1.2 函数及其表示 教学设计 教案
1.2函数及其表示教案
函数及其表示考点同步解读1.本节课通过学习函数的解析式，进一步掌握数学中的思想方法。
2.通过理解分段函数的概念，了解函数表达的的多样性，加深对函数概念的理解。
3.能描绘出分段函数的大致图像并正确求出分段函数在某点的函数值。
核心素养聚焦1.许多函数均可用几种不同的方式表示，因而学习函数的表示也是领悟数学思想方法（如数形结合、化归等）、学会根据问题需要选择表示方法的重要过程。
2.函数的不同表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念，提高学生数学抽象的素养。
一．教学目标1．知识与技能（1）明确函数的三种表示方法；（2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用．2．过程与方法：学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程．3．情态与价值让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法。
二．教学重难点1、教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．2、教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．三．教学准备1．学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．2．教学用具：圆规、三角板、投影仪．四．教学过程（一）创设情景，揭示课题．我们在前两节课中，已经学习了函数的定义，会求函数的值域，那么函数有哪些表示的方法呢？这一节课我们研究这一问题．（二）研探新知1．函数有哪些表示方法呢？(回顾上节课所举的三个事例得出答案。
)（表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种）2．明确三种方法各自的特点？（解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域．列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值、图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况）（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．例3．某种笔记本的单价是5元，买}{(1,2,3,4,5)x x ∈个笔记本需要y 元，试用三种表示法表示函数()y f x =．分析：注意本例的设问，此处“()y f x =”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．解：（略）注意：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；②解析法：必须注明函数的定义域；③图象法：是否连线；④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．例4．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？解：（略）注意：①本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点：②本例能否用解析法？为什么？例5．画出函数||的图象y x解：（略）例6．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算），已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义，根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．解：（略）注意：①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；②象例5、例6中的函数，称为分段函数．③分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（四）知识拓展设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射。
教学设计2：2.1.2 函数的表示方法
2.1.2 函数的表示方法（一）缺点：抽象、不直观图像法：优点：直观形象地表示出函数值的变化情况。
缺点：不准确以上是函数的三种表示方法请同学举出生活中或者以前的学习中所接触的函数的表示法 例如银行利率表、列车时刻表等等，一般的，“离散型”问题常用列表法 又如股票图等，用图象法则有效的反映了两个变量之间的关系.例1某洗衣店中，每洗一次衣服需要付费4元，若在这一家店洗衣10次，则其后可以免费洗一次，若某人在这店中洗了15次衣服． （1）根据题意填写下表：洗衣次数n 5 9 10 11 15 洗衣费用c（2）写出当n ≤15时函数的解析式． 解：（1）洗衣次数n 5 9 10 11 15 洗衣费用c2036404056（2）当洗衣次数n ≤10（n ∈N *）时，c ＝4n ； 当洗衣次数11≤n ≤15（n ∈N *）时，c ＝4(n —1)即 ⎩⎨⎧∈≤≤-∈≤≤=Nn n n N n n n c 且且1511),1(4101,4．在定义域的不同部分上，有不同的解析式，这样的函数叫做分段函数．分段函数是一个函数，每一段及其他的解析式只是这个函数整体的一部分.例2 如图，梯形OABC 各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(6，0)，B(4，2)，C(2，2)．一条与y 轴平行的动直线l 从O 点开始作平行移动，到A 点为止．设直线l 与x 轴的交1500 1Oyx点为M ，OM ＝x ，记梯形被直线l 截得的在l 左侧的图形的面积为y ．求函数y ＝f (x )的解析式、定义域、值域以及f [f (72)]的值．解：（1）当0≤x ≤2时，图形为等腰直角三角形，y ＝12⋅x ⋅x ＝12x 2；（2）当2＜x ≤4时，图形为一个直角梯形，它又可以分割成一个等腰三角形(确定的)与一个矩形，y ＝12⋅2⋅2＋(x －2)⋅2＝2x －2；（3）当4＜x ≤6时，图形为一个五边形，它可看作是原梯形去掉一个等腰直角三角形(位于直线右侧)，y ＝12 (6＋2)⋅2－12 (6－x )2＝－12x 2＋6x －10．于是y ＝f (x )＝{12x 2,0≤x ≤2,2x −2,2<x ≤4,−12x 2+6x −10,4<x ≤6.并且函数y ＝f (x )的定义域是[0，6]． 又当0≤x ≤2时，y ∈[0，2]；当2＜x ≤4时，y ∈(2，6]；当4＜x ≤6时，y ∈(6，8]．所以函数的值域是[0，8]．f [f (72)]＝f (5)＝152．点评：求函数表达式时，若不同情形下，表达式不同，就需要用分段函数来表达．另外，由实际问题确定的函数，还应注意函数的定义域往往会受实际问题的约束． （三）课堂小结（1）函数三种表示方法：解析法、列表法、图象法．(2) 在定义域的不同部分上，有不同的解析式，这样的函数叫做分段函数．分段函数是一个函数，每一段及其他的解析式只是这个函数整体的一部分.。
函数的概念和函数的表示法教案-人教版数学高一上必修1第一章1.2.1-1.2.2
第一章集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念和函数的表示法1 教学目标1.1 知识与技能：[1]理解函数的概念,了解构成函数的三要素．[2]会判断给出的两个函数是否是同一函数.[3]能正确使用区间表示数集.[4]函数的三种表示方法，并会求简单函数的定义域和值域.[5]通过实例体会分段函数的概念.[6]了解映射的概念及表示方法，并会判断一个对应关系是否是映射.1.2过程与方法：[1]通过具体实例，体会函数的概念和函数三要素，会求简单函数的定义域和值域。
[2]通过观察、画图等具体动手，体会分段函数的概念。
[3]通过具体习题，了解映射的概念，并会判断一个对应关系是否是映射.1.3 情感态度与价值观：[1]通过学习函数的概念及其表示法以及相关练习，培养学生逻辑思维。
[2]通过细致作图，培养学生的动手能力和识图能力。
2 教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]函数的三种表示方法。
[2]分段函数的概念。
2.2 教学难点[1]根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．[2]会求函数的定义域和值域。
3 专家建议此节为高中数学函数的第一节内容，一定要让学生充分理解函数的概念，结合具体习题提升学生的逻辑思维和数学素养。
4 教学方法实例探究——归纳总结，提炼概念——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体，教学用直尺、三角板。
6 教学过程6.1 引入新课【师】同学们好。
初中的时候我们就接触过函数，并掌握了一次函数，二次函数和反比例函数。
这节课我们来继续进一步学习和函数有关的内容。
【板书】第一章集合与函数概念 1.2 函数及其表示6.2 新知介绍[1]函数的概念【师】下面请同学们看三个实例，看有什么不同点和相同点。
【板演/PPT】PPT演示三个实例。
【师】那我们现在可以发现不同点是三个实例分别用解析式，图像和表格刻画变量之间的对应关系。
相同点是都有两个非空数集，并且两个数集之间都有一种确定的对应关系。
新课标人教版高中数学必修一 1.2函数及其表示 教学设计
1.2 函数及其表示[教学目标]1．在初中学习函数的基础上，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．2．能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，了解映射的概念，并了解构成函数的要素．3．会求一些简单函数的定义域和值域．4．会用区间表示函数的定义域和值域．5．理解表示函数的图象法、列表法和解析法，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．6．通过具体实例了解简单的分段函数，并能简单应用．[教学要求]函数是高中数学的重要内容，函数现象大量存在于学生周围，初中学生已经学习过函数，那时把函数看成变量之间的依赖关系．我们教材要求能够从具体的实例中抽象概括出用集合与对应的语言定义的函数．因此教学过程中要把握住用丰富的实例分析归纳出函数的本质属性，要在这一过程中注重培养学生的抽象概括能力，启发学生运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识．与传统的处理方式不同，本节将映射作为函数的一种推广，这样做是为了较好与初中衔接，让学生更好地理解函数的概念，体现思维从特殊到一般的过程．本节的主要内容是函数的表示．在初中学生习惯于用解析式表示函数，本节注意在这一基础之上，注重函数的不同表示方法：解析法、图象法、列表法．通过这些丰富多彩的表示方法，丰富学生对函数的认识，特别是帮助学生理解抽象的函数概念．可以借助信息技术环境使函数在数与形两方面的结合得到更为充分的表现．学生通过函数的学习能够更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．在教学过程中，要充分发挥图象直观的作用，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．[教学重点]在初中把函数看成变量之间的依赖关系的基础上，学会用集合与对应的语言刻画函数概念，认识到函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型．[教学难点]1．对函数概念整体性的认识； 2．对函数符号内涵的理解． [教学时数] 4课时 [教学过程]第一课时1.2.1函数的概念（1） 新课导入一、回顾初中学习的函数概念我们在初中曾学习过函数，它的定义是：“设在一个变化过程中，有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫做自变量．”请你举出这样的例子．二、三个实例1．呈现课本第15页——16页的三个实例．2．讨论：分析、归纳以上三个实例，变量之间的关系有什么共同点？ 3．在讨论的基础上，得出三个实例中变量之间关系的共性： （1）都涉及两个数集；（2）对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都有唯一确定的y 和它对应，记作：B A f :新课进展 一、函数定义 1．函数（课本第16页）设B A ,是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：A x x f y ∈=),(．其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫作函数的定义域（domain ）；与x 的值对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(叫作函数的值域（range ）．值域是集合B 的子集． 2．对函数概念的理解（1）定义域、值域和对应关系是决定函数的三要素，这是一个整体．一般来说值域由定义域和对应关系所确定，因为对于定义域中的数x ，按照确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和x 对应．（2）记住)(x f y =的内涵．例如对于2)(x x f =，对应关系f 就是“取平方”，而对于x x f =)(，对应关系f 就是“开平方”，f 就是函数符号，对于具体的函数它有具体的涵义．函数符号还可以记作(),y g x =()y u x =等．3．用函数定义理解初中学习过的函数 问：我们已经学过了那些函数？ 答：一次函数、二次函数和反比例函数． 请填写下表：4．请具体写出一个一次函数、二次函数和反比例函数，并作出图象． 二、求函数的定义域和函数值 例1 已知函数213)(+++=x x x f ， （1）求函数的定义域；（2）求)3(-f ，)32(f 的值；（3）当0>a 时，求)1(),(-a f a f 的值． 解：课本第17页——18页．注意：)(x f y =与)(a f y =的区别．例2 求函数y =和131y x =-的定义域．解：函数y =的定义域应满足310,x -≥解得1.3x ≥ 所以定义域为1.3x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭函数131y x =-的定义域应满足310,x -≠解得1.3x ≠ 所以定义域为1,.3x x x ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭R 课堂练习课本第19页练习1，2三、本课总结1．用集合与对应的语言定义的函数．2．如何求简单函数定义域和函数值．求定义域时通常要注意以下几点：（1）开偶次方根需非负；（2）分母不等于零；（3）具体函数的定义域要求．四、布置作业课本第24页习题1.2A 组第1题（1）（2）（3）（4）． 课本第44页复习参考题A 组第6题．第二课时1.2.1函数的概念（2） 复习导入通过提问复习上节课主要学习内容． 问：什么是函数？答：设B A ,是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：A x x f y ∈=),(．其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫作函数的定义域（domain ）；与x 的值对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(叫作函数的值域（range ）．函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如上节课所述的实例．对于给出解析式的函数，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合．对用解析式表示的函数，可由给定的自变量值代入解析式计算函数值． 新课进展 一、求函数的值域 课堂例题例1 求下列函数的值域： （1）x y 3=；（2）xy 8=；（3）54+-=x y ；（4）762+-=x x y ． 分析：在直角坐标系中画出函数的图象，发现（1）、（3）两个一次函数的函数值可以取到一切实数；（2）这个反比例函数的函数值不能等于0；（4）这个二次函数有最小值．解：（1）值域为实数集R ； （2）值域为{}R y y y ∈≠,0； （3）值域为实数集R ；（4）函数762+-=x x y 的最小值是-2，所以值域为{}2-≥y y ．二、区间的概念研究函数时常会用到区间的概念．设b a ,是两个实数，而且b a <．我们规定：（1）满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为],[b a ； （2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为),(b a ；（3）满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为),[b a ，],(b a ．这里的实数b a ,都叫做相应区间的端点．实数集R 可用区间表示为),(+∞-∞，我们把满足a x ≥，a x >，b x ≤，b x <的实数x 的集合分别表示为),[+∞a ，),(+∞a ，],(b -∞，),(b -∞．“∞” 读作“无穷大”，“-∞” 读作“负无穷大”，“+∞” 读作“正无穷大”． 区间可在数轴上表示（课本第17页）．上面例1的函数值域用区间表示分别为：（1）),(+∞-∞，（2）),0()0,(+∞-∞ ，（1）),(+∞-∞，（4）),2[+∞-． 三、函数的相等 课堂例题例2 下列函数中哪个与函数x y =相等？（1）2)(x y =；（2）33x y =；（3）2x y =；（4）xx y 2=．分析：两个函数是同一个函数，应该满足它们的定义域，值域和对应法则都相同．由于值域是由定义域和对应关系所确定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，这两个函数就相等．解： （1）)0()(2≥==x x x y ，这个函数与函数x y =（R x ∈）虽然对应关系相同，但是定义域不相同．所以，这个函数与函数x y =（R x ∈）不相等．（2）33x y =（R x ∈），这个函数与函数x y =（R x ∈）不仅对应关系相同，而且定义域也相同．所以，这个函数与函数x y =（R x ∈）相等．（3）2x y ==⎩⎨⎧<-≥=.0,,0,x x x x x 这个函数与函数x y =（R x ∈）的定义域都是实数集R ，但当0<x 时，对应关系与函数x y =（R x ∈）不相同．所以，这个函数与函数x y =（R x ∈）不相等．（4）xx y 2=的定义域是{}0≠x x ，与函数x y =（R x ∈）不相同．所以，这个函数与函数x y =（R x ∈）不相等．我们可以用列出表格的方式进行判断：两个函数是同一个函数，应该满足它们的定义域，值域和对应法则都相同．由上表可以看出，只有y x =和y =从本例我们还可以看出，相同的对应关系，其表达形式可以不同． 课堂练习1．课本第19页练习3． 2．请你再举出函数相等的例子． 四、本课小结1．函数的值域由定义域和对应关系确定．2．如果两个函数的定义域、对应关系都相同，则它们是同一个函数． 五、课堂讨论请你比较本节所学的函数定义与初中的函数定义，谈谈你对函数的认识．教师准备的答案要点：（1）这两种定义的实质是一致的；（2）叙述的出发点不同：初中的定义从运动变化的观点出发，上节课给出的定义是从集合、对应的观点出发；（3）用变量观点描述函数比较生动直观，而用集合对应观点描述函数比较抽象，但更具有一般性．例如函数：⎩⎨⎧=.,0,,1)(是无理数时当是有理数时当x x x f用变量观点解释会显得十分勉强，也说不出x 的物理意义，但是用集合与对应的观点来解释，就十分自然．六、布置作业课本第24页习题1.2A 组第4、5、6题，第25页B 组第1、2题． 课本第44页复习参考题A 组第7题．第三课时1.2.2 函数的表示法（1） 复习导入问：我们在初中接触过函数的哪一些表示法？（可回顾上节第一课时的三个引入例题） 答：解析法、图象法和列表法．教师讲解：解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系；列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．这是中学阶段所研究的主要的函数表示形式．图象法的优点是直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等．列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值．列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用，如银行利率表、列车时刻表等．新课进展一、函数的三种表示法1．我们结合具体的例子来思考如何表示函数？ 课堂例题例1 （课本第19页例3）某种笔记本的单价是5元，买x （{}5,4,3,2,1∈x ）个笔记本需要y 元．试用函数的三种表示法表示函数)(x f y =．解：函数的定义域是数集{}5,4,3,2,1． 用解析法可将函数)(x f y =表示为x y 5=，{}5,4,3,2,1∈x ．用列表法可将函数)(x f y =表示为用图象法可将函数)(x f y =表示为：（见课本第20页图）例2 某儿童服装商店一年内销售额(万元)与一年内12个月份的关系用一条折线连接起来如图1—2—1． 请用列表法表示图中的函数关系．解： 在图象上找出月份与销售额的对应点，用列表法表示为2．思考：1.所有的函数都能用解析式表示吗？2.三种表示法的特点各是什么，请用例子说明．课堂练习请你举出3个函数，分别用三种方法表示． 课堂例题图2-2-1例3 （课本第20页例4）配有图片． 课堂练习课本第23页练习1、2题． 3．本课小结表示函数常用的有三种方法，它们有各自的优点和不足． 4．布置作业1．课本第24页习题1.2A 组7、8、9题．B 组第3题．2．已知定义在R 上的函数(),y f x =其部分值的对应关系如下表：则符合上面的关系的一个函数解析式是 ．第四课时1.2.2 函数的表示法（2） 复习导入回顾上节课学习的内容．一、函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法．讲解上节课作业题（课本第25页习题1.2B 组第3题），引出分段函数概念． 二、分段函数用解析法表示函数时，常常遇到这样的情形，一个函数在整个定义域上不能建立统一的函数解析式，自变量在不同的取值范围内，对应着不同的函数解析式，这样的一类函数我们把它称为“分段函数”（segment-function ）．新课进展 课堂例题例1 画出函数x y =的图象．解：由绝对值的概念，我们有⎩⎨⎧<-≥=.0,,0,x x x x y 所以，函数的图象如图所示（课本第21页图1.2-4）．本例题的主要目的有两个：一是让学生进一步体会数形结合在理解函数中的重要作用，二是为介绍分段函数作准备．例2 （课本第21页例6）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则指定： (1)5公里以内（含5公里），票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．解：见课本第21页．本例题的主要目的有以下几点：（1）让学生尝试用数学表达式去表达实际问题； （2）学习分段函数及其表示；（3）注意在数学模型中全面反映问题的实际意义．本例根据当地的实际情形可作适当改编．课堂练习画出函数1y x =+的图象．解： 1,1,11,1.x x y x x x --<-⎧=+=⎨+≥-⎩由于这个函数的自变量x 取1x <-与1x ≥-的解析式不同，所以要分段讨论．其图象如下图．三、映射函数是“两个数集间的一种确定的对应关系”．当我们将数集扩展到任意的集合时，就可以得到映射的概念．例如，欧洲的国家构成集合A ，欧洲各国的首都构成集合B ，对应关系f ：国家a 对应它的首都b ．这样，对于集合A 中的任意一个国家，按照对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的首都与之对应．我们将对应B A f →:称为映射．一般地，我们有：映射定义：设A ，B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有惟一确定的元素y 与之对应，那么就称对应B A f →:为从集合A 到集合B 的一个映射(mapping),记作 :f A B →．其中x 叫做原象(inverse image)，与x 对应的y 叫做象(image)．思考：2010年世界杯在南非举行．南非有三个首都（除首都外，另外两个是行政首都和司法首都）．如果非洲的国家构成集合A ，非洲各国的首都构成集合B ，对应关系f ：国家a 对应它的首都b ．判断这样的对应是否能够构成从集合A 到集合B 的一个映射？练习 判断下列对应是不是从A 到B 的映射？-1023求绝对值-1BA1-22-331开平方-1BA1-22-33419求平方-1BA1-22-33419一种对应rq p -1BA-22-331图甲图乙图丙图丁图甲不是映射，因为集合A中的一个元素对应了集合B中的两个元素；图乙是映射，符合映射的定义；图丙是映射，虽然，集合B中有的元素没有A中的元素与之对应，但仍符合映射的定义；图丁不是映射，因为集合A中的每一个元素都要对应集合B中的元素，但是A中的元--没有对应B中的元素．素1,2例3 （课本第22页例7）四、本课小结1．分段函数：自变量在不同的取值范围内，对应着不同的函数解析式2．映射：函数概念的推广．五、布置作业：1．课本第23页练习第3、4题．2．课本第25页习题1.2B组第4题．。
1.2函数及其表示(教案设计)
[课题]：第一章集合与函数概念 1.2 函数及其表示主备人：高一数学备课组陈伟坚编写时间：2013年9月10日使用班级（21）（22）计划上课时间：2013-2014学年第一学期第3 周星期一至三、五（中秋放假）[课标、大纲、考纲内容]：【教材与学情分析】函数的表示是本节的主要内容之一，学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯的是用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识，教材从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法。
函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念，结合信息技术的使用，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合的思想方法。
[教学目标]：知识目标：能力目标：情感态度与价值观目标：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，了解映射的概念。
2.在实际情境中，理解表示函数的方法（如图象法、列表法、解析法）3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
4.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。
1.会求一些简单函数的定义域和值域；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。
3.学会运用函数图象理解和研究函数的性质1.使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。
2.经历求函数定义域及值域的过程，培养学生良好的数学学习品质。
[教学重难点]：1、重点：使学生在已有认识的基础上，学会用集合与对应的语言刻画函数概念，认识到函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。
2、难点：对函数概念的整体性认识，对函数符号的理解。
[课的类型、教具、教法、教时]：课的类型教具主要教法教时新授课多媒体课件合作探究交流 4第1课时 1.2.1函数的概念（一）【学习目标】1、通过丰富的实例，使学生进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型2、学习用集合语言刻画函数3、理解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域并能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域。
高中数学人教A版必修1第一章《1.2 函数及其表示(通用)》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学人教A版必修1第一章《1.2 函数及其表示（通用）》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
(1)明确函数的三种表示方法;函数的三种不同表示的相互间转化。
(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数;
(3)通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用;
(4)了解映射的定义,会判断映射。
2学情分析
初中已经学习了函数的三种表示,学生正处于以感性思维为主的年龄阶段,而且思维逐步地
从感性思维过渡到理性思维,并由此向逻辑思维发展,但学生思维不成熟、不严密、意志力薄弱,故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境,引导学生积极思考,培养他们的逻辑思维能力。
3重点难点
重点:函数的三种表示方法,分段函数的概念.
难点:根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,什么才算“恰当”?分段函数的表示及其图象.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】自主学习
问题:①初中学过函数的哪些表示方法?
解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系
列表法:列出表格表示两个变量之间的对应关系。
高中数学人教A版必修1教案-1.2_函数及其表示_教学设计_教案_3
教学准备1. 教学目标1﹑知识与技能：（1）掌握函数的概念，学会用函数的定义描述各类函数；（2）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；（3）掌握区间的概念，学会正确使用“区间”的符号表示函数的定义域与值域。
2、过程与方法：（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）掌握求一些简单函数的定义域和值域的方法。
3、情态与价值：通过“恩格尔系数”了解我国的经济发展状况，增加民族自豪感，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学习的积极性。
2. 教学重点/难点理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数.3. 教学用具课件4. 标签教学过程1、课堂导入复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；初中函数的概念：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说 y是x的函数。
学过的函数：2、课堂讲授⑴阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：思考：（课本P15）给出三个实例：A.一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是 .B.近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。
C.国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。
讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个 ,按照某种对应关系 ,在数集B中都与唯一确定的和它对应，记作：⑵函数的定义：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ,使对于集合A中的任意一个数 ,在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：2.对函数概念的理解：①集合A、B必须是非空的数集。
高中数学 1.2 函数及其表示 2 函数的表示法“三四五”高效课堂教学设计 新人教A版必修1(20
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1.2。
2 函数的表示法授课题目1.2。
2 函数的表示法拟课时第课时明确目标在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。
通过具体实例,了解简单的分段函数，并能简单应用.重点难点分段函数的图象的画法与求值课型□讲授□习题□复习□讨论□其它教学内容设计师生活动设计一、先学后讲（一）知识要点函数的三种表示方法是（二）经典例题1.函数的三种表示方法例 1 某商场销售的一种茶杯的单价是7元，如果你买x(x∈｛1,2，3，4,5｝)个这样的茶杯需要y元，试用三种表示法表示函数()y f x。
【思路分析】应从函数的三种表示法入手，“()”y f x有三种含义,它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表,注意本题的定义域是有限集，且仅有5个元素。
【解析】【点评】本例介绍了一个可以用三种表示方法来表示的函数。
通过这个例子可以看到：（1)三种表示方法有各自的优点.（2)函数的图象可以是一些离散的点，这与一次函数、二次函数的图象是连续的曲线有很大的差别, y=7x（x ∈R）是连续的直线,但y=7x（x∈{1,2,3，4，5｝）却是5个离散的点，由此又可看到,函数概念中，对应关系、定义域、值域是一个整体.要注意的是：（1)函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等;（2)解析法：必须注明函数的定义域，否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域;（3)图象法：根据实际情境来决定是否连线；（4）列表法：选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征。
高中数学《1.2 函数及表示》教案 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学教案
集体备课主备方案附：导学案设计1．2 函数及其表示第一课时函数的概念明确任务，确立目标【教学目标】1、用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。
2、能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域。
【教学重难点】教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数。
教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示。
师生合作，攻克目标导入新课1．回顾初中所学函数的概念：（传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数， x叫做自变量）；指出用函数可以描述变量之间的依赖关系；强调函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。
2．问题：⑴?.0.1是函数吗⎩⎨⎧∈∈=QC x Q x y R ⑵？x x y x y 是同一函数吗与2==3．导入：这两个例子中的问题提示我们要从更深更广的层面去认识、去研究函数的本质特征。
新知探究探究一 函数的研究背景（实际例子） 1．指导学生阅读教材的三个实例。
2．分析：对实例的背景与研究功能进行剖析；从问题中考虑量的变化范围可确定两个数集。
3．思考：三个例子，变量之间的关系有什么共同点？对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都有唯一确定的y 和它对应，这种对应记为：f ：A →B ，读作：f 下从A 到B 的对应。
探究二 f ：A →B 的直观分析举例分析：上面三个对应中在对应关系f 下，集合A 与集合B 的元素的对应有何共同点？探究三 函数的近代定义1．设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．2．注意：⑴“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；⑵函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．3．函数的三要素：定义域、对应关系和值域。
人教版八年级下期(教案).1.2函数的表示方法
1.理论介绍：首先，我们要了解函数表示方法的基本概念。列表法、解析式法和图象法是描述两个变量之间关系的三种常见方式。它们在数学建模和问题解决中起着关键作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以一次函数为例，通过给定的两点坐标，推导出函数的解析式，并绘制出相应的图象，展示如何在实际问题中使用这些方法。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了函数的表示方法的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些方法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标致力于培养学生的以下能力：
1.数学抽象：通过分析具体问题，抽象出函数的概念，理解并运用不同表示方法表达函数关系，提高学生的数学抽象素养。
2.逻辑推理：培养学生运用逻辑思维，从列表、解析式到图象，探究并理解函数表示方法之间的内在联系，提升逻辑推理素养。
3.数学建模：学会运用所学知识，建立实际问题中的函数模型，通过图象、解析式等方法解决具体问题，增强数学建模素养。
在实践活动方面，我认为整体上是成功的。学生们通过分组讨论和实验操作，对函数表示方法有了更深的理解。但我也观察到，有些小组在实验操作时遇到了一些技术上的问题，比如如何准确地在坐标系上绘制点。这提醒我，在未来的课程中，可能需要提前给学生一些额外的指导，确保他们能够顺利进行实验。
最后，我意识到在总结回顾环节，我可能需要更多地关注学生的反馈。虽然我尽力提供了一些关键点，但我觉得可以更好地利用这个时间来让学生们自己总结他们学到了什么，这样不仅能加深他们的记忆，还能帮助我发现他们可能仍然存在的误解。
高中数学《1.2 函数及其表示》教学设计 新人教A版必修1
云南省德宏黄冈启明中学高中数学《1.2 函数及其表示》教学设计 新人教A 版必修1（一）内容及解析1、内容：函数的概念、表示方法2、解析：函数是高中数学的重要内容。
在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围。
（二）目标及其解析目标1、掌握函数的概念2、掌握函数的定域、值域3、掌握函数的表示方法解析:1、一般地，设非空A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(x)y f =,x ∈A其中，x,叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{(x)f ∣x A ∈}叫做函数的值域。
2、初中已经接触过函数的三种方法表示：解析法、列表法和图像法。
高中阶段是让学生在了解三种表示法各自优点的基础上，重点在于是学生面对实际情景时，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
.教学难点函数概念及符号y=f(x)（三）教学问题诊断分析1、学生不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一理解成函数中的对应关系，甚至认为函数就是函数值。
2、学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯的使用解析式表示函数，但这是对函数很不全面认识。
（四）教学支持条件分析为了加强学生对这一节内容的理解，帮助学生克服在学习中遇到的困难，本节尽可能多的对实例进行分析，让学生合作探讨。
（五）教学过程设计1、教学基本流程概述本节内容→本节学习要点→学习过程、实例分析→练习、小结2、问题与例题（1）对教科书中的实例1，你能得出炮弹飞行1s,5s,10s,20s 时距地面多高吗？其中，t 的变化范围是多少？设计意图：体会用解析式刻画变量之间的对应关系，关注t 和h 范围。
高中数学人教A版必修1教案-1.2_函数及其表示_教学设计_教案_6
教学准备1. 教学目标（1）理解函数的概念和记号，掌握函数的三种表示形式；（2）会求基本的代数函数的定义域；（3）掌握两个函数是同一函数的条件，掌握函数的图象特征。
（4）通过问题的讨论、回答，增强数学语言的表达能力，分析、归纳能力，提高数学素质；（5）增强动态意识、通过观察、对比、分析，发展辩证思维能力。
（6）领会一切事物都是在不断变化，而且是相互联系，相互制约的，从而增强辩证唯物主义观点。
2. 教学重点/难点【教学重点】函数的概念【教学难点】深入理解函数的概念3. 教学用具4. 标签教学过程【教学过程】一、新课引入引例：同学们骑车上学，速度越快，用的时间越少。
其中有两个变量某物体运动中距离s，速度v，时间t（1）如果距离s不变，则，变量v与t成反比例（2）如果速度v不变，则s=vt, 变量s与t成正比例复习正比例函数，反比例函数，一次函数和二次函数（板书课题：函数的概念）一、新课讲解l 函数的概念（与映射相结合，回忆初中所学内容）1、判断下面哪些关系是函数关系？6）某自来水厂，水压、时间的对应关系（7）上海市人均住房面积统计表提问：上面各例中的关系哪些是函数关系，为什么？可结合函数定义进行判断回忆函数符号想一想决定一个函数是否仅依靠对应法则？函数的三要素：定义域，对应法则，值域l 函数的表示方法：解析法，列表法，图象法（什么时候用图象法、列表法）l 函数图象具有的特征：三种表示形式各有优劣，互相补充，互相转化。
这种转化思想就是数形结合的思想。
提问：具有函数关系的图象会具有什么特征呢？为此，我们先来判断下列图象是否是函数图象？请同学总结函数图象应具有的特征例：求下列函数的定义域一、课时小结1、函数的三要素：定义域，对应法则，值域2、函数的表示法：解析法，列表法，图象法3、函数图象的特征：经过函数定义域中任何一个点x作垂直于x轴的直线，它与函数的图象恰好有一个交点。
4、两个函数是同一个函数必须满足：定义域相同，对应法则相同二、家庭作业【教学后记】。
1.2函数及其表示教案
1.2函数概念及其表示方法一、函数基本知识点 1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．2、 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；3、 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ．定义域补充:能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
)构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） （2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)值域补充:（1）、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.（2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。
高中数学人教A版必修1教案-1.2_函数及其表示_教学设计_教案_8
教学准备1. 教学目标掌握①定义域②对应法则③值域2. 教学重点/难点掌握①定义域②对应法则③值域3. 教学用具4. 标签教学过程一、[基础知识]（一）映射（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。
（2）象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么集合A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象。
注意点：（1）对映射定义的理解。
（2）判断一个对应是映射的方法。
（二）函数（1）函数的定义①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫作自变量。
②近代定义：设A、B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中，原象集合A叫做函数的定义域，象集合C叫做函数的值域。
（2）构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域注意：强调分段函数的表示形式及解题方法。
二、例题选讲关于函数三要素例1(或P10:例1)、下列各组函数中，表示相同函数的是（D）三、小结1.判断两个函数是否同一，要紧扣函数概念三要素：定义域、值域和从定义域到值域的对应法则。
2、映射的定义是有方向性的，即从集合A到B与从集合B到A的映射是两个不同的映射，映射是一种特殊对应关系，只有一对一、多对一的对应才是映射。
3、分段函数是重点和难点，关键是分段解决四、作业：优化设计P11 闯关训练备1、下列对应是否为从A到B的映射？能否构成函数？解（1）不是映射（2）是映射，也是函数（3）是映射，不是函数。
1.2_函数及其表示_教学设计_教案
教学准备
1. 教学目标
掌握数形结合思想
2. 教学重点/难点
掌握数形结合思想
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
一、基础知识
1．函数的表示有：解析式、图象法、表格法。
注意相互转化（数形结合）
2、函数解析式：函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析式，解析式亦称“解析表达式”或“表达式”，简称“式”。
（注意分段函数）
求函数解析式的方法：
（1）定义法（2）变量代换法（3）待定系数法
（4）函数方程法（5）参数法（6）实际问题
3、函数的定义域：要使函数有意义的自变量x的取值的集合。
求函数定义域的主要依据：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；
（3）对数函数的真数必须大于零；
（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；
注意：1.函数要遵循”定义域优先”的原则
2.如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。
3.抽象函数的定义域..
二、举例选讲
关于解析式
例1、根据下列条件，分别求出函数的解析式
（备）例5、某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：
从而政府补贴至少为每千克1元。
三、小结
1、函数的解析式及其求法；
2、函数的定义域及求法。
四、作业：优化设计P12。
人教A版数学必修一《1.2函数及其表示《函数的表示法》(一)》教案
广东省德庆县孔子中学高中数学《1.2 函数及其表示函数的表示法（一）》教案新人教A版必修1教学内容课题:教学目标 1. 选用恰当形式表示函数2..体会函数三种表示形式的优点.3. 尝试指导与合作交流相结合，通过示例的探究，使学生感知“三种形式”的各自优点. 从而培养学生恰当选用不同形式表示不同情境下的函数的能力.教学策略手段1、创设情境，引入新课(采取情景导入法)2、推进新课(结合教材的例子采用传统讲授方式).（1）回顾函数的有关概念.（2）．函数的表示方法.解析式：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.（3）通过范例分析体会三种表示法的优点，感知不是所有函数均能用三种形式表示.（4）（能力提升(表示法的转化及函数图象的应用) 培养形与数的转化能力和数形结合思想应用意识..例1 某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1, 2, 3, 4, 5})个笔记本需要y元. 试用函数的三种表示法表示函数y = f (x).解析：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}.用解析法可将函数y = f (x)表示为y = 5x, x∈{1, 2, 3, 4, 5}.用列表法可将函数y = f (x)表示为笔记本数x 1 2 3 4 5钱数y 5 10 15 20 25用图象法可将函数y = f (x)表示为下图.例3 画出函数y = |x|的图象.例4 某中学高一年级学生李鹏，对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场销售与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示，试解答下列问题.（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天）（1）写出图一表示的市场售价间接函数关系P = f (t). 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q = g (t).（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？3. 课堂练习巩固知识1，下图中可作为函数y = f (x)的图象是（ D ）2. 函数||x y x x =+的图象为下图中的（ C ）3， 作出下列函数的图象：（1）y = |x – 1| + 2 |x – 2|；（2）y = |x2 – 4x + 3|.【解析】（1）y = |x – 1| + 2 |x – 2| =53(1),3(12),35(2).x x x x x x -≤⎧⎪-<≤⎨⎪->⎩[函数的图象如图（1）所示.（2）y = |x2 – 4x + 3| =2243(1,3),43(13).x x x x x x x ⎧=+≤≥⎪⎨-+-<<⎪⎩或图象如图（2）所示图（1） 图（2）课堂练习巩固练习教材P.23练习第1、2、3题4， 已知y = f (x)的图象如右图所示，求f (x).【解析】1,(0),(),(01).x x f x x x +<⎧=⎨-≤≤⎩教学反思。
高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法教学设计新人教A版必修1
1.2.2 函数表示法整体设计教学分析课本从引进函数概念开场就比拟注重函数不同表示方法：解析法，图象法，列表法．函数不同表示方法能丰富对函数认识，帮助理解抽象函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面结合得到更充分表现，使学生通过函数学习更好地体会数形结合这种重要数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考与表述准确性．课本将映射作为函数一种推广，这与传统处理方式有了逻辑顺序上变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中学习，让学生将更多精力集中理解函数概念，同时，也表达了从特殊到一般思维过程．三维目标1．了解函数一些根本表示法(列表法、图象法、解析法)，会根据不同实际情境选择适宜方法表示函数，树立应用数形结合思想．2．通过具体实例，了解简单分段函数，并能简单应用，提高应用函数解决实际问题能力，增加学习数学兴趣．3．会用描点法画一些简单函数图象，培养学生应用函数图象解决问题能力．4．了解映射概念及表示方法，会利用映射概念来判断“对应关系〞是否是映射，感受对应关系在刻画函数与映射概念中作用，提高对数学高度抽象性与广泛应用性进一步认识．重点难点教学重点：函数三种表示方法，分段函数与映射概念．教学难点：分段函数表示及其图象，映射概念理解．课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路1．语言是沟通人与人之间联系，同样祝福又有着不同表示方法．例如，简体中文中“生日快乐！〞用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag！印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！……那么对于函数，又有什么不同表示方法呢？引出课题：函数表示法．思路2．我们前面已经学习了函数定义，函数定义域求法，函数值求法，两个函数是否一样判定方法，那么函数表示方法常用有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题)．推进新课新知探究提出问题初中学过三种表示法：解析法、图象法与列表法各是怎样表示函数？讨论结果：(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间函数关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数解析式．(2)图象法：以自变量x取值为横坐标，对应函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系方法叫做图象法．(3)列表法：列一个两行多列表格，第一行是自变量取值，第二行是对应函数值，这种用表格来表示两个变量之间函数关系方法叫做列表法．应用例如例1 某种笔记本单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数三种表示法表示函数y＝f(x)．活动：学生思考函数表示法规定．注意本例设问，此处“y＝f(x)〞有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．此题定义域是有限集，且仅有5个元素．解：这个函数定义域是数集{1,2,3,4,5}，用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．用列表法可将函数y＝f(x)表示为图1点评：此题主要考察函数三种表示法．解析法特点是：简明、全面地概括了变量间关系，可以通过解析式求出任意一个自变量值所对应函数值，便于用解析式来研究函数性质，还有利于我们求函数值域；图象法特点是：直观、形象地表示自变量变化时相应函数值变化趋势，有利于我们通过图象来研究函数某些性质，图象法在生产与生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等；列表法特点是：不需要计算就可以直接看出与自变量值对应函数值，列表法在实际生产与生活中也有广泛应用，如银行利率表、列车时刻表等等．并不是所有函数都能用解析法表示，只有函数值随自变量变化发生有规律变化时，这样函数才可能有解析式，否那么写不出解析式，也就不能用解析法表示．例如：张丹年龄n(n∈N*)每取一个值，那么他身高y(单位：cm)总有唯一确定值与之对应，因此身高y是年龄n函数y＝f(n)，但是这个函数解析式不存在，函数y＝f(n)不能用解析法来表示．注意：①函数图象既可以是连续曲线，也可以是直线、折线、离散点等等；②解析法：必须注明函数定义域，否那么使函数解析式有意义自变量取值范围是函数定义域；③图象法：根据实际情境来决定是否连线；④列表法：选取自变量要有代表性，应能反映定义域特征.成绩及班级平均分表：活动：学生思考做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？此题利用表格给出了四个函数，它们分别表示王伟、张城、赵磊考试成绩及各次考试班级平均分．由于表格区分三位同学成绩上下不直观，故采用图象法来表示．做学情分析，具体要分析学习成绩是否稳定，成绩变化趋势．解：把“成绩〞y看成“测试序号〞x函数，用图象法表示函数y＝f(x)，如图3所示．图3由图3可看到：王伟同学数学成绩始终高于班级平均分，学习情况比拟稳定而且成绩优秀；张城同学数学成绩不稳定，总是在班级平均分水平上下波动，而且波动幅度较大；赵磊同学数学学习成绩呈上升趋势，说明他数学成绩稳步提高．点评：此题主要考察根据实际情境需要选择恰当函数表示法能力，以及应用函数解决实际问题能力．通过此题可见，图象法比列表法与解析法更能直观反映函数值变化趋势．注意：本例为了研究学生学习情况，将离散点用虚线连接，这样便于研究成绩变化特点.图4水瓶中注水，注满为止，如果注水量所示，那么水瓶形状是(图6要求由水瓶形状识别容积V与高度h函数关系，突出了对思维能力考察．知能训练课本本节练习2,3.【补充练习】1．等腰三角形周长是20，底边长y是一腰长x函数，那么( ) A．y＝10－x(0＜x≤10)B．y＝10－x(0＜x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5＜x＜10)解析：根据等腰三角形周长列出函数解析式．∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x.那么20－2x＞0.∴x＜10.由构成三角形条件(两边之与大于第三边)可知2x＞20－2x，得x＞5，∴函数定义域为{x|5＜x＜10}．∴y＝20－2x(5＜x＜10)．答案：D2．定义在R上函数y＝f(x)值域为[a，b]，那么y＝f(x＋1)值域为( )A．[a，b] B．[a＋1，b＋1]C．[a－1，b－1] D．无法确定解析：将函数y＝f(x)图象向左平移一个单位得函数y＝f(x＋1)图象，由于定义域均是R，那么这两个函数图象上点纵坐标取值范围一样，所以y＝f(x＋1)值域也是[a，b]．答案：A3．函数f(x)＝11＋x2(x∈R)值域是( ) A．(0,1) B．(0,1]C．[0,1) D．[0,1]解析：(观察法)定义域是R，由于x2≥0，那么1＋x2≥1，从而0＜11＋x2≤1.答案：B拓展提升问题：变换法画函数图象都有哪些？解答：变换法画函数图象有三类：1．平移变换：(1)将函数y＝f(x)图象向左平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x＋a)图象；(2)将函数y＝f(x)图象向右平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x－a)图象；(3)将函数y＝f(x)图象向上平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)＋b图象；(4)将函数y＝f(x)图象向下平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)－b图象．简记为“左加(＋)右减(－)，上加(＋)下减(－)〞．2．对称变换：(1)函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)图象关于直线x＝0即y轴对称；(2)函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)图象关于直线y＝0即x轴对称；(3)函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)图象关于原点对称．3．翻折变换：(1)函数y＝|f(x)|图象可以将函数y＝f(x)图象位于x轴下方局部沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方局部，并保存y＝f(x)x轴上方局部即可得到．(2)函数y＝f(|x|)图象可以将函数y＝f(x)图象位于y轴右边局部翻折到y轴左边替代原y轴左边局部并保存y＝f(x)在y轴右边局部图象即可得到．函数图象是对函数关系一种直观、形象表示，可以直观地显示出函数变化状况及其特性，它是研究函数性质时重要参考，也是运用数形结合思想研究与运用函数性质根底．另一方面，函数一些特性又能指导作图，函数与图象是同一事物两个方面，是函数不同表现形式．函数图象可以比喻成人相片，观察函数图象可以解决研究其性质，当然，也可以由函数性质确定函数图象特点．借助函数图象来解决函数问题，函数图象问题是高考热点之一，应引起重视．课堂小结本节课学习了：函数三种表示方法，在具体实际问题中能够选用恰当表示法来表示函数．作业课本习题组7,8,9.设计感想本节教学设计容量较大，尽量借助于信息技术来完成．本节设计重点是函数三种表示方法，提出了表示法应用，特别是用图象法求函数值域，并对求函数值域方法进展了总结以满足高考要求．第2课时刘菲导入新课思路1．当x ＞1时，f (x )＝x ＋1；当x ≤1时，f (x )＝－x ，请写出函数f (x )解析式．这个函数解析式有什么特点？教师指出本节课题．思路2．化简函数y ＝|x |解析式，说说此函数解析式特点，教师指出本节课题．推进新课新知探究提出问题①函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，－x ＋1， x <－1，x ≥－1与f (x )＝x －1，g (x )＝x 2在解析式上有什么区别？②请举出几个分段函数例子．活动：学生讨论交流函数解析式区别．所谓“分段函数〞，习惯上指在定义域不同局部，有不同对应法那么函数．讨论结果：①函数h (x )是分段函数，在定义域不同局部，其解析式不同．说明：分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数定义域是各段定义域并集，值域是各段值域并集；生活中有很多可以用分段函数描述实际问题，如出租车计费、个人所得税纳税额等等．②例如：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，1， x >0，x <0等．应用例如例1 画出函数y ＝|x |图象．活动：学生思考函数图象画法：①化简函数解析式为根本初等函数；②利用变换法画出图象，根据绝对值概念来化简解析式．解法一：由绝对值概念，我们有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，－x ， x ≥0，x <0.所以，函数y ＝|x |图象如图7所示．图7解法二：画函数y ＝x 图象，将其位于x 轴下方局部对称到x 轴上方，与函数y ＝x 图象位于x 轴上方局部合起来得函数y ＝|x |图象如图7所示．点评：函数y ＝f (x )图象位于x 轴上方局部与y ＝|f (x )|图象一样，函数y ＝f (x )图象位于x 轴下方局部对称到x 轴上方就是函数y ＝|f (x )|图象一局部．利用函数y ＝f (x )图象与函数y ＝|f (x )|图象这种关系，由函数y ＝f (x )图象画出函数y ＝|f (x )|图象.(1)乘坐汽车5千米以内(含5千米)，票价2元；(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(缺乏5千米按5千米计算)，如果某条线路总里程为20千米，请根据题意，写出票价与里程之间函数解析式，并画出函数图象．活动：学生讨论交流题目条件，弄清题意．本例是一个实际问题，有具体实际意义，由于里程在不同范围内，票价有不同计算方法，故此函数是分段函数．图10解：设里程为x 千米时，票价为y 元，根据题意得x ∈(0,20]． 由“招手即停〞公共汽车票价制定规定，可得到以下函数解析式：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，3，4，5， 0<x ≤5，5<x ≤10，10<x ≤15，15<x ≤20. 根据这个函数解析式，可画出函数图象，如图10所示． 点评：此题主要考察分段函数实际应用，以及应用函数解决问题能力．生活中有很多可以用分段函数描述实际问题，如出租车计费、个人所得税纳税额等等．在列出其解析式时，要充分考虑实际问题规定，根据规定来求得解析式． 注意：①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；②分段函数解析式不能写成几个不同方程，而应写成函数值不同几种表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各局部自变量取值情况.知能训练1．函数f (x )＝|x －1|图象是( )图11解析：方法一：函数解析式化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，1－x ， x ≥1，x <1.画出此分段函数图象，应选B.方法二：将函数f (x )＝x －1位于x 轴下方局部沿x 轴翻折到x 轴上方，与f (x )＝x －1位于x 轴上方局部合起来，即可得到函数f (x )＝|x －1|图象，应选B.方法三：由f (－1)＝2，知图象过点(－1,2)，排除A ，C ，D ，应选B.答案：B2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2， x >0，1， x ＝0，－1x，x <0.(1)画出函数图象； (2)求f (1)，f (－1)，f [f (－1)]值．解：分别作出f (x )在x ＞0，x ＝0，x ＜0上图象，合在一起得函数图象．(1)如图12所示，画法略．图12(2)f (1)＝12＝1，f (－1)＝－1－1＝1，f [f (－1)]＝f (1)＝1. 3．某人驱车以52千米/时速度从A 地驶往260千米远处B 地，到达B 地并停留1.5小时后，再以65千米/时速度返回A 地．试将此人驱车走过路程s (千米)表示为时间t 函数．分析：此题中函数是分段函数，要由时间t 属于哪个时间段，得到相应解析式．解：从A 地到B 地，路上时间为26052＝5(小时)；从B 地回到A 地，路上时间为26065＝4(小时)．所以走过路程s (千米)与时间t 函数关系式为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 52t ，260，260＋65(t －6.5)， 0≤t <5，5≤t ≤6.5，6.5<t ≤10.5.拓展提升问题：函数f (x )满足f (1)＝1，f (n ＋1)＝f (n )＋2，n ∈N *.(1)求：f (2)，f (3)，f (4)，f (5)；(2)猜测f (n )，n ∈N *.探究：(1)由题意得f (1)＝1，那么有f (2)＝f (1)＋2＝1＋2＝3，f (3)＝f (2)＋2＝3＋2＝5，f (4)＝f (3)＋2＝5＋2＝7，f (5)＝f (4)＋2＝7＋2＝9.(2)由(1)得f (1)＝1＝2×1－1，f (2)＝3＝2×2－1，f (3)＝5＝2×3－1，f (4)＝7＝2×4－1，f (5)＝9＝2×5－1.因此猜测f (n )＝2n －1，n ∈N *.课堂小结本节课学习了：画分段函数图象；求分段函数解析式以及分段函数实际应用．作业课本习题1.2B组3,4.设计感想本节教学设计容量较大，特别是例题涉及图象，建议使用信息技术来完成．本节重点为分段函数，这是课标明确要求也是高考重点，通过分段函数问题能够区分学生思维层次，因此教学中应予以重视．第3课时林大华导入新课思路1．复习初中常见对应关系1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一点P与它对应．2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一有序实数对(x，y)与它对应．3．对于任意一个三角形，都有唯一确定面积与它对应．4．某影院某场电影每一张电影票有唯一确定座位与它对应．5．函数概念．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间一种对应，假设将其中条件“非空数集〞弱化为“任意两个非空集合〞，按照某种法那么可以建立起更为普通元素之间对应关系，这种对应就叫映射(板书课题)．思路2．前面学习了函数概念是：一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应法那么f，对于集合A中每个元素x，在集合B中都有唯一元素y与它对应．(1)对于任意一个实数，在数轴上都有唯一点与之对应．(2)班级里每一位同学在教室里都有唯一座位与之对应．(3)对于任意三角形，都有唯一确定面积与之对应．那么这些对应又有什么特点呢？这种对应称为映射，引出课题．推进新课新知探究提出问题①给出以下对应关系：图13这三个对应关系有什么共同特点？②像问题①中对应我们称为映射，请给出映射定义？③“都有唯一〞是什么意思？④函数与映射有什么关系？讨论结果：①集合A，B均为非空集合，并且集合A中元素在集合B中都有唯一元素与之对应．②一般地，设A，B是两个非空集合，如果按某一个确定对应法那么f，使对于集合A中任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B一个映射，记作“f：A→B〞．如果集合A中元素x对应集合B中元素y，那么集合A中元素x叫集合B中元素y原象，集合B中元素y叫集合A中元素x象．③包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个意思，即是一对一或多对一．④函数是特殊映射，映射是函数推广．应用例如例题以下哪些对应是从集合A到集合B映射？(1)集合A＝{P|P是数轴上点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上点与它所代表实数对应；(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中点与它坐标对应；(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它内切圆；(4)集合A＝{x|x是新华中学班级}，集合B＝{x|x是新华中学学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里学生．活动：学生思考映射定义．判断一个对应是否是映射，要紧扣映射定义．(1)中数轴上点对应着唯一实数；(2)中平面直角坐标系中点对应着唯一有序实数对；(3)中每一个三角形都有唯一内切圆；(4)中新华中学每个班级对应其班内多个学生．解：(1)是映射；(2)是映射；(3)是映射；(4)不是映射．新华中学每个班级对应其班内多个学生，是一对多，不符合映射定义.图14答案：(1)不是；(2)是；(3)是．．在图15中映射中，A中元素60°对应元素是什么？在中什么元素与B中元素22对应？知能训练1．以下对应是从集合S到T映射是( )A．S＝N，T＝{－1,1}，对应法那么是(－1)n，n∈SB ．S ＝{0,1,4,9}，T ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，对应法那么是开平方C ．S ＝{0,1,2,5}，T ＝{1，12，15}，对应法那么是取倒数 D ．S ＝{x |x ∈R }，T ＝{y |y ∈R }，对应法那么是x →y ＝1＋x 1－x解析：判断映射方法简单地说应考虑A 中元素是否都可以受对应法那么f 作用，作用结果是否一定在B 中，作用结果是否唯一这三个方面．很明显A 符合定义；B 是一对多对应；C 中集合S 中元素0没有象；D 中集合S 中元素1也无象．答案：A2．集合M ＝{x |0≤x ≤6}，P ＝{y |0≤y ≤3}，那么以下对应关系中不能看作从M 到P 映射是( )A ．f ：x →y ＝12x B ．f ：x →y ＝13x C ．f ：x →y ＝xD ．f ：x →y ＝16x 解析：选项C 中，集合M 中局部元素没有象，其他均是映射． 答案：C3．集合A ＝N *，B ＝{a |a ＝2n －1，n ∈Z }，映射f ：A →B ，使A 中任一元素a 与B 中元素2a －1对应，那么与B 中元素17对应A中元素是( )A．3 B．5 C．17 D．9解析：利用对应法那么转化为解方程．由题意得2a－1＝17，解得a＝9.答案：D4．假设映射f：A→B象集合是Y，原象集合是X，那么X与A 关系是________；Y与B关系是________．解析：根据映射定义，可知集合A中元素必有象且唯一；集合B 中元素在集合A中不一定有原象．故象集合是B子集．所以X＝A，Y⊆B.答案：X＝A Y⊆B5．集合M＝{a，b，c，d}，P＝{x，y，z}，那么从M到P能建立不同映射个数是________．解析：集合M中有4个元素，集合P中有3个元素，那么从M 到P能建立34＝81个不同映射．答案：816．以下对应哪个是集合M到集合N映射？哪个不是映射？为什么？(1)设M＝{矩形}，N＝{实数}，对应法那么f为矩形到它面积对应．(2)设M＝{实数}，N＝{正实数}，对应法那么f为x→1|x|.(3)设M＝{x|0≤x≤100}，N＝{x|0≤x≤100}，对应法那么f 为开方再乘10.解：(1)是M到N映射，因为它是多对一对应．(2)不是映射，因为当x＝0时，集合N中没有元素与之对应．(3)是映射，因为它是一对一对应．7．设集合A与B都是自然数集，映射f：A→B把A中元素n 映射到B中元素2n＋n，那么在映射f下，A中元素________对应B 中元素3.( )A．1 B．3 C．9 D．11解析：对应法那么为f：n→2n＋n，根据选项验证2n＋n＝3，可得n＝1.答案：A8．集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，且a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，使B中元素y＝3x＋1与A中元素x 对应，求a及k值．分析：先从集合A与对应法那么f入手，同时考虑集合中元素互异性，可以分析出此映射必为一一映射，再由3→10，求得a值，进而求得k值．解：∵B中元素y＝3x＋1与A中元素x对应，∴A中元素1象是4；2象是7；3象是10，即a4＝10或a2＋3a＝10.∵a∈N，∴由a2＋3a＝10，得a＝2.∵k象是a4，∴3k＋1＝16，得k＝5.∴a＝2，k＝5.9．集合A＝{(x，y)|x＋y＜3，x∈N，y∈N}，B＝{0,1,2}，f：(x，y)→x＋y，那么这个对应是否为映射？是否为函数？请说明理由．解：是映射，不是函数．由题意得A＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)}，显然对于A中每一个有序实数对，它们与是0或1或2，那么在B中都有唯一一个数与它对应，所以是映射，因为集合A 不是数集而是点集，所以不是函数．拓展提升问题：集合M中有m个元素，集合N中有n个元素，那么从M到N能建立多少个不同映射？探究：当m＝1，n＝1时，从M到N能建立1＝11个不同映射；当m＝2，n＝1时，从M到N能建立1＝12个不同映射；当m＝3，n＝1时，从M到N能建立1＝13个不同映射；当m＝2，n＝2时，从M到N能建立4＝22个不同映射；当m＝2，n＝3时，从M到N能建立9＝32个不同映射．集合M中有m个元素，集合N中有n个元素，那么从M到N 能建立n m个不同映射．课堂小结本节课学习了：(1)映射对应是一种特殊对应，元素之间对应必须满足“一对一或多对一〞．(2)映射由三个局部组成：集合A ，集合B 及对应法那么f ，称为映射三要素．(3)映射中集合A ，B 中元素可以为任意．作业课本本节练习4.补充作业：以下集合A 到B 对应，请判断哪些是A 到B 映射，并说明理由．(1)A ＝N ，B ＝Z ，对应法那么f 为“取相反数〞；(2)A ＝{－1,0,2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，0，12，对应法那么：“取倒数〞； (3)A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝R ，对应法那么：“求平方根〞；(4)A ＝{0,1,2,4}，B ＝{0,1,4,9,64}，对应法那么f ：a →b ＝(a －1)2；(5)A ＝N *，B ＝{0,1}，对应法那么：除以2所得余数．答案：(2)不是映射，(1)(3)(4)(5)是映射．设计感想本节教学设计内容拓展较深，在实际教学中根据学生实际选取例题与练习．本节重点为映射概念，对于映射来说，只需要掌握概念即可，不要求拓展其内容，以免加重学生负担，也偏离了课标要求与高考方向．备课资料【备选例题】【例1】区间[0，m]在映射f：x→2x＋m下所得象集区间为[a，b]，假设区间[a，b]长度比区间[0，m]长度大5，那么m等于( ) A．5 B．10 C．2.5 D．1解析：函数f(x)＝2x＋m在区间[0，m]上值域是[m,3m]，那么有[m,3m]＝[a，b]，那么a＝m，b＝3m，又区间[a，b]长度比区间[0，m]长度大5，那么有b－a＝(m－0)＋5，即b－a＝m＋5，所以3m－m＝m＋5，解得m＝5.答案：A【例2】设x∈R，对于函数f(x)满足条件f(x2＋1)＝x4＋5x2－3，那么对所有x∈R，f(x2－1)＝________.解析：(换元法)设x2＋1＝t，那么x2＝t－1，那么f(t)＝(t－1)2＋5(t－1)－3＝t2＋3t－7，即f(x)＝x2＋3x－7.所以f(x2－1)＝(x2－1)2＋3(x2－1)－7＝x4＋x2－9.答案：x4＋x2－9【知识总结】1．函数与映射知识记忆口诀：函数新概念，记准要素三；定义域值域，关系式相连；函数表示法，记住也不难；图象与列表，解析最常见；对应变映射，只是变唯一；映射变函数，集合变数集．2．映射到底是什么？怎样理解映射概念？剖析：对于映射这个概念，可以从以下几点来理解：(1)映射中两个集合A与B可以是数集、点集或由图形组成集合等；(2)映射是有方向，A到B映射与B到A映射往往是不一样；(3)映射要求对集合A中每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而这个与之对应元素是唯一，这样集合A中元素任意性与在集合B中对应元素唯一性构成了映射核心；(4)映射允许集合B中存在元素在A中没有元素与其对应；(5)映射允许集合A中不同元素在集合B中有一样对应元素，即映射只能是“多对一〞或“一对一〞，不能是“一对多〞；(6)映射是特殊对应，函数是特殊映射．3．函数与映射关系函数是特殊映射，对于映射f：A→B，当两个集合A，B均为非空数集时，那么从A到B映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数．。
金阊区高中数学 1.2 函数及其表示 2 函数的表示法教学设计 新人教A版必修1(2021年整理)
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《函数的表示法》一、教材内容分析函数是高中数学的重要内容，函数的表示法是“函数及其表示"这一节的主要内容之一。
学习函数的表示法,不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，也是加深对函数概念理解所必须的。
同时,基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而学习函数的表示也是领悟数学思想方法（如数形结合、化归等）、学会根据问题需要选择表示方法的重要过程。
学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯于用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识。
在本节中,从引进函数概念开始,就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图象法、列表法。
函数的不同表示法能丰富对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念。
特别是在信息技术环境下，可以使函数在数形结合上得到更充分的表现，使学生更好地体会这一重要的数学思想方法。
因此,在研究函数时，应充分发挥图象直观的作用；在研究图象时要注意代数刻画，以求思考和表述的精确性。
二、教学目标分析根据《普通高中数学课程标准》（实验）和新课改的理念，我从知识、能力和情感三个方面制订教学目标.1．明确函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），通过具体的实例，了解简单的分段函数及其应用。
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教学准备
1. 教学目标
1、知识与技能：
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依
赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．
2、过程与方法：
（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素；
（3）会求一些简单函数的定义域和值域；
（4）能够正确使用“区间”的符号表示函数的定义域；
3、情感态度与价值观，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学习的积极性.
2. 教学重点/难点
重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；
难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
3. 教学用具
多媒体
4. 标签
函数及其表示
教学过程
（一）创设情景，揭示课题
1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；
（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题.
3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点；
4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；
5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．
（二）研探新知
1、函数的有关概念
（1）函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数（function）．
记作：y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．
注意：
①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．
（2）构成函数的三要素是什么？
定义域、对应关系和值域
（3）区间的概念
①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
②无穷区间；
③区间的数轴表示．
（4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？
通过三个已知的函数：y=ax+b (a≠0)
y=ax2+bx+c (a≠0)
y= (k≠0) 比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会.
师：归纳总结
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维。
1、如何求函数的定义域
例1：已知函数f (x) = +
（1）求函数的定义域；
（2）求f（－3），f ()的值；
（3）当a＞0时，求f（a）,f(a－1)的值.
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
例2、设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域.
分析：由题意知，另一边长为x，且边长x为正数，所以0＜x＜40.
所以s= = （40－x）x （0＜x＜40）
引导学生小结几类函数的定义域：
（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .
（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）
（5）满足实际问题有意义.
巩固练习：课本P19第1
2、如何判断两个函数是否为同一函数
例3、下列函数中哪个与函数y=x相等？
分析：
1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
解：
课本P18例2
（四）归纳小结
①从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；②初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法，同时引出了区间的概念.
（五）设置问题，留下悬念
1、课本P24习题1．2（A组）第1—7题（B组）第1题
2、举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、值域和对应关系.
课堂小结
课后习题
板书。