微积分方法在证明一些组合数恒等式中的应用
组合数的恒等式
组合数的恒等式组合数的恒等式是组合数学中常用的一种等式，它在解决组合计数问题中起着重要的作用。
组合数的恒等式主要包括二项式系数公式、加法原理和乘法原理等。
下面将分别介绍这些恒等式的概念和应用。
一、二项式系数公式：二项式系数公式是组合数学中最基本的恒等式之一，它描述了两个元素的组合方式。
具体而言，对于非负整数n和k，二项式系数C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
二项式系数公式的表达式为：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)。
这个公式的意义在于，从n个元素中选取k个元素的组合数可以通过从n-1个元素中选取k-1个元素和从n-1个元素中选取k个元素来获得。
这个公式在组合计数问题中经常被使用，例如计算排列组合、二项式定理等。
二、加法原理：加法原理是组合计数中常用的一种方法，它用于计算多个事件的总数。
加法原理的核心思想是将多个互斥事件的计数相加，得到总计数。
具体而言，对于互斥事件A和事件B，它们的计数之和等于事件A和事件B的并集的计数。
加法原理可以推广到多个事件的情况，即对于互斥事件A1、A2、...、An，它们的计数之和等于事件A1、A2、...、An的并集的计数。
加法原理在解决组合计数问题中经常被使用，例如计算排列组合、集合的计数等。
三、乘法原理：乘法原理是组合计数中常用的一种方法，它用于计算多个独立事件的总数。
乘法原理的核心思想是将多个事件的计数相乘，得到总计数。
具体而言，对于独立事件A和事件B，它们的计数之积等于事件A和事件B的交集的计数。
乘法原理可以推广到多个独立事件的情况，即对于独立事件A1、A2、...、An，它们的计数之积等于事件A1、A2、...、An的交集的计数。
乘法原理在解决组合计数问题中经常被使用，例如计算排列组合、多个条件下的计数等。
组合数的恒等式包括二项式系数公式、加法原理和乘法原理等。
它们在解决组合计数问题中起着重要的作用，能够帮助我们计算各种组合方式的总数。
浅谈组合恒等式证明的常用方法
浅谈组合恒等式证明的常用方法组合恒等式是组合数学中常见的等式形式，它们描述了一些集合之间的数量关系。
证明组合恒等式的方法有很多种，下面将介绍几种常见的方法。
一、代数证明法代数证明法利用组合数的性质以及代数运算的法则来证明组合恒等式。
该方法的关键在于将组合数的定义表示为代数式，并对其进行适当的变换，最终证明等式左边和右边是相等的。
例如，要证明组合恒等式$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} +\binom{n-1}{k}$。
首先，使用组合数的定义$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$，然后对等式两边应用阶乘的性质进行变换。
$\frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} +\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}$接着，利用阶乘的定义$n! = n \cdot (n-1)!$，并化简分子部分的阶乘。
$\frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n}{k} \cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} + \frac{n-k}{k} \cdot \frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}$继续变换，将分式化为组合数的形式。
$\frac{n}{k} \cdot \binom{n-1}{k-1} + \frac{n-k}{k} \cdot\binom{n-1}{k} = \binom{n}{k}$最后，通过代数运算的法则，将等式两边进行合并，从而证明了组合恒等式。
二、递归证明法递归证明法是一种基于递归关系的证明方法。
该方法的关键在于通过归纳法证明递归关系成立，从而证明组合恒等式。
例如，要证明组合恒等式$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} +\binom{n-1}{k}$。
首先，考虑递归关系$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} +\binom{n-1}{k}$。
微积分在中学数学中的应用开题报告
<2>、2013年1月1日—1月20日：开题、撰写开题报告。
<3>、2013年2月1日—3月25日：撰写论文、提交初稿。
<4>、2013年4月2日—4月11日：修改初稿、提交第二稿。
<5>、2013年4月20日—4月30日：修改第二稿、定稿。
山西大同大学
学院：数计学院 系别：数学系 专业(专业方向)：数学与应用数学
论文题目
微积分在中学数学中的应用
指导教师
王鲜凤
职称
讲师
学生姓名
苗慧芳
学号
090701011427
一、研究目的(选题的意义和预期应用价值)
微积分是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。它是我国现在普遍使用的高中数学教材中增加的部分，蕴含多种数学思想，如极限思想、函数的思想、数形结合思想、化归思想微积分中的哲学思想、辩证的思想等，它们在中学数学中都有着广泛的应用和价值。学习微积分的知识可以进一步提高学生的运算能力,逻辑思维能力和空间想象能力,可以更好地培养学生分析问题和解决问题的能力,有利于学生学好基础知识和掌握基本内容,有利于数学知识的综合运用。将微积分的理论应用于初等数学，不仅可以使其内在的本质联系得以体现，而且可以进而指导初等数学的教学工作。对于中学数学中一些问题的解决用初等数学的方法可能繁琐、困难甚至根本无法做到，但利用微积分解决则能取得意想不到的效果。作为一名未来的中学教师不但要掌握中学数学中各种题型的一般解法，也要能运用高等数学中相应知识来解答，从而提高教师专业素质。其中微积分就是一个重要的知识点。是个值得研究的课题。
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牛顿广义二项式定理
牛顿广义二项式定理牛顿广义二项式定理，也称为差分法，是数学领域中的一个重要定理。
它能够表示出一般的幂级数，被广泛应用于微积分、组合学和概率统计等领域中。
我们将在本文中深入探讨牛顿广义二项式定理的由来、含义、证明及应用。
一、由来与含义牛顿广义二项式定理是由英国科学家牛顿发现的，它具有一般的形式，可表示为：$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}n \\k\end{array}\right)a^{n-k}b^k$$其中a、b为任意数，n为任意正整数。
在这个式子中，$\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)$表示n 个不同东西中选k个的组合数，即：$\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)=\frac {n!}{k!(n-k)!}$。
当n为自然数时，式子变成了二项式定理，即：$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}n\\k\ end{array}\right)a^{n-k}b^k$$这个定理表明了当a和b为实数时，幂次为n的多项式$(a+b)^n$可以用次数不超过n的单项式的系数来表示。
例如，当n=2时，$(a+b)^2$可以展开为一个2次多项式：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ 那么当n=3时，$(a+b)^3$又怎么展开呢？把式子里的$\left(\begin{array}{c}3\\k\end{array}\right)$替换成具体的数值，就得到了$(a+b)^3$的全展开式：$$\begin{aligned}(a+b)^3&=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)a^3+\left(\begin{array}{c}3\\1\e nd{array}\right)a^2b+\left(\begin{array}{c}3\\2\end {array}\right)ab^2+\left(\begin{array}{c}3\\3\end{a rray}\right)b^3\\&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\end{aligned} $$这表明了$(a+b)^3$可以展开为一个3次多项式，其中每一项的系数都是由n和k决定的。
微积分理论在不等式证明中的应用
微积分理论在不等式证明中的应用摘要：根据微积分的相关定理和概念，采用枚举的方式从导数的定义、函数的单调性、微分中值定理、极值理论和凹凸性等方面归纳总结了微积分知识在不等式中证明常用的技巧和方法，彰显了不等式证明的基本思想和方法。
关键词：导数；函数单调性；中值定理；极值；凹凸性Abstract: according to the related theorem and calculus concept, the enumeration methods from derivative definition and function of the monotonicity and differential mean value theorem, extreme value theory and bump of summarizes the calculus knowledge in inequality proof of commonly used techniques and methods, reveal the inequality proof the basic ideas and methods.Keywords: derivative; Functional monotonicity; Mean value theorem; Extreme value; convexity1.引言不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种关系。
在高等数学中，不等式是证明许多定理与公式的工具。
不等式表达了许多微积分问题的结果，而微积分的一些定理和公式又可以导出许多不等式。
不等式的求解证明方法很多，本文用微积分的一些定理及性质来说明不等式证明的几种方法与技巧，以便更好地了解各部分内容之间的内在联系，从整体上更好的把握证明不等式的思想方法。
2.微积分在证明不等式中的应用2.1 用导数的定义证明不等式从导数、微分、积分定义出发处理不等式，是容易被忽略的，但这种最原始的方法有时又是一种非常有效的证明方法。
工程中的数学方法
工程中的数学方法在工程中，数学方法是一种非常重要的工具，可以用来解决许多复杂的问题。
本文将介绍一些常见的数学方法和其在工程中的应用。
1.微积分微积分是一种最重要，最基本的数学工具，在工程中有着广泛的应用。
它可以用来求解问题的极值、变化率、曲线的斜率等等。
微积分还可以用来求解复杂的方程和微分方程，如质点运动问题、电路问题等。
在工程中，微积分被广泛应用于计算机科学、物理学、电子工程、机械工程、化学工程等方面。
例如，在机械工程中，微积分可以用来检验高速运动物体的力学特性和稳定性。
在化学工程中，微积分可以用来解决流动问题，如流体力学和质量传递问题。
在电子工程中，微积分是电路分析和设计中的基本工具。
2.线性代数线性代数是一种处理线性方程组的数学工具。
它与微积分一样，是在工程中非常常见的工具。
线性代数被广泛应用于电子学、机械学、数学模型和计算机科学中。
在机械工程中，线性代数用于解决刚体动力学问题和弹性力学问题。
在电子工程中，它用于解决电路分析和设计问题。
在数学模型和计算机科学中，线性代数用于构造和解决矩阵和向量问题。
3.离散数学离散数学是一种使用离散结构来解决问题的数学。
它适用于计算机科学、网络通信、数学模型和金融工程等领域。
在网络通信中，离散数学用于建立和分析网络拓扑结构和网络协议。
在计算机科学中，离散数学可以用于算法设计和分析、数据库设计和安全性分析。
在金融工程中，它可以用于解决金融市场的价格变化、风险管理和投资组合问题。
4.概率论与统计学概率论与统计学是以概率为基础的数学。
它在工程中的应用非常广泛。
它可以用来测量和分析数据，预测未来的趋势和结果，还可以用于决策和优化等方面。
在工业制造中，概率论与统计学可以用于测量和优化制造过程的效率和质量。
在财务管理中，它可以用于预测投资的风险和收益，制定投资策略。
在市场营销中，它可以用于分析消费者行为和市场趋势，帮助企业做出正确的营销决策。
总之，数学方法在工程中有着广泛的应用。
微积分在货币利息计算中的应用
微积分在货币利息计算中的应用
微积分在货币利息计算中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：
1.复利计算：复利是一种计算利息的方法，它考虑了本金和利息的共同增长。
通过微积分，可以更好地理解复利的本质，并计算未来的本息和。
2.债券定价：在金融市场中，债券是一种常见的投资工具。
通过微积分，可以对债券的未来现金流进行贴现，从而得到债券的理论价格。
3.衍生品定价：衍生品是一种金融合约，其价值取决于标的资产的价格变动。
微积分可以帮助我们理解标的资产价格的变动规律，并计算衍生品的理论价格。
4.风险管理：风险管理是金融领域中非常重要的一部分。
通过微积分，可以对金融市场的风险进行量化和管理，例如计算VaR（风险价值）等。
5.资产组合优化：投资者通常会将自己的资金分配到不同的资产中，以获得最佳的回报和风险平衡。
微积分可以帮助我们找到最优的资产组合，从而实现投资目标。
6.数值分析：在金融领域中，很多时候需要进行数值计算。
微积分可以为这些数值计算提供基础，例如插值、拟合、极值等。
总之，微积分在货币利息计算中有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解金融市场的运作规律，并提高投资决策的准确性。
微积分方法在证明一些组合数恒等式中的应用
第２ ７卷
第 ２期
《 疆 师 范 大 学 学 报 》 自然 科 学版 ） 新 （
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎｉｎ ｒ ｌＵｎｖ ｒｉｙ ｏ ｒ ａ ｆＸｉｊａ ｇ Ｎｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ
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２ ８
新疆师 范大学学报（ 自然 科 学 版 ）
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组合恒等式的证明方法与技巧
证明组合恒等式的方法与技巧前言组合恒等式在数学及其应用中占有不可忽视的地位,它是以高中排前言列组合、二项式定理为基础．组合恒等式的证明有一定的难度和特殊的技巧，且灵活性很强，要求学生掌握这部分知识，不但要学好有关的基础知识，基本概念和基本技能，而且还要适当诱导学生拓宽思路、发挥才智，培养解决问题方法多样化的思想．下面就以例题讲解的形式，把证明组合恒等式的常见方法与技巧一一列举出来．1. 利用组合公式证明组合公式：mn C =n!!n m m （－）！例1． 求证：m mn C =n 11m n C －－分析：这是组合恒等式的一个基本性质，等式两边都只是一个简单的组合数．由此，我们只要把组合公式代入，经过简化比较，等号两边相等即可．证：∵ m mn C =m n!!n m m （－）！11m n C －－=n n !1!n m m （－1）（－）（－）！=n n !m 1!n m m m （－1）（－）（－）！=m n!!n m m （－）！∴ m mn C =n －－11m n C .技巧：利用组合公式证明时，只须将等式中的组合数用公式代入，经过化简比较即可，此方法思路清晰，对处理比较简单的等式证明很有效，但运算量比较大，如遇到比较复杂一点的组合恒等式，此方法而不可取．2. 利用组合数性质证明组合数的基本性质：（1）m n C =n mnC －（2）1mn C ＋=mn C +1m nC －（3）k kn C =n k 11n C －－（4）＋＋...＋＝012n 2nn n n n C C C C－＋－＋...＋（－1）＝00123n nn n n n n C C C C C （5）例2：求证：－＋＋3...＋n ＝n 123n 122n n n n n C C C C分析：等式左边各项组合数的系数与该项组合数上标相等，且各项上标是递增加1的,由此我们联想到组合数的基本性质：k kn C =n k 11n C －－ ，利用它可以将各项组合数的系数化为相等，再利用性质＋＋...＋＝012n 2n n n n n C C C C 可得到证明．证：由k kn C =n k 11n C －－ 得123n2n n n n C C C C ＋＋3...＋n＝012n 11111n n n n n n n C C C C －－－－－＋＋...＋n ＝n （012n 11111n n n n C C C C －－－－－＋＋...＋） ＝n n 12－.例3．求证：012k 1k 1m m 1m 2m k 1m k C C C C C －－＋＋＋－＋＋＋＋...＋＝分析： 观察到，等式左边各项的组合数的上标和下标存在联系：上标＋m ＝下标，而且各项下标是递增＋1的．由此我们想到性质（2），将左边自第二项各项裂项相消，然后整理而得到求证．证：由性质（2）可得i m i 1C ＋＋=i m i C ＋+i 1m i C －＋ （i ∈N ） 即im i C ＋＝i m i 1C ＋＋－i 1m i C －＋令i ＝1，2，…，k －1，并将这k －1个等式相加，得12k 1m 1m 2m k 1C C C －＋＋＋－＋＋...＋ ＝1021k 1k 2m 2m 1m m m k m k C C C C C C －－＋＋＋3＋2＋＋－1－＋－＋...＋－ ＝－0m 1C ＋＋k 1m k C －＋ ＝－0m C ＋k 1m k C －＋∴012k 1k 1m m 1m 2m k 1m k C C C C C －－＋＋＋－＋＋＋＋...＋＝.技巧：例2和例3的证明分别利用性质（3）（5）、（2）此方法的技巧关键在于观察，分析各项组合数存在的联系，读者应在平时实践做题总结，把它们对号入座，什么样的联系用什么样的性质来解决．3. 利用二项式定理证明我们都知道二项式定理：n n 1n 2n 2n 1n n n n n a b a a b a b ab b C C C －1－2－－1（＋）＝＋＋＋...＋＋，对于某些比较特殊的组合恒等式可以用它来证明，下面以两个例子说明3．1．直接代值例4．求证：（1）－1－1＋3＋3＋...＋3＋3＝122n n 1n 2n n n n 2C C C （2）－－－1－－＋＋...＋（－1）＋（－1）＝n n 11n 22n n 1nn n n 22221C C C 分析：以上两题左边的各项组合数都是以 i n ii n ab C － 的形式出现，这样自然会联想到二项式定理．证：设n n 1n 2n 2n 1n n n n n a b a a b a b ab b C C C －1－2－－1（＋）＝＋＋＋...＋＋ ① ⑴ 令a ＝1，b ＝3，代入①，得 －1－＋）＝1＋3＋3＋...＋3＋3n 122n n 1n n n n (13C C C 即， －1－1＋3＋3＋...＋3＋3＝122n n 1n 2n n n n 2C C C(2) 令a ＝2，b ＝－1，代入①，得n n n 11n-22n 1n 1n n n n 121C C C －－－（2－1）＝2－2＋2＋...＋（－）＋（－）即，－－－1－－＋＋...＋（－1）＋（－1）＝n n 11n 22n n 1n n n n 22221C C C .技巧：此方法的关键在于代值，在一般情况，a ，b 值都不会很大，一般都是0， 1，－1，2，－2 , 3，—3这些数，而且a ，b 值与恒等式右边也有必然的联系，如上题中1＋3＝22，2－1=1,在做题的时候要抓住这点．3. 2．求导代值例5．求证： －＋3＋...＋（－1）＝（－1）23nn 2n n n 212nn n n 2C C C （n ≧2）分析：观察左边各项组合数的系数发现不可以直接运用二项式定理，但系数也有一定的规律，系数都是i(i-1) i=2,3,…n 我们又知道（x i）’’=i(i-1)x i-2由此我们想到了求导的方法．证：对n 0122n n n n n n x x x x C C C C （1＋）＝＋＋＋...＋ 两边求二阶导数，得n 223n n 2n n n n n 1x 212x n n x C C C －－（－1）（＋）＝＋3＋...＋（－1）令x=1得 －＋3＋...＋（－1）＝（－1）23n n 2n n n 212n n n n 2C C C （n ≧2）技巧：此方法证明组合恒等式的步骤是，先对恒等式na x （＋）＝i 1mnn i i C ax -=∑ 两边对x 求一阶或二阶导数，然后适当选取x 的值代入．4. 比较系数法比较系数法主要利用二项式定理中两边多项式相等的充要条件为同次幂的系数相等加以证明．例6．求证：2222＋＋)＋()＋()＋...＋()＝012m m 1m 22(n nn n C C C C C （范德蒙恒等式）分析：本题若考虑上面所讲和方法来证明是比较困难的，注意到等式左边各项恰是二项展开式中各项二项式系数的平方，考虑二项展开式 （1＋）n x =＋0n C ＋＋...＋122n nn n n x x x C C C 和（1＋）＝＋＋＋...＋n 012n n n n n 2n 1111x x x xC C C C 这两个展开式乘积中常数项且好式是2222＋＋)＋()＋()＋...＋()012m m 1m 2(n n C C C C证：∵n 0122n n n n n n x x x x C C C C （1＋）＝＋＋＋...＋ （1＋）＝＋＋＋...＋n 012n n nn n 2n 1111x x x xC C C C ∴n1x (1)n x+（1＋）=（＋＋＋...＋0122n n n nn n x x x C C C C ） （＋＋＋...＋012n n nn n 2n 111x x xC C C C ） 又有，n1x (1)n x+（1＋）＝2nn(1+x)x 比较两边的常数项，左边常数项为2222＋＋)＋()＋()＋...＋()012m m 1m 2(n n C C C C右边的常数项为2nn C ，根据二项展开式中对应项的唯一性得 2222＋＋)＋()＋()＋...＋()＝012m m 1m 22(n n n n C C C C C技巧：此方法关键是适当地选择一个已知的恒等式，然后比较两边x 同次幂的系数．当然，已知恒等式的选择不是唯一的，例5也可以选择已知恒等式n 2x (1)(1)n nx x +=+（1＋） ，只须比较恒等式中两边含有nx 的系数即可得证，证明留给读者．5. 利用数列求和方法证明回到例2，除了利用组合数的性质，我们还可以有其他方法．观察，恒等式左边的各项组合数的系数为等差数列，现在我们仿照求和公式(1)12 (2)n n n -+++=的证明来证明例2 证：设123nn n n n s=C 2C 3C ...n C ＋＋＋ ① 则nn-121n n n n s=n C n-1)C ...2C C ＋(＋＋ 01n-2n-1n n n n =n C n-1)C ...2C C ＋(＋＋ ② ①＋②得01n-1nn n n n 2s=n C C ...n C C n ＋＋＋n 01n-1nn n n n =n(C C ...C C )＋＋＋=n 2n∴ 12n s n -=技巧：此方法的证明有一定的特殊性,分析等式中组合数系数的变化规律尤其重要,知识的迁移在此方法是一个很好的见证．6. 利用数学归纳法证明我们都知道数学归纳法，在证明数列的题目中，我们就体会了数学归纳法的好处，只要按照数学归纳法的两个步骤进行就可以了．那么，组合恒等式的证明可不可以用数学归纳法来证明呢看下面的一个例题 例7．已知{n a }是任意的等差数列，且n ≧2，求证：123n n+1a －a ＋a －...＋（－1）a +（－1）a ＝0012n-1n-1nn n n n n n C C C C C分析：由于本题恒等式左边的各项组合数系数是一个不确定的等差数列，用上面的方法处理就比较困难，又因为等式含有数列，我们不妨用数学归纳法试试．证：i) 当n ＝2时，因为2132a a a a -=-所以12320a a a -+=，故等式成立，ii) 假设，当n ＝k （k ≧2）时等式成立，即对任何等差数列{n a }，有，123k k+1a －a ＋a －...＋（－1）a +（－1）a ＝0012k-1k-1kk k k k k k C C C C C ① 则当n ＝k ＋1时，利用组合数性质，有＋1＋1＋2＋13＋1k ＋1k+2a －a ＋a －...＋（－1）a +（－1）a 012k k k k ＋111＋1k k k k k C C C C C123－＋1k ＋1k+2＝a －（＋）a ＋（＋）a －... ＋（－1）（＋）a +（－1）a 01021k k k 1k k k k k k k k k k C C C C C C C C 123k ＋1－－234k ＋1k ＋2＝a －a ＋a -...+（1）a －a －a ＋a -...+（1）a +（1）a 012k k 012k 1k 1k k[－][－－]k k k k k k k k k C C C C C C C C C因为根据归纳假设，当n ＝k 时，对任意等差数列12k 123k 2a a a a a a ＋＋，，...，与，，①式都成立，所以上式右端的两个方括号都等于零．于是我们证明了当n ＝k ＋1时等式也成立，根据（1）和（2）可知，等式对n ≧2的任何自然数都成立．技巧：用本方法证明的思路清晰，只须分两步进行即可，但归纳法的关键是由“假设n ＝k 成立，推导到n ＝k ＋1也成立”这一步中间的变换过程比较复杂，在“无路可走”的情况之下，归纳法也是一个好的选择．7. 利用组合分析方法证明所谓组合分析法就是通过构造具体的组合计数模型，采用了“算两次”的方法，再根据组合数的加法原理和乘法原理得到恒等式两边相等．例8．证明：－－＋＋...＋＝0112n 1n n 12n n n n n n n C C C C C C C （n ≧2）证明：算右边，假设有2n 个球，现要在2n 个球中任取出（n －1个，取法有 －n 12n C 种，算左边，把2n 个球分成两堆，每堆个n 个，现要 在2n 个球在中取出（n －1）个，取法是，在第一堆取0个，第二堆取（n －1）个，或第一堆取1个，第二堆 取（n －2）个，或…或第一堆取（n －1）个，第二堆 取0.再根据加法原理总的取法有 －－－＋＋...＋0n 11n 2n 10n n n n n n C C C C C C 又因为－－－＋＋...＋0n 11n 2n 10n n n n n n C C C C C C ＝－＋＋...＋0112n 1nn n n n n n C C C C C C所以，左右两边都是在2n 个球中取出（n －1）个球，因此有，－－＋＋...＋＝0112n 1n n 12n n n n n n n C C C C C C C （n ≧2）技巧：用组合分析法证明组合恒等式的步骤是：选指出式子的一边是某个问题的解，然后应用加法原理和乘法原理等去证明式子的另一边也是该组合问题的解．用此方法也可以证明例6，证明过程非常简洁．8概率法证排列组合基本理论是古典概型计算的基石．能否用古典概型来解决某些排列组合问题我们来看下面的例子 例9证明组合数加法题推公式：.21111C C C C k n k n k n k n ----+++=分析：把特征等式经过适当变形，使之右端变为1，而左端为若干项之和，根据左端和式中各项的特点，构造以概率模型，并找到样本空间的一个特殊分化，使之相应概率等于左端和式的各项，从而得证． 证明：我们将公示变形为.11211111=+++--+--+CC CC CC k n k n k n k n k n k n下面利用超几何分布概率公式构建摸球模型来证明：设袋中有1+n 只球，其中有1只黑球，1只白球，现随机地抽取k 只球()11+≤≤n k .设事件A ：“抽取的k 只球中含有黑球”，B ：“抽取的k 只球中含有白球”，则()CC C kn knA P 101+= 由全概率公式得()()()()()B A P B P B A P B P A P +==CC C CC C CC C CC C knk n k n k n k nk n k n k n 1111101121111111--+---+-•+• =CC CCkn k n k n k n 111121+--+--+ 由()()1=+A P A P ,立即得证该公式技巧：利用概率对立事件发生的概率和为1，或是在某种情况下必然事件的概率也为1.可以与实际相结合，容易理解．9 几何法例10 证明nnn n n C C C 21=+++ 分析：主要是利用组合的几何意义来证明．无重组合Cn 1n +的几何意义表示平面坐标上的（0,0）点到整点（n,m ）（这里n,m 都是整数）的递增路径的总和．一条从点（0,0）到点（n,m ）的递增路径是 指一个有长度为1的端点为整点的线段首尾连接所组成的折线， 并且每一条线段的后一个端点的坐标或者在x 上或者在y 上，比 前一个端点增加一的单位长，水平走一步为x,垂直走一步为y,图 1中的递增路径可表示为：x,y,x,x,y,y,x,x,y,y 证明：由图2可知等式的左边，Cn0表示从（0,0）到（0，n ）点的增路径，Cn1表示从（0,0）到（1，n-1）点的增路径数，┄，Cn n1-表示从（0,0）到（n-1,1）点的的增路径数，Cn n表示从（0,0）到（n,0）点的的增路径数1，而这所有的地 增路径之和就是从（0,0）点到斜边上的整点的递增路径． 另一方面，从（0,0）点到斜边上任何一整点的递增路径是 n 步步长，每一步是x 或者y ，有两种选择，由乘法法则，n 步的不同方法的总数为2n ，所以等式成立．10 用幂级数法我们知道，()1-1--n x 可展成如下幂级数： ()=---11n x k k k kn x C∑∞=+01<x现在我们用次展开式证明下列等式 例11 证明C C C C n m n n m n n n n n 111+++++=+++证明：因为 ()()()111-1-+--x x n =()21---n x左边应为：()()()1111-+---x x n =∑∑∞=∞=+•0i ikk nk n x x C右边应为：()=---21n x k k n k n x C ∑∞=+++011比较两边nx 的系数可知，原等式成立．技巧：对组合求和，当组合下标变动时，常用幂级数方法．11微积分法例11 求证：()∑∑==-=-nk kn nk k kkC 11111 分析：利用微分与积分的相互转化是问题得以解决，求导后再积回去，不改变原等式的性质． 证明：令 ()()k k nnk k x kx f C∑=--=111则 ()00=f ，()()Ck nnk k kf ∑=--=1111()()1111-=-∑-='k nk kn k xx f C =()k n k k n kx x C ∑=--111=()x x n---11=()()x x n----1111 =()()()121111--++-+-+n x x x即()()∑-=-='11n j jx x f上式两边同时求积分得 ()()C x j x f n j j +-+-=∑-=+11111所以 ()C j f n j ++-==∑-=11100 ⇒ ∑∑-===+=101111n j nk kj C 从而 ()()∑∑=-=++-+-=n k n j j kx j x f 1111111()()∑∑==-==-nk knnk k k f kC 111111 12 递推公式法上述例12是否还可以用递推公式的方法解决，我们来看一下· 证明：令()∑=--=nk k nk n Ckf 111 （ ,3,2,1=n ）则 ，11=f 当2≥n 时，n f =()()C C k n k n nk k11111-k 1----=+∑=()()∑∑=-----=--+-nk k n k kn n k k CC kk1111111111=()∑=---n k k n k n C n f 1111=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---∑=-11101n k k n kn C n f=()1011---n f n =n f n 11+- 所以 n f f n n 11+=-=n n f n 1112+-+-=nf 131211++++==∑==++++n k kn 1113121113 生成函数法首先介绍生成函数相关定义和定理．定义1 设{}n a 是一个数列，做形式幂级数() +++++=nn x a x a x a a x f 2210称()x f 为数列{}n a 的生成函数． 定义2 对任何实数r 和整数k 有=Ck r()()!111k k r r r +-- 000>=<k k k定理1 设数列{}{}n n b a ,的生成函数为()()x B x A ,，若∑==ni i n a b 0，则()()xx A x B -=1 定理2 设m 是一个有理数，R a ∈，有()∑∞==+01k k k kmmx a ax C例13 设n ∈N,有())3)(2(11123+++++n n n n Cn n证明：设数列Ck kkn +2的生成函数A(x),即A(x)=xC k kk kn k +∞=∑02设∑==n i i n a b 1,先求A(x),由()x n --11-=xC kk kkn ∑∞=+1对上式两边求导得：()()xC k k kk n n k x n 11211-∞=+--∑=-+两边同乘x 得：()()x C kkk n k n k x n +∞=--∑=-+1211对上式两边求导得：()()()()()2311121-----++-++n n x n x x n n =xC k k k kn k 112-+∞=∑两边同乘x 得：()()()()()x x n x x n n n n 22311121-----++-++=xC kkk kn k +∞=∑12=A(x)由定理1=-=xx A x B 1)()(()()()()()x x n x x n n n n 32411121-----++-++ 由⑴式得()41---n x 中2-n x的系数为Cn n 212-+，()3-1--n x 中1-n x的系数为Cn n 112-+.因此)(x B 展开式中nx 的系数为 =n b ()()()121112212++++-+-+n n n C C n n n n =()()()3211123+++++n n n n Cn n因此Ck kkn nk +=∑12=()()()3211123+++++n n n n Cn n14 牛顿公式法相关定理及定义:定义1 设(){}0≥n n f 为任一数列，令△()()()n f n f n f -+=1 () ,2,1,0=n△()n f k =△()11+-n f k -△()n f k 1- () ,2,1,0=n这里△成为差分算子．定义2 设(){}0≥n n f 为任一数列，令()()1+=n f n Ef () ,2,1,0=n()n f E k ()()k n f n f E k +=+=-11 () ,2,1,0=n这里称E 移位算子定义3 设(){}0≥n n f 为任一数列，令()()n f n If = () ,2,1,0=n()()()n f n f I n f I k k ==-1 () ,2,1,0=n这里称I 为恒等因子．定理1 设(){}0≥n n f 为任一数列，R b a ∈,，则△()()()=+n bg n af a △()n f +b △()n g ，约定：△I I E ===000定理2 （牛顿公式）n E =（△+I ）∑==nj j n n C 0△j△()()j j n jn n j n n EI E C -=∑-=-=01例14 ()l f =m m l a l a a +++ 10(其中0≠m a ，R a i ∈ ，N l ∈)，有()()C kn n k k n l f ∑-=-01={nm a m n m m =<,!0，证明：由牛顿公式()()=∑-=-C j n n j j n l f 11()∑-=-n j j n 11，()=-j l f E C jj n △f n ,实际上是证明△f n ={nm a m n m m =<,!,0 ⑴对()f ∂用数学归纳法证明当()n f <∂时，有△()l f n=0 当()1=∂f 时，令()b al l f +=（0≠a ）△()l f ()()=-+l f l f 1()()a b al b l a =+-++1，△()02=-=a a l f 假设()m f <∂时命题成立，当()m f =∂且n m <时，令()m m l a l a a l f +++= 10△()=l f ()()()m m m m l a l a a l a l a a +++-+++++ 101011 显然∂（△()l f ）11-<-≤n m ，由归纳法设△()l f n=△1-n （△()l f ）=0 ⑵设()=l f n n l a l a a +++ 10（其中0≠n a ）对n 用归纳法证明△()n n a n l f !=当()1=∂f 时，令()b al l f += ()0≠a△()=l f ()()l f l f -+1=()()a b al b l a =+-++1假设()m f <∂时命题成立当()m f =∂时△()=l f ()()()=+++-+++++m m m m l a l a a l a l a a 101011()l g l ma m m +-1()2-≤∂m l g ，由⑴有 △()01=-l g m由归纳假设有 △11-m -m l =()!1-m 因此 △()=l f m △1-m （△()l f ）=△()11--m m m l ma +△()l g m 1-=m ma △11--m m l =m a m !因此，命题成立．结束语关于组合恒等式的证明方法还有很多，例如，倒序求和法，二项式反演公式法，母函数等等．本文介绍的主要是几种方法中，大多是以高中知识为基础，也可以说是组合恒等式证明的初等方法，也有大学学的方法，比较深入，不是很好理解．通过学习，我们要学会具体问题具体分析和解决问题多样化的思想．顺便指出，以上例题的解法不是唯一的，本文也有提及．细心的话也可以留意到，各种方法之间也存在着一定的联系，在这里就不再累赘了．参考文献⑴陈智敏，组合恒等式新的证明方法，广州大学学报，２００６（０４）．⑵侯为波、卓泽强，古典概型在排列组合恒等式证明中的应用，淮北师范大学学报，１９９６（０４）．⑶概率在证明组合恒等式中的应用，淮南师范大学学报，２００４（０２）．⑷周棉刚，关于组合恒等式的几种证法，黔南民族师范学院学报，２００３（３）．⑸何宗祥，漫谈组合恒等式的证明，中国数学月刊１９９４（２）．⑹几何法，数学教学，１９８９（０１）．⑺杨青文，有关组合恒等式的几种证法，青海师专学报，１９９５（２）．⑻杜庆坤，组合恒等式的证明技巧，临沂师范学报，２００３（１２）．⑼曹汝成，组合数学，华南理工大学出版社，广州，２０１１⑽卢开澄，组合数学，清华大学出版社（第二版），北京．。
一个微分-积分恒等式的推广及应用
一个微分-积分恒等式的推广及应用在数学中，微分-积分恒等式是一个非常有用的工具，它可以帮助我们推广和应用恒等式。
本文将介绍这个恒等式的推广和应用，并给出一些例子来说明如何使用它。
首先，我们来介绍一下微分-积分恒等式。
这个恒等式通常写成：$$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$$其中，$f(x)$ 是一个函数，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的积分函数，$a$ 和 $b$ 是定义域的两个端点。
这个恒等式告诉我们，在 $a$ 和 $b$ 之间的积分等于 $F(b)$ 减去 $F(a)$。
我们可以推广这个恒等式，使它适用于更多的情况。
例如，对于一个定义域为 $[a,b]$ 的函数 $f(x)$，我们可以写出如下恒等式：$$\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$$其中，$c$ 是任意一个在 $[a,b]$ 之间的数。
这个恒等式告诉我们，在 $a$ 和 $b$ 之间的积分等于在 $a$ 和 $c$ 之间的积分加上在 $c$ 和 $b$ 之间的积分。
这个恒等式可是一个非常有用的工具，它可以帮助我们将一个复杂的问题分解成若干个较为简单的子问题，从而方便我们求解。
除此之外，微分-积分恒等式还有很多应用。
例如，我们可以使用它来求解微分方程。
微分方程是一种用来描述变化的数学方程，其中一个或多个变量是时间的函数。
我们可以使用微分-积分恒等式来解决这类方程。
此外，微分-积分恒等式也常用于进行数学归纳法。
数学归纳法是一种常用的数学方法，它可以帮助我们证明一个命题对于所有正整数都成立。
我们可以使用微分-积分恒等式来帮助我们进行归纳证明。
总的来说，微分-积分恒等式是一个非常有用的工具，它可以帮助我们推广和应用恒等式，同时也有很多实际的应用。
我们应该多加利用这个恒等式，以便更好地掌握数学知识。
我回答完了。
组合恒等式证明的几种方法
1 引言组合恒等式是组合数学的一个重要部分.它在数学的各个分支中都有广泛应用,而且它的证明方法多种多样,具有很强的灵活性.下面通过几个实例具体讲述一下，几种证法在组合恒等式中的运用.2 代数法通常利用组合恒等式的一些性质进行计算或化简，使得等式两边相等，或者利用二项式定理∑0==+nr rn r r n n y x C )y x (在展开式中令x 和y 为某个特定的值，也可以先对二项式定理利用幂级数的微商或积分后再代值，得出所需要的恒等式.例1 11122m m m m n n n n C C C C n m +-++++=>， .分析：这个等式两边都很简单，我们可以利用一些常用的组合恒等式去求证.证明:1+2+11+=2++m n m n m n m n C C C Cmnm n m n m n C mn m C ,C m m n C 1+=1+=11+ )mn m m m n (C m n 2+1++1+∴左边＝ 2()11m n n m m C m n m+++++-=2(2)(1)()(1)(1)m nn m n m m m C m n m +++-++=++-232()(1)(1)(2)(1)()(1)(1)m nmn n n C m n m n n C m n m ++=++-++=++-右边=()12(2)!(2)(1)!(1)!1!(1)(1)()!!m n n n n n C n m m m n m n m m +++++==+-+++--(1)(2)(1)(1)m nn n C n m m ++=+-+左边=右边 即证.例2 求证:n n n n n n n n nn C C C C 20112211233333=+++++--- . 分析：看到上式，很容易想到二项式的展开式，尝试利用二项式定理去做. 证明：由二项式定理建立恒等式，1122211(3)3333n n n n n n nn n n n C x C x C x x ----+=+++++令1x =,即得2112214233331n n n n n n n n n C C C ---==+++++即证.例3（1）设n 是大于2的整数，则0)1(32321=-+++-nn n n nnC C C C . （2）n 为正整数，则)12(111131211131-+=++++++n n n n n n C n C C . 分析：观察上面两式的系数，很容易想到它们和微分积分有关，我们可以尝试利用求积分或微分的方法去解决这道题目.证明：（1）0122(1)n n nnn n n x C C x C x C x +=++++等式两边对x 求导，1121(1)2n n n n n n n x C C x nC x--+=+++令0x =得， 1231023(1)n nn n n nC C C nC -=-+++-即证.（2）由二项式定理有，0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x+=++++上式两边对x 积分，有110122111010(1)()1(1)1111(21)11n n nn n n n k nn k nk nn knk x dx C C x C x C x dxx x C n k C n k +=+=+=+++++=++-=++⎰⎰∑∑即12111111(21)2311nn n n n C C C n n +++++=-++.此类方法证明组合恒等式的步骤是先对恒等式0()nni n i ini a x C a x -=+=∑两边对x 求一阶或二阶导数，或者积分，然后对x 取特殊值代入，得到所需证明的等式.我们也可以利用组合恒等式的性质，证明一些恒等式，例如利用1222m m C C m +=,求证：222112(1)(21)6n n n n +++=++证明：左边22211123122()()n n C C C C C C =+++++++322321123332223212(1)(1)2n n n nC C C C C C C C C C +=++++-+++++-=+()2(1)!(1)2!3!21(1)(21)6n n n n n n n +-=+-=++.同样的道理利用331166m m m m C C C =++，可以证明2333(1)122n n n -⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦.3 组合分析法所谓组合分析法就是通过构造具体的组合计数模型或模型实例，利用不同的方法解得的结果应该相同，从而得到恒等式相等.例5 证明：111r r r r r r n n C C C C ++++++=.证明：11r n C ++是1n +元集{}12,,1,n A a a a +=中1r +元子集的个数，这些子集可以分为1n +类.第0类:1r +元子集中含有1a ，则共有r n C 个. 第1类:不含1a ，但含2a 的1r +元子集共有1r n C -个; ,第n 类:不含12,,,n a a a 但含1n a +的1r +元子集共有0r C 个. 由加法原理得10111r r r r r r r r n n C C C C C C ++++++++=.但是0,r k C k r =<当时, 所以有111r r r r r r n n C C C C ++++++=.例6 求证:001122()m m mmn m n m n m n m n C C C C C C C C C n m +++++=>.证明：构造组合模型，假设一个班有m 个男生，有n 个女生，现在要选m 个人，组成一组，那么有多少种选法.选法一：不区分男女生时，共有m n +个人，选出m 人，共有选法mm n C +;选法二：选出的男生人数为k 个，0,1,2,,k m =,男生的选法共有km C ，女生的选法共有n k n C -，完成事件的选法共n k kn m C C -种， 于是n k k m n m m n C C C -+=， 又因为n k kn n C C -=. 所以k k m n m m n C C C +=，0,1,2,,k m =.即001122()m m mmn m n m n m n m n C C C C C C C C C n m +++++=>.当n m =时，即有122222()()()n nnn n n C C C C +++=.4 比较系数法主要是利用二项式定理中两边多项式相等的充要条件为同次幂的系数相等加以证明.一般情况下，用比较系数法证明所需辅助函数利用幂的运算性质：(1)(1)(1)m n m n x x x ++=++，其中m ，n 为任意实数，然后利用二项式定理的展开得到两个多项式，再通过比较同次幂的系数得到所证的恒等式.上题也可以利用比较系数法证明：0101(1)(1)()()m n m m n nmm m n n n x x C C x C x C C x C x ++=++++++001001011()()m m m m m n m n m n m n m n m n m m n mm n C C C C C C x C C C C C C x C C x-+=+++++++++所以mx 的系数为0110m m m m n m n m n C C C C C C -+++，又因为i m im m C C -=.所以0110001122m m m m mm n m n m n m n m n m n m nC C C C C C C C C C C C C C -+++=++++，又因为，01(1)(1)(1)m n m n m mm n n mm n m n m n m n x x x C C x C x C x+++++++++=+=+++++ 所以001122()m m mmn m n m n m n m n C C C C C C C C C n m +++++=>.即证.例 7 求证 122222()()()n nnn n n C C C C +++=.证明：(1)(1)n n x x ++展开式中n x 的系数为：011n n n n n n n n nC C C C C C -+++00112212222()()()n nn n n n n n n nn n nnC C C C C C C C C C C =++++=+++又2(1)(1)(1)n n n x x x ++=+；2(1)n x +展开式中n x 的系数为2n n C ，所以即有 122222()()()n nnn n n C C C C +++=.5 数学归纳法我们都知道数学归纳法,在证明数列的题目中,我们就体会了数学归纳法的好处,只要按照数学归纳法的两个步骤进行就可以了.组合恒等式是与自然数有关的命题,因此,数学归纳法也就成为证明组合恒等式的常用方法之一.例8 求证 ： np n n p n n n n n C C C C 11++++=+++ ， p 为自然数.分析：这里有一个变量p ,可以利用数学归纳法. 证明：（1）当1p =时，1111++++=+n n n n n n C C C 显然成立.（2）假设p k =时成立，即111n nn n n n n k n k C C C C ++++++++=.当1p k =+时，即上式两边同时加上11n nn nn n n k n k C C C C ++++++++11112.n nn k n k n n k C C C++++++++=+=即当1p k =+时也成立.由（1）（2）知命题对任意自然数p 皆成立.例9 证明:00111(-1)(-1)(-1)=(-1)m m m mnn n n C C C C -+++证明:当0m =时,上式显然成立, 当1m =时,有左边=0011(-1)(-1)nn C C +1111n n C C -=-=-=右边所以原式成立. 假设当m k =时成立,即00111(-1)(-1)(-1)=(-1)k k k kn n n n C C C C -+++.当1m k =+时,左边=001111(-1)(-1)(-1)(-1)k k k k nn n n C C C C ++++++()()()()()11111(1)!!(1)(1)1!!1!(1)!(1)!(1)(1)1!!1(1)!(1)(1)(1)1!!1(1)!(1)2!(1)!(1)k k kkk k k n n n n k k n k k n nn k k k n n k n k k k n n k k C ++++--=-+-----+-=----+----=---+-=---+=-即当1m k =+时,命题也成立.由(1),(2)知,命题对任意自然数皆成立.结论关于组合恒等式证明的方法还有很多，例如，微积分法，二项式反演公式法，几何法等.本文介绍的主要是几种常见的方法，以上的方法是以高中知识为基础，也可以说是组合恒等式证明的初等方法.通过学习，我们学会用具体问题具体分析和解决问题多样化的思想.以上例题的解法大多不是唯一的，本文也有提及.但各种方法之间也存在一定的联系.有时一道题可以同时使用几种方法，思路很活！参考文献[1] 孙淑玲,许胤龙.组合数学引论[M].合肥，中国科学技术大学出版社,1999.[2] 吴顺唐.离散数学[M].上海，华东师范大学出版社出版发行，1997：79-138.[3] 孙世新,张先迪.组合原理及其运用[M].北京，国防工业出版社,2006.[4] 陈镇邃,浅谈证明组合恒等式的几种方法[J].数学教学通讯，1986，02：15-16.[5] 张红兵,浅谈组合恒等式的证明方法[J].高等函授学报,2005,19（13）：37-42.[6] 柳丽红,证明组合恒等式的方法与技巧[J].内蒙古电大学刊，2006，86：86-87.[7] 李士荣, 组合恒等式的几种证法及应用[J].重庆工学院学报(自然科学版),2007，21（5）：72-74.致谢本论文是在沈邦玉老师的悉心指导下完成的。
浅谈微积分方法在组合恒等式证明中的应用_吴琼扬
2011-04高教前沿一、引言微积分学是数学的一个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分的发展和应用几乎影响了现代生活的所有领域，它与大部分科学分支关系密切，是一个基本的数学工具。
它在证明组合恒等式中同样也发挥了重要的作用，本文通过例题形式，探寻微积分方法在组合恒等式证明中的应用的某些特征规律，可以开阔学生的视野，加深对高等数学的理解与领悟。
二、预备知识定理1（二项式定理）：（x+y ）n =∑nk =0C k n y k x n-k ，特别地（1+x ）n=∑nk =0C k n x k ，其中n 为正整数，C k n=n （n-1）…（n-k +1）k ！（1≤k ≤n ），C 0n =1。
三、应用举例1.导数法导数法对于解决具有下列形式的一些组合恒等式问题显得十分简单：1.C 1n+2C 2n+3C 3n+…+n C n n=n 2n -12.C 1n +22C 2n +32C 3n +…+n 2C n n =n （n+1）2n -23.C 1n +23C 2n +33C 3n +…+n 3C n n =n 2（n+3）2n -3在诸多组合数学教材中，我们经常会遇到一类如下形式的一些恒等式问题：∑nk =1k ·C k n =n ·2n -1，∑（nk =0k +1）C k n =（n +2）2n -1，∑nk =1k 2·C k n =n （n +1）2n -2。
但是，对它们的证明却没有确定或统一的证明方法，通过观察，我们不难发现上述组合恒等式是存在一些共同特点的，事实上，上述几个等式的左侧都可归纳为∑nk =0（k+t 1）t 2C kn 的形式，其中t 1、t 2取自然数，在证明这类组合恒等式时，我们以二项式定理为母体，然后针对二项式两端逐项求幂函数的导数，再对特殊点取值即可获得结果，通常可采取如下步骤进行：∵（1+x ）n =∑n k =0C k n ·x k ，将两边乘以x t 1，即x t 1（1+x ）n=∑nk =0C k n ·x k+t1∴两边求导，即t 1·x t 1-1（1+x ）n +nx t 1（1+x ）n -1=∑nk =0（k +t 1）C k n xk+t 1-1（1）令f 1（x ）=t 1·x t 1-1（1+x ）n +nx t 1（1+x ）n -1（1）式两边乘以x 后求导［xf 1（x）］′=∑［（k+t 1）C k n x k+t1］∴f 1（x ）+x f 11（x）=∑nk =0（k +t 1）2C k n x k+t 1-1（2）令f 2（x ）=f 1（x ）+x ·f 11（x）体系发生分裂之时，诸子百家理论学说中最广泛最统一的一个观念意识，一言以蔽之，就是“天人合一”，是中国文化的基本精神。
微积分在经济学中的应用
微积分在经济学中的应用微积分是数学中的一个重要分支，它的理论和方法在经济学中有着广泛的应用。
通过微积分的工具，经济学家们能够更好地分析经济现象，做出准确的判断和预测。
本文将探讨微积分在经济学中的具体应用，包括边际分析、优化问题以及经济增长等方面。
一、边际分析微积分在经济学中的第一个应用是边际分析。
边际分析是经济学中非常重要的一个概念，它指的是在某一变量增加（或减少）一个单位时，对应的效用、成本或产出的变化量。
对于经济学家来说，理解和运用边际分析是解决许多经济问题的基础。
在微积分的框架下，我们可以通过求导来计算边际效用、边际成本以及边际产出等。
例如，在消费者选择理论中，消费者的效用函数通常是连续可微的函数，通过对效用函数求导，我们可以得到消费者对不同商品的边际效用，这有助于我们理解消费者如何做出最优消费决策。
二、优化问题微积分在经济学中的另一个重要应用是解决优化问题。
在经济学中，我们经常遇到需要最大化或最小化某个变量的问题，而微积分正是解决这类问题的重要工具。
以生产函数为例，生产函数描述了输入因素与产出之间的关系。
当我们想要最大化产出时，可以使用微积分的方法来求解最优的输入组合。
通过对生产函数进行求导，我们可以得到产出对于各个输入因素的边际产出，然后将边际产出相等的条件与约束条件结合，进而得到最优解。
类似地，在消费者选择理论中，我们可以通过微积分来解决消费者的最优消费问题。
通过构建约束条件和效用函数，结合拉格朗日乘子法等微积分工具，我们可以求解出消费者在预算约束下获得最大满足的消费组合。
三、经济增长微积分在经济增长理论中也有着重要的应用。
经济增长理论研究经济体长期内产出的增长问题，而微积分则提供了分析经济增长模型的数学工具。
在经济增长模型中，我们常常需要研究产出、储蓄、投资等变量之间的关系。
通过构建微分方程组，我们可以描述经济体产出、资本积累以及人口增长等变量的变化规律。
利用微积分的方法，我们可以得到这些变量的稳定状态，分析经济体是否能够实现长期稳定增长。
组合恒等式的证明及应用
组合恒等式的证明及应用组合恒等式是组合数学中一个非常重要的等式，也是组合学中最基本的等式之一。
它在组合数学中有着广泛的应用，包括计数、排列与组合、概率等方面。
本文将首先介绍组合恒等式的基本定义与证明，然后讨论一些应用场景。
首先，让我们来看看组合恒等式的定义。
对于任意的非负整数n和非负整数k，满足0≤k≤n，组合恒等式可以表示为：C(n,k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1) （1）其中，C(n,k)表示从n个不同元素中选取k个元素的组合数，也叫做二项式系数。
接下来，我们来证明这个恒等式。
考虑一个集合A，它包含n个元素，我们需要从这个集合中选择k个元素。
我们可以把这个问题分为两种情况来考虑。
第一种情况是，我们选择了集合A中的第一个元素。
那么我们还需要从剩下的n-1个元素中选择k-1个元素，所以这种情况的选择数为C(n-1, k-1)。
第二种情况是，我们没有选择集合A中的第一个元素。
那么我们需要从剩下的n-1个元素中选择k个元素，所以这种情况的选择数为C(n-1, k)。
那么根据加法原理，我们可以得到选择k个元素的所有可能情况数为C(n-1, k) +C(n-1, k-1)。
而根据问题的定义，选择k个元素的可能情况数应该等于C(n,k)。
所以我们可以得出：C(n,k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1) （2）组合恒等式证明完成。
有了组合恒等式之后，我们可以在组合数学的各个领域中应用它。
首先是在计数问题中的应用。
计数问题中经常涉及到从一个给定集合中选择若干元素的问题，比如选择m个球放入n个盒子，选择若干学生参加活动等。
通过组合恒等式，我们可以根据已知的条件分解问题，得到更为简单的计数方法。
其次是在排列与组合问题中的应用。
排列和组合问题是组合数学中的经典问题，而组合恒等式正是排列与组合的基础。
我们可以利用组合恒等式进行排列与组合的计算，如全排列、循环排列、重复组合等。
例说组合恒等式的六种证明方法
例说组合恒等式的六种证明方法组合恒等式是组合数学中的重要概念，指的是形如$\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$的等式。
这个等式表明，在$n$个元素中选择$k$个元素的方法数等于在$n-1$个元素中选择$k-1$个元素的方法数与选择$k$个元素的方法数之和。
在这篇文章中，我们将介绍六种常见的证明组合恒等式的方法。
方法一：基于组合的定义将组合数的定义应用到恒等式的两边可以得到证明。
根据组合数的定义，$\binom{n}{k}$表示从$n$个不同元素中选择$k$个元素的方法数，即$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$。
同样地，$\binom{n-1}{k-1}$表示从$n-1$个不同元素中选择$k-1$个元素的方法数，$\binom{n-1}{k}$表示从$n-1$个不同元素中选择$k$个元素的方法数。
可以利用这些定义将等式两边都表示成组合数的形式，然后将它们相减，最后通过化简得到恒等式的正确性。
方法二：递推法递推法是证明组合恒等式的常见方法之一、递推法的思想是，通过利用等式的递推关系，将一个组合数表示成另一个组合数的和的形式。
在这个例子中，等式$\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$可以被看作是递推关系。
通过递推关系，我们可以将$\binom{n}{k}$表示成$\binom{n-1}{k-1}$和$\binom{n-1}{k}$的和的形式。
递推法的证明可以采用数学归纳法，从$n=1$和$k=1$的情况开始，递推到$n$和$k$的一般情况。
方法三：二项式定理二项式定理是一个重要的数学定理，可以用于证明组合恒等式。
二项式定理的表述是$(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^k$。
在这个定理中，将$x$和$y$分别替换为$1$和$-1$，则可以得到组合恒等式的形式。
微积分在金融中的应用
跨学科交叉研究பைடு நூலகம்
未来金融领域微积分的发展将更 加注重跨学科交叉研究，如与统 计学、计算机科学、经济学等学 科的融合，以推动金融理论和实 践的创新。
通过微积分方法，可以实现对金融数据的动态展示和分析，例如利用动画效果展示数据的时间序列变化 或模拟市场走势等。
06
结论与展望
微积分在金融中的价值体现
风险评估与建模
微积分在风险评估和建模中发挥着重要作用，如利用微积 分理论构建风险价值模型（VaR）和预期损失模型（ES） ，帮助金融机构更准确地量化和管理风险。
布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes M…
该模型是期权定价的经典模型，利用微积分中的偏微分方程描述期权价格与其影响因素 之间的关系，为期权定价提供了理论基础。
利率期限结构模型
利率期限结构模型用于描述不同期限的利率之间的关系，其中微积分方法可用于推导利 率的动态过程和建模。
金融数据可视化与微积分
金融工程
将微积分作为分析工具，对复杂的金融产品进行解构 、重组和创新。
动态复制策略
运用微积分中的动态规划方法，实现金融产品的动态 复制和合成。
高频交易策略
借助微积分对高频数据的处理能力，设计高频交易算 法和策略。
05
微积分在金融数据分析中的应用
金融时间序列分析
趋势分析
通过微积分方法，可以对金融时 间序列数据进行趋势分析，包括 线性趋势、非线性趋势等，以揭 示市场走势和预测未来发展方向 。
强化数学建模能力
微积分在不等式证明中的运用
1引言微积分学是微分学和积分学的总称.它是一种数学思想，无限细分就是微分，无限求和就是积分.微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，可以根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式. 文献[7],[10],[17] [20]介绍微积分在不等式证明中的应用，得到一些一般结论.不等式的证明在数学学习中既是一个重点也是一个难点，方法也很多，在此提出了求证不等式的几种方法，其在实际应用中具有较高的价值. 1.1 微积分的定义 1.1.1微分的定义定义1 设函数()y f x =定义在0x 的某领域0()x 内．当给0x 一个增量x ∆，0x x +∆∈0()U x 时，相应地得到函数的增量为00()()y f x x f x ∆=+∆-． 如果存在常数A ，使得y ∆能表示成0()y A x x ο∆=∆+， （1）则称函数f 在点0x 可微，并称（1）式中的第一项A x ∆为f 在点0x 的微分，记作0x x A x ==∆dy ｜或0x x A x ==∆df(x)｜． （2）由定义可见，函数的微分与增量仅相差一个关于x ∆的高阶无穷小量，由于dy 是x ∆的线性函数，所以当0A ≠时，也说微分dy 是增量y ∆的线性主部．容易看出，函数f 在点0x 可导和可微是等价的． 1.1.2 积分的定义定义2 设f 是定义在[],a b 上的一个函数，J 是一个确定的实数．若对任何给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[],a b 的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集{}i ξ，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称函数f 在区间[],a b 上可积或黎曼可积；数J 称为f 在[],a b 上的定积分或黎曼积分，记作()ba J f x dx =⎰.其中，f 称为被积函数，x 称为积分变量，[],a b 称为积分区间，a 、b 分别称为这个定积分的下限和上限． 2 微积分在不等式证明中的应用 2.1微分在不等式证明中的应用 2.1.1用导数的定义例1 设12()sin sin 2f x a x a x =++…+sin ,n a nx 已知()sin ,f x x ≤证明122... 1.n a a na ++≤证明：方法1：因为(0)0,f = 由已知()(0)sin (0)0f x f xx x x -≤≠-,'0()(0)lim1(0)10x f x f f x →-∴≤⇒≤-,即122... 1.n a a na ++≤导数的定义是微积分的基础，此题还可运用两个重要极限及变形进行证明.方法2：由()sin ,f x x ≤得()sin (0),f x xx x x≤≠即12sin sin 2sin sin ...n x x nx xa a a x x x x+++≤ .两端同时取x →0 时的极限得 lim x →∞12sin sin 2sin ...n x x nxa a a x x x+++≤lim x →∞sin x x .由重要极限及其变形知:0sin limx kxk x→=. ∴122... 1.n a a na ++≤证毕.2.1.2利用微分中值定理定理1（罗尔定理）：设函数f(x)满足条件： （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间（a,b ）内可导； （3）f(a)=f(b)；则在（a,b ）内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=0.定理2（拉格朗日中值定理）：设函数f(x)满足条件： （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间（a,b ）内可导；则在（a,b ）内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=0 .定理3（柯西中值定理）：设函数f(x)，g(x)满足条件： （1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间（a,b ）内均可导且g'(x)≠0；则在（a,b ）内至少存在一个点ξ，使得a b a f b f --)()(=)('ξf 或)()()()()()(''ξξg f a g b g a f b f =--. 例2 已知b>a>0, 证明b a b -<a b ln <aab -. 证明：设f(x)=lnx, 它在[]b a ,（a >0）上连续且可导,,1)('xx f =又),,(b a ∈ξ根据微分中值定理的条件, 有ξ1ln ln =--a b a b ,而b 1<ξ1<a 1,因此b 1<ab a b --ln ln <a 1,即b a b -<a b ln <aab -. 例3 设- 11,≤≤y x ,证明 ｜arcsin arcsin x y -｜≥｜x-y ｜. 证明：设f(z)= arcsin z ，它在[ - 1 ,1 ]上连续且可导,2'11)(zz f -=,又ξ∈( - 1 ,1) ,根据微分中值定理的条件,有arcsin arcsin x yx y --,而1≥,因此｜arcsin arcsin x y -｜≥｜x-y ｜.如果要证明的不等式或将要证明的不等式简单变形后,与微分中值公式的结构有相似性,就可以利用微分中值定理来证明,采用这种方法要注意的是构造一个辅助函数,然后利用公式证明. 2.1.3利用函数的单调性函数不等式是判断函数之间的大小关系.基于这种思想，可以利用函数单调性证明不等式.基本思想:将不等式两边的函数移到同一端，并作辅助函数;利用函数一阶导数的符号判断函数在所给区间的单调性;根据函数的单调性，得到所求不等式.定理4：设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在（a,b ）内可导（1）若在（a,b ）内，f'(x)>0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加； （2）若在（a,b ）内，f'(x)<0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少. 由定理1 我们总结出运用单调性证明不等式的一般方法与步骤：（1）移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所作的辅助函数f(x)； （2）求出f'(x)，并判断f(x)在指定区间的增减性； （3）求出区间端点的函数值，作出比较即得所证.根据导数判断函数单调性的特点,直接构造一个函数,使得被证明的不等式中含有这个函数的两个端点值,然后利用单调性即可证明.例4 证明不等式1+x 21>x +1,x>0.证明：构造函数f(x)= 1+x21-x +1 (x>0), 则'1()2f x =.当x > 0 时,有11-+x >0，从而xx x f +-+=1211)('>0，,所以函数在(0 , + ∞)内单调增加,即当x > 0时,有f ( x) > f (0) ,而f (0) = 0 ,所以1+x 21-x +1(x>0), 即1+x 21>x +1,（x>0）.例5 当x > 0 时,证明不等式xx+1<ln(1+x) <x.证明： (1) 令函数f(x)=ln(1+x)- x x+1,因为当x > 0 时,'()f x =x +11-2)1(1x +=2)1(x x +>0, 且f (0) = 0 ,所以函数在(0 , + ∞) 内单调增加,因此)1ln(x +-x x +1>0, 即1n (1 + x) >xx +1;(2) 设g ( x) = 1n (1 + x) - x ,类似可证明g ( x) 在区间(0 , + ∞) 内从0 开始单调减少,因此当x > 0时,有g ( x) < 0 ,即1n (1 + x) < x. 综上所述,可知xx+1 <)1ln(x +<x )0(>x . 运用函数的单调性证明不等式,关键在于构造适当的辅助函数,并研究它在指定区间内的单调性. 若在(a ，b)上总有f '(x) > 0，则f( x) 在( a ，b) 单调增加;若在( a ，b)上总有f '(x) < 0，则f(x) 在(a ，b) 单调减少.构造恰当的辅助函数，有时需要两次利用函数的单调性证明不等式，有时需要对( a ，b)进行分割，分别在小区间上讨论. 2.1.4利用函数的极值与最值定理5 （极值的第一充分条件）设f 在点0x 连续，在某领域0U 0(;)x δ内可导．(1)若当00(,)x x x δ∈-时'0()0f x ≤，当00(,)x x x δ∈+时'0()0f x ≥，则f 在点0x 取得极小值．(2)若当00(,)x x x δ∈-时'0()0f x ≥，当00(,)x x x δ∈+时'0()0f x ≤，则f 在点0x 取得极大值．定理6（极值的第二充分条件）设f 在点0x 的某领域U 0(;)x δ内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且'0()0f x =，0''()0f x ≠． (1)若0''()0f x <，则f 在0x 取得极大值． (2)若0''()0f x >，则f 在0x 取得极小值．例6 设,10≤≤x ,p >1,证明不等式121-p ≤p x +p x )1(-≤1.证明：令f ( x) =p x +p x )1(-,则)('x f =p 1-p x +p 1)1(--p x (-1)=p []11)1(----p p x x , =)(''x f p(p-1)2-p x +p(p-1)2)1(--p x .令)('x f =0, 得x =21,则)21(''f =p(p-1)]22)21()21(--+⎢⎣⎡p p >0,)1(>p ; 所以f(x)在x=21处取得极小值. 因为,1)0()1(==f f =)21(f 121-p ,所以)(x f 在[]1,0上最大值为1 ,最小值为121-p . 因此121-p ≤p x +p x )1(-≤1.例7 求证:当0x ≥ 时, 1(1)10n n nx n x ----≤ (1,)n n N >∈. 证明：令()f x =1(1)1n n nx n x ----,则 '212()(1)(1)(1)(1).n n n f x n n x n n x n n x x ---=---=--令 '()0f x = 得驻点： 1(0x x ==因为是端点，所以不是驻点）. 且当1x <时，'()0,f x >当1x >时，'()0,f x <(1)0f =是极大值也是最大值，所以()(1)0f x f ≤=，即当0x ≥时, 1(1)10n n nx n x ----≤.当我们构造好函数)(x f 后,如果无法得到0)('>x f (或)0)('<x f .即当函数不具有单调性时,可以考虑用极值与最值的方法进行证明，也是一种行之有效的方法. 若函数在某闭区间上连续，根据最值定理，函数必在该区间上取得最大值和最小值.令f( x) 在区间［b ，a ］上连续，则f( x) 在区间［b ，a ］存在最大值M 和最小值m ，那么: m ≤f(x)≤M. 2.1.5 利用函数的凹凸性定义3 设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点1x ，2x 和任意实数(0,1)λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-， (1)则称为上的凸函数．反之，如果总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-， (2)则称f 为I 上的凹函数．如果(1)、(2)中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数．定理7 设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上为凸（凹）函数的充要条 件是''()0(''()0),f x f x x I ≥≤∈．定理8 若f 为[],a b 上凸函数，则对任意[]1,,0(1,2,,),ni i i i x a b i n λλ=∈>=⋅⋅⋅∑=1,有11()()nni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑．例8 设0,1,2,3...i x i n >=.12...nx x x n+++≤,其中的等号成立当且仅当所有的i x 全相等.证明：当所有的i x 全相等时等号显然成立,因此只需证明当i x 不全相等时上式是严格不等式. 考虑函数,ln )(x x f =x x f 1)('=>0,)(''x f =-21x<0x (>)0. 因此函数在),0(∞上是严格单调增加且是严格凸函数, 根据严格凸函数的定义,可知: 12...ln nx x x n+++ >11212ln ln ...ln ln(...)n n n x x x x x x n +++=⋅⋅⋅,又根据严格递12...nx x x n+++≤.例9 证明不等式)ln ln (y y y x +>2ln)(yx y x ++x (>y ,0>y x ≠,0). 证明： 构造函数x x x f ln )(=,),0(+∞∈x ,则=)('x f 1ln +x ,=)(''x f x1>0,),0(+∞∈x .因此,函数在),0(+∞∈x .上是凹函 数,由凹函数的定义有: 12()2x x f +<12()()2f x f x +即2ln 2y x y x ++<2ln ln y y x x +,所以)ln ln (y y y x +>2ln )(yx y x ++. 利用函数的凹凸性来证明不等式就是根据函数凹凸性定义中的不等式关系,即12()2x x f +<12()()2f x f x +或12()2x x f +>12()()2f x f x +,构造一个凸函数或凹函数来证明.2.1.6利用泰勒公式定理9 （泰勒定理） 若函数f 在[],a b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(),a b 内存在()1n +阶导函数，则对任意给定的[]0,,x x a b ∈，至少存在一点ξ，使得'200000''()()()()()()2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+ ()(1)1000()()()()!(1)!n n nn f x f x x x x n n ξ++⋅⋅⋅+-+-+．例10 如果f(x)在[],a b 上二阶可导，''()()f a f b ==0，则存在(,)c a b ∈使得''24()()().()f c f b f a b a ≥-- 证明：'''21()()()()()(),222!2f a b a b a b f f a f a a a ξ+++=+-+-(a<1ξ<2a b +). '''22()()()()()(),222!2f a b a b a b f f b f b b b ξ+++=+-+-(2a b +<2ξ<b ).所以''''212()()()()(),42f f b a f b f a ξξ---=, 取c 满足''''''12()max{(),()}f c f f ξξ=,2''()()()()4b a f b f a fc --≤, 即''24()()()()f c f b f a b a ≥--.在高等数学中的证明,尤其是题设中含有高阶导数二阶和二阶以上的大小或上下界的函数不等式,Taylor 公式是一个强有力的工具,而应用这一工具证明这类不等式的关键所在,就是正确地写出比题设条件低一阶的函数Taylor 的展开式,恰当选择Taylor 公式两边的x 与0x ,由给出的高阶导数的大小或上下界对展开式进行放大或缩小.泰勒展开式的证明常用的是将函数()f x 在所给区间端点或一些特定点（如区间的中点、零点) 进行展开,通过分析余项在ξ点的性质,而得出不等式,另外若余项在所给区间上不变号,也可将余项舍去而得到不等式.2.2积分在不等式证明中的应用 2.2.1 利用积分的定义主要思想：设()f x 在[],a b 上是严格增，0a x =<1x <…<n x 1,,n n b x x l +=-=则[]01()...()n l f x f x -++< ()ba f x dx ⎰<[]1()...();n l f x f x ++ (1)11()n f x dx -⎰<[]11()...()n l f x f x -++<()baf x dx ⎰, （2）适当选取()f x l 及可得各种不等式与估值例11 证明11p n p ++<12...p p pn +++<1(1),1p n p p +++>0.证明 ： 对增函数()p f x x = (0x ≤< 2∞应用（）)：101p p p n x dx p +=+⎰<(1)...()f f n ++<110(1)1p p pn x dx p +++=+⎰. 此题还可将微分中值定理用到(1)p p k k +-来证. 2.2.2利用积分的性质性质1 若f 在[],a b 上可积，κ为常数，则f κ在[],a b 上也可积，且 ()()bbaaf x dx f x dx κκ=⎰⎰,性质2 若f 、g 都在[],a b 上可积，则f g ±在[],a b 上也可积，且 . []()()()()b bbaaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰.性质3 若f 、g 都在[],a b 上可积，则f g 在[],a b 上也可积．性质4 f 在[],a b 上可积的充要条件是：任给(,),c a b f ∈在[],a b 与[],c b 上都可积．此时又有等式()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.性质5 设f 为[],a b 上的可积函数．若[]()0,,f x x a b ≥∈，则()0baf x dx ≥⎰.推论 （积分不等式性） 若f 与g 为[],a b 上的两个可积函数，且()(),f x g x ≤[],x a b ∈，则有()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰.性质6 若f 在[],a b 上可积，则f 在[],a b 上也可积，且()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰.例12 已知)(x s =0cos x t ⎰dt, ,当n 为正整数,且ππ)1(+≤≤n x n 时,证明2n≤s(x) <)1(2+n .证明: | cos x| ≥0 且n π≤x < ( n + 1)π, ∴(1)0cos ()<cos ;n n x dx s x x dx ππ+≤⎰⎰又∵cos x 是以π为周期的函数,在每个周期上积分值相等, ∴(1)0cos cos 2;cos 2(1).n n x dx n x dx n x dx n πππ+===+⎰⎰⎰因此,当n π≤x < ( n + 1)π时,有2 n ≤s ( x ) < 2 ( n + 1) .例13 设f ( x) 在(0 ,1) 上有连续导数,且f (0) = f (1) = 0 ,证明：2112'1()().4f x dx f x dx ⎡⎤≤⎣⎦⎰⎰. 证明: 由于(0)0,f =则'0()(),xf x f x dx =⎰于是212'2220000()()1()(1)(),xx x f x f x dx dx f x dx x f x dx ⎡⎤=≤⋅≤-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰从而11111122222210021()()(1)()()().4f x dx xdx f x dx x dx f x dx f x dx f x dx ≤⋅+-⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例14证明不等式22ππ<<⎰ 证明：因为1≤≤=0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，且不恒等于1，所以由积分不等式2200dxππ<<⎰⎰,即22ππ<<⎰例15 设()f x在[],a b上连续，且()f x不恒等于零，证明2(())0baf x dx>⎰．证明：由()f x不恒等于零知，存在x∈[],a b，使0()0f x≠，故2()0f x>．由2()f x连续及连续函数的局部保号性，存在x的某领域00(,)x xδδ-+（当x a=或x b=时，则为右领域或左领域），使得在其中[][]220()()02f xf x≥>．由性质4和性质5，得[][][][]00002222()()()()b x x ba a x xf x dx f x dx f x dx f x dxδδδδ-+-+=++⎰⎰⎰⎰[][]22()0()02xxf xdx f xδδδ++≥+=>⎰．2.2.3利用积分中值定理定理10 （积分第一中值定理）若f在[],a b上连续，则至少存在一点ξ∈[],a b，使得()()()baf x dx f b aξ=-⎰．定理11 （积分第二中值定理）设函数f在[],a b上可积．(1)若函数g在[],a b上减，且()0g x≥，则存在[],a bξ∈，使得()()()();ba af xg x dx g a f x dxξ=⎰⎰；(2)若函数g在[],a b上增，且()0g x≥，则存在[],a bη∈，使得()()()();b baf xg x dx g b f x dxη=⎰⎰．定理12 （推广的积分第一中值定理）若f与g都在[],a b上连续，且()g x在[],a b上不变号，则至少存在一点[],a bξ∈，使得()()()();bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰例16 设122()sin ,()xxf x t dt f x x+=≤⎰试证 （x >0).证明: 令2,u t =则12()sin xxf x t dt +=⎰=22(1)x x+⎰. 被积函数满足第二积分中值定理的条件：()f u =单调, ()sing u u =可积，于是22(1)()sin sin x x f x udu udu ξξ+=⎰,2(1)11()sin sin 22(1)x xf x udu udu xx ξξ+≤++⎰⎰1121x x x≤+≤+ ,（x >0) 证毕． 2.2.4利用积分上限函数定义4 设()f x 在[],a b 上可积，对任何[],x a b ∈，()f x 在[],a x 上也可积．于是，由 ()(),xa x f t dt Φ=⎰ [],x ab ∈定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分．当命题中出现条件()f x 在[],a b 上连续时，可构造积分上限函数，将数值不等式或积分不等式转化为积分上限函数不等式，然后利用函数单调性或定积分性质或泰勒公式解题．例17 设函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，'()f x 单调减少．证明[]1()()()()2b a f x dx b a f a f b >-+⎰．证明： 令[]1()()()()()2x a F x f x dx x a f a f x =--+⎰，[],x a b ∈，则由已知条件，得[]11'()()()()()'()22F x f x f a f x x a f x =-+--= []11()()()'()22f x f a x a f x ---= 11()'()()()'()22x a f x a x a f x ξ----= []1()'()'()2x a f f x ξ--，其中 (,)a x ξ∈；又'()f x 单调减少，所以'()'()f f x ξ>，故[]1'()()'()'()02F x x a f f x ξ=-->，从而[]1()()()()()2xa F x f x dx x a f a f x =--+⎰在[],ab 上单调增加，又()0,F a =，故()()0F b F a >=，即[]1()()()()2b a f x dx b a f a f b >-+⎰．2.2.5 转化为重积分, 再用积分方法进行估计例18 设()(),f x a b 在连续，且f(x)>0，试证21()()()bba af x dx dx b a f x ⋅≥-⎰⎰. 证明: 左端=1()()()()b bb b aaa a f y f y dy dx dxdy f x f x =⎰⎰⎰⎰交换积分次序，左端=()()()()bbb b aaa a dyf x f x dx dxdy f y f y =⎰⎰⎰⎰ 因此，左端=221()()()()2()()2()()b b b b a a a a f y f x f y f x dxdy dxdy f x f y f x f y ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰2().b b a a dxdy a b ≥=-⎰⎰证毕. 2.2.6 利用Cauchy-Schwarz 不等式定理13 对于闭区间[],a b 上的可积函数(),f x g(x)，有如下不等式：222()()()()b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.这就是著名的Cauchy-Schwarz 不等式，它在数学分析、高等代数等学科以及许多初等数学的问题中都经常用到．因此，学会并灵活掌握这个定理的证明方法和思想是非常重要的，下面介绍它的证法及在不等式中的运用.证明： 由微积分学基本定理知：()ta f x dx ⎰是()f t 在[],ab ]上的一个原函数，不妨设222()()()()(),tttaa a F t f x dx g x dx f x g x dx ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ [],t a b ∈则有'2222()()()()()2()()()()ttbaaaF t f t g x dx g t f x dx f t g t f x g x dx =+-⎰⎰⎰=[]2()()()()0taf tg x g t f x dx -≥⎰.因为[],,t a b ∈所以t a ≥, 又[]2()()()()0f t g x g t f x -≥,所以'()0,F t ≥从而()F t 是[],a b 上的增函数. 故()().F b F a ≥而()0,F a =所以()0,F b ≥ 即222()()()()()0,bbba aa Fb f x dx g x dx f x g x ⎡⎤=-≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰故. 222()()()()b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰2.2.6.1Cauchy-Schwarz 不等式的运用定理14 设111,1,1p qp q >>+=，如果()f x 为[],a b 上的p 次可积函数，()g x 为[],a b 上的q 次可积函数，那么()()f x g x 在[],a b 上可积，且有11()()()()pqbbbpaa a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰.为证上述定理，先证如下引理：引理 对任意非负实数A ，B ，都有11q P A B A p B q ≤+成立，其中1,1,p q >>11 1.p q +=证明： 设()(0)y x x φ=≥是严格增加的连续函数，且(0)0,()(0)x y y φϕ==≥是φ的逆函数①()a b φ= , ②()a b φ>, ③()a b φ<.不论()a φ与b 的关系如何，都成立着不等式()()abx dx y dy ab φϕ+≥⎰⎰.其中当且仅当()b a φ=时等号成立． 在上式中取1111(),(),,,q Pp q x xy y a A b B φϕ--====就得到11p q A B A p B q ≤+. 从而引理得证.下证定理．当11(),()pqbbpqa a f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰，之中有一个是零时，不等式显然成立．不妨设1()0pbpa f x dx ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦⎰，1()0qbqa g x dx ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦⎰.作辅助函数1()(),()pbpa f x x f x dx φ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰1()()()qbqa g x x g x dx ϕ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰.令 (),()p qA xB x φϕ==, 由引理得()()()()pqx x x x pqφϕφϕ=+, （1）因为(),()pqx x φϕ为[],a b 上的可积函数，由上述不等式知()()x x φϕ为[],a b 上的可积函数，因此()()f x g x 为[],a b 上的可积函数，且对(1)式两端积分得 ()()()()pqbbba aax x x x dx dx dx pqφϕφϕ≤+⎰⎰⎰=()()111()()b b pqaabbpqaaf x dxg x dx p qp f x dxq g x dx+=+=⎰⎰⎰⎰. （2）而11()()()()()()pqbbaabbpqa a f x g x dxx x x f x dx g x dx φϕ=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰,将它代入(2)式即得 11()()()()pq b b b p q aa a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰. 即为所要证的不等式．证毕．例19 利用施瓦茨不等式证明：若f 在[],a b 上可积，且()0f x m ≥>，则 21()()()bbaaf x dx dx b a f x ⋅≥-⎰⎰； 证明： 由()f x 可积，且()0f x m ≥>知，1()f x1()f x ，可积，于是根据Schwarz 不等式，有 1()()bb a af x dx dx f x ⋅⎰⎰222()()()b a adx b a ≥==-⎰⎰.致谢在完成论文的过程中,得到了x xx老师的精心指导和大力帮助,在此，衷心感谢x老师的悉心指导！参考文献【l】李大华, 胡适耕, 林益.高等数学典型问题100类[M].华中理工大学出版社1987.【2】钱吉林.数学分析解题精粹[M].崇文书局，2009.【3】裘卓明、葛钟美、于秀源.研究生人学考试指导. 数学分析[M].山东科学技术出版社,1985.【4】陈纪修，於崇华，金路.数学分析[M].高等教育出版社，2004.【5】华东师范数学系.数学分析[M].高等教育出版社，2001.【6】同济大学应用数学系，高等数学( 上册) [M] .高等教育出版社,2000. 【7】刘玉琏，傅沛仁. 数学分析讲义[M].人民教育出版社，1981.【8】吉米多维奇.数学分析习题集题解[M].山东科学技术出版社，2003.【9】菲赫金哥尔茨. 微积分学教程( 第一卷) ( 第8 版) [M].高等教育出版社,2001.【10】罗幼芝.微积分在不等式中的应用［J］.泰山学院学报，2004，第6期：20～21.【11】同济大学数学教研室.高等数学：上册［M］.上海人民教育出版社，1979. 【12】裴礼文.数学分析中的典型问题与方法［M］.高等教育出版社，1993. 【13】寇业富. 不等式的证明[J ] . 数学的实践与认识,2003，第6期：112～116. 【14】萧树铁. 大学数学[M] . 高等教育出版社,2003.【15】徐荣贵,叶红. 微积分的基本思想[J ]. 四川工程职业技术学院学报, 2008，第4～5期，54～55.【16】李以渝. 高等数学(新编本) [M ]. 北京邮电大学出版社, 2006.【17】李光英. 用辅助函数证明不等式[J ] . 安庆师范学院学报(自然科学版) 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微积分的重要定理及其应用
微积分的重要定理及其应用微积分，是高等数学的一门重要分支，是描述变化率和累积变化的数学方法。
在科学、工程、经济、金融等领域有着广泛的应用。
微积分的发展源于17世纪，由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨同时独立发明，为现代数学的基石之一。
在微积分中，有一些基本定理和公式是必不可少的，特别是微积分的重要定理和应用更是具有重要意义。
一、微积分的重要定理微积分中的重要定理有很多，此处仅谈到了四个。
1. 中值定理中值定理是微积分中的重要定理之一，它是微分学的基石之一。
该定理由法国数学家罗尔于1691年首先发现并证明，后由德国数学家柯西和其他数学家给出不同的证明。
中值定理指出，在连续函数的满足一定条件的情况下，其必有一点处的导数等于该函数两端点之间的斜率，而这个点处的横坐标就是两个端点的平均值。
2. 定积分的定义和计算公式定积分是微积分中的重要定理之一，是求解曲线下方面积的方法。
定积分的定义是，将曲线下的区间分解成无限个短小的小区间，每个小区间的面积乘积后求和，并取极限就得到了定积分的值。
定积分的计算公式有基本积分公式、换元法、分部积分法、狄利克雷定理等。
3. 极值定理极值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了函数在局部最值点处的导数为0、导数在局部最值点处的符号发生变化的性质。
极值定理的主要应用有：求曲线的拐点，求函数的最值，确定函数的单调性等。
4. 泰勒公式泰勒公式是微积分中的重要定理之一，是将一个不易计算的函数表达成某种易于计算的一般函数的方法。
泰勒公式可以由函数在某点附近展开成幂级数得到，此时，包含了函数的各阶导数，而达到泰勒公式中可以将函数在某一点展开成一个无穷级数的形式。
泰勒公式的应用有：在某一点展开求导数，求近似值、判断函数的奇偶性、判别函数的单调性等。
二、微积分的应用微积分在现代科学中有着广泛的应用，包括但不限于以下几个领域：1. 物理学微积分在物理学中起着至关重要的作用，如力学、电磁学、光学、统计物理学等。
一个含有组合数与调和级数部分和的恒等式之证明
一个含有组合数与调和级数部分和的恒等式之证明
郝勤道
【期刊名称】《南都学坛》
【年(卷),期】1999(019)003
【摘要】利用数学归纳法证明了一个含有组合数与调和级数部分和的恒等式.【总页数】2页(P27-28)
【作者】郝勤道
【作者单位】河南省焦作工学院基础部,焦作,454000
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.构造等式证明组合数恒等式 [J], 周礼平;
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5.含有二项式系数及特殊组合数的恒等式 [J], 郭东威
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