C类运筹学 第8章 排队论PPT课件
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排队论
• 排队系统 • M/M/1系统 • M/M/s系统 • M/G/1系统 • 排队 系统经济分析
排队系统/背景:
排队:若顾客想要得到一项服务,而服务器(泛指,也包括人)又在忙,就形 成排队. ➢要减少排队时间,最好是增加服务器,但是增加服务器就会提高成本,我 们希望在两者之间寻求一种平衡,使有关各方都能满意.
Px1 x2 n Px1 j• Px2 n j
j0
(1t) j
e1
t
•
(2t)n j
e2
t
(1
2)ntn
e(12)t
j0 j!
(n Fra Baidu bibliotek)!
n!
泊松输入过程及其特点
• 泊松过程的到达间隔时间为负指数分布
– 令 代表间隔时间，则概率 P{ > t}代表时间区
间(0, t)内没有顾客来的概率；由泊松分布可知
排队长度的决定因素:
1,前来接受服务的顾客的到达速度; 2,一台服务器为一个顾客服务的时间; 3,服务器的个数.
排队系统的形式:
单服务台,多服务台(串联,并联);顾客一个一个到达或成批到达; 顾客随机到达或有规律到达;服务时间是随机的或固定的;先到先服务 或先到后服务等.
概述
• 排队系统的特征： 排队系统又称随机 服务系统
• 排队模型的分类及排队系统的常用符号
肯道尔（D.G.Kendall）分类：A / B / C / D / E
其中： A 顾客到达的分布； B 服务时间的分布； C 服务台数； D 系统容量； E 顾客源的个体数。
表示分布的符号：M----指数分布或泊松输入；D---定长分布；Ek----k阶爱尔朗分布；GI----一般独立 随机分布；G----一般随机分布。
Pk(t)
(t)k
k!
et
– 是到达率
– 电话呼叫的到达，商店的顾客到达，十字路口的汽车流，港 口到达的船只，机场到达的飞机等
泊松输入过程及其特点
(1) 平稳性：顾客到达数只与时间区间长度有关
(2) 无后效性：不相交的时间区间内所到达的顾客数是独立的
(3) 普通性：在 t 时间内到达一个顾客的概率为 t +o(t )，到达
• ①有请求服务的人或物； ②有为顾客服务的人或物； ③顾客到达时间与接受服务时间是随机的。
• 结构： 排队的过程可表示为： 排队系统
顾客到达 排队
服务机构服务 顾客离去
排队系统有三个组成部分
• 输入过程： 顾客总体数（来源无限或有限） 顾客到来方式（单个或成批） 顾客流的概率分布（泊松流、定长、爱尔朗分布等）
两个或两个以上顾客的概率为 o(t )；即两个顾客不可能同时到 达
• 泊松过程具有可迭加性
– 即独立的泊波松分布变量的和仍为波松分布
设 两 个 波 松 分:布Pi为 (t)
(1t)i
i!
e1 t , Pj (t)
(2t) j
j!
e2
t
令n i j, 在(0,t)内 来 到n个 顾 客 的 概 率 为
P0(t)= P{ > t}=et – 故间隔时间 的分布为 P{ t}=1et
马尔科夫链
• 马尔科夫链(Markov Chain)又简称马氏链，是一种离散事件随机 过程。用数学式表达为 P{Xn+1=xn+1| X1=x1, X2=x2, ... , Xn=xn}= P{Xn+1=xn+1| Xn=xn} – Xn+1的状态只与 Xn的状态有关，与 Xn 前的状态无关，具有无 记忆性，或无后效性，又称马氏性 – 状态转移是一步一步发生的，一步状态转移概率
单位时间平均服务顾客数
1. 系统中恰好有 n 个顾客的概率 2. 系统中无顾客的概率 3. 系统中平均排队的顾客数 4. 系统中的平均顾客数 5. 系统中顾客平均的排队等待时间 6. 系统中顾客的平均逗留时间 7. 有效到达率 8. 有效离去率
此外还有：忙、空的概率等变量
Pn P0 Lq Ls Wq Ws
• 排队论研究的内容和目的 —— 提出排队论 关心的问题和需要计算的一些量
研究内容： 数量指标：队长、等待时间和逗留时间
的分布、忙期和闲期的分布、服务设备利用 率、顾客损失率等；
排队系统优化问题：系统最优设计问题 和动态控制问题。 研究目的：通过对排队系统中概率规律的研究， 使系统达到最优设计和最优控制，以最小费 用实现系统的最大效益。
• 服务规则： 损失制（服务台满时顾客立即离去） 等待制（先到先服务，后到先服务，随机服务，优先权） 混合制（队长有限制，排队时间有限制）
• 服务机构： 服务台数量及布置形式（单/多服务台，串、并列或结合） 某一时刻接受服务的顾客数（每服务台每次服务顾客数） 服务时间分布（负指数、定长、爱尔朗分布等）
Pij(t)=P{Xn+1=j| Xn=i}
排队系统应用分类
• 商业服务系统-银行、电信 • 内部服务系统-设备维护、制造系统 • 运输服务系统-高速收费
排队系统的研究方法
• 排队系统的绩效 • 了解排队系统 • 估计顾客到达及服务时间的分布 • 选择排队系统的模型
• 系统的运行指标 —— 提出一般常需要计算的一些量
最常用的量： 单位时间顾客平均到达数
• 典型分布 —— 泊松分布及其性质，负指数分布
泊松分布 (平稳状态） > 0 为单位时间平均 到达的顾客数：
P { I = n } = n e- / n! (n = 0,1,2,……)
负指数分布 为平均服务率，即单位时间服 务的顾客数
P（服务时间≤ t ) = 1- e- t
t ≥0
• 系统状态概率分布及状态转移速度图 ——
基本的概率分布推导
输入过程
• 即顾客到达的分布，可用相继到达顾客的间隔时间描述，也可以 用单位时间内到达的顾客数描述 – 间隔时间服从定长分布 – 单位时间内到达的顾客数服从泊松分布(法国数学家Poisson, 1837) – 间隔时间服从爱尔兰分布 – 一般独立同分布 泊松输入过程及其特点
• (0, t)时间内到达 k 个顾客的个数服从波松分布，若
e e
排队系统输入
泊松输入 — 负指数服务的排队系统 • 对于泊松输入 - 负指数分布服务的排队系统
的一般决策过程： ① 根据已知条件绘制状态转移速度图 ② 依据状态转移速度图写出各稳态概率之间 的关系 ③ 求出 P0 及 Pn ④ 计算各项数量运行指标 ⑤ 用系统运行指标构造目标函数，对系统进 行优化
• 排队系统 • M/M/1系统 • M/M/s系统 • M/G/1系统 • 排队 系统经济分析
排队系统/背景:
排队:若顾客想要得到一项服务,而服务器(泛指,也包括人)又在忙,就形 成排队. ➢要减少排队时间,最好是增加服务器,但是增加服务器就会提高成本,我 们希望在两者之间寻求一种平衡,使有关各方都能满意.
Px1 x2 n Px1 j• Px2 n j
j0
(1t) j
e1
t
•
(2t)n j
e2
t
(1
2)ntn
e(12)t
j0 j!
(n Fra Baidu bibliotek)!
n!
泊松输入过程及其特点
• 泊松过程的到达间隔时间为负指数分布
– 令 代表间隔时间，则概率 P{ > t}代表时间区
间(0, t)内没有顾客来的概率；由泊松分布可知
排队长度的决定因素:
1,前来接受服务的顾客的到达速度; 2,一台服务器为一个顾客服务的时间; 3,服务器的个数.
排队系统的形式:
单服务台,多服务台(串联,并联);顾客一个一个到达或成批到达; 顾客随机到达或有规律到达;服务时间是随机的或固定的;先到先服务 或先到后服务等.
概述
• 排队系统的特征： 排队系统又称随机 服务系统
• 排队模型的分类及排队系统的常用符号
肯道尔（D.G.Kendall）分类：A / B / C / D / E
其中： A 顾客到达的分布； B 服务时间的分布； C 服务台数； D 系统容量； E 顾客源的个体数。
表示分布的符号：M----指数分布或泊松输入；D---定长分布；Ek----k阶爱尔朗分布；GI----一般独立 随机分布；G----一般随机分布。
Pk(t)
(t)k
k!
et
– 是到达率
– 电话呼叫的到达，商店的顾客到达，十字路口的汽车流，港 口到达的船只，机场到达的飞机等
泊松输入过程及其特点
(1) 平稳性：顾客到达数只与时间区间长度有关
(2) 无后效性：不相交的时间区间内所到达的顾客数是独立的
(3) 普通性：在 t 时间内到达一个顾客的概率为 t +o(t )，到达
• ①有请求服务的人或物； ②有为顾客服务的人或物； ③顾客到达时间与接受服务时间是随机的。
• 结构： 排队的过程可表示为： 排队系统
顾客到达 排队
服务机构服务 顾客离去
排队系统有三个组成部分
• 输入过程： 顾客总体数（来源无限或有限） 顾客到来方式（单个或成批） 顾客流的概率分布（泊松流、定长、爱尔朗分布等）
两个或两个以上顾客的概率为 o(t )；即两个顾客不可能同时到 达
• 泊松过程具有可迭加性
– 即独立的泊波松分布变量的和仍为波松分布
设 两 个 波 松 分:布Pi为 (t)
(1t)i
i!
e1 t , Pj (t)
(2t) j
j!
e2
t
令n i j, 在(0,t)内 来 到n个 顾 客 的 概 率 为
P0(t)= P{ > t}=et – 故间隔时间 的分布为 P{ t}=1et
马尔科夫链
• 马尔科夫链(Markov Chain)又简称马氏链，是一种离散事件随机 过程。用数学式表达为 P{Xn+1=xn+1| X1=x1, X2=x2, ... , Xn=xn}= P{Xn+1=xn+1| Xn=xn} – Xn+1的状态只与 Xn的状态有关，与 Xn 前的状态无关，具有无 记忆性，或无后效性，又称马氏性 – 状态转移是一步一步发生的，一步状态转移概率
单位时间平均服务顾客数
1. 系统中恰好有 n 个顾客的概率 2. 系统中无顾客的概率 3. 系统中平均排队的顾客数 4. 系统中的平均顾客数 5. 系统中顾客平均的排队等待时间 6. 系统中顾客的平均逗留时间 7. 有效到达率 8. 有效离去率
此外还有：忙、空的概率等变量
Pn P0 Lq Ls Wq Ws
• 排队论研究的内容和目的 —— 提出排队论 关心的问题和需要计算的一些量
研究内容： 数量指标：队长、等待时间和逗留时间
的分布、忙期和闲期的分布、服务设备利用 率、顾客损失率等；
排队系统优化问题：系统最优设计问题 和动态控制问题。 研究目的：通过对排队系统中概率规律的研究， 使系统达到最优设计和最优控制，以最小费 用实现系统的最大效益。
• 服务规则： 损失制（服务台满时顾客立即离去） 等待制（先到先服务，后到先服务，随机服务，优先权） 混合制（队长有限制，排队时间有限制）
• 服务机构： 服务台数量及布置形式（单/多服务台，串、并列或结合） 某一时刻接受服务的顾客数（每服务台每次服务顾客数） 服务时间分布（负指数、定长、爱尔朗分布等）
Pij(t)=P{Xn+1=j| Xn=i}
排队系统应用分类
• 商业服务系统-银行、电信 • 内部服务系统-设备维护、制造系统 • 运输服务系统-高速收费
排队系统的研究方法
• 排队系统的绩效 • 了解排队系统 • 估计顾客到达及服务时间的分布 • 选择排队系统的模型
• 系统的运行指标 —— 提出一般常需要计算的一些量
最常用的量： 单位时间顾客平均到达数
• 典型分布 —— 泊松分布及其性质，负指数分布
泊松分布 (平稳状态） > 0 为单位时间平均 到达的顾客数：
P { I = n } = n e- / n! (n = 0,1,2,……)
负指数分布 为平均服务率，即单位时间服 务的顾客数
P（服务时间≤ t ) = 1- e- t
t ≥0
• 系统状态概率分布及状态转移速度图 ——
基本的概率分布推导
输入过程
• 即顾客到达的分布，可用相继到达顾客的间隔时间描述，也可以 用单位时间内到达的顾客数描述 – 间隔时间服从定长分布 – 单位时间内到达的顾客数服从泊松分布(法国数学家Poisson, 1837) – 间隔时间服从爱尔兰分布 – 一般独立同分布 泊松输入过程及其特点
• (0, t)时间内到达 k 个顾客的个数服从波松分布，若
e e
排队系统输入
泊松输入 — 负指数服务的排队系统 • 对于泊松输入 - 负指数分布服务的排队系统
的一般决策过程： ① 根据已知条件绘制状态转移速度图 ② 依据状态转移速度图写出各稳态概率之间 的关系 ③ 求出 P0 及 Pn ④ 计算各项数量运行指标 ⑤ 用系统运行指标构造目标函数，对系统进 行优化