3测量误差及数据处理
第3章 测量误差分析及处理
( 1 2 n ) i
3、几何综合法
绝对误差 相对误差 21 22 2n
2 i 2
i
2 2 2
1 2 n
第三节 随机误差
或然率曲线或概率密度曲线
令真值为A，算数平均值为L，观测值为l，误差△=l-A，偏差 i =l-L，则有
i li A
i li L
l
得： 将L代入 i
i
li nA nL 代入 nii
li nL
i
li nA
i
L
A
li L 得
i i
热能与动力工程 测试技术
第三章 测量误差分析及处理
第一节 误差的来源与分类
一、误差的来源与误差的概念
被观测量客观上存在一个真实值，简称真值。对该量进行观测得到 观测值。观测值与真值之差为真误差，即
真误差=观测值-真值
lA — 真误差 l — 观测值 A — 真值
在测量工作中，对某量的观测值与该量的真值间存在着必然的差异，这 个差异称为误差。但有时由于人为的疏忽或措施不周也会造成观测值与 真值之间的较大差异，这不属于误差而是粗差。误差与粗差的根本区别 在于前者是不可避免的，而后者是有可能避免的。
由于系统误差一般有规律可循，其产生的原因一般也 是可预见的，所以系统误差一般可通过改进测量技术、 对测量结果加修正值等手段来减小。通常处理系统误差 的方法有以下几种： （1）消除系统误差产生的根源。 （2）在测量结果中加修正值。确定出较为准确的修正公 式、修正曲线或修正表格，以便修正测量结果。 （3）在测量过程中采取补偿措施。 例如：在用热电偶测温时，采用冷端温度补偿器或冷端 温度补偿元件来消除由于热电偶冷端温度变化所造成的 系统误差。 （4）采用可以消除系统误差的典型的测量技术。 如采用零值法、替代消除法,预检法等。
测量误差与数据处理(3)
（3）根据改正数方程，可求得改正数为：
V P1ATK
0.5 1.0
1 1
4.8
1 2.4 2.4
0.5 1
4.8
（4）由此得高差的平差值为：
hˆ hV
即：
1.004 4.8
0.9992
1.504
2.4
103
1.5064
2.512 4.8
2.5072
h 1 0 .99 m ， h 9 2 1 2 .50 m ， h 6 3 2 4 .50 m 7
示例的解算
解：（1）此例n = 3，t = 2，故r = 1，列出 如下平差值条件方程：
H A h ˆ 1 h ˆ 2 h ˆ 3 H B 0
以代入上式，可得条件方程为：
v 1 v 2 v 3 ( H A h 1 h 2 h 3 H B ) 0
将已知高程和观测高差代入计算闭合差（ 单位mm），然后用矩阵表示如下：
1. 根据平差的具体问题，确定条件方程的个 数，列出条件方程式，条件方程的个数等于 多余观测数r；
条件方程
➢平差值条件方程：
a1 Lˆ1
a 2 Lˆ 2
a n Lˆ n
a0
0
b1 Lˆ1
b 2 Lˆ 2
b n Lˆ n
b0
0
r1 Lˆ1
r2 Lˆ 2
rn Lˆ n
r0
0
➢改正数条件方程：
0 0 p
n
1
p1
0 1 0
p2
0 0 1
pn
基于闭合差条件的条件平差
❖条件平差原理 ➢ 由于高程控制网中存在r个多余观测，就会产生r 条件方程。
➢高程控制网平差归结为以r个条件方程为基础，根 据最小二乘法求出一组高差改正数。
3.2测量误差和数据处理
若误差落在区间（-∞，+ ∞ ）之中，则其概率 p=1； 若误差落在（-δ，+δ ）之中，则上式可改写为：
将上式进行变量置换，设： 则： =2Φ(t)
在实践中常认为δ=±3σ的概率约等于1， 从而将±3σ 称为随机误差的极限误差 随机误差的极限误差。 随机误差的极限误差 即：
δlim=±3σ
算术平均值的极限误差： 算术平均值的极限误差：δlimL=±3σ L
——若某一|υi|>3σ ，则该残余误差为粗大误差，应剔除。 该准则主要适有用于服从正态分布的误差，且重复测量 次数又比较多的情况。
（2）狄克逊准则 ） （3）格罗布斯准则 ） （4）t检验法等 ） 检验法等
§3.2.6 等精度测量结果的处理
步骤如下： （1）判断有无系统误差存在 （2）求算术平均值 （3）计算残余误差 （4）计算标准偏差 σ （5）判断粗大误差并将其剔除 |υ ∣≤3σ （6）求算术平均值的标准偏差 测量结果的表达式： （7）测量结果的表达式： 单次测量时： 单次测量时： L= li±3σ 多次测量时： 多次测量时： 例：（见书P.60）
二、随机误差的评定指标 1．算术平均值 ．
对某量进行等精度测量时，由于随机误差的存在，其 获得的测量值不完全相同，此时应以其算术平均值作为最 后的测量结果。即：
由正态分布的性质④可知，当测量次数ｎ增大时，算术平均 值愈趋近于真值。因此——用算术平均值作为最后的测
量结果比用其它任一测量值作为测量结果更可靠。
1、测量器具误差 、 2、方法误差 、 3、标准件误差 、 4、环境误差 、 5、人为误差 、
§ 3.2.2
1．误差分类 ．
误差的分类
(1)系统误差 系统误差 在相同条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号 保持不变或按一定规律变化着的误差。 系统误差可分为定值系统误差 变值系统误差 定值系统误差和变值系统误差 定值系统误差 变值系统误差。 (2)随机误差 随机误差 在相同条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可 预定的方式变化着的误差。误差的出现是无规律可循的。 (3)粗大误差 粗大误差 由于测量不正确等原因引起的大大超出规定条件下预计误差 限的那种误差。
测量误差与数据处理的建议和意见
测量误差与数据处理的建议和意见
对于测量误差和数据处理，以下是一些建议和意见：
1. 规范实验和测量过程：确保实验或测量过程符合正确的方法和操作步骤，尽量减少人为因素的干扰，并且确保测量设备和仪器的准确性和可靠性。
2. 重复测量和平均值：进行多次测量，并计算平均值，这样可以减少个别测量的偶然误差，并提高数据的可靠性和准确性。
3. 评估测量不确定性：对于每个测量结果，应该估计其不确定性，这可以通过了解仪器的精确度、标定情况以及实验条件等来进行评估。
4. 数据筛选：在数据处理之前，应该对测量数据进行筛选和剔除异常值。
可以使用统计学方法或者不一致性检验等技术来辨别和排除异常数据。
5. 合适的数据处理方法：根据数据的特点和测量误差的性质，选择合适的数据处理方法，例如常用的统计学方法、回归分析、误差传递等。
6. 数据展示和分析：在处理完数据之后，可以使用图表、统计分析、可视化工具等方式来展示和分析数据，以便更好地理解数据的特征和趋势。
7. 结果与讨论：在对数据进行处理和分析的基础上，结合实验的目的和背景，对结果进行解释和讨论，可以提出合理的结论，并讨论相关的误差来源和改进方案。
以上建议和意见可以帮助您在测量误差和数据处理方面更加准确和科学地进行实验和研究。
但请注意，对于具体的实验或测量，建议您参考相关领域的专业知识和方法。
测量误差与数据处理实验报告
测量误差与数据处理实验报告实验报告格式：
标题：测量误差与数据处理实验报告
摘要：本实验旨在探究测量误差的来源及其处理方法，通过自己设计的实验进行数据采集与处理，最后得出结论并分析误差的影响。
实验结果表明，合理控制误差和精准处理数据非常重要。
1. 实验目的：
通过自己设计的实验了解测量误差的来源和处理方法，掌握精度等基本概念。
2. 实验步骤：
(1) 设计实验：以电容为例，设计了“通过变化距离来测量电容的实验”。
(2) 组装仪器：根据实验设计，组装了测量电容的仪器。
(3) 测量数据：对实验进行了多次测量，得到了电容的测量值。
(4) 数据处理：使用 Excel 等工具处理数据，计算出各项指标和
误差范围，并进行精度等级划分。
3. 实验结果：
(1) 根据数据处理结果，得到平均电容值为3.5μF，标准差为
0.2μF。
(2) 通过进行误差分析，可知测量误差来源主要包括仪器本身
误差、环境因素干扰和人为误差等多方面因素。
(3) 在误差控制和数据处理方面可采用实验平均法、精度等级
标准等方法。
4. 实验结论：
通过本实验的设计和数据处理，在实验中了解了测量误差的来源和处理方法，识别出了各方面因素影响到精度结果的准确性。
同时也提醒了我们在进行实验操作时需严格控制误差，避免产生干扰和误差现象，最终希望以此为基础，提高本人的实验操作、数据分析和综合思考能力。
分析数据时常见的误差与处理方法
分析数据时常见的误差与处理方法数据分析在现代社会中起着至关重要的作用，它帮助人们更好地理解和解释现象，从而指导决策和行动。
然而，在数据分析过程中，常常会出现各种误差，对结果的准确性和可靠性产生负面影响。
本文将从以下六个方面展开详细论述常见的数据分析误差及其处理方法。
一、采样误差采样误差是由于抽样方法不当或样本代表性不足而引起的误差。
例如，在进行社会调查时，如果采样方法不具备随机性，会导致调查结果的偏差。
处理采样误差的方法可以是增加样本的大小，提高样本的代表性以及采用更合理的抽样方法，如随机抽样或分层抽样。
二、测量误差测量误差指的是由于测量仪器的不准确性或被测对象的个体差异而导致的误差。
在进行实验研究或数据收集时，使用的测量工具和方法可能存在不确定性，从而引入测量误差。
要处理这种误差，可以提高测量仪器的精确度和可靠性，对被测对象进行多次测量并取平均值，或者通过使用标准化方法来校正测量结果。
三、数据处理误差数据处理误差是在数据输入、转换和存储过程中产生的误差。
常见的数据处理误差包括数据录入错误、数据丢失和数据转换错误等。
为了减少这种误差，可以使用自动化的数据采集和处理工具，加强对数据的质量控制，以及定期进行数据的核对和修正。
四、样本偏倚误差样本偏倚误差指的是样本在统计特征上与总体存在显著差异所引起的误差。
当样本不具备代表性时，会导致研究结果的偏离真实情况。
为了纠正样本偏倚误差，可以使用加权抽样法或启发式抽样法，以确保样本更接近总体的特征。
五、缺失数据误差缺失数据误差是由于数据的丢失或缺失引起的误差。
在进行数据分析时，常常会遇到数据缺失的情况，如果不处理好这些缺失数据，会导致结果的不准确性。
处理缺失数据误差的方法可以是使用插补法，将缺失数据进行估计和补全，或者通过合理的数据筛选和清洗来剔除缺失数据影响。
六、模型假设误差模型假设误差指的是在建模过程中所做出的假设与真实情况之间存在偏差。
在进行数据分析时，所使用的模型和方法都基于一定的假设前提，如果这些假设与真实情况不符，结果可能会产生误差。
测量误差及数据处理
x0
x
相对误差ε是一个无量纲的数据，通常以百分数的形式表
示。相对误差比绝对误差能更好地说明测量的精确程度。例如，
在上面的例子中，ε1＝0.002/20×100%＝0.01%，ε2＝ 0.02/250×100%＝0.008%，可以看出，后者的测量精度更高。
1.2 测量误差的来源
计量器具 误差
计量器具误差是指计量器具本身在设计、制造和使用
（2）随机误差的评定指标
① 算术平均值 。对同一被测量进行n次等精度测量，测
量结果为x1、x2、…、xn，则算术平均值x 为：
x
x1 x2 xn n
1 n
n i1
xi
测量次数n越大，算术平均值 越趋近于真值x0。因此，用
算术平均值 x 作为最后测量结果是可靠的、合理的。
② 标准偏差σ。
用算术平均值 x 表示测量结果虽然可靠，但不能全面反
映测量精度。例如，有两组测得值： 第一组：12.005，11.996，12.003，11.994，12.002； 第二组：11.90，12.10，11.95，12.05，12.00。
两组测得值的算术平均值 x1＝ x2＝12，但第一组测得
值比较集中，第二组测得值比较分散，也就是说，第一组的 每一个测得值比第二组的更接近于算术平均值，第一组测得 值的测量精度比第二组高。此时，算术平均值就不能准确地 反映测量精度了，而常用标准偏差σ来反映测量精度的高低。
源
误差
所引起的误差。环境条件主要包括温度、湿度、气压、振
动和灰尘等，其中，温度对测量结果的影响最大。
测量人员 误差
测量人员误差是指由测量人员的主观因素所引起的误
差。例如，测量人员技术不熟练、测量瞄准不准确、估读 判断错误和测量习惯等引起的误差。
测量误差与数据处理办法
系统误差不能用增加测量次数来减少。
随机误差：对某一参数在相同条件下进行多次重复测量时，误差的符 号及大小变化无规律，呈现随机性的误差。
可用数理统计理论对随机误差进行研究，作出估计。
粗大误差：由于某些原因造成的使测量值受到显著歪曲的误差，可在 重复测量比较分析后消除。产生原因：测量者的粗心大意，环境的改 变，如受到振动、冲击等。
单次测量的极限误差：
limt
——t称为置信系数
其数值与误差出现的概率有关，设测量值x落在区间
[utxut]
的概率 P { u t x u t} 1
---σ称为显著水平 当t值不同时,概率不同,见P7 表2-1 若取t=1则p=68.26%
t=2，p=95.45% t=3，p=99.73% 接近于100% 而测量值超出[u-3σ, u+3σ ]的概率很小,认为不可能出现.
10:25 PM
测量误差与数据处理办法
11
误差与测量
2.2 不等精度测量
2.2.1 等精度测量与不等精度测量
μ称为电工仪表的等级[指数]，共7级：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0。 使用μ级精度仪表时可保证：Δ＜Δｍａｘ＝Ｘｍ·μ％
在相同误差Δ下，显然，X越接近Ｘｍ，相对误差越小。（Δ/Ｘ）≥（Δ/Ｘ ｍ）。
10:25 PM
测量误差与数据处理办法
3
误差与测量
2.1.2 测量误差的分类
含粗大误差的测定值应根据一定的客观标法
4
N
lim
n
i
i 1
0
误差与测量
2.1.3 随机误差的特点及估计
测量误差及数据处理技术规范
测量误差及数据处理技术规范JJG 1027-1991本技术规范对测量误差和数据处理中比较常遇到得一些问题做出统一规定，以便正确地给出和使用测量结果。
本规范适用于测量不确定度的评定，计量器具准确度的评定，及其平时结果的表达。
本规范所研究的测量结果的方差是有限的，例如，在品振频率的误差中，由于噪声导致理论方差发散，而是非有限的*。
除非特别指明，本规范所述处理方法与误差分布无关。
1.一般原理由于存在一些不可避免对测量有影响的原因，导致测量结果中存在误差。
误差的准确值、总体标准差都是未知的，但可以通过重复条件或复现条件下的有限次数测量列的统计计算或其它非统计方法得出它们的评定值。
2.测量误差的种类测量误差是指测量结果与被测量真值之差，它既可用绝对误差表示，也可以用相对误差表示。
按其出现的特点，可分为系统误差、随机误差和粗大误差。
2．1系统误差在同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量。
按其变化可分为两类：a 固定值的系统误差。
其值（包括正负号）恒定。
如，采用天平称重中标准砝码误差所引起的测量误差分量。
b 随条件变化的系统误差。
其值以确定的，并通常是已知的规律随某些测量条件变化。
如，随温度周期变化引起的温度附加误差。
2．2随机误差在同一被测量的多次测量过程中，以不可预知方式变化的测量误差的分量。
它引起对同一量的测量列中各次测量结果之间的差异，常用标准差表征。
对标准差以及系统误差中不可掌握的部分的估计，是测量不确定度评定的主要对象。
2.3粗大误差指明显超出规定条件下预期的误差。
它是统计的异常值，测量结果带有的粗大误差应该按一定规则剔除。
3.误差来源及分解任何详细的误差评定报告，应包括各项误差的完整材料，其中应有评定方法的说明。
3.1误差来源及分解设被测量的真值为0Y ，而测量结果为Y ，则绝对误差Y ∆可表示为：0Y Y Y -=∆ （1.1）本条叙述由测量绝对误差Y ∆分解成可以评定的误差分量K Y ∆的法则。
测量误差和数据处理
测量误差和数据处理（一） 测量与误差１． 测量在科学实验中，一切物理量都是通过测量得到的。
所谓测量就是将待测物理量与规定作为标准单位的标准物理量通过一定的比较，其倍数即为待测物理量的测量值。
测量按测量方式的不同分为直接测量和间接测量两类： ①直接测量（简单测量）运用量具或仪表能直接得到物理量的数值，称为直接测量。
例如，用米尺、游标卡尺、千分尺测量长度；用秒表测时间；用电流表测电路中的电流强度等。
它的特点是：测量结果直接得到。
②间接测量（复合测量）多数物理量，不便或不能直接测量。
但是我们可以先对可直接测量的相关物理量进行测量，然后依据一定的函数关系，计算出待测的物理量，这称为间接测量。
例如，要测量一圆柱体的体积Ｖ，可以先用米尺（或卡尺）对直径d 和高度h 进行直接测量，然后根据公式h d V 241π=计算出它的体积。
当然一个物理量应直接测量还是间接测力测量，不使绝对的。
要根据所有的仪器和测量方法来定。
如上例中的圆柱体投入盛有一定量水的量筒中，从液面的上升即可直接得到体积。
２． 真值和近似真值物质是客观存在的，有各种特性。
反映物质特性的物理量在一定条件下，对应有一个确定的客观真实值。
这个数值就称为真值。
从测量者的主观愿望来说，总想测出物理量的真值。
然而任何实际测量中是在一定环境下，用一定的仪器、一定的方法，由一定的人员完成的，由于周围环境不理想、测量方法不完善、仪器设备不精密，而且受到测量人员技术经验和能力等因素的限制，使任何测量都不会绝对精确。
测量值与真值之间的差别，称为误差。
任何测量都有误差，误差贯穿于测量的全过程。
某一物理量的误差，定义为该量的测量值x 与真值μ之差，即： μδ-=x由于真值测不出来，误差又不可避免，所以测量的目的硬是：在给定的条件下，求出被测量的最可信赖值，并对它的精确程度给予正确的估计。
在我们的实验中，最可信赖值取多次测量的算术平均值，它是真值得最好近似，也称近似真值。
用公式表示为 ∑==ni i x n x 11 ３． 误差测量数据的精确程度我们使用误差来描述。
3误差与数据处理知识
误差与数据处理知识一、误差1、量：描述现象、物体或物质的特性、其大小可用一个数和一个参照对象表示。
由定义可知，量是由一个纯数据和一个计量单位组成。
量可指一般概念的量或特定量。
其符号用斜体表示，一般概念的量如：长度l、质量m。
特定量如：长度为2m、质量为0.5g。
2、真值：与量的定义一致的量值。
如按照计量单位定义复现出来的量值为真值。
量的真值只能通过完善的测量才能获得，所以真值是无法测量到的，随着测量准确度的逐步提高，只能越来越接近真值。
但在实际应用时还需要使用真值，为此，人们常常将高等级的计量标准复现的量值作为下一级测量的约定真值；将有证标准物质的量值作为检测结果的约定真值。
3、被测量：拟测量的量。
为保证特定条件下的被测量值是单一的，应根据所需要的准确度及特定条件予以完整定义，如：1m长的铁棒需要测至微米级准确度，就必须说明所给定的温度和压力等，但要测到毫米级准确度就不需给定温度、压力和其他影响的值。
4、影响量：在直接测量中不影响实际被测的量、但会影响示值与测量结果之间关系的量。
原定义：不是被测量但对测量结果有影响的量。
如：a）测量某物体长度时测微计的温度（不包括物体本身的温度，因为物体的温度可以进入被测量的定义中）；b）测量交流电压时的频率；科学是从测量开始的，对自然界所发生的量变现象的研究，常常需要借助于各式各样的试验与测量来完成。
由于认识能力的不足和科学水平的限制，试验中测得的值和它的客观真值并不一致，这种矛盾在数值上的表现即为误差。
误差公理:测量结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实验和测量的过程之中。
由于我们的工作就是测量，所以就应该了解有关误差的知识。
5、测量误差：测得的量值减去参考量值。
根据定义误差表示两个量的差值，所以误差为带有正号或负号的量值，与测量结果一样的计量单位。
表示测量结果对真值的偏离量，以真值为参照点。
是一个确定的量值，所以误差值不能带有±号。
常用“Δ”或“δ”表示。
测量误差与数据处理实验报告
测量误差与数据处理实验报告测量误差与数据处理实验报告引言：在科学研究和实验中，测量误差是无法避免的。
无论是物理实验、化学实验还是生物实验，测量误差都会对结果产生一定的影响。
因此，正确处理测量误差并进行数据处理是非常重要的。
本实验旨在通过实际操作，探究测量误差的来源、影响以及如何进行数据处理。
一、测量误差的来源1. 仪器误差：仪器的精度和灵敏度决定了测量的准确性。
例如，在测量长度时，使用一个精度为0.01mm的卡尺比使用一个精度为0.1mm的卡尺更准确。
2. 人为误差：人为因素也会导致测量误差的产生。
例如，观察者的视力、握持仪器的稳定性等都会对测量结果产生一定的影响。
3. 环境误差：环境因素，如温度、湿度等也会对测量结果产生一定的影响。
例如，在测量液体体积时，由于液体受温度影响会发生膨胀或收缩，因此需要进行温度修正。
二、测量误差的影响测量误差的存在会对实验结果产生一定的影响，主要表现在以下几个方面：1. 准确性：测量误差会使得测量结果与真实值之间存在差异，从而影响实验的准确性。
准确性是评价实验数据是否可靠的重要指标。
2. 精确度：精确度是指测量结果的稳定性和重复性。
测量误差会使得测量结果的离散程度增大，从而降低实验的精确度。
3. 可重复性：测量误差会使得同一实验在不同时间、不同条件下进行时产生不同的结果，从而降低实验的可重复性。
三、数据处理方法为了减小测量误差的影响，我们可以采取以下几种数据处理方法：1. 平均值处理：对于多次测量的数据，可以计算其平均值作为最终结果。
平均值可以有效地减小随机误差的影响。
2. 标准差处理：标准差是用来衡量数据的离散程度的指标。
通过计算标准差，可以评估数据的精确度，并判断测量结果的可靠性。
3. 曲线拟合处理：对于实验数据中存在的规律性变化，可以采用曲线拟合方法进行处理。
通过拟合曲线可以更好地描述实验数据的变化趋势。
4. 系统误差修正：对于已知的系统误差，可以进行修正。
测量误差分析及数据处理
2. 基本误差和附加误差
任何测量装置都有一个正常的使用环境要求，这就是测量装置的规 定使用条件。根据测量装置实际工作的条件，可将测量所产生的误差分 为基本误差和附加误差。测量装置在规定使用条件下工作时所产生的误 差，称为基本误差。而在实际工作中，由于外界条件变动，使测量装置 不在规定使用条件下工作，这将产生额外的误差，这个额外的误差称为 附加误差。
3．投标阶段。投标人取得招标书之后，经过仔细的研究，可以 根据自己的意愿决定进入投标阶段。
4．评标阶段。招标方收到投标书后，只有在招标会那天，投标 人到达会场，才将投标书邮件交招标人检查，签封完好后，由招 标人当面打开，并宣布各投标人的标的，按招标文件中确定的程 序由全体评标人员进行分析评比，最后通过投票或打分方式选出 中标人。
5
（二）采购分类及方法
1．招标采购 2．询价采购 3．比价采购 4．议价采购 5．定价收购 6．公开市场采购
6
二、企业采购部门的建立、工作目标与工 作事项描述
（一）采购部门的建立 1．按物品类别建立 2．按采购地区建立 3．按采购价值或重要性建立 4．按采购过程建立 5．混合式的建立
29
七、采购绩效管理
（一）采购绩效的构成 由采购行为所产生的业绩和效果以及效率的
综合程度就是采购绩效。 （二)采购绩效的考核与评估的指标体系 1．采购绩效考核与评估的指标 2．采购绩效考核与评估方式 （1）定期绩效考核与评估 （2）不定期绩效考核与评估
（一）质量管理的方法 1．PDCA循环 （二）提高采购商品质量的途径 1．选择合适的供应商 2．正确评审供应商资格 3．制定并执行联合质量计划，建立良好供需
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测量值与测量误差都服从正态分布，只是分布中心不同。随机误差具有如
下特点：
①单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能性大；
②对称性；绝对值相同、符号相反的误差出现的可能性相等；
N
③相消性：
lim
n
i
i 1
0
④有界性：绝对值大于某数值的随机误差不会出现。
25.01.2021
6
误差与测量
具有这样特性的事件称之为服从正态分布（高斯分布）， 正态分布的概率密度：
1 1 6 4
25.01.2021
16
误差与测量
3. 加权算术平均值的标准差
① 已知各组σi
x i
pi
m
x i
i1pi
② 若已知各组的权且组数足够多时 x
m
pi ( X i X )2
i 1
m
(
m
1) i 1
pi
其中，ｍ为测量组数，x i 为第i组平均值， x 为加权算术平均值。
接上例：
算术平均值来表示，而应遵从一个原则：即可靠性高或精确 度高的测量值在最终测量结果中所占的比重要大一些，而可 靠程度小或精确度低的结果在最终测量结果中所占的比重要 小一些。而普通算术平均值反映不出这种关系。因此引入了 加权算术平均值的概念。
25.01.2021
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误差与测量
1. 权的概念与确定 权值反映了某一测量值在最终测量结果中的比重，用p来
fx
1 2 ex 2 x p u 2 2
1 2 ex 2 2 2 p
测量值分布中心可用求算术平均值的方法求得：
u =
x
1 N
N
Байду номын сангаасXi
i1
——样本均值。
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误差与测量
测量值的可靠性（偏离真值的程度）可用标准差来评价：
n l im N 1iN 1(xix0)2n l im N 1iN 1i2
lim x 3 N3x
-- x
为算术平均值的标准值
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误差与测量
② σ未知时，用σ的估计值S来替代，用算术平均值作为测量结果
则:
limx t(k)
S N
k—自由度=N-1 N 为测量次数 α--显著水平=1-p
③粗大误差的消除:
当测量值产生的误差 |x1x|3 时,便可认为粗大误差可以删除.
举例说明: 电路中
IV R
1. 对电流测量可用间接法.先测量R和V 再算出电流I及误差.(第一 类问题) 2. 若对电路电流误差有要求,则要求VR和R的测量应保证在一定的 范围之内(第二类问题)
—α称为显著水平（不可靠性）
当t值不同时，概率不同 若取t=1 则 p=68.26%
t=2 p=95.45% t=3 p=99.73% 接近于100%
而测量值超过|u± 3σ|的概率很小,认为不可能出现.
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误差与测量
所以,单次测量值的极限随机误差可定义为:
lim 3
算术平均值的极限随机误差:
3.1.4 精密度、准确度、精确度
精密度：用标准差评定，说明测定值的分散程度（指随机误差）。 准确度：算术平均值偏离真值的程度（指系统误差）。 精确度：前二者的综合评定，有时也指精密度。
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误差与测量
3.2 不等精度测量
3.2.1 等精度测量与不等精度测量
如果在测量过程中，保证测量环境、仪器、方法、人员水 平及测量次数都相同，这时的单次测量结果或重复测量的算 术平均值具有相同的可靠程度，称之为等精度测量。
∴ 可取：p1=1, p2=16, p3=4
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误差与测量
2. 加权算术平均值的计算
m
pixi
X
i1 m
pi
i1
接上例，设 x 12 0 . 5 0x 22 0 . 4 6x 32 0 . 4 0
则 x 1 2 0 .5 0 1 6 2 0 .4 6 4 2 0 .4 0 2 0 .4 5
或用σ的估计值
S N11iN1(xi x)2
——样本标准差
随机误差的分布与测量值相同，只是μ＝０。
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误差与测量
2. 极限随机误差的估计 ①σ已知:单次测量的极限随机误差的估计
limt —— t 称为置信系数，其数值与误差出现的概率有关
设测量值x落在区间
[utxut]
的概率 P { u t x u t} 1
若使环境、仪器、方法、人员水平及测量次数中的任一项 改变，则每改变一次后的测量结果与前一次测量结果的可靠 性不同，称之为不等精度测量。
不等精度测量的目的是对不同条件下的测量结果加以比较 分析，以便获得更精确的测量结果。
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误差与测量
3.2.2 不等精度测量结果的表示—加权算术平均值 不等精度测量因各组测量值的可靠程度不同，故不能用
3测量误差及数据处理
误差与测量
3.1.3 随机误差的特点及估计
1. 随机误差的特点
随机误差的存在导致每次测量结果有些不同，将测量值进行分组统计(直方 图法)，将最大值与最小值之间进行N等分，在直角坐标系中横轴表示测量值， 纵轴表示测量值落在每一等分内的个数即频数，便可作出直方图，此图显现 中间多、两边低，两边对称的特点。具有这种分布特点的随机变量称之为服 从正态分布。
表示。权值的大小与测量值的标准差有关。
① 设在不等精度测量中，各组的算术平均值为x1, x2, x3, ……xm，对应的标准差为σ1 , σ2…… σm 。 则各组的权值为：
P1:P2::Pm=112:12 2::1m 2
即每组的权值与其标准差的平方〈方差〉成反比。
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误差与测量
② 若不等精度测量仅为重复次数不同，而其它测量条 件都不变，则可用各组的重复次数ni做该组的权值pi。
例如，1 已知0 三. 0 组4 不等2 精度测0 . 量0 1 结果对3 应的0 标. 0 准2 差分别为：
则：
P1
:
P2
:
P3
=
1
12
:
1
22
:
1
32
1 : 1 : 1 1:16: 4 0.042 0.012 0.022
X
0.04
1 0.0087 1164
或
X
0.01 16 0.0087 1164
或
X
0.02
4 0.0087 1164
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误差与测量
3.3 函数误差与误差的传递
一. 直接 测量与间接测量 直接测量—测量的物理量就是所研究的参数. 间接测量—测量某些基本物理量,再根据函数关系求解所要研究的 参数. 研究函数误差就是解决间接测量中的误差传递问题(也称为第一 类问题),另外还要解决误差的分配(也称为第二类问题)