控制系统稳定性分析
控制工程基础：第五章 控制系统稳定性分析
时，系统闭环后稳定。
2
Nyquist 稳定性判据2
1、若开环传递函数在s右半平面无极点时，当从0变化
时，如果Nyquist曲线不包围临界点(-1, j0)，则系统稳定。
如果Nyquist曲线包围临界点(-1, j0)，则系统不稳定。
❖ 系统稳定性定义：
❖
控制系统处于某一平衡状态下受到扰动作用而偏离了 原来的平衡状态，在干扰消失后系统又能够回到原来的平衡 状态或者回到原平衡点附近，则称该系统是稳定的，否则， 该系统就是不稳定的。
❖
稳定性是系统的一种固有特性，它只取决于系统本身的 结构和参数，而与初始状态和外作用无关。
m
F
F
单摆系统稳定
p(s)
p(s) DK (s)
系统稳定的充要条件:特征方程的根全部具有负实部
（闭环极点均在s平面的左半平面）。
即系统稳定的充要条件为：F(s)的零点都位于s平面 的左半平面。
GB(s)
F(s)
Gk(s)
零点
极点
零点
极点
极点
零点
1、若开环极点均在s平面左半面，则根据米哈伊洛夫定理推论：
arg[
DK
两种特殊情况
1、劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于零，但其余各项不 等于零或不全为零 处理方法：
用一个很小的正数 代替该行第一列的零，并据此计算出
阵列中的其余各项。然后令 0 ，按第一列系数进行
判别。
如果零上下两项的符号相同，则系统存在一对虚根，处于临 界稳定状态：如果零上下两项的符号不同，则表明有一个符 号变化，系统不稳定。
0
1
c1
1
b1
a1 b1
a3 110 (7)5 6.43
控制系统的稳定性分析
自动控制原理
其中系数 b1 , b2 , b3 等;根据
下列公式计算：
b1
a1a 2 a 0a 3 a1
b2
a1a 4 a 0a 5 a1
b3
a1a 6 a 0a 7 a1
同样的方法可以计算c;d;e等各行的系数
自动控制原理
注意:
在展开的阵列中;为简化其后的数值计算;可用一个正整数去除 或乘某一个整行;并不影响稳定性结论; 劳斯判据还说明：方程式5 4中;其正实部特征根数;等于劳斯阵列中第一列的系数改变的次数;
自动控制原理
从乃氏图上看;Gjw不包围1;j0点
G ( jw ) 1
稳定
G ( jw )
G ( jw )
不稳定
自动控制原理
2 若开环系统不稳定;有p个零点在右半平面;q的零点在原点;npq个 零点在左半平面 则
argD K(jw)(n2pq)2
如果闭环是稳定的;则
argDb(jw)n 2
故
a r g 1 G (jw ) n ( n 2 p q ) p q
F是新引进的函数;其分母是系统开环特征多项式;分子是闭环特征多 项式;
对于非单位反馈系统;开环传递函数为
GsG' sHsM DK Kss
自动控制原理
2 乃奎斯特队稳定判据 1 若开环是稳定的;则根据米哈依洛夫定理
argDk
jwn
2
如果闭环系统稳定;有
于是
argDb
jwn
2
arg1G (jw )0o
0
0
a n1 0
0
an2 an
自动控制原理
系统稳定的充要条件是：主行列式
式 1,2, n1 ;均大于零;即
第五章_控制系统的稳定性分析
, c2
b1a5 a1b3 b1
, c3
b1a7 a1b4 b1
f1
e1d 2
e1
d1e2
这样可求得n+1行系数
14
这种过程需一直进行到第n行被算完为止，系数 的完整阵列呈现一个倒三角形。
注意：
为简化计算，可用一个正整数去除或乘某一整个 行，并不改变稳定性结论。
15
劳斯稳定判据
劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符 号的变化，去判别特征方程式根在S平面上的具体 分布，过程如下：
27
5.3.4劳斯-赫尔维茨稳定性判据的应用
判定控制系统的稳定性
[例5-7] 系统的特征方程为：s4 2s3 3s2 4s 5 0 ，判断系统的稳定性。
[解]：排列劳斯阵如下：
s4 1 3 5 s3 2 4 0
因阵第为一，a列i 不0全, (为i 正0，~所4)以，，且系劳统斯
不稳定。
8
0
3
j 2 , j2
S0
16
显然这个系统处于临界稳定状态。
22
5.3.2 劳斯判据的应用
稳定判据只回答特征方程式的根在S平面上的分布 情况，而不能确定根的具体数据。也即也不能保证系 统具备满意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能表 明系统特征根在S平面上相对于虚轴的距离。但能判断 是否所有特征根都落在虚轴的左半平面.若用S=Z-1带 入特征方程中,求出的根的实部即为特征根距S=-1垂线 的距离.可判断稳定程度.
s2 1 5 0 由于劳斯阵第一列有两次符号变
2
如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原 来的平衡状态，并随时间的推移而发散。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施， 是自动控制理论的基本任务之一。
控制系统的稳定性分析
11
4.3 李雅普诺夫判稳第一方法
李氏第一法判稳思路： （间接法）
1、线性定常系统－特征值判断
2、非线性系统－首先线性化，然后用线性化
系统的特征值判断
12
二、线性定常系统
外部稳定性判据：
线性定常连续系统的传递函数是 W( s ) C ( sI - A)-1 B ，当且仅 当其极点都在s的左半平面时，系统才是输入输出稳定的。否 则系统是不稳定的（在此，虚轴上的临界稳定，对应等幅周 期振荡，控制工程上认为是不稳定的）。
Im
图解表示：
稳 定 区
内部稳定性判据：
临 界 稳 定
S平面 不 Re 稳 定 区
线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件为：A阵的所有特 征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的 根全部位于s平面的左半部。
13
[例4-6] 设系统方程为： x & 0
- 2 6 + - x u, 1 1 1
y 0 1]x
试确定其外部稳定性、内部稳定性。
[解 ] （1）系统的传递函数为：
- 6 - 2 s ( s - 2) 1 -1 ] 0 1 W( s ) C ( sI A) B 1 s + 1 1 ( s - 2)( s + 3) ( s + 3)
6
二、状态向量范数
符号
称为向量的范数， x -
xe
为状态向量
端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义为 “状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定义式 为： x - xe ( x1 - xe1 ) 2 + ( x2 - xe 2 ) 2 + L + ( xn - xen ) 2
控制系统的稳定性分析与稳定裕度设计
控制系统的稳定性分析与稳定裕度设计控制系统的稳定性是指系统在受到外界干扰或参数变化时，是否能保持输出的稳定性和可控性。
稳定性分析与稳定裕度设计是控制系统设计与优化中非常重要的环节。
本文将介绍控制系统的稳定性分析方法和稳定裕度设计的原则与方法。
一、稳定性分析方法在控制系统中，稳定性分析的目的是确定系统的稳定性边界，也就是确定系统参数的取值范围，使系统保持稳定。
常用的稳定性分析方法有两种：频域方法和时域方法。
1. 频域方法频域方法一般基于系统的传递函数进行分析，常用的工具有Bode图和Nyquist图。
Bode图可以直观地表示系统的幅频特性和相频特性，通过分析Bode图可以确定系统的相角裕度和幅值裕度，从而判断系统的稳定性。
Nyquist图则是通过绘制系统的频率响应曲线来判断系统的稳定性。
2. 时域方法时域方法主要根据系统的差分方程进行分析，常用的工具有阶跃响应和脉冲响应。
通过分析系统的阶跃响应曲线和脉冲响应曲线，可以得出系统的超调量、调节时间和稳态误差等指标，从而判断系统的稳定性。
二、稳定裕度设计原则与方法稳定裕度是指系统在满足稳定性的前提下，能够容忍一定幅度的参数变化或干扰。
稳定裕度设计可以提高系统的鲁棒性和可靠性，常用的稳定裕度设计原则和方法有以下几点：1. 相角裕度设计相角裕度是指系统在开环传递函数的相角曲线与-180度线之间的角度差。
通常情况下，相角裕度越大表示系统的稳定性越好。
为了增加相角裕度，可以通过增大系统的增益或者增加相位补偿器的相位裕度。
2. 幅值裕度设计幅值裕度是指系统在开环传递函数的幅度曲线与0dB线之间的距离。
幅值裕度越大表示系统对参数变化和干扰的鲁棒性越好。
为了增加幅值裕度，可以通过增大系统的增益或者增加幅值补偿器的增益。
3. 稳定裕度的频率特性设计系统的稳定裕度也与频率有关，不同频率下的稳定裕度可能存在差异。
因此，需要根据系统的工作频率范围来设计稳定裕度。
在系统的工作频率范围内，要保证系统的相角裕度和幅值裕度都能满足要求。
控制系统的稳定性分析
控制系统的稳定性分析简介控制系统的稳定性是指系统在受到干扰时，能够保持从初始状态返回到稳定的平衡状态的能力。
稳定性是控制系统设计和分析的重要指标之一，对于确保系统正常运行具有重要意义。
在本文档中，我们将探讨控制系统的稳定性分析方法。
稳定性概念在控制系统中，稳定性可以分为两种类型：绝对稳定和相对稳定。
1.绝对稳定：当系统在受到干扰后能够恢复到初始的平衡状态并保持在该状态时，我们称系统是绝对稳定的。
2.相对稳定：当系统在受到干扰后能够恢复到新的平衡状态并保持在该状态时，我们称系统是相对稳定的。
稳定性分析方法为了评估控制系统的稳定性，我们通常使用以下几种分析方法：1. 传递函数分析传递函数分析是一种常用的稳定性分析方法，它通过将控制系统转化为传递函数的形式，进行频域和时域的分析。
在频域分析中，我们可以使用频率响应函数（Bode图）来评估系统的稳定性。
Bode图由幅度曲线和相位曲线组成，通过分析这两个曲线可以判断系统是否稳定。
在时域分析中，我们可以使用单位斯蒂文斯响应函数来评估系统的稳定性。
单位斯蒂文斯响应函数是指控制系统对于单位阶跃输入的响应。
2. 决策稳定性分析决策稳定性分析方法是一种直观的稳定性评估方法，它通过观察控制系统的反馈回路来判断系统的稳定性。
如果控制系统的反馈回路中存在零点或极点位于右半平面，则系统将是不稳定的。
另外，如果控制系统的相位裕度和增益裕度分别小于零和一，则系统也将是不稳定的。
3. 根轨迹分析根轨迹分析是一种图形化的稳定性分析方法，它通过绘制系统传递函数的根轨迹来评估系统的稳定性。
根轨迹是表示系统极点随控制参数变化的轨迹图，它可以直观地显示系统的稳定性和响应特性。
如果根轨迹上的所有极点都位于左半平面，则系统是稳定的。
4. Nyquist稳定性判据Nyquist稳定性判据是一种基于频域分析的稳定性判据，它利用开放式系统的频率响应来评估系统的稳定性。
Nyquist稳定性判据通过绘制控制系统的开环频率响应曲线，并计算曲线绕原点的圈数来判断系统是否稳定。
控制系统中的稳定性分析
控制系统中的稳定性分析控制系统是现代工业生产中不可或缺的一部分，它可以通过传感器采集实时数据、通过控制器对数据进行处理，进而控制被控对象的运动或状态，达到控制目的。
在控制系统中，稳定性是最基本也是最重要的性能之一，而稳定性分析是控制系统的重要组成部分。
本文将围绕控制系统中的稳定性分析进行阐述。
一、稳定性的定义稳定性是指该系统在输入外部干扰或扰动的影响下，输出的运动状态是否始终保持在某一范围内，没有出现震荡或失稳的现象。
稳定性是控制系统的最基本的性能之一，是控制系统能否正常工作的基础。
二、控制系统中的稳定性类型根据控制系统的输出，控制系统的稳定性被分为两个主要类型：渐进稳定和瞬态稳定。
1. 渐进稳定渐进稳定是指控制系统在受到外界扰动后输出逐渐趋于稳定的情况。
在控制系统中，一个标准的渐进稳定系统应该满足以下三个条件：（1）系统输出必须有界；（2）当外界干扰为零时系统输出应该收敛于一个固定的值；（3）系统必须不具有周期性行为。
2. 瞬态稳定瞬态稳定是指控制系统在受到外界干扰后，输出通过系统自身调节能够在短时间内恢复到初始状态。
对于瞬态稳定的控制系统，在外界扰动干扰之后，系统应该在一定的时间范围内就能够恢复到稳态，并不受外界扰动的影响。
三、稳定性分析方法1. 时域分析法时域方法是根据系统传递函数展开的分析方法，它可以通过对系统传递函数进行分析，从而得出系统的稳定性状态。
时域方法的主要思路是，将系统的传递函数加上一个扰动，观察系统的反应，并根据系统的反应进行分析。
2. 频域分析法频域方法是根据系统的频率特性展开的分析方法，它可以通过对系统在不同频率下的响应进行分析，从而得出系统的稳定性状态。
频域方法的核心思想是，根据系统的传递函数得到其频率响应，然后通过求解系统的幅频特性曲线和相频特性曲线，来判断系统的稳定性情况。
四、稳定性分析技术1. 极点分析法极点分析法是一种基于控制理论的分析方法，它可以将系统的传递函数分解为多个一次项的乘积，然后分析每个一次项的为稳定极点，找出系统的稳定性状况。
控制系统的稳定性分析分解课件
目 录
• 控制系统稳定性分析方法 • 控制系统稳定性判据 • 控制系统稳定性优化方法 • 控制系统稳定性实例分析 • 控制系统稳定性总结与展望
01 引言
控制系统稳定性概念
01
02
03
稳定性定义
控制系统在受到外部扰动 后，能否恢复到平衡状态 的能力。
稳定性分类
根据系统性质不同，可分 为渐近稳定、指数稳定、 BIBO稳定等。
实例一：机械臂控制系统稳定性分析
01
02
03
04
系统建模
建立机械臂的动力学模型，包 括电机、减速器等组件的动力
学方程。
稳定性判据
应用劳斯判据或奈奎斯特判据 等方法，判断系统的稳定性。
控制器设计
设计合适的控制器，如PID控 制器，以保证系统的稳定性。
仿真与实验
通过仿真和实验验证控制器的 有效性，并对系统稳定性进行
定性。
超前校正优点
03
校正后系统带宽增宽，动态性能提高，对高频噪声有抑制作用。
滞后校正
滞后校正网络
采用RC电路构成的滞后网络，降低系统高频部分的增益，提高 相位裕量。
滞后校正原理
通过牺牲系统带宽来换取更大的相位裕量，从而提高系统稳定性。
滞后校正优点
对低频段增益影响较小，可保持系统稳态精度，同时有效抑制高 频噪声。
稳态误差分析
通过计算系统的稳态误差来分析系 统的稳定性和精度，包括静态误差 系数法、终值定理法等。
动态性能分析
通过分析系统的动态性能指标（如 调节时间、超调量等）来评估系统 的稳定性，常用的方法有相平面法、 时域响应法等。
频域分析法
奈奎斯特稳定判据
控制系统的稳定性分析与设计
控制系统的稳定性分析与设计控制系统的稳定性是控制工程中最为重要的一个参数之一。
一个稳定的控制系统能够使得系统在经过一定的时间后回到原点，而不会发生不可控的偏差，从而保证控制效果的稳定性和可靠性。
本文将从系统稳定性的原理和方法、设计方法及案例等方面探讨控制系统的稳定性分析与设计。
一、系统稳定性的原理和方法1. 系统稳定性的定义系统稳定性指的是系统在外界干扰或参数变化的作用下，回应输出信号与输入信号之间的关系是否稳定。
即在一定时间内，控制系统确保输出值能够跟随输入值的变化，而不会发生不可控的震荡或失控的情况。
2. 系统稳定性的判据良好的系统稳定性需要满足以下条件：（1）经过一定时间后，系统从任何初始状态转移到平衡状态；（2）平衡状态具有稳定性，即系统在发生一定幅度的干扰时，需要在一定时间内回复到原平衡状态；（3）平衡状态的稳定性受到系统参数变化、外界环境变化等多种因素的影响，但是通过合理的调节和控制，使得系统在变化后仍能保持稳定。
3. 系统稳定性的分析方法（1）指标法：它是利用特定的指标量来描述系统的稳定状态，比如阻尼系数、频率响应等。
（2）相关函数法：它是利用系统的特性函数或者频率响应函数来描述系统的稳定性。
（3）传递函数法：传递函数描述输入信号与输出信号之间的关系，可以通过传递函数的特性分析系统的稳定性。
（4）极点分布法：分析系统的极点分布情况，确定系统的极点位置以及极点位置对系统稳定性的影响。
二、控制系统的稳定性设计方法1. PID控制器的设计方法PID控制器是目前使用最为广泛的控制器，它可以通过调节比例系数、积分系数和微分系数来达到控制系统的稳定性。
在进行PID控制器的设计时，需要进行以下步骤：（1）确定控制系统的传递函数；（2）确定控制系统的目标响应曲线；（3）通过目标响应曲线和传递函数设计出PID控制器；（4）进行仿真或实验验证控制系统的稳定性。
2. 模糊控制器的设计方法模糊控制器是一种基于模糊推理的控制器，它可以通过调节模糊逻辑的输入变量和输出变量来达到不同的控制效果。
控制系统稳定性分析
控制系统稳定性分析引言控制系统是一种通过控制输入信号以达到预期输出的系统。
在实际应用中，控制系统的稳定性是非常重要的，因为它直接关系到系统的可靠性和性能。
本文将介绍控制系统稳定性分析的基本概念、稳定性判据以及常见的稳定性分析方法。
基本概念在控制系统中，稳定性是指系统的输出在输入信号发生变化或扰动时，是否能够以某种方式趋向于稳定的状态，而不产生超调或振荡。
在进行稳定性分析之前，我们需要了解几个重要的概念。
稳定性定义对于一个连续时间的线性时不变系统，如果对于任意有界输入信号，系统的输出始终有界，则称该系统是稳定的。
换句话说，稳定系统的输出不会发散或趋向于无穷大。
极点（Pole）系统的极点是指其传递函数分母化简后得到的方程的根。
极点的位置对系统的稳定性有很大的影响，不同的极点位置可能使得系统的稳定性不同。
范围稳定性（Range Stability）当输入信号有界时，系统的输出也保持有界，即系统是范围稳定的。
渐进稳定性（Asymptotic Stability）当输入信号趋向于有界时，系统的输出也趋向于有界，即系统是渐进稳定的。
稳定性判据稳定性判据是用来判断控制系统是否稳定的方法或准则。
常见的稳定性判据有：Routh-Hurwitz判据、Nyquist判据以及Bode稳定判据。
Routh-Hurwitz判据Routh-Hurwitz稳定性判据是一种基于极点位置的方法。
具体步骤如下：1.根据系统的传递函数确定极点。
2.构造Routh表。
3.根据Routh表的符号判断系统的稳定性。
Nyquist判据Nyquist稳定性判据是一种基于频率响应的方法。
具体步骤如下：1.根据系统的传递函数绘制频率响应曲线。
2.根据频率响应曲线的特征判断系统稳定性。
Bode稳定判据Bode稳定判据是一种基于系统的幅频特性和相频特性的方法。
具体步骤如下：1.根据系统的传递函数绘制Bode图。
2.根据Bode图的特征判断系统稳定性。
稳定性分析方法除了以上的稳定性判据外，还有一些常用的稳定性分析方法可以应用于控制系统的稳定性分析。
控制系统中的稳定性分析
控制系统中的稳定性分析在控制系统中，稳定性分析是一项至关重要的任务。
稳定性分析的目的是判断系统是否会在给定的条件下保持稳定，以及如何使系统保持稳定。
稳定性分析可以应用于各种控制系统，无论是机械系统、电气系统还是化学系统。
稳定性分析的基本方法是通过分析系统的传输函数、极点和根轨迹等来判断系统的稳定性。
传输函数是一个系统输入和输出之间的关系，它可以描述系统在不同频率下的行为。
极点是传输函数的根，它表示系统的固有动态特性。
根轨迹则是极点在复平面上的轨迹，它提供了系统稳定性的重要线索。
稳定性分析有两个基本的稳定性标准：BIBO稳定和Routh-Hurwitz稳定。
BIBO稳定性是指系统对有界输入有有界输出的能力。
具体而言，对于一个具有有界输入的系统，如果系统的输出仍然有界且不会无限增长，则系统被认为是BIBO稳定的。
这种稳定性标准适用于不仅系统输入有界，而且系统各个部分都是实现有界的情况。
另一种稳定性标准是Routh-Hurwitz稳定性。
Routh-Hurwitz稳定性利用系统的特征方程来判断系统是否稳定。
对于一个特征方程，如果它的所有根具有负实部，则系统被认为是Routh-Hurwitz稳定的。
这种稳定性标准适用于线性定常系统。
稳定性分析不仅可以帮助我们判断系统的稳定性，还可以指导我们设计稳定的控制器。
比如，在根轨迹法中，我们可以通过改变控制器的增益来移动根轨迹。
通过分析不同的根轨迹，我们可以确定控制器的增益范围，使系统保持稳定。
此外，稳定性分析还可以帮助我们理解系统响应的行为。
通过观察根轨迹，我们可以得到许多有关系统阻尼比、自然频率和超调量等的信息。
这些信息有助于我们评估系统的性能，并根据需要进行优化。
总结来说，稳定性分析是控制系统设计中不可或缺的一部分。
通过分析系统的传输函数、极点和根轨迹等，我们可以判断系统是否稳定，并设计出稳定的控制器。
稳定性分析还可以帮助我们理解系统响应的行为，并对系统的性能进行评估和优化。
控制工程中的系统稳定性分析
控制工程中的系统稳定性分析控制工程是一门涉及自动控制的学科，它的研究对象包括了如何使系统达到稳态、控制过程中的各种误差、系统的响应速度等因素。
其中，系统稳态是控制工程中的一个非常重要的概念，它可以决定着一个控制系统是否能够稳定地运行下去。
因此，本文将从系统稳定性分析的角度来探讨控制工程中的一些基本概念。
一、什么是系统稳定性？系统稳定性是指，在外部环境变化和内部因素变化的情况下，一个控制系统仍能够保持稳定的状态。
从数学角度来说，系统稳定性是指一个控制系统的输出在输入的影响下始终趋向于某一个固定值，而不是发生无限振荡或者失控的情况。
因此，一个稳定的控制系统不会引起系统本身的崩溃和运行的混乱，从而能够保证控制过程的正常运行。
二、如何分析系统稳定性？在控制工程中，分析系统稳定性是非常必要的，它可以用来保证控制系统的可靠性和稳定性。
下面介绍一些常用的分析方法。
1. 传递函数法传递函数法是控制工程中常用的一种分析系统稳定性的方法。
它将控制系统中的输入、输出和内部环节整合到一个数学模型中，通过对模型的分析得出系统的稳态响应、阻尼倍数和极点等重要指标。
这种方法通常采用拉普拉斯变换和频域分析的技术来求解传递函数，确定控制系统的闭环响应。
2. 稳定判据法稳定判据法是一种定量的系统稳定性判定方法。
它通常利用系统传递函数的阻尼倍数和极点等参数来判断系统是否稳定，即只要将系统传递函数中极点的实部全部小于零，则可以判断该系统是稳定的。
3. 相平面分析法相平面分析法是一种直观化的分析方法，它通过在相平面上绘制系统的响应轨迹，来分析控制系统的稳态响应特性。
相平面分析法包括了波形法、回旋法和Nyth法等多种分析方法，这些方法可以为分析系统的自由度、稳定性和动态响应等特性提供很好的参考。
三、如何提高控制系统的稳定性？除了分析系统稳定性以外，如何提高控制系统的稳定性也是一个非常重要的问题。
下面介绍一些常用的方法。
1. 控制系统的鲁棒性设计鲁棒性是指控制系统对外界干扰、内部参数变化等不确定性因素的稳定性。
控制系统的稳定性分析方法
控制系统的稳定性分析方法控制系统的稳定性是指在不同输入情况下，系统输出是否会趋于稳定状态。
稳定性分析在控制系统设计和优化中起着重要的作用。
本文将介绍几种常用的控制系统稳定性分析方法。
一、传递函数法传递函数法是一种常用的控制系统稳定性分析方法。
传递函数是控制系统输入与输出之间的关系表示，通过对传递函数进行分析，可以得到系统的特性以及稳定性。
传递函数法的具体步骤如下：1. 将系统表示为传递函数的形式，传递函数通常表示为H(s)，其中s为复变量。
2. 利用传递函数的特性，计算系统的极点和零点。
极点是传递函数的分母为零的根，零点是传递函数的分子为零的根。
3. 分析系统的极点位置以及极点的实部和虚部。
根据极点的位置可以判断系统的稳定性。
二、根轨迹法根轨迹法是一种图形法，通过绘制传递函数的根轨迹图来分析系统的稳定性。
根轨迹图是传递函数极点随参数变化过程中的轨迹。
根轨迹法的具体步骤如下：1. 将传递函数表示为参数的函数形式。
2. 寻找参数的变化范围，通常选择参数的范围使得系统保持稳定。
3. 计算传递函数的极点随参数变化的轨迹，将其画在复平面上。
4. 根据根轨迹图的形状和位置判断系统的稳定性。
三、Nyquist稳定判据Nyquist稳定判据是通过分析控制系统的传递函数在Nyquist轨迹上的特性来判断系统的稳定性。
具体步骤如下：1. 绘制传递函数的Nyquist轨迹。
2. 通过Nyquist轨迹上的幅角和极点位置判断系统的稳定性。
如果幅角为负且极点位于原点右侧，则系统稳定。
四、Bode图法Bode图法是一种常用的频域分析方法，通过绘制传递函数的幅频特性图和相频特性图来分析系统的稳定性。
具体步骤如下：1. 将传递函数表示为分子和分母的形式。
2. 计算传递函数在频域上的幅频特性和相频特性。
3. 根据幅频特性和相频特性的特征判断系统的稳定性。
以上是几种常用的控制系统稳定性分析方法。
在实际应用中，根据系统的特点和需求，选择合适的方法进行稳定性分析。
控制系统的稳定性分析
…
控制系统的稳定性分析
例 已知一调速系统的特征方程式为
S 3 + 41.5S 2 + 517 S + 2.3 × 104 = 0 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解：列劳斯表
S3 S2 S1 S0
1 41.5 − 38.5 2.3× 4 10
517 2.3×104
0 0
控制系统的稳定性分析
系统的特征方程为： 2s 4 + s3 + 3s 2 + 5s + 10 = 0 例 系统的特征方程为： 试用胡尔维茨判据判别系统的稳定性。 试用胡尔维茨判据判别系统的稳定性。 解：由特征方程知：1) ai=0 由特征方程知： 1 2 2) ∆n = 0 0 5 3 1 2 0 10 5 3 0 0 0 10
控制系统的稳定性分析
s n a0 a2 a4 a6 L 表中 s n −1 a1 a3 a5 a7 L b1 = a1a2 − a0 a3 , b2 = a1a4 − a0 a5 , b3 = a1a6 − a0 a7 ⋅⋅⋅ a1 a1 a1 n−2 s b1 b2 b3 b4 L ba −ab ba −ab ba −ab n −3 c1 = 1 3 1 2 , c2 = 1 5 1 3 , c3 = 1 7 1 4 ⋅⋅⋅ s c1 c2 c3 L b1 b1 b1 M s 2 d1 d 2 d3 ed −d e f1 = 1 2 1 2 s1 e1 e2 e1 0 s f1 考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a0 a1、 a0、 3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a0、a1、 b1、c1、 的符号相同， b1、c1、……的符号相同，则表示系统具有正实部特征根的个数等 的符号相同 于零，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定， 于零，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等 于系统具有的正实部特征根的个数。 于系统具有的正实部特征根的个数。
控制系统稳定性分析
控制系统稳定性分析在控制系统的设计和应用中，稳定性是一个至关重要的指标。
控制系统的稳定性分析能够帮助工程师确定系统是否能够在各种工况下保持平稳运行，并避免产生不稳定或振荡的现象。
本文将介绍控制系统稳定性分析的基本概念和方法。
一、稳定性概述稳定性是指在系统受到扰动或干扰的情况下，系统能够在一定的范围内保持平衡或恢复到平衡状态的能力。
对于控制系统来说，稳定性是一个必要条件，只有具备了稳定性，系统才能够实现准确、可靠的控制任务。
二、时域稳定性分析方法时域稳定性分析方法主要通过观察系统的响应和特征方程的性质来判断系统的稳定性。
其中，常用的方法包括：1. 判据法：通过判断系统的极点位置来确定稳定性。
当系统所有极点的实部都小于零时，系统是稳定的。
2. 力学振荡器法：将系统等效为一个力学振荡器进行分析，通过计算振荡器的振荡周期和阻尼比等参数来判断系统的稳定性。
3. Lyapunov稳定性分析法：利用离散或连续的Lyapunov函数来刻画系统的稳定性，通过判断Lyapunov函数的增减性来确定系统是否稳定。
三、频域稳定性分析方法频域稳定性分析方法通过对系统传递函数进行频谱分析，利用频率响应特性来判断系统的稳定性。
常用的频域稳定分析方法包括：1. Bode图法：将系统的传递函数表示为极形式，并将其转化为幅频特性和相频特性的曲线来分析系统的稳定性。
2. Nyquist图法：通过将系统的开环传递函数在复平面上绘制出极坐标图，根据图形上的奇点个数来判断系统的稳定性。
3. Nichols图法：将系统的开环传递函数在奈氏图上绘制出闭环频率响应曲线，通过曲线的形状和位置来判断系统的稳定性。
四、数值稳定性分析方法数值稳定性分析方法是利用计算机仿真和数值模拟的手段来分析系统的稳定性。
通过将系统的差分方程或微分方程转化为数值算法，然后利用数值方法求解方程，观察系统的响应和稳定性指标来分析系统的稳定性。
五、稳定性分析的实际应用控制系统的稳定性分析在实际工程中具有重要的应用价值。
第5章控制系统的稳定性分析
设系统闭环传递函数为
Y (s) X (s)
bm sm an s n
bm1sm1 an1sn1
则系统的特征方程为
b1s b0 a1s a0
ansn an-1sn-1 a1s a0 0
（5-5）
例 某单位反馈系统的开环传递函数 G(s) k
则系统的闭环传递函数
s(Ts 1)
（5-7）
a0
an
s1s2 s3 s4
sn2 sn1sn
从式（5-7）可知，要使全部特征根s1， s2，···， sn-1，sn均具有负实部，就必须满足以下两个条件：
（1）特征方程的各项系数ai(i=0，1，2， ···，n) 都不等于零。因为若有一个系数为零，则必出 现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根， 才能满足式（5-7） 。此时系统为临界稳定（根 在虚轴上）或不稳定（根的实部为正）。
均不为零。
2. 特征方程的各项系数ai符号一致。
以上只是判定系统稳定的必要条件，而非充要条件， 因为此时还不能排除有不稳定根的存在。
罗斯稳定判据可以用来校验特征方程是否满足系 统稳定的充分条件。罗斯判据的证明比较麻烦， 这里只介绍它的应用。
特征方程系数的罗斯阵列如下：
sn an an-2 an-4 an-6
图示小球处在a点时，是稳定平衡点，因为作用 于小球上的有限干扰力消失后，小球总能回到a 点，而小球处于b、c点时为不稳定平衡点， 因 为只要有干扰力作用于小球，小球便不再回到 点b或c点。
c
b
a 小球的稳定性
上述两个实例说明系统的稳定性反映在干扰消 失后的过渡过程的性质上。这样，在干扰消失 的时刻，系统与平衡状态的偏差可以看作是系 统的初始偏差。
实验三控制系统的稳定性分析
实验三控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性是指系统在受到外部扰动或内部变化时，是否能保持原有的稳态或稳定的性能。
稳定性是控制系统设计和分析的重要指标之一，它直接影响系统的性能和可靠性。
本实验将介绍控制系统稳定性的分析方法和稳定性判据。
一.控制系统的稳定性分析方法1.传递函数法：传递函数是表示控制系统输入与输出之间关系的数学表达式，通过分析和求解传递函数的特征根，可以判断系统的稳定性。
在传递函数中，特征根的实部和虚部分别代表了系统的衰减和振荡性能，根据特征根的位置可以得到稳定、不稳定和临界稳定等几种情况。
2.极点分布法：极点分布是指控制系统的特征根在复平面上的位置分布。
通过绘制极点图可以直观地判断系统的稳定性。
一般来说，稳定系统的极点都位于左半复平面，而不稳定系统的极点则位于右半复平面。
3. Nyquist稳定性判据：Nyquist稳定性判据是通过绘制Nyquist曲线来判断系统的稳定性。
Nyquist曲线是将控制系统的特征根的位置映射到复平面上形成的闭合曲线，通过分析Nyquist曲线的形状和位置可以判断系统的稳定性。
4. Routh-Hurwitz稳定性判据：Routh-Hurwitz稳定性判据是基于特征多项式的系数和正负性进行判断的方法。
通过构造一个特征方程的判别矩阵，可以判断系统的稳定性。
如果判别矩阵的所有元素都大于0，则系统是稳定的。
二.控制系统的稳定性判据1.传递函数法：通过求解传递函数的特征根，判断特征根的实部和虚部是否满足系统稳定的条件。
特征根的实部必须小于0，而虚部可以等于0。
2.极点分布法：绘制控制系统的极点图，判断极点是否位于左半复平面。
如果所有极点都在左半平面，则系统是稳定的。
3. Nyquist稳定性判据：绘制Nyquist曲线，通过分析曲线的形状和位置来判断系统的稳定性。
如果曲线不经过原点或环绕原点的次数为0，则系统是稳定的。
4. Routh-Hurwitz稳定性判据：构造特征方程的判别矩阵，通过判别矩阵的元素是否都大于0来判断系统的稳定性。
控制系统稳定性分析及优化研究
控制系统稳定性分析及优化研究控制系统稳定性是现代工业自动化和信息化技术的重要组成部分，其对于工业企业的生产和管理具有重要作用。
稳定性是指控制系统在一定输入干扰下具有保持输出稳定的能力，是反映控制系统鲁棒性和稳定性的重要指标。
因此，控制系统稳定性分析及优化研究对于提高自动化工艺控制系统的可靠性和稳定性具有重要的意义。
一、控制系统稳定性分析控制系统稳定性分析是指对控制系统进行数学建模，通过对控制系统的转移函数、极点、零点等参数分析控制系统稳定性的问题。
控制系统的稳定性分析可以采用经典控制技术、现代控制技术以及奇异摄动理论等方法进行分析。
1. 经典控制理论方法在经典控制理论中，稳定性主要是通过极点分布来分析的。
当控制系统的极点都位于左半平面时，该控制系统为稳定系统。
经典控制理论通常采用根轨迹和频率响应曲线分析控制系统的稳定性，从而确定系统的参数。
这种方法对于线性控制系统的稳定性分析可行，但是对于非线性控制系统而言则较为困难。
2. 奇异摄动理论方法奇异摄动理论是一种用于分析非线性动态系统稳定性的新型方法。
奇异摄动理论方法通过分解非线性动态系统的行为，研究系统响应的瞬态和稳态特性。
奇异摄动理论在分析非线性系统稳定性问题时，能够通过分析系统的响应特性，提高稳定性的预测能力。
同时，该方法具有较好的数学性质和良好的实验结果。
二、控制系统稳定性优化的研究控制系统稳定性优化是指通过优化系统结构、参数及控制算法等方案，提高控制系统的稳定性能力。
具体的方法有多种，下面我们将介绍常用的一些方法。
1. 模型预测控制法模型预测控制法是一种基于预测模型进行控制的方法。
在该方法中，通过将未来时间段的控制量作为优化变量，构建控制模型，并在控制过程中不断进行修正。
模型预测控制法可以通过预测系统响应的未来状况，降低系统的误差和振荡，从而提高控制系统的稳定性。
2. 自适应控制法自适应控制法是一种可以自动调整控制参数的控制方法。
在该方法中，控制器可以自动调整系统的参数和结构，以适应外部环境的变化和系统的动态特性。
控制系统中的稳定性分析方法
控制系统中的稳定性分析方法稳定性是控制系统设计和分析中至关重要的概念，它决定了系统的响应是否会随时间或外部干扰的变化而发散或者衰减。
稳定性分析是评估系统的稳定性并识别可能导致系统不稳定的因素的过程。
掌握稳定性分析方法对于设计和优化控制系统至关重要，本文将介绍几种常用的稳定性分析方法。
1. 时间域稳定性分析方法时间域稳定性分析方法是通过研究控制系统的时间响应来评估其稳定性。
其中，最常用的方法是研究系统的阶跃响应。
阶跃响应可以模拟当系统受到单位阶跃输入时的行为。
通过分析阶跃响应中的振荡和衰减情况，可以判断系统的稳定性。
常见的时间域稳定性分析方法包括：- 稳定性判据法：根据控制系统的特征方程的根在左半平面的个数确定系统的稳定性。
例如，系统的特征方程所有根的实部都小于零，则系统是稳定的。
- 跟踪法：通过分析阶跃响应的振荡情况，如超调量和调整时间，来评估系统的稳定性。
例如，当系统的超调量小于一定阈值并且调整时间满足要求时，可以认为系统是稳定的。
2. 频域稳定性分析方法频域稳定性分析方法是通过研究系统的频率响应来评估其稳定性。
频率响应可以揭示系统对不同频率信号的传递特性。
常用的频域稳定性分析方法包括：- Nyquist稳定性判据：根据系统的开环传输函数在复频域上的轨迹来判定系统的稳定性。
如果系统的开环传输函数的轨迹不绕复平面的-1点（-1+j0）（即Nyquist轨迹）或者经过-compensation的选择，可以判定系统是稳定的。
- 辐角判据：通过分析系统的相位频率特性曲线，判断系统的辐角是否满足稳定性条件。
如果系统的相位频率特性曲线满足一定的条件，例如相位频率特性曲线的最大幅值小于180度，则系统可以被认定为是稳定的。
3. Lyapunov稳定性分析方法Lyapunov稳定性分析方法是利用李雅普诺夫函数及其性质来评估系统的稳定性。
李雅普诺夫函数是一个具有良好性质的函数，可以确定系统状态的稳定性行为。
通过构建李雅普诺夫函数，并根据其形式和性质对系统进行分析，确定系统的稳定条件。
控制工程基础第四章控制系统的稳定性分析
此阵列称为劳斯阵列（劳斯表）。其中，各未知元素 b1,b2,b3,b4,，
c1 , c2 , c3 , c4 , ，
e1,e2 ,
f
,
1
g 1
根据下列公式计算：
b1
a1
a2 a0 a1
a3
,b2
a1
a4 a0 a1
a5
,b3
a1
a6 a0 a1
a7
,
c1
b1
a3 a1b2 b1
,
c2
b1
X
0
(s)
s
A1 p
A2 s p
Aj s p
An s p
1
2
j
n
式中，A1，A2，…，Aj，…，An为待定系数。对其进行拉氏反变换，
得单位脉冲响应函数为
x A e A e A e A e (t)
pt 1
pt 2
pjt
pt n
0
1
2
j
n
A e n
j 1
pt j
j
根据稳定性的定义，若系统稳定，应有
a a a a 0
0
0
0
ao (s
p )(s 1
p )(s 2
p) n
0
式中，p1，p2，…，pn为系统的特征根。
由根与系数的关系可知，若使全部特征根p1，p2，…，pn均具有 负实部，系统必须满足以下条件： （1）特征方程的各项系数a0，a1，a2，…，an都不等于零。 （2）特征方程的各项系数a0，a1，a2，…，an的符号都相同。 在控制工程中，一般取a0为正值，则系统稳定的必要条件为：特征方 程的各项系数a0，a1，a2，…，an均必须为正值。若a0为负值，可在特 征方程的两边同乘以-1使其变为正值。
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二、渐近稳定（经典控制理论稳定性定义）
如果平衡状态 xe 0 ，在李雅普诺夫意义下是稳定的，并且
始于域S(）的任一条轨迹，当时间t 趋于无穷时，都不脱离 S(），且收敛于 xe 0 ，则称式(4.1）系统之平衡状态 xe 0 为渐近稳定的，其中球域S(）被称为平衡状态 xe 0 的吸引域。 类似地，如果 与t0无关，则称此时之平衡状态 xe 0 为一致
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（5－3）
式（5－3）描述了系统式（5－1）在n维状态空间的状态轨线。
若在式（5－1）所描述的系统中，存在状态点 x，e 当系统运动
到达该点时，系统状态各分量维持平衡，不再随时间变化，
即x& ， 0该类状态点 xxe
即x为e 系统的平衡状态，即
若系统式（5－1）存在状态向量x e，对所有时间t都使
第3页/共36页
5.2 李亚普诺夫稳定性的基本概念 李雅普诺夫稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近
的局部稳定性问题。它是一种具有普遍性的稳定性理论，不 仅适用于线性定常系统，而且也适用于非线性系统、时变系 统、分布参数系统。
第4页/共36页
5.2.1 平衡状态
稳定性是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的 性质，与外部输入无关。对于系统自由运动，令输入u=0， 系统的齐次状态方程为
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▲李亚普诺夫第二法（简称李氏第二法或直接法）的 特点是不必求解系统的微分方程式，就可以对系统的 稳定性进行分析判断。该方法建立在能量观点的基础 上：若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则随着系 统的运动，其储存的能量将随时间增长而不断衰减， 直至系统运动趋于平衡状态而能量趋于极小值。由此， 李亚普诺夫创立了一个可模拟系统能量的“广义能量” 函数，根据这个标量函数的性质来判断系统的稳定性。 由于该方法不必求解系统的微分方程就能直接判断其 稳定性，故又称为直接法，其最大优点在于对任何复 杂系统都适用，而对于运动方程求解困难的高阶系统、 非线性系统以及时变系统的稳定性分析，则更能显示 出优越性。
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李雅普诺夫稳定性研究的是平衡态附近(邻域)的运动变化问 题。若平衡态附近某充分小邻域内所有状态的运动最后都趋 于该平衡态，则称该平衡态是渐近稳定的；若发散掉则称为 不稳定的，若能维持在平衡态附近某个邻域内运动变化则称 为稳定的。
平衡态附近(邻域)的运动变化图 第7页/共36页
【例5－1】设系统的状态方程为
x& f (x,t)
（5－1）
式中，x为n维状态向量，且显含时间变量t； 为线性或非线 性，定常或时变的n维向量函数，其展开式为
x&i fi (x1, x2,L , xn ,（t) ,5i－21）, 2,L , n
式（5－1）的解为
x(t) Φ(t; x0 , t0 )
式中，t0为初始时刻，x(t0 ) 为x0状态向量的初始值
是有界的。
x0
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5.2.3 李亚普诺夫稳定性定义 一、李亚普诺夫意义下的稳定
在H邻域内，若对于任意给定的 0 H ，均有：
(t; x0,t0) ,t t0
如果对应于每一个S( )，存在一个 S(，) 使得当t趋于无穷时，
始于 的S(轨)迹不脱离 S(，) 则式(5－1)系统之平衡状态
态。
x&1 x&2
x1 x1
x2
，求其平衡状
x23
解：其平衡状态应满足平衡方程式（5－4），即
x&1 x1 0
x&2
x1
Hale Waihona Puke x2x230
，即
x1 0
x1
x2
x23
0
解之，得系统存在3个孤立的平衡状态
0
0
0
xe1 0 , xe2 1 , xe13 1
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5.2.2 范数和球域 范数: 定义为度量n维空间中的点之间的距离。对n维空间中
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李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种方法， 即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。
▲李亚普诺夫第一法(简称李氏第一法或间接法)是通过解 系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性， 其基本思路和分析方法与经典控制理论一致。对线性定常系 统，只需解出全部特征根即可判断稳定性；对非线性系统, 则采用微偏线性化的方法处理,即通过分析非线性微分方程 的一次线性近似方程来判断稳定性，故只能判断在平衡状态 附近很小范围的稳定性。
任意两点的和，它们之间距离的范数记为 x x。e
工程中常用的是2－范数: x xe (x1 xe1 )2 (x2 xe2 )2 L (xn xen )2
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在n维状态空间中，若用点集 S( )表示以 x为e 中心、为 半径
内的各点所组成空间体称为超球域，那么， x，S则(表) 示
（5－6） 当 x很小xe 时 ，(则x1 称xe为1 )2的 (x2 邻xe域2 )2。L因此(x，n 若xen有)2 ，则意味
着 。同理，若方程式S(（ )5－1）的解
x0 S( )
位于球域 x0 内x，e 便有
(t; x0 , t0 )
S( )
（5－7）
表明齐次方程式内初(态t; x0,t0或) 短 暂,t扰动t0 所引起的自由响应应
称为x在e 李0 雅普诺夫意义下是稳定的。一般地，实数与有
关，通常也与t0有关。如果 与t0无关，则称此时之平衡状
态
为一xe 致 0稳定的平衡状态。
以上定义意味着：首先选择一个球域S(），对应于每一 个S(），必存在一个球域S(），使得当t趋于无穷时，始 于S(）的轨迹总不脱离球域S(）。
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1892年，俄国学者李亚普诺夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov，1857－1918)在他的博士论文“运动稳定性的 一般问题”中借助平衡状态稳定与否的特征对系统或系统 运动稳定性给出了严格定义，提出了解决稳定性问题的一 般理论，即李亚普诺夫稳定性理论。该理论基于系统的状 态空间描述法，是对单变量、多变量、线性、非线性、定 常、时变系统稳定性分析皆适用的通用方法，是现代稳定 性理论的重要基础和现代控制理论的重要组成部分。
f (xe,t) 0
（5－4）
成立，则称 xe为系统的平衡状态。由平衡状态在状态空间中所
确定的点，称为平衡点。 式（5－4）为确定式（5－1）所描 述系统平衡状态的方程。
平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为零向量的 点(状态)。由于导数表示的状态的运动变化方向，因此平 衡态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态。