控制系统稳定性分析
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1892年，俄国学者李亚普诺夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov，1857－1918)在他的博士论文“运动稳定性的 一般问题”中借助平衡状态稳定与否的特征对系统或系统 运动稳定性给出了严格定义，提出了解决稳定性问题的一 般理论，即李亚普诺夫稳定性理论。该理论基于系统的状 态空间描述法，是对单变量、多变量、线性、非线性、定 常、时变系统稳定性分析皆适用的通用方法，是现代稳定 性理论的重要基础和现代控制理论的重要组成部分。
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李雅普诺夫稳定性研究的是平衡态附近(邻域)的运动变化问 题。若平衡态附近某充分小邻域内所有状态的运动最后都趋 于该平衡态，则称该平衡态是渐近稳定的；若发散掉则称为 不稳定的，若能维持在平衡态附近某个邻域内运动变化则称 为稳定的。
平衡态附近(邻域)的运动变化图 第7页/共36页
【例5－1】设系统的状态方程为
是有界的。
x0
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5.2.3 李亚普诺夫稳定性定义 一、李亚普诺夫意义下的稳定
在H邻域内，若对于任意给定的 0 H ，均有：
(t; x0,t0) ,t t0
如果对应于每一个S( )，存在一个 S(，) 使得当t趋于无穷时，
始于 的S(轨)迹不脱离 S(，) 则式(5－1)系统之平衡状态
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5.2 李亚普诺夫稳定性的基本概念 李雅普诺夫稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近
的局部稳定性问题。它是一种具有普遍性的稳定性理论，不 仅适用于线性定常系统，而且也适用于非线性系统、时变系 统、分布参数系统。
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5.2.1 平衡状态
稳定性是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的 性质，与外部输入无关。对于系统自由运动，令输入u=0， 系统的齐次状态方程为
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▲李亚普诺夫第二法（简称李氏第二法或直接法）的 特点是不必求解系统的微分方程式，就可以对系统的 稳定性进行分析判断。该方法建立在能量观点的基础 上：若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则随着系 统的运动，其储存的能量将随时间增长而不断衰减， 直至系统运动趋于平衡状态而能量趋于极小值。由此， 李亚普诺夫创立了一个可模拟系统能量的“广义能量” 函数，根据这个标量函数的性质来判断系统的稳定性。 由于该方法不必求解系统的微分方程就能直接判断其 稳定性，故又称为直接法，其最大优点在于对任何复 杂系统都适用，而对于运动方程求解困难的高阶系统、 非线性系统以及时变系统的稳定性分析，则更能显示 出优越性。
态。
x&1 x&2
x1 x1
x2
，求其平衡状
x23
解：其平衡状态应满足平衡方程式（5－4），即
x&1 x1 0
x&2
x1
x2
x23
0
，即
x1 0
x1
x2
x23
0
解之，得系统存在3个孤立的平衡状态
0
0
0
xe1 0 , xe2 1 , xe13 1
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5.2.2 范数和球域 范数: 定义为度量n维空间中的点之间的距离。对n维空间中
称为x在e 李0 雅普诺夫意义下是稳定的。一般地，实数与有
关，通常也与t0有关。如果 与t0无关，则称此时之平衡状
态
为一xe 致 0稳定的平衡状态。
以上定义意味着：首先选择一个球域S(），对应于每一 个S(），必存在一个球域S(），使得当t趋于无穷时，始 于S(）的轨迹总不脱离球域S(）。
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（5－6） 当 x很小xe 时 ，(则x1 称xe为1 )2的 (x2 邻xe域2 )2。L因此(x，n 若xen有)2 ，则意味
着 。同理，若方程式S(（ )5－1）的解
x0 S( )
位于球域 x0 内x，e 便有
(t; x0 , t0 )
S( )
（5－7）
表明齐次方程式内初(态t; x0,t0或) 短 暂,t扰动t0 所引起的自由响应应
x& f (x,t)
（5Βιβλιοθήκη Baidu1）
式中，x为n维状态向量，且显含时间变量t； 为线性或非线 性，定常或时变的n维向量函数，其展开式为
x&i fi (x1, x2,L , xn ,（t) ,5i－21）, 2,L , n
式（5－1）的解为
x(t) Φ(t; x0 , t0 )
式中，t0为初始时刻，x(t0 ) 为x0状态向量的初始值
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李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种方法， 即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。
▲李亚普诺夫第一法(简称李氏第一法或间接法)是通过解 系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性， 其基本思路和分析方法与经典控制理论一致。对线性定常系 统，只需解出全部特征根即可判断稳定性；对非线性系统, 则采用微偏线性化的方法处理,即通过分析非线性微分方程 的一次线性近似方程来判断稳定性，故只能判断在平衡状态 附近很小范围的稳定性。
二、渐近稳定（经典控制理论稳定性定义）
如果平衡状态 xe 0 ，在李雅普诺夫意义下是稳定的，并且
始于域S(）的任一条轨迹，当时间t 趋于无穷时，都不脱离 S(），且收敛于 xe 0 ，则称式(4.1）系统之平衡状态 xe 0 为渐近稳定的，其中球域S(）被称为平衡状态 xe 0 的吸引域。 类似地，如果 与t0无关，则称此时之平衡状态 xe 0 为一致
任意两点的和，它们之间距离的范数记为 x x。e
工程中常用的是2－范数: x xe (x1 xe1 )2 (x2 xe2 )2 L (xn xen )2
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在n维状态空间中，若用点集 S( )表示以 x为e 中心、为 半径
内的各点所组成空间体称为超球域，那么， x，S则(表) 示
f (xe,t) 0
（5－4）
成立，则称 xe为系统的平衡状态。由平衡状态在状态空间中所
确定的点，称为平衡点。 式（5－4）为确定式（5－1）所描 述系统平衡状态的方程。
平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为零向量的 点(状态)。由于导数表示的状态的运动变化方向，因此平 衡态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态。
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（5－3）
式（5－3）描述了系统式（5－1）在n维状态空间的状态轨线。
若在式（5－1）所描述的系统中，存在状态点 x，e 当系统运动
到达该点时，系统状态各分量维持平衡，不再随时间变化，
即x& ， 0该类状态点 xxe
即x为e 系统的平衡状态，即
若系统式（5－1）存在状态向量x e，对所有时间t都使
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李雅普诺夫稳定性研究的是平衡态附近(邻域)的运动变化问 题。若平衡态附近某充分小邻域内所有状态的运动最后都趋 于该平衡态，则称该平衡态是渐近稳定的；若发散掉则称为 不稳定的，若能维持在平衡态附近某个邻域内运动变化则称 为稳定的。
平衡态附近(邻域)的运动变化图 第7页/共36页
【例5－1】设系统的状态方程为
是有界的。
x0
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5.2.3 李亚普诺夫稳定性定义 一、李亚普诺夫意义下的稳定
在H邻域内，若对于任意给定的 0 H ，均有：
(t; x0,t0) ,t t0
如果对应于每一个S( )，存在一个 S(，) 使得当t趋于无穷时，
始于 的S(轨)迹不脱离 S(，) 则式(5－1)系统之平衡状态
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5.2 李亚普诺夫稳定性的基本概念 李雅普诺夫稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近
的局部稳定性问题。它是一种具有普遍性的稳定性理论，不 仅适用于线性定常系统，而且也适用于非线性系统、时变系 统、分布参数系统。
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5.2.1 平衡状态
稳定性是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的 性质，与外部输入无关。对于系统自由运动，令输入u=0， 系统的齐次状态方程为
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▲李亚普诺夫第二法（简称李氏第二法或直接法）的 特点是不必求解系统的微分方程式，就可以对系统的 稳定性进行分析判断。该方法建立在能量观点的基础 上：若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则随着系 统的运动，其储存的能量将随时间增长而不断衰减， 直至系统运动趋于平衡状态而能量趋于极小值。由此， 李亚普诺夫创立了一个可模拟系统能量的“广义能量” 函数，根据这个标量函数的性质来判断系统的稳定性。 由于该方法不必求解系统的微分方程就能直接判断其 稳定性，故又称为直接法，其最大优点在于对任何复 杂系统都适用，而对于运动方程求解困难的高阶系统、 非线性系统以及时变系统的稳定性分析，则更能显示 出优越性。
态。
x&1 x&2
x1 x1
x2
，求其平衡状
x23
解：其平衡状态应满足平衡方程式（5－4），即
x&1 x1 0
x&2
x1
x2
x23
0
，即
x1 0
x1
x2
x23
0
解之，得系统存在3个孤立的平衡状态
0
0
0
xe1 0 , xe2 1 , xe13 1
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5.2.2 范数和球域 范数: 定义为度量n维空间中的点之间的距离。对n维空间中
称为x在e 李0 雅普诺夫意义下是稳定的。一般地，实数与有
关，通常也与t0有关。如果 与t0无关，则称此时之平衡状
态
为一xe 致 0稳定的平衡状态。
以上定义意味着：首先选择一个球域S(），对应于每一 个S(），必存在一个球域S(），使得当t趋于无穷时，始 于S(）的轨迹总不脱离球域S(）。
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（5－6） 当 x很小xe 时 ，(则x1 称xe为1 )2的 (x2 邻xe域2 )2。L因此(x，n 若xen有)2 ，则意味
着 。同理，若方程式S(（ )5－1）的解
x0 S( )
位于球域 x0 内x，e 便有
(t; x0 , t0 )
S( )
（5－7）
表明齐次方程式内初(态t; x0,t0或) 短 暂,t扰动t0 所引起的自由响应应
x& f (x,t)
（5Βιβλιοθήκη Baidu1）
式中，x为n维状态向量，且显含时间变量t； 为线性或非线 性，定常或时变的n维向量函数，其展开式为
x&i fi (x1, x2,L , xn ,（t) ,5i－21）, 2,L , n
式（5－1）的解为
x(t) Φ(t; x0 , t0 )
式中，t0为初始时刻，x(t0 ) 为x0状态向量的初始值
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李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种方法， 即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。
▲李亚普诺夫第一法(简称李氏第一法或间接法)是通过解 系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性， 其基本思路和分析方法与经典控制理论一致。对线性定常系 统，只需解出全部特征根即可判断稳定性；对非线性系统, 则采用微偏线性化的方法处理,即通过分析非线性微分方程 的一次线性近似方程来判断稳定性，故只能判断在平衡状态 附近很小范围的稳定性。
二、渐近稳定（经典控制理论稳定性定义）
如果平衡状态 xe 0 ，在李雅普诺夫意义下是稳定的，并且
始于域S(）的任一条轨迹，当时间t 趋于无穷时，都不脱离 S(），且收敛于 xe 0 ，则称式(4.1）系统之平衡状态 xe 0 为渐近稳定的，其中球域S(）被称为平衡状态 xe 0 的吸引域。 类似地，如果 与t0无关，则称此时之平衡状态 xe 0 为一致
任意两点的和，它们之间距离的范数记为 x x。e
工程中常用的是2－范数: x xe (x1 xe1 )2 (x2 xe2 )2 L (xn xen )2
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在n维状态空间中，若用点集 S( )表示以 x为e 中心、为 半径
内的各点所组成空间体称为超球域，那么， x，S则(表) 示
f (xe,t) 0
（5－4）
成立，则称 xe为系统的平衡状态。由平衡状态在状态空间中所
确定的点，称为平衡点。 式（5－4）为确定式（5－1）所描 述系统平衡状态的方程。
平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为零向量的 点(状态)。由于导数表示的状态的运动变化方向，因此平 衡态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态。
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（5－3）
式（5－3）描述了系统式（5－1）在n维状态空间的状态轨线。
若在式（5－1）所描述的系统中，存在状态点 x，e 当系统运动
到达该点时，系统状态各分量维持平衡，不再随时间变化，
即x& ， 0该类状态点 xxe
即x为e 系统的平衡状态，即
若系统式（5－1）存在状态向量x e，对所有时间t都使