5第三章 方差分析1
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《方差分析》课件
总结与展望
方差分析的意义方差分析Fra bibliotek一种有效的统计方法，可以帮助我们理 解数据之间的差异，并探索影响因素。
方差分析的未来发展趋势
随着数据分析和统计方法的进步，方差分析将继续 发展并得到更广泛的应用。
注
本PPT课件内容仅供教学参考，禁止用于商业用途！谢谢观看！
什么是方差分析
方差分析是一种统计方法，用于比较两个或多个样本之间的差异。它适用于试验设计、医学研究、社会科学、 以及生产制造等领域。
单因素方差分析
单因素方差分析是一种用于比较一个因素（变量）对于一个响应变量的影响的统计方法。它基于一组样本之间 的方差差异来评估因素的影响。
双因素方差分析
双因素方差分析是一种用于比较两个因素（变量）对于一个响应变量的影响 的统计方法。它可以同时评估两个因素以及两个因素之间的交互作用。
方差分析的应用
生产制造
方差分析可以帮助优化生产 过程，提高产品质量和生产 效率。
医学研究
方差分析可以用于比较不同 治疗方法的效果，评估药物 的疗效。
社会科学
方差分析可以帮助理解不同 人群之间的差异，例如不同 年龄组之间的意见差异。
方差分析的局限性
方差分析有一些局限性，如对于非正态分布的数据不适用。但可以通过优化方法，如转换数据或使用非参数方 法，来应对这些局限性。
《方差分析》PPT课件
Presentation introducing the concept of variance analysis. Explore the definition, application scenarios, and the steps involved in both single-factor and two-factor variance analysis.
《方差分析讲义》课件
双因素方差分析
介绍双因素方差分析，该方 法用于比较两个因素对一个 变量的影响，以及它们之间 的交互作用。
单因素方差分析
1 单因素方差分析的基本原理
解释单因素方差分析的基本原理，包括组内变异和组间变异的比较。
2 单因素方差分析中的F检验
介绍单因素方差分析中的F检验，用于判断组间差异是否显著。
3 单因素方差分析的应用举例
提供一些实际应用中的单因素方差分析案例，展示其在不同领域的应用。
双因素方差分析
双因素方差分析的基本原理
解释双因素方差分析的基本原理， 包括主效应和交互作用效应。
双因素方差分析中的交互 作用效应
讨论双因素方差分析中的交互作 用效应，即两个因素共同影响一 个变量。
双因素方差分析的应用举例
给出一些实际应用中的双因素方 差分析案例，展示其在研究中的 重要性。
方差分析在实际应用中的研究方向
展望方差分析在实际应用中的研究方向，如新的数据分析方法和技术。
方差分析的未来发展趋势
讨论方差分析的未来发展趋势，如与其他统计方法的整合和自动化分析工具的应用。
《方差分析讲义》PPT课 件
方差分析讲义是一份用于PPT演示的课件，主要介绍了方差分析的基本概念、 原理、应用以及局限性。
什么是方差分析
方差分析的基本概念
解释方差分析是一种统计方 法，用于比较两个或多个样 本间的差异。
单因素方差分析
介绍单因素方差分析，该方 法用于比较一个因素（组别） 对一个变量的影响。
方差分析的局限性
1
方差分析的局限性与注意事项
2
介绍方差分析的局限性和注意事项，帮
助用户正确解读结果。
3
方差分析的前提条件
方差分析 PPT
H0: 1 =2 … H0: 1 =2 …
假定原假设成立
r
2 i
i1 ＝0
1
E(S A ) =
SS A 2 1
SSA ＝ SSe
1 (r 1)
FA SA / Se 1
说明条件引起的波动与试验 误差引起的波动差不多。
§1.2 单因素方差分析
方差分析的原理
➢ （5）统计量的分布
➢方差齐性 （homoscedascity）：各水平下的总体具有相 同的方差。但实际上，只要最大/最小方差小于3，分析结果
都是稳定的。可用Levene test、Brown- Forsythe‘s Test 。
§1 方差分析
主要内容
§1.1 基本概念 §1.2 单因素方差分析 §1.3 双因素方差分析 §1.4 多因素方差分析 §1.5 多重t-test方法
∼ N (02, )
r
E( i. 2 ) 2 r
E( 2 ) 2
r
[ ] r
SS A E
( )2 r
i
i.
2 i
(
1)
2
i1 j
i1
1
SA
SS A
1
r
2 i
i1
1
2
Se =
SSe
(r 1)
2
误差方差是总体方差的无偏估计
§1.2 单因素方差分析
单因素方差分析的数学模型
（4）构造原假设和统计量
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4
§1 方差分析
主要内容
基本概念 单因素方差分析 两因素方差分析 多因素方差分析
§1.2 单因素方差分析
概述
➢单因素方差是仅仅讨论一种试验条件对试验结果有无显 著影响的分析。 ➢单因素方差分析对因素的水平数没有限制，可任意选择 ，但一般多见的是选3至6个水平。
假定原假设成立
r
2 i
i1 ＝0
1
E(S A ) =
SS A 2 1
SSA ＝ SSe
1 (r 1)
FA SA / Se 1
说明条件引起的波动与试验 误差引起的波动差不多。
§1.2 单因素方差分析
方差分析的原理
➢ （5）统计量的分布
➢方差齐性 （homoscedascity）：各水平下的总体具有相 同的方差。但实际上，只要最大/最小方差小于3，分析结果
都是稳定的。可用Levene test、Brown- Forsythe‘s Test 。
§1 方差分析
主要内容
§1.1 基本概念 §1.2 单因素方差分析 §1.3 双因素方差分析 §1.4 多因素方差分析 §1.5 多重t-test方法
∼ N (02, )
r
E( i. 2 ) 2 r
E( 2 ) 2
r
[ ] r
SS A E
( )2 r
i
i.
2 i
(
1)
2
i1 j
i1
1
SA
SS A
1
r
2 i
i1
1
2
Se =
SSe
(r 1)
2
误差方差是总体方差的无偏估计
§1.2 单因素方差分析
单因素方差分析的数学模型
（4）构造原假设和统计量
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4
§1 方差分析
主要内容
基本概念 单因素方差分析 两因素方差分析 多因素方差分析
§1.2 单因素方差分析
概述
➢单因素方差是仅仅讨论一种试验条件对试验结果有无显 著影响的分析。 ➢单因素方差分析对因素的水平数没有限制，可任意选择 ，但一般多见的是选3至6个水平。
第三章_方差分析
i （xij、
方差分析的线性模型
（5-4）、（5-6）两式告诉我们： 每 个 观 测 值 都包含处理效应（μi-μ 或 xi . x..），与误差（ x ij i 或 xij xi. )，故 kn个观测值的总变异可分解为处理间的变异 和处理内的变异两部分。
平方和与自由度的剖分
表中
x ij 表示第i个处理的第j个观测值
（i=1,2,…,k；j=1,2,…,n）；
x x 表示第i个处理n个观测值的和；
i. j 1
n
n
ij
x..
xij xi .
i 1 j 1
n ij
k
k
表示全部观测值的总和； 表示第i个处理的平均数； 表示全部观测值的总平均数；
方差分析的基本思想和原理
（方差的比较）
1. 如果不同变异(水平)对株高(结果)没有影响，那么
在处理间方差中只包含有随机误差，而没有系统 误差。这时，处理间方差与处理内方差就应该很 接近，两个方差的比值就会接近1 如果不同的水平对结果有影响，在处理间方差中 除了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这 时处理间方差就会大于处理内方差，处理间方差 与处理内方差的比值就会大于1 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平 之间存在着显著差异
总平方和的剖分 在表5-1中，反映 全部观测值总变异的总 平方和是各观测值xij与总平均数的离均差平 方和，记为SST。即
SST ( x ij x.. )
i 1 j 1
k
n
2
因为
( x
i 1 j 1 k n i 1 j 1 k
k
n
ij
x..) ( xi . x..) ( xij xi .)
31单因素方差分析-文档资料
① Yi ~ N (i , 2 ) ，
② 从 Yi 中抽取的样本 yi1, yi2 ,, yini 相互独立．
则 yij ~ N(i , 2 ) 且相互独立， j 1, 2,, ni 令 ij yij i ~N(0,2)
则 yij i ij ---均值 i 与随机误差 ij 迭加
ST SSA SSE S
总离差 回归平 平方和 方和
残差平 方和
总平方 因素平 偏差平
和
方和
方和
变量•• 自回（变归定定计量分性量量：析变非量不随取）机可值量可化量(化因计 计回素数 量归)用给变 变分语变量 量析言量 或赋不连代值••连续自方号(续变取赋差标量取值分予明(（析因值(代定属 身素(码性,次性 高)标(：变性温数,量明 非人别度）,随一数,机)品,二)种等))
11 , 12 ,, 1n1
ni
1 1 j / n1 j 1
Ai N (i , 2 )
……
yi1, yi2 ,, yin1i
ni
yi yij / ni j 1
i1, i2 ,, ini
ni
i ij / ni j 1
Aa N (a , 2 )
则 i i
表明第 i 个总体均值是一般平均
与效应的迭加，总效应为 0．
5
因素 A 各水平下 的水平 总体
因变量 Y 各水平下样本
表 3.1
因变量 Y 各水平下均值
各水平下 随机误差
各水平下 随机误差均值
A1 N (1, 2 )
……
y11, y12 ,, y1n1
n1
y1 y1 j / n1 j 1
Y的 总变化
② 从 Yi 中抽取的样本 yi1, yi2 ,, yini 相互独立．
则 yij ~ N(i , 2 ) 且相互独立， j 1, 2,, ni 令 ij yij i ~N(0,2)
则 yij i ij ---均值 i 与随机误差 ij 迭加
ST SSA SSE S
总离差 回归平 平方和 方和
残差平 方和
总平方 因素平 偏差平
和
方和
方和
变量•• 自回（变归定定计量分性量量：析变非量不随取）机可值量可化量(化因计 计回素数 量归)用给变 变分语变量 量析言量 或赋不连代值••连续自方号(续变取赋差标量取值分予明(（析因值(代定属 身素(码性,次性 高)标(：变性温数,量明 非人别度）,随一数,机)品,二)种等))
11 , 12 ,, 1n1
ni
1 1 j / n1 j 1
Ai N (i , 2 )
……
yi1, yi2 ,, yin1i
ni
yi yij / ni j 1
i1, i2 ,, ini
ni
i ij / ni j 1
Aa N (a , 2 )
则 i i
表明第 i 个总体均值是一般平均
与效应的迭加，总效应为 0．
5
因素 A 各水平下 的水平 总体
因变量 Y 各水平下样本
表 3.1
因变量 Y 各水平下均值
各水平下 随机误差
各水平下 随机误差均值
A1 N (1, 2 )
……
y11, y12 ,, y1n1
n1
y1 y1 j / n1 j 1
Y的 总变化
方差分析-1
第一节 方差分析的基本原理和方法
上述总变异的自由度和平方和可分解为组间和组内两个 部分。组间变异即k个平均数的变异，故其自由度为k－1， 平方和 SSt 为：
SSt n ( xi x )
2
组内的变异为各组内观察值与组平均数的相差，故每组 具有n－1个自由度，平方和为 ( xij xi ) 2 ，而总共有k 组资料， 故组内自由度为k（n－1），而组内平方和SSe为：
第一节 方差分析的基本原理和方法
1. 自由度和平方和的分解 2. F分布(F Distribution) 3. 多重比较(multiple comparisons) 4. 方差分析的基本假定 5. 数据转换
第一节 方差分析的基本原理和方法
1、自由度和平方和的分解
设有K组样本，每样本均具有n个观察值，则该资料共有 nk个观察值，数据如下表。 表 每组具n个观察值的k组样本的符号表
xi
xk
T xij x
x
Xij，i=1,2,……k，j=1,2,……n。
第一节 方差分析的基本原理和方法
总平方和 (SST) 总变异是nk个观察值的变异，故其自由度为 nk－1，平方和SST为：
SST ( x x ) 2 x 2 ( x ) 2 nk (T ) 2 x2 nk
( xij x ) 2 n ( xi x ) 2 [ ( xij xi ) 2 ]
1 i 1 i 1 j 1
nk
k
k
n
第一节 方差分析的基本原理和方法
均方的计算：
SST S nk 1 SSt 2 St k 1 SS e 2 Se k (n 1)
第三章 方差分析
第三章_单因素方差分析与多重比较精品
第三章_单因素方差分析与多重比较精品单因素方差分析是统计学中用于比较不同组之间差异的一种方法。
通过对多个组进行方差分析，可以确定是否有统计上显著的差异存在。
然而，在进行多组比较时，会面临多个比较中出现误差增加的问题。
因此，多重比较技术被提出，用于解决这个问题。
首先，我们来了解单因素方差分析。
单因素方差分析是通过比较不同组之间的方差差异来确定是否存在显著的组间差异。
在进行单因素方差分析时，我们需要计算组内的平均平方差（MSW）和组间的平均平方差（MSB），然后计算F值，再通过比较F值与临界F值来确定差异是否显著。
然而，当进行多组比较时，会遇到一种被称为多重比较问题的情况。
多重比较问题是指在进行多次比较时，由于进行多个比较而增加了整体犯错的可能性。
举例来说，如果我们进行了十次不同组的比较，每次比较的显著性水平设定为0.05，那么整体犯错的概率就会增加到0.50，即有一半的可能性会发生错误。
为了解决多重比较问题，研究人员引入了多重比较技术。
多重比较技术有多种方法，其中一种常用的方法是泰基法（Tukey's method）。
泰基法通过比较不同组之间的均值差异来确定哪些组之间存在显著差异。
具体而言，泰基法计算了每对组之间的均值差异，并利用一个修正的显著水平来设置显著性门限。
只有当两组之间的均值差异超过这个门限时，才被认为是显著的。
除了泰基法外，还有其他多重比较方法，例如邓肯多重范围检验（Duncan's multiple range test）和奥内尔法（Bonferroni method）。
这些方法各有优点和局限性，研究人员可以根据实际情况选择最适合的方法。
在使用多重比较技术时，需要注意以下几点。
首先，选择适当的显著性水平是非常重要的。
不同的显著性水平会对结果产生不同的影响。
其次，在进行多次比较时，应该考虑调整显著性水平，以控制整体的犯错率。
此外，还需要根据实际问题选择合适的多重比较方法，以便获得可靠的结果。
方差分析原理
方差分析原理方差分析（ANOVA）是一种统计学方法，用于比较三个或三个以上组的平均值是否存在显著差异。
它是通过比较组内变异和组间变异的大小来判断组间差异是否显著。
方差分析可以用于不同实验设计和数据类型，是许多统计分析的基础。
首先，我们来了解一下方差分析的基本原理。
方差分析的核心思想是将总体的方差分解为组内变异和组间变异两部分。
组内变异是指同一组内个体之间的差异，而组间变异是指不同组之间的差异。
通过比较组内变异和组间变异的大小，我们可以判断组间差异是否显著。
在进行方差分析时，我们需要计算F值来判断组间差异是否显著。
F值是组间均方与组内均方的比值，它反映了组间变异与组内变异的相对大小。
当F值大于1时，表示组间差异较大，我们可以拒绝原假设，认为组间差异显著。
方差分析有不同的类型，包括单因素方差分析、双因素方差分析和多因素方差分析。
在单因素方差分析中，我们只考虑一个自变量对因变量的影响；在双因素方差分析中，我们考虑两个自变量对因变量的影响；而在多因素方差分析中，我们考虑多个自变量对因变量的影响。
除了了解方差分析的基本原理，我们还需要注意方差分析的假设条件。
方差分析的假设包括正态性假设、方差齐性假设和独立性假设。
正态性假设是指因变量在各组内呈正态分布；方差齐性假设是指各组的方差相等；独立性假设是指各组之间相互独立。
在进行方差分析前，我们需要对这些假设进行检验，以确保分析结果的可靠性。
在实际应用中，方差分析常常与其他统计方法结合使用，如回归分析、协方差分析等。
通过综合运用不同的统计方法，我们可以更全面地分析数据，得出更可靠的结论。
总之，方差分析是一种重要的统计方法，它可以用于比较多个组的平均值是否存在显著差异。
通过了解方差分析的基本原理、假设条件和应用范围，我们可以更好地应用这一方法，从而更准确地分析数据，得出科学的结论。
课件方差分析
例子2
五个商店以各自的销售方式卖出新型健身器， 连续五天各商店健身器的销售量如下表所示。销 售量服从正态分布，且具有方差齐性，试考察销 售方式对销售量有无显著影响，并对销售量作两 两比较。
双因素方差分析假设
双因素方差分析数据结构表
双因素方差分析表
双因素方差分析SPSS界面
例子１
例子２
西方国家有一种说法，认为精神病与月亮有关，月 圆时，人盯着州亮看，看得太久，就会得精神病。中医 也有一种说法，认为精神病与季节有关，特别是春季， 人最容易得精神病。为了检验这两种说法是否有道理， 对某地平均每日精神病发病人数统计如下：
SSR与MSR
组间差异（组间平方和，简称SSR）： 各组平均值与总平均值离差的平方和， 反映了各水平之间的差异程度或不同 的处理造成的差异。
组间均方: MSR= SSR /(自由度k-l)
SSE与MSE
组内差异（组内平方和、残差平方和， 简称SSE）： 每个样本数据与其组平均值离差的平方和， 反映了随机误差造成差异的大小。
例子２
Байду номын сангаас
单因素练习1
某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共 有四种，分别为桔黄色、粉色、绿色和无色透明。随机从 五家超级市场上收集了前一期该种饮料的销售量。
问：饮料的颜色是否对销售量产生影响。
超市 1 2 3 4 5
无色 26.5 28.7 25.1 29.1 27.2
粉色 桔黄色 绿色 31.2 27.9 30.8 28.3 25.1 29.6 30.8 28.5 32.4 27.9 24.2 31.7 29.6 26.5 32.8
概述 方差分析的分类
方差分析按所涉及因素的多少可分为： 单因素方差分析 双因素方差分析 多因素方差分析
3 方差分析
= 15368.7 − 15169.03 = 199.67
• 处理间平方和
SSt = 1 1 xi .2 − C = (155.9 2 + 131.4 2 + 123.7 2 + 139.8 2 ) − C n 5 = 15283.3 − 15169.03 = 114.27
– 将分子─总平方和，分解成处理间平方和 将分子─总平方和， 与处理内平方和两部分； 与处理内平方和两部分； – 将分母─总自由度，分解成处理间自由度 将分母─总自由度， 与处理内自由度两部分。 与处理内自由度两部分。
2.1 总平方和的分解
(1) 总变异 • 即总平方和是各观测值xij 与总平均数的离均 与总平均数的离均 平方和， 差平方和，记为SST 即：
2.3 方差的计算
• 各部分平方和除以各自的自由度便得到各自 方差或 均方. 方差或称均方 • 总变异，处理间均方、处理内均方 误差均 总变异，处理间均方、处理内均方(误差均 方)，分别记为MST、MSt和MSe。即 ，
MS T =
2 ST
= SS T / df T
MSt =
2 St
= SSt / df t
温 度 60℃ A1） 60℃（A1） 70℃（A2） 70℃ A2） 80℃ A3） 80℃（A3） 90℃ A4） 90℃（A4） 合 计 1 31.9 24.8 22.1 27.0 次 2 27.9 25.7 23.6 30.8 数（xij） 3 4 31.8 28.4 26.8 27.9 27.3 24.9 29.0 24.5 合计xi. 平均xi. 5 35.9 26.2 25.8 28.5 155.9 131.4 123.7 139.8 139.8 550.8 31.18 26.28 24.74 27.96
第三章_单因素方差分析与多重比较
第三章_单因素方差分析与多重比较1.引言在统计学中，方差分析是一种用于比较不同组之间差异的方法。
它可以帮助我们确定不同因素之间是否存在显著差异，以及哪些因素对结果有重要影响。
在实际应用中，我们常常需要使用单因素方差分析，即只考虑一种因素对结果的影响。
本章将介绍单因素方差分析的基本原理和方法，以及如何进行多重比较来进一步分析不同组之间的差异。
2.单因素方差分析的基本原理在单因素方差分析中，我们假设只有一个因素对结果有影响，而其他因素对结果没有影响。
我们通过计算组内变异和组间变异来判断不同组之间是否存在显著差异。
组内变异表示同一组内部个体之间的差异，而组间变异表示不同组之间的差异。
如果组间变异显著大于组内变异，则可以认为不同组之间存在显著差异。
为了进行单因素方差分析，我们需要满足以下几个前提条件：1）样本来自正态分布总体；2）各个组的方差相等；3）各个组的观测值之间相互独立。
3.单因素方差分析的步骤单因素方差分析的步骤通常包括以下几个步骤：1）建立假设：根据实际问题，我们需要建立相应的零假设和备择假设。
零假设通常表示不同组之间没有显著差异，而备择假设表示不同组之间存在显著差异。
2）计算统计量：根据计算公式，计算组内平方和和组间平方和，进而计算F值。
3）判断显著性：根据给定的显著性水平，查表或计算P值，判断F 值是否显著。
4）做出结论：根据显著性检验的结果，决定是否接受零假设，进而得到结论。
4.多重比较在单因素方差分析中，如果我们得到了显著的F值，说明不同组之间存在差异，但是并不能告诉我们具体是哪些组之间存在差异。
这时候，我们可以进行多重比较来进一步分析不同组之间的差异。
多重比较可以帮助我们确定哪些组之间存在显著差异，以及差异的大小。
常用的多重比较方法包括Bonferroni法、Tukey法和Duncan法等。
这些方法都可以通过计算置信区间来确定差异的显著性。
多重比较的步骤通常包括以下几个步骤：1）计算均值差异：首先计算不同组之间的均值差异，可以通过计算置信区间来确定差异的显著性。
方差分析课件
均方
MSb MSw
F
MSb / MSw
方差分析的简单应用
例：对15名被试在三种不同类型词语（积极、消极和中性 词语）上的回忆成绩进行了测查。试通过单因素方差分析 方法对词语类型对回忆成绩的影响进行方差分析。
积极 32 30 26 22 29
消极 15 13 12 10 8
中性 45 40 42 38 35
示例：方差分析的逻辑
不同年级学生识记单词的分数
一年级
二年级
三年级
2
10
9
3
7
11
3
9
10
4
6
10
平均：3
平均：8
平均：10
★总体变异的构成：组间变异、组内变异 总平方和=组间平方和+组内平方和
二、方差分析的基本过程
1. 求平方和
2. 确定自由度 3. 求均方 4. 进行F检验 5. 列出方差分析表
方差分析的自由度
1. 组间自由度 2. 组内自由度 3. 总自由度
k n
2 kn
2
k
2
x ij x t x i x j n • xj x t
j 1i 1
j 1i 1
j 1
示例：方差分析表
表 方差分析表
变异来源
组间 组内
总变异
平方和
SSb SSw SSt
自由本条件
1.总体正态分布 2.变异的可加性 3.各处理内的方差一致
四、方差分析中的方差齐性检验
查附表5需要的三个条件： 1. 方差的组数K； 2. 自由度：n相等时，df=n-1
n不相等时，df=nmax-1 3. 显著性水平
五、各个平均数之间的比较
课本114页
谢谢捧场
方差分析_精品文档
2021/5/27
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2.2 组内观测次数相等的方差分析 K组处理中，每一处理皆有n个观测值，其方
差分析方法同前。
表5. 组内观测次数相等的单因素方差分析
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45
例2.测定东北、内蒙古、河北、安徽、贵 州五个地区冬季针矛的长度，每个地区
随机抽取4个样本，测定结果如表示，试 比较各地区针毛长度差异显著性。
27
其中平均数差数标准误计算公式：
s x1x2
s12s22 n1 n2
se2(n11n12)
当n1=n2时，sx1x2
2se2 n
s e 2 为处理内误差方差，n为每一处理观察次数。
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例1. 表1. 氨氮含量(ppm)
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根据例1， s 2se2 2*9.112.13
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1.4.1 平方和的分解 总平方和=处理间平方和+处理内平方和
SSTSSt SSe
k
S S T 1
n(x x )2x 2 ( x )2x 2 T 2
1
k n
k n
令 C T 2 ，
kn
SST x2C
SSt =
Ti2 C n
SSe SSTSSt
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10
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例如，分析不同施肥量是否给农作物产
量带来显著影响，考察地区差异是否影 响妇女的生育率，研究学历对工资收入 的影响等。这些问题都可以通过单因素 方差分析得到答案。
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40
• 单因素方差分析的第一步是明确观测变 量和控制变量。例如，上述问题中的观
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i 1
0
平方和与自由度的分解
∴ ( xi j x..)2
i 1 j 1
k
k
n
n ( xi. x..) ( xij xi. )
2 i 1 i 1 j 1
k
n
2
其中
n ( xi. x..)2
i 1
k
称为处理间平方和，记为SSt，即
而
( x
假设某单因素试验有k个处理， 每个处理有 n 个观察值，共有 nk 个观测值。这类试验资料的数据 模式如表3-2所示。
表3-2 每处理具n个观测值的k组数据的符号表
处理
1 x11
2 x21 x22 … x2j
… … … … …
i xi1 xi2 …
… … … … …
k
xk1
xk2 … xkj
观 察 值
B C D
E
21 22 19
15
19 23 20
16
18 22 19
16
18 20 18
17
76 87 76
64
19.00 21.75 19.00
16.00
T=392 x..=19.6
解：
①建立假设 H0：各组平均数相等 HA：各组平均数不全相等 ②计算统计量 “F＝组间均方／组内均方” 在计算组间均方时，使用自由度为（k-1）， 计算组内均方时，使用自由度为 k(n-1)。
p25作业
4.从胡萝卜中提取β-胡萝卜素的传统 工艺提取率为91%。现有一新的提取 工艺，用新工艺重复8次提取试验，得 平均提取率=95%，标准差S=7%。试 检验新工艺与传统工艺在提取率上有 无显著性差异？
解： （1）提出假设 H0:μ=μ0=91%；即认为新工艺与传统工艺在提取率上无显著差异。 HA:μ≠μ0 （2）选取显著水平α＝0.05
MSt= St2 =SSt/dft;
MSe= Se2 =SSe/dfe
方差检验的步骤
①建立假设 H0：各组平均数相等 HA：各组平均数不全相等 ②计算统计量 “F＝组间均方／组内均方” 在计算组间均方时，使用自由度为（k-1），计算 组内均方时，使用自由度为 k(n-1)。 ③查表、推断 F 满足第一自由度为（ k-1 ），第二自由度为 k(n-1) 的F分布。查表。若F值大于0.05临界值，则 拒绝原假设，认为各组平均数存在显著差异。。。 ④结论
k n
SST ( xij x.. ) 2
i 1 j 1
k
n
2 2 ( x x ) [( x x ) ( x x )] ij .. ij i. i. .. i 1 j 1 i 1 j 1
k
n
2 ( x x ..) ij i 1 j 1 k n
在计算处理间平方和时，各处理均数要受
(x
i 1
i.
x..) 0
这一条件的约束，故处理间自由度为
处理数减一，即k-1。 处理间自由度记为dft ，则dft=k-1。
在计算处理内平方和时，要受k个条件的约束， 即
i=1,2,...k 0 。故处理内自由度 ( x x )，
用组内方差来进行解释，从而判断若干 组样本是否来自同一总体。
方差分析优缺点
优：可以一次检验多组样本，避免 了t检验一次只能比较两组的缺陷。 缺：只能反映出各组样本中存在着
差异，但具体是哪一组样本存在差异，
无法进行判定。
多重比 较
方差分析的意义
其目的是推断两组或多组 资料的总体均数是否相同，检 验两个或多个样本均数的差异 是否有统计学意义。
二、平方和与自由度的分解
方差与标准差都可以用来度量样本 的变异程度。在方差分析中是用样本方 差即均方 (mean squares) 来度量资料的 变异程度的。 表 3-2 中全部观察值的总变异可以 用总均方来度量，处理间变异和处理内 变异分别用处理间均方和处理内均方来 度量。
㈠ 总平方和的分解
在表 3-2 中，反映全部观察值总变异的总 平方和是各观察值与总平均数的离均差平方 和，记为SST。即 因为
dfT =nk-1=4×5-1=19
处理间自由度 dft=k-1=5-1=4 处理内自由度 dfe =dfT－dft=19-4=15
方差计算如下：
St2=MSt=SSt /dft=101.3/4=25.32
Se2= MSe=SSe /dfe=21.5/15=1.43
解
③查表、推断 F满足第一自由度为（k-1），第二自 由度为k(n-1) 的F分布。查表。若F值大 于 0.05 临界值，则拒绝原假设，认为各 组平均数存在显著差异。
5.国际规定花生仁中黄曲霉毒素B1含 量不得超过20μg/kg。现从一批花生仁 中随机抽取30个样来检测其黄曲霉毒 素B1含量，得平均数=25 μg/kg ，标准 差S=1.2 μg/kg。问这批花生仁中的黄 曲霉毒素B1 是否超标？
解： （1）提出假设 H0:μ≤μ0=20 μg/kg ；即认为这批花生仁中的黄曲霉毒素B1 没有超标。 HA:μ＞μ0 （2）选取显著水平α＝0.05
教学内容
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的基本原理 二、平方和与自由度的分解 三、多重比较
一、方差分析的基本原理
计算观察值的组间方差和组内 方差，并计算两者的比值，如果该 比值比较小，说明组间方差与组内 方差比较接近，组间方差可以用组 内方差来解释，从而说明组间差异 不存在。
二、平方和与自由度的分解
Excel、SPSS的应用
p=1.52×10-5＜0.01，即 接受HA，认为5种不同 大豆品种对产量的影响 达到极显著差异。
（3）计算统计量
x 0 95 91 t 1.616 s 7/ 8 n
（4）推断并做出结论 df=8-1=7，查表1，得双尾t0.05,7＝2.365，t ＜ t0.05,7，故p＞ 0.05， 则接受H0，拒绝HA ，即认为新工艺与传统工艺在提取率上无显著 差异。
p25作业
第三章 方差分析
2015-09-28
教学目的与要求
1. 了解方差分析的概念和作用；
2. 掌握方差分析的基本原理和步骤；
3. 掌握单向分组资料的方差分析；
4. 掌握两向分组资料的方差分析。
教学内容
第一节 第二节 方差分析的基本原理 单向分组资料方差分析
第三节
两向分组资料方差分析
方差分析的概念
方差分析（ Analysis Of Variance， ANOVA）又称变异数 分析或 F 检验， 比较组间方差是否可以
x12 … x1j
xij
… xin
Ti.
… x1n
总和Ti. 平均 xi. T1.
… x2n
T2.
x1.
x2.
… … … …
xi.
… … … …
… xkn
Tk.
T=∑∑ xij
xk .
x..
二、平方和与自由度的分解
方差分析的基本思想， 就是将总变差分解为各构成 部分之和，然后对它们作统 计检验。即：
【例3.1】 设有A、B、C、D、E 5个大豆品种（k＝5）， 其中E为对照，进行大区比较试验，成熟后分别在5块地 测产量，每块地随机抽取 4 个样点（ n ＝ 4 ），每点产量 （kg）列于表3-3，试做方差分析。 表3-3 大豆品种比较试验结果 单位：kg/小区 品种 A 取样点 1 23 2 21 3 24 4 21 总和Ti. 89 平均 xi. 22.25
i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1
k
n
k
n
平方和与自由度的分解 k n ( xij xi. )( xi. x ..) i 1 j 1 由于
n ( xi. x ..) ( xij xi. ) i 1 j 1 k k
( xi. x ..) [(xi. xi. )]
k
n
平方和与自由度的分解
( xij xi. xi x..)2
i 1 j 1
k n
[(xij xi. ) 2 2( xij xi. )(xi x..) ( xi x..)2 ]
i 1 j 1 k n
[(xij xi. ) 2 ( xi x..)2 2 ( xij xi )(xi x..)
这是一个单因素试验，处理数k =5，重 复数n=4。
各项平方和与自由度计算如下： 矫正数 总平方和 C=T2/nk=3922/（4×5）=7683.2
2 SST xij C 232 212 ... 202 7683 .2 122.8
处理间平方和 SS t 1 Ti 2 C n 2 =1/4（89 +762+872＋762+642）-7683.2 =101.3 处理内平方和 SS e=SST -SSt=122.8-101.3=21.5 总自由度
表3-4 表3-3资料方差分析表
变差 来源
SS
df
4 15
s2
25.32 1.43
F
17.71**
F0.05
3.06
F0.01
4.89
品种间 101.3 品种内 21.5
总 和
122.8
19
解：
④结论 ∵F ＞ F0.01， ∴p＜ 0.01，拒绝原假设 H0 ，认为 5 种不同大豆品种对产量的影 响达到极显著差异。
（3）计算统计量
t
x 0 25 20 22.833 s 1.2/ 30 n
Hale Waihona Puke （4）推断并做出结论 df=30-1=29，查表1，得单尾t0.05,29＝1.699，t ＞ t0.05,7，故p ＜ 0.05， 则拒绝H0，接受HA ，即认为这批花生仁中的黄曲霉毒素B1 有超标。
0
平方和与自由度的分解
∴ ( xi j x..)2
i 1 j 1
k
k
n
n ( xi. x..) ( xij xi. )
2 i 1 i 1 j 1
k
n
2
其中
n ( xi. x..)2
i 1
k
称为处理间平方和，记为SSt，即
而
( x
假设某单因素试验有k个处理， 每个处理有 n 个观察值，共有 nk 个观测值。这类试验资料的数据 模式如表3-2所示。
表3-2 每处理具n个观测值的k组数据的符号表
处理
1 x11
2 x21 x22 … x2j
… … … … …
i xi1 xi2 …
… … … … …
k
xk1
xk2 … xkj
观 察 值
B C D
E
21 22 19
15
19 23 20
16
18 22 19
16
18 20 18
17
76 87 76
64
19.00 21.75 19.00
16.00
T=392 x..=19.6
解：
①建立假设 H0：各组平均数相等 HA：各组平均数不全相等 ②计算统计量 “F＝组间均方／组内均方” 在计算组间均方时，使用自由度为（k-1）， 计算组内均方时，使用自由度为 k(n-1)。
p25作业
4.从胡萝卜中提取β-胡萝卜素的传统 工艺提取率为91%。现有一新的提取 工艺，用新工艺重复8次提取试验，得 平均提取率=95%，标准差S=7%。试 检验新工艺与传统工艺在提取率上有 无显著性差异？
解： （1）提出假设 H0:μ=μ0=91%；即认为新工艺与传统工艺在提取率上无显著差异。 HA:μ≠μ0 （2）选取显著水平α＝0.05
MSt= St2 =SSt/dft;
MSe= Se2 =SSe/dfe
方差检验的步骤
①建立假设 H0：各组平均数相等 HA：各组平均数不全相等 ②计算统计量 “F＝组间均方／组内均方” 在计算组间均方时，使用自由度为（k-1），计算 组内均方时，使用自由度为 k(n-1)。 ③查表、推断 F 满足第一自由度为（ k-1 ），第二自由度为 k(n-1) 的F分布。查表。若F值大于0.05临界值，则 拒绝原假设，认为各组平均数存在显著差异。。。 ④结论
k n
SST ( xij x.. ) 2
i 1 j 1
k
n
2 2 ( x x ) [( x x ) ( x x )] ij .. ij i. i. .. i 1 j 1 i 1 j 1
k
n
2 ( x x ..) ij i 1 j 1 k n
在计算处理间平方和时，各处理均数要受
(x
i 1
i.
x..) 0
这一条件的约束，故处理间自由度为
处理数减一，即k-1。 处理间自由度记为dft ，则dft=k-1。
在计算处理内平方和时，要受k个条件的约束， 即
i=1,2,...k 0 。故处理内自由度 ( x x )，
用组内方差来进行解释，从而判断若干 组样本是否来自同一总体。
方差分析优缺点
优：可以一次检验多组样本，避免 了t检验一次只能比较两组的缺陷。 缺：只能反映出各组样本中存在着
差异，但具体是哪一组样本存在差异，
无法进行判定。
多重比 较
方差分析的意义
其目的是推断两组或多组 资料的总体均数是否相同，检 验两个或多个样本均数的差异 是否有统计学意义。
二、平方和与自由度的分解
方差与标准差都可以用来度量样本 的变异程度。在方差分析中是用样本方 差即均方 (mean squares) 来度量资料的 变异程度的。 表 3-2 中全部观察值的总变异可以 用总均方来度量，处理间变异和处理内 变异分别用处理间均方和处理内均方来 度量。
㈠ 总平方和的分解
在表 3-2 中，反映全部观察值总变异的总 平方和是各观察值与总平均数的离均差平方 和，记为SST。即 因为
dfT =nk-1=4×5-1=19
处理间自由度 dft=k-1=5-1=4 处理内自由度 dfe =dfT－dft=19-4=15
方差计算如下：
St2=MSt=SSt /dft=101.3/4=25.32
Se2= MSe=SSe /dfe=21.5/15=1.43
解
③查表、推断 F满足第一自由度为（k-1），第二自 由度为k(n-1) 的F分布。查表。若F值大 于 0.05 临界值，则拒绝原假设，认为各 组平均数存在显著差异。
5.国际规定花生仁中黄曲霉毒素B1含 量不得超过20μg/kg。现从一批花生仁 中随机抽取30个样来检测其黄曲霉毒 素B1含量，得平均数=25 μg/kg ，标准 差S=1.2 μg/kg。问这批花生仁中的黄 曲霉毒素B1 是否超标？
解： （1）提出假设 H0:μ≤μ0=20 μg/kg ；即认为这批花生仁中的黄曲霉毒素B1 没有超标。 HA:μ＞μ0 （2）选取显著水平α＝0.05
教学内容
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的基本原理 二、平方和与自由度的分解 三、多重比较
一、方差分析的基本原理
计算观察值的组间方差和组内 方差，并计算两者的比值，如果该 比值比较小，说明组间方差与组内 方差比较接近，组间方差可以用组 内方差来解释，从而说明组间差异 不存在。
二、平方和与自由度的分解
Excel、SPSS的应用
p=1.52×10-5＜0.01，即 接受HA，认为5种不同 大豆品种对产量的影响 达到极显著差异。
（3）计算统计量
x 0 95 91 t 1.616 s 7/ 8 n
（4）推断并做出结论 df=8-1=7，查表1，得双尾t0.05,7＝2.365，t ＜ t0.05,7，故p＞ 0.05， 则接受H0，拒绝HA ，即认为新工艺与传统工艺在提取率上无显著 差异。
p25作业
第三章 方差分析
2015-09-28
教学目的与要求
1. 了解方差分析的概念和作用；
2. 掌握方差分析的基本原理和步骤；
3. 掌握单向分组资料的方差分析；
4. 掌握两向分组资料的方差分析。
教学内容
第一节 第二节 方差分析的基本原理 单向分组资料方差分析
第三节
两向分组资料方差分析
方差分析的概念
方差分析（ Analysis Of Variance， ANOVA）又称变异数 分析或 F 检验， 比较组间方差是否可以
x12 … x1j
xij
… xin
Ti.
… x1n
总和Ti. 平均 xi. T1.
… x2n
T2.
x1.
x2.
… … … …
xi.
… … … …
… xkn
Tk.
T=∑∑ xij
xk .
x..
二、平方和与自由度的分解
方差分析的基本思想， 就是将总变差分解为各构成 部分之和，然后对它们作统 计检验。即：
【例3.1】 设有A、B、C、D、E 5个大豆品种（k＝5）， 其中E为对照，进行大区比较试验，成熟后分别在5块地 测产量，每块地随机抽取 4 个样点（ n ＝ 4 ），每点产量 （kg）列于表3-3，试做方差分析。 表3-3 大豆品种比较试验结果 单位：kg/小区 品种 A 取样点 1 23 2 21 3 24 4 21 总和Ti. 89 平均 xi. 22.25
i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1
k
n
k
n
平方和与自由度的分解 k n ( xij xi. )( xi. x ..) i 1 j 1 由于
n ( xi. x ..) ( xij xi. ) i 1 j 1 k k
( xi. x ..) [(xi. xi. )]
k
n
平方和与自由度的分解
( xij xi. xi x..)2
i 1 j 1
k n
[(xij xi. ) 2 2( xij xi. )(xi x..) ( xi x..)2 ]
i 1 j 1 k n
[(xij xi. ) 2 ( xi x..)2 2 ( xij xi )(xi x..)
这是一个单因素试验，处理数k =5，重 复数n=4。
各项平方和与自由度计算如下： 矫正数 总平方和 C=T2/nk=3922/（4×5）=7683.2
2 SST xij C 232 212 ... 202 7683 .2 122.8
处理间平方和 SS t 1 Ti 2 C n 2 =1/4（89 +762+872＋762+642）-7683.2 =101.3 处理内平方和 SS e=SST -SSt=122.8-101.3=21.5 总自由度
表3-4 表3-3资料方差分析表
变差 来源
SS
df
4 15
s2
25.32 1.43
F
17.71**
F0.05
3.06
F0.01
4.89
品种间 101.3 品种内 21.5
总 和
122.8
19
解：
④结论 ∵F ＞ F0.01， ∴p＜ 0.01，拒绝原假设 H0 ，认为 5 种不同大豆品种对产量的影 响达到极显著差异。
（3）计算统计量
t
x 0 25 20 22.833 s 1.2/ 30 n
Hale Waihona Puke （4）推断并做出结论 df=30-1=29，查表1，得单尾t0.05,29＝1.699，t ＞ t0.05,7，故p ＜ 0.05， 则拒绝H0，接受HA ，即认为这批花生仁中的黄曲霉毒素B1 有超标。