5第三章 方差分析1

假设某单因素试验有k个处理， 每个处理有 n 个观察值，共有 nk 个观测值。这类试验资料的数据 模式如表3-2所示。
表3-2 每处理具n个观测值的k组数据的符号表
处理
1 x11
2 x21 x22 … x2j
… … … … …
i xi1 xi2 …
… … … … …
k
xk1
xk2 … xkj
观 察 值
表3-4 表3-3资料方差分析表
变差 来源
SS
df
4 15
s2
25.32 1.43
F
17.71**
F0.05
3.06
F0.01
4.89
品种间 101.3 品种内 21.5
总 和
122.8
19
解：
④结论 ∵F ＞ F0.01， ∴p＜ 0.01，拒绝原假设 H0 ，认为 5 种不同大豆品种对产量的影 响达到极显著差异。
二、平方和与自由度的分解
方差与标准差都可以用来度量样本 的变异程度。在方差分析中是用样本方 差即均方 (mean squares) 来度量资料的 变异程度的。 表 3-2 中全部观察值的总变异可以 用总均方来度量，处理间变异和处理内 变异分别用处理间均方和处理内均方来 度量。
㈠ 总平方和的分解
在表 3-2 中，反映全部观察值总变异的总 平方和是各观察值与总平均数的离均差平方 和，记为SST。即 因为
【例3.1】 设有A、B、C、D、E 5个大豆品种（k＝5）， 其中E为对照，进行大区比较试验，成熟后分别在5块地 测产量，每块地随机抽取 4 个样点（ n ＝ 4 ），每点产量 （kg）列于表3-3，试做方差分析。 表3-3 大豆品种比较试验结果 单位：kg/小区 品种 A 取样点 1 23 2 21 3 24 4 21 总和Ti. 89 平均 xi. 22.25
Excel、SPSS的应用
p=1.52×10-5＜0.01，即 接受HA，认为5种不同 大豆品种对产量的影响 达到极显著差异。
k
n
平方和与自由度的分解
( xij xi. xi x..)2
i 1 j 1
k n
[(xij xi. ) 2 2( xij xi. )(xi x..) ( xi x..)2 ]
i 1 j 1 k n
[(xij xi. ) 2 ( xi x..)2 2 ( xij xi )(xi x..)
在计算处理间平方和时，各处理均数要受
(x
i 1
i.
x..) 0
这一条件的约束，故处理间自由度为
处理数减一，即k-1。 处理间自由度记为dft ，则dft=k-1。
在计算处理内平方和时，要受k个条件的约束， 即
i=1,2,...k 0 。故处理内自由度 ( x x )，
dfT =nk-1=4×5-1=19
处理间自由度 dft=k-1=5-1=4 处理内自由度 dfe =dfT－dft=19-4=15
方差计算如下：
St2=MSt=SSt /dft=101.3/4=25.32
Se2= MSe=SSe /dfe=21.5/15=1.43
解
③查表、推断 F满足第一自由度为（k-1），第二自 由度为k(n-1) 的F分布。查表。若F值大 于 0.05 临界值，则拒绝原假设，认为各 组平均数存在显著差异。
（3）计算统计量
x 0 95 91 t 1.616 s 7/ 8 n
（4）推断并做出结论 df=8-1=7，查表1，得双尾t0.05,7＝2.365，t ＜ t0.05,7，故p＞ 0.05， 则接受H0，拒绝HA ，即认为新工艺与传统工艺在提取率上无显著 差异。
p25作业
k n
SST ( xij x.. ) 2
i 1 j 1
k
n
2 2 ( x x ) [( x x ) ( x x )] ij .. ij i. i. .. i 1 j 1 i 1 j 1
k
n
2 ( x x ..) ij i 1 j 1 k n
i 1 j 1
k
n
SSt n ( xi. x..)
ij
k
2
xi. )
2
i 1
称为处理内平方和或误差平方和，记为SSe， 即
SSe ( xij xi. ) 2
i 1 j 1 k n
三种平方和的简便计算公式如下：
SST x ij C
2
1 2 SSt Ti C n
i
为资料中观察值的总个数减k，即nk-k。
处理内自由度记为dfe，则dfe=nk-k=k(n-1)。
因为
所以
nk-1=(k-1)+(nk-k)=(k-1)+k(n-1)
dfT= dft+ dfe
dfT nk 1 dft k 1 dfe dfT dft
综合以上各式得：
i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1
k
n
k
n
平方和与自由度的分解 k n ( xij xi. )( xi. x ..) i 1 j 1 由于
n ( xi. x ..) ( xij xi. ) i 1 j 1 k k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( xi. x ..) [(xi. xi. )]
MSt= St2 =SSt/dft;
MSe= Se2 =SSe/dfe
方差检验的步骤
①建立假设 H0：各组平均数相等 HA：各组平均数不全相等 ②计算统计量 “F＝组间均方／组内均方” 在计算组间均方时，使用自由度为（k-1），计算 组内均方时，使用自由度为 k(n-1)。 ③查表、推断 F 满足第一自由度为（ k-1 ），第二自由度为 k(n-1) 的F分布。查表。若F值大于0.05临界值，则 拒绝原假设，认为各组平均数存在显著差异。。。 ④结论
B C D
E
21 22 19
15
19 23 20
16
18 22 19
16
18 20 18
17
76 87 76
64
19.00 21.75 19.00
16.00
T=392 x..=19.6
解：
①建立假设 H0：各组平均数相等 HA：各组平均数不全相等 ②计算统计量 “F＝组间均方／组内均方” 在计算组间均方时，使用自由度为（k-1）， 计算组内均方时，使用自由度为 k(n-1)。
（3）计算统计量
t
x 0 25 20 22.833 s 1.2/ 30 n
（4）推断并做出结论 df=30-1=29，查表1，得单尾t0.05,29＝1.699，t ＞ t0.05,7，故p ＜ 0.05， 则拒绝H0，接受HA ，即认为这批花生仁中的黄曲霉毒素B1 有超标。
这是一个单因素试验，处理数k =5，重 复数n=4。
各项平方和与自由度计算如下： 矫正数 总平方和 C=T2/nk=3922/（4×5）=7683.2
2 SST xij C 232 212 ... 202 7683 .2 122.8
处理间平方和 SS t 1 Ti 2 C n 2 =1/4（89 +762+872＋762+642）-7683.2 =101.3 处理内平方和 SS e=SST -SSt=122.8-101.3=21.5 总自由度
用组内方差来进行解释，从而判断若干 组样本是否来自同一总体。
方差分析优缺点
优：可以一次检验多组样本，避免 了t检验一次只能比较两组的缺陷。 缺：只能反映出各组样本中存在着
差异，但具体是哪一组样本存在差异，
无法进行判定。
多重比 较
方差分析的意义
其目的是推断两组或多组 资料的总体均数是否相同，检 验两个或多个样本均数的差异 是否有统计学意义。
教学内容
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的基本原理 二、平方和与自由度的分解 三、多重比较
一、方差分析的基本原理
计算观察值的组间方差和组内 方差，并计算两者的比值，如果该 比值比较小，说明组间方差与组内 方差比较接近，组间方差可以用组 内方差来解释，从而说明组间差异 不存在。
二、平方和与自由度的分解
平方和与自由度的分解
它们的自由度分别为 nk–1, k–1 和 k(n–1) ， 即 自 由 度 也 作了相应分解：
nk – 1 = k –1 + k(n – 1)
dfT dft dfe
各部分平方和除以各自的自由度便
得到总均方、处理间均方和处理内均方 , 分别记为： MST(或ST2 )、 MSt(或St2 )和MSe(或Se2 ),即 MST= ST2 =SST/dfT;
SSe SST SSt
其中 C=T2/kn 称为矫正数。
(二)总自由度的分解 在计算总平方和时，资料中的各个观察值要 受 ( x x ) 0 这一条件约束，总自由度等于 资料中观察值的总个数减一，即nk-1。
k n i 1 j 1 ij i.

k
总自由度记为dfT，则 dfT =nk-1 。
p25作业
4.从胡萝卜中提取β-胡萝卜素的传统 工艺提取率为91%。现有一新的提取 工艺，用新工艺重复8次提取试验，得 平均提取率=95%，标准差S=7%。试 检验新工艺与传统工艺在提取率上有 无显著性差异？
解： （1）提出假设 H0:μ=μ0=91%；即认为新工艺与传统工艺在提取率上无显著差异。 HA:μ≠μ0 （2）选取显著水平α＝0.05
5.国际规定花生仁中黄曲霉毒素B1含 量不得超过20μg/kg。现从一批花生仁 中随机抽取30个样来检测其黄曲霉毒 素B1含量，得平均数=25 μg/kg ，标准 差S=1.2 μg/kg。问这批花生仁中的黄 曲霉毒素B1 是否超标？
解： （1）提出假设 H0:μ≤μ0=20 μg/kg ；即认为这批花生仁中的黄曲霉毒素B1 没有超标。 HA:μ＞μ0 （2）选取显著水平α＝0.05
第三章 方差分析
2015-09-28
教学目的与要求
1. 了解方差分析的概念和作用；
2. 掌握方差分析的基本原理和步骤；
3. 掌握单向分组资料的方差分析；
4. 掌握两向分组资料的方差分析。
教学内容
第一节 第二节 方差分析的基本原理 单向分组资料方差分析
第三节
两向分组资料方差分析
方差分析的概念
方差分析（ Analysis Of Variance， ANOVA）又称变异数 分析或 F 检验， 比较组间方差是否可以
i 1
0
平方和与自由度的分解
∴ ( xi j x..)2
i 1 j 1
k
k
n
n ( xi. x..) ( xij xi. )
2 i 1 i 1 j 1
k
n
2
其中
n ( xi. x..)2
i 1
k
称为处理间平方和，记为SSt，即
而
( x
x12 … x1j
xij
… xin
Ti.
… x1n
总和Ti. 平均 xi. T1.
… x2n
T2.
x1.
x2.
… … … …
xi.
… … … …
… xkn
Tk.
T=∑∑ xij
xk .
x..
二、平方和与自由度的分解
方差分析的基本思想， 就是将总变差分解为各构成 部分之和，然后对它们作统 计检验。即：