类比探究问题(讲义)

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2019河南中考类比探究讲义.

（2）探究证明把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接 MN，
BD，CE，判断△PMN 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸把△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请
直接写出△PMN 面积的最大值．
A
A
E
D
ME
M
P
D
P
B
N
图1
【有关尺规作图】
CB
N
C
图2
1.尺规作图：过一点作已知直线 l 的垂线(保留痕迹，不写作法)
长．
4
A E
A
E
A
D
B
D
CB
CB
C
图1
图2
备用图
5. （2017·河南）如图1，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点 D，E 分别在
边 AB，AC 上，AD=AE，连接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中
点．
（1）观察猜想
图1中，线段 PM 与 PN 的数量关系是___________，位置关系是_________；
边 BD 上，且∠EAF=45°．猜想 EF，BE，DF 之间满足的数量关系，并写出
推理过程．
2. （2016·河南）（1）发现如图1，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC= a ， AB= b ．填空：当点 A 位于_______________时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为__________．（2）应用点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC=3，AB=1．如图2所示，分别以 AB，AC 为边，作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，连接 CD，BE． ①请找出图中与 BE 相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段 BE 长的最大值．（3）拓展如图3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标为 (5 ， 0) ，点 P 为线段 AB 外一动点，且 PA=2 ， PM=PB ， ∠BPM=90°．请直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标．

八年级数学同步拔高第九讲《相似之类比探究》讲义

类比探究之作图、应用(讲义及答案)

C
B
备用图
2
2. 在△ABC 中，CA=CB，∠ACB=α．点 P 是平面内不与点 A，C 重合的任意一点，连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 α 得到线段 DP，连接 AD，BD，CP．（1）观察猜想如图 1，当 α=60°时， BD 的值是__________，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小 CP 角的度数是__________．（2）类比探究如图 2，当 α=90°时，请写出 BD 的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度 CP 数，并就图 2 的情形说明理由．（3）解决问题当 α=90°时，若点 E，F 分别是 CA，CB 的中点，点 P 在直线 EF 上，请直接写出点 C，P，D 在同一直线上时 AD 的值． CP C
AFΒιβλιοθήκη G ENBD
C
图1
F A
M
E N
1
精讲精练
1. 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=2，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，
AD=DE= 1 AB，连接 DE．将△ADE 绕点 A 沿逆时针方向旋转，记旋转角为 θ． 2
（1）问题发现 ①当 θ=0°时， BE _______；②当 θ=180°， BE _______．
（3）已知 BC=10，CE= 2 5 ，正方形 CEFG 绕点 C 旋转的过程中，当 A，F，E 共线时，直接写出△DMG 的面积．
A
D
M
F
G
B
CE
图1
A
D
MF E
G
B
C
图2
A
D
B
C
备用图
4
4. 已知△AOB 和△MON 都是等腰直角三角形（ 2 OA＜OM=ON），∠AOB=∠MON= 2

类比探究 (讲义及答案)

类比探究（讲义）➢ 知识点睛1. 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单到复杂）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主——“条件类似、图形结构类似、问法类似”．2. 类比探究问题的处理思路（1）根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；（2）整体类比上一问，迁移解决下一问．①类比是解决类比探究问题的第一原则，如类比字母、类比辅助线、类比思路；②对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何结构解决问题．类比探究问题中常见几何结构举例旋转结构（手拉手模型）：等线段共端点，考虑旋转，借助全等整合条件．EDC B AEDC B A如图，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，则出现了AB =AC ，AD =AE 等线段共端点的结构．连接BD ，CE ，可以证明△ABD ≌△ACE ，△ACE 可看作是由△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到的．➢ 精讲精练1. 如图，在△ABC ，△CDE 中，∠ACB =∠ECD =90°，CA =CB ，CD =CE ，点D在AB 边上．若AD =5，BD =12，则AE =______，DE =_______．EDCA2.如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E在同一条直线上，连接BD，BE．以下五个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=ED2+EC2；⑤BE2=2(AD2+AB2)，其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5A BD E3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE=AD，连接CE，AF平分∠DAE交BC 于F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若BD=3，CF=4，则DF=_________．EFDBA4.（1）如图1，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，求证：BE=CD．（2）如图2，已知△ABC，以AB，AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，猜想BE与CD有什么数量关系？请说明理由．（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，则BE的长为___________．图1DBACE图2CBEADGF图35. 已知△ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，点D 是等腰直角三角形ABC 斜边AB 所在直线上一点（不与点B 重合）．（1）如图1，当点D 在线段AB 上时，直接写出DA 2，DB 2，DE 2三者之间的数量关系：_______________．（2）如图2，当点D 在线段AB 的延长线上时，（1）中的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程．（3）若点D 满足14AD AB ，直接写出DEDB的值：___________．图1EDCB A图2ECAABC备用图6. 在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，在BC 的同侧作任意Rt △DBC ，∠BDC =90°．（1）若CD =2BD ，M 是CD 中点（如图1），求证：△ADB ≌△AMC ．（2）若CD <BD （如图2），在BD 边上是否存在一点N ，使得△ADN 是以DN 为斜边的等腰直角三角形？若存在，请在图2中确定点N 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．小明在解决此题时，是在BD 上截取BN =CD ，连接AN ．你知道小明是怎么解决的吗？请写出过程．（3）当CD =1，BD =4时，则AD 的长为__________．MOD C BA图1ODBA图27.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF=90°，求证：BE=AF．（2）如图2，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN=90°，求证：AB AN+=．小聪在解决此题时，过点M作AM的垂线，交AB的延长线于点P．你知道小聪是怎么解决的吗？请写出过程．AEB D FC图1ANDB CM图2【参考答案】➢精讲精练1.12，132. C3.（1）略；（2）5，证明略；（3）4.（1）略；（2）BE CD5.（1）222DA DB DE；（2）成立，证明略；（3+=6.（1）略；（2）略；（3）27.（1）略；（2）略。

第11讲相似三角形之类比探究培优班讲义

相似之类比探究（讲义）一、知识点睛● 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主． ● 解决类比探究问题的通常思路解决类比探究问题的核心思想是类比（照搬），类比上一问的思路方法（如照搬字母，照搬辅助线等）．探究变化过程中的不变特征（如常见结构），是类比的前提．● 类比探究中的常见结构平行结构：由比例找平行，构造A 字型或X 型；直角结构：由斜置的直角通过作垂线构造相似三角形．二、精讲精练1. 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若3AFEF=，求CD CG 的值．（1）尝试探究：在图1中，过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是_____________，CG 和EH 的数量关系是_____________，CDCG的值是_________．（2）类比延伸：如图2，在原题的条件下，若AFm EF=（m >0），则CD CG的值是_________（用含m 的代数式表示），试写出解答过程．图3BFE CDA图2ADE F G图1ABCDE F G（3）拓展迁移：如图3，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E是BC 的延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．若ABa CD=，BCb BE=（a >0，b >0），则AF EF 的值是________（用含a ，b 的代数式表示）．2. 数学课上，魏老师出示图1和下面框中条件：（1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得AMDM的值为___________；②在平移过程中，AMDM的值为___________（用含x 的代数式表示）．（2）将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A 落在线段DF 上时，如图3所示，请计算AMDM的值．（3）将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转m 度，090m <≤，原题中的其他条件保持不变，如图4所示，请计算AMDM的值（用含x 的代数式表示）．如图1，两个等腰直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上，∠ABC =∠DEF =90°，AB =1，DE =2．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线AD 于点M ．将图1中的三角板ABC 沿直线l 向右平移，设C ，E 两点间的距离为x ．图2l图1图4图3图3FECDA3. 如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G ．（1）求证：EF =EG ．（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB =a ，BC =b ，求EFEG的值．E (A )BCD FGG FD CBAEEACD FG (B )图1图2图34. 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ，AC =mBC ，CE =nEA （m ，n 为实数）.试探究线段EF 与EG 的数量关系．（1）如图2，当m =1，n =1时，EF 与EG 的数量关系是 ____________．（2）如图3，当m =1，n 为任意实数时，EF 与EG 的数量关系是______________，并证明你的结论．（3）如图1，当m ，n 均为任意实数时，EF 与EG 的数量关系是______________．（写出关系式，不必证明）三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________D A B图1GC E图2G D FEC图3C GBA D F E【参考答案】1.（1）AB =3EH ；CG =2EH ；32（2）2m；提示：过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H （3）ab ；提示：过点E 作EH ∥AB 交BD 的延长线于点H2.（1）①1；②2x（2）提示：过点B 作BE 的垂线交EM 的延长线于点G ，连接AG ，证AG ∥DE ，得△AMG ∽△DME ，所以212AM AG DM DE ===（3）提示：过点B 作BE 的垂线交EM 的延长线于点G ，连接AG ，证AG ∥DE ，得△AMG ∽△DME ，所以2AM AG xDM DE ==．3.（1）提示：证明Rt △FED ≌Rt △GEB (ASA)，所以EF =EG ；（2）成立．理由如下：证明：如图，I HEAB CD FG过点E 分别作BC ，CD 的垂线，垂足分别为H ，I ，证明Rt △FEI ≌Rt △GEH (ASA)，所以EF =EG ；（3）解：如图，MN G (B )FD CAE过点E 分别作BC ，CD 的垂线，垂足分别为M ，N ，证明△GME ∽△FNE ，所以EF bEG a． 4. （1）EF =EG ．（2）EF =1nEG ；作EM ⊥AB 于点M ，EN ⊥CD 于点NN MEC FAG（3）EF =1mnEG ． I H C EF DA BG相似之类比探究（每日一题）姓名_________1．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1）当11211==+AE AC 时，有22321==+AO AD ；（2）当11312==+AE AC 时，有22422==+AO AD ；（3）当11413==+AE AC 时，有22523==+AO AD ；（4）当11=+AE AC n 时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AOAD的一般结论，并给出证明（其中n 是正整数）．OE D CBA2．在图1至图3中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1=∠2=45°．（1）如图1，若AO =OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系．（2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图2，其中AO =OB ．求证：AC =BD ，AC ⊥BD ．（3）将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图3，求BDAC的值． ABD OM NC 1221NM O D BA21C NMO D BA图1图2图33．已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点．连接AC ，BD 交于点P ．（1）如图1，当D 为OA 中点时，求APPC 的值；（2）如图2，当AD :DO =1:m 时，求APPC的值；（3）如图3，把题目中“点C 为OB 中点”改为“BC :CO =1:n ”，当AD :DO =1:m 时，直接写出APPC的值． ABC DOPPODC BA PODC BA 图1图2图34．（1）如图1，已知正方形ABCD ，E 是AD 上一点，F 是BC 上一点，G 是AB 上一点，H 是CD 上一点，线段EF ，GH 交于点O ，∠EOH =∠C ．求证：EF =GH ．（2）如图2，若将“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且AD =mAB ，其他条件不变，探索线段EF 与线段GH 的数量关系并加以证明．（3）根据前面的探究，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题，画出图形，并证明；若不能，说明理由．A BCD EFG HOOHG F EDCBA图1图25．在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，点F 在BC 的延长线上，CM 平分∠DCF ，连接AE ，作EM ⊥AE 交CM 于点M ．（1）如图1，当AB =BC 时，请判断AE 与EM 的数量关系并证明；（2）如图2，当AB =nBC 时，请判断AE 与EM 的数量关系并证明；（3）如图3，把题目中“E 是BC 的中点”改为“BE =mEC ”，当AB =nBC 时，请判断AE 与EM 的数量关系并证明．图3图2图1ABCDFEM ABCDFE MME FDCBA【参考答案】1．解：当11=+AE AC n 时，2=2AO AD n+ FOEDCBA证明如下：过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ∵ 11=+AE AC n ∴1AE EC n =∵ AF ∥BC∴ △AEF ∽△CEB ，△AOF ∽△DOB ∴1AF AE BC EC n ==，AF AOBD OD =∵ D 为BC 的中点 ∴ BD =DC∴2212AF AF AFBD BC nBC===∴2=AOOD n，即：2=2AOAD n+2．解：（1）由题意知∠BOD=∠1=45°，此时△OBD是等腰直角三角形∴OB=BD，OB⊥BD∴AO=BD，AO⊥BD（2）如图2，EFC21NMODBA图2过点B作BE//AC交CD于点E，延长AC，DB交于点F．∴∠DEB=∠DCF=∠1=45°，∠ACO=∠BEO，∠OAC=∠OBE ∴△BED，△FCD是等腰直角三角形∴BD=BE，AC⊥BD∵AO=BO∴△AOC≌△BOE，∴AC=BE∴AC=BD，AC⊥BD（3）如图3，EF21CNMODBA图3过点B作BE//AC交CD于点E，延长AC，DB交于点F．∴∠DEB=∠DCF=∠1=45°，∠ACO=∠BEO，∠OAC=∠OBE ∴△BED、△FCD是等腰直角三角形，且△AOC∽△BOE∴BD=BE，BE OB AC OA=∵OB是OA的k倍∴BE AC=k∴BDk AC=3．解：（1）如图1，E图1BPODCA过点D作DE∥OB交AC于点E，∠ADE=∠O，∠AED=∠ACO∴△ADE∽△AOC∴12 AE AD DE DE AC AO OC BC====又∵DE∥OB∴∠EDP=∠B，∠DEP=∠BCP ∴△DEP∽△BCP∴12 EP DE PC BC==∴AP PC=2（2）如图2，E图2OADPB过点D作DE∥OB交AC于点E，∠ADE=∠O，∠AED=∠ACO ∴△ADE∽△AOC∴11AE AD DE DEAC AO OC BC m====+，1AE ADEC DO m==∵DE∥OB∴∠EDP=∠B，∠DEP=∠BCP ∴△DEP∽△BCP∴11 EP DEPC BC m==+∴12 EPEC m=+设AE =k ，则EC =mk ∴ EP =2mkm + ∴ AP =AE +EP =2222mk mk kk m m ++=++，PC =EC －EP =222mk m k mk mk m m +-=++ ∴AP PC =2m（3）1n m+ 4．证明：（1）如图1，Q N MR 图1OHG FED C BA过点F 作FM ⊥AD 于M ，过点G 作GN ⊥CD 于N则FM =GN =CD =BC ，且GN ⊥FM ，设它们的垂足为Q ，EF ，GN 交于点R ∵ ∠EOH =∠GOF =∠C =90°，∴ ∠OGR =90°-∠GRO =90°-∠QRF =∠OFM ． ∵ ∠GNH =∠FME =90°，FM =GN ， ∴ △GNH ≌△FME ． ∴ EF =GH（2）GH=mEF证明如下：如图2，MNRQ图2AB CDEFGHO过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF，GN交于点R，GN，MF交于点Q∵∠EOH=∠GOF=∠C=90°，∴∠OGR=90°-∠GRO=90°-∠QRF =∠OFM．∵∠GNH=∠FME=90°，∴△GNH∽△FME．∴GH ADEF AB=m，即：GH=mEF（3）A E M DHNCQORFGB如图，已知平行四边形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF，GH交于点O，∠EOH=∠C，AD=mAB，则GH=mEF．证明：如图，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF，GN交于点R、GN，MF交于点Q，在四边形MQND中，∠QMD=∠QND=90°∴∠ADC+∠MQN=180°．∴∠MQN=∠C=∠EOH=∠GOF．∵∠ORG=∠QRF，∴∠HGN=∠EFM．∵∠FME=∠GNH=90°，∴△GNH∽△FME．∴GH GN EF MF=∵AB⋅GN=AD⋅MF∴GN AD FM AB==m∴GHmEF=，即：GH=mEF5．解：（1）AE=EM，理由如下：如图1，G图1ME FDCBA取AB的中点G，连接GE．∵∠AEM=90°∴∠MEC+∠AEB=90°∵∠B=90°∴∠EAG+∠AEB=90°∴∠EAG=∠MEC∵点E，G分别为正方形ABCD的边BC和AB的中点∴AG=EC∵△BGE是等腰直角三角形∴∠AGE=135°∵CM平分∠DCF∴∠ECM=135°∴△AEG≌△EMC∴AE=EM（2）当AB=nBC时，AE=(2n-1)EM，理由如下：如图2，G图2AB CDFEM在AB上截取BG=BE，连接GE，则△BGE为等腰直角三角形∴∠BGE=45°∴∠AGE=∠ECM=135°∵∠AEM=90°∴∠MEC+∠AEB=90°∵∠B=90°∴∠EAG+∠AEB=90°∴∠EAG=∠MEC∴△AEG∽△EMC∴AE AG EM EC=∵AB=nBC，BC=2BE=2EC，BG=BE ∴AG+BG=2nEC∴AG=(2n-1)EC∴AE AGEM EC==(2n-1)∴AE=(2n-1)EM（3）当AB=nBC，BE=mEC时，AE=(mn+n-m)EM，理由如下：如图3，ME FDCBA图3G在AB上截取BG=BE，连接GE，则△BGE为等腰直角三角形∴∠BGE=45°∴∠AGE=∠ECM=135°∵∠AEM=90°∴∠MEC+∠AEB=90°∵∠B=90°∴∠EAG+∠AEB=90°∴∠EAG=∠MEC∴△AEG∽△EMC∴AE AG EM EC=∵BE=mEC∴BC=BE+EC=(m+1)EC ∵AB=nBC，BG=BE∴AG+BG=n(m+1)EC∴AG+mEC=n(m+1)EC ∴AG=(mn+n-m)EC∴AE AGEM EC==(mn+n-m)∴AE=(mn+n-m)EM相似之类比探究（随堂测试）1．已知：在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠A =30°，点P 在AC 上，且∠MPN =90°．当点P 为线段AC 的中点，点M ，N 分别在线段AB ，BC 上时（如图1），过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，可证Rt △PME ∽Rt △PNF ，得出PN（不需证明）．当PCP A ，点M ，N 分别在线段AB ，BC 或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN ，PM 之间的数量关系，并任选一种情况给予证明．图3B NAPMC【参考答案】如图2，如图3中都有结论：PNPM ．理由略HG AMBPCI QC MPANB图1AEFMCPB 图2CPBMA相似之类比探究（作业）2. 原题：如图1，D 是△ABC 的边BC 上一点，过点D 的一条直线交AC 于点F ，交BA 的延长线于点E ．若BD =CD ，CF =2AF ，则EAEB的值是_____________．（1）如图2，在原题的条件下，若BD =CD ，CF =mAF ，则EAEB的值是__________（用含m 的代数式表示），试写出解答过程．（2）如图3，若将原题改为“过点D 的一条直线交AC 的延长线于点F ，交AB 于点E ”，且BD =aCD ，CF =bAF ，则EAEB的值是__________（用含a ，b的代数式表示）．图1BD FEA图2FAE B 图3BCD E A3. 如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO ，交AD 于点F ，OE ⊥OB 交BC 于点E ．（1）求证：△ABF ∽△COE ；（2）如图2，当O 为边AC 中点，2AC AB =时，求OFOE的值；（3）如图3，当O 为边AC 中点，ACn AB=时，请直接写出OFOE的值．DEFBA图2A CED F B图3图1BF D O ECA4. 如图，在△ABC 中，∠A =60°，BD ，CE 分别是AC ，AB 上的高．求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；（3）BC =2ED ．DCAEB【参考答案】1. 原题：12；（1）1m ；（2）1ab；2. 解：（1）略（2）2OF OE=．提示：如图，过点O 作OG ∥AB 交BC 于点G ，证明△AOF ∽△GOEGDEOCFBA（3）OFn OE = 3.（1）略；（2）略；（3）略。

八年级数学类比探究(讲义及答案).

类比探究（讲义）➢知识点睛1.类比：就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式．探究：是指学生在学习情境中通过观察、阅读，发现问题，搜集数据，形成解释，获得答案并进行交流、检验、探究性学习．学习过程的本质类比与探究．2.类比探究问题的处理思路（1）根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；（2）整体类比第一问，迁移解决下一问．①类比是解决类比探究问题的第一原则，如类比字母、类比辅助线、类比思路；②对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何结构解决问题．3.类比探究问题中的常见特征举例手拉手模型：条件：AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE结论：△ABD≌△ACE➢精讲精练1.在△ABC 中，AB=AC，D 是直线BC 上一点，以AD 为一条边在AD 的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：BD=CE；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，求证：BD=CE；（3）如图3，当点D 在线段CB 的延长线上时，上述结论还成立吗？请证明你的猜想．2.（1）操作发现：如图1，D 是等边△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC，以DC 为边在BC 上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图2，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．（3）深入探究：①如图3，当动点D 在等边△ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合），连接DC，以DC 为边在BC 上方、下方分别作等边△DCF 和等边△DCF′，连接AF，BF′，探究AF，BF′与AB 有何数量关系？并证明你探究的结论．②如图4，当动点D 在等边△ABC 边BA 的延长线上运动时，其他作法与图3相同，①中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．33.在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB，点D 是直线AB 上的一点，连接CD，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点 D 在线段AB 上时，请你直接写出AB 与BE 的位置关系为；线段BD，AB，EB 的数量关系为．（2）猜想论证当点D 在直线AB 上运动时，如图2，是点D 在射线AB 上，如图3，是点D 在射线BA 上，请你写出这两种情况下，线段BD，AB，EB 的数量关系，并对图2 的结论进行证明．（3）拓展延伸若AB=5，BD=7，请你直接写出△ADE 的面积．4.（1）如图1，两个等腰三角形△ABC 和△ADE 中，∠BAC=∠DAE，AB=AC，AE=AD，连接BD，CE，则线段BD 和CE 的数量关系是；（2）如图2，两个等腰直角三角形△ABC 和△ADE 中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD 和CE 的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB，AC 为边分别向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE，连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE 和CD 的数量关系及∠PBC+∠PCB 的度数．【参考答案】1. （1）证明略；（2）证明略；（3）成立，BD=CE，证明略．2.（1）AF=BD，证明略；（2）成立，AF=BD，证明略；（3）①AB=AF+BF′，证明略；②不成立，AB=AF-BF′，证明略．3.（1）AB⊥BE，AB=BE+BD；（2）AB=BE-BD，证明略；（3）△ADE 的面积为72 或2．4. （1）BD=CE；（2）BD=CE，BD⊥CE，证明略；（3）BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．类比探究（习题）➢已知，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B，C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF，AD=AF，∠DAF=90°，连接CF．•如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：CF+CD=BC；•如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD 三条线段之间的关系；•如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变，求CF，BC，CD 三条线段之间的关系．➢如图1，点C 在线段AB 上（点C 不与A，B 重合），分别以AC，BC 为边在AB 同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接AE，BD 交于点P．4.观察猜想：①AE 与BD 的数量关系为；②∠APD 的度数为．5.数学思考：如图2，当点C 在线段AB 外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．6.拓展应用：如图3，点E 为四边形ABCD 内一点，且满足∠AED=∠BEC=90°，AE=DE，BE=CE，对角线AC，BD 交于点P，AC=10，则四边形ABCD 的面积为．【参考答案】1. （1）证明略；5.CF-CD=BC；6.CD-CF=BC，证明略．2. （1）①AE=BD；②60°；（2）成立，AE=BD，∠APD=60°，证明略；（3）50．。

类比探究讲义

E GM F D CBA A BCDFME几何中的类比探究（讲义）一、知识点睛1. 几何中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法．类比探究中第一问方法可能不止一种，但总有一种方法是可以照搬到后面几问，其中所涉及的三角形全等、相似，要寻找的比例关系或添加的辅助线均类似．2. 挖掘题干不变的几何特征，根据特征寻方法．常见几何特征及做法：遇中点，____________________________________________；遇直角，____________________________________________．二、精讲精练1. 如图1，在正方形ABCD 和正方形CGEF （CG ＞BC ）中，点B 、C 、G 在同一直线上，点M 是AE 的中点．（1）探究线段MD 、MF 的位置及数量关系，并证明．（2）将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE 恰好与正方形ABCD 的边BC 在同一条直线上，如图2，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转任意角度，如图3，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．图 1 图 2图32. 在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ．作EF ⊥AB 交BD 于点F ，取FD 的中点G ，连接EG 、CG ，如图1，易证EG =CG 且EG ⊥CG ．（1）将△BEF 绕点B 逆时针旋转90°，如图2，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？（2）将△BEF 绕点B 逆时针旋转180°，如图3，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请写出猜想，并加以证明．GMFE DCBA（3）将△BEF 绕点B 逆时针旋转任意角度，如图4，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请写出猜想，并加以证明．ABC DE F G图1图2ABCDE FG图3G FEDCB A图4GF EDCBA3. 如图1，在△ACB 和△AED 中，AC =BC ，AE =DE ，∠ACB =∠AED =90°，点E 在AB 上，点F 是线段BD 的中点，连接CE 、FE ．（1）请你探究线段CE 与FE 之间的数量关系．（2）将图1中的△AED 绕点A 顺时针旋转，使△AED 的一边AE 恰好与△ACB 的边AC 在同一条直线上（如图2），连接BD ，取BD 的中点F ，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．（3）将图1中的△AED 绕点A 顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD ，取BD 的中点F ，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．图3FE D CBAA BCDE F图2图1FED CBA4. 如图1，一副直角三角板满足AB ＝BC ，AC ＝DE ，∠ABC ＝∠DEF ＝90°，∠EDF ＝30°．【操作】将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 交于点Q ．【探究】在旋转过程中，（1）如图2，当1=EA CE 时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明．（2）如图3，当2=EACE 时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明．（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当mEACE =时，EP 与EQ 满足的数量关系式为________________________．图1FC (E )BA (D )Q Q PPEDF AB C图3DF EAB C图25. 如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G ．（1）求证：EF =EG ．（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB =a ，BC =b ，求E F E G的值．图3图2图1G (B )FD CAE EABCDFG GFD C BE (A )6. 如图1，在R t A B C △中，90B A C ∠=°，AD BC ⊥于点D ，点O 是A C 边上一点，连接B O 交A D 于点F ，O E O B ⊥交B C 边于点E ．（1）求证：A B F C O E △∽△；（2）当O 为A C 边中点，2A C A B =时，如图2，求O F O E 的值；（3）当O 为A C 边中点，A C nA B=时，请直接写出O F O E的值．图2图1BF D OE CABDFEO A三、课后作业1. 在正方形ABCD 中，点E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于点F ，连接DF ，点G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ，EG ⊥CG ．（2）将图1中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图1中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，（1）中的结论是否仍然成立? 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．图图图1FE BAACBE FGD D GF E BCA图图2D GFE BCAACBE FGD D C图3DGFE BCAD2. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝5，∠ABC ＝90°．一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC 的中点O 处，将三角板绕点O 旋转，三角板的两直角边分别交AB 、BC 或其延长线于点E 、F ，图1、图2是旋转三角板所得图形的两种情况．（1）三角板绕点O 旋转，△COF 能否成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况（即给出△COF 是等腰直角三角形时BF 的长）；若不能，请说明理由．（2）三角板绕点O 旋转，线段OE 和OF 之间有什么数量关系？用图1或图2加以证明．（3）若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P 处（如图3），当AP ∶AC ＝1∶4时，PE 和PF 有怎样的数量关系？证明你发现的结论．图3A BCEFPABC OEF图2图1FE OCB A【参考答案】一、知识点睛1.几何中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法．类比探究中第一问方法可能不止一种，但总有一种方法是可以照搬到后面几问，其中所涉及的三角形全等、相似，要寻找的比例关系或添加的辅助线均类似．2.挖掘题干不变的几何特征，根据特征寻方法．常见几何特征及做法：遇中点，作倍长、用全等；遇直角，作双垂线（横平竖直），用全等或相似．二、精讲精练1. （1）MD ⊥MF 且MD =MF ．（提示：延长DM 交EF 于点H ，则M 为DH 中点，证△DFH 是等腰直角三角形，即可得MD ⊥MF 且MD =MF ）（2）（1）中的两个结论仍然成立．（提示：延长DM ，交CE 于点P ，连接DF 、PF ，则M 为DP 中点，证△CDF ≌△EPF ，得∠DFC =∠EFP ，DF =PF ，从而∠DFP =∠DFC +∠CFP =∠EFP +∠CFP =90°，△DFP 是等腰直角三角形）（3）（1）中的两个结论仍然成立．（提示：过点E 作AD 的平行线，交DM 的延长线于点Q ，连接DF 、QF ，则M 为DQ 中点，证△CDF ≌△EQF ，得∠DFC =∠EFQ ，DF =QF ，从而∠DFQ =∠DFC +∠CFQ =∠EFQ +∠CFQ =90°，△DFQ 是等腰直角三角形）2. （1）EG =CG ，且EG ⊥CG ．（2）EG =CG ，且EG ⊥CG ．（提示：延长EG 交AD 于点H ，连接CH 、CE ，证△CBE ≌△CDH ，从而得△ECH 是等腰直角三角形）（3）EG =CG ，且EG ⊥CG ．（提示：过点D 作EF 的平行线，交EG 的延长线于点P ，连接CP 、CE ，证△CBE ≌△CDP ，从而得△ECP 是等腰直角三角形）3. （1）CE =．（2）（1）中的结论仍然成立．（提示：延长EF 交BC 于点H ，证△ECH 是等腰直角三角形，从而可得CE ）（3）（1）中的结论仍然成立．（提示：过点B 作DE 的平行线，交EF 的延长线于点P ，连接CP ，证△ACE ≌△BCP ，从而得△ECP 是等腰直角三角形，进而可得CE ）4. （1）EP =EQ ．（提示：过点E 作EM ⊥AB ，EN ⊥BC ，垂足分别为M 、N ，证△EMP≌△ENQ ）（2）EQ =2EP ．（提示：过点E 作EG ⊥AB ，EH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，证△EGP ∽△EHQ ，则12E Q E H C E E PE GE A===，EQ =2EP ）（3）EQ =mEP ．5. （1）提示：证△EDF ≌△EBG ．（2）（1）中的结论仍然成立．（提示：过点E 作EM ⊥BC ，EN ⊥CD ，垂足分别为M 、N ，证△ENF ≌△EMG ）（3）E E b E Ga=．（提示：过点E 作EP ⊥BC ，EQ ⊥CD ，垂足分别为P 、Q ，证△EQF ∽△EPG ，则=E F E Q B C b E GE PA Ba==）6. 解：（1）证明：∵AD ⊥BC ，∴∠DAC +∠C =90°．∵∠BAC =90°，∴∠BAF =∠C ． ∵OE ⊥OB ，∴∠BOA +∠COE =90°． ∵∠BOA +∠ABF =90°，∴∠ABF =∠COE ． ∴△ABF ∽△COE ．（2）过点O 作AC 的垂线，交BC 于点H ． ∵OE ⊥OB ，∴∠EOH +∠BOH =∠FOA +∠BOH =90°， ∴∠EOH =∠FOA ．又∵∠BAC =90°，AD ⊥BC ，∴∠OAF +∠C =∠ABC +∠C =90°，∴∠OAF =∠ABC ，又∵∠ABC =∠OHE ，∴∠OAF =∠OHE ． ∴△OAF ∽△OHE ． ∴O F O AO EO H =．又∵1=2O H A B ，1=2O A A C ，∴=2O F O A A C O EO HA B==．（3）O F n O E=．三、课后作业1. （1）提示：过D 作EF 的平行线，交EG 的延长线于点H ，连接CE ，CH ．证△BEC ≌△DHC ，从而得△ECH 为等腰直角三角形，进而可得EG =CG ，且EG ⊥CG ．（2）（1）中的结论仍然成立．（提示：延长EG 交AD 的延长线于点M ，连接CE ，CM ．证△CBE ≌△CDM ，从而得△ECM 为等腰直角三角形，进而可得（1）中结论．（3）（1）中的结论仍然成立．（提示：过D 作EF 的平行线，交EG 的延长线于点N ，连接CE ，CN ．证△CBE ≌△CDN ，从而得△ECN 为等腰直角三角形，进而可得（1）中结论．2. 解：（1）△COF 能成为等腰直角三角形．①当F 为BC 的中点时，∵点O 为AC 的中点，∴OF ∥AB ，OF =15=22A B ，∠OFC =90°．。

2018中考复习类比探究问题讲义(部分答案)

类比探究（一）——平行、直角（讲义）知识点1. 类比探究一般会围绕一个不变结构进行考查．常见结构有：平行结构、直角结构、旋转结构、中点结构．2. 类比是解决类比探究问题的主要方法．往往会类比字母、类比辅助线、类比结构、类比思路来解决类比探究问题． 3. 常见结构：①平行结构②直角结构③旋转结构G F EDC BA④中点结构DA BMCABC E MNMA平行夹中点 (类)倍长中线中位线精讲精练1. 如图，△ABC 中，点E ，P 在边AB 上，且AE =BP ，过点E ，P 作BC 的平行线，分别交AC 于点F ，Q ，记△AEF 的面积为S 1，四边形EFQP 的面积为S 2，四边形PQCB 的面积为S 3．（1）①若EP =2AE ，则EF :PQ :BC =__________； ②求证：EF +PQ =BC ．（2）若S 1+S 3=S 2，求PEAE的值．（3）若S 3-S 1=S 2，直接写出PEAE的值．QPFE CB AFEDCG (B )AAB=ACDBCD'A2. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 上一动点，设DE =nEA ，连接CE 并延长交AB 于点F ．（1）如图1，当∠BAC =90°，∠B =30°，DE =EA 时，求FBFA的值；（2）如图2，当△ABC 为锐角三角形，DE =EA 时，求FBFA 的值；（3）如图3，当△ABC 为锐角三角形，DE =nEA 时，求FBFA的值．3. 在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ；在Rt △PMN 中，∠MPN =90°．（1）如图1，若点P 与点O 重合且PM ⊥AD ，PN ⊥AB ，分别交AD ，AB 于点E ，F ，请直接写出PE 与PF 的数量关系．（2）将图1中的Rt △PMN 绕点O 顺时针旋转角度α（0°<α<45°）．①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． ②如图3，旋转后，若Rt △PMN 的顶点P 在线段OB 上移动（不与点O ，B 重合），当BD =3BP 时，猜想此时PE 与PF 的数量关系，并给出证明． ③当BD =m ·BP 时，请直接写出PE 与PF 的数量关系．（3）在（2）②的条件下，当∠DPM =15°时，连接EF，若正方形的边长为，请直接写出线段EF 的长．图1MN F E O (P )DCBA 图2A BDO (P )E FNM4. 在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直线MN 过点A 且MN ∥BC ．以点B 为一锐角顶点作Rt △BDE ，图3PA BDO E FNM图3A D NPECBM ∠BDE =90°，且点D 在直线MN 上（不与点A 重合）．如图1，DE 与AC 交于点P ，易证：BD =DP ．（1）在图2中，DE 与CA 的延长线交于点P ，则BD =DP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．（2）在图3中，DE 与AC 的延长线交于点P ，BD 与DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．类比探究（二）——旋转、中点（讲义）知识点1. 若属于类比探究常见结构，调用结构类比解决．若不属于常见结构类型，则需要我们尝试着去寻找不变结构解决问题． ① 根据题干条件，结合支干条件先解决第一问． ② 类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找不变特征、不变结构．③ 结合所求目标，依据不变特征尝试找不变结构，大胆猜测、尝试、验证． 2. 不变结构既是类比迁移的前提，也是类比迁移过程中发现的结果．① 对比连续两问特征，考虑类比的前提条件是否存在；② 对比特征应用方式，考虑在“相同”的条件下，能否进行“相同”的组合；③ 对比结论，往往先从图上验证上一问结论；或者结合图形以及上一问结论的组合方式猜测新结论．在类比的过程中，也会进行适当的探索来解决图形变化过程中的一些新问题，此时要在不变结构的框架下去思考分析．精讲精练1. 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，P 为BC 边上任意一点，Q 为AC 边上一动点，分别以CP ，PQ 为边作等边三角形PCF 和等边三角形PQE ，连接EF ．（1）试探索EF 与AB 的位置关系，并证明．（2）如图2，当点P 为BC 延长线上任意一点时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =m °，P 为BC 延长线上一点，Q 为AC 边上一动点，分别以CP ，PQ 为腰作等腰三角形PCF 和等腰三角形PQE ，使得PC =PF ，PQ =PE ，连接EF ．要使（1）中的结论依然成立，则需要添加怎样的条件？为什么？图1AD NPECBM 图2M BCE PNDA图2QP FCBEA图3QP F CBEA2. 如图1，∠QPN 的顶点P 在正方形ABCD 两条对角线的交点处，∠QPN =α，将∠QPN 绕点P 旋转，旋转过程中∠QPN 的两边分别与正方形ABCD 的边AD 和CD 交于点E 和点F （点F 与点C ，D 不重合）．（1）如图1，当α=90°时，DE ，DF ，AD 之间满足的数量关系是____________；（2）如图2，将图1中的正方形ABCD 改为∠ADC =120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE +DF =12AD ，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN 的边PQ 与射线AD 交于点E ，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE ，DF ，AD 之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．3. 已知直线m ∥n ，点C 是直线m 上一点，点D 是直线n 上一点，CD 与直线m ，n 不垂直，点P 为线段CD 的中点．图1Q P FCBE A图2NQFE P D CB A图1N QPF E DCBA 图3ABCD（1）操作发现：直线l ⊥m ，l ⊥n ，垂足分别为A ，B ，当点A 与点C 重合时（如图1所示），连接PB ，请直接写出线段PA 与PB 的数量关系：____________．（2）猜想证明：在图1的情况下，把直线l 向上平移到如图2的位置，试问（1）中的PA 与PB 的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）延伸探究：在图2的情况下，把直线l 绕点A 旋转，使得∠APB =90°（如图3所示），已知两平行线m ，n 之间的距离为2k ．求证：PA PB k AB ⋅=⋅．图1lmn A (C )BD P 图2PDBCA n m l l m n ACB DP图34. 在Rt △ACB 和Rt △AEF 中，∠ACB =∠AEF =90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE ．特殊发现：如图1，若点E ，F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC =PE 成立（不要求证明）．问题探究：把图1中的△AEF 绕着点A 顺时针旋转．（1）如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（2）如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）记ACk BC=，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形（请直接写出k 的值，不必说明理由）？图1PFEC BAP A BCEF图2图3PCBAF类比探究（三）——探究应用（讲义）知识点A CB1. 类比探究问题往往会在发现不变结构后，应用不变结构去解决新的问题．此时需要先探索分析新问题，在探索过程中，将新问题与不变结构的特征进行对比，寻求“相同”特征．在“相同”特征基础上，构造不变结构来解决问题．备注：图形不完整时，往往会有多种情形．精讲精练1. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1、图2、图3中，AF ，BE 是△ABC 的中线，AF ⊥BE ，垂足为P ，像这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC =a ，AC =b ，AB =c ．特例探索（1）如图1，当∠ABE =45°，c=a =_____，b =_____；如图2，当∠ABE =30°，c =4时，a =________，b =________．归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a 2，b 2，c 2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的结论．拓展应用（3）如图4，在□ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，BE ⊥AC 于点H ，若AD=AB =3，求AF 的长．CFPECFP ECF BPE图1图2图32. BC D A3. 如图，在等边三角形ABC 中，点D 在直线BC 上，连接AD ，作∠ADN =60°，直线DN 交射线AB 于EFBCD A HF E DCB A图4点E ，过点C 作CF ∥AB 交直线DN 于点F ．（1）当点D 在线段BC 上，∠NDB 为锐角时，如图1，求证：CF +BE =CD ．（提示：过点F 作FM ∥BC 交射线AB 于点M ）（2）当点D 在线段BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时，如图2；当点D 在线段CB 的延长线上，∠NDB 为钝角时，如图3，请分别写出线段CF ，BE ，CD 之间的数量关系，不需要证明．（3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，ABC S =△BE =_________，CD =________．图1N MF EDCB A DCABFEN图24. 已知：△ABC 是等腰直角三角形，动点P 在斜边AB 所在的直线上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，其中∠PCQ =90°．探究并解决下列问题：（1）如图1，若点P 在线段AB 上，且AC=1PA则：①PB =___________，PC =____________； ②猜想：PA 2，PB 2，PQ 2三者之间的数量关系为____________．（2）如图2，若点P 在AB 的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程．（3）若动点P 满足13PA PB =，求PCAC的值．图1AB PCQ图2QACP B【参考答案】图3ACBD CABFEN图32.（1）证明略（2）2（3）n2+n；n2-n；-n2+n3.（1）证明略（2）BE=CD+CF；CF=BE+CD（3）8；4或84.（1，2；②222PA PB PQ+=（2）证明略（3）42【参考答案】1.（1）EF⊥AB（2）成立（3）∠QPE=∠CPF=∠B2.（1）DE+DF=AD（2）证明略（3）当点E落在AD上时，DE+DF12AD =；当点E落在AD的延长线上时，DF-DE=12 AD3.（1）PA=PB（2）成立，证明略（3）证明略4.（1）成立，证明略（2）成立，证明略（3）k=【参考答案】1.（1）①1:3:4 ②证明略（2）2（32.（1）2（2）2（3）2n3.（1）PE=PF（2）①成立，证明略；②PE=2PF，证明略；③PE=(m-1)PF（3）4.（1）成立，证明略（2）相等。

类比探究(讲义)

图1AB CDGEF M图2A BCDG EFM图3AB CDG EFM类比探究（讲义）➢ 课前预习1.小明同学碰到如下问题：如图1，在正方形ABCD 和正方形CGEF （CG > BC ）中，点B ，C ，G 在同一直线上，点M 是AE 的中点．（1）探究线段MD ，MF 的位置关系及数量关系，并证明．（2）若将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使D ， C ，G 三点在同一直线上，如图2，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．（3）若将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE 恰好与正方形ABCD 的边BC 在同一直线上，如图3，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．小明同学分析第一问发现，问题关键在于中点的应用．经过尝试，小明成功解决了第（1）问，并将思路记录如下：MD ⊥MF MD =MF等腰Rt △M 为DH 中点FD =FH DFH =90°DM =AD =EH △ADM ≌△EHM 延长DM ，交EF H （平行夹中点）仿照小明的证明方法，你能解决（2）（3）问吗？2. ①如图，在△ABC 中，AF :FB =2:3，延长BC 至点D ，使得BC =2CD ，则AEEC=_________．提示：求比例，找相似．利用平行线构造“A 型”或“X 型”相似是我们常用的一种做法．A BEF②如图，AB =4，射线BM 和AB 相互垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，2BE =DB ，作EF ⊥DE 并截取EF =DE ，连接AF 并延长交射线BM 于点C ．设BE =x ，BC =y ，则y 关于x 的函数解析式是（）A ．124xy x =--B ．21xy x =--C ．31xy x =-- D ．84x y x =-- 提示：结合直角特征考虑分析，可构造一线三等角，利用相似整合信息．➢ 知识点睛类比探究问题的处理思路1. 若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决．类比探究结构举例：中点结构、直角结构、旋转结构、平行结构．2. 若不属于常见结构类型：①根据题干条件，结合_______________先解决第一问．M FE DC B A②类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找______________．③结合所求目标，依据__________，大胆猜测、尝试、验证．➢ 精讲精练1. 已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =1，AB =2，BC =3．（1）如图1，P 为AB 边上的一点，以PD ，PC 为边作□PCQD ，则当点P 与点A 重合时，PQ 的长为__________．（2）如图2，若P 为AB 边上任意一点，以PD ，PC 为边作□PCQD ，请问对角线PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．（3）若P 为AB 边上任意一点，延长PD 到E ，使DE =PD ，再以PE ，PC 为边作□PCQE ，请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．（4）如图3，若P 为直线DC 上任意一点，延长PA 到E ，使AE =nPA （n 为常数），以PE ，PB 为边作□PBQE ，请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．DQCBA (P )图1AP BCQD图2AC D EPQ图3A B CDA B CD2. 已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，点P 是射线CB 上一点（点P 不与点B ，C 重合），线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接QB 交射线AC 于点M ．（1）如图1，当AC =BC ，点P 在线段CB 上时，线段PB ，CM 的数量关系是__________．（2）如图2，当AC =BC ，点P 在线段CB 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图3，若52AC BC ，点P 在线段CB 的延长线上时，CM =2，AP =13，求△ABP 的面积．图1M QPABC图2M QPAB CMC BAPQ图33. （1）问题发现如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．填空：①∠AEB 的度数为___________；②线段AD ，BE 之间的数量关系为___________．图1CDABE（2）拓展探究如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ．请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由．图2MEDCBA（3）解决问题如图3，在正方形ABCD 中，CD．若点P 满足PD =1，且∠BPD =90°，请直接写出点A 到BP 的距离．A BCD图34. 如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC的中点，连接DE ．将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时，=BD AE ______；②当α=180°时，=BDAE______．（2）拓展探究试判断：当0°≤α<360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．图3图2图1ABCAEBDCDECB A【参考答案】 ➢ 课前预习1. 能，证明略2. ①2②A➢ 知识点睛2. ①分支条件 ②不变特征 ③不变特征➢ 精讲精练1. （1）（2）存在，最小值为4．（3）存在，最小值为5．（44)n +． 2. （1）PB =2CM ．（2）成立，证明略．（3）△ABP 的面积为25． 3. （1）①60°；②AD =BE ．（2）AE =2CM +BE ．（3）点A 到BP ．4. （1 （2）0360α︒<︒≤时，AEBD的大小没有变化，证明略．（3）线段BD 的长为5．类比探究（随堂测试）1. 如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G ．（1）求证：EF =EG ．（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB =a ，BC =b ，求EFEG的值．E (A )BC D FGG FDC BAEEACDFG (B )图1图2图3【参考答案】1. （1）证明略．（2）成立，证明略．（3）EF bEG a．。

类比探究(讲义及答案)

类比探究（讲义）➢知识点睛1.类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单到复杂）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主——“条件类似、图形结构类似、问法类似”．2.类比探究问题的处理思路（1）根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；（2）整体类比第一问，迁移解决下一问．①类比是解决类比探究问题的第一原则，如类比字母、类比辅助线、类比思路；②对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何结构解决问题．3.类比探究问题中的常见特征举例手拉手模型：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．EDAB C条件：AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE结论：△ABD≌△ACE➢精讲精练1.如图，在△ABC，△CDE中，∠ACB=∠ECD=90°，CA=CB，CD=CE，点D在AB边上．若AD=5，BD=12，则AE=______，DE=_______．ADEB2. 如图，点D 为等边三角形ABC 内一点，AD =4，BD =3，CD =5．以BD 为一边作等边三角形BDE ，连接CE ．（1）判断△DEC 的形状，并说明理由；（2）求∠ADB 的度数．EDCBA3. 如图，在△ABC ，△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下五个结论：①BD =CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE +∠DBC =45°；④BE 2=ED 2+EC 2；⑤BE 2=2(AD 2+AB 2)，其中正确结论的个数是（） A ．2B ．3C ．4D ．5ABC DE4. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 是BC 上一动点，连接AD ，过点A 作AE ⊥AD ，并且始终保持AE =AD ，连接CE ，AF 平分∠DAE 交BC 于F ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）若BD =3，CF =4，则DF =_________．ECFDBA5. 已知△ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，点D 是等腰直角三角形ABC 斜边AB 所在直线上一点（不与点B 重合）．（1）如图1，当点D在线段AB上时，直接写出DA2，DB2，DE2三者之间的数量关系：_______________．（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，（1）中的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程．（3）若点D满足14ADAB，直接写出DEDB的值：_________．图1ECBA图2ECAA BC备用图6. 在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，在BC 的同侧作任意Rt △DBC ，∠BDC =90°．（1）若CD =2BD ，M 是CD 中点（如图1），求证：△ADB ≌△AMC ．（2）若CD ＜BD （如图2），在BD 边上是否存在一点N ，使得△ADN 是以DN 为斜边的等腰直角三角形？若存在，请在图2中确定点N 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．（提示：在BD 上截取BN =CD ，连接AN ）（3）当CD =1，BD =4时，则AD 的长为__________．MOD CBA图1OD BA图27.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF=90°，求证：BE=AF．（2）如图2，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN=90°，求证：AB+ANAM．（提示：过点M作AM的垂线，交AB的延长线于点P）AEB D FC图1ADNMB C图2【参考答案】➢精讲精练1.12，132.（1）△DEC是直角三角形，理由略；（2）∠ADB=150°3. C4.（1）略；（2）55.（1）222DA DB DE；（2）略；（3+=6.（1）略；（2）存在，证明略；（3）27.（1）略；（2）略。

平行四边形之类比探究(讲义及答案)

平行四边形之类比探究（讲义）➢ 知识点睛1. 类比探究问题的处理思路（1）根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；（2）整体类比第一问，迁移解决下一问．①类比是解决类比探究问题的第一原则，如类比字母、类比辅助线、类比思路；②如果不能类比，分析两问条件变化，寻找不变特征，结合所求目标，依据不变特征，大胆猜测、尝试、验证．注：类比过程中，往往要在不变结构的框架下去思考分析，有时也会进行适当的探索来解决图形变化过程中产生的一些新问题，如有时第3问需要根据前2问发现的不变结构先补全图形，再类比求解． 2. 类比探究问题中的常见结构举例：（1）旋转结构：等线段共端点，补全旋转，利用全等转移条件．D'DCA（2）中点结构A MF E CBANMCB A平行夹中点（类）倍长中线中位线➢ 精讲精练1. 在□ABCD 中，点P 和点Q 是直线BD 上不重合的两个动点，AP ∥CQ ，AD =BD ．（1）如图1，求证：BP +BQ =BC ；（2）请直接写出图2、图3中BP ，BQ ，BC 三者之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，若DQ =1，DP =3，则BC =__________．图1QPDC BA图2QPD C BA图3QPDC BA2. 如图，在等边三角形ABC 中，点D 在直线BC 上，连接AD ，作∠ADN =60°，直线DN 交射线AB 于点E ，过点C 作CF ∥AB ，交直线DN 于点F ．（1）当点D 在线段BC 上，∠NDB 为锐角时，如图1，求证：CF +BE =CD ．（提示：过点F 作FM ∥BC ，交射线AB 于点M ）（2）当点D 在线段BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时，如图2，请猜想线段CF ，BE ，CD 之间的数量关系，并证明．（3）当点D 在线段CB 的延长线上，∠NDB 为钝角时，如图3，则线段CF ，BE ，CD 之间的数量关系为____________．图1N MFEDCB A图2NFEDCBA图3ABCD EF N3. 已知点O 是△ABC 内任意一点，连接OA 并延长到点E ，使得AE =OA ，以OB ，OC 为邻边作□OBFC ，连接OF ，与BC 交于点H ，连接EF ．（1）问题发现如图1，若△ABC 为等边三角形，线段EF 与BC 的位置关系是________，数量关系是__________．（2）拓展探究如图2，若△ABC 为等腰直角三角形（BC 为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确结论再给予证明．（3）解决问题如图3，若△ABC 是等腰三角形，AB =AC =2，BC =3，请你直接写出线段EF 的长．ABCEF HO图1图2F BAOHCE图3F BHOCAE4.△ABC与△CDE是等边三角形，连接AD，取AD的中点P，连接BP并延长至点M，使PM=BP，连接AM，EM，AE，将△CDE绕点C顺时针旋转．（1）如图1，当点D在BC上，点E在AC上时，则△AEM的形状为_____________；（2）将△CDE绕点C顺时针旋转至图2的位置，请判断△AEM的形状，并说明理由；（3）若CD=12BC，将△CDE由图1位置绕点C顺时针旋转α（0°≤α＜360°），当MECD时，请直接写出α的值．图1MP ED CBA图2MPEDCBA备用图CBA【参考答案】 ➢ 精讲精练1. （1）证明略；（2）图2：BQ -BP =BC ，图3：BP -BQ =BC ；（3）4或2． 2. （1）证明略；（2）BE -CF =CD ，证明略；（3）CF -BE =CD ．3. （1）EF ⊥BC ，EF ；（2）不成立，EF ⊥BC ，EF =BC ，证明略；（3）EF ． 4. （1）等边三角形；（2）△AEM 为等边三角形，证明略；（3）=60300α︒︒或．。

类比探究(一)——探究应用(讲义及答案).

类比探究（一）探究应用（讲义）＞知识点睛1.类比探究问题往往会在发现不变结构后，应用不变结构去解决新的问题.此时需要先探索分析新问题，在探索过程中，将新问题与不变结构的特征进行对比，寻求“相同”特征.在“相同”特征基础上，构造不变结构来解决问题.备注：图形不完整时，往往会有多种悄形.＞精讲精练I我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1、图2、图3中，AE. BE是△ABC'的中线，AFA.SE, 垂足为P,像这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a. AC=h, AB=c.特例探索(1)如图1,当ZABE=45。

，c=2yl2时，a= ______ , b=如图2,当ZABE=3Q\(=4 时，a=b= .归纳证明(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想屏，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的结论.拓展应用(3)如图4,在口1BCD中，点E, F分别是AD, BC的中点，BE丄AC于点H,若AD=^ , AB=3.求AF 的长.图1图2图3如图 1,在 RtAABC 中，ZABC=90。

，BD 丄AC 于点求证：AB^=AD AC.如图2,在RtA/iBC 中，ZABC=9G\ D 为SC 边上的BE 丄AD 于点、E,延长BE 交AC 于点F.若 = ff_=l ,求上f 的值.BC DC FC③ 在RtAABC 中，ZABC=90。

,点D 为直线BC 上的动点（点D 不与B, Q 重合），直线BE 丄AD 于点E,交直线AC 于点F.若¥芒=八，请探究并直接写出¥的所有可 BC DCFC能的值（用含H 的式子表示），不必证明.备用图22 (1) D ・点，BDEF 图2C3 如图，在等边三角形ABC中，点D在直线BC _h.连接AD 作ZA£W=60。

，直线DN交射线AB于点E,过点C作CF〃AB交直线DN于点F.(1)当点D在线段BC上，ZNDB为锐角时，如图1,求证:CF+BE=CD.(提示：过点F作FM//BC交射线AB于点M) ⑵ 当点D在线段SC的延长线上，ZNDB为锐角时，如图2；当点D在线段CB的延长线上，/NDB为钝角时，如图3, 分别写出线段CF, BE, CD之间的数a关系，不需要证明.(3)在(2)的条件下，若ZADC=30\BE=图1 C4 已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ,其中ZPCQ=90\探究并解决下列问题：(1)如图1,若点P在线段AB±,且AC=1+历，PA二近,则：®PB=____________ , PC二___________ ；②猜想：用2, PB2, PQ2三者之间的数量关系为___________ .(2)如图2,若点P在的延长线上，在(1)中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程.(3)若动点P满足竺=],求PB 3【参考答案】 2& 2屈 2丽,2^/7 …' +//= 5?(2) (3) 2. 3. (1) (2) (3) (1) (2) (3) 4证明略24. (2) (3) "•+«； «—«； -«-+/? 证明略 BE 二CD+CF ； CF 二BE+CD 8： 4或 8 ①&, 2；②PA^+PB- = PQ- 证明略 4 —。

类比探究 Word 文档

类比探究（讲义）二、精讲精练1. 在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD +BE ．（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE =AD BE ．（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，猜想DE ，AD ，BE 具有怎样的数量关系？并加以证明．2.（1）如图1，已知∠MAN =120°，AC 平分∠MAN ， ∠ABC =∠ADC =90°，则能得到如下两个结论： ①DC =BC ；②AD +AB =AC ．请你证明结论②．（2）如图2，把（1）中的条件“∠ABC =∠ADC =90°”改为“∠ABC +∠ADC =180°”，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，如果D 在AM 的反向延长线上，把（1）中的条件“∠ABC =∠ADC =90°”改为“∠ABC =∠ADC ”，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，你又能得出什么结论，请直接写出你的结论．图1N E CD M 图2A CDE M N B 图1N M DC B A B CD M N图2A B CD M N 图3图3A B C DE MN3.图1，四边形ABCD 是正方形，AB =BC ，∠B =∠BCD =90°，点E 是边BC 的中点，∠AEF =90°，EF 交正方形外角∠DCG 的平分线CF 于点F ．（1）AE 与EF 相等吗？小聪同学的思路是：在AB 上截取BH =BE ，连接HE ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．（2）如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论 “AE =EF ”仍然成立吗？说明理由．（3）如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”是否成立？说明理由．4. 以△ABC 的边AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACD ，AB =AE ，AC =AD ， ∠BAE =∠CAD =90°，M 是BC 中点，连接AM ，DE ．（1）如图1，在△ABC 中，当∠BAC =90°时，求AM 与DE 的数量关系和位置关系．（2）如图2，当△ABC 为一般三角形时，（1）中的结论是否成立，并说明理由．（3）如图3，若以△ABC 的边AB ，AC 为直角边向内作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACD ，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，并说明理由．G A B C DF E 图1图1M ADCE E DA M 图2B MC E AD图3E FD C B A G 图2FD A G 图3【参考答案】 1.∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ∴∠ADC =∠CEB =90° ∴∠3+∠2=90° ∴∠1=∠3在△ADC 和△CEB 中13ADC CEB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△CEB (AAS) ∴AD =CE ，DC =EB ∴DE =CE +DC=AD +BE （2）如图， ∵∠ACB =90° ∴∠1+∠2=90°∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ∴∠ADC =∠CEB =90° ∴∠CBE +∠2=90° ∴∠1=∠CBE 在△ADC 和△CEB 中1ADC CEB CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△CEB (AAS)21B NM EDCA如图， ∵∠ACB =90° ∴∠1+∠2=90° ∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ∴∠ADC =∠CEB =90° ∴∠3+∠2=90° ∴∠1=∠3在△ADC 和△CEB 中13ADC CEB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△CEB (AAS) ∴AD =CE ，DC =EB ∴DE =DC -CE=BE -AD2. （1）证明：如图，在BN 上截取BE=AD ． ∵AC 平分∠DAB ，∠MAN =120°∴△CDA ≌△CBA (AAS) ∴DC =BC ，AD =AB 在△CDA 和△CBE 中DC BC CDA CBE AD EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CDA ≌△CBE (SAS) ∴AC =EC ，AD =EB ∵∠2=60°∴AC=AE=BE+AB =AD+AB（2）成立，证明如下：如图，过C 作CG ⊥AM 于G ，CF ⊥AN 于F ，在BN 上截取BE=AD ．∵CG ⊥AM ，CF ⊥AN ∴CGD CFB ∠=∠∠CDG +∠ADC =180°∠ABC +∠EBC =180°∴∠CDG =∠CBF ，∠ADC =∠EBC 在△CGD 和△CFB 中CDG CBFCGD CFB CG CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CGD ≌△CFB (AAS) ∴CD =CB在△CDA 和△CBE 中CD CB ADC EBC AD EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩=BE +AB =AD +AB（3）不成立，AC=AB -AD3. 解：（1）AE =EF ，理由如下：如图，在AB 上截取BH =BE ，连接HE ． ∵AB =BC ∴AH =EC ∵∠B =90°∴∠1=∠2=45° ∴∠AHE =135° ∵∠BCD =90° ∴∠DCG =90°4321H GA BCD FE图2∵CF 平分∠DCG ∴∠GCF =45° ∴∠ECF =135° ∴∠AHE =∠ECF ∵∠AEF =90°，∠B =90°∴∠AEB +∠3=90°，∠AEB +∠4=90° ∴∠3=∠4在△AHE 和△ECF 中43AH ECAHE ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AHE ≌△ECF (ASA) ∴AE =EF（2）AE =EF 仍成立，理由如下：如图，在AB 上截取BH =BE ，连接HE ． ∵AB =BC ∴AH =EC ∵∠B =90° ∴∠1=∠2=45°∴∠AHE =135° ∵∠BCD =90° ∴∠DCG =90° ∵CF 平分∠DCG ∴∠GCF =45° ∴∠ECF =135° ∴∠AHE =∠ECF ∵∠AEF =90°，∠B =90°∴∠AEB +∠3=90°，∠AEB +∠4=90° ∴∠3=∠4在△AHE 和△ECF 中43AH ECAHE ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AHE ≌△ECF (ASA)H 4123FDBA G∴AE =EF（3）AE =EF 仍成立，理由如下：如图，延长BA 到H ，使BH =BE ，连接HE ． ∵AB =BC ∴AH =EC ∵∠B =90° ∴∠H =45° ∵∠BCD =90° ∴∠DCG =90° ∵CF 平分∠DCG ∴∠1=45° ∴∠H =∠1∵∠AEF =90°，∠B =90°∴∠AEB +∠3=90°，∠AEB +∠2=90° ∴∠2=∠3∵∠HAE +∠2=180°，∠CEF +∠3=180° ∴∠HAE =∠CEF 在△AHE 和△ECF 中1H AH ECHAE CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AHE ≌△ECF (ASA) ∴AE =EF4. 解：（1）DE =2AM ，AM ⊥DE ，理由如下：∴△BMF ≌△CMA (SAS) ∴FB =AC ，∠3=∠4H 123FDAG∴BF ∥AC∴∠FBA +∠BAC =180° ∵∠BAE =∠CAD =90° ∴∠DAE +∠BAC =180° ∴∠FBA =∠DAE ∵AC =AD ∴BF =AD在△FBA 和△DAE 中BF AD FBA DAE AB EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FBA ≌△DAE (SAS) ∴AF =ED ，∠5=∠6 ∴DE =2AM ∵∠BAE =90° ∴∠5+∠7=90° ∴∠6+∠7=90° ∴∠EGA =90° 即AM ⊥DE（2）（1）中的结论成立，理由如下：如图，延长AM 到F ，使MF =AM ，连接BF ，延长MA 交DE 于G ． ∴△BMF ≌△CMA (SAS) ∴FB =AC ，∠3=∠4 ∴BF ∥AC∴∠FBA +∠BAC =180° ∵∠BAE =∠CAD =90° ∴∠DAE +∠BAC =180° ∴∠FBA =∠DAED∵AC =AD ∴BF =AD在△FBA 和△DAE 中BF AD FBA DAE AB EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FBA ≌△DAE (SAS) ∴AF =ED ，∠5=∠6 ∴DE =2AM ∵∠BAE =90° ∴∠5+∠7=90° ∴∠6+∠7=90° ∴∠EGA =90° 即AM ⊥DE（3）（1）中的结论成立，理由如下：如图，延长AM 到F ，使MF =AM ，交DE 于G ，连接BF ．在△BMF 和△CMA 中 BM CM BMF CMA MF MA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BMF ≌△CMA (SAS) ∴FB =AC ，∠FBM =∠ACM ∴BF ∥AC∴∠FBA +∠BAC =180° ∵∠BAE =∠CAD =90° ∴∠DAE +∠BAC =180° ∴∠FBA =∠DAE ∵AC =AD ∴BF =AD在△FBA 和△DAE 中ABF AD FBA DAE AB EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FBA ≌△DAE (SAS) ∴AF =ED ，∠BAF =∠AED ∴DE =2AM ∵∠BAE =90° ∴∠BAF +∠EAF =90° ∴∠AED +∠EAF =90° ∴∠EGA =90° 即AM ⊥DE类比探究每日一题1.（5月5日）如图，CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，且直线CD 经过∠BCA 的内部，点E ，F 在直线CD 上，已知CA =CB 且∠BEC =∠CF A =∠α．（1）如图1，若∠BCA =90°，∠α=90°，问EF =BE -AF 成立吗？说明理由．（2）如图2，若0°<∠BCA <90°，请你添加一个关于∠α与∠BCA 关系的条件，使结论EF =BE -AF 仍然成立．你添加的条件是___________________，并给出证明．（3）如图3，若直线CD 经过∠BCA 的外部，∠α=∠BCA ，请提出EF ，BE ，AF 三条线段数量关系的合理猜想，并给出证明．AB CD EF 图3F A BCD E FE DCBA 图2图12. （5月6日）如图1，在正方形ABCD 和正方形CGEF (CG >BC )中，点B ，C ，G 在同一直线上，点M 是AE 的中点，连接 DM ，FM ．（1）探究线段MD ，MF 的位置及数量关系，并证明．（2）若将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使D ，C ，G 三点在一条直线上，如图2，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE 恰好与正方形ABCD 的边BC 在同一条M图2图1AB CDEFG ABC DEFMG GM FED C B A直线上，如图3，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．3. （5月7日）（1）方法感悟：如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF =45°，连接EF ．求证：DE+BF=EF ．321ED A（2）方法迁移：如图2，将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF =12∠DAB ．试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，AB =AD ，E ，FECF D AB图2分别为DC ，BC 上的点，满足∠EAF =12∠DAB ，试猜想当 ∠ABC 与∠D 满足什么关系时，可使得DE +BF =EF ．请直接写出你的猜想．（4）延伸：如图4，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，CB 延长线上的点，且满足∠EAF =45°，连接EF ．求证：DE BF=EF ．图3BF ED A图4C FB A DE【参考答案】1. 解：（1）EF =BE -AF 成立．理由如下：如图1： ∵∠BEC =90° ∴∠1+∠2=90° ∵∠BCA =90° ∴∠2+∠3=90° ∴∠1=∠3∴在△BCE 和△CAF 中=13BEC CFABC CA ∠∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△CAF （AAS ） ∴BE =CF ，CE =AF ∴EF =CF -CE=BE -AF（2）增加条件是∠α+∠BCA=180°，理由如下：如图2：∵∠1+∠2+∠α=180°∴∠1=180°-∠α-∠2 ∵∠BCA =∠2+∠3 ∠α+∠BCA =180° ∴∠3=180°-∠α-∠2 ∴∠1=∠3∴在△BCE 和△CAF 中13BEC CFA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△CAF （AAS ） ∴BE =CF ，CE =AF ∴EF =CF -CE图1A B CDEF123图2F ED CB A123ECB A123=BE -AF（3）EF =BE +AF ，理由如下：如图3：∵∠α+∠1+∠2=180° ∴∠1=180°-∠α-∠2 ∵∠BCA =∠α ∴∠2+∠α+∠3=180° ∴∠3=180°-∠α-∠2 ∴∠1=∠3∴在△BCE 和△CAF 中13BEC CFA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△CAF （AAS ） ∴BE =CF ，CE =AF∴EF =FC +CE=BE +AF 2. 解：（1）MD =MF 且MD ⊥MF ，理由如下：如图1：延长DM 交EF 于点N ．在正方形ABCD 和正方形CGEF 中， AD =CD ，FC =FE ，∠ADC =∠CFE =90° ∴∠ADF =∠CFE =90° ∴AD ∥EF ∴∠1=∠2∵M 是AE 的中点 ∴AM =EM在△ADM 和△ENM 中12=3=4AM EM ∠=∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△ADM ≌△ENM （ASA ） ∴AD =EN ，DM =NM ∵AD =CDN 4321图1GM FE DC BA∴CD =EN ∴FC -CD =FE -EN 即FD =FN ∵DM =NM∴MD ⊥MF ，∠DFM =12∠DFN =45° ∴∠DFM =∠FDM =45° ∴MD =MF（2）MD ⊥MF 且MD =MF ．理由如下：如图2：延长DM 交GE 于点N ，连接FD ，FN ．在正方形ABCD 和正方形CGEF 中，AD =CD ，FC =FE ∠ADC =∠G =∠CFE =∠NEF =90°∴AD ∥GE ，∠DCF =∠NEF =90°∴∠1=∠2 ∵M 是AE 中点 ∴AM =EM在△ADM 和△ENM 中1234AM EM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△ADM ≌△ENM （ASA ） ∴AD =EN ，DM =NM ∵AD =CD ∴CD =EN在△FCD 和△FEN 中===FC FEDCF NEF CD EN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△FCD ≌△FEN （SAS ） ∴FD =FN ，∠5=∠6 ∵∠CFE =90° ∴∠6+∠CFN =90° ∴∠5+∠CFN =90°N654321图2BAC DEFMG即∠DFN =90° ∵DM =NM∴MD ⊥MF ，∠DFM=12∠DFN=45° ∴∠MDF =∠DFM =45° ∴MD =MF（3）（1）中的两个结论不变．理由如下：如图3：延长DM 交CE 于N ，连接FD ，FN ．在正方形ABCD 中，AD =CD ，AD ∥BC ，∠DCB =90°∴∠DCE =90°，∠1=∠2 在正方形CGEF 中， ∠CFE =90°，∠FCE =∠FEC =45°，FC =FE∴∠DCF=∠NEF =45° ∵M 为AE 中点 ∴AM =EM在△ADM 和△ENM 中1234AM EM =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠∠∴△ADM ≌△ENM （ASA ） ∴AD =EN ，DM =NM ∵AD =CD ∴CD =EN在△FDC 和△FNE 中CD EN DCF NEF FC FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FDC ≌△FNE （SAS ） ∴∠5=∠6 ∵∠CFE =90° ∴∠6+∠CFN =90° ∴∠5+∠CFN=90° 即∠DFN=90°N 654321图3AC DEF MG B∵DM =NM∴FM ⊥DM ，∠DFM=12∠DFN=45° ∴∠MDF =∠DFM =45° ∴MD =MF3. （1）观察到所求为DE +BF =EF ，是线段和的形式，所以考虑截长补短，根据图中提示，辅助线描述为：延长CB 至点G ，使得BG =DE ，连接AG ．在正方形ABCD 中，AB =AD ，∠ABC =∠ABG =∠BAD =∠D =90° 在△ABG 和△ADE 中AB AD ABG ADE BG DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABG ≌△ADE （SAS ） ∴∠1=∠2，AG =AE ∵∠EAF =45° ∴∠2+∠3=45° ∴∠1+∠3=45° 即∠GAF =∠EAF 在△GAF 和△EAF 中AG AE GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△GAF ≌△EAF （SAS ） ∴GF =EF ∴DE +BF =EF（2）照搬第一问的辅助线、字母、解题方法解决此问．如图，延长CB 至点G ，使得BG =DE ，连接AG ．由题意可知 AB =AD ，∠ABC =∠ABG =∠D =90° 在△ABG 和△ADE 中AB AD ABG ADE BG DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABG ≌△ADE （SAS ） ∴∠1=∠2，AG =AE ∵∠EAF =12∠DAB G 132AB D E∴1232DAB ∠+∠=∠ ∴1132DAB ∠+∠=∠ 即∠GAF =∠EAF 在△GAF 和△EAF 中AG AE GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△GAF ≌△EAF （SAS ） ∴GF =EF ∴DE +BF =EF（3）∠B +∠D =180°（4）观察到所求为DE -BF =EF ，是线段差的形式，所以同样考虑截长补短，可用截长的方法．如图，在DE 截取DG =BF ，连接AG ．在正方形ABCD 中， AD =AB ，∠D =∠ABC =∠ABF =∠BAD =90° 在△ABF 和△ADG 中 BF DGABF D AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△ADG （SAS ）∴∠1=∠2，AF =AG ∵∠2+∠BAG =90° ∴∠1+∠BAG =90° 即∠GAF =90° ∵∠EAF =45°∴∠GAE =∠F AE =45° 在△AFE 和△AGE 中AF AG FAE GAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFE ≌△AGE （SAS ） ∴EF =GE ∴DE -EF =BF类比探究（随堂测试）1.在正方形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°，P 是CD 边上一点，连接PA ，过点B ，D 作BE ⊥PA ，DF ⊥PA ，垂足分别为E ，F ，如图1．（1）请探究BE ，DF ，EF 这三条线段有怎样的数量关系？ 21G FD CBA A EF PD（2）若点P在DC的延长线上，如图2，则这三条线段又具有怎样的数量关系？（3）若点P在CD的延长线上，如图3，则这三条线段又具有怎样的数量关系？【参考答案】1.证明略提示：（1）BE=DF+EF ，由垂直转互余可以得到∠ABE =∠DAF ，结合正方形的边AB=DA 证明△AEB ≌△DF A ，得到对应边相等，可以得到BE=DF+EF ．（2）BE=DF -EF ，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到BE=DF -EF ．（3）BE=EF -DF ，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到BE=EF -DF ．类比探究（作业）1. 已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AC ⊥CE ，BC =DE ．如图1．（1）求证：AC =CE ．（2）若将CD 沿CB 方向平移，如图2，其余条件不变，结论AC 1=C 2E 还成立吗？请说明理由．（3）若将CD 沿CB 方向平移，如图3，其余条件不变，结论AC 1=C 2E 还成立吗？请说明理由．图3图2图1AC DEEDAEDB (C 2)AC 2C 1C 12. 如图1所示，在△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ， ∠BAC =∠DAE ，且点B ，A ，D 在一条直线上，连接BE ，CD ， M ，N 分别为BE ，CD 的中点，连接AM ，AN ，MN ．（1）求证：①BE =CD ；②△AMN 是等腰三角形．（2）在图1的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图2所示的图形．（1）中的两个结论是否仍然成立，若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．图2图1ABCDEMNN M D C BA【参考答案】1.证明略提示：（1）AC=CE，由垂直转互余可以得到∠A=∠DCE，结合BC=DE证明△ABC≌△CDE，得到对应边相等，可以得到AC=CE．（2）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到AC1=C2E．（3）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到AC1=C2E．2.证明略提示：（1）由已知条件先证明△BAE≌△CAD(SAS)，得到BE=CD，结合第一次全等提供的条件证明△ABM≌△ACN(SAS)得到AM=AN，因而△AMN 是等腰三角形．（2）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到BE=CD，△AMN 是等腰三角形．。

类比探究问题(讲义及答案)

类比探究问题（讲义）➢ 课前预习1. 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主．2. 解决类比探究问题的一般方法：（1）根据题干条件，结合_______________先解决第一问；（2）用解决_______的方法类比解决下一问，整体框架照搬．整体框架照搬包括_________________，________________， _________________．3. 用铅笔做讲义第1，2题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．➢ 知识点睛1. 类比探究属于几何综合题，类比（__________，___________，___________）是解决此问题的主要方法，做好类比需要把握变化过程中的____________． 2. 类比探究问题中常见结构举例①旋转结构AB=AC DCD'A②中点结构ABCE MDA BMCNM A（类）倍长中线平行夹中点中位线➢ 精讲精练1. 原题：如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF =45°，连接EF ，易证EF =BE +DF ．图1B CDEFA（1）类比引申：如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°，∠B +∠D =180°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°，连接EF ，则原题中的结论是否仍然成立？请说明理由．AF E DCB 图2（2）联想拓展：如图3，在△ABD 中，∠BAD =90°，AB =AD ，点E ，F 均在边BD 上，且∠EAF =45°．猜想EF ，BE ，DF 之间满足的数量关系，并写出推理过程．图3B DEF A2. 在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A < 45°，O 为AB 的中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O 重合，一边OE 经过点C ，另一边OD 与AC 交于点M ．（1）如图1，当∠A =30°时，求证：222MC AM BC =+．（2）如图2，当∠A ≠30°时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由．（3）如图3，将三角板ODE 绕点O 旋转，若直线OD 与线段AC 的延长线相交于点M ，直线OE 与线段CB 的延长线相交于点N ，连接MN ，则MN 2=AM 2+BN 2成立吗？请说明理由．N 图3E B C O MD A图1EBCOMD AADMO CBE图23.已知P是Rt△ABC的斜边AB上一动点（不与点A，B重合），分别过点A，B向直线C P作垂线，垂足分别为点E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是___________，QE与QF的数量关系是______________．图1B CQ(P)EFA（2）如图2，当点P不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．A FEPQCB 图2（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？请画出图形并给予证明．4.某校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程．（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是___________．（填写序号）①12AF BA AG==；②MD=ME；③MD⊥ME．（2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量关系和位置关系？请给出证明．（3）类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则△MED是_____________三角形．【参考答案】➢课前预习图1CD EF GMBA图2C DEMA图3AB CME2.（1）分支条件（2）第一问；照搬字母，照搬辅助线，照搬思路➢知识点睛1.类比字母，类比辅助线，类比思路，不变特征➢精讲精练1.（1）原题中的结论仍成立，理由略提示：延长CD到点G，使DG=BE，证明△ABE≌△ADG（SAS）；再证明△AEF≌△AGF（SAS），得EF=FG=BE+DG。

类比探究题训练讲义

清艳金榜一对一清艳·金榜一对一学科教师辅导讲义柏拉图说：“数学是一切知识中的最高形式”学生姓名：年级：九年级老师：刘琳莹上课日期：上课时间：课次：类比探究题训练【学习目标】：知识点、考点：1、解决类比探究问题的处理思路；2、类比探究题渗透思想方法；3、类比探究题解题策略；重点、难点：1、解决类比探究问题的处理思路；2、类比探究题渗透思想方法；3、类比探究题解题策略；【学习内容】：知识网络详解：一、解决类比探究问题的处理思路1.若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决．类比探究结构举例：中点结构、直角结构、旋转结构、平行结构．2.若不属于常见结构类型：①根据题干条件，结合_______________先解决第一问．②类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找______________．③结合所求目标，依据__________，大胆猜测、尝试、验证．二、渗透思想方法：特殊到一般、类比、化归三、解题策略：运用特殊情况解答中所积累的经验和知识，进一步完成一般情况。

经典例题解析：【例1】如图1，已知正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于点F，- 1 -- 2 -QM交AD于点E，易证ME=MF．（1）如图2，若将题干中的“正方形”改为“矩形”，且AB:BC=1:2，其他条件不变，则ME和MF之间的数量关系为( )A. B. C. D.【变式训练】1、（上接第1题）（2）如图3，若将题干中的“正方形”改为“菱形”，且∠QMN=∠ABC，其他条件不变，若要证明ME=MF，下列添加的辅助线合适的是( )A.如图，过点M分别作MG⊥AB于点G，MH⊥AD于点HB.如图，过点M作MG∥AD，交AB于点G，作MH∥AB，交AD于点HC.如图，过点M作MG∥AD，交AB于点G，作MH⊥AD于点HD.如图，连接CE，CF2.（上接第1，2题）（3）如图4，若将题干中的“正方形”改为“平行四边形”，且∠QMN=∠ABC，AB:BC=m，其他条件不变，清艳金榜一对一- 3 -则的值为( )A.mB.C.D.【例2】课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB, ∠DAB ＝60°, ∠B与∠D互补，求证：AB＋AD＝ 3 AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B＝∠D”, 如图2，可证AB＋AD＝ 3 AC．（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过Ｃ点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）【变式训练】（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．【例3】如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．⑴求证：CE＝CF；⑵在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？- 4 -清艳金榜一对一- 5 -⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，求DE 的长．【变式训练】（1）如图1，在正方形ABCD 中，点E ，H 分别在BC ，AB 上，若AE ⊥DH 于点O ，求证：AE=DH ；类比探究：（2）如图2，在正方形ABCD 中，点H ，E ，G ，F 分别在AB ，BC ，CD ， DA 上，若EF ⊥HG 于点O ，探究线段EF 与HG 的数量关系，并说明理由；综合运用：（3）在（2）问条件下，HF ∥GE ，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO ，求图中阴影部分的面积。

类比探究(二)——旋转、中点(讲义)

类比探究（二）——旋转、中点（讲义）➢知识点睛1.类比探究问题的处理思路（1）根据题干条件，结合_______________先解决第一问．（2）尝试类比解决下一问，探索过程中确定__________．①如果能类比，根据条件变化，则确定______________．②如果不能类比，分析两问间关系，__________________，并尝试、验证．注：类比过程中，往往要在不变结构的框架下去思考分析，有时也会进行适当的探索来解决图形变化过程中产生的一些新问题．比如在第3问，会需要根据前2问发现的不变结构去补全图形．2.常见结构（1）旋转结构（2）中点结构平行夹中点（类）倍长中线中位线➢精讲精练1.（1）【探究发现】如图1，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠EOF=90°，将∠EOF绕点O旋转，旋转过程中，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合），则CE，CF，BC之间满足的数量关系是______________________________．（2）【类比应用】如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“∠BCD=120°的菱形ABCD”，其他条件不变，当∠EOF=60°时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．（3）【拓展延伸】如图3，∠BOD=120°，OD=34，OB=4，OA平分∠BOD，ABOB＞2OA，点C是OB上一点，∠CAD=60°，求OC的长．ABCDO图32.（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：①ACBD的值为_____________；②∠AMB的度数为_____________．（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断ACBD的值及∠AMB的度数，并说明理由．（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD=1，OB C与点M重合时AC的长．3. 如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC的中点，连接DE ．将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时，=BD AE ______；②当α=180°时，=BDAE______．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AEBD的大小有无变化？仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．4. 问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，则AC =12AB ．探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．（1）如图1，连接AB 边上中线CE ，由于CE =12AB ，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE 与CE 之间的数量关系为___________．（2）如图2，点D 是边CB 上任意一点，连接AD ，作等边△ADE ，且点E 在∠ACB 的内部，连接BE ．试探究线段BE 与DE 之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．（3）当点D 为边CB 延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE 与DE 之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论___________．拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(，1)，点B 是x 轴正半轴上的一动点，以AB 为边作等边△ABC ．当点C 在第一象限内，且B (2，0)时，求点C 的坐标．备用图ABC上，AD=AE，连接DC，BE，点P为DC的中点．（1）【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是__________，位置关系是__________．（2）【探究证明】把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，不成立请说明理由．（3）【拓展延伸】若AD=4，AB=，使△ADE绕点A在平面内自由旋转．①在△ADE绕点A在平面内自由旋转过程中，请直接写出线段AP长度的最大值和最小值；②当C，D，E三点共线时，请直接写出BE的长度．∠DEA=90°，连接BD，点F是BD的中点，连接CF，EF．（1）观察猜想图1中，线段CF与EF的数量关系是_________，位置关系是____________；（2）探究证明把△DEA绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（3）拓展延伸把△DEA绕点A在平面内自由旋转，若AC=，AD=2，请直接写出当点B，D，E在一条直线上时CE的长．【参考答案】1. （1）CE +CF =BC ；（2）不成立，CE +CF =12BC ，证明略；（3）OC 的长为14． 2. （1）①1；②40°；（2）AC BD=AMB =90°；证明略；（3）线段AC 的长为3. （1 （2）AF BE的大小无变化，证明略；（3）线段BD 的长为5． 4. （1）BE =CE ；（2）BE =DE ，证明略；（3）BE =DE ；点C 的坐标为(1，2)．5. （1）AP =12BE ，AP ⊥BE ；（2）仍然成立，证明略；（3）①AP 的最大值为22；②线段BE 的长为或 6. （1）CF =EF ；CF ⊥EF ；（2）仍然成立，理由略；（3）CE 的长为2或4．。

类比探究(讲义及答案)

图1AB C D GEFM图2ABCDGEFM图3AB CDG EFM类比探究（讲义）➢ 课前预习1. 小明同学碰到如下问题：如图1，在正方形ABCD 和正方形CGEF （CG ＞BC ）中，点B ，C ，G 在同一直线上，点M 是AE 的中点．（1）探究线段MD ，MF 的位置关系及数量关系，并证明．（2）若将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使D ， C ，G 三点在同一直线上，如图2，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．（3）若将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE 恰好与正方形ABCD 的边BC 在同一直线上，如图3，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．小明同学分析第一问发现，问题关键在于中点的应用．经过尝试，小明成功解决了第（1）问，并将思路记录如下：MD ⊥MF ，MD =MF等腰Rt △DFH ，M 为DH 中点FD =FH ，∠DFH =90°DM =MH ，AD =EH △ADM ≌△EHM延长DM ，交EF 于点H （平行夹中点）仿照小明的证明方法，你能解决（2）（3）问吗？扫一扫看视频对答案2. ①如图，在△ABC 中，AF :FB =2:3，延长BC 至点D ，使得BC =2CD ，则AEEC=_________．提示：求比例，找相似．利用平行线构造“A 型”或“X 型”相似是我们常用的一种做法．A BDCEF②如图，AB =4，射线BM 和AB 相互垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，2BE =DB ，作EF ⊥DE 并截取EF =DE ，连接AF 并延长交射线BM 于点C ．设BE =x ，BC =y ，则y 关于x 的函数解析式是（）A ．124xy x =--B ．21xy x =--C ．31xy x =-- D ．84x y x =-- 提示：结合直角特征考虑分析，可构造一线三等角，利用相似整合信息．M FE DC B A➢知识点睛类比探究问题的处理思路1.若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决．类比探究结构举例：中点结构、直角结构、旋转结构、平行结构．2.若不属于常见结构类型：①根据题干条件，结合_______________先解决第一问．②类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找______________．③结合所求目标，依据__________，大胆猜测、尝试、验证．➢精讲精练1.已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3．（1）如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作□PCQD，则当点P与点A重合时，PQ的长为__________．（2）如图2，若P为AB边上任意一点，以PD，PC为边作□PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．（3）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE，PC为边作□PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．（4）如图3，若P为直线DC上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE，PB为边作□PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．A(P)DQCB图1AP BCQD图2AB C D EPQ图3A B CDA B CD2. 已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，点P 是射线CB 上一点（点P 不与点B ，C 重合），线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接QB 交射线AC 于点M ．（1）如图1，当AC =BC ，点P 在线段CB 上时，线段PB ，CM 的数量关系是__________．（2）如图2，当AC =BC ，点P 在线段CB 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图3，若52AC BC ，点P 在线段CB 的延长线上时，CM =2，AP =13，求△ABP 的面积．图1M QPABC图2M QPAB CMC BAPQ图33. （1）问题发现如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．填空： ①∠AEB 的度数为___________；②线段AD ，BE 之间的数量关系为___________．图1CDABE（2）拓展探究如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB = ∠DCE =90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ．请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由．图2MEDCBA（3）解决问题如图3，在正方形ABCD 中，CD =2．若点P 满足PD =1，且∠BPD =90°，请直接写出点A 到BP 的距离．A BCD图34. 如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ．将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现 ①当α=0°时，AEBD=______；②当α=180°时，AEBD=______．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．图3图2图1ABCAEBDCD ECB A【参考答案】 ➢ 课前预习1. 能，证明略2. ①2②A➢ 知识点睛2. ①分支条件 ②不变特征 ③不变特征➢ 精讲精练1. （1）25．（2）存在，最小值为4．（3）存在，最小值为5．（4）存在，最小值为2(4)2n +． 2. （1）PB =2CM ．（2）成立，证明略．（3）△ABP 的面积为25． 3. （1）①60°；②AD =BE ．（2）AE =2CM +BE ．（3）点A 到BP 的距离为312+或312-． 4. （1）①52；②52．（2）0360α︒<︒≤时，AEBD的大小没有变化，证明略．（3）线段BD 的长为45或1255．。