08-09-1概率统计试卷B答案
福建工程学院2009—2010 学年第 2学期 概率论 (B卷)及答案
5、设总体 ， 是 的一个样本观察值， 未知，算得 ，则 的置信水平为 的置信区间为
二、选择题(每小题3分，共18分)（概率B卷）第2页
1、掷两枚均匀硬币，出现“一正一反”的概率是（）
(A) (B) (C) (D)
第1页
福建工程学院2009—2010学年第二学期期末考试(B卷)共6页
得分
评卷人
课程名称：概率论与数理统计考试方式：闭卷（√）
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
总分
统分人签名
得分
考生注意事项：1、本试卷共6页，请查看试卷中是否有缺页。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
【
, , , 】
一、填空题(每小题3分，共15分)
九、证明题(共5分)
得分
评卷人
如果 ,对任意的事件B,证明事件A与事件B相互独立.
（概率B卷）第1页
福建工程学院2009～2010学年第二学期期末考试试卷审批表
课程名称
概率论与数理统计
考试班级
参加考试学生人数
任课教师
命题教师
试卷类型
(A、B)B考试形式Fra bibliotek开卷（ ）
闭卷（√）
答卷纸(张)
0
草稿纸(张)
1
故有 ,所以事件A与事件B必定相互独立.(1分)
得分
评卷人
1、已知男人中有 是色盲患者，女人中有 是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者的概率是
2、连续型随机变量 的分布函数 ，则
《概率论与数理统计 经管类》第四版 (吴赣昌 著) 课后习题答案 中国人民大学出版社
点。
解： Ω = { (正，正)，（正，反），（反，正），（反，反） }
A = { (正，正)，（正，反） }； B = { （正，正），（反，反） }
C = { (正，正)，（正，反），（反，正） }
2. 在掷两颗骰子的试验中，事件 A, B,C, D 分别表示“点数之和为偶数”，“点数
之和小于 5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为 3”。试写出样本空间及事
即[1 − P(A)]P( AB) = P(A)[P(B) − P( AB)] ∴ P(AB) = P( A)P(B) ，故 A与 B 独立。 5. 设事件 A 与 B 相互独立，两个事件只有 A 发生的概率与只有 B 发生的概率都 是 1 ，求 P(A) 和 P(B). 4 解：∵ P(AB) = P(AB) = 1 ，又∵ A与 B 独立
n 9 9
网 c 11. 设一批产品共 100 件，其中 98 件正品，2 件次品，从中任意抽取 3 件（分三
案 . 种情况：一次拿 3 件；每次拿 1 件，取后放回拿 3 次；每次拿 1 件，取后不放回拿 3
p 次），试求：
答 sh （1） 取出的 3 件中恰有 1 件是次品的概率；
后 k （2） 取出的 3 件中至少有 1 件是次品的概率。
解：
令 A = “两件中至少有一件不合格”， B = “两件都不合格”
C42
P(B |
A) =
P( AB) P( A)
= P(B) 1− P(A)
=
1
−
C120 C62
C120
=1 5
n 3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统 I 和 II。两种报警系统单独使用
网 c 时，系统 I 和 II 有效的概率分别 0.92 和 0.93，在系统 I 失灵的条件下，系统 II 仍有效
08-09概率论期末考试试卷A (1)
《概率论与数理统计》期末考试试卷（A1）2、下列叙述中正确的是( A ). (A) ()1X EX D DX -= (B) ~(0,1)X EXN DX- (C) 22)(EX EX = (D) 22()EX DX EX =-3、设θ是总体X 中的参数，称),(θθ为θ的置信度a -1的置信区间，下面说话正确的是（ D ）.(A) 以),(θθ估计θ的范围，不正确的概率是a -1 (B) θ 以概率a -1落入),(θθ (C) θ以概率a 落在),(θθ之外 (D) ),(θθ以概率a -1包含θ4、设(,)0,(,)(,)~(,)0,g x y x y GX Y f x y ≠∈⎧=⎨⎩其它,D 为一平面区域,记G,D 的面积分别为,G D S S ,则{(,)}(B )P x y D ∈=.(A)GD S S (B) ⎰⎰Ddxdy y x f ),( (C) (,)G g x y dxdy ⎰⎰ (D) G G D S S5、设总体分布为),(2σμN ,若μ未知,则要检验20:100H σ≥,应采用统计量( B ).(A)nS X /μ- (B)100)(21∑=-ni iX X(C)100)(21∑=-ni iXμ (D)22)1(σS n -6、有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为,2:3,2:1,1:4已知这三类箱子数目之比为1:3:2，现随机取一个箱子，再从中随机取出一个球，则取到白球的概率为（ A ）.(A)157 (B)4519 (C)135(D)3019 7、设随机变量X 的概率密度函数为(),()(),()f x f x f x F x =-是X 的分布函数,则对任意实数a 有( B ). (A) ⎰-=-adx x f a F 0)(1)((B) ∑⎰-=-adx x f a F 0)(21)((C) )()(a F a F =- (D) 1)(2)(-=-a F a F题目 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分一．填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分）1. 已知样本1621,,,X X X 取自正态分布总体(3,1)N ，X 为样本均值，已知{}0.5P X λ<=，则=λ 3 。
概率统计B(48学时)练习题(演示版)
概率统计习题习题一一填空题（1）设C B A ,,为三事件，试用C B A ,,的运算表示下列事件：C B A ,,中不多C B A ,,中至少有两个发生：BC AC AB ⋃⋃（2）设B A ,为二事件，试用B A ,的运算分别表示下列事件及其对立事件：B A ,都发生：,AB（2）设B A ,注：1A ：两件均不合格，2A ：一件合格，两件中有一件是不合格品即21A A ⋃； 两件中有一件是不合格品，另一件也是不合格即1A ，故516466)())(())((1614244221211211=⋅+=+=⋃⋃=⋃=C C C C A A P A A A P A A A P P （5）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数，写出该试验的样本空间。
{10，11，……}（6）假设7.0)(,4.0)(=⋃=B A P A P ，若B A 与互不相容，则3.0)()()(=-⋃=A P B A P B P ，若B A 与相互独立，则5.0)(),(4.04.07,0)()()()()(=+-=⋅+-⋃=B P B P B P A P A P B A P B P2甲乙丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶”；-B “乙中靶”；-C “丙中靶”则用上述三事件的运算分别表示下列事件 （1）甲未中靶：A ； (2)甲中靶而乙未中靶B A(3)三人中只有丙未中靶：C AB (4)三人中恰好一人中靶：C B A C B A C B A ⋃⋃(5)三人中至少一人中靶C B A ⋃⋃ (6)三人中至少一人未中靶C B A ⋃⋃ (7)三人中恰好两人中靶：C B A BC A C AB ⋃⋃(8)三人中至少两人中靶AC BC AB ⋃⋃ (9)三人中均未中靶：C B A (10)三人中至多一人中靶C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃ (11)三人中至多两人中靶C B A ABC ⋃⋃=3 20个运动队，任意分成甲乙两组（每组10队）进行比赛，已知其中有两个队是一级队，求这两个一级队： （1） 被分在不同组(A )的概率，；（2）被分在同一组(B )的概率。
《概率论》08-09第二学期B答案
二、为了防止意外，某公司内同时安装了两种报警装置：B A 和。
已经每个系统单独使用时，系统A 有效的概率是0.92，系统B 有效的概率为0.93，且在系统A 失效的情况下，系统B 有效的概率为0.85，求：（1）在发生意外时，至少有一种报警系统有效的概率；（2）在系统B 失效的情况下，系统A 有效的概率。
（12分）答案：设 A ={系统A 有效}， B ={系统B 有效 }， 由已知，得93.0)(,92.0)(==B p A p ，85.0)(=A B p 。
（1） 由.988.0)85.01)(92.01(1)](1)][(1[1)(1)(1)(=---=---=-=-=A B p A p B A p B A p B A p（2） 由公式()()()()()0.9880.93()0.829()1()1()10.93p AB p A p AB p A B P B p A B p B p B p B ---=====---三、随机变量X 的密度函数为 ⎩⎨⎧≤>=-0,0)(x x Axe x p x试求 （1）系数A； （2）分布函数)(x F ； （3）概率)1(>X P 。
（18分） 答案：（1）由连续性随机变量概率密度函数的性质()1p x dx +∞-∞=⎰，得⎰+∞-=01dx Axe x ，得1=A 。
（2）0x <时，()()0xF x p x dx -∞==⎰当0≥x 时，⎰--+-==xx te x dt tex F 0)1(1)(所以 ⎩⎨⎧≥+-<=-.0)1(1,0,0)(x ex x x F x（3）112)1(-+∞-==>⎰e dx xe X P x 。
四、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<-=其他,010),1(6)(x x x x p .求21Y X =+的概率密度.(7分)答案：设X 的分布函数是)(x F ，则{}{}⎪⎭⎫⎝⎛-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤=≤+=≤=212112)(y F y X p y X P y Y p y F X Y 。
上海市2008-2009学年第一学期期末模拟试题分类汇编——11概率统计
上海市2008-2009学年第一学期期末模拟试题分类汇编第十一部分：概率统计一.选择题1. （上海虹口区08学年高三数学第一学期期末试卷15）小球A 在右图所示的通道由上到下随机地滑动，最后在下底面的某个出口落出，则一次投放小球，从“出口3”落出的概率为（ ）A. 15B. 14C. 316D. 38答案：D2．（上海市奉贤区2008年高三数学联考15）将1，2，…，9这9个数随机分给甲、乙、丙三人，每人三个数，则每人手中的三个数都能构成等差数列的概率为（ ）(A) 561 (B) 701 (C) 3361 (D) 4201答案：A1（南汇区2008学年度第一学期期末理科第12题）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( ) A ．9.4 ；0.484 B ．9.4 ；0.016 C ．9.5 ；0.04 D ．9.5 ；0.016 答案：D二.填空题1．（上海市黄浦区2008学年高三年级第一次质量调研9）若用样本数据10-1213、、、、、来估计总体的标准差，则总体的标准差点估计值是____________．2. （上海市黄浦区2008学年高三年级第一次质量调研8）掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和大于4”的概率为____________. 答案：563．（ 2009年上海市普通高等学校春季招生考试10）一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘. 若每敲1次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey ” 的概率为 （结果用数值表示）.A12345答案：6265.1（嘉定区2008～2009第一次质量调研第8题）为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共抽取25名，则高一年级每一位学生被抽到的概率是___________． ．答案：201 2(上海市卢湾区2008学年高三年级第一次质量调研第10题)若集合*{|100,3,}A a a a k k N =≤=∈，集合*{|100,2,}B b b b k k N =≤=∈，在A B 中随机地选取一个元素，则所选取的元素恰好在A B 中的概率为____________．答案：16673（上海市静安区2008学年高三年级第一次质量调研第7题）(理)8名同学排成前后两排，每排4人.如果甲、乙两同学必须排在前排，丙同学必须排在后排那么不同的排法共有_____________种(用数字作答)．答案：57604 （上海市静安区2008学年高三年级第一次质量调研第7题）(文)某班上午要排语文、数学、体育、英语四门课，如果体育课不排在第一节也不排在第四节，则不同的排法共有_____________种(用数字作答). 答案：125 （上海市静安区2008学年高三年级第一次质量调研第9题）(理)某工厂的一位产品检验员在检验产品时，可能把正品错误地检验为次品，同样也会把次品错误地检验为正品.已知他把正品检验为次品的概率是0.02， 把次品检验为正品的概率为0.01.现有3件正品和1件次品，则该检验员将这4 件产品全部检验正确的概率是____________(结果保留三位小数)． 答案：0.9326 （上海市静安区2008学年高三年级第一次质量调研第9题）(文)抛掷一枚均匀的骰子，则事件“出现的点数大于4”的概率是_____________.答案：137 （静安区部分中学08－09学年度第一学期期中数学卷第6题)（理）从书架上顺序排列的7本书中取出3本书，那么这3本书恰好是从互不相邻的位置上取出的概率为 ．（结果用分数表示）答案：728 （静安区部分中学08－09学年度第一学期期中数学卷第6题)（文）在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是（结果用分数表示）．答案：33149静安区部分中学08－09学年度第一学期期中数学卷第10题)（理）从某批灯泡中随机抽取10只做寿命试验，其寿命（以小时计）如下：1050，1100，1120，1280，1250，1040，1030，1110，1240，1300．则该批灯泡寿命标准差的点估计值等于．（结果保留一位小数）答案：104.9（或者104.8也算对）10（静安区部分中学08－09学年度第一学期期中数学卷第10题)（文）某班级在一次身高测量中，第一小组10名学生的身高与全班学生平均身高170 cm的差分别是4-，7-，8-，2-，1，10-，15，10，7，2-。
2008年高考数学概率汇编答案
参考答案1．(1)由233,()(1),E np np p ξσξ===-=得11p -=,从而16,n p ==ξ的分布列为(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则()(3),P A P ξ=≤得16152021(),6432P A +++==或156121()1(3)16432P A P ξ++=->=-=2．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则4~(10)B p ξ，．（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当0ξ=，()1()P A P A =-1(0)P ξ=-=4101(1)p =--，又410()10.999P A =-，故0.001p =．（Ⅱ）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 1000050000ξ+，盈利 10000(1000050000)a ηξ=-+， 盈利的期望为 100001000050E a E ηξ=--，由43~(1010)B ξ-，知，31000010E ξ-=⨯，4441010510E a E ηξ=--⨯4443410101010510a -=-⨯⨯-⨯．0E η≥4441010105100a ⇔-⨯-⨯≥1050a ⇔--≥15a ⇔≥（元）．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．3．解：令,,k k k A B C 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜.（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为12312333111()().224P A C B P B C A +=+=（Ⅱ）ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，且121222111(2)()(),222P P A A P B B ξ==+=+=12312333111(3)()().224P P A C C P B C C ξ==+=+=1234123444111(4)()().228P P A C B B P B C A A ξ==+=+=123451234555111(5)()(),2216P P A C B A A P B C A B B ξ==+=+=123451234555111(6)()(),2216P P A C B A C P B C A B C ξ==+=+=故有分布列从而111114723456248161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（局）.4．解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A==，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140．（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10A P E C A==，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=．（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务，则235334541(2)4C A P C A ξ===．所以3(1)1(2)P P ξξ==-==，ξ的分布列是5．解:设“科目A 第一次考试合格”为事件A 1 ，“科目A 补考合格”为事件A 2；“科目B 第一次考试合格”为事件B 1 ，“科目B 补考合格”为事件B 2.(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A 1·B 1,注意到A 1与B 1相互独立，则1111211()()()323P A B P A P B =⨯=⨯=g . 答：该考生不需要补考就获得证书的概率为13.(Ⅱ)由已知得，ξ＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得1112(2)()()P P A B P A A ξ==+g g2111114.3233399=⨯+⨯=+=112112122(3)()()()P P A B B P A B B P A A B ξ==++g g g g g g 2112111211114,3223223326699=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=12221212(4)()()P P A A B B P A A B B ξ==+g g g g g g 12111211111,3322332218189=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= 故4418234.9993E ξ=⨯+⨯+⨯=答：该考生参加考试次数的数学期望为83.6．解：（1）ξ的所有可能取值有6，2，1，-2；126(6)0.63200P ξ===，50(2)0.25200P ξ===20(1)0.1P ξ===，4(2)0.02P ξ=-==，故ξ的分布列为：（2）60.6320.2510.1(2)0.02 4.34E ξ=⨯+⨯+⨯+-⨯= （3）设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为()60.72(10.70.01)(2)0.01 4.76(00.29)E x x x x =⨯+⨯---+-⨯=-≤≤依题意，() 4.73E x ≥，即4.764x -≥，解得0.03x ≤所以三等品率最多为3%7．解：（Ⅰ）ξ的分布列为：∴1113101234 1.5.22010205E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= D 2222211131(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5) 2.75.22010205ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（Ⅱ）由D a D η=ξ2，得a 2×2.75＝11，即 2.a =±又,E aE b η=ξ+所以，当a =2时，由1＝2×1.5+b ,得b =－2;当a =－2时，由1＝－2×1.5+b ，得b =4. ∴2,2a b =⎧⎨=-⎩或2,4a b =-⎧⎨=⎩即为所求.8．解用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格。
2024年八年级数学概率统计练习题及答案
2024年八年级数学概率统计练习题及答案一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分）请从A、B、C、D四个选项中选出正确答案，并将其标号填入题前的括号内。
1. 设事件A与事件B相互独立，事件A发生的概率为1/3，事件B发生的概率为1/4，则事件A与事件B同时发生的概率为（）。
A. 1/7B. 1/12C. 1/34D. 1/842. 一枚骰子抛掷一次，事件A表示点数为偶数，事件B表示点数大于3，则事件A与事件B的交集为（）。
A. {2, 4, 6}B. {4, 5, 6}C. {3, 4, 5, 6}D. {1, 2, 3}3. 在一副有52张牌的扑克牌中，红色牌和大于10的牌是两个事件，其中红色牌有26张，大于10的牌有12张。
事件红色牌与事件大于10的牌的交集为（）。
A. 12B. 14C. 26D. 384. 某校学生进行了一次数学测试，考察的知识点有A、B、C三个。
设学生掌握知识点A的概率为0.7，掌握知识点B的概率为0.5，掌握知识点C的概率为0.6。
现从该校学生中随机抽取一个学生，请问该学生至少掌握两个知识点的概率是（）。
A. 0.16B. 0.44C. 0.62D. 0.865. 设随机事件A的概率为0.3，事件B的概率为0.4，事件A与事件B互不相容且以相同的概率发生。
则事件“既不是A也不是B”发生的概率为（）。
A. 0.06B. 0.24C. 0.4D. 0.76. 某商场每周调查顾客购买服装的百分比，结果表明男性购买服装的概率为0.6，女性购买服装的概率为0.8。
现从该商场选择了一位顾客，请问这位顾客是女性且购买服装的概率是（）。
A. 0.24B. 0.3C. 0.48D. 0.87. 甲、乙、丙三个盒子，分别装有黑球、白球或红球。
甲盒子中有2个黑球，乙盒子中有1个黑球，丙盒子中有1个白球。
现从这三个盒子中选择一个盒子，并从所选的盒子中任意选择一球，问选出黑球的概率是（）。
2)《概率统计》试题B卷答案
广州大学2008-2009学年第二学期考试卷概率论与数理统计（B 卷）参考解答与评分标准一、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题3分，总计15分）1．对于任意两个事件A 与B ,若)()()(B P A P AB P =,则( A )。
A.)()()(B P A P B A P = B. )()()(B P A P AB P = C. ∅=AB D. )()|(B P B A P =2．下列哪种分布具有无记忆性（ B ）。
A. 均匀分布B. 指数分布C. 正态分布D. 泊松分布3．设)(x f ，)(x F 分别为某连续型随机变量的概率密度函数和分布函数, 则必有( A )。
A ．)()(x f x F =' B. )(x f 连续 C.)()(x F x f =' D. 1)(lim =+∞→x f x4．若X 表示某个随机变量，)(),(X D X E 分别为期望和方差，则( B )A.0)(≥X E B. 0)(≥X D C. )()(X D X E ≤ D. 以上都不对5．设二维随机变量()的联合分布概率为则a 为（ B ）。
A. 1/3B. 5/12C. 1/6D. 2/3学院专业班 级 姓 名学号二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分） (1) 掷三次硬币，三次都是正面的概率为_1/8____。
(2) 某人射击某一个目标的命中率为0.4，现不停的射击，直到命中为止，则第2次才命中目标的概率为_0.24__。
(3)设)6,1(~U X ，则=+)1(X E 4.5。
(4)设X 服从参数为2的指数分布，则)3(X D =36。
(5)若)(x Φ为标准正态的分布函数，且255.0)(=Φa ，则=-Φ)(a 0.745。
三、（本大题共2小题，每小题6分，总计12分）1． 在整数1至5中任取2个，这两个数的和大于等于4的概率是多少？ 解：求大于等于4的对立事件，即小于等于3的概率。
2009年概率统计期末考试试卷jd
石家庄铁道学院2008-2009学年第Ⅱ学期2007级本科概率统计期末考试试卷参考答案一．（20分）1．(8分)解：令B 表示化验结果为阳性，A 表示接受化验的人患该种疾病。
则()()()0.005,0.95,0.01P A P B A P B A === （1）()()()()()P B P A P B A P A P B A =+0.0050.950.9950.010.0147=⨯+⨯= ┈┈┈┈┈┈5分（2）()()()()()P A P B A P AB P A B P B P B ==0.0050.950.3230.0147⨯== ┈┈┈┈┈┈┈8分2．(12分) 解： （1）由分布函数性质()()222201lim ()000lim()x x x x F A Be A F A Be A B +-→+∞-→⎧=+∞=+=+⎪⎪⎨⎪==+=+⎪⎩┈------┈4分解得 1,1.A B ==- ┈┈┈┈┈┈┈6分（2）()()2200xxex f x F x x -⎧⎪>'==⎨⎪≤⎩ ┈┈┈┈┈┈┈ 10分（3）{}()()212211P X F F e --<<=--=- ┈┈┈┈┈┈ 12分 二．（30分） 1．（12分）解： （1）()(),0X R x R f x f x y dy +∞-∞⎧-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰其他0R x R -≤≤=⎪⎩其他┈┈┈┈┈┈ 3分 同理，()0Y R y R f y -≤≤=⎪⎩其他┈┈┈┈┈┈ 5分 （2）因为()()(),X Y f x y f x f y ≠，所以,X Y 不独立。
┈┈┈ 7分 （3）{}22114(,)4x yR P Y X f x y dxdy R ππ≤>===⎰⎰┈┈┈┈┈ 10分（说明：将积分区域和被积函数非零区域画图，易见公共部分为14圆） （4）()()2222(),0x y R x yE X Y x y f x y dxdy dxdy Rπ+∞+∞-∞-∞+≤++=+==⎰⎰⎰⎰┈ 12分 （说明：由积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，易见积分为零；建议通过极坐标计算该二重积分！！！） 2．(10分) 解：(){}}Y F y P Y y P y =≤=若0,y ≤()0Y F y =┈┈┈┈┈┈┈ 4分若 ()()2200,y x Y y F y P X y e dx ->=≤=⎰ ┈┈┈┈┈┈┈ 7分从而()()220yY Y ye y f y F y y -⎧>⎪'==⎨≤⎪⎩ ┈┈┈┈┈┈┈ 10分 3．（8分）解： （1）由已知()()()2222,x y X Y f x y f x f y --==⋅所以,X Y 独立,且同服从()0,1N ，故()~0,2.X Y N + ┈┈┈┈ 5分 （说明：也可通过求随机变量和的分布密度公式求解，比较繁！！！）（2）{()211P X Y ⎛⎫⎛⎫<+<=Φ-Φ=Φ-┈┈8分三．(20分)1．（10分）解：似然函数111111()(,)ni ii nnnx x n ni ii i i i L f x x eex ααλλααλλλαλα=----===∑===∏∏∏ ……………4分对数似然函数()111ln ln ln ln nni i i i L n n x x ααλλαλ-===+-+∑∑ …………6分令1ln ()0n i i d L n x d αλλλ==-=∑ ，解得 1ni i nx αλ==∑ ………… 8分所以θ的极大似然估计为 1ni i nx αλ==∑ 或 1nii nX αλ==∑ …………… 10分2．(10分)解：01:7.27.2H H μ=≠ …………… 2分检验统计量X t =……………………… 4分拒绝域()()0.025218 2.3060t t n t α=>-== …………… 6分 由样本观测值7.9x =, 0.587s = , 3.58 2.3060t => …………… 8分 故拒绝 0H ，即认为该种钢丝的抗拉强度不是7.2. …………… 10分 四．每空3分 1. 1p - ； 2.2ln 33-； 3. 43 ； 4. ()12,B n n p +； 5.必要 6. {}()11,1,2,m P X m p p m -==-= 7. 12312311,3c c c c c c ++====； 8. ()1,F n ； 9. ()()()()222212211,11n s n s x n x n αα-⎛⎫-- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭.。
考研数学一(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(16年)设随机变量X～N(μ，σ2)(σ＞0)，记p=P{X≤μ+σ2}，则A．p随着μ的增加而增加．B．p随着σ的增加而增加．C．p随着μ的增加而减少．D．p随着σ的增加而减少．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计2．(97年)设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X一2Y的方差是A．8B．16C．28D．44正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计3．(00年)设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y 与η=X—Y不相关的充分必要条件为A．E(X)=E(Y)B．E(X2)一[E(X)]2=E(Y2)一[E(Y)]2C．E(X2)=E(Y2)D．E(X2)+[E(X)]2=E(Y2)+[E(Y)]2正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计4．(01年)将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于A．一1B．0C．D．1正确答案：A 涉及知识点：概率论与数理统计5．(04年)设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，且其方差σ2＞0，令Y=，则A．B．C．D．正确答案：A 涉及知识点：概率论与数理统计6．(07年)设随机变N(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X,Y的概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度fX Y(x|y)为A．fX(x)．B．fY(y)．C．fX(x)fY(y)．D．正确答案：A 涉及知识点：概率论与数理统计7．(08年)设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数ρXY=1，则A．P{Y=一2X—1}=1B．P{Y=2X一1}=1C．P{Y=一2X+1}=1D．P{Y=2X+1}=1正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计8．(09年)设随机变量X的分布函数为F(x)=0．3φ(x)+其中φ(x)为标准正态分布的分布函数，则EX=A．0．B．0．3．C．0．7．D．1．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计9．(11年)设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在，记U=max{X，Y)，V=min{X，Y)，则E(UV)=A．EU.EV．B．EX.EY．C．EU.EY．D．EX.EV．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计填空题10．(87年)已知连续型随机变量X的概率密度为则EX=______，DX=________．正确答案：1；涉及知识点：概率论与数理统计11．(90年)已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，且随机变量Z=3X 一2，则EZ=______．正确答案：4．涉及知识点：概率论与数理统计12．(91年)设随机变量X服从均值为2、方差为σ2的正态分布，且P{2＜X＜4}=0．3，则P{X＜0}=_______．正确答案：0．2．涉及知识点：概率论与数理统计13．(92年)设随机变量X服从参数为1的指数分布，则E(X+e-2X)=__________．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计14．(95年)设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0．4，则E(X2)=_______正确答案：18．4．涉及知识点：概率论与数理统计15．(96年)设ξ和η是两个相互独立且均服从正态分布N(0，)的随机变量，则E(|ξ-η|)=________正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计16．(04年)设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则=_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计17．(08年)设随机变量服从参数为1的泊松分布，则P{X=EX2}=_____．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计18．(10年)设随机变量X的概率分布为P{X=k}=k=0，1，2，…，则EX2=_________．正确答案：2 涉及知识点：概率论与数理统计19．(11年)设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)=______．正确答案：μ3+μσ2．涉及知识点：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
统计学原理_期中考试试卷
08-09统计学原理期中考试试卷班级__________ 学号__________ 姓名__________ 成绩_______一、判断题（每题2分，共20分）1、在全国工业普查中，全国企业数是统计总体，每个工业企业是总体单位。
（）2、数量指标是由数量标志汇总来的，质量指标是由品质标志汇总来的。
（）3、在统计调查中，调查标志的承担者是调查单位。
（）4、我国人口普查的总体单位和调查单位都是同一人，而填报单位是户。
（）5、从全部总体单位中按照随机原则抽取部分单位组成样本，只可能组成一个样本。
（）6、在一个总体中，算术平均数、众数、中位数可能相等。
（）7、对我国主要粮食作物产区进行调查，以掌握全国主要粮食作物生长的基本情况，这种调查是典型调查。
（）8、计算结构相对指标时，总体各部分数值与总体数值对比求得的比重之和一定为100％。
（）9、标志变异指标数值越大，说明总体中各单位标志值的变异程度就越大，则平均指标的代表性就越小。
（）10、相对指标可以反映总体规模的大小。
（）二、单项选择题（每题2分，共12分）1、某班学生的平均年龄为22岁，这里的22岁为( )。
A.指标值B.标志值C.变量值D.数量标志值2、统计分组的关键是( )。
A.确定组数和组距B.抓住事物本质C.选择分组标志和划分各组界限D.统计表的形式设计3、构成总体的个别事物称为（）。
A．调查总体 B．标志值C．品质标志 D．总体单位4、某地区农民家庭年人均纯收入最高为2600 元，最低为1000 元，据此分为八组形成闭口式等距数列，各组的组距为（）。
A．300 B．200C．1600 D．1005、下列指标中属于结构相对数的指标是（）。
A．计划完成程度B．劳动生产率C．人口密度D．食品消费支出占全部消费支出的比重6、权数对算术平均数的影响作用，实质上取决于（）。
Ａ、作为权数的各组单位数占总体单位数比重的大小Ｂ、各组标志值占总体标志总量比重的大小Ｃ、标志值本身的大小Ｄ、标志值数量的多少三、多项选择题（每题2分，共8分）1、抽样调查（）A．是一种非全面调查B．其目的是根据抽样结果推断总体数量特征C．它具有经济性、时效性、准确性和灵活性等特点D．其调查单位是随机抽取的E．抽样推断的结果往往缺乏可靠性2、要了解某地区全部成年人口的就业情况，那么（）。
08-09I概率论与数理统计试卷(A)参考答案
| | | | | | | |装| | | | |订| | | | | |线| | | | | | | | ||防灾科技学院2008~2009学年 第一学期期末考试概率论与数理统计试卷（A ）使用班级07601/ 07602/07103 答题时间120分钟一填空题（每题2分，共20分）1、已知事件A ，B 有概率4.0)(=A P ，条件概率3.0)|(=A B P ，则=⋂)(B A P 0.28 ；2、设),(~1p n b X ，),(~2p n b Y 则~Y X +),(21p n n b +；3、若)2(~πX ，则=)(2X E 6 ；4、随机变量X 的分布函数是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤--<=x x x x x F 3,131,8.011,6.01,0)(，则=≤<-)31(X P0.4 ；5、连续型随机变量的概率密度函数为)0(0,)(>⎩⎨⎧≤>=-λλλx x ex f x，则分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-000,1)(x x e x F x λ；6、若)1,0(~),1,0(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，则~2/)(22Y X X +)2(t ；7、若随机变量X ，1)(,2)(==X D X E ，则利用切比雪夫不等式估计概率()≥<-32X P 98；8、若总体),(~2σμN X ，则样本方差的期望=)(2S E 2σ；9、设随机变量)2,1(~-U X ，令⎩⎨⎧<≥=.0,0,0,1X X Y ，则Y10、已知灯泡寿命)100,(~2μN X ，今抽取25只灯泡进行寿命测试，得样本1200=x 小时，则μ的置信度为95%的置信区间是 (1160.8,1239.2) （96.1025.0=z ）。
二、单项选择题（本大题共5小题，每题2分，共10分）1、若6.0)(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P ，则=)(A B P （ C ）(A) 0.2 ； (B) 0.45； (C) 0.6； (D) 0.75；2、设离散型随机变量X 的分布律为k k X P αβ==}{， ,2,1=k 且0>α，则参数=β（ C ）（A ）11-=αβ ；（B ）1+=αβ；（C ）11+=αβ；（D ）不能确定； 3、设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ B ）（A ）X 与Y 独立； （B ）)(4)()2(Y D X D Y X D +=-；（C ）)(2)()2(Y D X D Y X D +=-； （D ）)(4)()2(X D Y D Y X D -=-；4、若)1,0(~N X ，则)2|(|>X P =（ A ）（A ）)]2(1[2Φ-；（B ）1)2(2-Φ；（C ）)2(2Φ-；（D ）)2(21Φ-； 5、下列不是评价估计量三个常用标准的是（ D ）)(A 无偏性； )(B 有效性； )(C 相合性； )(D 正态性。
08年理工类课后习题答案-概率论与数理统计PDF版
第一章 随机事件和概率一. 填空题1. 设A, B, C 为三个事件, 且=−=∪∪=∪)(,97.0)(,9.0)(C AB P C B A P B A P 则____. 解.)(1)(1)()()()(ABC P AB P ABC P AB P ABC AB P C AB P +−−=−=−=−=)(C B A P ∪∪－)(B A P ∪= 0.97－0.9 = 0.072. 设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 另一件也是不合格品的概率为_______.解. , }{合格品二件产品中有一件是不=A }{二件都是不合格品=B 511)()()()()|(2102621024=−===c c c c A P B P A P AB P A B P 注意: = }{合格品二件产品中有一件是不}{不合格品二件产品中恰有一件是 + }{二件都是不合格品所以; B AB B A =⊃,}{二件都是合格品=A 3. 随机地向半圆a x ax y (202−<<为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为______.解. 假设落点(X, Y)为二维随机变量, D 为半圆. 则 121)),((2==∈a kD Y X P π, k 为比例系数. 所以22ak π= 假设D 1 = {D 中落点和原点连线与x 轴夹角小于4π的区域}πππ121)2141(2)),((22211+=+=×=∈a a a D k D Y X P 的面积. 4. 设随机事件A, B 及其和事件A ∪B 的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 若B 表示B 的对立事件, 则积事件B A 的概率)(B A P = ______.解. =+−+=)()()()(B A P B P A P AB P 0.4 + 0.3－0.6 = 0.1 3.01.04.0)()()(=−=−=AB P A P B A P .5. 某市有50%住户订日报, 有65%住户订晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中的一种, 则同时订这两种报纸的住户的百分比是________. 解. 假设A = {订日报}, B = {订晚报}, C = A + B. 由已知 P(A) = 0.5, P(B) = 0.65, P(C) = 0.85.所以 P(AB) = P(A) + P(B)－P(A + B) = 0.5 + 0.65－0.85 = 0.3.6. 三台机器相互独立运转, 设第一, 第二, 第三台机器不发生故障的概率依次为0.9, 0.8, 0.7, 则这三台机器中至少有一台发生故障的概率________. 解. 设A i 事件表示第i 台机器运转不发生故障(i = 1, 2, 3). 则 P(A 1) = 0.9, P(A 2) = 0.8, P(A 3) = 0.7,)()()(1)(1)()(321321321321A P A P A P A A A P A A A P A A A P −=−==++ =1－0.9×0.8×0.7=0.496.7. 电路由元件A 与两个并联元件B, C 串联而成, 若A, B, C 损坏与否相互独立, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.1, 则电路断路的概率是________. 解. 假设事件A, B, C 表示元件A, B, C 完好.P(A) = 0.7, P(B) = 0.8, P(C) = 0.9. 事件线路完好 = A(B + C) = AB + AC.P(A(B + C) ) = P(AB + AC) = P(AB)+P(AC)－P(ABC) = P(A)P(B) + P(A)P(C)－P(A)P(B)P(C) = 0.7×0.8 +0.7×0.9－0.7×0.8×0.9 = 0.686. 所以 P(电路断路) = 1－0.686 = 0.314.8. 甲乙两人投篮, 命中率分别为0.7, 0.6, 每人投三次, 则甲比乙进球多的概率______. 解. 设X 表示甲进球数, Y 表示乙进球数.P(甲比乙进球多) = P(X = 3, Y = 2) +P(X = 3, Y = 1) + P(X = 3, Y = 0) + P(X = 2, Y = 1) +P(X = 2, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0) = P(X = 3)P(Y = 2) +P(X = 3)P(Y = 1) + P(X = 3)P(Y = 0) + P(X = 2)P(Y = 1) +P(X = 2)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 0)=+⋅⋅⋅21336.04.07.0c +⋅⋅⋅6.04.07.02233c 334.07.0⋅++⋅⋅⋅⋅⋅2132134.06.07.03.0c c +⋅⋅⋅32134.07.03.0c 32134.03.07.0⋅⋅⋅c = 0.148176 + 0.098784 +0.021952 + 0.127008 + 0.028224 + 0.012096= 0.43624.9. 三人独立破译一密码, 他们能单独译出的概率分别为41,31,51, 则此密码被译出的概率_____.解. 设A, B, C 表示事件甲, 乙, 丙单独译出密码., 则41)(,31)(,51)(===C P B P A P . P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC) + P(ABC)= P(A) + P(B) + P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) =53413151413141513151413151=⋅⋅+⋅−⋅−⋅−++.二．单项选择题.1. 以A 表示“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”, 则对立事件A 为(A) “甲种产品滞销, 乙种产品畅销” (B) “甲、乙产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲产品滞销或乙产品畅销” 解. (D)是答案.2. 设A, B, C 是三个事件, 与事件A 互斥的事件是(A) C A B A + (B) )(C B A + (C) ABC (D) C B A ++ 解. ==++C B A A )C B A A(φ, 所以(D)是答案. 3. 设A, B 是任意二个事件, 则(A) P(A ∪B)P(AB)≥P(A)P(B) (B) P(A ∪B)P(AB)≤P(A)P(B) (C) P(A －B)P(B －A)≤P(A)P(B)－P(AB) (D)41)()(≥−−A B P B A P . 解. P(A + B)P(AB)－P(A)P(B) = (P(A) + P(B)－P(AB))P(AB)－P(A)P(B) =－P(A)(P(B)－P(AB)) + P(AB)(P(B)－P(AB) =－(P(B)－P(AB))(P(A)－P(AB)) =－P(B －A)P(A －B) ≤ 0 所以(B)是答案 .4. 事件A 与B 相互独立的充要条件为(A) A + B = Ω (B) P(AB) = P(A)P(B) (C) AB = φ (D) P(A + B) = P(A) + P(B) 解. (B)是答案.5. 设A, B 为二个事件, 且P(AB) = 0, 则 (A) A, B 互斥 (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件 (D) P(A) = 0或P(B) = 0. 解. 概率理论中 P(A) = 0不能推出A 为不可能事件(证明超出大纲要求). 所以(C)是答案.6. 设A, B 为任意二个事件, 且A ⊂B, P(B) > 0, 则下列选项必然成立的是 (A) P(A) < P(A|B) (B) P(A) ≤ P(A|B) (C) P(A) > P(A|B) (C) P(A) ≥ P(A|B) 解. )()()()()()|(A P B P A P B P AB P B A P ≥==(当B = Ω时等式成立). (B)是答案.7. 已知 0 < P(B) < 1, 且P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B), 则下列选项必然成立的是 (A))B |P(A )B |P(A ]B |)A P[(A 2121+=+ (B) P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B)(C) P(A 1 +A 2) = P(A 1|B) +P(A 2|B)(D) P(B) = P(A 1)P(B|A 1) + P(A 2)P(B|A 2)解. 由P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B)得到)()()()()(])[(2121B P B A P B P B A P B P B A A P +=+, 所以P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B). (B)是答案.三. 计算题1. 某厂生产的产品次品率为0.05, 每100个产品为一批, 抽查产品质量时, 在每批中任取一半来检查, 如果发现次品不多于1个, 则这批产品可以认为合格的, 求一批产品被认为是合格的概率.解. P(该批产品合格) = P(全部正品) + P(恰有1个次品)=2794.050100154995*********=+c cc c c2. 书架上按任意次序摆着15本教科书, 其中有5本是数学书, 从中随机地抽取3本, 至少有一本是数学书的概率.解. 假设A={至少有一本数学书}. A ={没有数学书}P(A ) =9124315310=c c , P(A) = 1－P(A ) = 91673. 全年级100名学生中有男生80名, 来自北京的20名中有男生12名. 免修英语的40名学生中有男生32名, 求出下列概率: i. 碰到男生情况不是北京男生的概率;ii. 碰到北京来的学生情况下是一名男生的概率; iii. 碰到北京男生的概率;iv. 碰到非北京学生情况下是一名女生的概率; v. 碰到免修英语的男生的概率.解. 学生情况: 男生 女生 北京 12 8 免修英语 32 8 总数 80 20i. P(不是北京|男生) =20178068=ii. P(男生|北京学生) =532012=iii. P(北京男生) =10012iv. P(女生|非北京学生) =8012v. P(免修英语男生) =100324． 袋中有12个球, 其中9个是新的, 第一次比赛时从中取3个, 比赛后任放回袋中, 第二次比赛再从袋中任取3个球, 求: i. 第二次取出的球都是新球的概率;ii. 又已知第二次取出的球都是新球, 第一次取到的都是新球的概率.解. i. 设B i 表示第一次比赛抽到i 个新球(i = 0, 1, 2, 3). A 表示第二次比赛都是新球. 于是312339)(c c c B P i i i −=, 31239)|(c c B A P i i −=)()(1)()|()()(3603393713293823193933092312323123933930c c c c c c c c c c c c c c c c c B A P B P A P i i i i i i i +++===∑∑=−−=146.0484007056)201843533656398411()220(12==××+××+××+××=ii. 215484007056)220(20184)()()|()|(2333=××==A P B P B A P A B P5. 设甲、乙两袋, 甲袋中有n 个白球, m 个红球, 乙袋中有N 个白球, M 个红球, 今从甲袋中任取一只放入乙袋, 再从乙袋中任取一球, 问取到白球的概率. 解. 球的情况: 白球 红球 甲袋 n m 乙袋 N M 假设 A = {先从甲袋中任取一球为白球} B = {先从甲袋中任取一球为红球} C = {再从乙袋中任取一球为白球} P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B)nm mM N N m n n M N N +⋅++++⋅+++=111 ))(1()1(n m M N NmN n +++++=第二章 随机变量及其分布一. 填空题1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ≥ 1) =95, 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 94951)1(1)0(=−=≥−==X P X P 94)1(2=−p , 31=p 2719321)0(1)1(3=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==−=≥Y P Y P2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为cc c c 162,85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++=c cc c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率:P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________. P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________.解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X >a)=1－F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)－F(x 1)4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则有实根的概率为_____.02442=+++k kx x 解. k 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧=051)(k f其它50≤≤k P{有实根} = P{} 02442=+++k kx x 03216162≥−−k k = P{k ≤－1或k ≥ 2} =535152=∫dk 5. 已知2}{,}{kbk Y P k a k X P =−===(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++a a a a . 4936,194==++b b b b(X, Y)的联合分布为Z = X + Y －2 －1 0 1 2 P24α 66α 251α 126α 72αab = 216α, 5391=α α249)3()1()3,1()2(==−===−===−=abY P X P Y X P Z P α66)2,1()3,2()1(=−==+−===−=Y X P Y X P Z Pα251)1,1()2,2()3,3()0(=−==+−==+−====Y X P Y X P Y X P Z P α126)2,3()1,2()1(=−==+−====Y X P Y X P Z P α723)1()3()1,3()2(==−===−====abY P X P Y X P Z P6. 已知(X, Y)联合密度为 ⎩⎨⎧+=0)sin(),(y x c y x ϕ其它4,0π≤≤y x , 则c = ______, Y 的边缘概率密度=)(y Y ϕ______.解.12,1)sin(4/04/0+==+∫∫c dxdy y x c ππ所以⎩⎨⎧++=0)sin()12(),(y x y x ϕ 其它4,0π≤≤y x当 40π≤≤y 时))4cos()(cos 12()sin()12(),()(4y y dx y x dx y x y Y +−+=++==∫∫∞+∞−πϕϕπ所以⎪⎩⎪⎨⎧+−+=0))4cos()(cos 12()(y y y Y πϕ 其它40π≤≤y7. 设平面区域D 由曲线2,1,01e x x y xy ====及直线围成, 二维随机变量(X, Y)在D 上服从均匀分布, 则(X, Y)关于X 的边缘密度在x = 2处的值为_______. 解. D 的面积 =2121=∫e dx x. 所以二维随机变量(X, Y)的密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧=021),(y x ϕ其它D y x ∈),(下面求X 的边沿密度:当x < 1或x > e 2时0)(=x X ϕ当1 ≤ x ≤ e 2时∫∫===∞+∞−x X x dy dy y x x 102121),()(ϕϕ, 所以41)2(=X ϕ. 8. 若X 1, X 2, …, X n 是正态总体N(μ, σ2)的一组简单随机样本, 则)(121n X X X nX +++="服从______. 解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.μ==⎟⎠⎞⎜⎝⎛∑∑==n i i n i i X E n X n E 11)(11, nX D nX n D ni in i i 2121)(11σ==⎟⎠⎞⎜⎝⎛∑∑==所以 ),(~2nN X σμ9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出,且X解.213161)1(,181)3(,91)2(,31)2(=+==+==+==++==Y P Y P Y P X P βαβα 132)3()2()1(=++==+=+=βαY P Y P Y P⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=======+++=======)181)(31()3()2()3,2()91)(31()2()2()2,2(ββαβαβααY P X P Y X P Y P X P Y X P两式相除得βαβα=++18191, 解得 βα2=, 92,91==αβ.10. 设(X, Y)的联合分布律为则 i. Z = X + Y 的分布律 ______. ii. V = X －Y 的分布律______. iii. U= X 2 + Y －2的分布律_______. 解.X + Y －3 －2 －1 －3/2 －1/2 1 3 P1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12X －Y－1 0 1 3/2 5/2 3 5P 3/12 1/12 1/12 1/12 2/12 2/12 2/12X 2 + Y －2 －15/4 －3 －11/4 －2 －1 5 7P2/12 1/12 1/12 1/12 3/12 2/12 2/12二. 单项选择题1. 如下四个函数哪个是随机变量X 的分布函数(A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=221)(x F , (B) 0022≥<≤−−<x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F ππ≥<≤<x x x 00(C) , (D) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F 2/2/00ππ≥<≤<x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=1310)(x x F 212100≥<≤<x x x解. (A)不满足F(+∞) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案. 2. 是随机变量X 的概率分布, 则λ, c 一定满足),4,2,0(!/)("===−k k ec k X P k λλ(A) λ > 0 (B) c > 0 (C) c λ > 0 (D) c > 0, 且 λ > 0 解. 因为, 所以c > 0. 而k 为偶数, 所以λ可以为负.所以(B)是答案.),4,2,0(!/)("===−k k ec k X P k λλ3. X ～N(1, 1), 概率密度为ϕ(x), 则(A) (B)5.0)0()0(=≥=≤X P X p ),(),()(+∞−∞∈−=x x x ϕϕ (C) (D) 5.0)1()1(=≥=≤X P X p ),(),(1)(+∞−∞∈−−=x x F x F 解. 因为E(X) = μ = 1, 所以5.0)1()1(=≥=≤X P X p . (C)是答案.4. X, Y 相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是 (A) (X, Y) (B) X + Y (C) X 2 (D) X －Y解. X ～⎩⎨⎧=01)(x ϕ其它10≤≤x , Y ～ ⎩⎨⎧=01)(y ϕ其它10≤≤y . 所以 (X, Y)～⎩⎨⎧=01),(y x ϕ其它1,0≤≤y x .所以(A)是答案.5. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=120)(xx F 则1100>≤<≤x x x (A) F(x)是随机变量X 的分布函数. (B) 不是分布函数.(C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数.解. 因为不满足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函数, (B)是答案.6. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为, 则Z = max(X, Y)的分布函数是)(),(y F x F Y X (A) = max{} (B) = max{} )(z F Z )(),(z F z F Y X )(z F Z |)(||,)(|z F z F Y X (C) = (D) 都不是)(z F Z )()(z F z F Y X解. }{}),{max()()(z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤=且 )()()()(z F z F z Y P z X P Y X =≤≤因为独立. (C)是答案.7. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为, 则Z = min(X, Y)的分布函数是)(),(y F x F Y X (A) = (B) =)(z F Z )(z F X )(z F Z )(z F Y (C) = min{} (D) = 1－[1－][1－] )(z F Z )(),(z F z F Y X )(z F Z )(z F X )(z F Y 解. }{1}),{min(1)(1)()(z Y z X P z Y X P z Z P z Z P z F Z >>−=>−=>−=≤=且 )](1)][(1[1)](1)][(1[1z F z F z Y P z X P Y X −−−=≤−≤−−因为独立 (D)是答案.8. 设X 的密度函数为)(x ϕ, 而,)1(1)(2x x +=πϕ 则Y = 2X 的概率密度是(A))41(12y +π (B) )4(22y +π (C) )1(12y +π (D) y arctan 1π解. 2()2(}2{)()(yF y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= )4(2)2(112121)2()2()]([)(22''y y y y F y F y X X Y Y +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛==ππϕϕ (B)是答案.9. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为⎩⎨⎧=+−0),()(y x e y x ϕ其它0,0>>y x , 则2YX Z +=的分布密度是(A) ⎪⎩⎪⎨⎧=+−021)()(y x Z e Z ϕ 其它0,0>>y x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=+−0)(2y x Z e z ϕ 其它0,0>>y x(C) (D) ⎩⎨⎧=−04)(2z Z ze Z ϕ00≤>z z ⎪⎩⎪⎨⎧=−021)(zZ eZ ϕ 00≤>z z 解. 2YX Z +=是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B).21210=∫∞+−dz e z , 所以(D)不是答案. (C)是答案. 注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算Z 的密度:当z < 0时0)(=z F Z当z ≥ 0时∫∫≤+=≤+=≤+=≤=zy x Z dxdy y x z Y X P z YX P z Z P z F 2),()2()2()()(ϕ=12222020+−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−−∫∫z z z xz y x e ze dx dy e e , (C)是答案.==)()('z F z ZZ ϕ⎩⎨⎧−042z ze 00≤>z z 10. 设两个相互独立的随机变量X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是(A) P{X + Y ≤ 0} = 1/2 (B) P{X + Y ≤ 1} = 1/2 (C) P{X －Y ≤ 0} = 1/2 (D) P{X －Y ≤ 1} = 1/2解. 因为X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X 和 Y 相互独立, 所以 X + Y ～ N(1, 2), X －Y ～ N(－1, 2) 于是P{X + Y ≤ 1} = 1/2, (B)是答案.11. 设随机变量X 服从指数分布, 则Y = min{X, 2}的分布函数是(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点 解. 分布函数:))2,(min(1))2,(min()()(y X P y X P y Y P y F Y >−=≤=≤= 当y ≥ 2时101))2,(min(1)(=−=>−=y X P y F Y 当0 ≤ y < 2时)2,(1))2,(min(1)(y y X y X P y F Y >>−=>−=ye y X P y X P λ−−=≤=>−=1)()(1当y < 0时)2,(1))2,(min(1)(y y X y X P y F Y >>−=>−= 0)()(1=≤=>−=y X P y X P于是 只有y = 2一个间断点, (D)是答案.⎪⎩⎪⎨⎧−=−011)(y Y e y F λ0202<<≤≥y y y三. 计算题1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X 的分布密度. 解. 假设X 表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5.P(X = i) = P(前i －1次不中, 第i 次命中) = , i = 1, 2, 3, 4.9.0)1.0(1⋅−i 当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以 P(X = 5) = . 于是分布律为 4)1.0(X1 2 3 4 5p 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00012. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X 的分布密度.i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设A i 表示第i 次取出正品(i = 1, 2, 3, …) i.13)()1(1===A P X P 1331210)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331221110)()|()|()()3(11223321⋅⋅====A P A A P A A P A A A P X P1331221111)()|()|()|()4(1122334⋅⋅⋅===A P A A P A A P A A P XPii. 每次抽取后将原产品放回1310133)()()()()(11111−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛====k k k k k A P A P A P A A A p k X P "", (k = 1, 2, …)iii. 每次抽取后总以一个正品放回X 1 2 3 4p1310 1311133⋅ 1312132133⋅⋅ 1331321311⋅⋅⋅ 1310)()1(1===A P X P 1331311)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331321312)()|()|()()3(112123321⋅⋅====A P A A P A A A P A A A P X P 1331321311)()|()|()|()4(1121231234⋅⋅⋅===A P A A P A A A P A A A A P X P3. 随机变量X 的密度为⎪⎩⎪⎨⎧−=01)(2x cx ϕ其它1||<x , 求: i. 常数c; ii. X 落在21,21(−内的概率. 解. πππϕ1,22|arcsin 21)(110112====−==∫∫−∞+∞−c c c x c dx xc dx x3162|arcsin 211))2/1,2/1((2/102/12/12=⋅==−=−∈∫−ππππx x dx X P 4. 随机变量X 分布密度为i. 2102)(x x −⎪⎩⎪⎨⎧=πϕ , ii. 其它1||<x ⎪⎩⎪⎨⎧−=02)(x x x ϕ其它2110≤≤<≤x x求i., ii 的分布函数F(x).解. i. 当x ≤ 1时∫∫∞−∞−===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当－1< x < 1时 ∫∫∞−−++−=−==x x x x xdt t dt t x F 21arcsin 1112)()(212πππϕ 当x ≥ 1时 ∫∫∞−−=−==x dt t dt t x F 112)()(112πϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++−=121arcsin 110)(2x x xx F ππ 1111≥<<−−≤x x xii. 当x < 0时∫∫∞−∞−===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当0 ≤ x < 1时 ∫∫∞−===x xx tdt dt t x F 2)()(2ϕ当1 ≤ x < 2时 122)2()()(2110−+−=−+==∫∫∫∞−x x dt t tdt dt t x F x xϕ当2 ≤ x 时1)2()()(211∫∫∫∞−=−+==x dt t tdt dt t x F ϕ所以 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−+−=112220)(22x x x x F 221100≥<≤<≤<x x x x5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X 具有分布密度函数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞ 试求: i. 测量误差的绝对值不超过30的概率;ii. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解. 因为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞, 所以X ～N(20, 402). i. {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−<−=<<−=<25.0402025.13030)30|(|X P X P X P )25.1()25.0(−Φ−Φ=1)25.1()25.0()25.1(1()25.0(−Φ+Φ=Φ−−Φ= = 0.4931.18944.05987.0−+=(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数)ii. P(至少有一次误差的绝对值不超过30) = 1－P(三次误差的绝对值都超过30) = 88.012.01)4931.0(13=−=−6. 设电子元件的寿命X 具有密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ100100≤<x x 问在150小时内, i. 三只元件中没有一只损坏的概率是多少? ii. 三只电子元件全损坏的概率是多少? iii. 只有一个电子元件损坏的概率是多少?解. X 的密度⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ100100≤<x x . 所以 31100)150(1501002==<∫dx x X P . 令p = P(X ≥ 150) = 1－31= 32.i. P(150小时内三只元件没有一只损坏) =2783=p ii. P(150小时内三只元件全部损坏) =271)1(3=−piii. P(150小时内三只元件只有一只损坏) =943231213=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛c7. 对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布. 解. 直径D 的分布密度为⎩⎨⎧=01)(d ϕ其它65≤≤d假设42D X π=, X 的分布函数为F(x).)()()(2x D P x X P x F ≤=≤=π当x ≤ 0时, F(x) = 0 当x > 0时⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤−=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 当时即425,54ππ<<x xF(x) = 0 当时即πππ925,645≤≤≤≤x x⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤−=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2=54145−=∫ππxdt x当 x > 9π时1)()(65===∫∫∞−dt dt t x F x ϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=1540)(πxx F ππππ99425425>≤≤<x x x 密度⎪⎩⎪⎨⎧==01)(')(x x F x πϕ 其它ππ9425≤≤x 8. 已知X 服从参数 p = 0.6的0－1分布在X = 0, X = 1下, 关于Y 的条件分布分别为表1、表2所示表1 表2Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0)41 21 41 P(Y|X = 1) 21 61 31求(X, Y)的联合概率分布, 以及在Y ≠ 1时, 关于X 的条件分布.解. X 的分布律为X 0 1 p 0.4 0.6(X, Y)3.05321)1()1|1()1,1(=⋅=======X P X Y P Y X P 1.05361)1()1|2()2,1(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05331)1()1|3()3,1(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|1()1,0(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05221)0()0|2()2,0(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|3()3,0(=⋅=======X P X Y P Y X P所以Y 的分布律为Y1 2 3 p0.4 0.3 0.35.06.03.0)1()1,0()1|0(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P5.06.03.0)1()1,1()1|1(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P所以X|Y ≠ 1 0 1 p0.5 0.59. 设随机变量X 与Y 相互独立, 并在区间[0, 9]上服从均匀分布, 求随机变量YXZ =的分布密度.解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x X ϕ其它90≤≤x , Y ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x Y ϕ 其它90≤≤y 因为X, Y 相互独立, 所以(X, Y)联合密度为(X, Y)～⎪⎩⎪⎨⎧=0811),(y x ϕ 其它9,0≤≤y x , )()()(z X Y P z Z P z F Z ≤=≤=当 z ≤ 0时当 0 < z < 1时0)(=z F Z z z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F D Z 219928181)()()()(1=⋅⋅==≤=≤=≤=∫∫当z ≥ 1时∫∫=≤=≤=≤=2811)()()()(D Z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F zz 211)992181(811−=⋅−⋅=所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2'21210)()(zz F z Z Z ϕ 1100≥<<≤z z z 10. 设(X, Y)的密度为⎩⎨⎧−−=0)1(24),(y x y y x ϕ其它1,0,0<+>>y x y x 求: i.21|(),|(),(=x y x y x X ϕϕϕ, ii. )21|(),|(),(=y x y x y Y ϕϕϕ 解.i.∫∞+∞−=dy y x x X ),()(ϕϕ当x ≤ 0 或 x ≥ 1时0),()(==∫∞+∞−dy y x x X ϕϕ当0 < x < 1时310)1(4)1(24),()(x dy y x y dy y x x x X −=−−==∫∫−∞+∞−ϕϕ所以 ⎩⎨⎧−=0)1(4)(3x x X ϕ其它10<<x所以 ⎪⎩⎪⎨⎧−−−==0)1()1(6)(),()|(3x y x y x y x x y X ϕϕϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧−==0)21(24)21|(y y x y ϕ 其它210<<yii.∫∞+∞−=dx y x y Y ),()(ϕϕ当y ≤ 0 或 y ≥ 1时0),()(==∫∞+∞−dx y x y Y ϕϕ当0 < y < 1时210)1(12)1(24),()(y y dx y x y dx y x y y Y −=−−==∫∫−∞+∞−ϕϕ所以 ⎩⎨⎧−=0)1(12)(2y y y Y ϕ其它10<<y所以 ⎪⎩⎪⎨⎧−−−==0)1()1(2)(),()|(2y y x y y x y x Y ϕϕϕ其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧−==0)21(4)21|(x y x ϕ 其它210<<x第三章 随机变量的数字特征一. 填空题1. 设随机变量X 与Y 相互独立, D(X) = 2, D(Y) = 4, D(2X －Y) = _______. 解. D(2X －Y) = 4D(X) + D(Y) = 122. 已知随机变量X ～N(－3, 1), Y ～N(2, 1 ), 且X 与Y 相互独立, Z = X －2Y + 7, 则Z ～____. 解. 因为Z = X －2Y + 7, 所以Z 服从正态分布. E(Z) = E(X)－2E(Y) + 7 = 0. D(Z) = D(X －2Y + 7) = D(X) + 4D(Y) = 1+4 = 5. 所以Z ～N(0, 5)3. 投掷n 枚骰子, 则出现点数之和的数学期望______. 解. 假设X i 表示第i 颗骰子的点数(i = 1, 2, …, n). 则 E(X i ) = 27616612611=⋅++⋅+⋅" (i= 1, 2, …, n) 又设, 则∑==ni iXX 127)()()(11nX E X E X E ni in i i===∑∑== 4. 设离散型随机变量X 的取值是在两次独立试验中事件A 发生的次数, 如果在这些试验中事件发生的概率相同, 并且已知E(X) = 0.9, 则D(X) = ______. 解. , 所以E(X) = 0.9 = 2p. p = 0.45, q = 0.55 ),2(~p B X D(X) = 2pq = 2×0.45×0.55 = 0.495.5. 设随机变量X 在区间[－1, 2]上服从均匀分布, 随机变量 , 则方差D(Y) = _______.⎪⎩⎪⎨⎧−=101Y 000<=>X X X 解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=031)(x ϕ 其它21≤≤−xY 的分布律为Y 1 0 －1 p2/3 0 1/3因为 3231)0()1(20==>==∫dx X P Y P0)0()0(====X P Y P 3131)0()1(01==<=−=∫−dx X P Y P 于是 313132)(=−=Y E , 13132)(2=+=Y E , 98)]([)()(22=−=Y E Y E Y D6. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 且服从相同的两点分布, 则服从⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛2.08.010∑==31i i X X_______分布, E(X) = _______, D(X) = ________.解. X 服从B(3, 0.2). 所以E(X) = 3p = 3×0.2= 0.6, D(X) = 3pq = 3×0.2×0.8 = 0.487. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X ～N(0, 1), Y 在[－1, 1]上服从均匀分布, 则= _______.),cov(Y X 解. 因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以= 0.),cov(Y X 8. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为:⎩⎨⎧=02)(x x ϕ其它10≤≤x ,, 则E(XY) = ________.⎩⎨⎧=−−0)()5(y e y ϕ其它5>y 解. 322)()(10=⋅==∫∫∞+∞−xdx x dx x x X E ϕ 6)()(5)5(=⋅==∫∫∞+−−∞+∞−dy e y dy y y Y E y ϕ因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以E(XY) = E(X)E(Y) = 49. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1在[0, 6]服从均匀分布, X 2服从正态分布N(0, 22), X 3服从参数λ = 3的泊松分布, 记Y = X 1－2X 2 + 3X 3, 则D(Y) = ______. 解. )(9)(4)()32()(321321X D X D X D X X X D Y D ++=+−==4639441262=×+×+二. 单项选择题1. 设随机变量X 和Y 独立同分布, 记U = X －Y , V = X + Y , 则U 和V 必然 (A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零 解. 因为X 和Y 同分布, 所以E(U) = E(X)－E(Y) = 0, E(U)E(V) = 0. .0)()()(22=−=Y E X E UV E 所以 cov(X,Y) = E(UV)－E(U)E(V) = 0. (D)是答案. 2. 已知X 和Y 的联合分布如下表所示, 则有(A) X 与Y 不独立 (B) X 与Y 独立 (C) X 与Y 不相关 (D) X 与Y 彼此独立且相关 解. P(X = 0) = 0.4, P(Y = 0) = 0.3.0.1 = P(X = 0, Y= 0) ≠ P(X = 0)×P(Y = 0). (A)是答案.3. 设离散型随机变量X 可能取值为: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, 且E(X) = 2.3, E(X 2) = 5.9, 则x 1, x 2,x 3所对应的概率为(A) p 1 = 0.1, p 2 = 0.2, p 3 = 0.7 (B) p 1 = 0.2, p 2 = 0.3, p 3 = 0.5 (C) p 1 = 0.3, p 2 = 0.5, p 3 = 0.2 (D) p 1 = 0.2, p 2 = 0.5, p 3 = 0.3解. 3.223)1(32)(212121332211=−−=−−++=++=p p p p p p p x p x p x X E7.0221=+p p 9.5)1(94)(21213232221212=−−++=++=p p p p p x p x p x X E1.35821=+p p 解得 p 1= 0.2, p 2 = 0.3, p 3 = 0.5. (B)是答案. 4. 现有10张奖券, 其中8张为2元, 2张为5元, 今每人从中随机地无放回地抽取3张, 则此人抽得奖券的金额的数学期望 (A) 6 (B) 12 (C) 7.8 (D) 9解. 假设X 表示随机地无放回地抽取3张, 抽得奖券的金额. X 的分布律为X 6 9 12 p7/15 7/15 1/15157)()6(31038====c c P X P 三张都是二元157),()9(3101228====c c c P X P 一张五元二张二元151),()9(3102218====c c c P X P 二张五元一张二元8.71511215791576)(=⋅+⋅+⋅=X E . (C)是答案. 5. 设随机变量X 和Y 服从正态分布, X ～N(μ, 42), Y ～N(μ, 52), 记P 1 =P{X ≤ μ－4}, P 2 = P{Y ≥μ + 5}, 则(A) 对任何μ, 都有P 1 = P 2 (B) 对任何实数μ, 都有P 1 < P 2(C) 只有μ的个别值, 才有P 1 = P 2 (D) 对任何实数μ, 都有P 1 > P 2解. P 1 = {X ≤ μ－4} =)1(1)1(14Φ−=−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤−μX PP 2 = {Y ≥ μ + 5} =)1(115115Φ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤−−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−μμY P Y P(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数). 所以(A)是答案.6. 随机变量ξ = X + Y 与η = X －Y 不相关的充分必要条件为(A) E(X) = E(Y) (B) E(X 2)－E 2(X) = E(Y 2)－E 2(Y) (C) E(X 2) = E(Y 2) (D) E(X 2) + E 2(X) = E(Y 2) + E 2(Y) 解. cov(ξ, η) = E(ξη)－E(ξ)E(η)E(ξη) = )()()])([(22Y E X E Y X Y X E −=−+ E(ξ)E(η) = [E(X)+E(Y)][E(X)－E(Y)] = )()(22Y E X E −所以(B)是答案.三. 计算题1. 设X 的分布律为1)1()(++==k ka a k X P , k = 0, 1, 2, …, a > 0, 试求E(X), D(X).解. ∑∑∑∞=+∞=+∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+===1111011)1()()(k k k k k k a a k a a ka k X kP X E令 22'2'1211201)1(1)(x x x x x x x kx x kxx f k k k k k k −=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛===∑∑∑∞=∞=−∞=+ 2222)11()1(1(a aa a a a a f =+−+=+, 所以a a a X E =⋅=21)(.∑∑∑∞=+∞=+∞=+−+=+===11112022)1()11()1()()(k k kk k k k a a k k a a k k X P k X E ∑∑∑∞=∞=+∞=+−+++=+−++=11111)1()1(11)1()1()1(k k kk k k k k k a a a k k a a a k a a k k 令 3''2''1111)1(21)1()1()(x x x x x x x kx k x kxk x f k k k k k k−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+=+=∑∑∑∞=+∞=−∞= 23)1(2)11(121(a a a a a aa a f +=+−+=+,所以2222)1(211)(a a a a a a X E +=−+⋅+=.222222)]([)()(a a a a a X E X E X D +=−+=−=.2. 设随机变量X 具有概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0cos 2)(2x x πϕ 其它2||π≤x , 求E(X), D(X).解. 0cos 2)()(222===∫∫−∞+∞−πππϕxdx xdx x x X E∫−=−=222222cos 2)]([)()(πππxdx x X E X E X D211222cos 1222202−=+=∫πππdx x x 3. 设随机变量X 和Y 的联合概率分布为(X, Y)(0, 0)(0, 1)(1, 0)(1, 1)(2, 0)(2, 1)P(X=x, Y=y) 0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 0.15求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2)(sin Y X E π. 解. 2)(sinY X +π的分布律为 sin π(X + Y)/20 1 －1 p0.45 0.40 0.1525.015.0)1(40.0145.002)(sin =×−+×+×=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+Y X E π 4. 一汽车沿一街道行驶需要通过三个设有红绿信号灯路口, 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示的时间相等, 以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数, 求: i. X 的概率分布, ii. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+XE 11 解. 假设X 为该汽车首次遇到红灯已通过的路口数X 0 1 2 3 p1/2 1/22 1/23 1/23P(X = 0) = P{第一个路口为红灯} =21P(X = 1) = P{第一个路口为绿灯, 第二个路口为红灯} =2212121=⋅ P(X = 0) = P{第一,二路口为绿灯, 第三个路口为红灯} =321P(X = 0) = P{第一, 二, 三路口为绿灯} =3219667214121312121211111332=⋅+⋅+⋅+⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+X E 5. 设(X, Y)的分布密度⎩⎨⎧=+−04),()(22y xxye y x ϕ其它,0>>y x求)(22Y X E +.解. ∫∫∫∫>>+−∞+∞−∞+∞−+=+=+00)(222222224),()(y x y xdxdy xye y x dxdy y x y x Y X E ϕ434sin cos 02202πθθθπ=⋅⋅⋅⋅=∫∫∞+−rdr e r r d r 6. 在长为l 的线段上任选两点, 求两点间距离的数学期望与方差.解. 假设X, Y 为线段上的两点. 则它们都服从[0, l ]上的均匀分布, 且它们相互独立.X ～⎪⎩⎪⎨⎧=01)(l x ϕ, Y ～其它l x ≤≤0⎪⎩⎪⎨⎧=01)(l y ϕ 其它l y ≤≤0 (X, Y)的联合分布为⎪⎩⎪⎨⎧=01)(2l x ϕ其它l y x ≤≤,0. 又设Z = |X －Y|, D 1={(x, y): x > y, 0 ≤x, y ≤ l }, D 2={(x, y): x ≤ y, 0 ≤ x, y ≤ l } ∫∫∫∫∫∫−+−=−=∞+∞−∞+∞−21221)(1)(),(||)(D D dxdy l x y dxdy l y x dxdy y x y x Z E ϕ ∫∫∫∫−+−=l ylxdy dx x y l dx dy y x l 02002])([1])([13212122022ldy y ldx x ll l =+=∫∫6)(1),()()(2002222l dxdy y x ldxdy y x y x Z E ly lx =−=−=∫∫∫∫∞+∞−∞+∞−≤≤≤≤ϕ 1896)]([)()(22222l l l Z E Z E Z D =−=−=7. 设随机变量X 的分布密度为)(,21)(||+∞<<−∞=−−x e x x μϕ, 求E(X), D(X). 解. ∫∫∫∞+∞−−∞+∞−−−∞+∞−+−===dt e t x t dx e x dx x x X E t x ||||)(2121)()(μμϕμ=∫∞+∞−−dt te t ||21+μμμ==∫∫∞+−∞+∞−−0||21dt e dt e t t∫∫∫∞+∞−−∞+∞−−−∞+∞−+−===dt e t x t dx e x dx x x X E t x ||2||222)(2121)()(μμϕμ=∫+∞+−02dt e t t 2022μμμ+==∫∫∞+−∞+−dt e dt e t t 所以22)]([)()(2222=−+=−=μμX E X E X D8. 设(X, Y)的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧=01),(πϕy x , 求E(X), D(Y), ρ(X, Y).其它122≤+y x 解. 01),()(122===∫∫∫∫+∞∞−+∞∞−≤+y x xdxdy dxdy y x x X E πϕ01),()(122===∫∫∫∫+∞∞−+∞∞−≤+y x ydxdy dxdy y x y Y E πϕ41cos 11),()(20132122222====∫∫∫∫∫∫∞+∞−∞+∞−≤+πθθππϕdr r d dxdy x dxdy y x x X E y x 41sin 11),()(20132122222====∫∫∫∫∫∫∞+∞−∞+∞−≤+πθθππϕdr r d dxdy y dxdy y x y Y E y x 01),()(122===∫∫∫∫∞+∞−∞+∞−≤+y x xydxdy dxdy y x xy XY E πϕ41)]([)()(22=−=X E X E X D , 41)]([)()(22=−=Y E Y E Y D0)()()()()(=−=Y D X D Y E X E XY E XY ρ.9. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2, 机器发生故障时全天停止工作. 若一周5个工作日里无故障, 可获利润10万元, 发生一次故障仍可获利润5万元; 发生二次故障所获利润0元; 发生三次或三次以上故障就要亏损2万元. 求一周内期望利润是多少? 解. 假设X 表示一周内发生故障的天数. 则X ～B(5, 0.8),33.0)8.0()0(5===X P 41.0)8.0(2.05)1(4=××==X P , 20.0)8.0(2.0)2(3225=××==c X P 06.020.041.033.01)3(=−−−=≥X P又设Y 为该企业的利润, Y 的分布律为Y 10 5 0 －2p 0.33 0.41 0.20 0.06E(Y) = 10×0.33 + 5×0.41 + 0×0.20 + (－2)×0.06 = 5.23(万元)10. 两台相互独立的自动记录仪, 每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布; 若先开动其中的一台, 当其发生故障时停用而另一台自行开动. 试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度、数学期望和方差.)(t f 解. 假设X 、Y 分别表示第一、二台记录仪的无故障工作时间, 则X 、Y 的密度函数如下:⎩⎨⎧<≥=−05)(~,5x x e x f Y X xX 、Y 相互独立, 且 T = X + Y .X 、Y 的联合密度:⎩⎨⎧≥≥=+−,00,0,25),()(5y x e y x f y x 关于T 的分布函数:∫∫≤+=≤+=≤=ty x T dxdy y x f t Y X P t T P t F ),(}{}{)( 当 时0<t∫∫∫∫≤+≤+===≤+=≤=ty x ty x T dxdy dxdy y x f t Y X P t T P t F 00),(}{}{)( 当 时0≥t∫∫∫∫≥≥≤++−≤+==≤+=≤=0,0)(525),(}{}{)(y x t y x y x ty x T dxdy edxdy y x f t Y X P t T P t Ft t tx t y x xt y tx te e dx e e dy e dx e 550055050551|)(525−−−−−−−−−−=−==∫∫∫所以 ⎩⎨⎧<≥−−=−−0,00,51)(55t t te e t F t t T 所以T 的概率密度: ⎩⎨⎧<≥==−0,00,25)]'([)(5t t e t t F t f t T T 所以 ∫∫∞+∞−∞+−===5225)()(052dt e t dt t f t T E t T 所以∫∫∞+∞−∞+−=−=−=−=25225425)52()()]([)()(0532222dt e t dt t f t T E T E T D tT。
概率与统计
概率与统计1.抽样：(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法) ：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本（n ≦N ），如果每次抽取使总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样（2）系统抽样：从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的原则，聪每部分中抽取一个个体，得到所需的样本，这种方法称为系统抽样 适用总体中的个体数较多(3)分层抽：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样。
主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中的个体有明显差异。
如（1）某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95。
为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，把这种抽样记为A ；某中学高中一年级有12名女排运动员，要从中选取3人调查学习负担的情况，把这种抽样记为B ，那么完成上述两项调查应分别采用的抽样方法：A 为_______， B 为_____ 。
2.用样本估计总体：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，即用样本平均数估计总体平均数（即总体期望值――描述一个总体的平均水平）；用样本方差估计总体方差（方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差或标准差越小，表示这个样本或总体的波动越小，即越稳定）。
一般地，样本容量越大，这种估计就越精确。
总体估计要掌握：(1)“表”(频率分布表)；（2）“图”(频率分布直方图)。
提醒：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率。
中位数:一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。
08-09商贸《统计学》B卷
一、单项选择题（本大题共25小题，每小题1分，共25分）1、一个统计总体A、只能有一个标志B、可以有多个标志C、只能有一个指标D、可以有多个指标2、调查几个特大型发电厂以了解我国电力生产基本情况，这种调查方式属于：A、抽样调查B、重点调查C、典型调查D、统计报表3、下列标志属于品质标志的是：A、职工年龄B、企业产值C、设备类型D、居民收入4、甲单位今年第一季度销售额与乙单位同期销售额之比，这个指标是：A、结构相对指标B、比例相对指标C、强度相对指标D、比较相对指标5、调查某市商业企业职工的工龄及文化程度等情况，则下面正确的是：A、调查单位是每个商业企业B、填报单位是每个商业企业C、调查单位是全部商业企业D、调查单位是商业企业中的每个职工6、统计调查按登记事物的连续性不同，可分为：A、重点调杳和抽样调查B、统计报表和专门调查C、普查和典型调查D、经常调查和一时调查7、对职工按如下年龄分组：…30~~40, 40~~50,…，则40岁应归入：A、30~~40岁组B、40~~50岁组C、随便在哪个组D、依情况而定8、若计划规定单位成本为50元，实际为46元，则单位成本计划完成相对数为：A、108.7％B、105.5％C、94％D、92％9、若某一单项式分配数列各组标志值都增加1倍，次数都减少50%，则众数值将：A、不变B、增加50%C、增加1 倍D、无法判定10、下列指标属于时期指标的是：A、商品销售额B、流动资金占用额C、商品库存量D、职工人数11、以下属于数量指标的是：A、工业产值年增长率B、居民储蓄存款总额C、企业年资金利润率D、工人平均年龄12、对一连续型变量分组，若末组为：3500以上，已知前一组的组中值为3250，则末组的组中值为：A、3350B、3550C、3650D、375013、下列属于平均指标的是：A、每平方公里平均铁路长度B、全市居民人均GDPC、居民人均拥有绿地面积D、企业平均职工人数14、当次数分布呈右偏钟型分布时，平均数与中位数的数量关系是A、前者大B、后者大C、二者相等D、不确定15、下列属于结构相对指标的是A、人均粮食产量B、产品合格率C、轻重工业比例D、某年我国钢产量为美国的52.9%16、下列属于质量指标指数的是：A、工业产品产量指数B、劳动生产率指数C、职工人数指数D、总成本指数17、在整群抽样中，应尽可能地：A、缩小群内方差、扩大群间方差B、缩小群间方差、扩大群内方差C、缩小群内和群间方差D、扩大群内和群间方差18、当所有观察点都落在回归直线方程bx a y +=ˆ 上时，则x 与y 之间的相关系数r 为：A 、01≤≤-rB 、1=rC 、r = 0.5D 、10≤<r19、若对1998~2006年某地粮食产量（万吨）配合的直线方程为Y=64.8+18t ，这说明该地区粮食产量每年年平均增长：（ ）A 、18%B 、64.8%C 、18万吨D 、64.8万吨20、已知某地区2005年粮食产量是2000年产量的194％，则粮食产量年平均增长速度是：A 、6%194B 、6%194-1C 、 5%194D 、5%194-121、在相关分析中，要求相关的两个变量：A 、都是随机变量B 、只有因变量是随机变量C 、都不是随机变量D 、只有自变量是随机变量22、编制综合指数要确定同度量因素，同度量因素的两个主要作用是：A 、比较作用和平衡作用B 、比较作用和推算作用C 、平衡作用和权数作用D 、同度量作用和权数作用23、下列指数中，属于数量指标指数的是：A 、产品价格指数B 、销售量指数C 、平均工资指数D 、人均产值指数24、商品销售额实际增加400元，由于销售量增长使销售额增加280元，则由于价格变化影响使：A 、销售额减少20元B 、销售额增加120元C 、销售额减少120元D 、销售额增加20元25、某商品价格发生变化，现在的100元只值原来的90元，则价格指数为A 、10%B 、90%C 、110%D 、111%二、多项选择题（本大题5小题，每小题2分，共10分）1、下列变量属于连续变量的有：A 、商品库存额B 、工业总产值C 、职工人数D 、单位成本E 、设备台数2、以下不受极端值及开口组影响的平均数是：A 、算术平均数B 、几何平均数C 、众数D 、调和平均数E 、中位数3、变异指标可以反映：A 、平均数代表性大小B 、总体各单位标志值的离中趋势C 、总体各单位标志值的集中趋势D 、 社会生产过程的均衡性E 、总体各单位的集中趋势4、某商品第二季度销售量是第一季度的112% ，这是A 、动态相对数B 、增长速度C 、发展速度D 、数量指标指数E 、数量指标5、影响抽样平均误差大小的因素有A 、总体单位数的多少B 、抽样单位数的多少C 、抽样方法D 、总体单位标志的变异程度E 、抽样组织形式三、判断改错题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）（先判对错，再把错误的改正）1、某企业2006年实际销售量比2005年增长14.3%，2006年产品销售计划完成程度为106.3%，则2006年销售量计划比上年增长了：14.3%-6.3%=8%。
概率论与数理统计模拟试题5套带答案
06-07-1《概率论与数理统计》试题A一、填空题（每题3分，共15分）1. 设A ，B 相互独立，且2.0)(,8.0)(==A P B A P ，则=)(B P __________.2. 已知),2(~2σN X，且3.0}42{=<<X P ，则=<}0{X P __________.3. 设X 与Y 相互独立，且2)(=X E ，()3E Y =，()()1D X D Y ==，则=-])[(2Y X E ___4.设12,,,n X X X 是取自总体),(2σμN 的样本，则统计量2211()n i i X μσ=-∑服从__________分布.5. 设),3(~),,2(~p B Y p B X，且95}1{=≥X P ，则=≥}1{Y P __________. 二、选择题（每题3分，共15分）1. 一盒产品中有a 只正品，b 只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为 【 】(A) 11a a b -+-；(B) (1)()(1)a a a b a b -++-；(C) a a b +；(D) 2a ab ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.2. 设随机变量X 的概率密度为()130, 其他c x p x <<⎧=⎨⎩则方差D(X)= 【 】(A) 2； (B)12； (C) 3； (D)13.3． 设A 、B 为两个互不相容的随机事件，且()0>B P ，则下列选项必然正确的是【 】()A ()()B P A P -=1；()B ()0=B A P ；()C ()1=B A P ；()D ()0=AB P ．4. 设()x x f sin =是某个连续型随机变量X 的概率密度函数，则X 的取值范围是【 】 ()A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π；()B []π,0； ()C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ；()D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,ππ． 5. 设()2,~σμN X ，b aX Y -=，其中a 、b 为常数，且0≠a ，则~Y 【 】()A ()222,b a b a N +-σμ； ()B ()222,b a b a N -+σμ；()C ()22,σμa b a N +； ()D ()22,σμa b a N -．三、（本题满分8分） 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.5和0.4，现已知目标被命中，求它是乙命中的概率.四、（本题满分12分）设随机变量X 的密度函数为xx ee Ax f -+=)(，求： （1）常数A ； （2）}3ln 210{<<X P ； （3）分布函数)(x F .五、（本题满分10分）设随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<-=其他,010),1(6x x x x f 求12+=X Y的概率密度.六、（本题满分10分）将一枚硬币连掷三次，X 表示三次中出现正面的次数，Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：（1）（X ，Y ）的联合概率分布；（2）{}X Y P>.七、（本题满分10分）二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他,00,0,),()2(y x Ae y x f y x求：（1）系数A ；（2）X ，Y 的边缘密度函数；（3）问X ，Y 是否独立。
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(C ) N (1,3) (D) N (1,1) 0 x0 3 0 x 1 ，则数学期望 EX 4．设 r.v. X 的分布函数为 F ( x) x 1 x 1
( B )
A
5．设随机变量 , 的相关系数为 0.4，若 0.4 ，则 Cov( , ) -0.4 ；若 D( ) 25, D( ) 36 ，则 D( ) 37
1 5 ， ，试求： 12 12 （1） ( , ) 的联合分布律； （2） 与 的边际分布律;
(2) p( B2 | A)
p( B2 ) p( A | B2 ) p( A) 0.3 0.3 0.2 0.45
(3) …………………(2 分)
解：(1)
与 是否独立
0 -1 0 2 0 1/6 0 -1 1/3 0 7/12 1 1/3 0 1/12 0 1/6 1/3 1/12
选取统计量 T
…………………(3 分) …………………(1 分)
下结论：拒绝 H 0 , 即可以认为云母厚度与 0.13mm 有显著差异。………(1 （2）选取统计量 T
分)
故 ˆ 是 的无偏估计
X t ( n 1) …………………(2 分) S n 则对于给定的 0.05, 有 P T t0.025 (8) 0.95 …………………(1 分)
X t ( n 1) …………………(1 分) S n 对于给定的 0.05, 由附表可得 t0.025 (8) 2.306 …………………(1 分) 0.146 0.13 计算 t 3.2 0.015 9 比较 t t0.025 (8) 2.30布律 （本题 12 分）
1/3 1/12 0 0
k x 1 2．已知随机变量 的密度函数为 f ( x) 0
0 x2 其它
，试求（1）参数 k
（2） 2 1 的密度函数（3）求随机变量 分布函数 F (x) （本题 12 分） 解：(1) 1 f ( x)dx 0 (kx 1)dx
E ( 3)
（A） 指数
（B） 二项
（D） 泊松 （ B ）
3．已知 ~ N (0,1) ,若 2 1 ，则 ~
(A) N (0,1) (B) N (1,4)
0.09 ； P( 0)
。 0 ；
0 ； D( 2) = 4 。 ( (1) 0.8413 , (0.5) 0.6915 ， (0) 0.5 )
EX 1 2
附表:标准正态分布表 ( x)
x
x
1 2
e
t2 2
dt P{ X x}
…………………(2 分)
1 ˆ , 得 2 X 1 2
0.05 0.06 0.07 1.8 0.9678 0.9686 0.9693 1.9 0.9744 0.9750 0.9756 2.0 0.9798 0.9803 0.9808
C
。
x dx 3x dx
4 0 1
2 0
B D
3x dx x dx +
3 0 1
4 0
1
1
xdx
1 6．设随机变量 的期望 E 2 ，方差 D ，则由契比雪夫不等式有 4 P( 2 3) 35/36 。
5． X 1 X 2 X n (n 2) 是来自总体 X ~ N ( , 2 ) 简单随机样本， 设 检验 2 时， 需要用统计量 （ D ）
第
0.1 1.4149 1.3968 1.3830
页 总 页 出卷教师 教研（实验）室主任 第 页 总 页
解： n 9, x 0.146, s 0.015
2
由 X EX （2）
…………………(3 分)
（1） 建立假设 H 0 : 0.13
…………………(2 分)
ˆ E E (2 X 1) 1 n = 2 E[ X i ] 1 n i 1 n 2 EX i 1 n i 1 2 1 = n 1 n 2
0.2 0.3 0.3 0.3 0.5 0.1 0.20
0, y 1 1 f ( x)dx ( y 1)( y 9) ,1 y 5 …(2 分) 16 1, y5
1 ( y 5),1 y 5 f ( y ) F ( y ) 8 0 , 其它
即 P X
5．电工器材厂生产一种云母带，其厚度服从正态分布，且其平均厚度 经常保持在为 0.13mm,某日开工后检验 9 处,算得均值为 0.146 mm , 标准差为 0.015mm . （1） 问该日云母带厚度均值与 0.13mm 有无显著差异。( 0.05 ) （2）求该日云母带厚度均值的置信区间。( 0.05 )（本题 12 分） 附表:t 分布表 Pt (n) t (n)
n S 2 为样本方差，则 E ( X i X ) 2 (n 1) 2 i 1
课程 概率论与数理统计
姓名
题号 得分 一 二 三
课程编号
得分
五 六 七 八 九
(B、闭)卷
学号
四
，
X
~ N (0,1) 。
十
总分
阅卷人
二、选择题（每题 3 分,共 15 分）
'
…………………(2 分) …………………(2 分) …………………(2 分)
1 3 1 6 1 3
(3) F ( y) f (t )dt
0, x0 1 = x 2 x, 0 x 2 4 1, x2
x
…………(2 分) ，
3．已知二维随机变量 ( , ) 取 (0,0), (1,1), (1, ), (2,0) 的概率分别为 ， …………………(2 分) …………………(2 分)
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金陵科技学院考试卷
200 8 200 9 学年第二 学期 院(部) 级 专业 7． 若ˆ1 ,ˆ2为 的两个无偏估计量，则 Eˆ1 Eˆ2 成立,称 ˆ1比ˆ2 有效。 8．设 X 1 X 2 X n 是来自总体 X ~ N ( , 2 ) 简单随机样本， X 为样本均值，
(A) U =
X
n
(B) U =
X
第
(C )
t=
n 1
页 总 页
X S n
(D) 2
(n 1) S 2
2
第
页
总
页 出卷教师 教研（实验）室主任
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三、简答题(共 55 分)
得 分 (2) F ( y ) p{
y 1 } 2
1 4
得 分
1 8
1．设 P( A) P( B) P(C ) , P( AB) P( BC) 0 ， P( AC ) ，则 得 分 一、填空题（每格 2 分,共 30 分） 1．已知 P( A) 0.4, P( B) 0.6, （1）当 A , B 互不相容时，
P( A B) P( A B C ) 1 3 （A） （B） 4 8 1 2． f (x) = b a a x b ， 是 0 其它
2k 2 1 故k 2
2
…………………(3 分)
2 5/12
…………………(2 分) …………………(2 分)
…………………(2 分)
1 1/3
p11 p1 p1 | 1
与不独立
0 0 1/3 1/5 第 页 1 4/5 总 页
…………………(2 分) …………………(2 分)
y 1 2
1．车间里有甲、乙、丙三台机床生产同一种产品，已知它们的次品率 依次为 0.3，0.3，0.1 ，而产品的数量比为：甲 : 乙 : 丙= 2 : 3 : 5 ， （1）现从产品中任取一件，求它是次品的概率； （2）现从产品中任取一件发现它是次品，求次品来自机床乙的概率。 （本题 10 分） 解：设 A ｛抽取一件是次品｝ B1 ｛甲生产的产品｝ ， ， B2 ｛乙生产的产品｝ B3 ｛丙生产的产品｝ ， 。…………(2 分) (1) p( A) p( B1 ) p( A | B1 ) p( B2 ) p( A | B2 ) p( B3 ) p( A | B3 )
n
s s t0.025 (8) X t0.025 (8) 0.95 ………………(1 分) n n
故 的置信度为 0.95 的置信区间为（0.1345，0.1575）…………………(2
分)
7 8 9
0.025 2.3646 2.3060 2.2622
0.05 1.8946 1.8595 1.8331
( C ) （C）
5 8
（D）
1
。 （2）当 A , B 独立时， P( AB ) = 0.25 。
0.16
。
1 8
（3）当 P( A B) 0.7 时， P( A B)
分布的密度函数。 （C） 均匀 .
(
C )
2．同时抛掷 3 枚匀称的硬币，则恰有一枚硬币正面向上的概率 为 0.375 。 3．若随机变量 ~ B(100,0.1) ，则 D E 2 4．设 ~ N (3, 4) ,则 P(2 5) 0.5328
第
页
总
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…………………(3 分) 4．设 X ~ U (1, ) ， X 1 X 2 X n 是来自总体 X 的样本，试求(1)参数 的矩 估计 ˆ ; (2) ˆ 是否为 的无偏估计。 （本题 9 分） 解： （1）矩估计