4-2简谐振动例题阻尼受迫振动

2015/4/13
k1 k 2 m
DUT 常葆荣
T
2

4
2、单摆

约 定
1、细线质量不计
2、 5o sin
3、阻力不计
逆时针方向为角位移的正方向 合力沿切 向分力
l
m
d 切向加速度 a l dt2 d2 d2 mg ml
dt2
f mg sin f mg sin 2
2015/4/13 DUT 常葆荣 1
4.2
1、弹簧振子
谐振子
做简谐振动的系统
k
0
m
x
k m
取平衡位置为坐标原点
x
F kx
d2 x F m dt2
d x d x k 2 x0 x 0 2 2 dt m 比较 d t 固有角频率
2
2
x A cos t
mg 4 10 k 200 N / m x0 0.2
t=0时有
k 200 7.07 s 1 m 4
x0 0.1m , v0 0
振动函数为
2 v0 2
A x0 2

0.1
x 0.1cos(7.07t )
v0 arctg( ) 0 0 x0
g 0 l
dt2
0 cos t 0
摆角 振幅
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固有角频率
初相位
DUT 常葆荣
g l
5
3、LC 振荡
极板上的电荷
q q0 cos t

C
q q
u C
L
固有频率
1 LC
回路中的电流
i0 q q
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固有角频率
0 x

k m
3
2015/4/13
DUT 常葆荣
例题 计算图中弹簧振子的角频率 解：设平衡时，两弹簧的伸长 量为l1, l2.
k1
m
0 x
k2
x
k1l1 k2l2
取平衡位置为坐标原点,当物体向右运动x时，
d2 x k2 (l2 x ) k1 (l1 x ) m 2 dt 2 2 d x k1 k2 d x x0 ( k1 k2 ) x m 2 2 dt m dt
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谐振子 1、弹簧振子 2、单摆 3、复摆

k m
x A cost


g l
m gl J
0 cos t 0
d 2 m gh 0 2 dt J
简谐振动的能量 1 2 2 2 动能 Ek m A sin t 2 势能 E 1 kA2 cos 2 ( t )
11
取平衡位置处为坐标原点，选择弹簧原长 处为势能（弹性、重力）零点
振子处于原点下方x处，系统的能量： 重力势能
k
m

x0
x
mgdx mg ( x0 x )
弹性势能
x0
0
1 2 1 2 2 k ( x x ) d x kx kx kx x 0 0 0 kx0 x x 2 2 1 2 1 2 EP kx kx0 kx 20 kx0 x mgx0 mgx 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 E EP Ek kx kx0 mv kA kx0 2 2 2 2 2
xb0 5cm, vb0 0
xb 0 5
b
5cm
Ab xb 0 2
2 vb 0

2
m
O x
vb0 b arctg( ) 0 0 xb 0
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m
a
17
b振子的振动方程为
xb 5 102 cos( t )
a和b振子完全一样，所以a振子的初始条件和b在0.5s时的 振动完全一样。
c
0 cos t 0
d vl l0 sin t 0 dt
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t0 ， 0 , v 0
v0 0 arctg( )0 x0
15
DUT 常葆荣
问2、一水平放置的弹簧振子，当其从A/2运动到-A/2时， 所需的最短时间为1s。今将该弹簧振子竖直挂起，并让其 振动，那么它的振动周期是多少？ 振子从A/2运动到-A/2时，相当于旋转矢量从A(0)旋转到A(t) 转过了/3的角度。转过/3所用的时间为T/6，即T/6=1， T=6s。
d J m g h 2 dt
2
mg
d 2 m gh 0 2 dt J
m gh J
J T 2 m gh
J:刚体对转轴的转动惯量；h：质心到转轴的距离
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5、简谐振动的能量（以水平弹簧振子为例）
x A c o s t
解：取平衡位置为坐标原点，向下为正方向
平衡位置处
物体离原点x距离时受合力为
mg mg kx0 k x0
k m
k
m
F k ( x x0 ) mg kx
力与位移正比反向，故为简谐振动
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0 x
20
（1）物体的振动函数——确定特征量A、、 由已知条件
x
弹簧振子的谐振周期决定与系统本 身的性质，即由弹簧的劲度系数k 和振子的质量m来决定。只要k和m 确定后，无论系统做怎样的简谐振 动，周期都一样。

A 0 A/2
A t
-A/2
2015/4/13
DUT 常葆荣
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例题：有两个完全相同的弹簧振子a和b，并排放在光滑的 水平桌面上，测得它们的周期都是2s。现将两物体都从平 衡位置向右拉开5cm，然后先释放a振子，经过0.5s后，再 释放b振子。如果从b释放时开始计时，求两振子的振动函 数。在同一坐标中画出两者的振动曲线，并用旋转矢量表 示这两个振动。 解：两振子完全相同，角频率都为=2/T= . 但步调不同 对振子b，t=0时有

v A s in t


k m
m
2
k
1 1 2 动能 E k mv m 22 A2 sin2 t kA 2 2
1 2 1 2 2 势能 E p kx kA cos ( t ) 2 2
1 1 2 E E k E p kA m 2 A 2 2 2
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（2）物体在平衡位置上方5cm处弹簧对物体的拉力
x 0.1cos(7.07t )
弹簧给物体的拉力满足胡克定律 或者
F kx
x 15cm
k 200N / m
mg F ma
F m( g a)
F m( g a) 30N
2

xb 5 102 cos( t )
x
Ab
x
A
b 0 a

Aa
t
2015/4/13
DUT 常葆荣
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例题：一个质量不计的弹簧下端 ，悬挂质量为4kg的物体， 弹簧伸长20cm，再把物体由静止的平衡位置向下拉10cm，然 后由静止释放并开始计时，试证明此振动为简谐振动，并求 （1）物体的振动函数；（2）物体在平衡位置上方5cm处弹 簧对物体的拉力。
mg kx ma
d x m 2 k ( x x0 ) 0 dt
(x-x0)正是振子离开平衡位 置的位移
DUT 常葆荣
振子处于原点下方x处
x0
简 谐 振 x 动
d x kx0 kx m 2 dt
d2 x k 比较 x0 2 dt m
2015/4/13
2
2
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例题 以平衡位置为坐标原点，讨论振子能量 解：取平衡位置为势能（弹性、重力）零点 振子处于原点下方x处，系统的能量： 重力势能 弹性 势能
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1 2 2 Ek kA sin t 2
1 2 E p kA cos 2 ( t ) 2 1 E E k E p kA 2 2
Ep
Ek
能量随时 间变化
t
x
在简谐振动中，系统的动能和势能相互转化，而总 机械能保持不变。 在简谐振动只有保守力作用，故系统机械能守恒。
p
机械能守恒。
振动过程中，动能和势能相互转化，而总能量不变。
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2
以平衡位置为势能参考点 1 E E k E p kA 2 2 对任意谐振系统都成立
势能参考点（即势能零点）在平衡位置处时， 才能用
1 2 E kA 求振幅 2
总结：系统是否做简谐振动由系统自身性质决定，与坐
简 谐 振 动
xt A cos t
d2 x 2 x0 2 dt
判断简谐振 动的依据
F kx
注意：x是任一时刻质点到平衡位置的位移 确定简谐 振动方程 1、代数法：由初始条件确定A、、 2、旋转矢量法 旋转矢量的初始位置
逆时针转动
旋转矢量，在x轴上的投影描述了一个简谐振动。
x0 A cos
v 0 A sin
A x0 2
2
2 v0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v0 arctg( ) x0
2
2015/4/13
DUT 常葆荣
弹簧振子（竖直悬挂） 取平衡位置为坐标原点 平衡位置处 振动某一瞬时
mg kx0
k
m
d2 x k ( x x0 ) mg m 2 dt d2 x d2 x k kx m 2 x0 2 dt dt m

0 x
0
x
mgdx mgx
m
k
0 x

1 2 k ( x x0 )dx kx kx0 x 2
1 2 1 2 EP kx kx0 x mgx kx 2 2 1 2 1 1 2 2 E EP Ek kx mv kA 2 2 2
2015/4/13 DUT 常葆荣
问1、把单摆从平衡位置b拉开一小角度0至a点，然后从 静止释放，从放手时开始计时。摆动函数用余弦函数表 示，下列说法正确的是（ B ） A. 在a处，动能最小，相位为0 B. 在b处，动能最大，相位为/2 C. 在c处，动能为零，相位为-0 D. a、b、c三位置能量相等，初相位不同 0 a b
1
系统处于平衡位置时有
( M m) g kl2
m M O x
标原点选择无关。分析物体是否做简谐振动的依据是： 判断系统离开平衡位置的位移随时间的变化是否满足正 弦或余弦规律。
系统的总能量在运动过程中是守恒的，势能零参考点确
定后，系统总能量的大小取决于具体振动中振幅的平方。 当选取平衡位置为势能零参考点时，总能量有最简形式。
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xa 0 xbt 0.5 5 10 cos 0, 2 2 va 0 vbt 0.5 5 10 sin 5 102 2 2 xa 5 10 cos( t ) 2
2
a

2
2015/4/13
DUT 常葆荣
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xa 5 10 cos( t ) 2
0
dq i q0 sin t dt
0
C
i i0 sin t
DUT 常葆荣 6
4、复摆——刚体绕着固定轴的摆动
逆时针方向为角位移的正方向 对转轴的合外力矩

h
M m g h s in
5 时 , s in

M
J
d2 x 2 a x 2.5 2 dt
2015/4/13
DUT 常葆荣
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例题：质量为M的圆盘挂在劲度系数为k的轻弹簧下，并处于静止 状态。一质量为m的物体，从距圆盘为h的高度自由下落，并粘在 盘上和盘一起振动。设物体和盘相碰瞬间t=0，而且碰撞时间很短。 取碰撞后系统的平衡位置为坐标原点，竖直向下为坐标的正方向。 试求系统的简谐振动表达式。 解：盘子处于静止时有 Mg kl
2015/4/13 DUT 常葆荣 9
例题 竖直悬挂的弹簧振子，若选择弹簧原长处为坐标原点， 分析振子的运动是否为简谐振动 解: 如果以平衡位置处为坐标原点，则 满足 k x A cos t
m
取弹簧原长为坐标原点 振动过程中的位移为x 在平衡处
k
0
m
mg kx0