材料力学答案第二章

第二章 拉伸、压缩与剪切第二章答案2.1 求图示各杆指定截面的轴力，并作轴力图。

40kN 50kN 25kN（a）44F RF N440kN 3F N325kN 2F N220kN11F N1解：F R =5kN F N 4=F R =5 kNF N 3=F R +40=45 kNF N 2=-25+20=-5 kNF N 1=20kN45kN 5kN20kN5kN（b ）110kN6kNF N 1=10 kN F N 2=10-10=0F N 3=6 kN1—1截面：2—2截面：3—3截面：10kNF N 11110kN10kN22F N 26kN33F N 32.2 图示一面积为100mm ⨯200mm 的矩形截面杆，受拉力F = 20kN 的作用，试求：（1）6π=θ的斜截面m-m 上的应力；（2）最大正应力max σ和最大剪应力max τ的大小及其作用面的方位角。

解：320101MPa0.10.2P A σ⨯===⨯2303cos 14σσα==⨯=3013sin600.433MPa222στ==⨯=max 1MPaσσ==max 0.5MPa2στ==F2.3 图示一正方形截面的阶梯形混凝土柱。

设重力加速度g = 9.8m/s 2, 混凝土的密度为33m /kg 1004.2⨯=ρ，F = 100kN ，许用应力[]MPa 2=σ。

试根据强度条件选择截面宽度a和b 。

ba解：24,a ρ⋅3422.0410ρ=⨯⨯11[]aσσ=0.228ma ≥==22342424431001021040.2282104a b b ρρ=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯2[],bσσ≥0.398m 398mmb≥==2.4 在图示杆系中，AC 和BC 两杆的材料相同，且抗拉和抗压许用应力相等，同为[]σ。

BC 杆保持水平，长度为l ，AC 杆的长度可随θ角的大小而变。

为使杆系使用的材料最省，试求夹角θ的值。

F F N Fθθsin ,0sin ,022F F F F F N N Y ==-=∑F F F F F N N N X θθθsin cos ,0cos ,0112==-=∑1A =2A A 2A 1解：[])sin cos cos sin 1(cos 1221θθθθσθ+=+=+=Fl l A l A V V V [])cot 2(tan θθσ+=Fl)cot tan cos sin cos sin cos sin 1(22θθθθθθθθ+=+=θθθθθ22sin 1)(,cos 1)(tan ,0-='='=ctg d d 由V 0sin 2cos 1)2(tan 22=-=+θθθθθctg d d 0cos 2sin ,0cos sin cos 2sin 222222=θ-θ=θθθ-θ44.54,2tan ,2tan 2===θθθ2.5 图示桁架ABC ，在节点C 承受集中载荷F 作用。

杆1与杆2的弹性模量均为E ，横截面面积分别为A 1 = 2580 mm 2, A 2 = 320 mm 2。

试问在节点B 与C 的位置保持不变的条件下，为使节点C 的铅垂位移最小，θ应取何值(即确定节点A 的最佳位置)。

F F FN 2F N θ1l ∆2l∆θθθsin /,cot 21F F F F N N ==解：11111cot EA lF EA l F l N ⋅==∆θθθcos sin 22222EA lF EA l F l N ⋅==∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∆+∆=∆θθθθθθtan cot cos sin 1tan sin 12212A A E Fl l l C V 0=∆θd C d V0cos sin cos 823=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθθθd d o7.55=θ2.6图示杆的横截面面积为A ，弹性模量为E 。

求杆的最大正应力及伸长。

EAFl EA Fl EA Fl dx EA x l F EA lF l A F l=+=+⋅=∆=⎰2220σ2.7 图示硬铝试样，厚度mm 2=δ，试验段板宽b = 20 mm ，标距l = 70 mm ，在轴向拉力F = 6kN 的作用下，测得试验段伸长mm 150.l =∆，板宽缩短mm 0140.b =∆，试计算硬铝的弹性模量E 与泊松比μ。

解：15.0220706000=⨯⨯==∆E EA l F l N MPaE 70000=μ=∆∆ll b b /327.07015.0/20014.0==μ2.8 图示一阶梯形截面杆，其弹性模量E=200GPa ，截面面积A I =300mm 2，A II =250mm 2,A III =200mm 2。

试求每段杆的内力、应力、应变、伸长及全杆的总伸长。

ⅠⅡ15kN 1m2m10kN 1.5mⅢ解：130kN ,N =31113010100MPa 30010N A σ⨯===⨯63119100100.5100.05%20010E σε-⨯===⨯=⨯31110.51010.05mml l ε-∆==⨯⨯=F N1F N1215kN ,N =3262151060MPa 25010A σ-⨯==⨯6322960100.3100.03%20010E σε-⨯===⨯=⨯32220.310 1.50.45mml l ε-∆==⨯⨯=325kN ,N =33632510125MPa 20010σ-⨯=⨯63339125100.625100.0625%20010E σε-⨯===⨯=⨯33330.625102 1.25mml l ε-∆==⨯⨯=31230.50.45 1.25 2.2mml l l l ∆=∆+∆+∆=++=F N2F N32.9 图示一三角架，在结点A 受铅垂力F = 20kN 的作用。

设杆AB 为圆截面钢杆，直径d = 8mm ，杆AC 为空心圆管，横截面面积为26m 1040-⨯,二杆的E = 200GPa 。

试求：结点A 的位移值及其方向。

1.5m CFAB2.5m解：525kN ,4ABN P ==315kN 4ACN P ==32962510 2.56.22mm 820010104AB ABAB ABN l l π-⨯⨯∆===⨯⨯⨯⨯3961510 1.52.81mm 200104010AC ACAC ACN l l -⨯⨯∆===⨯⨯⨯2.81mmA AC x l =-∆=-539.88mm44A AB AC y l l =∆+∆=FA F N ABF N ACAACl ∆ABl ∆F N AC F N AB F=F=F N AB F N AC mmAA 3.10'=2.10 图示一刚性杆AB,由两根弹性杆AC 和BD 悬吊。

已知：F,l,a,E 1A 1和E 2A 2，求：当横杆AB 保持水平时x 等于多少？解：xlE 1A1②①E 2A 2ABC DaFF N 1F N 2BAFx1xN P l=2()l x N P l-=12,l l ∆=∆11221122,N l N l =1122,l x xP P l l E A E A -=221122E A lx E A E A =+F N 1F N 2F N 2F N 101=-Fx l F N 0)(2=--x l F l F N F F2.11 一刚性杆AB,由三根长度相等的弹性杆悬吊。

○1、○2、○3杆的拉压刚度分别为E 1A 1、E 2A 2和E 3A 3,结构受力如图所示。

已知F 、a 、l ，试求三杆内力。

1322l l l +=ΔΔΔl②E 2A 2E 3A 3AB ①E 1A 1③aaF解：ABFF N F N2F N 3∆l 1∆l 3∆l 20321=-++=∑F F F F F N N N Y 02012=+=∑N N B F F M 2223331112A E lF A E l F A E l F N N N =+11111332222N P N N ++=-331112233,141P N E A E A E A =-++3321122332141PE A N =++1122311223314141E A E A N E A E A E A +=++F F 2F F N1F N1F N1F N1=F N2=F N3=F2.12 横截面面积为A=1000mm 2的钢杆，其两端固定，荷载如图所示。

试求钢杆各段内的应力。

解：123:l l l +=几ΔΔΔF R A + F R B –100 –150 = 0F N 1=F R A ，F N 2=F R A -100，F N 3=F R B04.03.0)100(5.0=⨯-⨯-+⨯EAF EA F EA F RB RA RA 0.5(100)0.30.40,A A B R R R ⨯+-⨯-⨯=F RA F N1F RB F N3F N 2F R B =2F R A -75F R A F R A FR BF R A + F R B =250，F R A = 108.3 kN ，F R B = 250-F R A = 141.7 kN314108.310108.31010σ-⨯=⨯MPa3248.3108.31010σ-⨯==⨯MPa 334141.710141.71010σ-⨯=⨯MPa F N 1=F R A =108.3 kN （拉力）F N 2=F R A -100=108.3-100=8.3 kN （拉力）F N 3=F R B =141.7 kN （压力）2.13 木制短柱的四角用四个44040⨯⨯的等边角钢加固。

已知角钢的许用应力[]MPa 160＝钢σ,钢E ＝200GPa ；木材的许用应力[]MPa 12＝木σ,MPa E 12＝木。

试求许可荷载F 。

E E +E 121010F F N m + F NG =F,gmm mg gN N =2502501mFFF N mF g解：△L m = △L G,m mm g g gA N N E A =[]1g g gm mg gPN A AE A σ==1[][](1)m mg g g gA P A E A σ=+96494100.250.251604 3.086(1)798kN200104 3.08610--⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯⨯F F Ng Ng F Ng F Nm F Nm F,g g g m m mE A N N E A =[]1m m mg g m mPN A E A E A σ==+2[][](1)g g m m m mE A PA E A σ=+9469200104 3.08610121040.250.25(1)997kN 12100.250.25-⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯+⨯=⨯⨯⨯1[][]798kNP P ==F Ng F Nm F Nm F F F F2-14 在图示结构中，1、2两杆的抗拉刚度同为E 1A 1,3杆的抗拉刚度为E 3A 3,长为l 。