完整二次函数压轴题

?a ? 1， ??b ? 6，
故抛物线的解析式为 :y=x 2+6x+5 ①,
(2)令y=0, 则x=-1或-5, 即点C(-1,0), 如图,过点P作y轴的平行线交 BC于点G,
将点B,C 的坐标代入一次函数解析式并解得 :
直线BC的表达式为:y=x+1 ②,
设点G(t,t+1), 则点P(t,t 2+6t+5),
S△PBC= 1 PG(x C-x B)=3 (t+1-t 2-6t-5)= ? 3 t2 ? 15 t ? 6，
专题六 二次函数压轴题
1.主要类型 : (1)线段及周长最值问题 (2)面积最值问题 (3)存在性问题探究
2.规律方法 : (1)解决线段和的最小值或三角形周长最小问题 ,主要 依据是“两点之间 ,线段最短” ,具体方法是利用轴对 称将两条线段之和转化为一条线段的长 ,然后求出该条 线段的长 .
【解析】(1)OA=OC=4OB=4, 故点A,C 的坐标分别为 (4,0),(0,-4). (2) 抛物线的解析式为 :y=a(x+1)(x-4)=a(x 2-3x-4), 即-4a=-4, 解得:a=1, 故抛物线的解析式为 :y=x 2-3x-4.
(3)直线CA过点C,设其函数解析式为 :y=kx-4, 将点A坐 标代入上式并解得 :k=1,故直线CA的解析式为 :y=x-4, 过点P作y轴的平行线交 AC于点H,
抛物线的顶点坐标为 (2,0),且经过点 (4,1),如图,直线 y= 1 x与抛物线交于 A,B两点,直线l为y=-1.
4
(1)求抛物线的解析式 . (2)在l上是否存在一点 P,使PA+PB取得最小值 ?若存在, 求出点P的坐标;若不存在,请说明理由 .
【思路点拨】 (1) 由抛物线的顶点坐标为 (2,0), 可设抛 物线的解析式为 y=a(x-2) 2,由抛物线过点 (4,1), 利用待 定系数法即可求出抛物线的解析式 .
2
,2 2
此时点P(2,-6).
类型二 面积最值问题 【考点解读】 1.考查范畴 :以二次函数为背景 ,面积最值问题主要包 括三角形面积问题和四边形面积问题 . 2.考查角度 :建立几何图形面积与动点的坐标的二次函 数关系,然后确定最值 .
【典例探究】 典例2(2019·海南中考节选 )如图,已知抛物线 y=ax2+bx+5经过A(-5,0),B(-4,-3) 两点,与x轴的另一 个交点为 C, 顶点为 D,连接 CD.
略
2.(2019·贺州中考 )如图,在平面直角坐标系中 ,已知 点B的坐标为 (-1,0), 且OA=OC=4OB, 抛物线y=ax2+ bx+c(a≠0)图象经过 A,B,C三点. 世纪金榜导学号
(1)求A,C两点的坐标 . (2)求抛物线的解析式 . (3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点 ,作 PD⊥AC于点 D,当PD的值最大时 ,求此时点P的坐标及PD 的最大值 .
∵OA=OC=4,∴∠OAC=∠OCA=45°, ∵PH∥y轴,∴∠PHD=∠OCA=45°, 设点 P(x,x 2-3x-4), 则点 H(x,x-4),
PD=HPsin∠PHD=2
2
(x
-4-x 2+3x+?4)=2
2
x 22+2
x,
∵ ? <20,∴PD有最大值 ,当x=2 时,其最大值为
(1)求该抛物线的解析式 . (2)点P为该抛物线上一动点 (与点B,C不重合),设点P的 横坐标为t.当点P在直线BC的下方运动时 ,求△PBC的面 积的最大值 .
【自主解答】
(1) 将点A,B 坐标代入二次函数解析式得 :
?25a ??16a
? ?
5b 4b
? ?
解5 ?得0，:
5 Baidu Nhomakorabea ?3，
类型一 线段及周长最值问题 【考点解读】 1.考查范畴 :线段和周长最值问题主要包括线段和的最 小值、周长和的最小值和线段差的最大值三种情况 .
2.考查角度 :利用二次函数解析式确定有关点的坐标 , 结合某个动点考查两条线段和或差的最值问题 .
【典例探究】
典例1(2018·宜宾节选 )在平面直角坐标系 xOy中,已知
(2)联立直线AB与抛物线解析式组成方程组 ,通过解方 程组可求出点 A,B的坐标,作点B关于直线l的对称点B′, 连接AB′交直线 l于点P,此时PA+PB取得最小值 ,根据点 B的坐标可得出点B′的坐标 ,根据点A,B′的坐标利用待 定系数法可求出直线AB′的解析式 ,再利用一次函数图 象上点的坐标特征即可求出点 P的坐标.
【题组过关】 1.(2019·烟台中考 )如图,顶点为M的抛物线 y=ax2+
bx+3与x轴交于A(-1,0),B 两点,与y轴交于点 C,过点C作 CD⊥y轴交抛物线于另一点 D,作DE⊥x轴 ,垂足为点 E,双 曲线y= 6 (x>0) 经过点D,连接MD,BD.
x
(1)求抛物线的解析式 . (2)点N,F分别是x轴,y轴上的两点 ,当以M,D,N,F 为顶点 的四边形周长最小时 ,求出点N,F的坐标. (3)动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿 OC方 向运动,运动时间为 t秒,当t为何值时,∠BPD的度数最 大?(请直接写出结果 )
【自主解答】 略
【规律方法】 解决线段和最小值问题的方法 (1)解题的基本依据是“两点之间 ,线段最短” ,如图所 示,若A,B是两个定点 ,动点P在直线m上,求PA+PB 的最小 值的方法是 :作点A关于直线 m的对称点A′,当A′,P,B 三点共线时 PA+PB最小.
(2)确定动点 P的位置后 ,再根据两条直线的解析式联立 组成方程组 ,进而求出交点 P的坐标.
(2)解决图形面积的最值问题 ,通常先设出动点坐标 ,然 后表示出图形面积 ,利用二次函数性质来求最大值或最 小值,表示不规则图形的面积时 ,通常采用割补法把其 转化为易于表示面积的图形 (有一边在坐标轴上或平行 于坐标轴 ).
(3)解决存在性问题要先假设结论成立 ,然后根据所探 究特殊图形的有关性质 ,利用分类讨论的数学思想构造 全等或相似图形 ,进而求出字母的取值 . 3.渗透的思想 :分类讨论、转化思想、数形结合、函数 与方程等 .