四川省宜宾市2021届高三上学期第一次诊断考试数学(理)试题
四川省2021届高三数学上学期一诊模拟试题 理(含解析)
2021届高三数学上学期一诊模拟试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作Im()z b =，则3Im 1i i +⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ） A. -1 B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简31ii++，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案． 【详解】解：3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-， 又复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =， 3()11iIm i+∴=-+． 故选：A ．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算、虚部的定义，属于基础题． 2.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A .3B. 6-C. 10D. 15-【答案】C 【解析】 【分析】程序框图的作用是计算22221234-+-+，故可得正确结果. 【详解】根据程序框图可知2222123410S =-+-+=，故选C. 【点睛】本题考查算法中的选择结构和循环结构，属于容易题. 3.关于函数()tan f x x =的性质，下列叙述不正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π B. ()f x 是偶函数C. ()f x 的图象关于直线()2k x k Z π=∈对称 D. ()f x 在每一个区间(,)()2k k k Z πππ+∈内单调递增【答案】A 【解析】试题分析：因为1()tan()()22tan f x x f x xππ+=+=≠，所以A 错；()tan()tan ()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数，B 正确；由()tan f x x =的图象可知，C 、D 均正确；故选A. 考点：正切函数的图象与性质.4.已知0,0a b >>，则“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：当01a <≤且01b <≤时，由不等式性质可得2a b +≤且1ab ≤；当31,22a b ==，满足2a b +≤且1ab ≤，但不满足1a ≤且1b ≤，所以“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的充分不必要条件，故选A.考点：1.不等式性质；2.充要条件.5.如果21nx ⎫-⎪⎭的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式中x 的指数为0,得到5n r =,由此可得正整数n 的最小值是5. 【详解】因为21nx ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为52121()(1)n rrn rr r rr nn T C C x x--+=-=-,(0,1,2,)r n =,令502n r-=,则5n r =,因为*n N ∈,所以1r =时,n 取最小值5. 故选:C【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式,利用通项公式是解题关键,属于基础题.6.在约束条件：1210x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩下，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则ab 的最大值等于（ ） A.12B. 38C.14D.18【答案】D 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a ，b 的关系，利用基本不等式求ab 的最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）， 由(0,0)z ax by a b =+>>，则a z y x b b =-+，平移直线a zy x b b=-+，由图象可知当直线a zy x b b=-+经过点(1,2)A 时直线的截距最大，此时z 最大为1．代入目标函数z ax by =+得21a b +=． 则1222a b ab =+， 则18ab当且仅当122a b ==时取等号，ab ∴的最大值等于18， 故选：D ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及基本不等式是解决此类问题的基本方法．7.设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝（ ） A.152B.314C.334D.172【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质易得a 3＝1，进而由求和公式可得q 12=，再代入求和公式计算可得． 【详解】由题意可得a 2a 4＝a 32＝1，∴a 3＝1， 设{a n }的公比为q ，则q ＞0， ∴S 3211q q =++1＝7，解得q 12=或q 13=-（舍去），∴a 121q ==4，∴S 551413121412⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-故选B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．8. 用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（ ） A. 288个 B. 306个 C. 324个 D. 342个【答案】C 【解析】试题分析：当个位、十位、百位全为偶数时，有3313434390C A C A -=；当个位、十位、百位为两个奇数、一个偶数时，有21312133434333234C C A A C C A -=，所以共有90234324+=种,故选C.考点：1.分类计数原理与分步计数原理；2.排列与组合.【名师点睛】本题主要考查两个基本原理与排列、组合知识的综合应用问题，属难题；计数原理应用的关键问题是合理的分类与分步，分类要按时同一个的标准进行，要做到不重不漏，分类运算中的每一类根据实际情况，要分步进行.9.已知函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-，且其导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->，则当24a <<时，有（ ） A. ()()22(2)log af f f a <<B. ()()2log (2)2af a f f <<C. ()()2log 2(2)af a f f <<D. ()()2(2)log 2af f a f <<【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->,可得()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增,可得(2)f 为最小值,再根据对称轴和单调性可得2(log )(2)af a f <,从而可知选D【详解】因为函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-, 所以()f x 的图象关于2x =对称,又当2x >时,'()0f x >,2x <时,'()0f x <, 所以()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增, 所以2x =时,函数取得最小值,因为24a <<,所以2221log 2log log 42a =<<=,2224a >=, 所以224log 3a <-<, 所以224log 2aa <-<,所以2(4log )(2)af a f -<, 所以2(log )(2)af a f <,所以()()2(2)log 2af f a f <<.故选:D【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性,考查了利用单调性比较大小,考查了利用对数函数的单调性比较大小,属于中档题.10.对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是（ ）A. [6,)+∞B. [4,6]-C. (4,6)-D.(,4]-∞-【答案】A 【解析】 【分析】首先将|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关,转化为圆上的点到直线1;3490l x y --=的距离与到直线2:340l x y a -+=的距离之和与,x y 无关,继续转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间,再根据圆心到直线的距离小于等于半径且(349)(34)0a ---+≤,解不等式组可得答案.【详解】因为|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关,所以+的取值与x ，y 无关,取值与x ，y 无关,即圆上的点到直线1;3490l x y --=的距离与到直线2:340l x y a -+=的距离之和与,x y 无关,因为圆心(1,1)到直线1;3490l x y --=21=>,所以直线1;3490l x y --=与圆相离,所以直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间,1≥,且(349)(34)0a ---+≤,所以6a ≥或4a ≤- 且1a ≥, 所以6a ≥. 故选:A【点睛】本题考查了点到直线的距离公式,利用点到直线的距离公式将问题转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间是解题关键,属于中档题.11.若a ，b ，c 满足，||||2||2a b c ===，则()()a b c b -⋅-的最大值为（ ） A. 10 B. 12C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】设OA a =，OB b =，OC c =，表示出a b -，-c b 利用向量的数量积的定义求出最值.【详解】解：设OA a =，OB b =，OC c =，则a b BA -=，c b BC -=()()cos a bc b BA BC BA BC ABC ∴--==⋅∠||||2||2a b c ===4BA ∴≤，3BC ≤当且仅当BA ，BC 同向时()()a b c b --取最大值12故()()max12a bc b --=故选：B【点睛】本题考查向量的数量积的定义，属于中档题.12.已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -,点E 是棱AB 的中点，12CF FC =，动点P 在正方形11AA DD （包括边界）内运动，且1PB 面DEF ，则PC 的长度范围为（ ）A. [13,19]B. 335,195⎡⎤⎢⎥⎣ C. 335,13⎡⎤⎢⎥⎣ D.339,19⎡⎤⎢⎥⎣【答案】B 【解析】 分析】如图:先作出过1B P 且与平面DEF 平行的平面,可知点P 的轨迹为QN ,然后根据平面几何知识求出DP 的最小值和最大值,根据勾股定理可求出PC 的取值范围. 【详解】如图所示:在1AA 上取点Q ,使得112AQ QA =,连接1B Q ,因为12CF FC =,所以1//B Q DF ; 取11C D 的中点M ,连接1B M ,因为E 为AB 的中点,所以1//B M DE ; 因此平面1//B QM 平面DEF ,过M 作//MN DF 交1DD 于N ,则四点1,,,B Q N M 共面,且123DN DD =, 因为1//B P 平面DEF ,所以点P 在线段QN 上运动, 连接DP ,根据正方体的性质可知CD DP ⊥,所以PC ,在平面QADN 中,1=AQ ,3AD =,2DQ =,所以DNDQ ==所以点D 到QN的距离为1322152⨯⨯=, 所以DP,, 所以PC5=,=. 所以PC的取值范围是5⎡⎢⎣. 故选:B【点睛】本题考查了作几何体的截面,考查了平面与平面平行的判定,考查了立体几何中的轨迹问题,关键是作出点P 的运动轨迹,属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上） 13.命题“2,1x N x ∀∈>”的否定为__________．” 【答案】2,1x N x ∃∈≤ 【解析】全称命题“,()x M p x ∀∈”的否定是存在性命题“,()x M p x ∃∈⌝”，所以“2,1x N x ∀∈>”的否定是“2,1x N x ∃∈≤”．14.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量为1600,则中间一组（即第五组）的频数为 ▲ . 【答案】360 【解析】 【详解】根据题意9个小长方形面积依次为0.02,0.02,0.022,0.023,0.024,0.023,0.022,0.02,0.02d d d d d d d +++++++因为9个小长方形面积和为1，所以0.82160.1811600(0.024)36016d d d +=∴=∴⨯+= 15.设O 、F 分别是抛物线22y x =的顶点和焦点，M 是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为__________. 【答案】233【解析】【详解】试题分析：设点M 的坐标为(,)M x y ，由抛物线的定义可知，12MF x =+，则222222122411111()2224x MOx yx x x xMFx x x x x -+++====++++++， 令14t x =-，则14t >-,14x t =+,若t>02112311139933216162MO t MF t t t t =+=+≤+=++++3t 4=时等号成立， 所以MOMF的最大值为33. 考点：1.抛物线的定义及几何性质；2.基本不等式.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及几何性质、基本不等式，属中档题；求圆锥曲线的最值问题，可利用定义和圆锥曲线的几何性质，利用其几何意义求之，也可根据已知条件把所求的问题用一个或两个未知数表示，即求出其目标函数，利用函数的性质、基本不等式或线性规划知识求之. 16.已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211a b +--的最小值为 ．【答案】424+ 【解析】试题分析：因为，所以，则（当且仅当，即时，取等号）；故填4243+． 【方法点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值问题，属于难题；解决本题的关键是消元、裂项，难点是合理配凑、恒等变形，目的是出现基本不等式的使用条件（正值、定积），再利用基本不等式进行求解，但要注意验证等号成立的条件. 考点：基本不等式．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知3c =,且1sin cos 64C C π⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭.（1）求角C 的大小;（2）若向量()1,sin m A =与()2,sin n B =共线, 求,a b 的值. 【答案】(1)3π;(2)3,23a b ==． 【解析】试题分析：（1）根据三角恒等变换，sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可解得3C π=；（2）由m 与n 共线， 得sin 2sin 0B A -=，再由正弦定理，得2b a =，在根据余弦定理列出方程，即可求解,a b 的值.试题解析：（1）2113sin cos cos ,2cos 2122C C C C C -=-=, 即sin 21,0,2662C C C ππππ⎛⎫-=<<∴-= ⎪⎝⎭,解得3C π=. （2）m 与n 共线,sin 2sin 0B A ∴-=, 由正弦定理sin sin a bA B=,得2b a =,① 3c =,由余弦定理，得2292cos3a b ab π=+-, ② 联立①②,{a b ==考点：正弦定理；余弦定理.18.学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：（Ⅰ）根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20()P K k ≥0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.0100k0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635【答案】（I ）没有的把握认为“古文迷”与性别有关；（II ）“古文迷”的人数为3，“非古文迷”有2；（III ）分布列见解析，期望为95. 【解析】【详解】（I ）由列联表得所以没有的把握认为“古文迷”与性别有关．（II ）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为人，“非古文迷”有人．即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人（III ）因为为所抽取3人中“古文迷”的人数，所以的所有取值为1，2,3．，，．所以随机变量ξ的分布列为123于是．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点.（Ⅰ）求证：CD ∥平面1A EB ； （Ⅱ）求证：1AB ⊥平面1A EB ；（Ⅲ）求直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值为15【解析】【详解】证明：（Ⅰ）设11AB A B 和的交点为O ,连接EO ，连接EO .因为O 为1AB 的中点，O 为EO 的中点,所以EO ∥1AB 且112OD BB =.又O 是1AB 中点， 所以AB ∥1AB 且112OD BB =,所以AB ∥EO 且EC OD =.所以，四边形ECOD 为平行四边形.所以EO ∥EC .又CD ⊄平面1A BE ,EO ⊂平面1A BE ,则EC ∥平面1A BE . (Ⅱ)因为三棱柱各侧面都是正方形，所以1BB AB ⊥，1BB AB ⊥. 所以1BB ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB AB ⊥. 由已知得AB BC AC ==，所以CD AB ⊥, 所以ABC 平面11A ABB .由（Ⅰ）可知EO ∥EC ，所以CD ⊂平面11A ABB . 所以CD ⊂1AB .因为侧面是正方形，所以11AB A B ⊥.又1EO A B O ⋂=，EO ⊥平面1A EB ，1A B ⊂平面1A EB , 所以1A B ⊂平面1A BE .（Ⅲ）解: 取11A C 中点F ，连接1,?B F EF . 在三棱柱111ABC A B C -中，因1BB ⊥平面ABC ，所以侧面11ACC A ⊥底面1AB ⊥.因为底面1AB ⊥是正三角形，且F 是11A C 中点， 所以111B F AC ⊥，所以1BB ⊥侧面11ACC A . 所以EF 是11A C 在平面11ACC A 上的射影. 所以1FEB ∠是11A C 与平面11ACC A 所成角.111sin 5B F BE F B E ∠==20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为())12,F F ,以椭圆短轴为直径的圆经过点()1,0M . (1)求椭圆C 的方程;(2)过点M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,设点()3,2N ,直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ,问12k k +是否为定值?并证明你的结论.【答案】(1)2213x y +=；(2)定值为2.【解析】试题分析：（1）由题意得到c =1b OM ==，所以a =（2）联立直线方程与椭圆方程，得到韦达定理2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++. 试题解析： （1）依题意，c =222a b -=.∵点()1,0M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ∴1b OM ==，∴a =∴椭圆C 的方程为2213x y +=.（2）①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1x =，y =.设A ⎛ ⎝⎭，1,B ⎛ ⎝⎭，则122233222k k ++=+=为定值. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()1y k x =-.将()1y k x =-代入2213x y +=整理化简，得()2222316330k x k x k +-+-=.依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+. 又()111y k x =-，()221y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+-- ()()()()()()122112232333y x y x x x --+--=-- ()()()()()1221121221321393k x x k x x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+---⎣⎦⎣⎦=-++ ()()()121212121212224693x x k x x x x x x x x ⎡⎤-++-++⎣⎦=-++()22122222223361222463131633933131k k x x k k k k k k k ⎡⎤--++⨯-⨯+⎢⎥++⎣⎦=--⨯+++ ()()2212212621k k +==+. 综上得12k k +为常数2.点睛：圆锥曲线大题熟悉解题套路，本题先求出椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，求得韦达定理，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++，为定值．21.已知函数()ln ()f x tx x t =+∈R . （1）当1t =-时，证明：()1f x ≤-；（2）若对于定义域内任意x ，()1xf x x e ≤⋅-恒成立，求t 的范围 【答案】（1）见解析 （2）(,1]-∞ 【解析】 【分析】（1）构造函数()ln 1g x x x =-+利用导数求出函数的单调性，得到函数的最大值，即可得证；（2）参变分离得到ln 1xx t e x +≤-在(0,)+∞恒成立，构造函数ln 1()xx x e xϕ+=-求出函数的最小值，即可得到参数t 的取值范围.【详解】（1）证明：即是证明ln 1x x -≤-，设()ln 1g x x x =-+，1()xg x x-'=当01x <<，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >，()0g x '<，()g x 单调递减；所以()g x 在1x =处取到最大值，即()(1)0g x g ≤=，所以ln 1x x -≤-得证 （2）原式子恒成立即ln 1xx t e x+≤-在(0,)+∞恒成立 设ln 1()xx x e xϕ+=-， 22ln ()x x e x x x ϕ+'=，设2()ln xQ x x e x =+， ()21()20x Q x x x e x '=++>，所以()Q x 单调递增，且102Q ⎛⎫< ⎪⎝⎭，(1)0Q > 所以()Q x 有唯一零点0x ，而且0200ln 0x x ex ⋅+=，所以0200ln x x e x ⋅=-两边同时取对数得()()0000ln ln ln ln x x x x +=-+-易证明函数ln y x x =+是增函数，所以得00ln x x =-，所以01x e x =所以由()x ϕ在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()0000000ln 111()1xx x x x e x x x ϕϕ+-+≥=-=-= 于是t 的取值范围是(,1]-∞【点睛】本题考查利用导数证明不等式恒成立问题，属于中档题.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.在极坐标系下，已知圆:cos sin O ρθθ=+和直线()2:sin 0,024l πρθρθπ⎛⎫-=≥≤≤ ⎪⎝⎭（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标.【答案】（1） 圆O 的直角坐标方程为x 2+y 2-x-y=0,直线l 的直角坐标方程为x-y+1=0 （2）【解析】试题分析：（1）根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+ 将圆O 和直线l 极坐标方程化为直角坐标方程（2）先联立方程组解出直线l 与圆O 的公共点的直角坐标，再根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+化为极坐标试题解析：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ， 即ρ2＝ρ cos θ＋ρ sin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0. 直线l ：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得，，解得即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)， 将(0，1)转化为极坐标为，即为所求．23.已知函数()2321f x x x =++-． （1）求不等式()5f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x m <-的解集非空，求实数m 的取值范围．【答案】（1）73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）6m >或2m <- 【解析】 【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f （x ）的最小值，得到关于m 的不等式，解出即可． 【详解】（1）原不等式为：23215x x ++-≤，当32x ≤-时，原不等式可转化为425x --≤，即7342x -≤≤-； 当3122x -<<时，原不等式可转化为45≤恒成立，所以3122x -<<；当12x ≥时，原不等式可转化为425x +≤，即1324x ≤≤．所以原不等式的解集为73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由已知函数()342,2314,22142,2x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，可得函数()y f x =的最小值为4，所以24m ->，解得6m >或2m <-．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
2021-2022学年四川省宜宾市普通高中高三上学期一诊数学试卷(理科)(含答案解析)
2021-2022学年四川省宜宾市普通高中高三上学期一诊数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|x2−x−2≤0}，B={x|−1≤x<2}，则A∩B=()A. {x|−1≤x<2}B. {x|0≤x<2}C. {0,1}D. {−1,0,1,2}2.已知i是虚数单位，复数z=2+1+i1−i，则|z|=()A. √5B. √3C. 2D. 13.北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神州十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神州十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，发射取得圆满成功．据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭的质量(除燃料外)m(单位：kg)的函数关系是ν=2000ln(1+Mm).当火箭的最大速度达到11.5km/s时，则燃料质量与火箭质量之比约为()(参考数据：e5.75≈314)A. 314B. 313C. 312D. 3114.已知向量m⃗⃗⃗ =(−7,2+a)，n⃗=(a+13,−6)，若n⃗=λm⃗⃗⃗ ，则λ=()A. −2或73B. −2或37C. −2D. 375.二项式(1+2x)7的展开式中含x3项的系数为()A. 35B. 70C. 140D. 2806.某工厂响应“节能降耗”的号召，积极进行技术改造．技术改造过程中某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(千瓦)的几组对应数据如表：产量x(吨)1020304050生产能耗y(千瓦)62m758189根据上表提供的数据，由最小二乘法求得回归直线方程为ŷ=0.67x+54.9，那么表中m的值为()A. 69B. 68C. 67D. 667. 函数y=ex3e x−e−x(其中e为自然对数的底数)的图象大致为()A. B.C. D.8. 若a=0.50.6，b=0.60.5，c=log93，则a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. c<a<bC. c<b<aD. b<c<a9. 已知过坐标原点O的直线l与函数y=|sinx|的图象有且仅有三个公共点，若这三个公共点的横坐标的最大值为α，则下列等式成立的是()A. α+cosα=0B. α+sinα=0C. α+tanα=0D. α−tanα=010. 电影院每排的座位号分单双号分布，每一排的中间是小号，往两边依次变大，如，中间开始，往左边座位号分布为1→3→5→⋯，往右边座位号分布为2→4→6→⋯.国庆档电影上映前五天，《长津湖》以21.31亿元的票房收入高居票房榜榜首．长江社区为了慰问烈士家属，购买了某场放映《长津湖》同一排座位号为2，4，6，8，10，12的六张电影票，准备全部分发给甲、乙、丙、丁四个烈士家庭，每个家庭至少一张，至多两张，且分给同一家庭的两张票必须座位相连，那么不同的分法种数是()A. 24B. 48C. 96D. 14411. 已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)在区间(0,π)内恰好有3个零点，则ω的取值范围是()A. (53,83] B. [53,83) C. (83,113] D. [83,113)12. 若直线x=a与两曲线y=e x，y=lnx分别交于A，B两点，且曲线y=e x在A点处的切线为m，曲线y=lnx在B点处的切线为n，则下列结论：①∃a∈(0,+∞)，使m//n；②当m//n时，|AB|取得最小值；③|AB|的最小值为2；④|AB|>ln2+log 2e.其中所有正确结论的序号是( )A. ①B. ①②③C. ①②④D. ①②③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=12，a 2+a 5=17，则a 11=______14. 若变量x ，y 满足约束条件{9x −3y −1≥0x +y −1≤0y ≥−1，则目标函数z =x +4y 的最大值为______．15. 已知△ABC 的面积为3−√32，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =√3−1，则角C =______． 16. 在平面直角坐标系中，O.为坐标原点，A 的坐标为(1,0)，点P 为动点，且满足|PO||PA|=2，记f(t)=|2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +t OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |(t ∈R)，若f(t)的最小值为d min ，则d min 的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，从下面①②中任取一个作为条件，证明另外一个成立． ①{1S n }的前n 项的和为nn+1； ②a 2=2a 1，且满足点(n,a n )(n ∈N ∗)在斜率为2的直线上．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足(3b −2c)bcosA =a 2+b 2−c 2．(1)求cosA 的值；(2)如图，点D 在边AB 上，且DB =DC =2，AC =√5，求△DBC 的面积．19. 已知函数f(x)=1−e xx ,g(x)=x −1．(1)求函数y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求证：当x >0时，f(x)的图像在g(x)的图像下方．20. 2021年“远大美乐杯”四川男子篮球联赛在绵阳进行，大赛分为常规赛和季后赛两种．常规赛分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场和客场比赛，积分排名前8的球队进入季后赛．季后赛的总决赛采用五场三胜制(“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军).假设下面是宜宾队在常规赛42场比赛中的比赛结果记录表：(1)根据表中信息，是否有85%的把握认为宜宾队在常规赛的“胜负”与“主客场”有关？(2)假设宜宾队与某队在季后赛的总决赛中相遇，且每场比赛结果相互独立，并假设宜宾队除第五场比赛获胜的概率为12外，其他场次比赛获胜的概率等于其在常规赛42场比赛中获胜的频率．记X 为宜宾队在总决赛中获胜的场数．(ⅰ)求X 的分布列；(ⅱ)求宜宾队获得本赛季的总冠军的概率．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．21. 已知函数f(x)=e xx −ax +alnx ．(1)若a =1，求f(x)的极值点；(2)若f(x)≥0，求a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =2+2cosαy =−1+2sinα(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π6)=√3．(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与圆C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ，求1|PA|+1|PB|的值．23. 已知函数f(x)=|x −m|−|x −3|(m >0)的最大值为4．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 均为正数，且a +2b +3c =m ，求a 2+b 2+c 2的最小值．参考答案及解析1.答案：C解析：∵集合A ={x ∈N|x 2−x −2≤0}={x ∈N|−1≤x ≤2}={0,1,2}，B ={x|−1≤x <2}，∴A ∩B ={0,1}．故选：C ．求出集合A ，利用交集定义能求出A ∩B ．本题考查集合的运算，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：∵z =2+1+i 1−i =2+(1+i)2(1−i)(1+i)=2+i ，∴|z|=√22+12=√5．故选：A ．根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题． 3.答案：B解析：由题意可得，v =11.5×1000=11500，则11500=2000ln(1+M m )，故M m =e 5.75−1≈314−1=313．故选：B ．令v =11500，即可求得燃料质量与火箭质量之比．本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题． 4.答案：B解析：向量m⃗⃗⃗ =(−7,2+a)，n ⃗ =(a +13,−6)， 因为n⃗ =λm ⃗⃗⃗ ， 所以(a +13,−6)=λ(−7,2+a)，则{a +13=−7λ−6=λ(2+a)，解得λ=−2或37． 故选：B ．利用已知的向量坐标和向量的关系，列出方程组，求解即可．本题考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．5.答案：D解析：二项式(1+2x)7中，T r+1=C 7r (2x)r =2r C 7r x r ，当r =3时，2r C 7r =23C 73=8×7×6×53×2×1=280． ∴展开式中含x 3项的系数为280．故选：D ．T r+1=C 7r (2x)r =2r C 7r x r ，当r =3时，能求出展开式中含x 3项的系数．本题考查二项式定义的应用，考查二项式定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6.答案：B解析：由表可知，x −=15×(10+20+30+40+50)=30，y −=15×(62+m +75+81+89)=m+3075， 所以样本中心点为(30,m+3075)， 将其代入y ̂=0.67x +54.9中，得m+3075=0.67×30+54.9，所以m =68．故选：B ． 根据样本中心点在回归直线方程上，即可得解．本题考查线性回归方程，考查运算求解能力，属于基础题．7.答案：A解析：函数的定义域为{x|x ≠0}，令f(x)=y =ex 3e x −e −x ，∴f(−x)=−ex 3e −x −e x =f(x)， 故函数f(x)是偶函数，图象关于y 轴对称，又f(3)=27e 2−e −4>279=3，故选：A ．利用函数的性质，排除法，即可得到函数的大致图象．本题考查了函数的性质，函数图象，学生的数学运算能力，属于基础题． 8.答案：B解析：∵函数y=0.5x在R上是减函数，∴0.5<0.50.6<0.50.5，又∵函数y=x0.5在(0,+∞)上是增函数，∴0.50.5<0.60.5，而c=log93=0.5，故c<a<b，故选：B．利用指数函数、幂函数单调性比较三个数的大小即可．本题考查了指数函数、幂函数单调性的应用，属于基础题．9.答案：D解析：解：∵函数f(x)=|sinx|的图象与y=kx仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为α，).则α∈(π,3π2∵直线y=kx与y=−sinx相切，∴k=−−sinα，同时，由y′=−cosx，α∴k=−cosα．=−cosα，因此，−−sinαα∴α=tanα，即α−tanα=0，故选：D．=−cosα，由此可得α的根据题意，画出图象，然后根据切线斜率的定义以及斜率公式，求得−−sinαα值．本题重点考查了三角函数图象与性质、三角函数图象变换等知识，解题关键是数形结合思想在解题中的应用，属于中档题．10.答案：D解析：根据题意，分2步进行分析：①，先将6张票分为符合条件的4份；4个家庭分6张票，且每个家庭至少一张，至多两张，则两个家庭一张，2个家庭2张，。
四川省宜宾市翠屏区2024届高三一模数学(理)试题含解析
宜宾市高2021级高三一诊模拟考试数学（理工类）（答案在最后）本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.第I 卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}|55 U x x =-<<，集合{}2|450A x x x =--<，{}|24B x x =-<<，则()UA B ⋃=ðA.[4,5) B.(5,2]--C.(5,2)-- D.(4,5)【答案】B 【解析】【分析】根据并集的定义求得A∪B ，再根据补集的定义即可求解．【详解】∵集合A={x|﹣1＜x ＜5}，集合B={x|﹣2＜x ＜4}，∴A ∪B={x|﹣2＜x ＜5}，()U C A B ⋃={x|﹣5＜x≤2}，故选B ．【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．2.设121iz i i+=--，则||z =A.0 B.1C.D.3【答案】B 【解析】【分析】先将z 分母实数化，然后直接求其模．【详解】11122=2=211121i i i iz i i i i i i i z +++=---=---+=（）（）（）（）【点睛】本题考查复数的除法及模的运算，是一道基础题．3.几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为A.729B.428C.356D.243【答案】D 【解析】【分析】先找到三视图对应的几何体，再利用棱锥的体积公式得解.【详解】由题得几何体原图是如图所示的四棱锥P-ABCD ，底面是边长为9的正方形，高PA=9,所以几何体的体积为2199=2433V =⋅⋅.故选D【点睛】本题主要考查根据三视图找原图，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.已知,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥r r的一个充分条件是（）A.a α⊥，b β//，αβ⊥B.a α⊥，b β⊥，//αβC.a α⊂，b β⊥，//αβD.a α⊂，b β//，αβ⊥【答案】C 【解析】【分析】在A 中，a 与b 可以成任意角；在B 中a 与b 是平行的；在C 中，可得b α⊥，从而得到a b ⊥r r；在D 中，可得a 与b 可以成任意角，从而得到正确结果.【详解】由a ，b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，在A 中，a α⊥，b β//，αβ⊥，因为b 的方向不确定，则a 与b 可以成任意角，故A 错误；在B 中，a α⊥，b β⊥，//αβ，根据对应的性质可知，可知a 与b 是平行的，故B 错误；在C 中，由a α⊂，b β⊥，//αβ，可知b α⊥，由线面垂直的性质可知a b ⊥r r，故C 正确；在D 中，a α⊂，b β//，αβ⊥，可得a 与b 可以成任意角，故D 错误．故选：C.【点睛】该题考查线线垂直的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，在解题的过程中，注意结合图形去判断，属于中档题目．5.函数233()sin 22f x x x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的图像大致为A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】先根据奇偶性淘汰A,C ，再根据函数最值确定选项.【详解】因为()()233sin 22x f x x x f x ππ-≤≤-=-=-，所以()f x 为奇函数，不选A,C ，又因为()333222x f x f πππ⎛⎫-≤≤≤ ⎪⎝⎭时，所以选D.【点睛】由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复6.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1AB 、1BC 的中点，下列结论中，正确的是A.1EF BB ⊥ B.EF ⊥平面11BCC B C.//EF 平面1D BC D.//EF 平面11ACC A 【答案】D 【解析】【分析】连接1B C ，利用中位线证得//EF AC ，由此证得//EF 平面11ACC A .【详解】连接1B C 交1BC 于F ，由于四边形11BCC B 是平行四边形，对角线平分，故F 是1B C 的中点.因为E 是1AB 的中点，所以EF 是三角形1B AC 的中位线，故//EF AC ，所以//EF 平面11ACC A .故选D.【点睛】本小题主要考查直线和平面的位置关系，考查棱柱的侧面是平行四边形这一几何性质，还考查了三角形的中位线以及线面平行的证明.两条直线平行，在直观图中，这两条直线是平行的，通过直观感知//EF AC ，再根据线面平行的判定定理即可得出正确的选项.属于基础题.7.若函数()(1)ln f x x x ax =+-在()0,∞+具有单调性，则a 的取值范围是（）A.()2,+∞ B.[)2,+∞ C.(],2-∞ D.(),2-∞【分析】根据导数与函数的单调性的关系进行求解即可.【详解】由()1()(1)ln ln 1f x x x ax f x x a x'=+-⇒=++-，当函数()(1)ln f x x x ax =+-在()0,∞+单调递增时，()0f x '≥恒成立，得1ln 1a x x ++≤，设()()221111ln 1x g x x g x x x x x-'=++⇒=-=，当1x >时，()()0,g x g x '>单调递增，当01x <<时，()()0,g x g x '<单调递减，所以()()min 12g x g ==，因此有2a ≤，当函数()(1)ln f x x x ax =+-在()0,∞+单调递减时，()0f x '≤恒成立，得1ln 1a x x ≥++，设()()221111ln 1x g x x g x x x x x-'=++⇒=-=，当1x >时，()()0,g x g x '>单调递增，当01x <<时，()()0,g x g x '<单调递减，所以()()min 12g x g ==，显然无论a 取何实数，不等式()0f x '≤不能恒成立，综上所述，a 的取值范围是(],2-∞，故选：C8.已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωφωφπ=+>><<的部分图象如图所示，则()2f π=A.322 B.322-C.32-D.32【分析】根据已知中函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωφωφπ=+>><<的图象，可分析出函数的最值，确定A 的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（3π，-3）代入解析式，可求出ϕ值，进而求出2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭．【详解】由图可得：函数()()sin f x A x ωφ=+的最大值3，∴3A =，又∵74123T ππ=-，ω＞0，∴T ＝π，ω＝2，将（3π，-3）代入()()sin f x A x ωφ=+，得sin （23π+ϕ）＝1-，∴23π+ϕ=2k Z 2k ，ππ-+∈，即ϕ=72k Z 6k ππ-+∈，，又0φπ<<∴ϕ=56π，∴()53sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴53 3sin 262f πππ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭故选C【点睛】本题主要考查的知识点是由函数的部分图象求三角函数解析式的方法，其中关键是要根据图象分析出函数的最值，周期等，进而求出A ，ω和φ值，考查了数形结合思想，属于中档题．9.已知函数()32cos f x x x =+，若a f =，(2)b f =，2(log 7)c f =,则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c <<B.c b a<< C.b a c<< D.b<c<a【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得()f x 在R 上为增函数，又由222log 4log 73=<<<【详解】解：根据题意，函数()32cos f x x x =+，其导数函数()32sin f x x '=-，则有()32sin 0f x x '=->在R 上恒成立，则()f x 在R 上为增函数；又由222log 4log 73=<<<则b<c<a ；【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题．10.平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，平面//α平面1A BD ，平面α 平面ABCD l =，则直线l 与直线1CD 所成的角为A.30 B.45C.60D.90【答案】C 【解析】【详解】如图所示，平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，平面//α平面1A BD ，平面α⋂平面AF ABCD l ==，11//,//CD BA BD AF ，则直线l 与直线1CD 所成的角即为直线AF 与直线1BA 所成的角为60 .故选C.11.已知函数()()8sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,若()f x 在,243m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,在223m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则实数m 的取值范围是()A.3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.55,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.,32ππ⎡⎤⎢⎣⎦D.4,83ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】由函数()f x 的最小正周期为π可得2ω=，求出()8sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的增区间与减区间，分别令,243m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦与223m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是其子集即可.【详解】由题意可得2ππω=，求得2ω=，令222232k x k πππππ-≤-≤+，求得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，由3222232k x k πππππ+≤-≤+，求得511,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因为()f x 在,243m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,在223m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以555312564212m m m ππππ⎧≤⎪⎪⇒≤≤⎨⎪≥⎪⎩，所以实数m 的取值范围是55,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选B.【点睛】函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：(1)代换法：①若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间；②若0,0A ω><,则利用诱导公式先将ω的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2)图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.12.若120x x a <<<都有211212ln ln x x x x x x -<-成立，则a 的最大值为A.12B.1C.eD.2e【答案】B 【解析】【分析】将题目所给不等式转化为12121ln 1ln x x x x ++<，构造函数()1ln xf x x+=，利用导数研究函数()f x 的单调性，由此得出正确的选项.【详解】原不等式可转化为12121ln 1ln x x x x ++<，构造函数()1ln x f x x +=，()'2ln x f x x-=，故函数在()0,1上导数大于零，单调递增，在()1,+∞上导数小于零，单调递减.由于12x x <且()()12f x f x <，故12,x x 在区间()0,1上，故a 的最大值为1，所以选B.【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成问题，考查了化归与转化的数学思想方法.属于中档题.第II 卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.若角α的顶点在坐标原点，始边为x 轴的正半轴，其终边经过点0(3,4)P --，tan α=___．【答案】43【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan α的值．【详解】角α的顶点在坐标原点，始边为x 轴的正半轴，其终边经过点P （﹣3，﹣4），则tan α4433-==-，故答案为43．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．14.若1sin 3α=，则cos 2=α__________．【答案】79【解析】【详解】2217cos 212sin 12().39αα=-=-⨯=15.已知,,A B C 是球O 的球面上的三点，60AOB AOC ︒∠=∠=，若三棱锥O ABC -的体积最大值为1，则球的表面积为______.【答案】16π【解析】【分析】作出草图，易得AOB 和AOC 均为等边三角形，当面AOC ⊥面AOB 时，三棱锥O ABC -的体积最大可求出球的半径R ，进而可得球的表面积.【详解】解:设球的半径为R ，如图所示，∵60AOB AOC ∠=∠=︒，∴AOB 和AOC 均为等边三角形，边长为R ，由图可得当面AOC ⊥面AOB 时，三棱锥O ABC -的体积最大，此时311331132228V R R R R =⨯⨯⨯⨯==，解得2R =，则球O 的表面积为24216S ππ=⨯=.故答案为：16π【点睛】本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题.16.设ABO （O 是坐标原点）的重心、内心分别是,G I ，且//BO GI，若(0,4)B ，则cos OAB ∠的最小值是__________．【答案】12【解析】【分析】由//BO GI，所以3A x r =，（r 为ABO ∆内切圆的半径），再由()1122ABO A S AB AO OB r OB x =++=⋅ ，从而得8AB AO +=，再由余弦定理222|cos 2AB AO OBOAB AB AO+-∠=⋅，结合基本不等式即可得最值.【详解】因为重心、内心分别是,G I ，且//BO GI，所以3A x r =，（r 为ABO ∆内切圆的半径），又()1113r 222ABO A S AB AO OB r OB x OB =++=⋅=⋅ .且4OB =.解得8AB AO +=.所以22222|()21624241cos 11222()2AB AO OBAB AO AB AO OAB AB AO AB AOAB AOAB AO+-+-⋅-∠===-≥-=+⋅⋅⋅.当且仅当4AB AO ==时，即ABO ∆为等边三角形cos OAB ∠有最小值12.【点睛】本题考查了三角形的重心与内心的性质、三角形的面积计算公式，余弦定理与基本不等式，综合性较强，难度较大.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知cos cos cos C A B +=cos A B .（1）求sin B 的值；（2）若1a c +=，求b 的取值范围.【答案】(1)sin 3B =;(2)13b ≤<.【解析】【分析】(1)在三角形中A B C π++=，运用诱导公式化简cos C 后求出结果(2)运用余弦定理结合已知条件1a c +=转化为一个未知数的表达式，求出结果【详解】（1）由已知得()cos cos cos cos A B A B A B -++=，即有sin cos cos A B A B =，因为sin 0A ≠，sin B B ∴=.由22sin cos 1B B +=，且0B π<<，得22sin 3B =.（2）由（1）可知1cos 3B =，由余弦定理，有2222cos b a c ac B =+-.因为1a c +=，1cos 3B =，有22811323b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又01a <<，13b ≤<【点睛】本题考查了解三角形，在解答过程中三个角都出现在已知条件中就运用诱导公式进行化简，转化为两个角的问题，容易忽略A B C π++=这个条件18.已知函数()2π4sin cos 6f x x x x ωωω⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（x ∈R 且0ω>）的两个相邻的对称中心的距离为π2．（1）求()f x 在R 上的单调递增区间；（2）将()f x 图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x ，若()12g α=，[]0,πα∈，求πcos 26α⎛⎫-⎪⎝⎭的值．【答案】（1）π5ππ,,Z1212k k k π⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）8-【解析】【分析】（1）先化简函数得π2sin 23y x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，再根据单调性求解即可；（2）先由平移伸缩得出()23πg x sin x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再结合二倍角余弦公式计算即得.【小问1详解】2π()4sin cos6f x x x xωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π22sin2sin23x x x xωωωω⎛⎫=-+-=+ ⎪⎝⎭π2sin 23x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由题意知，()f x 的最小正周期为π，所以2ππ2T ω==，解得1ω=，∴π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令πππ2π22π232k x k -+≤-≤+，Z k ∈，解得π5πππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈所以()f x 在R 上的单调递增区间为π5ππ,,Z1212k k k π⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】()23πg x sin x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1()2g α=，得π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵[0,π]α∈，∴ππ2π,333α⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴πcos 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴πππππ15cos 2cos 22sin cos 632338αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦19.已知函数()sin cos f x ax x x =+在32x π=处取得极值.（1）求a 的值；（2）求()f x 在[]0,π上的值域.【答案】（1）1a =；（2）π[1,2-.【解析】【分析】（1）对给定函数求导，利用函数极值点的意义求出a 并验证即得.（2）由（1）的结论，利用导数求出在指定区间上的最大最小值即可得解.【小问1详解】函数()sin cos f x ax x x =+，求导得()sin cos sin f x a x ax x x '=+-，由()f x 在32x π=处取得极值，得2103f a ⎛⎫'=-+= ⎪⎝π⎭，解得1a =，此时()cos f x x x '=，当π3π22x <<时，()0f x '<，当3π5π22x <<时，()0f x '>，即函数()f x 在32x π=处取得极值，所以1a =.【小问2详解】由（1）知()sin cos f x x x x =+，()cos f x x x '=，当π02x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当ππ2x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当[0,π]x ∈时，max ππ()()22f x f ==，而(0)1,(π)1f f ==-，即min ()1f x =-，所以函数()f x 在[]0,π上的值域为π[1,]2-.20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，棱1,AC CC 的中点分别为1,,D E C 在平面ABC 内的射影为D ，ABC 是边长为2的等边三角形，且12AA =，点F 在棱11B C 上运动（包括端点）．请建立适当的空间直角坐标系，解答下列问题：（1）若点F 为棱11B C 的中点，求点F 到平面BDE 的距离；（2）求锐二面角F BD E --的余弦值的取值范围．【答案】（1）334（2）1,22⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据点面距公式求得正确答案.（2）利用向量法求得锐二面角F BD E --的余弦值的表达式，结合函数的单调性求得其取值范围.【小问1详解】连接1DC ，依题意可知1DC ⊥平面ABC ，由于,AC BD ⊂平面ABC ，所以11,DC AC DC BD ⊥⊥，由于三角形ABC 是等边三角形，所以BD AC ⊥，BD ==1DC ==，以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则(13C ，()()131,0,0,,0,,3,022C E B ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，又()113,0C B B C ==- ，故(13,3B -，13,322F ⎛- ⎝，则13,0,22DE ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭= ，()3,0DB =，设平面BDE 的法向量为()111,,m x y z =，则1111302230m DE x z mDB ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，故可设()3,0,1m = ，又13,322BF ⎛=-- ⎝ ，所以点F 到平面BDE 的距离为3333224BF m m⋅== .【小问2详解】设()11101C F C B λλ=≤≤，()113,0C B =-，则(()(1111131,3,0,3,3DF DC C F DC C B λλλλ=+=+=+-=-，设平面BDF 的法向量为()222,,x n y z =，则222233030m DF x y z m DB λλ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，故可设)3,0,n λ= ，设锐二面角F BD E --为θ，则2231cos 2233m n m n λθλλ⋅-+===⋅⋅⨯++()223123λλ-=+，令[]()32,3t t λ-=∈，所以cos θ==设111,32s s t ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则cos θ=，二次函数221112611244y s s s ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭的开口向上，对称轴为14s =，所以当11,32s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，该二次函数单调递增，所以当13s =时，该二次函数有最小值21111261333⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭，当12s =时，该二次函数有最大值2111261122⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭，⎡⎣，即13cos ,22θ⎡∈⎢⎣⎦.所以锐二面角F BD E --的余弦值的取值范围1,22⎡⎢⎣⎦.21.已知函数()ln ,xe f x a x ax a R x=--+∈.（1）当0a ＜时,讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时,若关于x 的不等式1()()1xf x x e bx x++-≥恒成立,求实数b 的取值范围.【答案】（1）函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减（2）(],2∞-【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为11xlnx b e x x --- 恒成立，设1()x lnx g x e x x=--，根据函数的单调性求出()g x 的最小值，从而求出b 的范围即可．【详解】解：（1）由题意，知()()()221x x x ax e x a xe e f x a x x x---=--='+. 当0a <，0x >时，有0x ax e -<.∴当1x >时，()0f x '<；当01x <<时，()0f x '>.∴函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.（2）由题意，当1a =时，不等式()11xf x x e bx x ⎛⎫++-≥ ⎪⎝⎭恒成立.即()ln 11xxe x b x -+-≥恒成立，即ln 11xx b e x x-≤--恒成立.设()ln 1xx g x e x x =---.则()22221ln 1ln x xx x e x g x e x x x-+=-+='.设()2ln xh x x e x =+，则()()212xh x x x e x='++. 当0x >时，有()0h x '>.()h x ∴在()0,+∞上单调递增，且()10h e =>，1ln2024h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭. 函数()h x 有唯一的零点0x ，且0112x <<.当()00,x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增.即()0g x 为()g x 在定义域内的最小值.0000ln 11x x b e x x ∴-≤--.()00h x =，得0000ln xx x e x =-，0112x <<.()*⋯⋯令()xk x xe =，112x <<.∴方程()*等价于()()ln k x k x =-，112x <<.而()()1xk x x e +'=在()0,+∞上恒大于零，()k x ∴在()0,+∞上单调递增.故()()ln k x k x =-等价于ln x x =-，112x <<.设函数()ln m x x x =+，112x <<.易知()m x 单调递增.又11ln2022m ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()110m =>，0x ∴是函数的唯一零点.即00ln x x =-，01x e x =.故()g x 的最小值()()000000000ln 1111xx x g x e x x x x x -=--=--=.∴实数b 的取值范围为(],2-∞.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想,是一道综合题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求曲线1C 普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为(0,)θααπρ=<<∈R ，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且A ，B 均异于原点O，且||AB =α的值.【答案】（1）22(2)4x y -+=，22(2)4x y +-=；（2）34πα=.【解析】【分析】（1）消去参数ϕ可得1C 的普通方程，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线2C 的直角坐标方程；（2）曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，设()1,A ρα，()2,B ρα，则12||4|sin cos |AB ρραα=-=-=，求解即可【详解】（1）由22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，消去参数ϕ可得1C 普通方程为22(2)4x y -+=，4sin ρθ= ，24sin ρρθ∴=由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=；（2）由（1）得曲线221:(x 2)4C y -+=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得其极坐标方程为4cos ρθ=由题意设()1,A ρα，()2,B ρα，则12||4|sin cos |44AB πρρααα⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭sin 14πα⎛⎫∴-=± ⎪⎝⎭，()42k k Z ππαπ∴-=+∈，0απ<< ，34απ∴=.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()2f x x a a =-++，()124g x x x =-++．（1）解不等式()6g x <；（2）若对任意的1R x ∈，都存在2R x ∈，使得()()12g x f x =成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(31)x ∈-，；（2）1a ≥【解析】【分析】(1)利用零点讨论法解不等式()6g x <得解.(2)由（1）可知()g x 的值域为[)3,+∞，显然()f x 的值域为[2,,)a ++∞,可得[)3,[2,,)a +∞⊆++∞，进而可得解.【详解】（1）因为()124g x x x =-++=33,15,2133,2x x x x x x +≥⎧⎪+-≤<⎨⎪--<-⎩故由()6g x <得：3361x x +<⎧⎨≥⎩或5621x x +<⎧⎨-≤<⎩或3362x x --<⎧⎨<-⎩解得原不等式解集为：()3,1-.（2）由（1）可知()g x 的值域为[)3,+∞，显然()f x 的值域为[2,,)a ++∞.依题意得：[)3,[2,,)a +∞⊆++∞∴23a +≤解得1a ≤所以实数a 的取值范围为1a ≤.。
四川省宜宾市2021届高三第一次诊断考试数学理试题 Word版含答案
2022年秋期一般高中三班级第一次诊断测试数 学（理工农医类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共50分）留意事项：必需使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分；在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}{}102,73<<=<≤=x x B x x A ,则=B A(A){}73<≤x x (B) {}73<<x x (C) {}72<≤x x (D) {}102<≤x x2.函数)2sin(1π-+=x y 的图象 (A) 关于x 轴对称 (B) 关于y 轴对称 (C) 关于原点对称 (D)关于直线2π=x 对称3．二项式52)1x x +（的开放式中，x 的系数为 (A) 10 (B) 15 (C) 20(D) 254.给出下列三个命题：①命题p ：x R ∃∈,使得012<-+x x ，则p ⌝：x R ∀∈，使得012≥-+x x② ”或“15-<>x x 是“2450x x -->”的充要条件.③若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题.其中正确．．命题的个数为 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 35．执行如图所示的程序框图，输出的S 值是(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 166.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点)24(--，P 的抛物线的标准方程是 (A)x y -=2(B) y x 82-=(C) x y 82-=或y x -=2(D) x y -=2或y x 82-=7.有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中小明必需站在正中间，并且小李、小张两位同学要站在一起， 则不同的站法有 (A) 192种(B) 120种(C) 96种 (D) 48种8.已知单位向量m 和n 的夹角为60,记a =n -m , 2b =m , 则向量a 与b 的夹角为 (A)30(B) 60 (C) 120 (D)1509.双曲线)0,012222>>=-b a b y a x （的左右焦点为21F F ，,P 是双曲线右支上一点，满足条件212F F PF =,直线1PF 与圆222a y x =+相切，则双曲线的离心率为(A)45(B)3 (C)332 (D)3510.设函数⎩⎨⎧>≤=0,log 0,2)(2x x x x f x ，若对任意给定的),1(+∞∈t ，都存在唯一的R x ∈，满足at t a x f f +=222))((，则正实数．．．a 的最小值是(A) 2 (B) 12(C) 14 (D) 18第Ⅱ卷（非选择题，共100分）留意事项：必需使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．试题卷上作答无效. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知i 是虚数单位，则21ii =+▲.12.函数x x x f ln )(2+=的图像在点)1,1(A 处的切线方程为▲. 是k=0,S=1开头 k<3? S=S .2kk=k+1 输出S结束否13.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为,,a b c ，且满足B a A b cos sin =，则角B 的大小为▲. 14.在正方体1111D C B A ABCD -中，点P 是上底面1111D C B A 的中心，点Q 在线段PD 上运动，则异面直线BQ与11D A 所成角θ最大时，=θcos ▲.15.对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个结论：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立；②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立； ③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点；④对任意0x >，不等式2()f x x ≤恒成立．则其中全部正确结论的序号是▲.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内. 16.（本题满分12分）已知函数)0(sin cos sin 2cos )(22>-+=ωωωωωx x x x x f ，且周期为π. （I ）求ω的值；（II ）当x ∈[20π，]时，求)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值.17.（本题满分12分）在2022年11月4日宜宾市举办的四川省第十四届少数民族传统体育运动会的餐饮点上，某种茶饮料一天的销售量与该天的日平均气温(单位：℃)有关，若日平均气温不超过15 ℃，则日销售量为100瓶；若日平均气温超过15℃但不超过20 ℃，则日销售量为150 瓶；若日平均气温超过20 ℃，则日销售量为200瓶．据宜宾市气象部门猜测，该地区在运动会期间每一天日平均气温不超过15 ℃，超过15 ℃但不超过20 ℃，超过20 ℃这三种状况发生的概率分别为P 1，P 2，P 3，又知P 1，P 2为方程5x 2－3x ＋a ＝0的两根，且P 2＝P 3. （I ）求P 1，P 2，P 3的值；（II ）记ξ表示该茶饮料在运动会期间任意两天的销售量总和(单位：瓶)，求ξ的分布列及数学期望．18.（本题满分12分）如图，一简洁几何体ABCDE 的一个面ABC 内接于圆O, G 、H 分别是AE 、BC 的中点，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC. （I ）证明:GH //平面ACD ；（II ）若AC=BC=BE =2,求二面角O-CE-B 的余弦值.19. （本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量)1,n S （=a ,)21,12-=n （b ,满足条件b a λ=,R ∈λ且0≠λ. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设函数xx f )21()(=，数列{}nb 满足条件21=b ，)(,)3(1)(1*+∈--=N n b f b f n n(i) 求数列{}n b 的通项公式；(ii)设n nn a b c =，求数列{}n c 的前n 和n T .20. （本题满分13分）已知点Q P ,的坐标分别为(2,0)-，(2,0)，直线QM PM ,相交于点M ,且它们的斜率之积是14-（I ）求点M 的轨迹方程；（II ）过点O 作两条相互垂直的射线，与点M 的轨迹交于,A B 两点.试推断点O 到直线AB 的距离是否为定值.若是恳求出这个定值，若不是请说明理由.21. （本题满分14分）已知函数c bx ax x x f +++=234)(，在y 轴上的截距为5-，在区间[]10，上单调递增，在[]21，上单调递减，又当2,0==x x 时取得微小值.（I ）求函数)(x f 的解析式；（II ）能否找到函数)(x f 垂直于x 轴的对称轴，并证明你的结论；（Ⅲ）设使关于x 的方程5)(22-=x x f λ恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A ，且两个非零实根为12,x x ,试问：是否存在实数m ，使得不等式2122x x tm m -≤++对任意[]A t ∈-∈λ,3,3恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.高中2022级一诊测试数学（理工类）试题参考答案及评分意见说明：一、本解答给出了一种解法供参考，假如考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步消灭错误时，假如后继部分的解答未转变该题的内容和难度，可视影响的程度打算后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，假如后继部分的解答有较严峻的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题（每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案A B A C C D A C D B二、填空题（每小题5分，共25分）11. 1+i 12. 3x-y-2=0 13. 4π14. 66 15. ①③④三、解答题（共75分）16.解：(1)∵)2sin 222cos 22(22sin 2cos )(x x x x x f ωωωω+=+=.....（2分） =)42sin(2πω+x ..................................................................（4分）∵π=T 且0ω>， 故1,22==ωπωπ则......................................................................（6分）(2):由(1)知)42sin(2)(π+=x x f∵20π≤≤x ∴45424πππ≤+≤x ................................................................................（7分） ∴1)42sin(22≤+≤-πx . ∴2)42sin(21≤+≤-πx .......................................................................................（9分）∴当242ππ=+x 时，即8π=x ，y 取得最大值为2............................................（12分）17.解：（I ）由已知得1231223135P P P P P P P ++=⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，解得：123122,,.............4555P P P ===（分）（II ）ξ的可能取值为200，250，300，350，400 ...........................5（分）11(200),55124(250)2,552512228(300)2,555525228(350)2,5525224(400)..............................................................105525P P P P P ξξξξξ==⨯==⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯===⨯=（分）随机变量ξ的分布列为所求的数学期望为14884200250300350400320()............122525252525E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=瓶（分）18.解： (1)证明：连结GO,OH∵GO//AD,OH//AC ...................................................................................................................（2分）∴GO//平面ACD,OH//平面ACD,又GO 交HO 于O ...............................................................（.4分） ∴平面GOH//平面ACD..........................................................................................................（5分） ∴GH//平面ACD.....................................................................................................................（6分） (2)法一：以CB 为x 轴，CB 为y 轴，CD 为z 轴，建立如图所示的直角坐标系则C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2)平面BCE 的法向量)0,1,0(=m ，设平面OCE 的法向量),,(000z y x n =.......................（8分）)0,1,1(),2,0,2(==CO CE∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CO n CE n 则⎩⎨⎧=+=+00220000y x z x ，故⎩⎨⎧-=-=0000x y x z令)1,1,1(,10-=-=n x ..........................................................................................................（10分）∵二面角O-CE-B 是锐二面角，记为θ，则33311,cos cos =⨯=⋅⋅=⋅><=nm n m n m θ................................................................（12分） 法二：过H 作HM ⊥CE 于M ，连结OM∵DC ⊥平面ABC ∴平面BCDE ⊥平面ABC 又∵AB 是圆O 的直径 ∴AC ⊥BC,而AC//OH∴OH ⊥BC ∴OH ⊥平面BCE ..........................................................................................（8分） ∴OH ⊥CE ,又HM ⊥CE 于M ∴CE ⊥平面OHM∴CE ⊥OM ∴OMH ∠是二面角O-CE-B 的平面角...................................................（10分）由,~CBE Rt CMH Rt ∆∆且CE=22. ∴2212=⇒=HMCECH BEHM∴22=HM 又OH=121=AC 在2622122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆OH OHM Rt 中，. .................................................................（11分） ∴332622cos ===∠OH HM OMH ......................................................................................（12分） 19.（Ⅰ）由于a=λb 所以22,12211-=-=+n n n n S S .当2≥n 时，nn n n n n S S a 2)22()22(11=---=-=+- ...........................................（2分）当1=n 时，2221111=-==+S a ，满足上式所以nn a 2= ..................................................................（4分）（Ⅱ）（ⅰ）)3(1)(,)21()(1n n x b f b f x f --==+ 11(b )(3)n n f f b +=--nn b b --=∴+3)21(1)21(1 nn b b +=∴+321211 ∴31+=+n n b b3-1=+n n b b ，又2)1(1=-=f b ∴{}n b 是以2为首项3为公差的等差数列∴13-=n b n ................................................................（8分）（ⅱ） n n n n n a b c 213-==n n n n n T 2132432825221321-+-+⋅⋅⋅+++=- 143221324328252221+-+-+⋅⋅⋅+++=n n n n n T-得1432213-23232323121+-+⋅⋅⋅++++=n n n n T1121321-1)21-1413121+---⋅+=n n n n T （11213)21-123121+---+=n n n n T （n n n n T 213)21-1321--+=-（n n n n T 21323-321--+=-nn n T 253-5+= ................................................................（12分） 20.（Ⅰ）解：,)Mx y （，由题可得1.224y y x x =-+- ..............................（4分） 2214x y +=所以点M 的轨迹方程为2214x y +=2)x ≠±（ . .............................（6分 ）（Ⅱ）点O 到直线AB 的距离为定值 ，设),(),,(2211y x B y x A ,① 当直线AB 的斜率不存在时，则AOB ∆为等腰直角三角形，不妨设直线OA ：x y =将x y =代入1422=+y x ，解得552±=x所以点O 到直线AB 的距离为552=d ； ............................（8分）② 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=与2212)4x y x +=≠±（联立消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=122814kmx x k +=-+，21224414m x x k -=+ ............................（9分）由于OB OA ⊥，所以02121=+y y x x ，1212()()0x x kx m kx m +++= 即0)()1(221212=++++m x x km x x k所以2222222448(1)01414m k m k m k k -+-+=++，整理得2254(1)m k =+，........................（12分 ） 所以点O 到直线AB 的距离21m d k =+255=综上可知点O 到直线AB 的距离为定值552........................（13分 ） 21.解：（Ⅰ）易知5c =- ……………………(1分)又32()432f x x ax bx '=++由(1)0f '=，得32 4.................................a b +=-①……………………(2分) 令()0f x '=，得2(432)0x x ax b ++=由(2)0f '=，得380.................................a b ++=②……………………(3分)由①②得4,4b a ==- 432()445f x x x x ∴=-+- ……………………(4分)（Ⅱ）若()f x 关于直线x t =对称（明显0t ≠），则取点(0,5)A -关于直线对称的点(2,5)A t '-必在()f x 上，即(2)5f t =-，得22(21)0t t t -+= ……………………(6分)又0t ≠1t ∴= ……………………(7分)验证，满足(1)(1)f x f x -=+ ……………………(9分)（也可直接证明()()f t x f t x -=+，计算较繁琐；）（Ⅲ）由（1）知，432224455xx x x λ-+-=-，即4322244x x x x λ-+= 又0x=为其一根，得224(4)0x x λ-+-=22164(4)40λλ∴∆=--=>且21240x x λ=-≠故{|022}A R λλλλ=∈≠≠≠-且且 ……………………(10分)又1221244x x x x λ+=⎧⎨=-⎩，得222121212()()44x x x x x x λ-=+-=，12||2||x x λ∴-=，故,2||0A λλ∀∈>且2||4λ≠ , ……………………(11分) 2[3,3],,22||t A m tm λλ∴∀∈-∈++≤对使恒成立’即只需[3,3],t ∀∈-220m tm ++≤恒成立 ……………………(12分) 设2()2,[3,3]g t mt m t =++∈- (3)012(3)021g m g m ≤≤≤⎧⎧∴⇒⇒⎨⎨-≤-≤≤-⎩⎩无解即不存在满足题意的实数m. ……………………(14分)。
2021年高三上学期第一次质量检测数学(理)试题 含答案
2021年高三上学期第一次质量检测数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．已知集合，，则集合（）A．B． C． D．2．已知复数，则的共轭复数是（）A. B. C. D.3. 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A.2B. 3C. 4D. 54．已知，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（）A. B. C. D.6．直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.7.已知向量与的夹角为120°,且,若,且，则实数的值为( ）A．B．C．D．8.已知，且，现给出如下结论：①；②；③；④. 其中正确结论个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分。
本大题分为必做题和选做题两部A B C D P ME O 1O 2分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。
9．若,则的值是 .10. 设随机变量服从正态分布，若，则的值为 .11.若把英语单词“error ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种． 12.若等比数列的各项均为正数，且，则 .13.已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分。
14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线，（为参数）交于、两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是________.15．（几何证明选讲选做题）已知⊙O 1和⊙O 2交于点C 和D ，⊙O 1上的点P 处的切线交⊙O 2于A 、B 点，交直线CD 于点E ，M 是⊙O 2上的一点，若PE=2，EA=1，，那么⊙O 2的半径为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知函数．(Ⅰ)求函数的最小正周期；(Ⅱ)已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值． 17．（本小题满分13分）为迎接6月6日的“全国爱眼日”，某高中学生会从全体学生中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)，如图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”． (Ⅰ)写出这组数据的众数和中位数；(Ⅱ)从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好视力”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望．18. （本小题满分13分）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且(Ⅰ) 求证：；(Ⅱ)若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小.19. （本小题满分14分）已知数列中，，前项和．(Ⅰ)设数列满足，求与之间的递推关系式；(Ⅱ)求数列的通项公式.20．（本小题满分14分）已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足．(Ⅰ)求点的轨迹的方程；(Ⅱ)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数（为常数，）（Ⅰ）若是函数的一个极值点，求的值；（Ⅱ）求证：当时，在上是增函数；（Ⅲ）若对任意的，总存在，使不等式成立，求正实数的取值范围.xx~xx学年广州六中高三理数第一次测验卷答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B A C C B D二、填空题：（一）必做题（9～13题）9．10．11．19 12. 12 13.（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．15．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题满分12分）解：17．（本小题满分13分）解：(1)由题意知众数为4.6和4.7，中位数为4.75. ------------2分(2)这是一个古典概型，设至少有2人是“好视力”记为事件A，---------3分则事件A包含的基本事件个数为：----------5分总的基本事件个数为：-----------6分--------------------7分（3）X的可能取值为0,1,2,3. -------------------8分由于该校人数很多，故X近似服从二项分布B(3，)．P(X＝0)＝()3＝，P(X＝1)＝××()2＝，P(X＝2)＝×()2×＝，P(X＝3)＝()3＝，------------------12分X 0 1 2 3P故X的数学期望E(X)＝3×＝.------------------13分18.解（1）证明：如图，取的中点，连接，--------1分因，则---------2分由平面侧面，且平面侧面，---------3分得，又平面，所以. -------- 4分因为三棱柱是直三棱柱，则，所以. ------ 5分又，从而侧面，又侧面，故. -------6分（2）解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影∴即为直线与所成的角，则 ------7分在等腰直角中，，且点是中点，∴，且，∴ --------8分过点A作于点，连，由（1）知，则，且∴即为二面角的一个平面角 --------9分且直角中：，又，∴，-------11分且二面角为锐二面角∴，即二面角的大小为 ----13分解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则，，，，，，，----------------8分设平面的一个法向量，由，得：令，得，则 ------9分设直线与所成的角为，则得，解得，即 -------10分又设平面的一个法向量为，同理可得，-----11分设锐二面角的大小为，则，且，得∴锐二面角的大小为. ------------13分19.解： （1） ∵ ∴ ∴ ----------4分整理得， 等式两边同时除以得 ， ----7分 即 -------8分 6．由（1）知即 所以112211112211n n n n n a a a a a a a a n n n n n ---=-+-++-+--- 111111113112232n n n n n n =-+-+-++-+-----得 ---------14分20. 解：（1）椭圆右焦点的坐标为，………………1分 ．，由，得． …3分设点的坐标为，由，有，代入，得． …………………………5分 （2）(法一)设直线的方程为，、， 则，． ………………………………6分 由，得， 同理得．…………………………8分②当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解法一，得． …………………………………10分由，得，．……………………11分则．…………………………13分因此，的值是定值，且定值为．…………………………………14分21.解：axaaxaxaxaxaxf+--=-++=1)22(22212121)('2…………1分（Ⅰ）由已知，得且，………2分----3分（Ⅱ）当时，02)1)(2(22212222≤+-=--=--aaaaaaaa………4分当时，又………5分29468 731C 猜up39376 99D0 駐+34380 864C 虌38036 9494 钔30446 76EE 目&H22493 57DD 埝21516 540C 同32316 7E3C 縼31870 7C7E 籾2。
2021级宜宾一诊理科数学参考答案
宜宾市高2021级一诊考试理科数学参考答案说明：一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题题号123456789101112答案A C C D B D C A A B B C 二、填空题13．314．015．5416．25π8三、解答题(一)必考题：17．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由a2+a7=9得：(a1+d)+(a1+6d)=9 ①又∵S9=45∴a1+4d=5 ②联立①②有a1=1 d=1∴a n=a1+(n-1)d=n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(6分) (2)由(1)知a n=n∴b n=2n a n=n⋅2n所以T n=1×21+2×22+3×23+⋯+n×2n，③2T n=1×22+2×23+⋯+(n-1)×2n+n×2n+1，④由③-④有-T n=21+22+33+⋯+2n-n×2n+1=2×1-2n1-2-n×2n+1，=2n+1-2-n×2n+1，∴-T n=(1-n)2n+1-2，n∈N*．∴T n=2+(n-1)2n+1........................................(12分)18．证明：(1)如图所示，取AB中点G，连CG､FG.∵EF=FB，AG=GB,∴FG⋕12EADC⋕12EA,∴FG⋕DC∴四边形CDFG为平行四边形，∴DF∥CG∵DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC∴DF ∥平面ABC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5分)(2)过A 作AM ⊥AC ,以AM ,AC ,AE 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系A -xyz ，则B (3,1,0),E (0,0,2),D (0,2,1)BE =(-3,-1,2),DE=(0,-2,1)设平面BDE 的一个法向量n 1=(x ,y ,z )则-3x -y +2z =0-2y +z =0，令y =1得z =2,x =3，即n 1=(3,1,2)AE ⊥平面ABC ,则可取平面ABC 的一个法向量n 2=(0,0,1),cos <n 1 ,n 2 >=28×1=22，平面BDE 与平面ABC 所成角的正弦值为：1-cos 2<n 1 ,n 2>=22⋯⋯⋯⋯⋯(12分)(2)另解：证明：∵EA ⊥平面ABC∴AE ⊥CG又△ABC 是正三角形，G 是AB 的中点∴CG ⊥AB ∴CG ⊥平面AEB 又∵DF ∥CG ∴DF ⊥平面AEB )延长ED 交AC 延长线于G ′，连BG ′由CD =12AE ，CD ∥AE 知，D 为EG ′的中点∴DF ∥BG ′又CG ⊥平面ABE ，FD ∥CG ∴BG ′⊥平面ABE∴∠EBA 为所求二面角的平面角在等腰直角三角形AEB 中，可得∠ABE =45°∴平面BDE 与平面ABC 所成的二面角的正弦值为22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(12分)19．解：（1）从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为C 2100，设“抽取的两名学生中恰有一名学生获一等奖”为事件A ，则事件A 包含的基本事件的个数为C 190C 110，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以P (A )=C 190C 110C 2100=211，即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为211；⋯(4分)（2）（ⅰ）因为μ+2δ=85，所以P (X >85)≈1-0.95452=0.02275故参赛学生中成绩超过85分的学生数约为0.02275×10000=2275人；⋯⋯⋯⋯⋯(8分)（ⅱ）由μ=65，得P (X >65)=12，即从所有参赛学生中堕机抽取1名学生，该生竞赛成绩在65分以上的概率为12，所以随机变量服从二项分布Y ~B (4,12)，所以P (Y =0)=C 04(12)4=116，P (Y =1)=C 14(12)4=14,P (Y =2)=C 24(12)4=38,P (Y =3)=C 34(12)4=14,P (Y =4)=C 44(12)4=116随机变量的分布列为：Y 01234P116143814116∴E (Y )=4×12=2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(12分)20．解：(1)点P 到E 的焦点F 的距离为5,即点P 到E 的准线的距离为5，故4+p2=5，解得p =2.所以E 的标准方程为y 2=4x ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5分)(2)由(1)知，y 20=4×4，且y 0>0，解得y 0=4，所以P (4,4). 设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则k PA =y 1-4x 1-4=y 1-4y 214-4=4y 1+4，同理可得，k PB =4y 2+4，则k PA ×k PB =4y 1+4×4y 2+4=-1，即4y 1+y 2 +y 1y 2+32=0.当直线AB 斜率存在时，直线AB 的方程为y -y 1=y 1-y 2y 214-y 224x -y 214，整理得4x -y 1+y 2 y +y 1y 2=0所以4x -32-y 1+y 2 (y +4)=0，即y +4=4y 1+y 2x -8所以直线AB 过定点(8,-4)；当直线AB 的斜率不存在时y 1+y 2=0，可得y 21=32,x 1=8.故直线AB 过定点(8,-4). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(12分)21．解：(1)f (x )=−ln x ,f 1e =1,f 1e =2e-1，切线方程为：y −2e +1=1⋅x −1e g (x )=x +1e-1令h (x )=g (x )−f (x )=1e+x ln xh (x )=ln x +1,h (x )=0⇒x =1e∴h (x )在0，1e 单调递减，在1e ，+∞ 上单调递增∴h (x )≥h 1e=0，即g (x )≥f (x )⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5分)(2)∵f (x )=−ln x ,f (x )=0⇒x =1∴h (x )在0，1 单调递增，在1，+∞ 单调递减∴f (x )max =f (1)=0，x →0,f (x )→-1,f (e )=−1,x →+∞,f (x )→−∞∴-1<m <0，0<x 1<1<x 2<e 先求f (x )在x =e 的切线方程ϕ（x )f (e )=−1,f (e )=-1,y +1=−1(x −e )， ϕ（x )=-x +e −1 下面证明：ϕ（x )≥f (x )，令g (x )=ϕ(x )−f (x )=−2x +e +x ln xg (x )=ln x −1,g (x )=0⇒x =e ，g (x )在0，e 单调递增，在e ，+∞ 单调递减∴g (x )≥g (e )=0∴ϕ（x )≥f (x )设y =m 与g (x ),ϕ（x )交点的横坐标分别为x 3,x 4可知y =m =f (x 1)≤g (x 1)=x 1+1e −1⇒m ≤x 1+1e −1，即x 1≥m −1e+1 ① 可知y =m =f (x 2)≤ϕ(x 2)=-x 2+e −1⇒−x 2≥m +1−e ，即-x 2≥m +1−e ②因为上式两等号不能同时成立，由①+②得：x 1−x 2>2m +2−e −1e⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(12分)(二)选考题：22．解：(1)将x =ρcos θ，y =ρsin θ代入y =x (x ≥0)得ρsin θ=ρcos θ，所以tan θ=1，所以射线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ≥0)，将x =ρcos θ，y =ρsin θ代入x 24+y 2=1得ρ2sin 2θ+ρ2cos 2θ4=1，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2=41+3sin 2θ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5分)(2)由题意可设点P 的极坐标为ρ1,π4 ，点Q 的极坐标为ρ2,3π4，则ρ21=41+3sin 2π4=85，ρ22=41+3sin 23π4=85，因为ρ1>0，ρ2>0，所以ρ1=ρ2=2105，所以S △POQ =12ρ1ρ2=12×2105×2105=45.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(10分)23．解：(1)由题意可得，f x =2x -1 +2x +1 =4x ,x >122,-12≤x ≤12-4x ,x <-12，则f x ≥3，即4x ≥3x >12 或2≥3-12≤x ≤12 或-4x ≥3x <-12，解得x ≥34或x ∈∅或x ≤-34，所以不等式的解集为x x ≤-34 或x ≥34 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5分)(2)由(1)可知，f x min =2，所以m =2，则a +2b +3c =2，即a +c +2(b +c )=2，1a +c +1b +c =121a +c +1b +c[(a +c )+2(b +c )]=122(b +c )a +c +a +c b +c+32≥2+32，当且仅当2(b +c )a +c =a +cb +c,(a +c )2=2(b +c )2，即a +c =22-2,b +c =2-2时，等号成立.故1a +c +1b +c min=2+32⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(10分)。
四川省宜宾市高三上学期第一次诊断考试数学(理)试题参考答案
高2013级高三第一次诊断性测试数学（理工农医类）答案说明：一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则． 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题二、填空题11.1212.32(原创有错,建议全部给分)13.()(],01,3-∞U 14.15.①③④ 三、解答题16.解：（Ⅰ）由题已知:cos A A ⋅=+=Q m n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分2sin()6A π∴+=sin()62A π+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分 由A 为锐角得:63A ππ+=,6A π=.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知12sin A =,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分2()cos22sin 12sin 2sin f x x x x x =+=-+=213222(sin )x --+.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分x ∈R Q ,[]sin 11x ∴∈-,,因此,当12sin A =时,()f x 有最大值23,当sin 1x =-时,()f x 有最小值3-,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11分 故所求函数()f x 的值域是23[3]-,.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分17.解：（Ⅰ）所有可能的申请方式有43种，恰有3人申请A 类助学金的申请方式有81234=⋅C C 种，所以，所求概率为818384==P ；⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分 方法二：()8183231313344=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=C P ；（Ⅱ）ξ的所有可能取值为1、2、3.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分()27131413===C P ξ()()27143242234222423=+==A C C C C P ξ ()943343324===A C P ξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分综上知：ξ的分布列为所以：.2765943271422711=⨯+⨯+⨯=ξE ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分 18.解：（Ⅰ）在图2中，过P 作//PQ BC 交A B '于Q .………………………………1分Q 3CP PA '=,14PQ A P BC A C '∴==' 4,1BC PQ =∴=Q ，…………………2分 //,1DE BC DE =Q //DE PQ ∴，得,//DEQP DP EQ ∴Y ………………………………………………………………4分DP ⊄Q 平面,A BE EQ '⊂平面A BE '//DP ∴平面A BE '.………………………………………………………………5分（Ⅱ）在图2中，过A '作A F BE '⊥于F .Q 平面A BE '⊥平面BCDE ,∴A F '⊥平面BCDE ……………………………6分90BA E '∠=︒Q ，33A B A E ''==，30A EB '∴∠=︒，33322A F EF '==， 过F 作FG DE ⊥交DE 延长线于G ，则39344FG EG ==，…………………7分 如图，建立空间直角坐标系D xyz -则9333(,,)442EA '=u u u r ，933(,,0)(1,0,0)44EF DE ==u u u r u u u r ，………8分 设平面A BE '的法向量(,,)n x y z =r，则933304293304x y z x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,可取(1,3,0)n =-r ………………………………………9分 设平面A DE '的法向量111(,,)m x y z =u r，则1111933304420x y z x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩,可取(0,2,3)m =-u r …………………………………10分 2321cos ,71343m n -∴<>==-+⋅+u r r ……………………………………11分 Q 二面角B A E D '--为钝角∴二面角B A E D '--的余弦的大小为7-………………………………………12分 注：（Ⅰ）向量法参照给分；（Ⅱ）传统法：过D 作DH BE ⊥交BE 延长线于H ，再过H 作HN A E '⊥交A E '延长线于N …参照给分.19.解：（1）∵3482++=n n n a a S∴3481121++=---n n n a a S （2≥n ）∴1122144)(8-----+=-n n n n n n a a a a S S ∴)(41122--+=-n n n n a a a a ∵0>n a ∴41=--n n a a （2≥n ）∴数列{n a }是以4为公差的等差数列………3分 又∵3481211++=a a S ∴034121=+-a a 而31<a ∴11=a ………5分 ∴34-=n a n （n *∈N ）………6分 (2)12-=n n n b ………7分122102121)1(......213212211--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T n n n n n T 2121)1(......2122112121⨯+⨯-++⨯+⨯=- ， 两式相减得n n n n n n T 2222121......21212121210+-=⨯-++++=-， 1224-+-=∴n n n T ………9分 1224)1(--<-∴n n λ若n 为偶数，则3 ,2241<∴-<∴-λλn ………10分若n 为奇数，则2,2,2241->∴<-∴-<-∴-λλλn ………11分32<<-∴λ………12分20.（Ⅰ）∵224230+--+=x y x y ∴()()22212-+-=x y ．………1分设圆C 的圆心为C (,)a b ，又因为圆C 与圆D 关于直线4250+-=x y 对称， 即圆心D (2,1)与(,)a b 关于直线4250+-=x y 对称．∴()121221425022-⎧⋅-=-⎪⎪-⎨++⎪⋅+⋅-=⎪⎩b a a b ………3分∴00=⎧⎨=⎩a b ．所以圆C 的方程为222+=x y ．………4分（Ⅱ）①因为点(2,0)P ，(0,2)M，所以=PM ………5分 设点Q 到PM 的距离为h ，圆心C 到PM 的距离为d ，所以12∆=⋅=QPM S PM h ． ∆QPM 面积的最大值即需要h 取的最大值，此时点Q 与圆心C 的连线与PM 垂直，故有最大值=+==h d r4∆=QPM S ，………7分此时点Q 坐标为点()1,1--．………8分 ②直线AB 与直线PM 垂直,理由如下:………9分因为过点Q ()1,1--作两条相异直线分别与圆C 相交于A 、B 两点，直线QA 、QB 的倾斜角互补，所以直线QA 、QB 斜率都存在．设直线QA 的斜率为k ，则直线QB 斜率为-k ，所以直线QA 的方程：1(1)+=+y k x 221(1)2+=+⎧⎨+=⎩y k x x y ()()222121210⇒++-+--=k x k k x k k ………10分 又因为点Q ()1,1--在圆C 上，故有2221(1)1--⋅-=+A k k x k ，所以22211-++=+A k k x k ，同理22211--+=+B k k x k ，………11分(1)1(1)1()21--+--++-+-====---B A B A B A AB B A B A B Ay y k x k x k x x kk x x x x x x ，………12分又20102-==--PM k ，所以有1⋅=-PM AB k k ， 故直线AB 与直线PM 垂直．………13分21.解：（Ⅰ）由2()ln ()f x x x ax x a =+-∈R 可知0x >，有：()ln 12f x x a x '=++-∵函数()f x 在区间[)e,+∞上为减函数，∴当[)e,x ∈+∞时()0f x '≤,即ln 120x a x ++-≤在区间[)e,+∞上恒成立，……2分 ∴2ln 1a x x ≤--在[)e,x ∈+∞上恒成立． 令()2ln 1g x x x =--，121()2x g x x x -'=-=,当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时,()0,()g x g x '≥单增;1(0,2x ⎤∈⎥⎦时,()0,()g x g x '≤单减.∴[)e,x ∈+∞时,min ()(e)2e 2g x g ==- ∴2e 2a ≤-．……………5分（Ⅱ）若对任意(1,)x ∈+∞，2()(1)f x x k a x k >-++--恒成立， 即(1)ln k x x x x -<+恒成立. 法一:∵(1,)x ∈+∞，∴10x ->． 则问题转化为ln 1x x xk x +<-对任意(1,)x ∈+∞恒成立，……………7分设函数ln ()1x x xh x x +=-，则2ln 2()(1)x x h x x --'=-，再设()ln 2m x x x =--，则1()1m x x'=-． ∵(1,)x ∈+∞，∴()0m x '>，则()ln 2m x x x =--在(1,)x ∈+∞上为增函数， ∵(3)1ln30m =-<，(4)2ln 40m =->, ∴0(3,4)x ∃∈，使000()ln 20m x x x =--=．∴当0(1,)x x ∈时，()0,()0m x h x <<;当0(,)x x ∈+∞时，()0,()0m x h x >>……10分∴ln ()1x x xh x x +=-在0(1,)x x ∈上递减，在0(,)x x ∈+∞上递增.∴()h x 的最小值为00000ln ()1x x x h x x +=-．∵000()ln 20m x x x =--=，∴00ln()11x x +=-，代入函数00000ln ()1x x x h x x +=-得00()h x x =,∵0(3,4)x ∈，且()k h x <,对任意(1,)x ∈+∞恒成立， ∴min 0()k h x x <=，∴3k ≤， ∴k 的值为1，2，3．……………14分法二(同比例给分):令()()()1ln (1)=-+--=--+⎡⎤⎣⎦g x f x k a x k x x k x k (1)>x ∴()ln 1(1)ln 2'=+--=+-g x x k x k当20-≥k 时，即2≤k 时，()0'>g x ，()g x 在(1,2)上单调递增， ∴()(1)10>=>g x g 恒成立，而k *∈N ∴1=k 或2=k ．当20-<k 时，即2>k 时，2()0e -'=⇒=k g x x ，∴()g x 在2(1,e)-k 上单调递减，在2(e ,)-+∞k 上单调递增，∴2222min ()(e )e (2)(1)e e0---->=---+=->k k k k g x g k k k k 恒成立， ∴2>e-k k ，而k *∈N ，∴3=k ．综上可得,1=k 或2=k 或3=k 时成立．。
四川省宜宾市2023届高三上学期第一次诊断性数学(理)数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1. 若等边三角形的边长为2，为的中点，且上一点满足，则当取最小值时，（ ）A ．6B ．5C ．4D ．32. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．3.记为数列的前项和，设甲：为等差数列，乙：（其中），则下列说法正确的是（ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件4. 过直线上一点M 作圆C：的两条切线，切点分别为P ，Q ．若直线PQ过点，则直线PQ 的方程为（ ）A．B．C．D．5.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．6.若函数的图象与函数的图象有共同的对称轴，且在上单调递减，则的最大值为（ ）A．B．C．D．7. 据实验检测可知，海面上的大气压强为760mmHg ，海面500m 高空处的大气压强为700mmHg ，研究表明，大气压强p （单位：mmHg ）与高度h （单位：m ）之间的关系式为（k 为常数）.由此预测海面上1000m 高空处的大气压强大约是（保留整数部分）（ ）A ．645mmHg B ．646mmHg C ．647mmHg D ．648mmHg8. 已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点.若|AB |＝8，则线段AB 的中点M 到直线x ＋1＝0的距离为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．169.如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则下列各选项正确的是（）A．球与圆柱的体积之比为B ．四面体的体积的取值范围为C．平面截得球的截面面积最小值为D ．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为10. 对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，例如，．定义函数，则（ ）A．函数的最大值为1B．函数的最小值为0四川省宜宾市2023届高三上学期第一次诊断性数学（理）数学试题 (2)四川省宜宾市2023届高三上学期第一次诊断性数学（理）数学试题 (2)三、填空题四、解答题C．D ．时，方程有5个不同实数根11. 下列命题中正确的是（ ）A ．若样本数据，，…，的平均数是11，方差为8，则数据，，…，的平均数是6，方差为2B．已知随机变量服从正态分布，且，则C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为，且数据样本中心点为，则当时，样本的估计值为7D ．随机变量，若，，则12. 某大型超市因为开车前往购物的人员较多，因此超市在制定停车收费方案时，需要考虑顾客停车时间的长短.现随机采集了200个停车时间的数据(单位：)，其频率分布直方图如图.超市决定对停车时间在40分钟及以内的顾客免收停车费(同一组数据用该区间的中点值代替)，则下列说法正确的是（）A ．免收停车费的顾客约占总数的20%B ．免收停车费的顾客约占总数的25%C ．顾客的平均停车时间约为58D ．停车时间达到或超过60的顾客约占总数的50%13. 已知随机变量，，且，，则_________.14. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则直线的方程为________．15.函数，且，，若的图像在内与轴无交点，则的取值范围是__________.16. 已知函数的最小正周期为．(1)求的值；(2)从下面四个条件中选择两个作为已知，求的解析式，并求其在区间上的最大值和最小值．条件①：的值域是；条件②：在区间上单调递增；条件③：的图象经过点；条件④：的图象关于直线对称．注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．17. 已知：①函数；②向量，，且ω＞0，；③函数的图象经过点请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知，且函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为.（1）若，且，求f（θ）的值；（2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递减区间.18. 一地区某疾病的发病率为0.0004．现有一种化验方法，对真正患病的人，其化验结果99％呈阳性，对未患病者，化验结果99.9％呈阴性．(1)若在该地区普查，求某人化验结果呈阳性的概率；并求化验结果呈阳性，某人没有患病的概率；(2)根据该疾病的历史资料显示，这种疾病的自然痊愈率为20％．为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给4个病人服用，试验方案为：若这4人中至少有2人痊愈，则认为这种药有效，提高了治愈率；否则认为这种药无效．（i）如果新药有效，把治愈率提高到了80％，求经试验认定该药无效的概率；（ii）根据的值的大小解释试验方案是否合理．参考数据：，19. 设函数，，，且以为最小正周期．（1）求；（2）求的解析式；（3）已知，求的值．20. 某单位为了研究用电量度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，如下表：气温2016124用电量（度）14284462(1)求关于的线性回归方程；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过1度，则认为得到的线性回归方程是可靠的.若某天的气温和用电量分别为和33度，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？附：.21. 如图，在四棱锥中，，，，，，分别为，的中点，．（1）求证：平面平面；（2）设，若三棱锥的体积，求实数．。
2021年高三上学期第一次质量检测数学理试题 含解析
2021年高三上学期第一次质量检测数学理试题含解析【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、复数、不等式、向量、三视图、导数的综合应用、圆锥曲线、数列、参数方程极坐标、几何证明、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、充要条件的关系等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.【题文】1．已知集合，，则集合（）A．B． C． D．【知识点】集合的表示及集合的交集A1【答案解析】D解析：因为，所以{0,2}则选D.【思路点拨】在进行集合的运算时，能结合集合的元素特征进行转化的应先对集合进行转化再进行运算.【题文】2．已知复数，则的共轭复数是（）A. B. C. D.【知识点】复数的代数运算、复数的概念L4【答案解析】A解析：因为，所以的共轭复数是，则选A.【思路点拨】复数的代数运算是常考知识点，掌握复数的代数运算法则是解题的关键.【题文】3. 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A.2B. 3C. 4D. 5【知识点】简单的线性规划E5【答案解析】B解析：不等式组表示的平面区域为如图ABCD对应的区域，显然当动直线经过区域内的点A时目标函数的值最小，而A点坐标为(1,1)，则目标函数的最小值为1+2=3，所以选B.【思路点拨】正确的确定不等式组表示的平面区域是解题的关键.【题文】4．已知，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【知识点】充分条件与必要条件、对数函数与指数函数的性质A2 B6 B7【答案解析】A解析：因为由得a＞b＞0，所以成立，若，因为a,b不一定为正数，所以不能推出，则选A.【思路点拨】判断充分条件与必要条件时，可先明确条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性满足，若由结论能推出条件，则必要性满足.【题文】5.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（）A. B. C. D.【知识点】三视图G2【答案解析】C解析：由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，所以几何体的体积为，所以选C.【思路点拨】本题考查三视图的识别以及多面体的体积问题．根据三视图得出几何体的形状及长度关系是解决问题的关键.【题文】6．直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【知识点】椭圆的几何性质H5【答案解析】C解析：因为直线与两坐标轴的交点分别为，所以c=2，b=1，a= ,则离心率为，所以选C.【思路点拨】因为椭圆的焦点与顶点都在坐标轴上，所以求出直线与坐标轴的交点，即可解答.【题文】7.已知向量与的夹角为120°,且,若,且，则实数的值为( ）A．B．C．D．【知识点】向量的数量积F3【答案解析】B 解析：因为向量与的夹角为120°,且,所以,则()()()()94310AP AC AB AB AC AC AB λλλ⋅-=+⋅-=---=,解得，所以选B.【思路点拨】掌握向量的数量积计算公式及向量的数量积的运算法则是本题解题的关键.【题文】8.已知，且，现给出如下结论：①；②；③；④. 其中正确结论个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】导数的综合应用B12【答案解析】D 解析：求导函数可得f′（x ）=3x 2-12x+9=3（x-1）（x-3），∴当1＜x ＜3时，f （x ）＜0；当x ＜1，或x ＞3时，f （x ）＞0，所以f （x ）的单调递增区间为（-∞，1）和（3，+∞）单调递减区间为（1，3），所以f （x ）极大值=f （1）=1-6+9﹣abc=4﹣abc ，f （x ）极小值=f （3）=27﹣54+27－abc=﹣abc ，要使f （x ）=0有三个解a 、b 、c ，那么结合函数f （x ）草图可知：a ＜1＜b ＜3＜c 及函数有个零点x=b 在1～3之间，所以f （1）=4-abc ＞0，且f （3）=-abc ＜0，所以0＜abc ＜4，∵f （0）=-abc ，∴f （0）=f （3），∴f （0）＜0，∴f （0）f （1）＜0，f （1）f （3）＜0，∵f （a ）=f （b ）=（c ）=0，∴x 3-6x 2+9x-abc=（x-a ）（x-b ）（x-c ）=x 3-（a+b+c ）x 2+（ab+ac+bc ）x-abc ，∴a+b+c=6①，ab+ac+bc=9②，把②代入①2得：a 2+b 2+c 2=18；故正确的为：①②③④，所以选D.【思路点拨】本题可根据已知条件，利用导数及函数的图像确定函数的极值点及a 、b 、c 的大小关系.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分。
2021届四川省宜宾市第四中学高三一诊模拟数学(理)试题Word版含答案
2021届四川省宜宾市第四中学高三一诊模拟数学（理）试题第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1．设集合1|02x A x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，{}1,0,1,2B =-，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1,2C ．1,0,1,2D ．{}1,22．设复数z 满足1522z i =+，则||z = A ．3B ．26C ．4D ．2623．“1x <”是“ln(1)0x +<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在ABC ∆中，1a =，30A =，60B =，则b 等于A ．32B ．12C ．3D ．25．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．2B ．1C ．D ．6．若椭圆2221x y a +=经过点6P ⎛ ⎝⎭，则椭圆的离心率e =A B 1C D 7．设数列{}n a 满足32111232n n a a a a n +++=-，则n a = A ．112n-B ．312n -C ．12nD ．2nn 8．有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（ ）种 A ．48B ．72C ．78D ．849．如果123,,,P P P 是抛物线2:4C y x =上的点，它们的横坐标123,,,x x x ，F 是抛物线C 的焦点，若12201820x x x +++=，则122018PF P F P F +++=A ．2028B ．2038C ．4046D ．405610．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在(),-∞+∞上是减函数，12f ，则满足()232f x -<的实数x 的取值范围是 A ．()1,1-B ．()2,0-C ．()2,2-D ．()0,211．一个圆锥SC 的高和底面直径相等，且这个圆锥SC 和圆柱OM 的底面半径及体积也都相等，则圆锥SC 和圆柱OM 的侧面积的比值为A ．2B ．3C D 12．已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=A ．0B ．6C ．12D ．18第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．双曲线2212516y x -=的渐近线方程为_____________14．51)x的二项展开式中，含x 的一次项的系数为__________．（用数字作答）15．设,a b ∈R ，222a b +=，则221411a b +++的最小值为______. 16．在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆； ③到两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形； ④到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题是___________．（写出所有正确命题的序号）三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（本大题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且32cos Asin Ca -=． （1）求角A 的大小； （2）若cos(B ＋6π)＝14，求cosC 的值． 18．某市教育部门为了解全市高三学生的身高发育情况，从本市全体高三学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析．经数据处理后，得到了如下图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中，身高不低于1.69米的学生只有16名，其身高茎叶图如下图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率．（1）求该市高三学生身高高于1.70米的概率，并求图1中a 、b 、c 的值．（2）若从该市高三学生中随机选取3名学生，记ξ为身高在(]1.50,1.70的学生人数，求ξ的分布列和数学期望；（3）若变量S 满足()0.6826P S μσμσ-<≤+>且(22)09544P S μσμσ-<≤+>．，则称变量S 满足近似于正态分布()2,N μσ的概率分布．如果该市高三学生的身高满足近似于正态分布()1.6,0.01N 的概率分布，则认为该市高三学生的身高发育总体是正常的．试判断该市高三学生的身高发育总体是否正常，并说明理由．19．(12分)如图，已知直角梯形所在的平面垂直于平面（1）的中点为，求证∥面（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F ，，,A B 是其左右顶点，点P 是椭圆C 上任一点，且12PF F ∆的周长为6，若12PF F ∆面积的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点2F 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,M N 两个不同点，证明：直线AM 于BN 的交点在一条定直线上.21．（12分）已知函数()()2ln 1f x x x =+． （1）求函数()f x 的单调区间．（2）若斜率为k 的直线与曲线()y f x ='交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，其中12x x <，求证：122x x k<<．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是12cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数)，直线l 的参数方程是cos (sin x t t y t ββ=⎧⎨=⎩为参数，0π).l β≤<与C 相交于点A 、.B 以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的普通方程和极坐标方程；（2）若AB =β．23．（10分）已知函数()12f x x x m =-+-，m R ∈ （1）当3m =时，解不等式()2f x ≤；（2）若存在0x 满足()0013x f x -+<，求实数m 的取值范围．2021届四川省宜宾市第四中学高三一诊模拟数学（理）试题1．A2．D3．B4．C5．B 6．D7．D8．A9．B10．C 11．C 12．D13．5x 4y =±14．-515．9416．①③④17．（1）由正弦定理可得：sin AsinCa c =.所以A 2cosAsinC sinC-=，整理得：2A=cosA>0-又22sin cos 1A A +=.解得：sin A = 所以3A π=或23A π=（舍去）所以3A π= （2）A B C π++=，∴()cos cos cos cos 366C A B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-++⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1sin 266B B ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭06B ππ<+<,sin 64B π⎛⎫∴+=== ⎪⎝⎭∴11cos 42428C =⨯-⨯=18．：（1）由图2可知，100名样本学生中身高高于1.70米共有15名，以样本的频率估计总体的概率，可得这批学生的身高高于1.70的概率为0.15． 记X 为学生的身高，结合图1可得：2(1.30 1.40)(1.80 1.90)0.02100f X f X <≤=<≤==， 13(1.40 1.50)(1.70 1.80)0.13100f X f X <≤=<≤==，()1(1.50 1.60)(1.60 1.70)120.0220.130.352f X f X <≤=<≤=-⨯-⨯=，又由于组距为0.1，所以0.2a =， 1.3b =， 3.5c =． （2）以样本的频率估计总体的概率，可知从这批学生中随机选取1名，身高在[]1.50,1.70的概率为(1.50 1.70)(1.50 1.60)(1.60 1.70)0.7P X f X f X <≤=<≤+<≤=，因为从这批学生中随机选取3名，相当于三次重复独立试验， 所以随机变量ξ服从二项分布()3,0.7B ， 分布列为：()()330.30.70,1,2,3nnn P n C n ξ-==⋅⋅=，ξ 0123()P ξ0.027 0.189 0.441 0.343()00.02710.18920.44130.343 2.1E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（或()30.7 2.1E ξ=⨯=）（3）由()1.6,0.01N ，取 1.60μ=，0.1σ=，由（2）可知，()<X (1.50 1.70)0.70.6826P P X μσμσ-≤+=<≤=>， 又结合（1），可得：(22)(1.40 1.80)P X P X μσμσ-<≤+=<≤，2(1.70 1.80) 1.50 1.70)0.960.9544f X P X =⨯<≤+<≤=>（，所以这批学生的身高满足近似于正态分布()1.6,0.01N 的概率分布，应该认为该市高一学生的身高发育总体是正常的．19.解：（Ⅰ）线段BC 的中点就是满足条件的点P ．证明如下： 取AB 的中点F 连接DP 、PF 、EF ，则FP ∥AC ，FP=AC ， 取AC 的中点M ，连接EM 、EC ，∵AE=AC 且∠EAC=60°，∴△EAC 是正三角形，∴EM ⊥AC ． ∴四边形EMCD 为矩形，∴ED=MC=AC ． 又∵ED ∥AC ，∴ED ∥FP 且ED=FP ， ∴四边形EFPD 是平行四边形，∴DP ∥EF ， ∵EF ⊂平面EAB ，DP ⊄平面EAB ， ∴DP ∥平面EAB ；（Ⅱ）过B 作AC 的平行线l ，过C 作l 的垂线交l 于G ，连接DG ， ∵ED ∥AC ，∴ED ∥l ，l 是平面EBD 与平面ABC 所成二面角的棱． ∵平面EAC ⊥平面ABC ，DC ⊥AC ，∴DC ⊥平面ABC ， 又∵l ⊂平面ABC ，∴l ⊥平面DGC ，∴l ⊥DG ， ∴∠DGC 是所求二面角的平面角． 设AB=AC=AE=2a ，则CD=a ，GC=2a ，∴GD==a ， ∴cos θ=cos ∠DGC==. 20．解：（1）由题意得222226,123,2,a c bc a b c +=⎧⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2,c b a =⎧⎪∴=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由（1）得()2,0A -，()2,0B ，()21,0F ，设直线MN 的方程为1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由221143x mx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2243690m y my ++-=，122643m y y m ∴+=-+，122943y y m =-+，()121232my y y y ∴=+， 直线AM 的方程为()1122y y x x =++，直线BN 的方程为()2222yy x x =--， ()()12122222y yx x x x ∴+=-+-，()()2112212121232322y x my y y x x y x my y y +++∴===---， 4x ∴=，∴直线AM 与BN 的交点在直线4x =上.21．（1）解：()f x 的定义域是()0,+∞，且()2ln 4f x x ='+． 由()0f x '=得2x e -=， 当()20,x e-∈时，()0f x '<，此时()f x 单调递减；当()2,x e -∈+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增．综上，()f x 的减区间为()20,e -，()f x 的增区间为()2,e-+∞．（2）证明：()()212121212ln 2ln f x f x x x k x x x x --==--''，要证明122x x k <<，即证211221ln ln x x x x x x -<<-， 等价于21221111lnx x x x x x -<<， 令21x t x =（由12x x <，知1t >）， 则只需证11ln t t t-<<，由1t >知ln 0t >， 故等价于()ln 1ln 1t t t t t <-<>．（*）①()1ln g t t t =--，则当1t >时，()110g t t=->'， 所以()g t 在()1,+∞内是增函数，当1t >时，()()1ln 10g t t t g =-->=，所以1ln t t ->； ②设()()ln 1h t t t t =--，则当1t >时，()ln 0h t t ='>， 所以()h t 在()1,+∞内是增函数，所以当1t >时，()()()ln 110h t t t t h =-->=，即()ln 11t t t t >->． 由①②知（*）成立，所以122x x k<<． 22．解：()1曲线C 的参数方程是{12cos 2sin .(x y ααα=+=为参数)， 转换为直角坐标方程为：22(1)4x y -+=．整理得：22230x y x +--=，转换为极坐标方程为：22cos 30ρρθ--=．()2直线l 的参数方程是cos sin .(x t y t t ββ=⎧=⎨⎩为参数，0)βπ≤<．转换为极坐标方程为：θβ=，极径为：1ρ和2ρ，故：22cos 30θβρρθ=⎧⎨--=⎩，转换为：22cos 30ρρβ--=，所以：122cos ρρβ+=，123ρρ⋅=-，所以：12AB ρρ=-，则：24cos 1213β+=，解得：1cos 2β=±，由于：0βπ≤<所以：233ππβ=或． 23．（1）当3m =时，()123f x x x =-+- 当1x <时，1232x x --+≤，解得：213x ≤<； 当312x ≤≤时，1232x x --+≤，解得：312x ≤≤； 当32x >时，1232x x -+-≤，解得：322x <≤()2f x ∴≤的解集为：2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）若存在0x 满足()0013x f x -+<等价于2223x x m -+-<有解2222222x x m x x m m -+-≥--+=- 23m ∴-<，解得：15m -<<∴实数m 的取值范围为：()1,5-。
2024届四川省宜宾市宜宾市第四中学校高三一模考试数学理科试题及答案
0
x
π 2
时，
f
( x)
0
，函数
f
x 单调递增，
当 π x π 时， f (x) 0 ，函数 f x 单调递减，
2
当 x [0, π] 时，
f
( x ) max
f
( π) 2
π 2
，而
f (0)
1,
f
( π) 1 ，即
f
( x ) min
1 ，
所以函数
f
x 在0,
π 上的值域为[1,
A． EF BB1
B． EF 平面 BCC1B1
C． EF / / 平面 D1BC
D． EF / / 平面 ACC1A1
7．若函数 f (x) (x 1)lnx ax在 0, 具有单调性，则 a 的取值范围是
A． 2,
B．2,
C． , 2
D． , 2
8．已知函数 f (x) Asin(x )( A 0, 0,0 ) 的部分图象如
(x)
2sin
2x
π 3
，
令 π 2kπ 2x π π 2kπ ， k Z ，解得 π kπ x 5π kπ ， k Z
2
32
12
12
所以
f
(x)
在
R
上的单调递增区间为
π 12
kπ,
5π 12
k
,
k
Z
（2）
g
(
x)
2sin
x
π 3
，
g
(
)
1 2
，得
sin
π 3
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
2021届四川省宜宾市高三上学期第一次诊断考试数学(理)试题(解析版)
2021届四川省宜宾市高三上学期第一次诊断考试数学（理）试题一、单选题 1．复数1234ii+-的值为（ ） A ．1255i -- B ．1255i -+ C ．1255i - D ．1255i + 【答案】B【分析】直接利用复数的除法计算即得解. 【详解】由题得12(12)(34)5101234(34)(34)2555i i i i i i i i +++-+===-+--+. 故选：B2．命题“x R ∀∈，2250x x -+≥”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，2250x x -+≤B ．x R ∀∈，2250x x -+<C ．0x R ∃∈，200250x x -+<D ．0x R ∃∈，200250x x -+≤【答案】C【分析】由全称命题的否定形式为∀→∃，否定原命题结论，即可写出已知命题的否定形式.【详解】由全称命题的否定为∀→∃，否定原命题结论知：“x R ∀∈，2250x x -+≥”的否定为：“0x R ∃∈，200250x x -+<”，故选：C3．已知集合{}2340A x x x =--<，{}0B x x =>，则A B =（ ）A ．{}|04x x <<B ．{}10x x -<<C ．{}14x x -<<D ．{}x x <4【答案】A【分析】解一元二次不等式求集合A ，再应用集合的交运算求AB 即可.【详解】由集合A 中的不等式描述，得{}14A x x =-<<，而{}0B x x =>， ∴{}04Ax x B =<<，故选：A4．某团支部随机抽取甲乙两位同学连续9期“青年大学习”的成绩(单位：分)，得到如图所示的成绩茎叶图，关于这9期的成绩，则下列说法正确的是（ ）A ．甲成绩的平均数高于乙成绩的平均数B ．乙成绩的极差为40C ．甲乙两人成绩的众数相等D ．甲成绩的中位数为32 【答案】D【分析】根据茎叶图数据，结合平均数、极差、众数和中位数的概念进行计算并判断，即得结果.【详解】根据茎叶图数据知：甲同学的平均分为1112223243232334152309x ++++++++==，乙同学的平均分为210223132354242505231699x ++++++++==，316309>，故甲同学成绩的平均数低于乙同学成绩的平均数，A 错误； 乙同学成绩最高52，最低10，故极差为42，故B 错误；甲同学成绩的众数为32，乙同学成绩的众数为42，不相等，故C 错误； 甲同学成绩的中位数为32322+=32，故D 正确. 故选：D.5．符号x <>表示大于或等于x 的最小整数，在下图中输入的,a b 依次为0.3-和1.4，则输出的是（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7【答案】C【分析】由条件有a b <，则 1.41.4c b b <><>=-=-，可得出答案.【详解】根据题意，由0.3, 1.4a b =-=，则a b < 所以 1. 1.4214.40.6c b b =-=-=->=<>< 故选：C6．如图，ABC 是等边三角形，ADC 是等腰直角三角形，90ADC ∠=︒，线段,AC BD 交于点O ，设BC =a ，BA =b ，用a ，b 表示OD 为（ ）A ．OD =33b + B ．OD =33b + C ．OD =33b + D ．OD =33b + 【答案】A【分析】由题意可得O 为AC 的中点，则3OB =，即3BO OD =，又()()1122BO BA BC a b =+=+，从而可得答案. 【详解】由题意,AB BC AD DC ==，所以BAD 与BCD △全等. 则BAO 与BCO 全等,所以AO OC = 所以O 为AC 的中点，则BO AC ⊥在直角BOC 中，60OCB ∠=︒,所以3OB =ADC 是等腰直角三角形，则OD OC =所以3OB OD ,即3BO OD = 又在等边三角形ABC 中，()()1122BO BA BC a b =+=+ 所以()331332OD BO a b a b ==⨯+=+ 故选：A【点睛】关键点睛：本题考查利用基底向量来表示平面向量，解答本题的关键的由几何图形的性质得到3OB =，从而3BO OD =，再根据()()1122BO BA BC a b =+=+得出答案，属于中档题. 7．若51()a x x-展开式中所有项的系数和为1，则其展开式中x 的系数为（ ） A ．2- B ．10- C ．16- D ．80-【答案】D【分析】利用赋值法可求a 的值，再利用通项公式可求展开式中x 的系数． 【详解】令1x =，则展开式中所有项的系数和为()511a -=，故2a =，51(2)x x-展开式的通项公式为()()535521551212rrrr r r r r T C xC x x ---+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭，令5312r -=，解得1r =，故x 的系数为()151151280C --⋅=-， 故选：D ．8．函数()sin cos f x x x x =-+部分图象大致形状为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】利用奇偶性的定义可证()f x 是奇函数，在利用导函数研究单调性即可确定函数图象.【详解】由解析式知：()sin()()cos()sin cos ()f x x x x x x x f x -=--+--=-=-，即()f x 是奇函数，且(0)0f =，即可排除A 、B ； 因为()sin f x x x '=-，所以02x π<<时()0f x '<有()f x 单调递减，排除D ；故选：C【点睛】关键点点睛：利用函数的奇偶性、导函数研究函数单调性判断函数的图象. 9．已知2sin 35αα=，则2sin()cos()36ππαα+++=（ ）A ．45-B ．25-C ．0D ．25【答案】B【分析】利用两角和的正弦和余弦公式化简后可得所求的值． 【详解】因为2sin 5αα=，所以1sin 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而211sin()cos()sin sin 3622ππαααααα+++=-++-2sin 5αα=-=-，故选：B ．10．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第n 天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的3倍，则n 的值为（ ）(结果精确到0.1，参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈) A ．2.2 B ．2.4C ．2.6D ．2.8【答案】C【分析】由题可知大老鼠和小老鼠每天打洞的进度分别形成等比数列，利用等比数列求和公式求出总进度即可建立关系，再结合参考数据即可求出.【详解】设大老鼠每天打洞的进度形成数列{}n a ，小老鼠每天打洞的进度形成数列{}n b ，则由题可得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列， 所以第n 天后大老鼠打洞的总进度为()1122112n n ⨯-=--，数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列， 所以第n 天后小老鼠打洞的总进度为11112211212n n ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭=- ⎪⎝⎭-，则由题可得1213212nn⎛⎫-=⨯-⎪⎝⎭，整理可得()2272+60n n -⨯=，解得21n =或26n =，即0n =（舍去）或2log 6n =，22lg30.4771log 61+log 31+1+ 2.6lg 20.3010n ∴===≈≈. 故选：C.【点睛】关键点睛：得出大老鼠和小老鼠每天打洞的进度分别形成等比数列是解决本题的关键.11．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足，()()2f x f x +=-，若[]12,0,1x x ∀∈且12x x ≠时，都有11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则下列结论正确的是（ ） A ．()y f x =图象关于直线2020x =对称 B ．()y f x =图象关于点()2020,0中心对称C ．()y f x =在[]2019,2021上为减函数D ．()y f x =在[]2020,2022上为增函数 【答案】B【分析】由()y f x =是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-结合()()2f x f x +=-可得函数()y f x =的图像关于直线1x =对称和函数为周期函数，从而可判断A,B 选项，由条件可得()[]1212()()0x x f x f x -->，则所以()y f x =在[]0,1上为增函数，结合函数的对称性和周期性可判断C,D.【详解】由()y f x =是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-所以()()()2f x f x f x +=-=-，则函数()y f x =的图像关于直线1x =对称. 又()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+= 所以函数()y f x =为周期函数， 4为函数()y f x =的一个周期.所以()y f x =的对称轴方程为：14,x k k Z =+∈，2020x =不满足，故A 不正确. 由()y f x =是定义在R 上的奇函数,则图像关于点()0,0成中心对称. 所以()y f x =的对称中心满足：()4,0,k k Z ∈，所以()2020,0是函数的一个对称中心，故B 正确.由[]12,0,1x x ∀∈且12x x ≠时，都有11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+， 则()()()()112212x f x f x x f x f x ⎡⎤⎡⎤->-⎣⎦⎣⎦，即()[]1212()()0x x f x f x -->所以()y f x =在[]0,1上为增函数, 由()y f x =是定义在R 上的奇函数所以()y f x =在[]1,0-上为增函数，且()00f =，所以()y f x =在[]1,1-上为增函数由()y f x =的图像关于直线1x =对称，所以()y f x =在[]1,3上为减函数， 又4为函数()y f x =的一个周期.则()y f x =在[]41,41,k k k Z -+∈上单调递增，在[]41,43,k k k Z ++∈上单调递减.所以()y f x =在[]2019,2021上为增函数，故C 不正确.()y f x =在[]2020,2021上为增函数,在[]2021,2022为减函数，故D 不正确.故选：B【点睛】关键点睛：本题考查抽象函数的周期和单调性对称性的综合应用，解答本题的关键是先由函数为奇函数结合()()2f x f x +=-，得到()()()2f x f x f x +=-=-和()()()42f x f x f x +=-+=，从而得到函数的对称性和周期性，根据条件得出()[]1212()()0x x f x f x -->，得到函数的单调性，属于中档题.12．已知实数1232a e =，2343b e =，6787c e =，(e 为自然对数的底数)则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c b a << D ．b a c <<【答案】A【分析】由已知实数的形式构造函数11()x xx f x e x-+=，即有(2),(3),(7)a f b f c f ===，利用导数研究()f x 的单调性，再比较对应函数值的大小即可.【详解】由题意，令11()x xx f x e x-+=，则(2),(3),(7)a f b f c f ===，而13()x x ef x x-'=，所以0x >时()0f x '>，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴(2)(3)(7)f f f <<，即a b c <<，故选：A【点睛】关键点点睛：结合实数的形式构造函数，再用导数研究函数的单调性，最后利用单调性比较函数值的大小.二、填空题13．已知实数x 、y 满足约束条件0020x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为___________. 【答案】4【分析】本题首先可根据约束条件绘出可行域，然后根据可行域易知过点()2,0B 时目标函数2z x y =-最大.【详解】由题意可知，约束条件为0020x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，故可绘出可行域，如图所示：则()0,2A ，()2,0B ， 结合可行域易知：目标函数2z x y =-过点()2,0B 时取最大值，最大值为2204z =⨯-=， 故答案为：4.14．已知向量a (1,0)=，2b =，向量a 与向量b 的夹角为45︒，则()a ab ⋅-=___________.【答案】0【分析】根据平面向量数量积的运算律计算即可.【详解】解：(1,0)a =，则1a =，结合条件可知：()21cos 1202a ab a a b a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=-= 故答案为：015．已知ABC 中，内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且222sin 2a b c c B a a+--=，则B =___________.【答案】135︒(或34π) 【分析】利用余弦定理和正弦定理边角互化，整理已知条件，最后变形为tan 1B =-，求角B 的值.【详解】根据余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，所以原式222sin 2a b c c B a a+--=，变形为cos sin b C c B a -=，根据正弦定理边角互化，可知sin cos sin sin sin B C C B A -=， 又因为()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 则原式变形整理为sin cos B B -=, 即tan 1B =-，因为()0,180B ∈，所以135B =（或34π） 故答案为135（或34π） 【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．16．已知函数()()e ln xf x x a x x =-+(e 为自然对数的底数)有两个不同零点，则实数a 的取值范围是___________.【答案】(,)e +∞【分析】求出()()1x xe af x x x-'=+⋅，当0a ≤，则0x xe a ->，此时()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增，不满足条件，当0a >，讨论出()f x 的单调性，得出最小值，根据条件可得出答案.【详解】由()e (ln )xf x x a x x =-+，得()()()11(1)1x xxe af x x e a x x x-'=+-+=+⋅，且0x > 由0x >，则100x x xe +>>，若0a ≤，则0x xe a ->，此时()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增，至多有一个零点，不满足题意.若0a >，设()xh x xe a =-，则()()10xh x x e '=+>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增由()00h =，所以x xe a =有唯一实数根，设为0x ，即00x x ea =则当00x x <<时，x xe a <，()0f x '<，则()f x 在()00x ，单调递减，当0x x >时，x xe a >，()0f x '>，则()f x 在()0x +∞，单调递增， 所以当0x x =时，()()()00000min ln xf x f x x e a x x ==-+由00x x ea =可得()00ln ln x x e a =，即00ln ln ln x x e a +=，即00ln ln x x a +=所以()()0min ln f x f x a a a ==-，()0a > 又当0x →时，()f x →+∞，当x →+∞，指数函数增加的速度比对数函数增加的速度快得多，可得()f x →+∞ 所以函数()e (ln )xf x x a x x =-+有两个不同零点，则()()0min ln 0f x f x a a a ==-<设()ln g x x x x =-，则()ln g x x '=-当()0,1x ∈时，有()0g x '>，则()g x 在()0,1上单调递增. 当()1,x ∈+∞时，有()0g x '<，则()g x 在()1,+∞上单调递减. 又当0x →时，()0g x →，()0g e =所以当0x e <<时，()0g x >，当x e >时，()0g x <， 所以ln 0a a a -<的解集为a e > 故答案为：(,)e +∞【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解三、解答题17．已知函数()2cos 2cos 1222x x x f x =-+. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位得到函数()g x 图象，求函数()g x 的单调增区间. 【答案】（1）最小正周期2π；（2）单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）利用三角恒等思想化简函数()f x 的解析式为()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期； （2）利用三角函数图象变换法则得出()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，然后解不等式()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，即可求得函数()g x 的单调递增区间.【详解】（1）()2cos 2cos 1cos 2sin 2226x x x f x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的最小正周期为2π；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到()2sin 26h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向左移动6π个单位得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，解得()36k x k k πππ-≤≤π+∈Z . 函数()g x 的单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】方法点睛：求解正弦函数的基本性质问题，首先要利用三角恒等变换思想化简函数解析式为()sin y A x b ωϕ=++，求解该函数的基本性质问题应对应正弦函数的基本性质.18．已知函数3()f x x ax b =-+在1x =-处取得极值. （1）求实数a 的值；（2）若函数()y f x =在[0,2]内有零点，求实数b 的取值范围. 【答案】（1）3a =；（2）22b -≤≤.【分析】（1）由条件可知()10f '-=，求a 后再验证是否满足条件；（2）利用导数求函数在定义域[]0,2内的最大值和最小值，根据条件列不等式求解b 的取值范围. 【详解】（1）2'()3f x x a =-，3()f x x ax b =-+在1x =-处取得极值.'(1)30f a ∴-=-=，所以3a =.经验证3a =时，()f x 在1x =-处取得极值.（2）由（1）知3()3f x x x b =-+，2'()333(1)(1)f x x x x =-=-+所以()y f x =极值点为1，-1.将,(),'()x f x f x 在[0,2]内的取值列表如下：x0 (0，1) 1 (1，2) 2 '()f x/-+/()f xb极小值2b -2b +由此可得，()y f x =在[0,2]内有零点，只需max min ()20()20f x b f x b =+≥⎧⎨=-≤⎩，所以22b -≤≤.19．第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始，这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战略和政策体系､促进人口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的基本情况.某校高三一班共有学生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生(走读生及半走读生)按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为7:2，住校生中男生占47，现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名同学担任集体户户主进行人口普查登记. （1）应从住校的男生､女生中各抽取多少人？（2）若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训 ①求这3人中既有男生又有女生的概率；②用X 表示抽取的3人中女生户主的人数，求随机变量X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）男生､女生就分别抽取4人，3人；（2）①67；②分布列答案见解析，数学期望：97. 【分析】（1）找到住校生中男女生的比例关系，即可求出男女生分别抽取的人数.（2）①抽取的3名户主中既有男生，又有女生，包含男生有1人，女生有2人和男生有2人，女生有1人两种情况，分别求出概率再求和即可；②找到变量X 的所有可能取值，服从超几何分布，求出概率，列出分布列，求出期望即可. 【详解】（1）由已知住校生中男生占47，则女生占37，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此男生､女生就分别抽取4人，3人.（2）①设事件A 为“抽取的3名户主中既有男生，又有女生”，设事件B 为“抽取的3名户主中男生有1人，女生有2人”；事件C 为“抽取的3名户主中男生有2人，女生有1人”，则A =B ∪C ，且B 与C 互斥，124337()C C P B C ==1235，214337()C C P C C ==1835，故()()()P A P B P C =+=67， 所以，事件A 发生的概率为67. ②随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，33437()(0,1,2,3)k kC C P x k k C -===.随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望4181219()0123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20．已知递增数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，n *∈N ，且24,a a 是方程210210x x -+=的两根，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()*112n n S b n N =-∈. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）记n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n ∴=-，23n n b =；（2）2223nnn T +=-. 【分析】（1）求出11a =，2d =即得数列{}n a 的通项公式；利用1(2)n n n b S S n -=-≥求{}n b 的通项公式； （2）先求出423n nn c -=，再利用错位相减法求和. 【详解】（1）因为方程210210x x -+=两根为3x =或7，又2a ､4a 是方程210210x x -+=的两根，数列{}n a 是递增的等差数列，23a ∴=，47a =，设公差为d ，则11337a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a =，2d =.1(1)12(1)21n a a n d n n ∴=+-=+-=-.对于数列{}n b ，()*112n n S b n N =-∈， 当1n =时，11112b b =-，解得123b =；当2n ≥时，11111122n n n n n b S S b b --⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得113n n b b -=，即113n n b b -=，所以数列{}n b 是等比数列， 1212333n n n b -⎛⎫∴=⨯=⎪⎝⎭（2）2(21)4233n n n n nn n c a b --===， ∴数列{}n c 的前n 项和23126104(1)24233333n n nn n T ----=+++++，23126104(1)24233333n n nn n T ----=+++++，216104232333n n n T --∴=++++ (2)16104232333nn n T --∴=++++两式相减可得2144442223333n n n n T --=++++- (2)144442223333n n nn T --=++++-141424432413313n n n n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=--=--，2223n nn T +∴=-. 【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据数列通项的特征灵活选择求和方法. 21．已知函数()ln 1f x ax x =++（a 为常数，R a ∈）. （1）若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（2）判断方程()ln ln sin x x x x x -=+是否存在实数解；如果存在，求出解的个数；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）(],1-∞-；（2）不存在，理由见解析. 【分析】（1）由参变量分离法可得出ln 1x a x+≤-对任意的()0,x ∈+∞恒成立，令()ln 1x g x x+=-，利用导数求出函数()g x 的最小值，由此可得出实数a 的取值范围；（2）由（1）可得ln 1≤-x x ，于是将问题等价转化为判断方程()ln ln sin x x x x x -=+是否存在实数解，构造函数()()()2ln ln sin 1ln sin h x x x x x x x x x x =---=-+-，利用ln 1≤-x x 可得出()0h x >对任意的0x >恒成立，由此可得出结论. 【详解】（1）因为0x >，由()ln 10f x ax x =++≤，可得ln 1x a x+≤-， 设()ln 1x g x x +=-，则()2ln '=xg x x， 当01x <<时，()0g x '<，函数()g x 递减；当1x >时，()0g x '>，函数()g x 递增.()()min 11g x g ∴==-，1a ∴≤-，因此，实数a 的取值范围是(],1-∞-；（2）由（1）可知，当1a =-时，()ln 10f x x x =-++≤， 即ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时等号成立，问题等价于判断方程()ln ln sin x x x x x -=+是否存在实数解， 设()()()2ln ln sin 1ln sin h x x x x x x x x x x =---=-+-，()()()211sin 1sin h x x x x x x ≥-+--=-（当且仅当1x =时等号成立），又1sin 0x -≥，当且仅当()22x k k N ππ=+∈时等号成立，所以对任意0x >，()0h x >恒成立，所以函数()()21ln sin h x x x x x =-+-无零点， 即方程()ln ln sin x x x x x -=+不存在实数解.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1212x m m y m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(m为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=.（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于点P ，求圆心在极轴上，且经过极点和点P 的圆的直角坐标方程.【答案】（1）:l 20x y --=，:C 228x y -=；（2）22525()39x y -+=. 【分析】（1）参数方程进行平方相减消参，可得出曲线的普通方程，再根据极坐标与普通方程的转换规则，可得到直线的普通方程.（2）根据直线与曲线相交可联立方程，得到P 点坐标.然后设出圆心坐标，再根据圆经过极点和点P ，列出关系式可求出圆心和半径，最后写出圆的方程.【详解】（1）曲线C 的参数方程为1212x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(m 为参数)， 两式平方相减得曲线C 的普通方程为：228x y -=. 直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=，则(cos cossin sin )44ππρθθ-=转换为直角坐标方程为20x y --=（2）由22820x y x y ⎧-=⎨--=⎩得31x y =⎧⎨=⎩，所以点P 的直角坐标为(3,1)设圆心为(,0)a ，则22(3)1a a =-+，解得：53a = 所以，圆的直角坐标方程为：22525()39x y -+=. 【点睛】（1）关键点：极坐标方程与普通方程的转换主要应用于cos ,sin x y ρθρθ==. （2）求直线与曲线的交点坐标，列方程组、解方程组、可得交点坐标；求圆的方程可根据圆心()00,x y 和半径r ，得出圆的方程()()22200x x y y r -+-=.23．已知函数()22f x x x =-++. （1）求不等式()24f x x ≥+的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且实数,,a b c ，满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++≥. 【答案】（1）(,0]-∞；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用分类讨论法解绝对值不等式；（2）首先利用绝对值三角不等式求出4k =，再利用基本不等式证明.【详解】（1）①当2x <-时，不等式即为224x x -≥+，解得1,2x x ≤-∴<-； ②当22x -≤≤时，不等式即为424x ≥+，020x x ≤∴-≤≤； ③当2x >时，不等式即为224x x ≥+，x ∈∅. 综上，不等式()24f x x ≥+的解集为(,0]-∞.（2）由绝对值不等式的性质可得：|2||2||(2)(2)|4x x x x -++≥--+=∴当22x -≤≤时，()f x 取最小值4，即4,()4k a b c =∴+=，即4ab ac +=()()2222222a b c a b a c ab ac∴++=+++≥+=2228当且仅当a b c===时等号成立.【点睛】方法点睛：证明不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）放缩法；（5）数学归纳法；（6）反证法.要根据已知条件灵活选择方法证明.。
四川省宜宾市2023届高三上学期第一次诊断性数学(理)数学试题
一、单选题二、多选题1.的展开式中，的系数（ ）A．B ．5C ．35D ．502. 若函数，对任意实数都有，则实数的值为A．和B．和C．D．3. 若角的终边在直线上，则（ ）A ．2B．C．D ．14. 已知l ，m 是两条不同的直线，是两个不同的平面，下面正确的结论是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则5. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）A．B．C．D．6. 已知，，则（ ）A．B．C．D．7.若，则（ ）A．B．C．D．8. 过点作抛物线的切线，，切点分别为，，若的重心坐标为，且P 在抛物线上，则的焦点坐标为（ ）A．B．C．D．9. 如图，正方形的边长为1，分别为的中点，将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（）A ．异面直线与所成的角为定值B ．存在某个位置，使得直线与直线垂直C ．三棱锥与体积之比值为定值D．四面体的外接球体积为10. 下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（ ）A ．样本的标准差B ．样本的中位数C ．样本的极差D ．样本的平均数11. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ）江西省（东乡一中、都昌一中、丰城中学、赣州中学、景德镇二中、上饶中学、上栗中学、新建二江西省（东乡一中、都昌一中、丰城中学、赣州中学、景德镇二中、上饶中学、上栗中学、新建二三、填空题四、解答题A ．若，则B ．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为C．若与共线，则为或D ．存在θ，使得12.如果有限数列满足，则称其为“对称数列”，设是项数为的“对称数列”，其中是首项为50，公差为的等差数列，则（ ）A ．若，则B．若，则所有项的和为590C ．当时，所有项的和最大D ．所有项的和可能为013.已知点在抛物线上，该抛物线的焦点为F ，过点A 作直线的垂线，垂足为B ，则__________，的平分线所在的直线方程为__________14.若为等差数列的前项和，，，则_________．15. 已知向量，其中，若，则___________．16. 如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上两个码头，海中小岛有码头Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为、，测得，，以点 O 为坐标原点，射线OM 为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，一艘游轮以小时的平均速度在水上旅游线AB 航行（将航线AB 看作直线，码头 Q 在第一象限，航线BB 经过点Q ）.（1）问游轮自码头A 沿方向开往码头B 共需多少分钟？（2）海中有一处景点P （设点P 在平面内，，且），游轮无法靠近，求游轮在水上旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标.17. 如图，五面体中，四面体是菱形，是边长为2的正三角形，，.（1）证明：；（2）若在平面内的正投影为，求点到平面的距离.18. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为2．(1)求椭圆E的方程；(2)过点的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线的垂线（点B，C在直线l的两侧）．垂足分别为M，N，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数t，使得，，总成等比数列？若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由．19. 南平市于2018年成功获得2022年第十七届福建省运会承办权.为进一步提升第十七届福建省运会志愿者综合素质，提高志愿者服务能力，南平市启动首批志愿者通识培训，并于培训后对参训志愿者进行了一次测试，通过随机抽样，得到100名参训志愿者的测试成绩，统计结果整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)由频率分布直方图可以认为，此次测试成绩近似于服从正态分布，近似为这100人测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），①求的值；②利用该正态分布，求；(2)在（1）的条件下，主办单位为此次参加测试的志愿者制定如下奖励方案：①测试成绩不低于的可以获赠2次随机话费，测试成绩低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（元）1030概率今在此次参加测试的志愿者中随机抽取一名，记该志愿者获赠的话费为（单位：元），试根据样本估计总体的思想，求的分布列与数学期望.参考数据与公式：若，则，，.20. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面为中点，与交于点的重心为.(1)求证：平面(2)若，求二面角的正弦值.21.如图，四棱锥中，，为正三角形，，，，．(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离．。
四川省绵阳市2021届高三数学上学期第一次诊断试题 理
某某省某某市2021届高三数学上学期第一次诊断试题 理注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的某某、某某号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题 答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3. 考试结束后， 将答题卡交回。
一 、 选择题：本大题共12小题， 每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1. 已知A = {x |0< x <2}, B = {x |x (l -x )≥0}, 则A B =A.∅B.(-∞,1]C. [l, 2)D.(0,1]2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是A.y =tan xB.y =ln xC.y =x 3D.y =x 23. 若log a b > 1, 其中a >0且a ≠1， b >1, 则A.0<a <l<bB.1<a <bC.1<b <aD.1<b <a 24. 函数ππ()sin()24f x x =+的图象的一条对称轴是A.x =-3B. x =0C.x=π2 D.x=32-5. 函数2()ln ||f x x x x =+的大致图象是6. 已知命题p : 在△ABC 中，若cos A =cos B , 则A =B ；命题q : 向量a 与向量b 相等的充要条件是|a |=|b |且a //b ．下列四个命题是真命题的是A.p ∧(⌝q )B. (⌝p ) ∧(⌝q )C.(⌝p )∧qD. p ∧q7. 若曲线1y x =-+在点(0, -1)处的切线与曲线y =ln x 在点 P 处的切线垂直，则点 P 的坐标为A.(e,1)B.(1,0)C. (2, ln2)D.1(,ln 2)2- 8. 已知菱形ABCD 的对角线 相交于点O , 点E 为AO 的中 点， 若AB =2, ∠BAD =60°,则AB DE ⋅＝A.-2B.12-C.72-D.129. 若a <b < 0, 则下列不等式中成立的是A.11a b a <- B.11a b b a +>+ C.11b b a a -<- D.(1)(1)a b a b ->-10. 某城市要在广场中央的圆形地面设计 一块浮雕，彰显城市积极向上的活力．某公司设计方案如图， 等腰△PMN 的顶点P 在半径为20m 的大⊙O 上， 点M , N 在半径为10m 的小⊙O 上， 圆心O 与点P 都在弦MN的同侧． 设弦MN 与对应劣弧所围成的弓形面积为S , △OPM 与△OPN 的面积之和为S 1,∠MON =2, 当S 1-S 的值最大时，该设计方案最美，则此时cos =A.12B.512-C.32D.212- 11. 数列{a n }满足21121n n n a a a ++=-,2411,59a a ==,数列{b n }的前n 项和为S n ,若b n =a n a n +1，则使不等式427n S >成立的n 的最小值为 A. 11 B. 12 C. 13 D. 1412. 若1823,23a b +==，则以下 结论正确的有 ①b -a <1②112a b +>③34ab >④22b a >A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题：本大题共4小题， 每小题5分， 共20分．13. 已知向量a =(l, 0), b =(l, 1), 且a +λb 与a 垂直，则实数λ＝．14. 若实数x ,y 满足0,,22,x x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则z =2x +y 的最大值为．15. 已知sin x +cos y =14, 则sin x -sin 2y 的最大值为． 16. 若函数f (x )=(x 2 +ax +2a )e x 在区间(-2, 1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值X 围 为．三、解答题：共70分。
四川省宜宾市2023届高三上学期第一次诊断性数学(理)数学试题(2)
一、单选题1. 已知一组样本数据共有9个数，其平均数为8，方差为12.将这组样本数据增加一个数据后，所得新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差为（ ）A ．18.2B ．19.6C ．19.8D ．21.42. 在计算机尚未普及的年代，人们在计算三角函数时常常需要查表得到正弦和余弦值，三角函数表的制作最早可追测到古希腊数学家托勒密．下面给出了正弦表的一部分，例如，通过查表可知的正弦值为0.0384，的正弦值为0.5135，等等.则根据该表，416．5°的余弦值为（ ）0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60'0°0.000000170035005200700087010501220140015701751°017501920209022702440262027902970314033203492°03490366038404010419043604540471048805060523……………………30°0.5000501550305045506050755090510551205135515031°5150516551805195521052255240525552705284529932°5299531453295344535853735388540254175432544633°5446546154765490550555195534554855635577559234°55925606562156355650566456785693570757215736………………A ．0.5461B ．0.5519C ．0.5505D ．0.57363. 下图中的函数图象所对应的解析式可能是（）A．B．C．D．4. 已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B．C．D．5. 设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为（ ）四川省宜宾市2023届高三上学期第一次诊断性数学（理）数学试题(2)四川省宜宾市2023届高三上学期第一次诊断性数学（理）数学试题(2)二、多选题A ．0.01B ．0.1C ．1D ．106. 从分别写有“1，2，3，4，5”的5张卡片中，随机抽取一张不放回，再随机抽取一张，则抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是（ ）A．B．C．D．7. 已知函数满足对任意，都有成立， 则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．8. 已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于，两点，以线段为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．9. 为庆祝中国共产党成立100周年，某校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成绩如下甲选手：78 84 85 85 86 88 92 乙选手：72 84 86 87 89 93 94则以下结论正确的是（ ）A ．甲成绩的极差比乙成绩的极差小B ．甲成绩的众数比乙成绩的中位数小C ．甲成绩的方差比乙成绩的方差小D ．甲成绩的平均数比乙成绩的平均数大10. 甲、乙两旅游景区某月初连续7天的日均气温数据如图所示，则关于这7天，以下判断正确的是（）A ．甲旅游景区日均气温的中位数与平均数相等B ．甲旅游景区的日均气温比乙城市的日均气温稳定C ．乙旅游景区日均气温的极差为2℃D ．乙旅游景区日均气温的众数为5℃11. 设函数（），已知在有且仅有3个零点，下列结论正确的是（ ）A ．在上存在，，满足B ．在有且仅有1个最小值点C ．在单调递增D ．的取值范围是12. 用“五点法”画函数（，，）在一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表，则下列说法正确的是（ ）x三、填空题四、解答题0200A．B ．不等式的解集为C．函数的图象关于直线对称D ．函数在区间上单调递增13. 在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图像交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________14.在中，满足，则___________．15.如图，在正方体中，E是的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为____________．16. 如图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：（Ⅰ）求点P的轨迹方程;（Ⅱ）设d为点P到直线l：的距离，若,求的值.17. 新高考按照“”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学，外语，所有考生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物，政治，地理四科中选择两科．某校为了解该校考生首选科目的选科情况，从该校考生中随机选择了100名考生进行调查，得到下面的列联表：选择物理不选择物理男4515女2020假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响．(1)能否有的把握认为考生是否选择物理与性别有关?(2)若以上表中的频率代替概率，从该校考生中随机选择4位男生，试估计选择物理作为首选科目的人数．参考公式：，其中．参考数据：0.100.050.0100.0012.7063.841 6.63510.82818. 对于定义在上的函数，若存在，使得，则称为的一个不动点．设函数，已知为函数的不动点．(1)求实数的取值范围；(2)若，且对任意满足条件的成立，求整数的最大值．（参考数据：，，，，）19.已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的右顶点为，过的直线与椭圆交于点，且，求直线的方程．20. 选修4—5：不等式选讲已知，对，恒成立，（1）求的最小值；（2）求的取值范围．21. 为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在（15，45]以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在（15，30]的产品为合格品.旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示.质量指标频数（15，20]2（20，25]8（25，30]20（30，35]30（35，40]25（40，45]15合计100（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率.（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高.根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高与新设备有关”.非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计附：0.150.100.050.0250.0100.0052.072 2.7063.841 5.024 6.6357.879，其中.（3）用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取3件产品，其中优质品数为X件，求X的分布列及数学期望.。
2021年四川省宜宾市高考数学一诊试卷(理科)
2021年四川省宜宾市高考数学一诊试卷(理科)----307ed969-6ea2-11ec-bbe0-7cb59b590d7d2021年四川省宜宾市高考数学一诊试卷（理科）一、多项选择题：这道主题有10个子题，每个子题5分，总共50分。
每个子问题中给出的四个选项中只有一个符合问题的要求1．设集合a={x|x23x4＞0}，集合b={x|2＜x＜5}，则a∩b=（）a．{x|1＜x＜4}b．{x|2＜x＜1或4＜x＜5}c．{x|x＜1或x＞4}d．{x|2＜x＜5}在2的扩展中。
（12x）10，各种系数之和为（）a.1b．210c．1d．1或13.要获得y=3cos（2x+）的图像，只需将y=3cos 2x（a）的图像向左移动一个单位长度b．向右平移单位长度c．向左平移单位长度D.将单位长度向右移动4．下列说法错误的是（）a、“Ac2>BC2”是“a>b”的一个充分条件和不必要条件。
B.如果P∨ q是一个错误的命题，P∧ q是一个错误的命题。
C.命题“存在”∈ R、2“≤0”的否定是“对任意的x∈r，2x＞0”d、关于任意x的命题∈ R“，2x>x2”是一个正确的命题5．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）第1页，共24页）a、 10b.3c.4d.5六．六个人从左到右排成一列，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法总数有（）a．48种b．384种c、 432种d．288种然后等于7.（中量积）已知向量，x，y满足|=|=1=0，和（A）b．c、二,d．58.如图所示，在立方体abcda1b1c1d1中，如果M是线段a1c1上的移动点，则以下结论不正确（）a．三棱锥mabd的主视图面积不变b．三棱锥mabd的侧视图面积不变c．异面直线cm，bd所成的角恒为d．异面直线cm，ab所成的角可为9．已知函数f（x）=x4+的图象为（）十、∈ (0,4). 当x=a时，f（x）得到最小值B，那么函数g（x）=a | x+B|第2页（共24页）a、不列颠哥伦比亚省。
宜宾市普通高中2021级一诊考试题理科答案(1)
宜宾市高2021级一诊考试题数学（理工类）参考答案说明：一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题13．14 14． (],22ln 2-∞- 15． ． {}4 注：写成单元数集才给分 三、解答题17．解：（1）55cos ()cos ,sin cos (sin sin )cos 33a Cbc A A C B C A =-∴=-……………1分5sin cos cos sin sin cos 3A C A C B A ∴+=，5sin cos sin()sin 3B A A C B ∴=+=………………2分3sin 0,cos 5B A ≠∴=，则4sin 5A =…………………………………3分由正弦定理得，sin 4sin a A c C==，即4a c =，……………………………………………5分 联立10a c +=，得2c =…………………………………………………………………6分（2）由余弦定理可得，222cos2b c a A bc +-=，即2235505b =--=得b =…………………………………………………………10分 则122sin 25S bc A ==…………………………………………………………12分18. 解：（1）∵22-=n n a S ，当1=n 时2211-=a S ∴21=a当2≥n 时 22-=n n a S ，2211-=--n n a S 两式相减得 122--=n n n a a a (2)n ≥12-=n n a a 2≥n 021≠=a21=∴-n na a 2≥n ∴{}n a 是以首项为2，公比为2的等比数列 n n a 2= ....................6分 （2）由（1）知n n nb 2)12(-=n n n n n T 2)12(2)32(252321132⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=- 14322)12(2)32(2523212+⋅-+⋅-+⋅+⋅+⋅=n n n n n T两式相减得nn n n T 2)12(22222132⋅--+++⨯+=--）（62)32(2)12(622)12(21)21(22112113---=⋅---=⋅----⋅+=-++++-n n n n n n n n n T62)32(1+-=+n n n T ...........................................12分19.23()34f x x ax b '=++（I ）23()3104f x x ax '=++≥23134x ax +≥-3134x a x +≥- 314x x+≥3a ∴-≤a ∴≥（II ）(2)360f a b '-=-+= 2(2)26220f a b a -=-+-+= 解得2193a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 当1,3a b ==时23()(2)04f x x '=+≥，函数无极值；2,9,11a b a b ∴==+=20.（I ）0.012,0.010a b ==，=125.6μ...........................................4分（II ）某职工日行步数=157()ω百步，×ε157-126.5=100126.5≈24∴职工获得三次抽奖机会设职工中奖次数为X 在方案甲下1(3,)3X B()1E X =在方案乙下()1E X =.8所以更喜欢方案乙...........................................12分21. （I ）11()axf x a x x-'=-=（1）0()0,()0,+a f x f x '≤>∞当时，则在区间（）上单调递增；（2）110(0,),()0,()(0,)a x f x f x a a'>∈>当时，在区间上单调递增；11(+),()0,()(+)x f x f x a a'∈∞<∞，在区间，上单调递减；...........................................4分（II ）由（I ）得：当1a =时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 1201x x ∴<<<将要证的不等式转化为12131x x x -+＞，考虑到此时，21x ＞，11311x x -+＞， 又当(1,)x ∈+∞时，()f x 递增。
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宜宾市普通高中2018级第一次诊断性测试理科数学（考试时间：120分钟 全卷满分：150分）注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．复数4i3i21-+的值为 A.i 5251--B.i 5251+-C.i 5251-D.i 5251+ 2．命题“R x ∈∀，0522≥+-x x ”的否定是A.R x ∈∀，0522≤+-x xB.R x ∈∀，0522<+-x xC.R x ∈∃0，05202<+-x x D.R x ∈∃0，052020≤+-x x3．已知集合{}0432<--=x x x A ，{}0>=x x B ，则=B A A.{}40<<x x B.{}01<<-x x C.{}41<<-x xD.{}4<x x4．某团支部随机抽取甲乙两位同学连续9期“青年大学习”的成绩（单位：分），得到如图所示的成绩茎叶图，关于这9期的成绩，则下列说法正确的是A.甲成绩的平均数高于乙成绩的平均数B.乙成绩的极差为40C.甲乙两人成绩的众数相等D.甲成绩的中位数为325．符号><x 表示大于或等于x 的最小整数，在下图中输入的b a ,依次为0.3-和1.4，则输出的是A.0.3B.0.4C.0.6D.0.76．如图，ABC ∆是等边三角形，ADC ∆是等腰直角三角形，︒=∠90ADC ，线段BD AC ,交于点O ，设=BC a ，=BA b ，用a ，b 表示OD 为A.=OD b a 6363+ B.=OD b a 3333+-C.=OD b a 6363+-D.=OD b a 3333+ 7．若51()a x x-展开式中所有项的系数和为1，则其展开式中x 的系数为A.2-B.10-C.16-D.80-8．函数()sin cos f x x x x =-+部分图象大致形状为A B C D9．已知52cos 3sin =-αα, 则=+++)6cos()32sin(παπα A.54-B.52-C.0D.5210．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半。
”题意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第n 天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的3倍，则n 的值为（结果精确到0.1，参考数据：3010.02lg ≈,4771.03lg ≈） A.2.2B.2.4C. 2.6D.2.811．已知定义在R 上的奇函数)(x f y =满足，)(2(x f x f -=+），若[]1,0,21∈∀x x 且21x x ≠时，都有)()()()(21122211x f x x f x x f x x f x +>+，则下列结论正确的是A.)(x f y =图象关于直线2020=x 对称B.)(x f y =图象关于点)0 , 2020(中心对称C.)(x f y =在[]2021,2019上为减函数D.)(x f y =在[]2022,2020上为增函数12．已知实数21e 23=a ,32e 34=b ,76e 78=c ，(e 为自然对数的底数)则a ,b ,c 的大小关系为A.c b a <<B.a c b <<C.a b c <<D.c a b <<二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥0200y x y x ，则目标函数y x z -=2的最大值为 ．14．已知向量a )0,1(=，2=b ，向量a 与向量b 的夹角为︒45，则 =-⋅)(b a a ． 15．已知ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且a B c ac b a =--+sin 2222，则=B ．16．已知函数)ln (e )(x x a x x f x +-=(e 为自然对数的底数)有两个不同零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（12分）已知函数12cos 22cos 2sin 32)(2+-=x x x x f . （1）求函数)(x f 的最小正周期 ；（2）将函数)(x f 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位得到函数)(x g 图象，求函数)(x g 的单调增区间.18．（12分）已知函数b ax x x f +-=3)(在1-=x 处取得极值. （1）求实数a 的值；（2）若函数)(x f y =在]2,0[内有零点，求实数b 的取值范围.19．（12分）第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始，这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战略和政策体系、促进人口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的基本情况.某校高三一班共有学生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生（走读生及半走读生）按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为2:7，住校生中男生占74，现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名同学担任集体户户主进行人口普查登记. （1）应从住校的男生、女生中各抽取多少人？（2）若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训①求这3人中既有男生又有女生的概率；②用X 表示抽取的3人中女生户主的人数，求随机变量X 的分布列与数学期望.20．（12分）已知递增数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，n N *∈，且24,a a 是方程210210x x -+=的两根，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()*112n n S b n N =-∈. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）记n n n b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .21．（12分）已知函数1ln )(++=x ax x f a (为常数，)R ∈a . （1）若0)(≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）判断方程x x x x x sin ln |)ln (|+=-是否存在实数解；如果存在，求出解的个数；如果不存在，请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22．（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=m m y mm x 1212（m 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2)4cos(=+πθρ．（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于点P ，求圆心在极轴上，且经过极点和点P 的圆的直角坐标方程．23．（10分）[选修4-5：不等式选讲]已知函数22)(++-=x x x f . （1）求不等式42)(+≥x x f 的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且实数c b a ,,，满足k c b a =+)(，求证：82222≥++c b a .宜宾市高2018级高三第一次诊断测试理科数学参考答案一．选择题1-5:BCADC 6-10: ADCBC 11-12: BA二．填空题13: 4 14: 0 15:︒135)43(π或16:)e,(+∞ 三．解答题17【解析】（1）)6sin(2cos sin 312cos 22cos 2sin32)(2π-=-=+-=x x x x x x x f ， 所以 函数f (x )的最小正周期π2. ..............................5分（2）将函数f(x)图象上所有点的横坐标都缩短为原来的21倍（纵坐标不变），得到)62sin(2(π-=x x h ）再向左移动6π个单位得)62sin(2]6)6(2sin[2)(g πππ+=-+=x x x ， ⇒+≤+≤-226222πππππk x k 63ππππ+≤≤-k x k .函数)(x g 的单调增区间是 )](6,3[Z k k k ∈+-ππππ. (12)分18【解析】（1）a x x f -=23)('，b ax x x f +-=3)(在1-=x 处取得极值.03)1('=-=-∴a f ，所以3=a . 经验证3=a 时,)(x f 在1-=x 处取得极值. (5)分（2）由（1）知b x x x f +-=3)(3，)1)(1(333)('2+-=-=x x x x f 所以)(x f y =极值点为1,-1.将,(),'()x f x f x 在]2,0[内的取值列表如下：由此可得，)(x f y =在]2,0[内有零点，只需max min()20()20f x b f x b =+≥⎧⎨=-≤⎩，所以22b -≤≤. .......12分19【解析】（1）由已知，住校生人数为42抽取7人，因此男生、女生就分别抽取4人，3人. ..............................3分（2）①设事件A 为“抽取的3名户主中既有男生，又有女生”,设事件B 为“抽取的3名户主中男生有1人，女生有2人”；事件C 为“抽取的3名户主中男生有2人，女生有1人”，则A =B ∪C ，且B 与C 互斥，372314)(C C C B P ==1235， 371324)(C C C C P ==1835，故=+=)()()(C P B P A P 67, 所以，事件A 发生的概率为67． ..............................7分 ②随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3,)3,2,1,0()(37343===-k C C C k x P k k ．随机变量X 的分布列为 随机变量X 的数学期望 79351335122351813540)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E . .................12分20【解析】（1）因为方程210210x x -+=两根为3x =或7，又2a 、4a 是方程210210x x -+=的两根，数列{}n a 是递增的等差数列，23a ∴=，47a =，设公差为d ，则11337a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a =，2d =.1(1)12(1)21n a a n d n n ∴=+-=+-=-. .............................3分对于数列{}n b ，()*112n n S b n N =-∈， 当1n =时，11112b b =-，解得123b =； 当2n ≥时，11111122n n n n n b S S b b --⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得113n n b b -=，即113n n b b -=，所以数列{}n b 是等比数列，1212333n n n b -⎛⎫∴=⨯= ⎪⎝⎭. ........7分 （2）2(21)4233n n n n nn n c a b --===， ∴数列{}n c 的前n 项和23126104(1)24233333n n n n n T ----=+++++......23126104(1)24233333n n nn n T ----=+++++ 216104232333n n n T --∴=++++ (21)6104232333n n n T --∴=++++ 两式相减可得2144442223333n n n n T --=++++-......2144442223333n n n n T --=++++-141424432413313n n nn n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=--=--， 2223n nn T +∴=-. ..............................12分 21【解析】（1）法一：因为0,x >所以0)(≤x f ln 1x a x+⇔≤-， ...............................1分设x x x g 1ln )(+-=，则2ln )('xxx g =， ................................2分当01x <<时，)(,0)('x g x g <递减，当1x >时，)(,0)('x g x g >递增， .................................4分min ()(1)1g x g ==-，1a ∴≤-. (5)分法二：当0≥a 时，01)1(>+=a f ，不合题意， .................................1分当0<a 时，,11)(x ax x a x f +=+=' 令,0)(='x f 则,1ax -= ................................2分)(,0)(),1,0(x f x f a x >'-∈∴单调递增，)(,0)(),,1(x f x f ax <'+∞-∈∴单调递减，,0)1ln()1()(max ≤-=-=∴aa f x f ；1a ∴≤- .................................5分（2）由（1）可知，当1-=a 时，01ln )(≤++-=x x x f ，即1ln -≤x x ，当且仅当1=x 时等号成立， 由题意可知即判断方程x x x x x sin ln )ln (+=-是否存在实数解， .................................7分设x x x x x x x x x x g sin ln )1(sin ln )ln ()(2-+-=---=，x x x x x x g sin 1sin )1)1()(2-=--+-≥（（当且仅当1=x 时等号成立）， 又0sin -1≥x ，当且仅当)(22N k k x ∈+=ππ时等号成立，所以对任意0>x ，0)(>x g 恒成立. 所以函数x x x x x g sin ln )1()(2-+-=无零点， 即方程xx x x x sin ln )ln (+=-不存在实数解 . (12)分22 【解析】(1)曲线C 的参数方程为1212x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（m 为参数），两式平方相减得曲线C 的普通方程为：228x y -=． 直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=(cos cossin sin )44ππρθθ-=转换为直角坐标方程为20x y --=． ...........................5分 （2）由22820x x y y ⎧-=⎨--=⎩得31x y =⎧⎨=⎩，所以点P 的直角坐标为(3,1)设圆心为(,0)a ，则22(3)1a a =-+，解得：53a = 所以，圆的直角坐标方程为：22525()39x y -+=. ...........................10分23【解析】（1）①当2x <-时，不等式即为224x x -≥+，解得1,2x x ≤-∴<-②当22x -≤≤时，不等式即为424x ≥+，020x x ≤∴-≤≤ ③当2x >时，不等式即为224x x ≥+，x ∈∅综上,不等式()24f x x ≥+的解集为(,0]-∞. ...........................5分（2）由绝对值不等式的性质可得：|2||2||(2)(2)|4x x x x -++≥--+=∴当22x -≤≤时，()f x 取最小值4，即4,()4k a b c =∴+=，即4ab ac +=()()22222222228a b c a b a c ab ac ∴++=+++≥+=当且仅当a b c ===时等号成立. . ..........................10分。