2020年高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线课件理苏教版

思维升华
(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点 坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用 判别式的前提是二次项系数不为0. (2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一 元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一 次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.
5.(教材改编)已知与向量v＝(1,0)平行的直线l与双曲线
x2 4
－y2＝1相交于
A，B两点，则AB的最小值为__4_. 答案 解析
由题意可设直线l的方程为y＝m， 代入x42－y2＝1，得 x2＝4(1＋m2)， 所以 x1＝ 41＋m2＝2 1＋m2，
x2＝－2 1＋m2， 所以 AB＝|x1－x2|＝4 1＋m2，
(2)有且只有一个公共点；
解答
当Δ＝0，即m＝±3 2时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组 有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点， 即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
(3)没有公共点.
解答
当Δ<0，即m<－3 2 或m> 3 2 时，方程③没有实数根， 可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.
知识拓展
过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交. (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一 条与对称轴平行或重合的直线； 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条 与对称轴平行或重合的直线； 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平 行或重合的直线.
§9.9 圆锥曲线的综合问题
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
基础知识 自主学习
知识梳理
1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元 方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0). (1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ>0⇔直线与圆锥曲线 相交 ； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 相切； ③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离.
与
椭
圆
x2 9
＋
y2 4
＝
1
的位置关系为
__相__交__. 答案 解析
直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故 直线与椭圆相交.
3.若直线y＝kx与双曲线x92－y42＝1 _答__案____解__析_.
相 交 ， 则 k 的 取－值23，范23围 是
双曲线x92－y42＝1 的渐近线方程为 y＝±23x， 若直线与双曲线相交，数形结合，得 k∈－23，23.
4.已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相 交于A，B两点，则弦AB＝_1_6___. 答案 解析
直线 l 的方程为 y＝ 3x＋1， 由xy2＝＝43yx，＋1， 得 y2－14y＋1＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝14， ∴AB＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.
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(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个 交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和 两条与渐近线平行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近 线平行的直线.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
所以 AB＝4 1＋m2≥4，
即当m＝0时，AB有最小值4.
题型分类 深度剖析
第1课时 直线与圆锥曲线
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系 例 1 (2016·无 锡 模 拟 ) 已 知 直 线 l ： y ＝ 2x ＋x42m＋，y22＝椭1圆 C ：
.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点； 解答 几何画板展示
直线 MH 的方程为 y－t＝2ptx，即 x＝2pt(y－t).
代入y2＝2px，得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只 有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.
跟踪训练1 (2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交
y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，
连结ON并延长交C于点H.
(1)求OOHN； 解答
几何画板展示
(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由.
解答
直线MH与C除H以外没有其他公共点，理由如下：
(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交， 且只有一个交点. ①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是 平行 ； ②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是 平行或重合 . 2.圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则___1_＋__k_2|_x2_－__x_1_| _ ＝ 1＋k12|y2－y1|.
(1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切.( × ) (2)直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交.( × ) (3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点.( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切.( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆 x2＋y2＝1只有一条切线.( × )
4 (6)满足“直线y＝ax＋2与双曲线x2－y2＝4只有一个公共点”的a的值有
4个.( √ )
考点自测
1.在同一平面直角坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)表 示的曲线大致是_④__.(填序号) 答案 解析
2.(2016·常 州 模 拟 ) 直 线
y ＝ kx － k ＋ 1