公式成立。现 考虑e条边的图G，设它有v个结点。
增加一条边，为使图连通，这时只有如下两种情
况：
(1)该边的一端是悬挂点(以该点为端点的边数为 1的点)，这时增加了一个顶点和一条边，面数不变， 满足欧拉公式，即（v+1）-（e+1）+r=v-e+r=2; (2) 该边的两端为原图的两个顶点，这时顶点数 不增加，但增加了一条边和一个面，所以也满足欧拉 公式，即v-(e+1)+(r+1)=v-e+r=2; 综合以上，欧拉公式得证。
v－ e＋ r＝ 2
数学归纳法
第一数学归纳法 一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步 骤： （1）证明当n取第一个值n0 时命题成立。n0 对于一般数 列取值为0或1，但也有特殊情况；
（2）假设当n=k（ k≥ n0 ，k为自然数）时命题成立，证 明当n=k+1时命题也成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（n≥ n0 ），命题P(n） 都成立。
虽然欧拉公式可用来判别某个图是非平面 图，但是当结点数和边数较多时，应用欧拉公 式进行判别就会相当困难。 一个图是否有平面的 图形表示 是判别平 面图的最具说服力的方法，但是又因为工作量 太大而不实用。要找到一个好的方法去判断任 何一个图是否是平面图，就得对平面图的本质 有所了解。
平面图
平面图的Euler公式
问题1： 树是特殊的平面图。 树的顶点数，边数之 间有关系，而树的面数就是1. 它们能满足 n-m+r=2, 是否对一般的平面图也满足这个关系
问题2：如果一个平面图有不同的平面嵌入， 不同 的平面嵌入面数是否一样呢？（面数是平面图的最 重要的特征之一） • 下面的定理就回答了这个问题。
平面图的厚度
• 定义： 如果一个图不是平面图， 我们可以把它的 边嵌入到几个平面，使得每个平面上的边不交叉， 即把图的边集划分成 t
E (G) = Ei , Ei E j = , i j
i =1
且每个边导出的子图 G[ Ei ], i = 1,2,..,t 皆为平面图， t的最小值称为图G的厚度。 • 平面图的厚度为1. 非平面图，其厚度最少为2. 单 星妖怪的厚度为2. 其外面的五角星和连接内面五 角星的边成一平面图， 内五角星成一平面图。
• lr=2m, r=2m/n • 有公式 n-m+r=2,解得 • m=l(n-2)/(l-2)
极大平面图
定义: 一个图G是连通的可平面图,但任意不相 邻的两个顶点间加一条边都不可平面的, 则称 这个图是极大可平面图.
定理:设G是极大可平面图, 则G的每个面都是 一个三角形.
性质1： G是连通的 性质2： G不存在割边 性质3：设G为n（n3）阶极大平面图，则G的每个 面的次数均为3. 证明：充分性：设G’是G的平面嵌入， 且每个面皆3 次， 由公式所有的面的次数之和=2m, 则3r=2m,由 欧拉公式n-m+r=2, 则m=3n-6. 而平面图的边的上界 是3n-6,G’的边已经达到上界， 故G是极大平面图。
平面图的Euler公式
• 定理：（Euler公式） 设G 是具有 n 个点m 条边r个面的连通平面图，则有 n – m + r =2
平面图的基本概念
定理17.3 平面图各面次数之和等于边数的两倍.
5
极大平面图及性质
定义17.3 若在简单平面图G中的任意两个不相邻的顶点之间 加一条新边所得图为非平面图，则称G为极大平面图。
注意：若简单平面图G中没有不相邻顶点，G显然是极大平 面图，如K1(平凡图), K2, K3, K4都是极大平面图。
极大平面图的性质 定理17.4 极大平面图是连通的。n（n3）阶极大平面图中 不可能有割点和桥。 注意：平面图不一定连通，极大平面图一定是连通的。
定理17.5 设G为n（n3）阶简单连通的平面图，G为极大平 面图当且仅当G的每个面的次数均为3。
6
定理的应用
(1)
(2)
(3)
由定理17.5很容易判断，上图中，只有(3)为极大平面图。
7
极小非平面图
定义17.4 若在非平面图G中任意删除一条边，所得图为平面 图，则称G为极小非平面图。 由定义不难看出： (1) K5, K3,3都是极小非平面图 (2) 极小非平面图必为简单图
(3)
(4)
在图中，(2)是(1) 的平面嵌入，(4)是(3)的平面嵌入.
2
说明及简单结论
平面嵌入只是平面图的一种画法，上图中4个图都是平面图， 但只有(2)、(4)是平面嵌入。一般所谈平面图不一定是指平面 嵌入，但讨论某些性质时，可能会与图的画法有关，这时一 定是指平面嵌入。
结论： (1) K1~K4,G，若G为平面图，则G 也是平面图；若G 为非平
图中所示各图都是极小非平面图.
8
17.2 欧拉公式
定理17.6 设G为n阶m条边r个面的连通平面图，则nm+r=2 （此公式称为欧拉公式） 定理17.7 （欧拉公式的推广）设G是具有k（k2）个连通分 支的平面图，则nm+r=k+1
5
极大平面图及性质
定义17.3 若在简单平面图G中的任意两个不相邻的顶点之间 加一条新边所得图为非平面图，则称G为极大平面图。
注意：若简单平面图G中没有不相邻顶点，G显然是极大平 面图，如K1(平凡图), K2, K3, K4都是极大平面图。
极大平面图的性质 定理17.4 极大平面图是连通的。n（n3）阶极大平面图中 不可能有割点和桥。 注意：平面图不一定连通，极大平面图一定是连通的。
定理17.5 设G为n（n3）阶简单连通的平面图，G为极大平 面图当且仅当G的每个面的次数均为3。
6
定理的应用
(1)
(2)
(3)
由定理17.5很容易判断，上图中，只有(3)为极大平面图。
7
极小非平面图
定义17.4 若在非平面图G中任意删除一条边，所得图为平面 图，则称G为极小非平面图。 由定义不难看出： (1) K5, K3,3都是极小非平面图 (2) 极小非平面图必为简单图
(3)
(4)
在图中，(2)是(1) 的平面嵌入，(4)是(3)的平面嵌入.
2
说明及简单结论
平面嵌入只是平面图的一种画法，上图中4个图都是平面图， 但只有(2)、(4)是平面嵌入。一般所谈平面图不一定是指平面 嵌入，但讨论某些性质时，可能会与图的画法有关，这时一 定是指平面嵌入。
结论： (1) K1~K4,G，若G为平面图，则G 也是平面图；若G 为非平
图中所示各图都是极小非平面图.
8
17.2 欧拉公式
定理17.6 设G为n阶m条边r个面的连通平面图，则nm+r=2 （此公式称为欧拉公式） 定理17.7 （欧拉公式的推广）设G是具有k（k2）个连通分 支的平面图，则nm+r=k+1
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列取值为0或1，但也有特殊情况；
（2）假设当n=k（ k≥ n0 ，k为自然数）时命题成立，证
明当n=k+1时命题也成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（n≥ n0 ），命题P(n）
都成立。
证明
对G的边数e进行归纳。
若e=0，由于G是连通图， 故必有v ＝1。 这时 只有一个无限面， 即r＝1。所以有v －e＋r＝2。
，矛盾。
定理 5.22
定理 5.22
K5和K3，3都是非平面图
K5如图5.6.4，这里v＝5，e＝10，而3v－6=3×5 －6＝9≤10，所以K5不是平面图。
图 5.6.4 图K5
证明
若K3,3是平面图，则每个面的度为4，因而 有4r=2e，即2r=e，代入欧拉公式v－e＋r = 2 ，则应有2v-e=4,但2×6－9＝3，矛盾。 故K3,3不是平面图。
， 而 R3 在 图 形 之 外 ， 称 为 无 限 面 （ 外 部 面 ） ， 它 由 回 路 v1v2v3v4v7v1所围，所以
deg(R1) =8 ，deg(R2) =3 ，deg(R3) =5。
图5.6.3 有限面和无限面（外部面 ）示例
定理5.20
定理 5.20 一个有限平面图，其面的度之和等于其边数的两倍
如图5.6.1（a）所示，A，B，Ｃ是3个车间，M，Ｎ ，P是3座仓库。经过努力表明，要想建造不相交的道路 是不可能的，但可以使交叉点最少（如图5.6.1（b））
。
图5.6.1
引入
这些实际问题涉及到平面图的研究。近年 来，由于大规模集成电路的发展，也促进了平 面图的研究。
例如在电路设计中常常要考虑布线是否可 以避免交叉以减少元件间的互感影响。如果必 然交叉，那么怎样才能使交叉处尽可能少？或 者如何进行分层设计，才使每层都无交叉？
虽然欧拉公式可用来判别某个图是非平面 图，但是当结点数和边数较多时，应用欧拉公 式进行判别就会相当困难。
一个图是否有平面的 图形表示 是判别平 面图的最具说服力的方法，但是又因为工作量 太大而不实用。要找到一个好的方法去判断任 何一个图是否是平面图，就得对平面图的本质 有所了解。
Kuratowski建立了一个定理，定性地说明
(1)该边的一端是悬挂点(以该点为端点的边数为 1的点)，这时增加了一个顶点和一条边，面数不变， 满足欧拉公式，即（v+1）-（e+1）+r=v-e+r=2;
(2)该边的两端为原图的两个顶点，这时顶点数 不增加，但增加了一条边和一个面，所以也满足欧拉 公式，即v-(e+1)+(r+1)=v-e+r=2;
，即
r
deg(Ri ) 2e
i
其中，r是G的面数，e为边数。
定理5.20证明
因任何一条边，或者是两个面的公共边 ，或者是在一个面中作为边界被重复计算两 次。故 面的次数之和等于其边数的两倍。
3
例如在图5.6.3中, deg(ri) 83516 i1
这正好是边数８的两倍。
欧拉公式
欧拉公式
1750年欧拉发现，任何一个凸多面体的顶点数v 、边数e和面数r之间满足关系式
，面R 的度数记为deg(R)。
面
面的概念也可以用下面形象的说法 加以描述：假设把一个平面图画在平面上 ，然后用一把小刀，沿着图的边切开，那 么平面就被切成许多块，每一块就是图的 一个面。
更确切地说，平面图的一个面就是平 面的一块，它用边作边界线，且不能再分 成更小的块。
割边及与割边相关的概念
对边割集和割边通俗的理解： 边割集：无向图G去掉几条边以后，这个图的连通分支增
，(d)是(c)的一种细分图。容易知道，若G1是G 的细分图，则G1与G同为平面图或非平面图
G'
Kuratowski定理
定理 5.23（Kuratowski定理）
一个图是平面图当且仅当它不包含与K3,3 或K5的细分图 同构的子图。
例5.7
例5.7 证明图（a）（Petersen图）不是平面图。
下图（1）~（4）是平面图，（5）不是平面图。
应当注意，有些图从表面上看，它的某些边是相 交的，但是不能就此肯定它不是平面图。 如图 5.6.2(a)表面上看有几条边相交，但是把它画成图 5.6.2(b)，则可以看出它是一个平面图。
图5.6.2 平面图示例
平面图的特点
定义5.31
设G是一个平面图.若G的图形中由边围成的 封闭区域不能再分割成两个或两个以上的包含 更少边数的子区域，则称这个区域为G的面（ Face），包围这个区域的边称为面的边界 (Bound)，其中有一个面的区域为这个平面图的 外部边界组成，这个面称为外部面或无限面 (Exterior Face)。面的边界中的边数称为面的 度（Degree）（割边在计算时算作两条边！）
综合以上，欧拉公式得证。
定理5.19的推论
推论
设平面图G=<V,E>有k个连通分支，它 的顶点数，边数和面数分别为v,e和r，则 有v-e+r=k+1.
定理5.21
定理 5.21 设G是一个阶数（结点数）大于2的简单
连通平面图，顶点数和边数分别为v，e， 则有
e≤3v－6
设G有r个面， 因为每个面至少由3条边围成，所以 G的各面的度之和为
5.6.1 平面图及其性质
基本内容
平面图的相关概念 欧拉公式 Kuratowski(库拉托夫斯基)定理
平面图的定义
先从一个简单的例子谈起。一个工厂 有 3 个车间和 3 个仓库。为了工作需要 ，车间与仓库之间将设专用的车道。为避 免发生车祸，应尽量减少车道的交叉点， 最好是没有交叉点，这是否可能？
证明：删去Petersen图（a）中的结点b,得其细分 图(b)H.而图（b）H的细分图（去掉2度结点a，c，g ）与K3.3同构，由库拉托夫斯基定理可得Petersen图 不是平面图.
例题
面图，共有3 个面： R0,R1,R2 ；
R1 的边界： v1v3v4v1， deg(R1) =3；
v－e＋r = 2
这就是著名的欧拉公式。这个结论也可以推广到 平面图上来。
定理 5.19 设连通平面图G=<V,E>的顶点数，边数和面数分
别为v,e和r则有欧拉公式 v－e＋r＝2
数学归纳法
第一数学归纳法 一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步
骤：
（1）证明当n取第一个值n0 时命题成立。n0 对于一般数
加了（即 之前一个图变为现在两个图），而这些边所构成 的集合称为边割集。 割边：边割集中只有一条边，这条边就称为割边。
割边只能是一个面的边界！
若一条边不是割边，它必是两个面的公共边界； 两个以一条边为公共边界的面称为相邻的面。
示例解析
如图5.6.3的图有7个结点、8条边，它把平面分成三个
面：R1，R2，R3。其中： R1由回路v1v2v3v4v5v6v5v4v1所围，R2由回路v1v4v7v1 所围
由定理5.20可知 2 e 3 r
代入欧拉公式v－e＋r = 2消去r，可得 e 3v 6
定理5.21推论
推论
在任何简单连通平面图中，至少存在一个其度不 超过5的结点。
r
若全部结点的度均大于5，则有 6v deg(Ri ) 2e i 1
即3v≤e，再由定理5.21的公式e≤3v－6可得3v≤3v－6
了平面图的本质。
细分图
首先，在图G的边(u,v)上新增加一个2度结 点w，称为图G的细分。
严格的说，细分是从G中先删去边(u,v),再 增加一个新结点w及边(u,w)和边(v,w)。一条
边上也可以同时增加有限个2度结点，所得的
新图称为原图的细分图。
细分图示例
例如，在图5.23中(b)是(a)的一种细分图
平面图的定义
定义5.30 若简单图G=<V,E>的图形在平面上能画成如下
形式： （1）没有两个结点重合； （2）除结点外每条边不相交，则称G是具有平面 性的图，或简称为平面图（Planar Graph）。
示例
对于平面图G的定义，通俗的来说，就是能够把G 的所有结点和边画在平面上，且使得任何两条边除了 端点外没有其他的交点。 例如
若e=1，这时有两种情况： 1) 该边是自回路， 则有v＝1,r＝2。 所以 v－e＋r ＝ 1－1＋2 ＝2。 2) 该边不是自回路， 则有n＝2， r＝1。 所以 v－e＋r ＝ 2－1＋1 ＝2。
假设对小于e条边的所有图，欧拉公式成立。现 考虑e条边的图G，设它有v个结点。
增加一条边，为使图连通，这时只有如下两种情 况：
v1
v4
R2 的边界：v1v2v3v1 ，
v6 deg(R2)=3 ；
R1
R2
v2
v3
v5 R0
R0 的边界为复杂回路： v1v2v3v4v5v6v5v4v1， deg(R0)=8 。
例题
R1的边界: a R2的边界: bce R3的边界: fg R0的边界: abcdde, fg
deg(R1)= 1 deg(R2)= 3 deg(R3)= 2 deg(R0)= 8
（2）假设当n=k（ k≥ n0 ，k为自然数）时命题成立，证
明当n=k+1时命题也成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（n≥ n0 ），命题P(n）
都成立。
证明
对G的边数e进行归纳。
若e=0，由于G是连通图， 故必有v ＝1。 这时 只有一个无限面， 即r＝1。所以有v －e＋r＝2。
，矛盾。
定理 5.22
定理 5.22
K5和K3，3都是非平面图
K5如图5.6.4，这里v＝5，e＝10，而3v－6=3×5 －6＝9≤10，所以K5不是平面图。
图 5.6.4 图K5
证明
若K3,3是平面图，则每个面的度为4，因而 有4r=2e，即2r=e，代入欧拉公式v－e＋r = 2 ，则应有2v-e=4,但2×6－9＝3，矛盾。 故K3,3不是平面图。
， 而 R3 在 图 形 之 外 ， 称 为 无 限 面 （ 外 部 面 ） ， 它 由 回 路 v1v2v3v4v7v1所围，所以
deg(R1) =8 ，deg(R2) =3 ，deg(R3) =5。
图5.6.3 有限面和无限面（外部面 ）示例
定理5.20
定理 5.20 一个有限平面图，其面的度之和等于其边数的两倍
如图5.6.1（a）所示，A，B，Ｃ是3个车间，M，Ｎ ，P是3座仓库。经过努力表明，要想建造不相交的道路 是不可能的，但可以使交叉点最少（如图5.6.1（b））
。
图5.6.1
引入
这些实际问题涉及到平面图的研究。近年 来，由于大规模集成电路的发展，也促进了平 面图的研究。
例如在电路设计中常常要考虑布线是否可 以避免交叉以减少元件间的互感影响。如果必 然交叉，那么怎样才能使交叉处尽可能少？或 者如何进行分层设计，才使每层都无交叉？
虽然欧拉公式可用来判别某个图是非平面 图，但是当结点数和边数较多时，应用欧拉公 式进行判别就会相当困难。
一个图是否有平面的 图形表示 是判别平 面图的最具说服力的方法，但是又因为工作量 太大而不实用。要找到一个好的方法去判断任 何一个图是否是平面图，就得对平面图的本质 有所了解。
Kuratowski建立了一个定理，定性地说明
(1)该边的一端是悬挂点(以该点为端点的边数为 1的点)，这时增加了一个顶点和一条边，面数不变， 满足欧拉公式，即（v+1）-（e+1）+r=v-e+r=2;
(2)该边的两端为原图的两个顶点，这时顶点数 不增加，但增加了一条边和一个面，所以也满足欧拉 公式，即v-(e+1)+(r+1)=v-e+r=2;
，即
r
deg(Ri ) 2e
i
其中，r是G的面数，e为边数。
定理5.20证明
因任何一条边，或者是两个面的公共边 ，或者是在一个面中作为边界被重复计算两 次。故 面的次数之和等于其边数的两倍。
3
例如在图5.6.3中, deg(ri) 83516 i1
这正好是边数８的两倍。
欧拉公式
欧拉公式
1750年欧拉发现，任何一个凸多面体的顶点数v 、边数e和面数r之间满足关系式
，面R 的度数记为deg(R)。
面
面的概念也可以用下面形象的说法 加以描述：假设把一个平面图画在平面上 ，然后用一把小刀，沿着图的边切开，那 么平面就被切成许多块，每一块就是图的 一个面。
更确切地说，平面图的一个面就是平 面的一块，它用边作边界线，且不能再分 成更小的块。
割边及与割边相关的概念
对边割集和割边通俗的理解： 边割集：无向图G去掉几条边以后，这个图的连通分支增
，(d)是(c)的一种细分图。容易知道，若G1是G 的细分图，则G1与G同为平面图或非平面图
G'
Kuratowski定理
定理 5.23（Kuratowski定理）
一个图是平面图当且仅当它不包含与K3,3 或K5的细分图 同构的子图。
例5.7
例5.7 证明图（a）（Petersen图）不是平面图。
下图（1）~（4）是平面图，（5）不是平面图。
应当注意，有些图从表面上看，它的某些边是相 交的，但是不能就此肯定它不是平面图。 如图 5.6.2(a)表面上看有几条边相交，但是把它画成图 5.6.2(b)，则可以看出它是一个平面图。
图5.6.2 平面图示例
平面图的特点
定义5.31
设G是一个平面图.若G的图形中由边围成的 封闭区域不能再分割成两个或两个以上的包含 更少边数的子区域，则称这个区域为G的面（ Face），包围这个区域的边称为面的边界 (Bound)，其中有一个面的区域为这个平面图的 外部边界组成，这个面称为外部面或无限面 (Exterior Face)。面的边界中的边数称为面的 度（Degree）（割边在计算时算作两条边！）
综合以上，欧拉公式得证。
定理5.19的推论
推论
设平面图G=<V,E>有k个连通分支，它 的顶点数，边数和面数分别为v,e和r，则 有v-e+r=k+1.
定理5.21
定理 5.21 设G是一个阶数（结点数）大于2的简单
连通平面图，顶点数和边数分别为v，e， 则有
e≤3v－6
设G有r个面， 因为每个面至少由3条边围成，所以 G的各面的度之和为
5.6.1 平面图及其性质
基本内容
平面图的相关概念 欧拉公式 Kuratowski(库拉托夫斯基)定理
平面图的定义
先从一个简单的例子谈起。一个工厂 有 3 个车间和 3 个仓库。为了工作需要 ，车间与仓库之间将设专用的车道。为避 免发生车祸，应尽量减少车道的交叉点， 最好是没有交叉点，这是否可能？
证明：删去Petersen图（a）中的结点b,得其细分 图(b)H.而图（b）H的细分图（去掉2度结点a，c，g ）与K3.3同构，由库拉托夫斯基定理可得Petersen图 不是平面图.
例题
面图，共有3 个面： R0,R1,R2 ；
R1 的边界： v1v3v4v1， deg(R1) =3；
v－e＋r = 2
这就是著名的欧拉公式。这个结论也可以推广到 平面图上来。
定理 5.19 设连通平面图G=<V,E>的顶点数，边数和面数分
别为v,e和r则有欧拉公式 v－e＋r＝2
数学归纳法
第一数学归纳法 一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步
骤：
（1）证明当n取第一个值n0 时命题成立。n0 对于一般数
加了（即 之前一个图变为现在两个图），而这些边所构成 的集合称为边割集。 割边：边割集中只有一条边，这条边就称为割边。
割边只能是一个面的边界！
若一条边不是割边，它必是两个面的公共边界； 两个以一条边为公共边界的面称为相邻的面。
示例解析
如图5.6.3的图有7个结点、8条边，它把平面分成三个
面：R1，R2，R3。其中： R1由回路v1v2v3v4v5v6v5v4v1所围，R2由回路v1v4v7v1 所围
由定理5.20可知 2 e 3 r
代入欧拉公式v－e＋r = 2消去r，可得 e 3v 6
定理5.21推论
推论
在任何简单连通平面图中，至少存在一个其度不 超过5的结点。
r
若全部结点的度均大于5，则有 6v deg(Ri ) 2e i 1
即3v≤e，再由定理5.21的公式e≤3v－6可得3v≤3v－6
了平面图的本质。
细分图
首先，在图G的边(u,v)上新增加一个2度结 点w，称为图G的细分。
严格的说，细分是从G中先删去边(u,v),再 增加一个新结点w及边(u,w)和边(v,w)。一条
边上也可以同时增加有限个2度结点，所得的
新图称为原图的细分图。
细分图示例
例如，在图5.23中(b)是(a)的一种细分图
平面图的定义
定义5.30 若简单图G=<V,E>的图形在平面上能画成如下
形式： （1）没有两个结点重合； （2）除结点外每条边不相交，则称G是具有平面 性的图，或简称为平面图（Planar Graph）。
示例
对于平面图G的定义，通俗的来说，就是能够把G 的所有结点和边画在平面上，且使得任何两条边除了 端点外没有其他的交点。 例如
若e=1，这时有两种情况： 1) 该边是自回路， 则有v＝1,r＝2。 所以 v－e＋r ＝ 1－1＋2 ＝2。 2) 该边不是自回路， 则有n＝2， r＝1。 所以 v－e＋r ＝ 2－1＋1 ＝2。
假设对小于e条边的所有图，欧拉公式成立。现 考虑e条边的图G，设它有v个结点。
增加一条边，为使图连通，这时只有如下两种情 况：
v1
v4
R2 的边界：v1v2v3v1 ，
v6 deg(R2)=3 ；
R1
R2
v2
v3
v5 R0
R0 的边界为复杂回路： v1v2v3v4v5v6v5v4v1， deg(R0)=8 。
例题
R1的边界: a R2的边界: bce R3的边界: fg R0的边界: abcdde, fg
deg(R1)= 1 deg(R2)= 3 deg(R3)= 2 deg(R0)= 8