3测量误差及数据处理

② 若不等精度测量仅为重复次数不同，而其它测量条 件都不变，则可用各组的重复次数ni做该组的权值pi。
例如，1 已知0 三. 0 组4 不等2 精度测0 . 量0 1 结果对3 应的0 标. 0 准2 差分别为：
则：
P1
:
P2
:
P3
=
1
12
:
1
22
:
1
32
1 : 1 : 1 1:16: 4 0.042 0.012 0.022
—α称为显著水平（不可靠性）
当t值不同时，概率不同 若取t=1 则 p=68.26%
t=2 p=95.45% t=3 p=99.73% 接近于100%
而测量值超过|u± 3σ|的概率很小,认为不可能出现.
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误差与测量
所以,单次测量值的极限随机误差可定义为:
lim 3
算术平均值的极限随机误差:
表示。权值的大小与测量值的标准差有关。
① 设在不等精度测量中，各组的算术平均值为x1, x2, x3, ……xm，对应的标准差为σ1 , σ2…… σm 。 则各组的权值为：
P1:P2::Pm=112:12 2::1m 2
即每组的权值与其标准差的平方〈方差〉成反比。
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误差与测量
∴ 可取：p1=1, p2=16, p3=4
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误差与测量
2. 加权算术平均值的计算
m
pixi
X
i1 m
pi
i1
接上例，设 x 12 0 . 5 0x 22 0 . 4 6x 32 0 . 4 0
则 x 1 2 0 .5 0 1 6 2 0 .4 6 4 2 0 .4 0 2 0 .4 5
lim x 3 N3x
-- x
为算术平均值的标准值
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误差与测量
② σ未知时，用σ的估计值S来替代，用算术平均值作为测量结果
则:
limx t(k)
S N
k—自由度=N-1 N 为测量次数 α--显著水平=1-p
③粗大误差的消除:
当测量值产生的误差 |x1x|3 时,便可认为粗大误差可以删除.
1 1 6 4
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误差与测量
3. 加权算术平均值的标准差
① 已知各组σi
x i
pi
m
x i
i1pi
② 若已知各组的权且组数足够多时 x
m
pi ( X i X )2
i 1
m
(
m
1) i 1
pi
其中，ｍ为测量组数，x i 为第i组平均值， x 为加权算术平均值。
接上例：
若使环境、仪器、方法、人员水平及测量次数中的任一项 改变，则每改变一次后的测量结果与前一次测量结果的可靠 性不同，称之为不等精度测量。
不等精度测量的目的是对不同条件下的测量结果加以比较 分析，以便获得更精确的测量结果。
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误差与测量
3.2.2 不等精度测量结果的表示—加权算术平均值 不等精度测量因各组测量值的可靠程度不同，故不能用
举例说明: 电路中
IV R
1. 对电流测量可用间接法.先测量R和V 再算出电流I及误差.(第一 类问题) 2. 若对电路电流误差有要求,则要求VR和R的测量应保证在一定的 范围之内(第二类问题)
测量值与测量误差都服从正态分布，只是分布中心不同。随机误差具有如
下特点：
①单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能性大；
②对称性；绝对值相同、符号相反的误差出现的可能性相等；
N
③相消性：
lim
n
i
i 1
0
④有界性：绝对值大于某数值的随机误差不会出现。
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误差与测量
具有这样特性的事件称之为服从正态分布（高斯分布）， 正态分布的概率密度：
或用σ的估计值
S N11iN1(xi x)2
——样本标准差
随机误差的分布与测量值相同，只是μ＝０。
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误差与测量
2. 极限随机误差的估计 ①σ已知:单次测量的极限随机误差的估计
limt —— t 称为置信系数，其数值与误差出现的概率有关
设测量值x落在区间
[utxut]
的概率 P { u t x u t} 1
3.1.4 精密度、准确度、精确度
精密度：用标准差评定，说明测定值的分散程度（指随机误差）。 准确度：算术平均值偏离真值的程度（指系统误差）。 精确度：前二者的综合评定，有时也指精密度。
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误差与测量
3.2 不等精度测量
3.2.1 等精度测量与不等精度测量
如果在测量过程中，保证测量环境、仪器、方法、人员水 平及测量次数都相同，这时的单次测量结果或重复测量的算 术平均值具有相同的可靠程度，称之为等精度测量。
X
0.04
1 0.0087 1164
或
X
0.01 16 0.0087 1164
或
X
0.02
4 0.0087 1164
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误差与测量
3.3 函数误差与误差的传递
一. 直接 测量与间接测量 直接测量—测量的物理量就是所研究的参数. 间接测量—测量某些基本物理量,再根据函数关系求解所要研究的 参数. 研究函数误差就是解决间接测量中的误差传递问题(也称为第一 类问题),另外还要解决误差的分配(也称为第二类问题)
算术平均值来表示，而应遵从一个原则：即可靠性高或精确 度高的测量值在最终测量结果中所占的比重要大一些，而可 靠程度小或精确度低的结果在最终测量结果中所占的比重要 小一些。而普通算术平均值反映不出这种关系。因此引入了 加权算术平均值的概念。
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误差与测量
1. 权的概念与确定 权值反映了某一测量值在最终测量结果中的比重，用p来
fx
1 2 ex 2 x p u 2 2
1 2 ex 2 2 2 p
测量值分布中心可用求算术平均值的方法求得：
u =
x
1 N
N
Xi
i1
——样本均值。
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误差与测量
测量值的可靠性（偏离真值的程度）可用标准差来评价：
n l im N 1iN 1(xix0)2n l im N 1iN 1i2
3测量误差及数据处理
误差与测量
3.1.3 随机误差的特点及估计
1. 随机误差的特点
随机误差的存在导致每次测量结果有些不同，将测量值进行分组统计(直方 图法)，将最大值与最小值之间进行N等分，在直角坐标系中横轴表示测量值， 纵轴表示测量值落在每一等分内的个数即频数，便可作出直方图，此图显现 中间多、两边低，两边对称的特点。具有这种分布特点的随机变量称之为服 从正态分布。