2013级线性代数与概率统计A卷答案

3
。
姓名：
答
一、选择题（每题 3 分，共 15 分）
1、设 A 是 n 阶可逆阵， B 是 n 阶不可逆阵，则 （ D ） 。
9、 n 元线性方程组 Ax = b 有解的充要条件是 r ( A) = r ( A, b) 。 10、设 x1 ,L xn 是来自正态总体 N ( m , s ) 的样本，若 s 已知，则参数 m 的 1 - a 置信区
2
2
所以 A 的特征值为 l1 = 4 , l2 = 1 , l3 = -2
1 n 2 å xi n i =1
6分
æ 2ö æ 2ö æ1ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ 对 l1 = 4 , l2 = 1 , l3 = -2 ,得基础解系 x1 = -2 , x 2 = 1 , x 3 = 2 ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç1÷ ç -2 ÷ ç 2÷ è ø è ø è ø
7、甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为 , , 被击中的概率为 8/9 。
1 1 2 ，则目标 3 2 3
题号 分值 题 得分
一 15
二 15
三 30
四 40
总分 100
æ1ö æ 0ö æ0ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ 8、向量组 a 1 = ç 1 ÷ ， a 2 = ç 2 ÷ ， a 3 = ç 0 ÷ 的秩为 ç0÷ ç 0÷ ç 3÷ è ø è ø è ø
x + (n - 1)a a 解： D = M a
x + (n - 1)a L x + (n - 1)a x L a M M a L x
15、设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布列为 2分
X
0
Y
0
1
16 12
13
0
1 1 L 1 a x L a = [ x + (n - 1)a] M M M a a L x 1 1 L 0 x-a O x-a = ( x - a ) [ x + (n - 1)a ]
解： P ( X < Y ) =
0 < x < 1, 0 < y < 1 其他
6分
» 1 - F ( -1.5 ) = F (1.5 ) = 0.933
17、甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的 25%、35%、40%，次品率
x< y
òò 4 xydxdy = 4ò
1 0
1
0
ydy ò xdx
6分
四、解答题(共 40 分)
ì3 2 ï x ， 0< x<2 13、设连续型随机变量 X 的密度函数为 f ( x) = í 8 ， ï 其他 î 0，
求 E ( X ), D( X ) 。 16、某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20%，以 X 表示在随机 抽取的 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。 求被盗索赔户不少于 14 的概 率的近似值。 ( F (0.5) = 0.691, F (1.5) = 0.933 ) （6 分） 3分 解：据题意可知， X ~ B (100, 0.2 ) ， 2分 ,
( A) a1 + a 2 , a 2 + a 3 , a 3 - a1
( B) a1 + a 2 , a 2 + a 3 , a1 + 2a 2 + a 3
æ 4 0ö æ 1 0ö æ1 0 ö -1 而 2A = ç ÷ , ( A - E) = ç ÷ =ç ÷ è -2 4 ø è -1 1 ø è1 1 ø
n -1
4分 求 Cov( X , Y ) 。
1
1
5分
解： E ( X ) = 0 ´
1 1 1 2 1 1 + 1´ = ， E (Y ) = 0 ´ + 1´ = 2 2 2 3 3 3
3分 6分
= [ x + (n - 1)a ]
1 1 1 E ( XY ) = 0 ´ 0 ´ + 0 ´1´ + 1´ 0 ´ + 1´ 1´ 0 = 0 6 3 2 Cov( X , Y ) = E ( XY ) - E ( X ) E (Y ) = 0 1 1 =6 6
2分 3分
-1
( A)
N (1, 2)
( B)
N (0, 2)
(C )
N (0, 4)
( D)
N (-1, 4)
解：由 BA B 2 A 得 B( A - E ) = 2 A 所以
B = 2 A( A - E )-1
4、设向量组 a1 , a 2 , a 3 线性无关，则下列向量组线性无关的是 （ C ） 。
ìkx , 0 £ x £ 1
2
8分
æ 2 ö æ 2 ö æ1ö ç 3 ÷ ç 3 ÷ ç3÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ x1 ç 2 ÷ x2 ç 1 ÷ x3 ç 2 ÷ 将 x1 , x 2 , x 3 单位化：h1 = ,h3 = = - ,h 2 = = = x1 ç 3 ÷ x2 ç 3 ÷ x3 ç 3 ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1 ÷ 2÷ 2 ç ç ç ç ÷ ç- ÷ ç ÷ ÷ è 3 ø è 3ø è3ø æ 2 ç 3 ç 2 于是得到正交矩阵 P = (h1 ,h 2 ,h3 ) = ç ç 3 ç 1 ç ç è 3 2 3 1 3 2 3 1ö 3÷ æ4 0 0 ö ÷ 2÷ ç ÷ ,且有 PT AP = 0 1 0 . ç ÷ 3÷ ç 0 0 -2 ÷ ÷ è ø 2÷ ÷ 3ø
2
不
要
2ห้องสมุดไป่ตู้
( A) A + B 可逆
( B) A + B 不可逆
(C ) AB 可逆
( D ) AB 不可逆
间为
[x -
s
n
ua /2 , x +
s
n
ua / 2 ] 。
内
2、已知 A 为 n 阶方阵， k 为常数，则 kA = （ D ） 。
年级/班级：
订
( A) k A
( B) k A
(C ) k A
1 n 2 µ 2 是 s 2 的无偏估计。 xi ) s 2 ，知 s n i1
8分
《线性代数与概率统计 A、B》期末试卷 A 卷本卷共 3 页第 3 页
å P( A ) P( B | A ) = 0.25 ´ 0.03 + 0.35 ´ 0.02 + 0.4 ´ 0.01 = 0.0185
i =1 i i
3
4分
(2) P ( A2 | B ) =
P( A2 ) P( B | A2 ) 0.35 ´ 0.02 = » 0.38 P( B) 0.0185
æ 4 0 öæ 1 0 ö æ 4 0 ö ÷ç ÷=ç ÷ è -2 4 øè 1 1 ø è 2 4 ø a x M a L a L a 。 M L x
6分
( A) 0.2
( B)
0.3
(C )
0.4
( D)
0.5
x a 12、计算行列式 D = M a
《线性代数与概率统计 A、B》期末试卷 A 卷本卷共 3 页第 1 页
8分
18、设连续型随机变量 X 的密度函数为 f ( x) = í
î 0,
其他
，求：
（1）常数 k ； （2）随机变量 X 的分布函数 F ( x) ； （3） P ( 解： （1）由
1 1 < X < )。 （8 分） 4 2
3分
ò
+¥
-¥
f ( x)dx = ò kx 2 dx =
0
x
1
k = 1 可解得 k = 3 。 3
3 3 解： E ( X ) ＝ò xf ( x )dx = ò x 3 dx = －¥ 0 8 2 +¥ 23 12 E ( X 2 ) ＝ò x 2 f ( x )dx = ò x 4 dx = －¥ 0 8 5 12 3 3 D ( X ) = E ( X 2 ) - [ E ( X )]2 = - ( )2 = 5 2 20 14、设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合密度函数为
+¥ 2
6分
np = 100 ´ 0.2 = 20, np (1 - p ) = 100 ´ 0.2 ´ 0.8 = 4
P{ X ³ 14} = 1 - P( X - np np (1 - p ) £ 14 - np np (1 - p ) )
ì4 xy, f ( x, y ) = í î0, 求 P( X < Y ) 。
（2） F ( x ) =
ò
-¥
ì 0, x < 0, ï f (t )dt = í x3 , 0 £ x < 1, ï 1, x ³ 1. î
2 2 令 x = Py ,得该二次型的标准形为 f = 4 y12 + y2 - 2 y3
10 分
6分
20、设总体 X ~ N (0, s 2 ) ， x1 , x2 ,L ,xn 是来自总体 X 的样本。试求 s 2 的最大似然估计； 它是否为 s 的无偏估计？请证明你的结论。(8 分)
n
三、计算题(每题 6 分，共 30 分)
( D) k A
n
线
装
3、设 X ~ N (1, 2) ， Y ~ N (-1, 2) ，且 X 与 Y 相互独立，则 Z = X + Y ~ （ C ） 。
11、若 A
2 0 ，且满足 BA B 2 A ，求矩阵 B 。 1 2
于是 B = ç
5分
专业：
(C ) a1 + 2a 2 , 2a 2 + 3a 3 ,3a 3 + a1 ( D ) a1 + a 2 + a 3 , 2a1 - 3a 2 + 22a 3 ,3a1 + 5a 2 - 5a 3
5、设事件 A, B 互不相容，满足 P( A) = 0.3, P( B) = 0.4 ，则 P ( A I B ) = ( B )。
0
y
4分
分别为 0.03、0.02、0.01。现从所有产品中抽取一个产品，求（1）该产品是次品的 概率； （2）若检测结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率。 （8 分）
= 2ò y 3 dy =
1 2
6分
《线性代数与概率统计 A、B》期末试卷 A 卷本卷共 3 页第 2 页
解：设 A1 , A2 , A3 分别表示甲乙丙三车间加工的产品， B 表示此产品是次品。 (1) P ( B ) =
滁州学院 2014/2015 学年度第一学期期末考试试卷
理工类专业（本科） 2013 级《线性代数与概率统计 A、B》A 卷 学号：
参考答案及评分标准
（时间 120 分钟）
二、填空题（每题 3 分，共 15 分）
6、已知 2 阶方阵 A 的特征值为 1,2，则 | A 2 A E |
2
0
。
1 n L(s ) = P f ( xi ) = ( ) e i =1 2ps
2 n
-
i å 2s 2 i =1
n
x2
，
2分
n
2 2 0 解：二次型对应的矩阵为 A 2 1 2 0 2 0
n n 1 ln L(s 2 ) = - ln(2p ) - ln s 2 - 2 2 2 2s
2
1 1 1 1 1 1 7 （3） P ( < X < ) = F ( ) - F ( ) = = 。 4 2 2 4 8 64 64
2 1 2 2
8分 解： 似然函数为
19、用正交线性替换化二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x 4 x1 x2 x 4 x2 x3 为标准形，并求 出所用的正交线性替换。 (10 分)
d ln L(s 2 ) n 1 n 2 = + å xi = 0 ds 2 2s 2 2s 4 i =1
åx
i =1
2
i
l -2 lE - A =
2 0
2
0
4分
l - 1 2 = (l - 4)(l - 1)(l + 2) 2 l
4分
µ = 即最大似然估计为： s µ ) E( 由于 E (s