2013级线性代数与概率统计A卷答案
线性代数与概率统计试卷与答案
一、单选( 每题参考分值2.5分)1、设随机变量的分布函数为，则（）A.B.C.D.正确答案:【B】2、设总体为参数的动态分布，今测得的样本观测值为0.1,0.2,0.3,0.4，则参数的矩估计值为（）A.0.2B.0.25C.1D.4正确答案:【B】3、A.B.C.D.正确答案:【B】4、设均为阶方阵，，且恒成立，当（）时，A.秩秩B.C.D.且正确答案:【D】5、设是方程组的基础解系，则下列向量组中也可作为的基础解系的是（）A.B.C.D.正确答案:【D】6、盒中放有红、白两种球各若干个，从中任取3个，设事件，，则事件（）A.B.C.D.正确答案:【A】7、已知方阵相似于对角阵，则常数（）A.B.C.D.正确答案:【A】8、掷一枚骰子，设，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.正确答案:【B】9、设为二维连续随机变量，则和不相关的充分必要条件是（）A.和相互独立B.C.D.正确答案:【C】10、袋中有5个球（3新2旧），每次取1个，无放回的抽取2次，则第2次取到新球的概率为（）A.B.C.D.正确答案:【A】11、A.B.C.D.正确答案:【D】12、设和是阶矩阵，则下列命题成立的是（）A.和等价则和相似B.和相似则和等价C.和等价则和合同D.和相似则和合同正确答案:【B】13、二次型是（）A.正定的B.半正定的C.负定的D.不定的正确答案:【A】14、矩阵与的关系是（）A.合同但不相似B.合同且相似C.相似但不合同D.不合同也不相似正确答案:【B】15、随机变量X在下面区间上取值，使函数成为它的概率密度的是（）A.B.C.D.正确答案:【A】16、A.全不非负B.不全为零C.全不为零D.全大于零正确答案:【C】17、随机变量的概率密度则常数（）A.1B.2C.D.正确答案:【B】18、设二维随机变量的概率密度函数为，则（）A.B.C.D.正确答案:【B】19、设随机变量的方差，利用切比雪夫不等式估计的值为（）A.B.C.D.正确答案:【B】20、A.每一向量不B.每一向量C.存在一个向量D.仅有一个向量正确答案:【C】21、A.B.C.D.正确答案:【C】22、设，则（）A.B.C.D.正确答案:【B】23、设随机变量的数学期望，方差，则由切比雪夫不等式有（）A.B.C.D.正确答案:【B】24、以下结论中不正确的是（）A.若存在可逆矩阵，使，则是正定矩阵B.二次型是正定二次型C.元实二次型正定的充分必要条件是的正惯性指数为D.阶实对称矩阵正定的充分必要条件是的特征值全为正数正确答案:【B】25、设总体服从两点分布：为其样本，则样本均值的期望（）A.B.C.D.正确答案:【A】26、设是二阶矩阵的两个特征，那么它的特征方程是（）A.B.C.D.正确答案:【D】27、已知，则（）A.必有一特征值B.必有一特征值C.必有一特征值D.必有一特征值正确答案:【D】28、设是来自总体的样本，其中已知，但未知，则下面的随机变量中，不是统计量的是（）A.B.C.D.正确答案:【D】29、矩阵的秩为，则（）A.的任意一个阶子式都不等于零B.的任意一个阶子式都不等于零C.的任意个列向量必线性无关对于任一维列向量，矩阵的秩都为正确答案:【D】30、设向量组；向量组，则（）A.相关相关B.无关无关C.无关无关D.无关相关正确答案:【B】31、A.交换2、3两行的变换B.交换1、2两行的变换C.交换2、3两列的变换D.交换1、2两列的变换正确答案:【A】32、设是矩阵，则下列（）正确A.若，则中5阶子式均为0B.若中5阶子式均为0，则C.若，则中4阶子式均非0D.若中有非零的4阶子式，则正确答案:【A】33、分别是二维随机变量的分布函数和边缘分布函数，分别是的联合密度和边缘密度，则（）A.B.C.和独立时，D.正确答案:【C】34、A.B.C.D.正确答案:【D】35、设随机变量的概率密度为，则（）A.B.C.D.正确答案:【B】36、设是阶正定矩阵，则是（）A.实对称矩阵B.正定矩阵C.可逆矩阵D.正交矩阵正确答案:【C】37、某学习小组有10名同学，其中7名男生，3名女生，从中任选3人参加社会活动，则3人全为男生的概率为（）A.B.C.D.正确答案:【A】38、从0、1、2、…、9十个数字中随机地有放回的接连抽取四个数字，则“8”至少出现一次的概率为（）A.0.1B.0.3439C.0.4D.0.6561正确答案:【B】39、A.B.C.正确答案:【D】40、设矩阵其中均为4维列向量，且已知行列式，则行列式（）A.25B.40C.41D.50正确答案:【B】41、若都存在，则下面命题中正确答案的是（）A.B.C.D.正确答案:【D】42、与矩阵相似的矩阵是（）A.B.C.D.正确答案:【B】43、A.B.C.D.正确答案:【B】44、某种动物活20年的概率为0.8，活25年的概率为0.6，现有一只该动物已经活了20年，它能活到25年的概率是（）A.0.48B.0.6C.0.8D.0.75正确答案:【D】45、设4维向量组中的线性相关，则（）A.可由线性表出B.是的线性组合C.线性相关D.线性无关正确答案:【C】46、设为阶方阵，且（为正数），则（）A.B.的特征值全部为零C.的特征值全部为零D.存在个线性无关的特征向量正确答案:【C】47、若连续型随机变量的分布函数，则常数的取值为（）A.B.C.D.正确答案:【B】48、A.B.C.D.正确答案:【C】49、设，则~（）A.B.C.D.正确答案:【B】50、设是未知参数的一个估计量，若，则是的（）A.极大似然估计B.矩估计C.有效估计D.有偏估计正确答案:【D】一、单选(共计100分,每题2.5分)1、A.B.C.D.正确答案:【D】2、已知线性无关则（）A.必线性无关B.若为奇数，则必有线性无关C.若为偶数，则线性无关D.以上都不对正确答案:【C】3、A.B.C.D.正确答案:【D】4、A.B.C.D.正确答案:【D】5、矩阵（）是二次型的矩阵A.B.C.D.正确答案:【C】6、设为二维连续随机变量，则和不相关的充分必要条件是（）A.和相互独立B.C.D.正确答案:【C】7、设是参数的两个相互独立的无偏估计量，且若也是的无偏估计量，则下面四个估计量中方差最小的是（）A.B.C.D.正确答案:【A】8、设二维随机变量，则（）A.B.3C.18D.36正确答案:【B】9、已知是非齐次方程组的两个不同解，是的基础解系，为任意常数，则的通解为（）A.B.C.D.正确答案:【B】10、下列矩阵中，不是二次型矩阵的是（）A.B.C.D.正确答案:【D】11、若总体为正态分布，方差未知，检验，对抽取样本,则拒绝域仅与（）有关A.样本值，显著水平B.样本值，显著水平，样本容量C.样本值，样本容量D.显著水平，样本容量正确答案:【D】12、在假设检验中，设服从正态分布，未知，假设检验问题为，则在显著水平下，的拒绝域为（）A.B.C.D.正确答案:【B】13、A.B.C.D.正确答案:【C】14、已知4阶行列式中第1行元依次是-4,0,1,3, 第3行元的余子式依次为-2,5,1,x ,则X=A.0B.3C. -3D.2正确答案:【B】15、设是阶正定矩阵，则是（）A.实对称矩阵B.正定矩阵C.可逆矩阵D.正交矩阵正确答案:【C】16、设总体服从泊松分布：，其中为未知参数，为样本，记，则下面几种说法正确答案的是（）A.是的无偏估计B.是的矩估计C.是的矩估计D.是的矩估计正确答案:【D】17、下列函数中可以作为某个二维随机变量的分布函数的是（）A.B.C.D.正确答案:【D】18、A.B.C.D.正确答案:【A】19、若都存在，则下面命题正确答案的是（）与独立时，B.与独立时，C.与独立时，D.正确答案:【C】20、设是从正态总体中抽取的一个样本，记则服从（）分布A.B.C.D.正确答案:【C】21、设随机变量，则（）A.B.C.D.正确答案:【A】22、已知向量，若可由线性表出那么（）A.，B.，C.，D.，正确答案:【A】23、设，则（）A.A和B不相容B.A和B相互独立C.或D.正确答案:【A】24、设总体，为样本均值，为样本方差，样本容量为，则以下各式服从标准正态分布的是（）A.B.C.D.正确答案:【A】25、为三阶矩阵，为其特征值，当（）时，A.B.C.D.正确答案:【C】26、某种商品进行有奖销售，每购买一件有的中奖概率。
工程数学(线性代数与概率统计)答案(1章)
工程数学（线性代数与概率统计）习题一一、 1.5)1(1222112=-⨯-⨯=-；2.1)1)(1(111232222--=-++-=++-x x x x x x x x x x ；3.b a ab bab a 2222-=4.53615827325598413111=---++=5.比例）第一行与第三行对应成(,000000=dc ba6.186662781132213321=---++=。
二．求逆序数 1. 551243122=↓↓↓↓↓τ即 2. 5213423=↓↓↓↓τ即3. 2)1(12)2()1(12)1(01)2()1(-=+++-+-=-↓↓-↓-↓n n n n n nn n ΛΛτ即 4.2)1(*2]12)2()1[()]1(21[24)22()2()12(31012111-=+++-+-+-+++=--↓↓-↓-↓-↓↓↓n n n n n n n n n n n ΛΛΛΛτ三．四阶行列式中含有2311a a 的项为4234231144322311a a a a a a a a +- 四．计算行列式值1.07110851700202145900157711202150202142701047110025102021421443412321=++------r r r r r r r r2.310010000101111301111011110111113011310131103111301111011110111104321-=---⋅=⋅=+++c c c c3.abcdef adfbce ef cf bf de cd bdae ac ab4111111111=---=--- 4.dcdcba dcb a1010111011110110011001--------按第一行展开 ad cd ab dc dadc ab+++=-+---=)1)(1(1111115.ba c cbc a b a a c b a c c b c a b a a b b a c c c b c a b b a a a ba c c cbc a b b a a c b a --------------=------202022202022222222222222 其中)3)(()(3522)(22)(12221222122)(2202022202022222220222200222202222222222222ac ab a c a b a ab abc ba c c aa c ab b a a b a abc ba c c aa c a bc c b b a aa cc b b a ac cc b b b aa ab ac c b c b aa b a c c b a b a a b a c c c b b b a a a b a c c c b c a b b a a a ++++++=--+-+-=--+---=--------=----其余同法可求。
《线性代数、概率统计》期末考试试卷及详细答案
一、选择题�每小题后均有代号分别为 A, B, C, D 的被选项, 其中只有一项是正
确的, 将正确一项的代号填在横线上�每小题 2 分�共 40 分��
1�行列式 G 的某一行中所有元素都乘以同一个数 k 得行列式 H�则------------C-------------;
.
(A) �2 ;
(B) �2 ;
(C) �2-�2;
(D) �2+�2;
二、解答题(每小题 8 分�共 48 分)
1�解矩阵方程� X ����11
12����
�
�� � ��
1 2 1
� 1�� 0� 2 ��
解�
X
�
�� 1 �2
�� 1
�021���������11
1 2
����
�1
�
�� 1 �2 �� 1
(4 分) (8 分)
� �1 �1 0 �E � A � 0 � �1 �1 � (� �1)3
0 0 � �1
�3 分�
得 A 的特征值 �1=�2=�3=1。 以�=1�代入 (�E � A)X � 0 �得
�4 分�
�� ���
x2 x3
� �
0 0
�6 分�
4
�1� 其基础解系是 X � ��0�� �
� � ���
是齐次线性方程组
XA=0
的一个基础解系。
�� 3�� �� 2��
∴方程组 XA=B 的通解为
X=k�+�1=
k �� ���
4 5 6
� � ���
�
� � ���
3 4 5
线性代数概率统计(A)答案
线性代数与概率统计模拟试题(A)参考答案“线性代数”部分 ( 共50分 ) 一．选择题：( 每题3分，共12分 )1..设行列式4321630211113510-=D 中的元素j i a 的代数余子式为j i A )4,3,2,1,(=j i ， 则下列各式中不正确．．．的是( A ) 。
A. D A A A A =+++44434241 B. D A A A A =+++44434241432 C. 0432********=+++A A A A D. D A A A A =+++24232221 2.设B A ,为两个n 阶方阵， O A ≠且O B A =，则一定有( B )成立。
A. O B =B. 0=A 或0=BC. O BA =D. 222)(B A B A +=+ 3.设向量(),1,0,1k T =α(),0,2,02=T α(),2,0,13=T α已知向量组321,,ααα线性无关， 则k 满足 ( D )A. 2=kB. 21=kC. 2≠kD. 21≠k 4.设A 是n m ⨯矩阵，若( A )，则齐次线性方程组0=AX 有非零解A. n m <B. n m >C. n A =)(秩D.mA =)(秩二．填空题：( 每题4分，共16分)1.如果⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++022003z y x z ky z y x 有非零解， 那么k 的取值 8-=k 。
2.设A 为三阶方阵，A 为A 的行列式，且2=A 则行列式 =A A 16 。
3.已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，*A 、1-A 分别为A 的伴随矩阵和逆矩阵，则=*A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1324，=-1A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--212312。
4.已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=231102A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1121B ，TA 为A 的转置矩阵，则=-B AA T 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛--16247 。
三．计算行列式：(本题6分)n22222232222222222212001002222222221)3(2-=≥-n i r r i200000010011111222212-=n!)2(20000100111102222112-------==-n n r r四．已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=132043100021A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110B ，1)(--=T BB A C ，求矩阵C (本题8分)解：=-T BB A -⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--132043100021⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110()110-＝-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--132043100021⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--110110000 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0310410000211)(--=∴T BB A C 1031041000021-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=040300002 五．判别线性方程组是否有解，若有解，请求其通解。
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编11：概率与统计含答案
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编11:概率与统计一、选择题1 ．（2013年高考安徽（文）)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）A．23B．25C．35D．910【答案】D2 ．（2013年高考重庆卷（文））下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位:台）的茎叶图，则数据落在区间[20，30)内的概率为（）A．0.2 B．0。
4 C．0。
5 D．0.6【答案】B3 ．（2013年高考湖南（文）)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB"发生的概率为.21，则ADAB=____ ( ）A．12B．14C32D74【答案】D4 ．(2013年高考江西卷(文）)集合A={2,3｝,B={1,2,3｝,从A，B中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是（）A ．23B ．13C ． 12D ．16【答案】C5 ．（2013年高考湖南（文））某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=___ D ．____ （ ） A ．9B ．10C ．12D ．13【答案】D6 ．（2013年高考山东卷（文)）将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91,现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为 （ ）A ．1169B ．367C ．36D【答案】B7 ．（2013年高考四川卷（文））某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示。
以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，，[30,35)，[35,40]时,所作的频率分布直方图是8 7 79 4 0 1 0 9 1x0.04组距频率0.05组距频率0.04组距频率0.04组距频率0人数0.010.020.0351015202530354000.010.020.030.04510152025303540人数0人数0.010.020.031020304000.010.020.0310203040人数(B)(A)(C)(D)【答案】A8 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文）)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 ( ） A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】B9 ．（2013年高考陕西卷（文））对一批产品的长度（单位： mm ）进行抽样检测， 下图喂检测结果的频率分布直方图。
概率论与数理统计试题与答案
概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1)概率统计模拟题一一、填空题（本题满分18分，每题3分）1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。
2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若95)1(=≥X p ，则=≥)1(Y p 。
3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。
4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。
5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2χ的样本，则统计量∑==n1i iXY 服从分布。
6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度=L 。
（按下侧分位数） 二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、若A 与自身独立，则（ ）(A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<<A P ； (D) 0)(=A P 或1)(=A P 2、下列数列中，是概率分布的是（ ）(A) 4,3,2,1,0,15)(==x xx p ； (B) 3,2,1,0,65)(2=-=x x x p (C) 6,5,4,3,41)(==x x p ； (D) 5,4,3,2,1,251)(=+=x x x p 3、设),(~p n B X ，则有（ ）(A) np X E 2)12(=- (B) )1(4)12(p np X D -=- (C) 14)12(+=+np X E (D) 1)1(4)12(+-=+p np X D4、设随机变量),(~2σμN X ，则随着σ的增大，概率()σμ<-X P （ ）。
(A)单调增大 (B)单调减小 (C)保持不变 (D)增减不定5、设),,,(21n X X X 是来自总体),(~2σμN X 的一个样本，X 与2S 分别为样本均值与样本方差，则下列结果错误．．的是（ ）。
《线性代数与概率统计》概率统计A参考答案及评分标准
计算机系《线性代数与概率统计》（概率统计）(A)参考答案及评分标准一、选择题（本大题共 5题，每小题 3 分，共 15 分)1. 一射手向目标射击3 次，i A 表示第i 次射击击中目标这一事件)3,2,1(=i ， 则3次射击中至多2次击中目标的事件为( B ) 321321321321)()()()(A A A D A A A C A A A B A A A A ⋃⋃⋃⋃2. 若x x cos )(=ϕ可以成为随机变量X 的概率密度函数，则X 的可能取值 区间为（ A ） (A )]2,0[π(B) ],2[ππ(C ) ],0[π (D ) ]47,23[ππ 3. 设随机变量X 的概率密度为()p x ,且{}01P x ≥=,则必有( C ) (A ) ()p x 在()0+∞，内大于零 (B ) ()p x 在(),0-∞内小于零 (C )1p(x)dx +∞=⎰(D ) ()p x 在()0+∞，上单调增加4. 下列数列是随机变量的分布律的是（ A ）.(A ) )5,4,3,2,1,0(15==i i p i(B ) )3,2,1,0(652=-=i i p i(C ) )4,3,2,1(51==i p i (D ) )5,4,3,2,1(251=+=i i p i5. 设X 1,X 2,X 3,X 4是来自总体N (μ,σ2)的简单随机样本，则四个统计量:μ1=( X 1+X 2+X 3+X 4 )/4, μ2=X 1,μ3=X 1/2+X 2/3+X 3/6,μ4=X 1/2+X 2/3+X 3/4中，是μ的无偏估计量的个数为（ C ） (A ) 1 (B ) 2(C ) 3(D ) 4二、填空题（本大题共 5 题，每小题 3 分，共 15 分)1．设()0.4,()0.3,()0.6P A P B P A B ===U ，则()P AB =__0.3___.2．将3个球随机地放入3个盒子中（每个盒子中装多少个球不限），则每盒中各有一球的事件的概率等于____2/9___.3．设离散随机变量X 的分布函数为00;1,01;3()=2,12;31, 2.x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩, 则122P X ⎧⎫<≤=⎨⎬⎩⎭___2/3______. 4．连续型随机变量取任何给定实数值a 的概率为 0 .5．设随机变量X 与Y 服从分布：X ～(1,2)N ，Y ～(100,0.2)B ，则(23)-+=E X Y -15 .三、计算题（本大题共 6 题，其中1、2小题每题8分，3、4小题每题10分，5、6小题每题12分，共 60 分)1．设一口袋装有10只球，其中有4只白球，6只红球，从袋中任取一只球后，不放回去，再从中任取一只球。
《线性代数与概率统计》(线性代数)试卷A 答案
装订计算机系《线性代数与概率统计》（线性代数）课程试卷 (A)参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共 5 题，每小题 3 分，共 15 分)1. 行列式x 010x4x13 的展开式中，2x 的系数为（ B ）A. -1B. 2C. 3D. 42. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是( B )。
A.n r A r <=)(B.A 的列秩为nC.A 的每一个行向量都是非零向量D. 伴随矩阵存在3.n 维向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充要条件是( D ) A. s ααα,,,21 中至少有一个零向量 B. s ααα,,,21 中至少有两个向量成比例 C. s ααα,,,21 中任意两个向量不成比例D.s ααα,,,21 中至少有一向量可由其它向量线性表示4. n 阶对称阵A 为正定矩阵的充分必要条件是（ C ）A. 0A >B. A 等价于单位矩阵EC. A 的特征值都大于0D. 存在n 阶矩阵C ，使TA C C =5. 当r (A )=r (A ,B ) < n 时，则n 元线性方程组AX = B （ A ） A ．有无穷多解B. 无解C. 有唯一解D. 无法确定解的个数二、填空题（本大题共 5 题，每小题 3 分，共 15 分)1. 设A 为三阶矩阵，且2=A ，则=A 3 54装订线 内 不 准 答 题2. n 维零向量一定线性___相___关。
3. 设向量T )1,0,1(1=α与T a ),1,1(2=α正交，则=a -1 。
4. 设A 为正交矩阵，则=A A T15. 设三阶矩阵A 的特征值为-2、1、4，则=A -8三、计算题（本大题共6 题，每小题10分，共 60 分)1. 计算4阶行列式2123100023126231解： 2123100023126231=(4分) =-1*（1+8+27-6-6-6） (8分)=-18 (10分)2. 求矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121的逆矩阵。
2013年线性代数考研资料真题及答案解析
把这个实对称矩阵称为二次型的矩阵.并把它的秩称为二次型的秩, 如果二次型 f(x1,x2,…,xn)的矩阵为 A, X=(x1,x2,…,xn)T, 则 f(x1,x2,…,xn)= X TAX. 标准二次型的矩阵为对角矩阵. 规范二次型的矩阵为规范对角矩阵.
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② 求作正交矩阵 Q 和对角矩阵 ,使得 Q T AQ . 解：(1)A 的特征值为 0、0、3，属于 0 的特征向量： c1 1 c2 2 ， c1 ， c 2 不全为 0， 属于 3 的特征向量： c 3，c 0 。 (2) Q T AQ 即 Q 1 AQ ，对 2 作施密特正交化， 2， 1 ， 1 先不动，修改
2007 年题
T 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1,2,-2, 1 =(1,-1,1) 是 A 的属于 1 的特征向
量.记 B=A5-4A3+E. (1)验证 1 也是 B 的特征向量. (2)求 B 的特征值和特征向量. (3) 求 B.
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, ) 0 ,则说 和 正交. 如果 (
如果向量组 … n 中的每个都是单位向量,并且两两正交,则称它们为 2， 1， 单位正交向量组.
2. 正交矩阵 定义 n 阶矩阵 Q 称为正交矩阵,如果它是实矩阵,并且 QQT=E(即 Q-1=QT). 命题 Q 是正交矩阵Q 的列向量组是单位正交向量组. Q 的行向量组是单位正交向量组.
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标准二次型 规范二次型
2013年概率分布列高考真题回顾及答案
13年概率分布列真题汇编1.2013福建理16．（本小题满分13分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分;未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X,求3X 的概率;（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问:他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？2．（2013辽宁，理19）现有10道题，其中6道甲类题,4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．3．（2013山东，理19）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23。
假设各局比赛结果相互独立．（1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．4。
(2013浙江，理19)(本题满分14分)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球，且规定:取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分．（1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2）从该袋子中任取（每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝59，求a∶b∶c.1 7 92 0 1 53 0第17题图5．(2013重庆，理18)(本小题满分13分，(1）小问5分，（2)小问8分．）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下： 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望E (X ）．6.（2013年新课标1)19、一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50％,即取出的产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立 (1）求这批产品通过检验的概率;(2）已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位:元)，求X 的分布列及数学期望。
线性代数与概率统计作业题答案
《线性代数与概率统计》作业题第一部分 单项选择题 1．计算11221212x x x x ++=++？（A ）A ．12x x -B ．12x x +C ．21x x -D ．212x x -2．行列式111111111D =-=--(B)A ．3B ．4C ．5D ．63．设矩阵231123111,112011011A B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，求AB =？(B) A ．-1B ．0C ．1D ．24．齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则λ=？（C ）A ．-1B ．0C ．1D ．25．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=50906791A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=67356300B ，求AB =？（D ） A ．1041106084⎛⎫⎪⎝⎭B ．1041116280⎛⎫⎪⎝⎭C ．1041116084⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1041116284⎛⎫⎪⎝⎭6．设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且A a =,B b =,00A C B⎛⎫=⎪⎝⎭,则C =？（ D ） A ．(1)mab - B ．(1)n ab - C ．(1)n m ab +-D ．(1)nmab -7．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=343122321A ，求1-A =？（D ）A ．13235322111⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭B ．132********-⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ C ．13235322111-⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ D ．13235322111-⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭8．设,A B 均为n 阶可逆矩阵，则下列结论中不正确的是（B ）A ．111[()]()()T T T AB A B ---=B ．111()A B A B ---+=+C ．11()()k k A A --=（k 为正整数）D ．11()(0)n kA k A k ---=≠ （k 为正整数）9．设矩阵m n A ⨯的秩为r ，则下述结论正确的是（D ） A ．A 中有一个r+1阶子式不等于零B ．A 中任意一个r 阶子式不等于零C ．A 中任意一个r-1阶子式不等于零D ．A 中有一个r 阶子式不等于零10．初等变换下求下列矩阵的秩，321321317051A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩为？（D ）B ．1C ．2D ．311．写出下列随机试验的样本空间及下列事件的集合表示：掷一颗骰子，出现奇数点。
自考概率论与数理统计(经管类04183)2013年1月真题答案详解
一、考试题型及分值分布题型 题量每题分值共计选择10 2 20填空 15 2 30计算题2 8 16综合题 2 12 24应用题 1 10 10二、各章节题型分布（2013年1月真题）小题 （50分）大题 （50分）题型章节小题部分大题部分分值(平均) 选择填空计算综合应用第一章2 3 1 18 第二章2 3 1 22 第三章1 2 1 14 第四章2 3 1 22第五章1 02第六章1 02 第七章1 2 6 第八章1 1 12第九章1 276分24分三、各章考点题型章次小题部分大题部分第一章随机事件与概率1.事件之间的关系与运算。
2.概率的基本性质3.古典概型4.条件概率、乘法公式5.全概率公式和贝叶斯公式6.事件的独立性1.事件的独立性2.全概率公式第二章随机变量及其概率分布1.随机变量及其分布函数2.离散型随机变量及其分布律3.连续型随机变量及其概率密度函数性质及计算4.两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布及其计算5.正态分布及其计算6.简单随机变量函数的概率分布1.连续型随机变量概率密度函数性质及计算第三章多维随机变量及其概率分布1.二维离散型随机变量的分布律、性质、边缘分布律2.二维连续型随机变量的概率密度函数性质、边缘概率密度函数3.随机变量的独立性1.求边缘分布律以及边缘概率密度函数2.判断随机变量的独立性第四章随机变量的数字特征1.期望与方差的性质与计算2.随机变量函数的期望3.两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的期望与方差4.协方差、相关系数的性质及求法1.期望与方差的性质与计算2.协方差、相关系数的求法四、常考题型（2013年1月真题为例）全国2013年1月自考概率论与数理统计(经管类)试题课程代码：04l83一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
线性代数及概率论与数理统计试题（含答案）
1.已知正交矩阵P 使得100010002T P AP ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，则20061()T P A A A P -+= 2．设A 为n 阶方阵，12,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则det( T A )=3．设A 是n m ⨯矩阵，则方程组B AX =对于任意的m 维列向量B 都有无数多个解的充分必要条件是：4．若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩不为3，则t=5．23151315227()5439583x D x x x =，则0)(=x D 的全部根为：1．n 阶行列式111110100⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅的值为（ ）A 1- B ，(1)n- C ，(1)2(1)n n -- D ，(1)2(1)n n +-2．对矩阵n m A ⨯施行一次列变换相当于（ ）。
A 左乘一个m 阶初等矩阵 B 右乘一个m 阶初等矩阵 C 左乘一个n 阶初等矩阵 D 右乘一个n 阶初等矩阵 3．若A 为m ×n 矩阵，()r A rn =<，{|0,}n M X AX X R ==∈。
则（ ）。
A M 是m 维向量空间B ， M 是n 维向量空间 C ，M 是m-r 维向量空间 D ，M 是n-r 维向量空间 4．若n 阶方阵A 满足，2A =E ，则以下命题哪一个成立（ ）。
A ， ()r A n = B ， ()2nr A = C ， ()2nr A ≥， D ，()2nr A ≤5．若A 是n 阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ ）。
A 矩阵-A T 为正交矩阵 B 矩阵-1A -为正交矩阵C 矩阵A 的行列式是实数D 矩阵A 的特征根是实数1．若A 为3阶正交矩阵， 求det (E-2A )2．计算行列式abb b b a b b b b a b bb b a。
3．设020200,001A AB A B ⎛⎫ ⎪==- ⎪⎪⎝⎭，求矩阵A-B 。
《线性代数与概率统计》课后答案
方程组对应的导出组为 ，分别取 ，得导出组的一组基础解系 ，所以方程组的通解为
三、计算题（本大题共两小题，每题8分，共16分）
1.λ取何值时，非齐次线性方程组 ，
⑴有惟一解；⑵无解；⑶有无穷多个解？
解：系数矩阵行列式 。
⑴ 当 时， ，方程组有惟一解；
⑵ 当 时，增广矩阵
，方程组无解。
3、已知A、B为n阶非零矩阵，则下列公式成立的是（A ）
（A） ； （B） ；
（C） 则 ； （D） ；
4、已知A为3阶矩阵，且 =2，则 =（B）
(A)2； （B）4； （C）0； （D）8；
5、下列命题正确的是（ C ）
（A）若向量组 是线性相关的，则 可由 线性表示；
（B）若有不全为零的数 ，使 成立，则 线性相关， 线性相关；
五、证明题（本大题满分9分）
设 元齐次线性方程组 的基础解系为： ，令 ，证明：对于任意可逆的 阶矩阵 ， 的列向量组构成 的基础解系
证明：因为C为 阶可逆矩阵，所以 ，且 的列向量组中共有 个向量，故 的列向量组线性无关且含有 个向量，又因为 为 元齐次线性方程组 的基础解系，所以 ，故 ，所以 的列向量组是齐次线性方程组 的解，综合以上有 的列向量组构成 的基础解系。
也即 能由 线性表示，故 （2）
由（1），（2）得 ，也即 与 有相同的线性相关性，故向量组 线性无关的充分必要条件是向量组 ， 线性无关。
2.证明：如果 维单位坐标向量组 可以由 维向量组 线性表示，则向量组 线性无关。
证明：因为 维单位坐标向量组 可以由 维向量组 线性表示，所以 ，又因为 线性无关，所以 ，故 ，所以 线性无关。
解：令 ，
线性代数与概率统计及答案
线性代数部分第一章 行列式一、单项选择题1．=0001001001001000 .A 0B 1-C 1D 22.=0001100000100100 .A 0B 1-C 1D 2 3．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a .A kaB ka -C a k 2D a k 2-4． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x .A 0B 3-C 3D 25. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.A 1-B 2-C 3-D 06．设行列式na a a a =22211211,m a a a a =21231113,则行列式232221131211--a a a a a a 等于A. m n -B.)(-n m +C. n m +D.n m -二、填空题1. 行列式=0100111010100111.2．行列式010...0002...0.........000 (10)0 0n n =-.3．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211,则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .4．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .5．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为.6．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.7．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解,则k =.三、计算题2．yxyx x y x y y x y x+++；3．解方程0011011101110=x x xx ；6. 111...1311...1112 (1).........111...(1)b b n b----7. 11111222123111...1..................nb a a a b b a a b b b a ； 8．121212123.....................n nn x a a a a x a a a a x a a a a x;四、证明题1．设1=abcd ,证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a dcbad c b a +++------=.第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵,则下列各式中成立的是 ;a 22A A =b ))((22B A B A B A +-=- c AB A A B A -=-2)( d T T T B A AB =)( 2.设方阵A 、B 、C 满足AB=AC,当A 满足 时,B=C;a AB =BAb 0≠Ac 方程组AX=0有非零解d B 、C 可逆 3.若A 为n 阶方阵,k 为非零常数,则=kA ;a A kb A kc A k nd A k n4.设A 为n 阶方阵,且0=A ,则 ;a A 中两行列对应元素成比例b A 中任意一行为其它行的线性组合c A 中至少有一行元素全为零d A 中必有一行为其它行的线性组合 5.设A 为n 阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,则 ; (a) a 1*-=A A b A A =* c 1*+=n AA d 1*-=n AA6. 设A ,B 为n 阶方矩阵,22B A =,则下列各式成立的是 ; a B A = b B A -= c B A = d 22B A = 7.设A 为n 阶可逆矩阵,则下面各式恒正确的是 ; a T A A 22= b 112)2(--=A Ac 111])[(])[(---=T T T A Ad T T T T A A ])[(])[(11--=8.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113022131A ,则 ;a A A T =b *1A A =-c ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛113202311010100001Ad ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛113202311010100001A9.设I C B A ,,,为同阶方阵,I 为单位矩阵,若I ABC =,则 ;a I ACB =b I CAB =c I CBA =d I BAC = 10.n 阶矩阵A 可逆的充要条件是 ; a A 的每个行向量都是非零向量 b A 中任意两个行向量都不成比例c A 的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示d 对任何n 维非零向量X ,均有0≠AX 11. 设矩阵A=1,2,B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321,C⎪⎪⎭⎫⎝⎛=654321则下列矩阵运算中有意义的是A ．ACB B ．ABC C ．BACD ．CBA 12.设矩阵A,B 均为可逆方阵,则以下结论正确的是DA ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 可逆,且其逆为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11B AB ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 不可逆 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 可逆,且其逆为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11A BD ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 可逆,且其逆为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11B A13.已知向量TT )0,3,4,1(23,)1,2,2,1(2--=β+α---=β+α,则β+α=AA ．T)1,1,2,0(-- B.T)1,1,0,2(-- C ．T)0,2,1,1(-- D ．T)1,5,6,2(---14.设A 和B 为n 阶方阵,下列说法正确的是CA. 若AB AC =,则B C =B. 若0AB =,则0A =或0B =C. 若0AB =,则0A =或0B =D. 若0A E -=,则A E =6、设两事件A二、填空题1.设A 为n 阶方阵,I 为n 阶单位阵,且I A =2,则行列式=A _______2.行列式=---000c b c a ba_______3.设A 为5阶方阵,*A 是其伴随矩阵,且3=A ,则=*A _______4.设4阶方阵A 的秩为2,则其伴随矩阵*A 的秩为_______ 三、计算题1.解下列矩阵方程X 为未知矩阵.1 223221103212102X ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ；2 0101320100211100110X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ； 3 2AX A X =+,其中423110123A ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭；2.设A 为n 阶对称阵,且20A =,求A .3.设11201A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,23423A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,30000A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,41201A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求1234A A A A ⎛⎫⎪⎝⎭.4.设211011101,121110110A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求非奇异矩阵C ,使T A C BC =.四、证明题1. 设A 、B 均为n 阶非奇异阵,求证AB 可逆.2. 设0k A =k 为整数, 求证I A -可逆.4. 设n 阶方阵A 与B 中有一个是非奇异的,求证矩阵AB 相似于BA .5. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.第三章 向量一、单项选择题1. 321,,ααα, 21,ββ都是四维列向量,且四阶行列式m =1321βααα,n =2321ααβα,则行列式)(21321=+ββαααn m a +)( n m b -)( n m c +-)( n m d --)(2. 设A 为n 阶方阵,且0=A ,则 ;成比例中两行（列）对应元素A a )( 线性组合中任意一行为其它行的A )b ( 零中至少有一行元素全为A c )( 线性组合中必有一行为其它行的A )d (3. 设A 为n 阶方阵,n r A r <=)(,则在A 的n 个行向量中 ;个行向量线性无关必有r a )(个行向量线性无关任意r )b (性无关组个行向量都构成极大线任意r c )(个行向量线性表示其它任意一个行向量都能被r )d (4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是n r A r a <=)()( n A b 的列秩为)(零向量的每一个行向量都是非）（A c 的伴随矩阵存在）（A d5. n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分条件是)(a 12,,...,s ααα都不是零向量)(b 12,,...,s ααα中任一向量均不能由其它向量线性表示 )(c 12,,...,s ααα中任意两个向量都不成比例 )(d 12,,...,s ααα中有一个部分组线性无关二、填空题1. 若T )1,1,1(1=α,T )3,2,1(2=α,T t ),3,1(3=α线性相关,则t=▁▁▁▁;2. n 维零向量一定线性▁▁▁▁关;3. 向量α线性无关的充要条件是▁▁▁▁;4. 若321,,ααα线性相关,则12,,...,s ααα)3(>s 线性▁▁▁▁关;5. n 维单位向量组一定线性▁▁▁▁;三、计算题 1. 设T )1,1,1(1λα+=,T )1,1,1(2λα+=,T )1,1,1(3λα+=,T),,0(2λλβ=,问1λ为何值时,β能由321,,ααα唯一地线性表示2λ为何值时,β能由321,,ααα线性表示,但表达式不唯一 3λ为何值时,β不能由321,,ααα线性表示 2. 设T )3,2,0,1(1=α,T )5,3,1,1(2=α,T a )1,2,1,1(3+=α,T a )8,4,2,1(4+=α,T b )5,3,1,1(+=β问： 1b a ,为何值时,β不能表示为4321,,,αααα的线性组合 2b a ,为何值时,β能唯一地表示为4321,,,αααα的线性组合 3. 求向量组T )4,0,1,1(1-=α,T )6,5,1,2(2=α,T )2,5,2,1(3=α,T )0,2,1,1(4--=α,T )14,7,0,3(5=α的一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示; 四、证明题1. 设2131222112,3,ααβααβααβ-=-=+=,试证321,,βββ线性相关;2. 设12,,...,n ααα线性无关,证明12231,,...,n αααααα+++在n 为奇数时线性无关；在n 为偶数时线性相关;第四章 线性方程组一、单项选择题1．设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的秩为r ,则0AX =有非零解的充分必要条件是A r n =B r n <C r n ≥D r n >2．设A 是m n ⨯矩阵,则线性方程组AX b =有无穷解的充要条件是A ()r A m <B ()r A n <C ()()r Ab r A m =<D ()()r Ab r A n =<3．设A 是m n ⨯矩阵,非齐次线性方程组AX b =的导出组为0AX =,若m n <,则A AX b =必有无穷多解B AX b =必有唯一解C 0AX =必有非零解D 0AX =必有唯一解4．方程组1232332422(2)(3)(4)(1)x x x x x x λλλλ+-=⎧⎪+=⎨⎪-=----⎩无解的充分条件是λ=A 1B 2C 3D 45．方程组12323331224(1)(3))(1))x x x x x x x λλλλλλ++=-⎧⎪-=-⎪⎨=-⎪⎪-=---⎩有唯一解的充分条件是λ=A 1B 2C 3D 4 二、填空题1. 设A 为100阶矩阵,且对任意100维的非零列向量X ,均有0AX ≠,则A 的秩为 .2. 线性方程组1231212320200kx x x x kx x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩仅有零解的充分必要条件是 .3. 设12,,s X X X 和1122s s c X c X c X +++均为非齐次线性方程组AX b =的解12,,s c c c 为常数,则12s c c c +++= .4. 若线性方程组AX b =的导出组与0(())BX r B r ==有相同的基础解系,则()r A = .5. 若线性方程组m n A X b ⨯=的系数矩阵的秩为m ,则其增广矩阵的秩为 .三、计算题1. 已知123,,ααα是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系,问122331,,αααααα+++是否是该方程组的一个基础解系 为什么2. 设54331012263211311111A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦,12010560011210012320B --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦,已知B 的行向量都是线性方程组0AX =的解,试问B 的四个行向量能否构成该方程组的基础解系 为什么3. 设四元齐次线性方程组为 Ι：122400x x x x +=⎧⎨-=⎩1求Ι的一个基础解系2如果12(0,1,1,0)(1,2,2,1)T T k k +-是某齐次线性方程组II 的通解,问方程组Ι和II 是否有非零的公共解 若有,求出其全部非零公共解；若无,说明理由;第五章 特征值与特征向量一、单项选择题1. 设001010100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A 的特征值是 ;a -1,1,1b 0,1,1c -1,1,2d 1,1,22. 设110101011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A 的特征值是 ;a 0,1,1b 1,1,2c -1,1,2d -1,1,1 3. 设A 为n 阶方阵, 2A I =,则 ;a ||1A =b A 的特征根都是1c ()r A n =d A 一定是对称阵4. 若12,x x 分别是方阵A 的两个不同的特征值对应的特征向量,则1122k x k x +也是A 的特征向量的充分条件是 ;a 1200k k ==且b 1200k k ≠≠且c 120k k =d 1200k k ≠=且 5. 若n 阶方阵,A B 的特征值相同,则 ;a A B =b ||||A B =c A 与B 相似d A 与B 合同二、填空题1. n 阶零矩阵的全部特征值为_______;2. 设A 为n 阶方阵,且I A =2,则A 的全部特征值为_______;3. 设A 为n 阶方阵,且0=m A m 是自然数,则A 的特征值为_______;4. 若A A =2,则A 的全部特征值为_______;5. 若方阵A 与I 4相似,则=A _______;三、计算题1. 若n 阶方阵A 的每一行元素之和都等于a ,试求A 的一个特征值及该特征值对应的一个特征向量.2. 求非奇异矩阵P ,使1P AP -为对角阵.1 2112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭2 112131201A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭四、证明题1. 设A 是非奇异阵, λ是A 的任一特征根,求证1λ是1A -的一个特征根,并且A 关于λ的特征向量也是1A -关于1λ的特征向量. 2. 设2A E =,求证A 的特征根只能是1±.3. 设n 阶方阵A 与B 中有一个是非奇异的,求证矩阵AB 相似于BA .4. 证明:相似矩阵具有相同的特征值.5. 设n 阶矩阵A E ≠,如果()()r A E r A E n ++-=,证明：-1是A 的特征值;6. 设A B ,证明kk A B ;7. 设12,αα是n 阶矩阵A 分别属于12,λλ的特征向量,且12λλ≠,证明12αα+不是A 的特征向量;概率论部分一、填空：每题3分,共15分1． 假设,A B 是两独立的事件,()0.7,()0.3P A B P A ⋃==,则()P B =_________; 2． 设A,B 是两事件,(|)1/4,()1/3P A B P B ==,则()P AB =__________; 3． 若二维随机变量(X,Y)满足()()()E XY E X E Y =,则X Y 与________; 4． 随机变量~(0,1),23,~X N Y X Y =+则_________; 5． 设总体)1,0(~N X ,1210,,,X X X 是来自总体X 的样本,则X 服从_________分布;二、选择：每题3分,共15分1． 如果成立,则事件,A B 互为对立事件....()()1A AB B AB C AB A B D P A P B =Φ=Ω=Φ⋃=Ω+=且2． 若X 的概率密度为02()4240x x f x xx ≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它,则{3}P X ≤= .3/2A .5/2B .7/2C .4D3． 设随机变量),(~p n B X ,则方差var()X =.A np .(1)B n p - 2.C np .(1)D np p -4． 下列结论正确的是A .X 与Y 相互独立,则X 与Y 不相关B .X 与Y 不独立,则X 与Y 相关C .X 与Y 不相关,则X 与Y 相互独立D .X 与Y 相关,则X 与Y 相互独立5． 设n X X X ,,,21 为来自正态总体2~(,)X N μσ的一个样本,其中μ已知,2σ未知,则下面不是统计量的是 ()A 1X ()B 221()ni i X μσ=-∑()C 211()n i i X n μ=-∑ ()D 211()1n i i X X n =--∑ 三、计算：共70分1．15分甲乙两袋,甲袋中有两白球一个黑球,乙袋中有一个白球两个黑球;先从甲袋中取一球放到乙袋中,再从乙袋中取一球,1求从乙袋中取出的是白球的概率；2已发现从乙袋中取出的是白球,问从甲袋中取出放入乙袋中的球为白球的概率;2．10分设随机变量X 的密度函数为2,02()0,cx x f x ⎧<<=⎨⎩其它,试求：(1)常数c ；(2){11}P X -<<;3.10分设随机变量X 的密度函数为2,01;()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他，,求 2X Y =的概率密度；4．10分一袋中装有5只球,编码为1,2,3,4,5,在袋中同时取3只,以X 表示取出的3只球中的最小号码,求随机变量X 的分布律与数学期望.5.15分设随机变量X,Y 的概率密度为 6,01(,)0,x y x f x y <<<⎧=⎨⎩其它1试求关于X 及Y 的边缘概率密度；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由.6．10分总体X 的概率密度函数为220(),00x x f x θθθ⎧<<⎪=>⎨⎪⎩其它是未知参数,求未知参数θ的矩估计量,并验证未知参数θ的矩估计量是θ的有偏还是无偏估计量;线性代数部分参考答案第一章 行列式一、单项选择题1． C .2. C .3．B.4 C .5. A 6.C二．填空题1.0;2.!)1(1n n --;3.M 3-;4.4x ;5.2-;6.3,2-≠k ;7.7=k 三．计算题 1. )(233y x +-； 2. 1,0,2-=x ;3 (2)(1)...((2))b b n b -+---;4 ∏=--nk k kna b1)()1(;5 ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;第二章参考答案一：1. a ；2. b ；3.c ；4.d ； 5.d ； 6.d ； 7.d ； 8.c ；9.b ； 10.d.11.B 12.D13.A14.C二．1. 1或-1；2. 0； 5. 81；6. 0；三、1.1、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---016213010；2、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-02132121； 3、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------9122692683. 2. 0； 3.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1000210012100121； 4.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010；第三章向量参考答案一、 单项选择1.b2.d3.a4.b5.b 二、填空题1. 52.相关3. 0≠α4.相关三、解答题1. 解：设332211αααβx x x ++=则对应方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++2321321321)1()1(0)1(λλλλλx x x x x x x x x其系数行列式)3(1111111112+=+++=λλλλλA1当3,0-≠≠λλ时,0≠A ,方程组有唯一解,所以β可由3,21,ααα唯一地线性表示;2当0=λ时,方程组的增广阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110111A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→000000000111,31)()(<==A r A r ,方程组有无穷多解,所以β可由3,21,ααα线性表示,但表示式不唯一;3当3-=λ时,方程组的增广阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=921131210112A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→18000123303121,)()(A r A r ≠,方程组无解,所以β不能由3,21,ααα线性表示; 2.解:以βαααα,,,,4321为列构造矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++58153342321211011111a b a →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-b a a 41000041100121101111121时，且当01≠±=b a β不能表示为4321,,,αααα的线性组合； 2任意时，当b a ,1±≠β能唯一地表示为4321,,,αααα的线性组合;3.解：=),,,,(54321ααααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---140264725500121131121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→000110001011020101 421,,ααα为一个极大无关组,且31240αααα=-++, 42152αααα-+=四、证明题1.证：∵0)2(4)(33121=--+ββββ∴0435321=++-βββ ∴321,,βββ线性相关2.证：设0)()()(1322211=++++++ααααααn n k k k则0)()()(122111=+++++-n n n n k k k k k k ααα ∵n ααα,,,21 线性无关∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+-0001211n n n k k k k k k 其系数行列式1100001000001100001110001 =⎩⎨⎧=-++为偶数为奇数n n n ,0,2)1(11∴当n 为奇数时,n k k k ,,,21 只能为零,n ααα,,,21 线性无关； 当n 为偶数时,n k k k ,,,21 可以不全为零,n ααα,,,21 线性相关;参考答案一、单项选择题 1.B 2.D 3.C 4.B 5.A二、填空题1.1002.23k k ≠-≠且3.14.r5.m三、计算题 1. 是 2. 不能3. 112(0,0,1,0),(1,1,0,1)T T v v ==- 2(1,1,1,1)()T k k -其中为任意非零常数第五章 参考答案一、单项选择题 1.a 2.c 3.c 4.d 5.b二、填空题1.02.1,-13.04.0,15.4I三、计算题 1.,(1,1,,1)T a2.11111-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2113211122-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭四. 证明题 略概率论部分一、填空每题3分共15分1. 4/7；2. 1/12 ；3. 不相关；4. ~(3,4)Y N ；5. (0,1/10)N 二、选择每题3分共15分1．C ； 2. C ； 3. D ； 4. A ； 5. B 三、计算 1． 15分解：设12{}{}A A ==第一次从甲袋中摸的是黑球第一次从甲袋中摸的是白球{}B =从乙袋中摸的是白球（1） 由全概率公式11221212()(|)()(|)()31212(),(),(|)(|)3344P B P B A P A P B A P A P A P A P B A P B A =+====分所以PB=1/12+4/12=5/12 (3)分2要求2(|)P A B ,由贝叶斯公式分分25451232425)()()|()|(222 =⨯⨯==B P A P A B P B A P2. (10)分解：(1)由()1f x dx +∞-∞=⎰,得220813cx dx c ==⎰,所以38c =, ……4分 (2)11231010311{11}()888P X f x dx x dx x --<<====⎰⎰,……6分 3．10分解：1 2Y X =分别在(,0)-∞∞和（0,+）单调,所以''(|(|||,01()0,,X X Y f f y f y ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他． ……4分,01,01y ⎧+=<<⎪=⎨⎪⎩其他０， ……6分,或利用分布函数法：2(){}{}{{0Y F y P Y y P X y P X P X =≤=≤=≤≤=<≤……4分20,01xdx x y y ===<<,……4分1,01()()0,Y Y y f y F y <<⎧'∴==⎨⎩其他……2分 4. 10分解：X ＝1,2,3 ………2分22343335556311{1},{2},{3}101010C C P X P X P X C C C ========= ,5分………6分631()123101010E X =⨯+⨯+⨯ =1.5… 12分5．15分解： 1()(,)X f x f x y dy ∞-∞=⎰06,010,x xdy x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩⎰其它26,010,x x ⎧<<=⎨⎩其它 ………6分()(,)Y f y f x y dx ∞-∞=⎰16,010,y xdx y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩⎰其它23(1),010,y y ⎧-<<=⎨⎩其它 ………6分2X 与Y 不相互独立,因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠ ………3分 6．10分解：1222()3xEX xf x dx xdx θθθ+∞-∞===⎰⎰,···3分,X =θ32···2分,__^3,2X θ=所以···2分 由于__^3322E E X E X θθ===, 所以θ的矩估计量为无偏估计;···············3分。
2013级线性代数期末考试题(A卷)答案
2013—2014学年第一学期线性代数课程期末考试试卷参考答案（A 卷）一、（每小题2分，共8小题）1 错；2 对；3 对；4 C ；5 B ；6 B ；7 A ；8 B二、行列式计算 （本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）1、计算四阶行列式1110110110110111D =.解：根据行列式的性质，原行列式等于：1(234)21311/3414*3/211103333110111012101110110111011111111111110100103*3*21011010001111003*(1)*1*(1)*(1)*(1)32r r r r r r r r r r r D +++---==-==--=----=-分分分2、计算n 阶行列式11111222(2)1233123n n>.解：根据行列式的性质，原行列式等于：12111110111001100011n n r r r r ---==原式6分2分三、矩阵X ，A ，B 满足3AX X B =+,其中 （本题共8分）301050303A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111222369B -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵X 。
解：由 3AX X B =+ 可得：(3)A E X B -= 2分又因为 0010203003A E ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭-= 且它是可逆矩阵 1分所以 1(3)X A E B -=- 1分通过计算可得：1001/301/20100(3)A E -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭- 2分所以 123111111X ⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭= 2分四、当a 取何值时，线性方程组：1232312343133(1)0x x x ax x x x a x ---+==+++=⎧⎪⎨⎪⎩无解，有惟一解，有无穷多解？并在方程组有无穷多解时求其通解。
（本题14分） 解：方程组的增广矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---01313301141a a 。
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n
三、计算题(每题 6 分，共 30 分)
( D) k A
n
线
装
3、设 X ~ N (1, 2) ， Y ~ N (-1, 2) ，且 X 与 Y 相互独立，则 Z = X + Y ~ （ C ） 。
11、若 A
2 0 ，且满足 BA B 2 A ，求矩阵 B 。 1 2
ìkx , 0 £ x £ 1
2
8分
æ 2 ö æ 2 ö æ1ö ç 3 ÷ ç 3 ÷ ç3÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ x1 ç 2 ÷ x2 ç 1 ÷ x3 ç 2 ÷ 将 x1 , x 2 , x 3 单位化：h1 = ,h3 = = - ,h 2 = = = x1 ç 3 ÷ x2 ç 3 ÷ x3 ç 3 ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1 ÷ 2÷ 2 ç ç ç ç ÷ ç- ÷ ç ÷ ÷ è 3 ø è 3ø è3ø æ 2 ç 3 ç 2 于是得到正交矩阵 P = (h1 ,h 2 ,h3 ) = ç ç 3 ç 1 ç ç è 3 2 3 1 3 2 3 1ö 3÷ æ4 0 0 ö ÷ 2÷ ç ÷ ,且有 PT AP = 0 1 0 . ç ÷ 3÷ ç 0 0 -2 ÷ ÷ è ø 2÷ ÷ 3ø
+¥ 2
6分
np = 100 ´ 0.2 = 20, np (1 - p ) = 100 ´ 0.2 ´ 0.8 = 4
P{ X ³ 14} = 1 - P( X - np np (1 - p ) £ 14 - np np (1 - p ) )
ì4 xy, f ( x, y ) = í î0, 求 P( X < Y ) 。
于是 B = ç
5分
专业：
(C ) a1 + 2a 2 , 2a 2 + 3a 3 ,3a 3 + a1 ( D ) a1 + a 2 + a 3 , 2a1 - 3a 2 + 22a 3 ,3a1 + 5a 2 - 5a 3
5、设事件 A, B 互不相容，满足 P( A) = 0.3, P( B) = 0.4 ，则 P ( A I B ) = ( B )。
解： P ( X < Y ) =
0 < x < 1, 0 < y < 1 其他
6分
» 1 - F ( -1.5 ) = F (1.5 ) = 0.933
17、甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的 25%、35%、40%，次品率
x< y
òò 4 xydxdy = 4ò
1 0
1
0
ydy ò xdx
2
2
所以 A 的特征值为 l1 = 4 , l2 = 1 , l3 = -2
1 n 2 å xi n i =1
6分
æ 2ö æ 2ö æ1ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ 对 l1 = 4 , l2 = 1 , l3 = -2 ,得基础解系 x1 = -2 , x 2 = 1 , x 3 = 2 ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç1÷ ç -2 ÷ ç 2÷ è ø è ø è ø
3
。
姓名：
答
一、选择题（每题 3 分，共 15 分）
1、设 A 是 n 阶可逆阵， B 是 n 阶不可逆阵，则 （ D ） 。
9、 n 元线性方程组 Ax = b 有解的充要条件是 r ( A) = r ( A, b) 。 10、设 x1 ,L xn 是来自正态总体 N ( m , s ) 的样本，若 s 已知，则参数 m 的 1 - a 置信区
1 n L(s ) = P f ( xi ) = ( ) e i =1 2ps
2 n
-
i å 2s 2 i =1
n
x2
，
2分
n
2 2 0 解：二次型对应的矩阵为 A 2 1 2 0 2 0
n n 1 ln L(s 2 ) = - ln(2p ) - ln s 2 - 2 2 2 2s
( A) a1 + a 2 , a 2 + a 3 , a 3 - a1
( B) a1 + a 2 , a 2 + a 3 , a1 + 2a 2 + a 3
æ 4 0ö æ 1 0ö æ1 0 ö -1 而 2A = ç ÷ , ( A - E) = ç ÷ =ç ÷ è -2 4 ø è -1 1 ø è1 1 ø
滁州学院 2014/2015 学年度第一学期期末考试试卷
理工类专业（本科） 2013 级《线性代数与概率统计 A、B》A 卷 学号：
参考答案及评分标准
（时间 120 分钟）
二、填空题（每题 3 分，共 15 分）
6、已知 2 阶方阵 A 的特征值为 1,2，则 | A 2 A E |
2
0
。
8分
18、设连续型随机变量 X 的密度函数为 f ( x) = í
î 0,
其他
，求：
（1）常数 k ； （2）随机变量 X 的分布函数 F ( x) ； （3） P ( 解： （1）由
1 1 < X < )。 （8 分） 4 2
3分
ò
+¥
-¥
f ( x)dx = ò kx 2 dx =
0
x
1
k = 1 可解得 k = 3 。 3
1 n 2 µ 2 是 s 2 的无偏估计。 xi ) s 2 ，知 s n i1
8分
《线性代数与概率统计 A、B》期末试卷 A 卷本卷共 3 页第 3 页
（2） F ( x ) =
ò
-¥
ì 0, x < 0, ï f (t )dt = í x3 , 0 £ x < 1, ï 1, x ³ 1. î
2 2 令 x = Py ,得该二次型的标准形为 f = 4 y12 + y2 - 2 y3
10 分
6分
20、设总体 X ~ N (0, s 2 ) ， x1 , x2 ,L ,xn 是来自总体 X 的样本。试求 s 2 的最大似然估计； 它是否为 s 的无偏估计？请证明你的结论。(8 分)
å P( A ) P( B | A ) = 0.25 ´ 0.03 + 0.35 ´ 0.02 + 0.4 ´ 0.01 = 0.0185
i =1 i i
3
4分
(2) P ( A2 | B ) =
P( A2 ) P( B | A2 ) 0.35 ´ 0.02 = » 0.38 P( B) 0.0185
æ 4 0 öæ 1 0 ö æ 4 0 ö ÷ç ÷=ç ÷ è -2 4 øè 1 1 ø è 2 4 ø a x M a L a L a 。 M L x
6分
( A) 0.2
( B)
0.3
(C )
0.4
( D)
0.5
x a 12、计算行列式 D = M a
《线性代数与概率统计 A、B》期末试卷 A 卷本卷共 3 页第 1 页
2
1 1 1 1 1 1 7 （3） P ( < X < ) = F ( ) - F ( ) = = 。 4 2 2 4 8 64 64
2 1 2 2
8分 解： 似然函数为
19、用正交线性替换化二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x 4 x1 x2 x 4 x2 x3 为标准形，并求 出所用的正交线性替换。 (10 分)
n -1
4分 求 Cov( X , Y ) 。
1
1
5分
解： E ( X ) = 0 ´
1 1 1 2 1 1 + 1´ = ， E (Y ) = 0 ´ + 1´ = 2 2 2 3 3 3
3分 6分
= [ x + (n - 1)a ]
1 1 1 E ( XY ) = 0 ´ 0 ´ + 0 ´1´ + 1´ 0 ´ + 1´ 1´ 0 = 0 6 3 2 Cov( X , Y ) = E ( XY ) - E ( X ) E (Y ) = 0 1 1 =6 6
7、甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为 , , 被击中的概率为 8/9 。
1 1 2 ，则目标 3 2 3
题号 分值 题 得分
一 15
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二 15
三 30
四 40
总分 100
æ1ö æ 0ö æ0ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ 8、向量组 a 1 = ç 1 ÷ ， a 2 = ç 2 ÷ ， a 3 = ç 0 ÷ 的秩为 ç0÷ ç 0÷ ç 3÷ è ø è ø è ø
d ln L(s 2 ) n 1 n 2 = + å xi = 0 ds 2 2s 2 2s 4 i =1
åx
i =1
2
i
l -2 lE - A =
2 0
2
0
4分
l - 1 2 = (l - 4)(l - 1)(l + 2) 2 l
4分
µ = 即最大似然估计为： s µ ) E( 由于 E (s
3 3 解： E ( X ) ＝ò xf ( x )dx = ò x 3 dx = －¥ 0 8 2 +¥ 23 12 E ( X 2 ) ＝ò x 2 f ( x )dx = ò x 4 dx = －¥ 0 8 5 12 3 3 D ( X ) = E ( X 2 ) - [ E ( X )]2 = - ( )2 = 5 2 20 14、设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合密度函数为
0
y
4分
分别为 0.03、0.02、0.01。现从所有产品中抽取一个产品，求（1）该产品是次品的 概率； （2）若检测结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率。 （8 分）