2017年12月8日 直接证明与间接证明-试题君之每日一题
直接证明和间接证明
直接证明和间接证明例如，我们要证明一个分数小于1的正数与其倒数相乘的结果一定小于1、我们可以直接证明如下：设分数为a/b，其中a和b均为正整数。
则有a<b，因此，a/b<b/b，即a/b<1又因为倒数的定义为1/a，即倒数为1除以该数，所以可知a/b *1/a = a/ba = 1/b，而1/b小于1因此，我们可以得出结论：一个小于1的正数与其倒数相乘的结果一定小于1间接证明是通过反证法（或称间接推理）推导出结论的证明方法。
它包括以下步骤：首先，假设要证明的结论不成立；其次，根据该假设推导出与已知事实矛盾的结论；最后，得出假设的结论非真，因此原结论为真。
间接证明的特点是通过推理和推导推翻假设，从而得到结论。
例如，我们要证明根号2是无理数。
假设根号2是有理数，即可表示为a/b的形式，其中a和b是整数，且a和b没有公因数。
则根号2=a/b，即2=(a/b)^2，即2b^2=a^2根据等式两边平方数的性质可知，a^2必为偶数。
那么，根据整数的性质可知，a也必为偶数，即a=2c，其中c为整数。
将a=2c代入等式2b^2=a^2中，得到2b^2=(2c)^2，化简得到b^2=2c^2依据同样的推理，b也是偶数，与假设a和b之间没有公因数相矛盾。
因此，假设根号2是有理数的假设不成立，根号2是无理数。
总结来说，直接证明是通过逻辑推理和数学定义直接得出结论，而间接证明是通过反证法推导出结论。
这两种证明方法在数学中应用广泛，可以灵活运用于各类数学问题的证明中。
无论是选择直接证明还是间接证明，重要的是要严谨、清晰地阐述证明的过程和推理的逻辑，以确保结论的正确性。
直接证明与间接证明检测题有答案
直接证明与间接证明检测题（有答案）2.2直接证明与间接证明一、选择题（每小题5分，共20分）1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）Ａ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．等价条件2．下列给出一个分析法的片断：欲证θ成立只需证P1成立，欲证P1成立只需证P2成立，则P2是θ的一个（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．必要不充分条件4．3.设，，，，则有（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4.已知函数，，，，，则的大小关系（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．二、填空题(每小题5分，共10分)5．写出用三段论证明为奇函数的步骤是．6．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为．三、解答题(共70分)7.（15分）设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：＋＞8.（20分）设，求证：9．(20分)设为任意三角形边长，，试证：10.（15分）在中，已知，且．判断的形状．2.2直接证明与间接证明2.2直接证明与间接证明答案一、选择题1.A2.A解析：∵欲证θ成立只需证P1成立，∴P1⇒θ.∵欲证P1成立只需证P2成立，∴P2⇒P1，∴P2⇒θ.∴P2是θ的一个充分条件.3.B4.A二、填空题5.满足的函数是奇函数，大前提，小前提所以是奇函数．结论6.三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心三、计算题7.解：证明一：(分析法)要证+＞成立，只需证(a+b)(-ab+)＞ab(a+b)成立，即需证-ab+＞ab成立。
(∵a+b＞0)只需证-2ab+＞0成立，即需证＞0成立。
而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以＞0显然成立，由此命题得证。
证明二：(综合法)∵a≠b，∴a-b≠0，∴＞0，即-2ab+＞0亦即-ab+＞ab由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(-ab+)＞(a+b)ab即+＞，由此命题得证。
直接证明与间接证明
到结果的证明方法，它是利用已知 (1)______ 条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证， 最后推导出所要证明的结论成立的证明方法． 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充 (2)______ 分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立 的条件(已知条件、定义、公理、定理等)为止的证明方法．
索因法．它常见的书面表达形式是：“要证…，只需证…”或
“…⇐…”．利用分析法证明“若 A 则 B”命题的分析法思考过 程可用框图表示为：
图 10－2－2 分析法的思考顺序执果索因的顺序，是从 B 上溯寻其论据， 如 C、C1、C2 等，再寻求 C、C1、C2 的论据，如 B、B1、B2、 B3、B4 等等，继而寻求 B、B1、B2、B3、B4 的依据，如果其中之 一 B 的论据恰为已知条件，于是命题已经得证．
2 比数列，则 bq ＝bpbr.
即(q＋ 2)2＝(p＋ 2)(r＋ 2)． ∴(q2－pr)＋(2q－p－r) ∵p、q、r∈N*，
2 q －pr＝0 ∴ 2q－p－r＝0
2＝0.
p＋r2 ＝pr，(p－r)2＝0， .∴ 2
∴p＝r.与 p≠r 矛盾． ∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
错源：犯循环论证的逻辑性错误
例 4：设 a、b、c、d 是正有理数， c、 d是无理数，求证： a c＋b d是无理数．
误解分析：本题在推理证明过程中，容易犯循环论证的逻 辑性错误：因为 c为无理数，a 为正有理数，故 a c为无理数， 同理 b d也为无理数，两正无理数的和为无理数，故 a c＋b d 为无理数．主要原因是对有关概念定理没有真正的理解掌握， 导致用任意的推广引申定理得出有利于论题成立的假判断．
直接证明与间接证明练习题(基础、经典、好用)
直接证明与间接证明一、选择题1．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数2．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥03．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P 、Q 的大小关系是( )A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定4．(2013·东莞调研)对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是( )A ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αB ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC ．若m ⊂α，n ∥α，则m ∥nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n5．已知函数f (x )＝(12)x ，a ，b 是正实数，A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2ab a ＋b)，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A二、填空题6．下列条件：①ab ＞0，②ab ＜0，③a ＞0，b ＞0，④a ＜0，b ＜0，其中能使b a ＋a b ≥2成立的条件的个数是________．7．(2013·阳江月考)下面有3个命题：①当x ＞0时，2x ＋12x 的最小值为2；②若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，且其一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则双曲线的离心率为2.③在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝a ，BC ＝b ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22.类比到空间，若三棱锥S —ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为a 、b 、c ，则三棱锥S —ABC 的外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 22. 其中错误．．命题的序号为________． 8．凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x n n)，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．三、解答题9．(1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3；(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值．10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是函数f (x )的一个零点；(2)试用反证法证明1a＞c . 11．(2013·珠海模拟)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a ＋b＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，试问A 、B 、C 是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．解析及答案一、选择题1．【解析】 “自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定为“a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数”．【答案】 B2．【解析】 a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.【答案】 D3．【解析】 ∵P 2＝2a ＋7＋2a a ＋7＝2a ＋7＋2a 2＋7a ，Q 2＝2a ＋7＋2a ＋3a ＋4＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12，∴P 2＜Q 2，∴P ＜Q .【答案】 C4．【解析】 对于平面α和共面直线m 、n .设m ，n 确定的平面为β，对于C ，若m ⊂α，则m ＝α∩β，从而n ∥α可得m ∥n ，因此C 正确．【答案】 C5．【解析】 ∵a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b，又f (x )＝(12)x 在R 上是减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2ab a ＋b)，即A ≤B ≤C . 【答案】 A二、填空题6．【解析】 要使b a ＋a b ≥2，只要b a ＞0且a b ＞0，所以a ，b 不为0且同号即可，故有3个．【答案】 37．【解析】 对于①，2x ＋12x 取得最小值为2的条件是x ＝0，这与x ＞0相矛盾；易证②成立；对于③，可将该三棱锥补成长方体，其外接球的直径恰好是长方体的体对角线．【答案】 ①8．【解析】 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A 、B 、C ∈(0，π)，∴f （A ）＋f （B ）＋f （C ）3≤f (A ＋B ＋C 3)＝f (π3)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.【答案】 332 三、解答题9．【证明】 (1)x 是正实数，由基本不等式知 x ＋1≥2x ，1＋x 2≥2x ，x 3＋1≥2x 3，故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3(当且仅当x ＝1时等号成立)．(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3仍然成立．由(1)知，当x ＞0时，不等式成立．当x ≤0时，8x 3≤0，又(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)[(x －12)2＋34]≥0，此时不等式仍然成立．10．【证明】 (1)∵f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a (1a ≠c )，∴1a 是f (x )＝0的一个根．即1a 是函数f (x )的一个零点．(2)假设1a <c ，又1a >0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f (1a )>0与f (1a )＝0矛盾，∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a >c .11．【解】 A 、B 、C 成等差数列，下面用综合法给出证明：∵1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，∴a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，∴ca＋b＋ab＋c＝1，∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b22ac＝ac2ac＝12，∵0°＜B＜180°，∴B＝60°.∴A＋C＝120°＝2B，∴A、B、C成等差数列．。
直接证明与间接证明 知识点+例题+练习
教
学
过
程
1．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．
2．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．
3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易
寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从
条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常
常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
4．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命
题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是
错误的．
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2014·安阳模拟)若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是________．
①1
a＜
1
b；②a＋
1
b＞b＋
1
a；③b＋
1
a＞a＋
1
b；④
b
a＜
b＋1
a＋1
.
2．用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应反设________成立．
3．(2014·上海模拟)“a＝1
4”是“对任意正数x，均有x＋
a
x≥1”的
________条件．教学效果分析。
高二数学直接证明与间接证明试题
高二数学直接证明与间接证明试题1.用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设.否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的反设为A．自然数都是奇数B．自然数都是偶数C．自然数中至少有两个偶数D．自然数中至少有两个偶数或都是奇数【答案】D【解析】用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数中恰有一个偶数”的否定为：“自然数中至少有两个偶数或都是奇数”，故选：D．【考点】命题的否定.2.用分析法证明：若，则.【答案】详见解析【解析】分析法证明的思路是执果索因，即寻找使结论成立的充分条件，通常对于分式不等式、无理不等式的证明常采用分析法，分析法要确保分析得到的最终结果必须是一个正确的结论，如题目提供的条件、某条公理、某条定理等，注意分析法证题的规范表述，防止循环论证.试题解析：证明：要证：.∵，∴两边均大于零，因此只需证：只需证：只需证：只需证：即证：，它显然成立，∴原不等式成立.【考点】不等式证明方法之一：分析法.3.设则（）A．都不大于B．都不小于C．至少有一个不大于D．至少有一个不小于【答案】C【解析】假设都小于或等于﹣2，即a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，将三式相加，得a++b++c+≤﹣6，又因为a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，三式相加，得a++b++c+≤﹣6，所以a++b++c+≤﹣6成立．故选C．【考点】反证法与放缩法．4.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是A．假设都是偶数B．假设都不是偶数C．假设至多有一个是偶数D．假设至多有两个是偶数【答案】B【解析】用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，则a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“假设a，b，c都不是偶数”，故选：B．【考点】反证法．5.（1）求证：当时，；（2）证明：不可能是同一个等差数列中的三项.【答案】（1）证明过程详见试题解析；（2）证明过程详见试题解析.【解析】（1）证明过程可以使分析法，要证成立，需证成立；而显然成立，所以原结论成立；（2）用反证法证明：即先假设结论“不可能是同一个等差数列中的三项”的反面成立，最终推出公差即是无理数又是有理数的矛盾，所以假设不正确，原结论成立.1)(当且仅当时取等号)（其他证法，如分析法酌情给分） 7分2)假设是同一个等差数列中的三项，分别设为则为无理数，又为有理数所以，假设不成立，即不可能是同一个等差数列中的三项 14分【考点】推理与证明.6.用反证法证明：已知，，，求证：，，．【答案】证明详见解析．【解析】根据应用反证法证明命题的一般步骤：先假设原命题的结论不成立，由此找出矛盾，从而肯定结论．本题先假设不都是正数，结合可知三个数中必有两个为负数，一个为正数，根据本题中的条件互相进行轮换后都没有变化，从而不妨设，进而根据条件得出，由此推导出，这与条件矛盾，从而可肯定原结论正确．假设不都是正数 1分由可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数 2分不妨设则由可得 4分又，∴ 5分即 7分∵，∴即 9分这与已知矛盾所以假设不成立．因此成立 10分【考点】反证法．7.完成反证法证题的全过程．设a1,a2, ,a7是1,2, ,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2) (a7-7)为偶数．证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2, ,a7-7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数===0．但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数．【答案】(a1-1)+(a2-2)+ +(a7-7) = (a1+a2+ +a7)-(1+2+ +7)【解析】理解奇偶数的关系是本题的关键，利用分组将原来的(a1-1)+(a2-2)+ +(a7-7)变形为(a1+a2++a7)-(1+2+ +7)，可得出矛盾所在．【考点】反证法．8.用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，下列假设正确的是（）A．假设a，b，c都是奇数或至少有两个偶数B．假设a，b，c都是偶数C．假设a，b，c至少有两个偶数D．假设a， b，c都是奇数【答案】A【解析】用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“a，b，c都是奇数”，故选A．【考点】反证法与放缩法.9.用反证法证明命题“若实系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )A．假设都是偶数B．假设都不是偶数C．假设至多有一个是偶数D．假设至少有两个是偶数【答案】B【解析】根据反证法的解题思路，首先是假设原命题的结论不成立即原结论的否定成立，因为原结论为“中至少有一个是偶数”，所以应假设中没有一个是偶数即都不是偶数，故选B.【考点】反证法.10.用反证法证明“如果a>b，那么>”假设的内容应是()A．＝B．<C．＝且<D．＝或<【答案】D【解析】分析：反证法是假设命题的结论不成立，即结论的反面成立，所以只要考虑>的反面即可。
数学选修2-2直接证明与间接证明练习题含答案
数学选修2-2直接证明与间接证明练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 求证：√2+√3>√5()A.综合法B.分析法C.综合法、分析法配合使用D.间接证法2. 要证√2−√3<√6−√7成立，只需证( )A.(√2+√7)2<(√3+√6)2B.(√2−√6)2<(√3−√7)2C.(√2−√3)2<(√6−√7)2D.(√2−√3−√6)2<(−√7)23. “执果索因”是下列哪种证明方法的特点（）A.数学归纳法B.反证法C.分析法D.综合法4. 如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是()A.①-分析法，②-综合法B.①-综合法，②-分析法C.①-综合法，②-反证法D.①-分析法，②-反证法5. 以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是()A.①—综合法，②—分析法B.①—分析法，②—综合法C.①—综合法，②—反证法D.①—分析法，②—反证法6. 命题“对于任意角θ，cos4θ−sin4θ=cos2θ”的证明：“cos4θ−sin4θ=(cos2θ−A.分析法B.综合法C.综合法、分析法结合使用D.间接证法7. 已知，，，则下列三个数，，（）A.都大于B.至少有一个不大于C.都小于D.至少有一个不小于8. 已知a,b,c>0，则ba ,cb,ac的值()A.都大于1B.都小于1C.至多有一个不小于1D.至少有一个不小于19. 用反证法证明命题：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，应假设()A.a，b，c中至多一个是偶数B.a，b，c中至少一个是奇数C.a，b，c中全是奇数D.a，b，c中恰有一个偶数10. 某同学证明√5+√13<√7+√11的过程如下：∵√13−√11>√7−√5>0，∴√13+√11<√7+√5，∴√13−√112<√7−√52，∴√5+√13<√7+√11，则该学生采用的证明方法是（）A.综合法B.比较法C.反证法D.分析法11. 若P表示已知条件或已有的定义、公理或定理，Q表示所得到的结论，下列框图表示的证明方法是________．12. 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的________条件．13. 下列对分析法表述正确的是________；（填上你认为正确的全部序号）①由因导果的推法；②执果索因的推法；③因果分别互推的两头凑法；④逆命题的证明方法．14. 用分析法证明：若a，b，m都是正数，且a<b，则a+mb+m >ab．完成下列证明过程：∵b+m>0，b>0，∴要证原不等式成立，只需证明b(a+m)>a(b+m)，即只需证明________.∵m>0，∴只需证明b>a，由已知显然成立，∴原不等式成立.15. 下列表述：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证法；⑤反证法是逆推法．正确的语句有是________（填序号）．16. 下列表述：①综合法是执因导果法；②分析法是间接证法；③分析法是执果索因法；④反证法是直接证法．正确的语句是________（填序号）．17. 用反证法证明命题“如果${018. 已知x1>0,x1≠1且x n+1=x n(x n2+3)3x n2+1(n=1,2，…），试证：“数列{x n}对任意的正整数n，都满足x n>x n+1，”当此题用反证法否定结论时应为________．19. 用反证法证明命题：“x2−(a+b)x+ab≠0，则x≠a且x≠b”，首先要假设________．20. （选修4−1几何证明选讲）如图，AD // BC，∠A=90∘，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AD于点E，连接BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F求证：AB=FC．21. （1）若a≥1，用分析法证明√a+1+√a−1<2√a； 21.（2）已知a，b都是正实数，且ab=2，求证：(2a+1)(b+1)≥9．22. 试比较下列各式的大小（不写过程）（1）1−√2与√2−√3（2）√2−√3与√3−√4通过上式请你推测出√n−1−√n与√n−√n+1(n≥2且n∈N)的大小，并用分析法加以证明．23. 用综合法或分析法证明：如果3sinβ＝sin(2α+β)，求证tan(α+β)＝2tanα．24. 下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论. 命题：若a>b>c，且a+b+c=0，则√b2−aca<√3.25. 记函数f(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使f(x0)=x0成立，则称以(x0, x0)为坐标的点为函数y=f(x)图象上的不动点．（1）若函数f(x)=2x−1x+a的图象上有且仅有两个不动点，试求a的取值范围．（2）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a，b，c∈R且a>0)，满足{f(0)≥1f(1+sin a)≤1(a∈R)，且y=f(x)的图象上有两个不动点(x1, x1)，(x2, x2)，记函数y=f(x)的对称轴为x=x0，求证：如果x1<2<x2<4，那么x0>−1．26. 已知“一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大”．（1）设一个圆和一个正方形的周长相等，都为l，请你用l分别表示出圆和正方形的面积，并用分析法证明该命题；27. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1D的中点为E，BD的中点为F，证明：CD1 // EF．28. 用分析法证明√3+√5>√2+√4．29. 用分析法证明：已知a>0，b>0，求证：a+b2≥2aba+b．30. 设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x−1，其中实数k1,k2满足k1k2+2=0．证明：l1与l2相交．31. 用分析法证明：√6+√7>√3+√10．32. 请用综合法或分析法、反证法证明：(1)如果a>0，b>0，则lg(a3+b3)≥lg(a+b)+lg ab；(2)若a，b，c为正数且abc=1，求证：a2+b2+c2≥1a +1b+1c．33. 用反证法证明：√2不是有理数．34. 设a3+b3=2，求证a+b≤2．35. 已知x，y>0，且x+y>2．求证：1+xy ，1+yx中至少有一个小于2.36. 如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，且BE=CD，BD，CE相交于点P，AP平分∠BAC，求证：AB=AC．37. 记集合T={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，a i(i=1, 2, 3, 4)是T中可重复选取的元素．（1）若将集合M={a1×83+a2×82+a3×8+a4|a i∈T, i=1, 2, 3, 4}中所有元素按从小到大的顺序排列，求第2008个数所对应的a i(i=1, 2, 3, 4)的值；（2）若将集合N={a18+a28+a38+a48|a i∈T, i=1, 2, 3, 4}中所有元素按从大到小的顺序排列，求第2008个数所对应的a i(i=1, 2, 3, 4)的值．38. 设0<x1<x2<π2．（1）证明：x1>sin x1（2）x1sin x2cos x1>x2sin x1cos x2．39. 已知△ABC中，B=C=2π5，记cos A=x，cos B=cos C=y．（1）求证：1+y=2x2；（2）若△ABC的面积等于2sinπ5，求AC边上的中线BD的长．参考答案与试题解析数学选修2-2直接证明与间接证明练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【考点】综合法与分析法【解析】直接利用分析法证明不等式，推出结果后，判断选项．【解答】证明：因为√2+√3和√5都是正数，所以为了证明√2+√3>√5，只需证明(√2+√3)2>(√5)2，展开得5+2√6>5，即2√6>0，显然成立，所以不等式√2+√3>√5．上述证明过程应用了分析法．故选B．2.【答案】A【考点】综合法与分析法【解析】对于不等式而言，若想两边同时平方使得大小号不变，必须保证两边均为正数.【解答】解：要证√2−√3<√6−√7，只需证√2+√7<√3+√6，只需证(√2+√7)2<(√3+√6)2.故选A.3.【答案】C【考点】综合法与分析法【解析】针对证明方法的定义和特点以及分类，逐个选项验证即可．【解答】解：综合法是执因导果，从前到后，分析法是执果索因，从后往前；由反证法的定义可得，反证法是假设命题的否定成立，由此推出矛盾，从而得到假设不成立，即命题成立；数学归纳法的基本形式：设P(n)是关于自然数n的命题，：若1∘的自然数n都成立．故选C．4.【答案】B【考点】分析法的思考过程、特点及应用【解析】根据综合法和分析法的定义，可知由已知到可知进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，进而得到答案．【解答】解：根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①-综合法，②-分析法.故选B．5.【答案】A【考点】分析法的思考过程、特点及应用【解析】根据综合法和分析法的定义，可知由已知到可知进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，进而得到答案．【解答】解：根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①—综合法，②—分析法.故选A．6.【答案】B【考点】分析法的思考过程、特点及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：在证明过程中使用了大量的公式和结论，有平方差公式，同角的关系式，所以在证明过程中，使用了综合法的证明方法．故选B．7.【答案】D【考点】【解析】假设3个数a+4b b+9cc+16a都小于6，则a+4b+b+9c+c+16a≤18利用基本不等式可得，a+4b +b+9c+c+16a=(a+16a)+(b+4b)+(c+9c)≥18，这与假设矛盾，故假设不成立，即3个数a+4b b+9cc+16a至少有一个不小于6，故选D．【解答】此题暂无解答8.【答案】D【考点】反证法进行简单的合情推理合情推理的作用【解析】此题暂无解析【解答】解：令a=b=c，则ba =cb=ac=1，排除A，B.令a=1,b=2,c=4，则ba =cb=2，ac=14，排除C.对于D，假设ba <1,cb<1,ac<1，则b<a,c<b,a<c，相加得a+b+c<a+b+c，矛盾.故选D.9.【答案】C【考点】反证法【解析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，求得命题：“a，b，c中至少有一个是偶数”的否定，即可得到结论．【解答】解：由于用反证法证明数学命题时，应先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面．而命题：“a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“a，b，c中全是奇数”.故选C．10.A【考点】综合法与分析法【解析】从推理过程（是“执因索果”还是“执果索因”）即可得到答案．【解答】解：从推理形式来看，从√13−√11>√7−√5>0入手，推出√13+√11<√7+√5，继而得到√13−√112<√7−√52，最后得到√5+√13<√7+√11，是“执因索果”，是综合法证明，故选：A．二、填空题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分）11.【答案】综合法【考点】综合法与分析法【解析】根据证题思路，是由因导果，是综合法的思路，故可得结论．【解答】解：∵P表示已知条件或已有的定义、公理或定理，Q表示所得到的结论，∴证明方法是由因导果，是综合法的思路故答案为：综合法12.【答案】充分【考点】综合法与分析法【解析】利用分析法的定义和分析法证题的方法，逐步寻求使结论成立的充分条件，只要使结论成立的充分条件已具备，此结论就一定成立．【解答】解：分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，只要使结论成立的充分条件已具备，此结论就一定成立．故答案为充分．13.【答案】②【考点】综合法与分析法【解析】根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法．解：根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是直接证法．故答案为：②．14.【答案】bm>am【考点】分析法的思考过程、特点及应用【解析】本题考查分析法证明不等式的方法，属于基础题，根据分析法证明不等式的方法，由b(a+m)>a(b+m)可得bm>am，即可求解.【解答】解：由b(a+m)>a(b+m)可得ab+bm>ab+am，即证bm>am.故答案为：bm>am.15.【答案】①②③【考点】综合法与分析法【解析】根据综合法的定义可得①②正确；根据分析法的定义可得③正确，④不正确；由反证法的定义可得，⑤不正确．【解答】解：根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法，故①②正确．根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是直接证法，故③正确，④不正确．由反证法的定义可得，反证法是假设命题的否定成立，由此推出矛盾，从而得到假设不成立，即命题成立，故不是逆推法，故⑤不正确．故答案为：①②③．16.【答案】①③【考点】命题的真假判断与应用综合法与分析法反证法与放缩法【解析】针对证明方法的定义和特点以及分类，逐个选项验证即可．【解答】解：综合法是执因导果，从前到后，分析法是执果索因，从后往前，综合法和分析法都是直接证法，反证法是一种间接证法，故可判断①③正确，②④错误．故答案为：①③17.【答案】√x≥√y反证法【解析】此题暂无解析【解答】解：由于√x<√y的否定为√x≥√y,根据用反证法证明命题的方法，应先假设要证的结论的否定成立，故应假设：√x≥√y,故答案为：√x≥√y.18.【答案】存在正整数n，使x n≤x n+1【考点】反证法【解析】此题暂无解析【解答】解析根据全称命题的否定，是特称命题，即“数列{x n}对任意的正整数n，都满足x n>x n+1”的否定为“存在正整数m，使x n≤x n+1”．19.【答案】x=a或x=b【考点】反证法【解析】根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得答案．【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为“x=a或x=b”，故答案为：x=a或x=b.三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）20.【答案】证明：∵以点B为圆心、BC长为半径画弧，交AD边于点E，∴BC=BE，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=90∘，AE // BC，∴∠AEB=∠FBC，而CF丄BE，∴∠BFC=90∘，在Rt△ABE和Rt△FCB中，BE=BC，∠AEB=∠FBC，∴Rt△ABE≅Rt△FCB，∴AB=FC．【考点】综合法与分析法由题意得BC=BE，再根据矩形的性质得∠A=90∘，AE // BC，则∠AEB=∠FBC，而CF丄BE，则∠BFC=90∘，根据直角三角形全等的判定易得到Rt△ABE≅Rt△CFB，利用三角形全等的性质即可得到AB=FC．【解答】证明：∵以点B为圆心、BC长为半径画弧，交AD边于点E，∴BC=BE，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=90∘，AE // BC，∴∠AEB=∠FBC，而CF丄BE，∴∠BFC=90∘，在Rt△ABE和Rt△FCB中，BE=BC，∠AEB=∠FBC，∴Rt△ABE≅Rt△FCB，∴AB=FC．21.【答案】证明：（1）因a≥1，所以，要证√a+1+√a−1<2√a，只需证明a+1+2√a2−1+a−1<4a，即证√a2−1<a，只需证明a2−1<a2，即−1<0，此不等式显然成立，于是√a+1+√a−1<2√a．（2）因a，b都是正实数，所以，2a+b≥2√2ab=4，当且仅当b=2a，即a=1，b=2时等号成立，∴(2a+1)(b+1)=2ab+(2a+b)+1≥4+4+1=9．【考点】综合法与分析法【解析】（1）只需证明a+1+2√a2−1+a−1<4a，即证√a2−1<a，只需证明a2−1< a2．（2）利用基本不等式证明2a+b≥2√2ab=4，化简不等式的左边，把此结论代入，可证得不等式成立．【解答】证明：（1）因a≥1，所以，要证√a+1+√a−1<2√a，只需证明a+1+2√a2−1+a−1<4a，即证√a2−1<a，只需证明a2−1<a2，即−1<0，此不等式显然成立，于是√a+1+√a−1<2√a．（2）因a，b都是正实数，所以，2a+b≥2√2ab=4，当且仅当b=2a，即a=1，b=2时等号成立，∴(2a+1)(b+1)=2ab+(2a+b)+1≥4+4+1=9．22.【答案】解：（1）1−√2<√2−√3；（2）√2−√3<√3−√4猜想：√n−1−√n<√n−√n+1(n≥2且n∈N)证明：要证：√n−1−√n<√n−√n+1(n≥2且n∈N)即证：(√n−1−√n)2<(√n−√n+1)2整理得：√n2+n>√n2−n+1平方整理得：2n−1>2√n2−n平方并整理得：1>0而此不等式一定成立，故猜想正确【考点】综合法与分析法不等式比较两数大小【解析】猜想：√n−1−√n<√n−√n+1(n≥2且n∈N)，再用分析法证明即可．【解答】解：（1）1−√2<√2−√3；（2）√2−√3<√3−√4猜想：√n−1−√n<√n−√n+1(n≥2且n∈N)证明：要证：√n−1−√n<√n−√n+1(n≥2且n∈N)即证：(√n−1−√n)2<(√n−√n+1)2整理得：√n2+n>√n2−n+1平方整理得：2n−1>2√n2−n平方并整理得：1>0而此不等式一定成立，故猜想正确23.【答案】证明：将条件化为：3sin[(α+β)−α]＝sin[(α+β)+α]，展开得：3sin(α+β)cosα−3cos(α+β)sinα＝sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα，即：2sin(α+β)cosα＝4cos(α+β)sinα，由cos(α+β)cosα≠0，两边同除以cos(α+β)cosα，可得tan(α+β)＝2tanα．【考点】分析法的思考过程、特点及应用两角和与差的三角函数【解析】把已知等式左边的角β变为(α+β)−α，右边的角2α+β变为(α+β)+α，然后左右两边分别利用两角和与差的正弦函数公式化简，移项合并后，在等式两边同时除以cosαcos(α+β)，利用同角三角函数间的基本关系变形可得证．【解答】证明：将条件化为：3sin[(α+β)−α]＝sin[(α+β)+α]，展开得：3sin(α+β)cosα−3cos(α+β)sinα＝sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα，即：2sin(α+β)cosα＝4cos(α+β)sinα，由cos(α+β)cosα≠0，两边同除以cos(α+β)cosα，可得tan(α+β)＝2tanα．24.【答案】解：此命题是真命题．∵a>b>c，且a+b+c=0，∴a>0，c<0．<√3，只需证√b2−ac<√3a，要证√b2−aca即证b2−ac<3a2，也就是证(a+c)2−ac<3a2，即证(a−c)(2a+c)>0，∵a−c>0，2a+c=a+c+a=−b+a>0，∴(a−c)(2a+c)>0成立，故原不等式成立，即命题为真．【考点】不等式的基本性质分析法的思考过程、特点及应用【解析】采用分析法来证，先把不等式转化为：√b2−ac<√3a，两边平方b2−ac<3a3，整理后得到一恒成立的不等式即可．【解答】解：此命题是真命题．∵a>b>c，且a+b+c=0，∴a>0，c<0．<√3，只需证√b2−ac<√3a，要证√b2−aca即证b2−ac<3a2，也就是证(a+c)2−ac<3a2，即证(a−c)(2a+c)>0，∵a−c>0，2a+c=a+c+a=−b+a>0，∴(a−c)(2a+c)>0成立，故原不等式成立，即命题为真．25.【答案】=x0，解：（1）若点(x0, x0)是不动点，则2x0−1x0+a即x02+(a−2)x0+1=0，由题意函数f(x)=2x−1的图象上有且仅有两个不动点，∴a=x+a4．（2）设g(x)=f(x)−x=ax2+(b−1)x+1，∵a>0，∴由条件x1<2<x2<4，得g(2)<0，g(4)>0．即{4a+2b−1<0 16a+4b−3>0由可行域可得ba <2，∴x0=−b2a>−1．【考点】综合法与分析法【解析】（1）根据不动点的定义，得出方程x02+(a−2)x0+1=0，利用函数f(x)=2x−1x+a的图象上有且仅有两个不动点，求a的取值范围；（2）由x1<2<x2<4转化为g(x)=f(x)−x=0有两根：一根在2与4之间，另一根在2的左边，利用一元二次方程根的分布可证．【解答】解：（1）若点(x0, x0)是不动点，则2x0−1x0+a=x0，即x02+(a−2)x0+1=0，由题意函数f(x)=2x−1x+a的图象上有且仅有两个不动点，∴a=4．（2）设g(x)=f(x)−x=ax2+(b−1)x+1，∵a>0，∴由条件x1<2<x2<4，得g(2)<0，g(4)>0．即{4a+2b−1<0 16a+4b−3>0由可行域可得ba <2，∴x0=−b2a>−1．26.【答案】解：（1）依题意，圆的面积为π⋅(l2π)2，正方形的面积为(l4)2．因此本题只需证明π⋅(l2π)2>(l4)2．要证明上式，只需证明πl 24π2>l216，两边同乘以正数4l2，得1π>14．因此，只需证明4>π．因为4>π恒成立，所以π⋅(l2π)2>(l4)2．这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大．（2）一个球与一个正方体的表面积相等时，球的体积比正方体的体积大．【考点】分析法的思考过程、特点及应用类比推理【解析】（1）依题意，圆的面积为π⋅(l2π)2，正方形的面积为(l4)2，根据分析法的证明步骤可得结论；（2）周长类比表面积，面积类比体积，即可得出结论．【解答】解：（1）依题意，圆的面积为π⋅(l2π)2，正方形的面积为(l4)2．因此本题只需证明π⋅(l2π)2>(l4)2．要证明上式，只需证明πl 24π2>l216，两边同乘以正数4l2，得1π>14．因此，只需证明4>π．因为4>π恒成立，所以π⋅(l2π)2>(l4)2．这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大．（2）一个球与一个正方体的表面积相等时，球的体积比正方体的体积大．27.【答案】证明：连接A1B，则∵正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1D的中点为E，BD的中点为F，∴EF // A1B，∵A1D1 // BC，A1D1=BC，∴A1D1CB是平行四边形，∴CD1 // A1B，∴CD1 // EF．【考点】分析法的思考过程、特点及应用【解析】连接A1B，利用平行公理，即可证明．【解答】证明：连接A1B，则∵正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1D的中点为E，BD的中点为F，∴EF // A1B，∵A1D1 // BC，A1D1=BC，∴A1D1CB是平行四边形，∴CD1 // A1B，∴CD1 // EF．28.【答案】证明：要证明√3+√5>√2+√4，只要证明：√3>√2，√5>√4，结论显然成立，∴√3+√5>√2+√4．【考点】分析法的思考过程、特点及应用【解析】寻找使不等式成立的充分条件，要是不等式成立，只要√3>√2，√5>√4．【解答】证明：要证明√3+√5>√2+√4，只要证明：√3>√2，√5>√4，结论显然成立，∴√3+√5>√2+√4．29.【答案】证明：因为a>0，b>0，要证a+b2≥2aba+b，只要证，(a+b)2≥4ab，只要证(a+b)2−4ab≥0，即证a2−2ab+b2≥0，而a2−2ab+b2=(a−b)2≥0恒成立，故a+b2≥2aba+b成立．【考点】不等式的证明分析法的思考过程、特点及应用【解析】利用分析法（执果索因），要证a+b2≥2aba+b，只需证明(a−b)2≥0即可，该式显然成立．【解答】证明：因为a>0，b>0，要证a+b2≥2aba+b，只要证，(a+b)2≥4ab，只要证(a+b)2−4ab≥0，即证a2−2ab+b2≥0，而a2−2ab+b2=(a−b)2≥0恒成立，故a+b2≥2aba+b成立．30.【答案】证明：假设l1与l2不相交，则l1与l2平行或重合，有k1=k2，代入k1k2+2=0，得k12+2=0．这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．【考点】反证法【解析】此题暂无解析【解答】方法点拔：采用反证法．31.【答案】证明：要证√6+√7>√3+√10，只要证6+7+2√42>3+10+2√30，只要证2√42>2√30，即证42>30．而42>30显然成立，故原不等式成立．【考点】综合法与分析法【解析】分析使不等式√6+√7>√3+√10成立的充分条件，一直分析到使不等式成立的充分条件显然具备，从而不等式得证．【解答】证明：要证√6+√7>√3+√10，只要证6+7+2√42>3+10+2√30，只要证2√42>2√30，即证42>30．而42>30显然成立，故原不等式成立．32.【答案】证明：(1)（综合法）如果a>0，b>0，则a3+b3−(a+b)ab=a3−a2b+b3−ab2=a2(a−b)−b2(a−b)=(a2−b2)(a−b)=(a+b)(a−b)(a−b)=(a+b)(a−b)2≥0，当且仅且a=b时取等号，故a3+b3≥(a+b)ab，即lg(a3+b3)≥lg(a+b)+lg ab．(2)（分析法）要证a2+b2+c2≥1a +1b+1c，只要证a 2+b2+c2abc≥1a+1b+1c，即证a2+b2+c2≥bc+ac+ab，即证2a2+2b2+2c2−2bc−2ac−2ab≥0，即证a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+a2−2ac+c2≥0，即证(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2≥0，显然成立，且a=b=c时取等号，以上均可逆，则原不等式成立．【考点】不等式的证明综合法的思考过程、特点及应用分析法的思考过程、特点及应用对数的运算性质【解析】【解答】证明：(1)（综合法）如果a>0，b>0，则a3+b3−(a+b)ab=a3−a2b+b3−ab2=a2(a−b)−b2(a−b)=(a2−b2)(a−b)=(a+b)(a−b)(a−b)=(a+b)(a−b)2≥0，当且仅且a=b时取等号，故a3+b3≥(a+b)ab，即lg(a3+b3)≥lg(a+b)+lg ab．(2)（分析法）要证a2+b2+c2≥1a +1b+1c，只要证a 2+b2+c2abc≥1a+1b+1c，即证a2+b2+c2≥bc+ac+ab，即证2a2+2b2+2c2−2bc−2ac−2ab≥0，即证a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+a2−2ac+c2≥0，即证(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2≥0，显然成立，且a=b=c时取等号，以上均可逆，则原不等式成立．33.【答案】证明：假设√2为有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得：√2=pq，于是p=√2q，两边平方得p2＝2q2由2q2是偶数，可得p2是偶数．而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数．因此可设p＝2s，s是正整数，代入上式，得：4s2＝2q2，即q2＝2s2．所以q也是偶数，这样p，q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾．因此√2不是有理数．【考点】反证法【解析】假设√2为有理数，通过有理数的性质，推出矛盾的结论，即可得到结果．【解答】证明：假设√2为有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得：√2=pq，于是p=√2q，两边平方得p2＝2q2由2q2是偶数，可得p2是偶数．而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数．因此可设p＝2s，s是正整数，代入上式，得：4s2＝2q2，即q2＝2s2．所以q也是偶数，这样p，q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾．因此√2不是有理数．34.【答案】证明：假设a+b>2，则有a>2−b，从而a3>8−12b+6b2−b3，a3+b3>6b2−12b+8=6(b−1)2+2．因为6(b−1)2+2≥2，所以a3+b3>2，这与题设条件a3+b3=2矛盾，所以，原不等式a+b≤2成立．评析：利用反证法证明不等式的第二步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况．【考点】反证法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答35.【答案】证明：假设1+xy ，1+yx都不小于2，即1+xy≥2且1+yx≥2.因为x，y>0，所以1+x≥2y且1+y≥2x.把这两个不等式相加得2+x+y≥2(x+y)，化简得x+y≤2，这与x+y>2矛盾．因此1+xy ，1+yx都不小于2是不可能的，即原命题成立．【考点】反证法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答36.【答案】证明：作DG⊥BC于G，作EH⊥BC于H，作PM⊥AC于M，作PN⊥AB于N，∵AP平分∠BAC，∴PM=PN，∵CD=BE，∴△CPD与△BPE的面积相等，∴△BCD与△CBE的面积相等，∴DG=EH，又∵CD=BE，∴△CGD≅△BHE，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．【考点】综合法与分析法【解析】作DG⊥BC于G，作EH⊥BC于H，作PM⊥AC于M，作PN⊥AB于N，先根据三角形面积相等求出DG=EH，利用全等三角形的判定定理即可得到△CGD≅△BHE，于是得到∠ABC =∠ACB ，利用等角对等边即可得到AB =AC ． 【解答】证明：作DG ⊥BC 于G ，作EH ⊥BC 于H ，作PM ⊥AC 于M ，作PN ⊥AB 于N ，∵ AP 平分∠BAC ， ∴ PM =PN ， ∵ CD =BE ，∴ △CPD 与△BPE 的面积相等， ∴ △BCD 与△CBE 的面积相等， ∴ DG =EH ， 又∵ CD =BE ， ∴ △CGD ≅△BHE ， ∴ ∠ABC =∠ACB ， ∴ AB =AC ． 37. 【答案】解：（1）记a 1×83+a 2×82+a 3×8+a 4=a 1a 2a 3a 4¯， 它表示一个8进制数；M 中最小值为0¯，第2008个数在十进制数中为2007， 将2007化为8进制数即为3727¯， 所以a 1=3，a 2=7，a 3=2，a 4=7．（2）因为a 18+a 28+a 38+a 48=18(a 1×83+a 2×82+a 3×8+a 4)，括号内表示的8进制数，其最大值为7777¯； ∵ 7777¯=4095，从大到小排列，第2008个数为 4095−2008+1=2088因为2008=4050¯，所以a 1=4，a 2=0，a 3=5，a 4=0【考点】分析法的思考过程、特点及应用 【解析】（1）要将集合M ={a 1×83+a 2×82+a 3×8+a 4|a i ∈T, i =1, 2, 3, 4}中所有元素按从小到大的顺序排列，求第2008个数所对应的a i ，首先要搞清楚，M 集合中元素的特征，关键是要分析求第2008个数所对应的十进制数，并根据十进制转换为八进行的方法，将它转换为八进制数，即得答案． （2）要将集合N ={a 18+a 282+a 383+a 484|a i ∈T, i =1, 2, 3, 4}中所有元素按从大到小的顺序排列，求第2008个数所对应的a i ，首先要搞清楚，N 集合中元素的特征，同样要分析求第2008个数所对应的十进制数，并根据十进制转换为八进行的方法，将它转换为八进制数，即得答案． 【解答】解：（1）记a 1×83+a 2×82+a 3×8+a 4=a 1a 2a 3a 4¯， 它表示一个8进制数；M 中最小值为0¯，第2008个数在十进制数中为2007， 将2007化为8进制数即为3727¯， 所以a 1=3，a 2=7，a 3=2，a 4=7．（2）因为a 18+a 282+a 383+a 484=184(a 1×83+a 2×82+a 3×8+a 4)，括号内表示的8进制数，其最大值为7777¯； ∵ 7777¯=4095，从大到小排列，第2008个数为 4095−2008+1=2088因为2008=4050¯，所以a 1=4，a 2=0，a 3=5，a 4=0 38. 【答案】证明：（1）令f(x)=x −sin x(0<x <π2)，∴ f′(x)=1−cos x ≥0，∴ f(x)=x −sin x(0<x <π2)为增函数， ∵ 0<x 1<π2，∴ f(x 1)>f(0)，即x 1−sin x 1>0， ∴ x 1>sin x 1；（2）令g(x)=x cot x(0<x <π2)， 则g′(x)=cot x −xcsc 2x =sin x cos x−x sin 2x <0，∴ g(x)=x cot x(0<x <π2)为减函数， ∵ 0<x 1<x 2<π2，则x 1cos x 1sin x 1>x 2cos x2sin x 2，即x 1sin x 2cos x 1>x 2sin x 1cos x 2．【考点】综合法与分析法【解析】（1）构造函数f(x)=x−sin x(0<x<π2)，利用导数证明其为增函数，则结论可证；（2）构造函数g(x)=x cot x(0<x<π2)，利用导数证明其为增函数，则结论可证．【解答】证明：（1）令f(x)=x−sin x(0<x<π2)，∴f′(x)=1−cos x≥0，∴f(x)=x−sin x(0<x<π2)为增函数，∵0<x1<π2，∴f(x1)>f(0)，即x1−sin x1>0，∴x1>sin x1；（2）令g(x)=x cot x(0<x<π2)，则g′(x)=cot x−xcsc2x=sin x cos x−xsin2x<0，∴g(x)=x cot x(0<x<π2)为减函数，∵0<x1<x2<π2，则x1cos x1sin x1>x2cos x2sin x2，即x1sin x2cos x1>x2sin x1cos x2．39.【答案】（1）证明：∵B=C=2π5，∴A=π−(B+C)=π−4π5=π5∴1+y=1+cos2π5=2cos2π5=2x2．…（2）解：设△ABC中，角B、C所对的边分别为b、c，则有12bc sin A=2sinπ5，∵b=c，A=π5，∴b2sinπ5=4sinπ5，故b=c=2．…又BD2=c2+(b2)2−2×c×b2cos A=22+12−2×2×1×cosπ5=5−4cosπ5，∴BD=√5−4cosπ5．…【考点】综合法与分析法【解析】（1）利用cos A=x，cos B=cos C=y，结合二倍角公式，可证结论；（2）利用三角形的面积公式，结合b=c，A=π5，求出BC，进而可求BD的长．【解答】（1）证明：∵B=C=2π5，∴A=π−(B+C)=π−4π5=π5∴1+y=1+cos2π5=2cos2π5=2x2．…（2）解：设△ABC中，角B、C所对的边分别为b、c，则有12bc sin A=2sinπ5，∵b=c，A=π5，∴b2sinπ5=4sinπ5，故b=c=2．…又BD2=c2+(b2)2−2×c×b2cos A=22+12−2×2×1×cosπ5=5−4cosπ5，∴BD=√5−4cosπ5．…。
直接证明与间接证明练习卷
直接证明与间接证明练习卷一、填空题1．A ．将结论与条件同时否认，推出矛盾；B ．肯定条件，否认结论，推出矛盾；C ．将被否认的结论当条件，经过推理得出结论只与原题条件矛盾，才是反证支的正确运用D ．将被否认的结论当条件，原题的条件不能当条件2．用反证法证明“如果a b >，那么33a b >〞假设的内容是______________。
3．αβ，是两个平面，直线l 不在平面α内，l 也不在平面β内，设①l α⊥；②l β∥；③αβ⊥4．求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60，用反证法证明时的假设为“三角形的 〞．5．当00a b >>，时，①11()4a b a b ⎛⎫++⎪⎝⎭≥；②22222a b a b +++≥；④2ab a b+．以上4个不等式恒成立的是 ．〔填序号〕61>1>，即证75111+>+>3511>，∴原不等式成立．以上证明应用了________(A ．分析法B ．综合法C ．分析法与综合法配合使用D ．间接证法)7．假设关于x 的不等式22133(2)(2)22x x k k k k --+<-+的解集为1(,)2+∞，那么k 的范围是____ .8． b a ,是不相等的正数，x y ==，那么,x y 的大小关系是_________. 9． 假设,,a b c R ∈,那么222a b c ++ ab bc ac ++.10．.将a 千克的白糖加水配制成b 千克的糖水(0)b a >>,那么其浓度为 ;假设再参加m 千克的白糖(0)m >,糖水更甜了,根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式: .二、解答题11.,,a b c R +∈， 1a b c ++=，求证：1119a b c++≥12．求证：对于任意角θ，44cos sin cos 2θθθ-=13．(01)a b c ∈，，，，求证：(1)(1)(1)a b b c c a ---，，不能同时大于14．14．求证：以过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切〔用分析法证〕15. ,0x y >,且2x y +>.试证:11,x y y x ++中至少有一个小于2.。
直接证明与间接证明(共27张)
考向一 综合法[自主练透型] [例 1] 已知 a，b，c 为正实数，a＋b＋c＝1，求证：a2＋ b2＋c2≥31.
[证明] 法一 因为 a＋b＋c＝1， 所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≤a2＋b2＋c2 ＋a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2＝3(a2＋b2＋c2)． 所以 a2＋b2＋c2≥31.
第六节 直接证明与间接证明
[小题热身]
1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；
③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证
法．其中正确的有( )
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
解析：由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正 确．
答案：D
2．要使3
a－3
3 b<
P⇒Q1 ―→ Q1⇒Q2 ―→ Q2⇒Q3 ―→…―→ Qn⇒Q
2．分析法 一般地，从要③_证__明__的__结__论_出发，逐步寻求使它成立的④ _充__分__条__件___，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成 立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明的方 法叫做分析法． 用 Q 表示要证明的结论，则分析－－ppr－＝r0＝，0.
∴p＋2 r2＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r， 与 p≠r 矛盾． ∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
———————[悟·技法]———————
用反证法证明不等式要把握三点： (1)必须先否定结论，即肯定结论的反面； (2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件， 且必须依据这一条件进行推证； (3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与 假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显 的．
【导与练】直接证明与间接证明
x1+tan x2)>tan
x1 x2 2
,
1 sin x1 sin x2 x1 x2 >tan 只需证明 cos x cos x 2 2 1 2
,
sin(x1 x2 ) sin(x1 x2 ) 只需证明 > . 2 cos x1 cos x2 1 cos(x1 x2 )
欲证 F(x)为偶函数,只需证 F(-x)=F(x),
1 1 即证 f x =f x . 2 2
由已知,函数 f(x+1)与 f(x)的图象关于 y 轴对称,而函数 f(x)与 f(-x)的图象也 是关于 y 轴对称的, ∴f(-x)=f(x+1),
ab bc ac ∴ · · >abc>0 成立. 2 2 2
上式两边同时取常用对数, 得
ab bc ca lg >lg(abc), 2 2 2
ab bc ca ∴lg +lg +lg >lg a+lg b+lg c. 2 2 2
分析法 【例 2】 已知函数 f(x)=tan
1.直接证明 (1)综合法 ①定义:利用已知条件和某些数学定 义、公理、定理等,经过一系列的推理 论证,最后推导出所要证明的结论成立 的证明方法.
②证明流程: (P 表示已 知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示所要证明的结论). ③文字表示为:“因为„„所以„„”或 “由„„得„„”. ④思维过程:由因导果.
π 由于 x 、x 0, ,故 x +x 2
1 2 1 2
(0,π ).
故 cos x1cos x2>0,sin(x1+x2)>0, 1+cos(x1+x2)>0, 故只需证明 1+cos(x1+x2)>2cos x1cos x2, 即证 1+cos x1cos x2-sin x1sin x2> 2cos x1cos x2, 即证 cos(x1-x2)<1.
2.2直接证明与间接证明同步练习含答案详解
且
2 cos Asin B sin C ．判断 △ABC 的形状．
一、选择题
二、填空题 5． 6． 三、解答题 7.
2.2 直接证明与间接证明 答题纸
得答案
8. 9.
10.
A．充分条件
B．必要条件
C．充要 条件
D．必要不充分条件
4． 3.设 a， b， c， d ， m， n R ， P ab cd ，
Q ma nc·
b m
d n
，则有（ ）
Ａ ． P≥Q
Ｂ． P≤Q
Ｃ． PQ
Ｄ． P Q
8.（ 20 分 ） 设
3 2
x
2
，
求
证
：
2 x 1 2x 3 15 3x 8
证： a 3 ＋ b3 ＞ a 2b ab 2
9． (20 分 ) 设 a, b, c 为 任 意 三 角 形 边 长 ， I a b c, S ab bc ca ，
试证： 3S I 2 4S
10.（ 15 分 ） 在 △ABC 中 ， 已 知
(a b c)(a b c) 3ab ，
4.已 知 函 数
f
(x)
1 2
x
，
a， b R ，
A
f
a
2
b
，
B f(
ab) ，
C
f
ab ab
，
则
A， B， C 的大小关系（ ）
Ａ ． A≤B≤C
Ｂ ． A≤C≤B
Ｃ． B ≤ C ≤ A
直接证明和间接证明
直接证明和间接证明1．(优质试题·徐州模拟)若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4 (a≥0)，则P，Q的大小关系是________．解析：因为P2＝2a＋7＋2a·a＋7＝2a＋7＋2a2＋7a，Q2＝2a＋7＋2a＋3·a＋4＝2a＋7＋2a2＋7a＋12，所以P2<Q2，所以P<Q.答案：P<Q2．(优质试题·江阴调研)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②a2＋b2＞2.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件的是________(填序号)．解析：①中，假设a≤1，b≤1，则a＋b≤2与已知条件a＋b>2矛盾，故假设不成立，所以a，b中至少有一个大于1，①正确；②中，若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2成立，故②不能推出：“a，b 中至少有一个大于1”．答案：①3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)________0(填“>”“<”或“＝”)．解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.答案：<4．(优质试题·吕四中学检测)若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则在a ＋b,2ab ，a 2＋b 2和2ab 中最大的是________．解析：因为0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，所以a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab ，a ＋b －(a 2＋b 2)＝a (1－a )＋b (1－b )>0，所以a ＋b 最大． 答案：a ＋b5．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是__________．解析：a a ＋b b ＞a b ＋b a ，即(a －b )2(a ＋b )＞0，需满足a ≥0，b ≥0且a ≠b .答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b6．用反证法证明“若x 2－1＝0，则x ＝－1或x ＝1”时，应假设____________________．解析：“x ＝－1或x ＝1”的否定是“x ≠－1且x ≠1”． 答案：x ≠－1且x ≠17．已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1z －1>8. 证明：因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以1x －1＝1－x x ＝y ＋z x >2yz x ，①1y －1＝1－y y ＝x ＋z y >2xz y ，②1z －1＝1－z z ＝x ＋y z >2xy z ，③又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1z －1>8. 8．已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a|＋|b||a ＋b |≤ 2. 证明：a ⊥b ⇔a ·b ＝0，要证|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2. 只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2，只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0，即(|a |－|b |)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 的中点．(1)求证：EC ∥平面PAD ；(2)求证：平面EAC ⊥平面PBC .证明：(1)作线段AB 的中点F ，连结EF ，CF (图略)，则AF ＝CD ，AF ∥CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形，则CF ∥AD .又EF ∥AP ，且CF ∩EF ＝F ，∴平面CFE ∥平面PAD .又EC ⊂平面CEF ，∴EC ∥平面PAD .(2)∵PC ⊥底面ABCD ，∴PC ⊥AC .∵四边形ABCD 是直角梯形，且AB ＝2AD ＝2CD ＝2，∴AC ＝2，BC ＝ 2.∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴AC ⊥BC ，∵PC ∩BC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ，∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC .二上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式． (2)设b n ＝a n a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n ＜16.证明：(1)由已知可得，当n ∈N *时，a n ＋1＝a n 3a n ＋1， 两边取倒数得，1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n ＋3， 即1a n ＋1－1a n ＝3，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝2， 公差为3的等差数列，其通项公式为1a n＝2＋(n －1)×3＝3n －1， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －1. (2)由(1)知a n ＝13n －1， 故b n ＝a n a n ＋1＝1(3n －1)(3n ＋2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13n －1－13n ＋2， 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－15＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫15－18＋…＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13n －1－13n ＋2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－13n ＋2＝16－13·13n ＋2. 因为13n ＋2＞0，所以T n ＜16. 2．(优质试题·无锡一中检测)数列{a n }，{b n }的每一项都是正数，a 1＝8，b 1＝16，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，n ∈N *.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：对一切正整数n ，有1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1＜27. 解：(1)因为a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，所以2b n ＝a n ＋a n ＋1.①因为b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，所以a 2n ＋1＝b n b n ＋1.因为数列{a n }，{b n }的每一项都是正数，所以a n ＋1＝b n b n ＋1.②于是当n ≥2时，a n ＝b n －1b n .③将②③代入①式，可得2b n ＝b n －1＋b n ＋1. 因为a 1＝8，b 1＝16，所以⎩⎨⎧ 2×16＝8＋a 2，a 22＝16b 2，解得b 2＝36，所以数列{b n }是首项为4，公差为2的等差数列， 所以b n ＝b 1＋(n －1)d ＝2n ＋2，于是b n ＝4(n ＋1)2.当n ＝1时，a 1＝8，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有a n ＝4n (n ＋1)．(2)证明：由(1)可知a n ＝4n (n ＋1)，因为1a n －1＝14n 2＋4n －1，14n 2＋4n －1＜14n 2＋4n －3＝1(2n －1)(2n ＋3)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋3. 当n ≥3时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1＜17＋123＋14⎝⎛⎭⎪⎫15－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－111＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －3－12n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋3＜17＋123＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17＜17＋235＋335＝27. 当n ＝1时，17＜27， 当n ＝2时，17＋123＜17＋17＝27， 综上所述，对一切正整数n ，有1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1＜27.。
2017年12月8日 直接证明与间接证明-每日一题2018年高考数学(理)一轮复习
直接证明与间接证明高考频度：★★★☆☆难易程度：★★★☆☆设1a，2a，3a，4a是各项为正数且公差为()0d d≠的等差数列．（1）证明：12a，22a，32a，42a依次构成等比数列；（2）是否存在1a，d，使得1a，22a，33a，44a依次构成等比数列？并说明理由．【参考答案】（1）见解析；（2）不存在，理由见试题解析．【试题解析】（1）因为112222nn nnaa a da++-==(n=1，2，3)是同一个常数，所以12a，22a，32a，42a依次构成等比数列．显然14t=-不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在1a，d，使得1a，22a，33a，44a依次构成等比数列．【解题必备】（1）用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围是：①定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；②已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．学#（2）反证法是解决某些“疑难”问题的有力工具，它的适用范围为：①否定性命题；②命题的结论中出现“至少”、“至多”、“唯一”等词语；③命题成立非常明显，直接证明所用的理论太少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；④要讨论的情况很复杂，而反面情况很少．1．用反证法证明命题：“,a b N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为A．,a b都能被5整除B．,a b都不能被5整除C．,a b不都能被5整除D．a不能被5整除2．已知函数为自然对数的底数).（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围;（2）若方程有两个不同的实数解，求证.1．【答案】B【解析】“,a b中至少有一个不能被5整除”的否定是“,a b都不能被5整除”，故选B.2．【答案】（1）；（2）证明见解析.（2）因为方程有两个不同的实数解，所以，因此，即.先证明，要证明，即成立，所以得证.所以，即成立.。
高二数学直接证明与间接证明试题答案及解析
高二数学直接证明与间接证明试题答案及解析1.已知，试证明至少有一个不小于1.【答案】见解析【解析】先假设结论的反面成立，即假设均小于1，即，则有，然后通过不等式推出矛盾即可.假设均小于1，即，则有而，矛盾．所以原命题成立【考点】反证法.2.用反证法证明命题：“若a，，能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b有一个能被5整除D．a，b有一个不能被5整除【答案】B【解析】反证法中，假设的应该是原结论的对立面，故应该为a，b都不能被5整除.【考点】反证法.3.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度；B．假设三内角都大于60度；C．假设三内角至多有一个大于60度；D．假设三内角至多有两个大于60度。
【答案】B【解析】根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选B .【考点】反证法与放缩法.4.（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于；（2）已知，试用分析法证明：.【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】（1）根据应用反证法证明命题的一般步骤，先假设原命题的结论不成立，由此找出矛盾（本题中的矛盾指向：三角形的内角和定理），从而肯定结论进行证明即可；（2）根据分析法的思路是执果索因，要证，只需证，进而结合不等式的性质：不等式的可乘方性，进行逐渐整理即可得到最后只须证，显然成立，从而命题得证.试题解析：（1）证明：假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于，即均小于则三内角和小于，与三角形中三内角和等于矛盾，故假设不成立，原命题成立；（2）证明：要证上式成立，需证需证需证需证需证只需证因为显然成立，所以原命题成立.【考点】1.反证法；2.分析法.5.已知函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对任意的x1，x2∈[0,1]且x1≠x2，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|<，若用反证法证明该题，则反设应为________．【答案】存在x1，x2∈[0,1]且x1≠x2，虽然|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，但|f(x1)－f(x2)|≥【解析】根据已知和反证法的要求，反设应为：存在x1，x2∈[0,1]且x1≠x2，虽然|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，但|f(x1)－f(x2)|≥6.用反证法证明：如果x>，那么x2＋2x－1≠0.【答案】见解析【解析】假设x2＋2x－1＝0则(x＋1)2＝2∴x＝－1±此时x<与已知x>矛盾，故假设不成立．∴原命题成立7.甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，只有其中一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】C【解析】由题意四位歌手的话只有两句是对的情况有甲丙、甲丁这两组，当甲丙说的对时，获奖的歌手是丙，此时乙、丁都说错了，符合题意；当甲丁说的对时，乙获奖了，这时乙也说对了，不符合只有两人说对的情况，排除；故获奖的歌手是丙，故选C【考点】本题考查了反证法的运用点评：此类问题的解决步骤：首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立.这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾等8.（1）观察下列各式：请你根据上述特点，提炼出一个一般性命题（写出已知，求证），并用分析法加以证明。
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12月8日 直接证明与间接证明
高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆
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设1a ，2a ，3a ，4a 是各项为正数且公差为()0d d ≠的等差数列．
（1）证明：12a ，22a ，32a ，42a 依次构成等比数列；
（2）是否存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，4
4a 依次构成等比数列？并说明理由．
【参考答案】（1）见解析；（2）不存在，理由见试题解析． 【试题解析】（1）因为1
12222n n n n
a a a d a ++-==(n =1，2，3)是同一个常数， 所以12a ，22a ，32a ，42a 依次构成等比数列．
显然14
t =-不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立， 因此不存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列．
【解题必备】（1）用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围是：①定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；②已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．
（2）反证法是解决某些“疑难”问题的有力工具，它的适用范围为：①否定性命题；②命题的结论中出现“至少”、“至多”、“唯一”等词语；③命题成立非常明显，直接证明所用的理论太少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；④要讨论的情况很复杂，而反面情况很少．
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1．用反证法证明命题：“,a b N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为
A．,a b都能被5整除B．,a b都不能被5整除
C．,a b不都能被5整除D．a不能被5整除
2．已知函数为自然对数的底数).
（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围;
（2）若方程有两个不同的实数解，求证.
1．【答案】B
【解析】“,a b中至少有一个不能被5整除”的否定是“,a b都不能被5整除”，故选B.
2．【答案】（1）；（2）证明见解析.
（2）因为方程有两个不同的实数解，
所以，
因此，即.
先证明，
要证明，
即成立，
所以得证.
所以，即成立.。