可靠性中常用的概率分布

(x 0)
(3-4)
指数分布的累积分布函数
F(x)=1-e-x
(3-5)
——若产品在一定时间区间内的失效数服从泊松分布，则该产品的 寿命服从指数分布。
3.5 正态分布
正态分布密度函数定义为：
f (x)
1
2
exp
1 2
x
2, x来自其中： －均值， －标准差。
(3-6)
标准正态分布
例如，对于图(下左)中所示的两种分布形式（一种为 Weibull分布，另一种为正态分布），虽然它们的概率密度 函数曲线差别很小，但其累积分布函数（反映可靠性特征） 在小概率区域的差别却十分显著，如图(下右)所示。
Probability density function
Probability
0.35
当 (t) 为常数时，满足上述条件的计数过程 {N (t),t 0} 为
时齐泊松随机过程。
泊松随机过程的概率密度分布
(t) 0.5 h 1
P(m, t )
n
t/h
3.4 指数分布
指数分布的定义
指数分布的密度函数为
e x
f (x) 0
式中为常数，是指数分布的失效率。
(x 0; 0)
(3-3)
P{X k} Cnk pk (1 p)nk
(k 0,1,2,..., n)
泊松过程
泊松随机过程作为一种重要的计数过程， 可以很好地用于描述“顾客流”、“粒子流” 、“信号流”等事件的概率特性。
设 {N(t),t 0} 为一计数过程，且满足以下条件： (1) N(0)=0； (2) {N (t),t 0} 是一个独立增量过程，即任取 0 t1 t2 tm
失效率函数
（3-10）
V (x) exp 2 2
exp 2 －1
T50
2
exp
2
exp
2
1
（3-11）
3.8 威布尔(Weibull)分布
Weibull采用“链式”模型研究、描述了结构强度和寿命问题，假 设一个结构是由 n 个小元件串联而成，将结构看成是由 n 个环 构成的一条链子，其强度（或寿命）取决于最薄弱环的强度（或 寿命）。单个链的强度（或寿命）为一随机变量，设各环强度 （或寿命）相互独立，分布相同，则求链强度（或寿命）的概率 分布就变成求极小值分布问题，由此得出了威布尔分布函数。
若X是一个非负的。 随机变量，且密度函数为
f (x) 1 exp[ 1 ( x )2 ]
2
2
(0 x )
则称X服从截尾正态分布。式中为“正规化常数”，以保证 f (x)dx 1 o
3.6 对数正态分布
若 X 是一个随机变量， Y＝ln(X)服从正态分布： Y=ln(X)～N(,2)
P{X k} Cnk pk (1 p)nk
(k 0,1,2,..., n)
(3-2)
二项分布的数字特征：E(X)=np，D(X)=np(1-p)。 二项分布用途很广泛－－产品的质量检验、描述表决系统的可靠性。
3.3 泊松(Poisson)分布
泊松分布：
P{X k} k e
k!
泊松分布的数字特征为：E(X)=，D(X)=。
的非时齐泊松随机过程，且 w,t 0, m 0, 有：
P[N(w t) N(w) m]
tw
(t)dt
0
w (t)dt m
0
e
tw 0
(t
)
dt
w 0
(
t
)
dt
m!
当 w 0 时，有
t (t)dt m
P N(t) N(0) m 0
e
t 0
(t
)
dt
m!
3.1 分布特征
随机变量分为离散型和连续型两类：
离散型随机变量的取值xi是可数的。 连续型随机变量x在其定义域内取任意值。
概率密度函数必须满足：
对于所有x的值， f (x) 0
对于连续型分布， f (x)dx 1
对离散型的分布, p(xn ) 1
n
积累分布函数是随机变量X小于某个具体值的概率：P(X<x)。连续型随机变量
的积累分布函数定义为：
x
F (x) f ( )d
（3-1）
概率论中有多种分布函数。不同的分布函数是在不同背景下提 出来的，适用于不同的场合。
对于可靠性问题，涉及的都是小概率问题。因此，更关心分布 函数在其定义域中对应于小概率密度部分的细节特征。
“总体上相近”、或低阶数字特征（例如均值和标准差）相同 的两种分布，在小概率问题中可能表现出很大的差别。
则称 X 服从对数正态分布。 对数正态概率密度函数是：
f(x)=
1 x 2
exp
1 2
ln
x
2
0
x0
（3-9）
x0
和 不是对数正态分布的均值和标准差，而分别称为它的对数均值和对数 标准差。
可靠度函数
对数正态分布的均值是：
E(x)
exp
2
2
T50
2
exp
2
对数正态分布的方差是：
Weibull
0.3
distribution
0.25
0.2
Normal distribution
0.15
0.1
0.05
0
0
2
4
6
8
10
12
Life time x 10000
0.01 0.008 0.006
Weibull distribution Normal distribution
0.004
0.002
＝0，2＝1 的正态分布称为标准正态分布，其概率密度函数为：
f (x) 1 ex2 / 2
2
( x )
(3-7)
通过以下公式，可以实现从一般正态分布向标准正态分布的转换：
z x
可靠度函数
失效率函数
截尾正态分布
工程实际中有很多试验或观察数据近似服从正态分布。但正态分布 的取值范围（-∞到+∞）不很符合实际情况。考虑到许多试验或观 察数据无负值，因此用截尾正态分布来表示较为准确。截尾正态分 布定义为：
0
0
0.5
1
1.5
Life time
3.2 二项分布
试验 E 只有两种可能的结果 A 和 Ā，P(A)=p，P(Ā)=q。用 X 表示 在 n 重独立试验中事件 A 发生的次数，则 X 是一个随机变量，它 的可能取值为 0，1，2，…，k，…n，在这种情形 X 服从的概率分 布称为二项分布，记为: XB(n,p)，其概率分布为：
时, N(t1), N (t2 ) N (t1) , …, N (tm ) N (tm1) 相互独立；
(3) 对于充分小的 t 0 ，有
P[N(t t) N(t) 1] (t)t o(t)
P[N(t t) N(t) 2] o(t)
满足上述条件的计数过程 {N(t),t 0} 是参数为 (t) 0,t 0