初中几何证明中的几种解答技巧

. 几何证明中的几种技巧

一．角平分线－－轴对称

１．已知在ΔABC中，Ｅ为ＢＣ的中点，ＡＤ平分BAC?，BDAD?于Ｄ．ＡＢ＝９，ＡＣ＝１３．求ＤＥ的长．

CBADE CBADEF

分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD≌ΔAFD．则ＢＤ＝ＤＦ．又ＢＥ＝ＥＣ，即ＤＥ为ΔBCF的中位线．∴11()222DEFCACAB????．

２．已知在ΔABC中，108A??，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分ABC?．求证：ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．

DABC DABCE

分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD≌ΔBED．由已知可得：18ABDDBE????，108ABED????，36CABC????．

∴72DECEDC????，∴ＣＤ＝ＣＥ，∴ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．

３．已知在ΔABC中，100A??，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分ABC?．求证：ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ．

ABCD ABCDEF

分析：在ＢＣ上分别截取ＢＥ＝ＢＡ，ＢＦ＝ＢＤ．易证ΔABD≌ΔEBD．∴ＡＤ＝ＥＤ，

100ABED????．由已知可得：40C??，20DBF??．由∵ＢＦ＝ＢＤ，∴80BFD??．由三角形外角性质可得：40CDF C????．∴ＣＦ＝ＤＦ．∵100BED??，∴80BFDDEF????，∴ＥＤ＝ＦＤ＝ＣＦ，∴ＡＤ＝ＣＦ，

. ∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ．

4．已知在ΔABC中，ACBC?，CEAB?，ＡＦ平分CAB?，过Ｆ作ＦＤ∥ＢＣ，交ＡＢ于Ｄ．求

证：ＡＣ＝ＡＤ．

ACEFD

ACEFDG

分析：延长ＤＦ交ＡＣ于Ｇ．∵ＦＤ∥ＢＣ，ＢＣ⊥ＡＣ，∴ＦＧ⊥ＡＣ．

易证ΔAGF≌ΔAEF．∴ＥＦ＝ＦＧ．则易证ΔGFC≌ΔEFD．∴ＧＣ＝Ｅ

Ｄ．

∴ＡＣ＝ＡＤ．

５．如图（１）所示，ＢＤ和ＣＥ分别是ABC的外角平分线，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＤ于Ｆ，ＡＧ⊥ＣＥ于Ｇ，延长ＡＦ及ＡＧ与ＢＣ相交，连接ＦＧ．

（１）求证：1()2FGABBCCA???

（２）若（a)ＢＤ与ＣＥ分别是ABC的内角平分线（如图（２））；

(b)ＢＤ是ΔABC的内角平分线，ＣＥ是ΔABC的外角平分线（如图（３））．

则在图（２）与图（３）两种情况下，线段ＦＧ与ΔABC的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．

GFABCEDHI FGABCDEIH GFABCDEIH 图（１）图（２）图（３）

分析：图（１）中易证ΔABF≌ΔIBF及ΔACG≌ΔHCG．∴有ＡＢ＝ＢＩ，ＡＣ＝ＣＨ及ＡＤ＝ＩＤ，ＡＧ＝ＧＨ．∴ＧＦ为ΔAIH的中位线．∴1()2FG ABBCCA???．同理可得图（２）中1()2FGABCABC???；图（３）中1()2FGBCCAAB???

６．如图，ΔABC中，Ｅ是ＢＣ边上的中点，ＤＥ⊥ＢＣ于Ｅ，交BAC?的平分线ＡＤ于Ｄ，过Ｄ作ＤＭ⊥ＡＢ于Ｍ，作ＤＮ⊥ＡＣ于Ｎ．求证：ＢＭ＝ＣＮ．

.

ANM

BNM

分析：连接ＤＢ与ＤＣ．∵ＤＥ垂直平分ＢＣ，∴ＤＢ＝ＤＣ．易证ΔAMD≌ΔAND．∴有ＤＭ＝ＤＮ．∴ΔBMD≌ΔCND（ＨＬ）．∴ＢＭ＝ＣＮ．

７．如图，在ΔABC中，2BC???，ＡＤ平分BAC?．求证：ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．

ABCD ABCDE

分析：在ＡＣ上截取ＡＥ＝ＡＢ，连接ＤＥ．则有ΔABD≌ΔAED．∴ＢＤ＝ＤＥ．

∴BAEDCEDC???????．又∵2BC???，∴CEDC???．

∴ＤＥ＝ＣＥ．∴ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．

８．在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ平分BAD?，过Ｃ作ＣＥ⊥ＡＢ于Ｅ，且

1()2AEABAD??．求ABCADC???的度数．

CAEBD CAEBDF

分析：延长ＡＢ到Ｆ，使得ＢＦ＝ＡＤ．则有ＣＥ垂直平分ＡＦ，∴ＡＣ＝ＦＣ．

∴FCAEDAC?????．∴有ΔCBF≌ΔCDA（ＳＡＳ）．∴CBFD???．

∴180ABCADC????．

二．旋转

１．如图，已知在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ在ＢＣ上，Ｆ在ＤＣ上，ＢＥ＋ＤＦ＝ＥＦ．求证：45EAF??．

. B DCE B

DC G E

分析：将ΔADF绕Ａ顺时针旋转90得ABG．∴GABFAD???．易证ΔAGE≌ΔAFE．∴1452FAEGAE FAG??????

２如图，在ABC中，90ACB??，ＡＢ＝ＢＣ，Ｄ为ＡＣ中点．ＡＢ的延长线上任意一点Ｅ．ＦＤ⊥ＥＤ交ＢＣ延长线于Ｆ．求证：ＤＥ＝ＤＦ．

ABCFED

AB C F ED

分析：连接ＢＤ．则BDE可视为CDF绕Ｄ顺时针旋转90所得．易证ＢＤ⊥ＤＣ与ＢＤ＝ＣＤ．则BDECDF???．又易证135DBEDCF????．∴ΔBDE≌ΔCDF．∴ＤＥ＝ＤＦ．

３．如图，点Ｅ在ΔABC外部，Ｄ在边ＢＣ上，ＤＥ交ＡＣ于Ｆ．若123?????，

ＡＣ＝ＡＥ．求证：ΔABC≌ΔADE．

213EDCBA

分析：若ΔABC≌ΔADE，则ΔADE可视为ΔABC绕Ａ逆时针旋转1?所得．则有BADE???．∵12BADE???????，且12???．∴BADE???．又∵13???．

∴BACDAE???．再∵ＡＣ＝ＡＥ．∴ΔABC≌ΔADE．

.

４．如图，ΔABC与ΔEDC均为等腰直角三角形，且Ｃ在ＡＤ上．ＡＥ的延长线交ＢＤ于Ｆ．请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程．

AECB DF

分析：将RtΔBCD视为RtΔACE绕Ｃ顺时针旋转90即可．

５．如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ的延长线上的一点，且

ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝ＢＦ．

BDA CFE

分析：将ΔABF视为ΔADE绕Ａ顺时针旋转90即可．

∵90FABBAEEADBAE????????．∴FBAEDA???．

又∵90FBAEDA????，ＡＢ＝ＡＤ．∴ΔABF≌ΔADE．（ＡＳＡ）∴ＤＥ＝ＤＦ．

三．平移

１．如图，在梯形ＡＢＣＤ中，ＢＤ⊥ＡＣ，ＡＣ＝８，ＢＤ＝１５．求梯形ＡＢＣＤ的中位线长．

ACBD ACBDE