点到直线的距离公式 最新版ppt课件
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点到直线的距离公式)PPT全文课件
试判断圆C1与圆C2的位置关系. 解法一(几何法)：把圆的方程都化成标准形式,为 C 1:(x 1 )2(y4)225 C 2:(x2 )2(y2 )21 0
C 1 的圆心坐标是 (1, ,半4)径长 r1 5 ;
C 2 的圆心坐标是 ( 2 , 2,半) 径长 r2 1 0 ; 所以圆心距 C 1 C 2( 1 2 )2 T名师课件
练 1.圆x +y -2x=0与x +y +4y=0的位置关系是( C ) 点到直线的距离公式）PPT名师课件
22
22
习 A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
2.
B
点到直线的距离公式）PPT名师课件
三、两相交圆的公共弦所在的直线方程 点到直线的距离公式）PPT名师课件
1.若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所 在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 2．当两圆相切时，以上方程表示两圆的公切线方程。 3.公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形， 根据勾股定理求出弦长． 如图，首先求出圆心 O1 点到相交弦所在直线的距离 d，而 AC＝21l， ∴14l2＝r21－d2，即 l＝2 r21－d2，从而得以解决．
人教版·必修2·第四章《圆与方程》
4.2.2 圆与圆的位置关系
判断直线和圆的位置关系
几何方法
代数方法
求圆心坐标及半径r （配方法）
( x a)2 ( y b)2 r 2 Ax By C 0
消去y
C 1 的圆心坐标是 (1, ,半4)径长 r1 5 ;
C 2 的圆心坐标是 ( 2 , 2,半) 径长 r2 1 0 ; 所以圆心距 C 1 C 2( 1 2 )2 T名师课件
练 1.圆x +y -2x=0与x +y +4y=0的位置关系是( C ) 点到直线的距离公式）PPT名师课件
22
22
习 A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
2.
B
点到直线的距离公式）PPT名师课件
三、两相交圆的公共弦所在的直线方程 点到直线的距离公式）PPT名师课件
1.若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所 在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 2．当两圆相切时，以上方程表示两圆的公切线方程。 3.公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形， 根据勾股定理求出弦长． 如图，首先求出圆心 O1 点到相交弦所在直线的距离 d，而 AC＝21l， ∴14l2＝r21－d2，即 l＝2 r21－d2，从而得以解决．
人教版·必修2·第四章《圆与方程》
4.2.2 圆与圆的位置关系
判断直线和圆的位置关系
几何方法
代数方法
求圆心坐标及半径r （配方法）
( x a)2 ( y b)2 r 2 Ax By C 0
消去y
3点到直线的距离PPT完美课件
3点到直线的距离PPT完美课件
例3. 若两条平行直线 l1：ax＋2y＋2＝0 l2：3x－y＋d＝0的距离为 10 ， 求a与d的值.
a6,d9或 -11
3点到直线的距离PPT完美课件
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例4.求过点M(－2, 1)，且与 A(－1, 2)，B(3, 0)距离相等的 直线方程.
的面积．
分析：如图，设 AB边上的高为 h，则
SABC12 ABh.
y 4A
3
A B3 1 213222.
2h
AB边上的高 h 就是点 C 到 AB C 1
的距离．
-1 O 1 2
B 3x
3点到直线的距离PPT完美课件
3点到直线的距离PPT完美课件
解：AB边所在直线的方程为：y 3 x 1 ， 13 31
•
5. 这是一篇托物言志的铭文，本文言 简义丰 、讲究 修辞。 文章骈 散结合 ，以骈 句为主 ，句式 整齐， 节奏分 明，音 韵和谐 。
•
6.了解和名著有关的作家作品及相关 的诗句 、名言 、成语 和歇后 语等， 能按要 求向他 人推介 某部文 学名著 。
•
7.能够根据所提供的有关文学名著的 相关语 言信息 推断作 品的作 者、作 品的名 称和人 物形象 ，分析 人物形 象的性 格和作 品的思 想内容 并进行 简要评 价。
讨 论：
两条平行直线间的距离怎样求？ 平行直线间的距离 转 化 为 点到直线的距离
3点到直线的距离PPT完美课件
3点到直线的距离PPT完美课件
例1 已知直线 l1:2x7y+80 和 l2:2x7y60
l1 与l2 是否平行？若平行,求 l1与 l2的距离.
点到直线的距离PPT教学课件
3、 垂体作用
腺垂体：
A 、促甲状腺激素：作用于甲状腺
作用：促进甲状腺激素的生成和分 泌
B 、生长激素：作用于全部组织
作用：刺激蛋白质合成和组织生长； 减少糖的利用增加糖原生成；促进脂 肪分解
细胞增大与数量增多，它 对肌肉的增生和软骨的形成和 钙化有特别重要的作用
缺少——侏儒症（身材矮小 智力正常） 过多——巨人症
什么是点到直线的距离？
点到直线的距离是指:
过该点(如图所示点P)作直线(图中L)的垂线， 点P与垂足Q之间的线段│PQ│长度.
P
Q
L
问题:已知点P（x。，y。）和直线L：Ax+By+C=0(A•B≠0),
P不在直线L上，试求P点到直线L的距离.
思路一：
y P
L
.Q
o
x
思路二：构造直角三角形。
y
（5）已知点(a,2)(a 0)到直线 l : x y 3 0
a 的距离为1，则 等于（ C ）
A. 2 B. 2 C. 2 1 D. 2 1
例2:求两条平行直线Ax+By+ C1=0与Ax+By+ C2 =0的
距离.
解：在直线Ax+By+ C1=0上任取一点，如P(x0,y0)
则两平行线的距离就是点P(x0,y0)
二、下丘脑和垂体
1 、垂体：
位置：位于脑下部，脑下垂体 （成人豌豆大） 地位： A 、人和脊椎动物主要内分泌腺， 独立支配性腺、肾上腺、甲状腺
B 、受下丘脑的调节；下 丘脑通过垂体调节影响 其他内分泌腺
激素调节模式
下丘脑
促× ×激素释放激素
垂体
促× ×激素
点到直线的距离PPT教学课件
用于暗反应
水的光解：
2H2O
光 色素
O2+4H++4e-
酶
NADPH的形成： NADP++2e+H+
NADPH
ATP的形成： ADP+Pi + 电能 酶（A活T跃P化学能）
碳反应
二氧化碳还原为糖的一系列反应成为碳 循环，又称卡尔文循环。
(二）碳反应阶段
碳反应总结
场所： 叶绿体的基质中
条件：
多种酶、 [H] 、ATP
)
2ab a 2 b2
A到BC的距离h=( a 2 b2 )
因为|PE|+|PF|=h，所以原命题得证。
点到直线的距离
d Ax0 By0 C A2 B2
1.此公式的作用是求点到直线的距离； 2.此公式是在A、B≠0的前提下推导的； 3.如果A=0或B=0，此公式恰好也成立； 4.如果A=0或B=0，一般不用此公式； 5.用此公式时直线要先化成一般式。
②图中C是[H——] ，它被传递到叶绿体的基——质部位，用于—C—3的。还原
③图中DA是T—P—，在叶绿体中合成D所需的能量来自色—的素—光吸能收 ④图光中反的应H表示——，NAHD为PIH提和供A—T—P
4. 光合作用过程中，产生ADP和消耗ADP的
部位在叶绿体中依次为
(B )
①外膜
②内膜
③基质
能用无机 物制造有
机物
举例 绿色植物 光合细菌
硫细菌 铁细菌 硝化细菌
异养型
摄取的有 机物中储 存的能量
摄取现成 的有机物
人、动物和 营寄生、腐
生的菌类
相同点
都是从外界 摄取物质， 经过极其复 杂的变化， 转变成自身 组成成分， 并且储存能
数学点到直线的距离(共17张PPT)人教版优秀课件
五
道
知
道
学
到
用
到
悟
道
得
到
，
5
个
环
节
取
其
适
合
自
己
的
精
华
祛
其
糟
粕
，
下
面
分
享
给
大
家
。
•
•
审
、
敲
、
打
、
千
、
隆
、
卖
•
•
使
用
规
则
：
•
•
先
审
后
敲
，
急
打
慢
千
；
•
•
隆
卖
齐
施
，
敲
打
并
用
；
•
•
十
千
就
响
，
十
隆
就
成
；
•
•
先
千
后
往
，
无
往
不
利
；
•
•
有
千
无
隆
，
帝
寿
之
才
。
•
我
没
有
耐
心
不
过
我
对
演
员
还
是
很
有
耐
心
。
但
是
当
我
拍
完
一
个
镜
头
，
下
一
个
镜
头
试
完
2.3.3点到直线的距离公式课件(人教版)
点P 直线l
0
No Image
No Image
x
合作探究
问题2： 已知任意点 P x0, y0 ，直线 l : Ax By C 0，
如何求点P 到直线 l 的距离？
yl
么？
点到直线的距离定义是什
Q
如何求 PQ 的长度 ？
如何求点Q 的坐标呢 ？
O
x
如何求垂线 PQ 的方程?
d = PQ x x0 2 y y0 2
AC
x0
= B2x0 ABy0 AC ( A2x0 B2x0 ) A2 B2
= A Ax0 By0 C
A2 B2
y
y0
A2 y0
ABx0 A2 B2
BC
y0
A2 y0
ABx0
BC (A2 y0 A2 B2
B2 y0 )
B
Ax0 A2
By0 B2
C
d = PQ x x0 2 y y0 2
直线 l 的距离相等,求直线 l 的方程.
(2) 用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰
的距离之和等于一腰上的高.
(3) 求经过点 P 3，5 ,且与原点距离等于3的直线 l的方程.
(4) 已知直线过点 P 3，4且与点 A 2，2 ，B 4，-2等距离，
则直线 l的方程为.
(5) 直线 3x-4y-27=0上到点 P 2，1 距离最近的点的坐标
By0 B2
ห้องสมุดไป่ตู้
C
d = PQ x x0 2 y y0 2
=
A( Ax0 By0 （A２+B２）
C
)
2
B
Ax0 By0
《点到直线的距离》优质PPT课件
沿着A点到对面马路垂 直线段走。
从直线外一点到这条直 线所画的垂直线段最短。
课堂练习
请用在例3中发现的规律，检验下面各组直线 a、b是否平行。
4cm 4cm 4cm
课堂练习
请用在例3中发现的规律，检验下面各组直线 a、b是否平行。
4cm
2cm
4cm
2cm
4cm
2cm
课堂练习 请用在例3中发现的规律，检验下面各组直线 a、b是否平行。
人教版 数学 四年级 上册
5 平形四边形和梯形
点到直线的距离
复习导入 过直线外一点画已知直线的垂线。
1.边线重合。 2.平移到点。 3.画线标号。
探究新知 交流：从直线外一点A，到这条直线画几条线段。
A
探究新知 交流：从直线外一点A，到这条直线画几条线段。 量一量这些线段的长度，哪一条最短？
A 77mm 74mm90mm
a
b
探究新知 交流：量一量这些线段的长度。
a 42mm42mm42mm
b
探究新知 交流：量一量这些线段的长度。你发现了什么？ 端点分别在两条平行线上，且与平行线垂直 的所有线段的长度都相等。 a
42mm 42mm 42mm
b
课堂练习
下图中，小明如果从A点过马路，怎样走路线 最短？为什么？把最短的路线画出来。
下图中,游泳运动员如果从南岸游到北岸,怎样 游路线最短?为什么?把最短的路线画出来。
从A点向北岸引垂线， 这就是最短路线。
从直线外一点到这条 直线所画的垂直线段 最短。
课堂小结 这节课你们都学会了哪些知识？
点到直线的距离：
பைடு நூலகம்
A
从直线外一点到这条直线所画
77mm
从直线外一点到这条直 线所画的垂直线段最短。
课堂练习
请用在例3中发现的规律，检验下面各组直线 a、b是否平行。
4cm 4cm 4cm
课堂练习
请用在例3中发现的规律，检验下面各组直线 a、b是否平行。
4cm
2cm
4cm
2cm
4cm
2cm
课堂练习 请用在例3中发现的规律，检验下面各组直线 a、b是否平行。
人教版 数学 四年级 上册
5 平形四边形和梯形
点到直线的距离
复习导入 过直线外一点画已知直线的垂线。
1.边线重合。 2.平移到点。 3.画线标号。
探究新知 交流：从直线外一点A，到这条直线画几条线段。
A
探究新知 交流：从直线外一点A，到这条直线画几条线段。 量一量这些线段的长度，哪一条最短？
A 77mm 74mm90mm
a
b
探究新知 交流：量一量这些线段的长度。
a 42mm42mm42mm
b
探究新知 交流：量一量这些线段的长度。你发现了什么？ 端点分别在两条平行线上，且与平行线垂直 的所有线段的长度都相等。 a
42mm 42mm 42mm
b
课堂练习
下图中，小明如果从A点过马路，怎样走路线 最短？为什么？把最短的路线画出来。
下图中,游泳运动员如果从南岸游到北岸,怎样 游路线最短?为什么?把最短的路线画出来。
从A点向北岸引垂线， 这就是最短路线。
从直线外一点到这条 直线所画的垂直线段 最短。
课堂小结 这节课你们都学会了哪些知识？
点到直线的距离：
பைடு நூலகம்
A
从直线外一点到这条直线所画
77mm
点到直线的距离 课件
在今后的学习中会经常用到.
本题容易漏掉直线x=2,用直线的点斜式求方程时,一定要注意斜
率不存在的直线是否符合题意.
题型三
易错辨析
易错点:求点到直线的距离时直线方程没有化成一般式而致错
【例3】 点P(-1,4)到直线3x+4y=2的距离d=
.
错解:d=
|3×(-1)+4×4+2|
32 4 2
= 3. 故填3.
(4)直线方程Ax+By+C=0中A=0或B=0时,公式也成立,但由于直
线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可采用数形结合法求点到直线
的距离.
题型一
求点到直线的距离
【例1】 求点P0(-1,2)到下列直线的距离:
(1)2x+y-10=0;(2)x=2;(3)y-1=0.
解:(1)由点到直线的距离公式,知
d=
.
解析:d=
|2×1-(-5)-2|
2
22 +(-1)
答案: 5
= 5.
理解点到直线的距离公式
剖析:(1)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点间的最短距
离.
(2)公式的形式是:分母是直线方程Ax+By+C=0的x,y项系数平方和
的算术平方根,分子是用x0,y0替换直线方程中x,y所得实数的绝对值.
要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式
再用公式.例如求P0(x0,y0)到直线y=kx+b的距离,应先把直线方程化
为kx-y+b=0,得
d=
| 0 -0 +|
2 +1
.
(3)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用,故应
本题容易漏掉直线x=2,用直线的点斜式求方程时,一定要注意斜
率不存在的直线是否符合题意.
题型三
易错辨析
易错点:求点到直线的距离时直线方程没有化成一般式而致错
【例3】 点P(-1,4)到直线3x+4y=2的距离d=
.
错解:d=
|3×(-1)+4×4+2|
32 4 2
= 3. 故填3.
(4)直线方程Ax+By+C=0中A=0或B=0时,公式也成立,但由于直
线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可采用数形结合法求点到直线
的距离.
题型一
求点到直线的距离
【例1】 求点P0(-1,2)到下列直线的距离:
(1)2x+y-10=0;(2)x=2;(3)y-1=0.
解:(1)由点到直线的距离公式,知
d=
.
解析:d=
|2×1-(-5)-2|
2
22 +(-1)
答案: 5
= 5.
理解点到直线的距离公式
剖析:(1)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点间的最短距
离.
(2)公式的形式是:分母是直线方程Ax+By+C=0的x,y项系数平方和
的算术平方根,分子是用x0,y0替换直线方程中x,y所得实数的绝对值.
要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式
再用公式.例如求P0(x0,y0)到直线y=kx+b的距离,应先把直线方程化
为kx-y+b=0,得
d=
| 0 -0 +|
2 +1
.
(3)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用,故应
《点到直线的距离公式》示范公开课教学PPT课件【高中数学】
• “设而不求”和“整体代换”也是运算中十分常用的方法.
探究新知
问题3
向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线
的距离呢?
y
l
P
答案:
M(x,y)
如图，点到直线的距离|PQ|是点与直线上
所有点的距离中最短的.
Q
O
x
探究新知
追问1
点与直线上任一点所成向量与向量有何关系呢？
有什么特点?
答案:
“坐标法”是通过寻找所求量的坐
“向量法”抓住了点到直线距离是点与
标表示，再经过一系列运算最终得
直线上点的最短长度这一几何特征，借
到点到直线距离公式. 坐标法运算量
助投影向量、直线方向向量的概念，将
较大，所以我们还要寻求简化运算
向量用坐标表示，再运算求解.这种方法
的方法. 这里我们用到了设而不求，
体现了解析几何形与数、数与形的转化，
整体代换的手段.
技巧性强，但是大大降低了运算量.
探究新知
问题5
点到直线距离公式有什么结构特征？
答案:
• 公式的分子：保留直线方程一般式的结构，只是把P的坐标代入到了直线方
程中，体现了公式与直线方程关系.
• 特别地，如果P在直线上，点到直线的距离为0，此时，式子中的分子为0，整
解方程组：ቊ − = −
0
0
(1)
(2)
y
将 1 × + (2) × 得 2 + 2 + + 0 − 20.
整理得 =
P
l
20−0−
.
2 + 2
同理可得 =
−0+20−
探究新知
问题3
向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线
的距离呢?
y
l
P
答案:
M(x,y)
如图，点到直线的距离|PQ|是点与直线上
所有点的距离中最短的.
Q
O
x
探究新知
追问1
点与直线上任一点所成向量与向量有何关系呢？
有什么特点?
答案:
“坐标法”是通过寻找所求量的坐
“向量法”抓住了点到直线距离是点与
标表示，再经过一系列运算最终得
直线上点的最短长度这一几何特征，借
到点到直线距离公式. 坐标法运算量
助投影向量、直线方向向量的概念，将
较大，所以我们还要寻求简化运算
向量用坐标表示，再运算求解.这种方法
的方法. 这里我们用到了设而不求，
体现了解析几何形与数、数与形的转化，
整体代换的手段.
技巧性强，但是大大降低了运算量.
探究新知
问题5
点到直线距离公式有什么结构特征？
答案:
• 公式的分子：保留直线方程一般式的结构，只是把P的坐标代入到了直线方
程中，体现了公式与直线方程关系.
• 特别地，如果P在直线上，点到直线的距离为0，此时，式子中的分子为0，整
解方程组：ቊ − = −
0
0
(1)
(2)
y
将 1 × + (2) × 得 2 + 2 + + 0 − 20.
整理得 =
P
l
20−0−
.
2 + 2
同理可得 =
−0+20−
333 点到直线的距离公式PPT课件
点到直线的距离 平行线间的距离
1
当A=0或B=0时,直线方程为
y=y1或x=x1的形式.
y y=y1
o
P (x0,y0)
Q(x0,y1) x
y (x1,y0)
Q
P(x0,y0)
o
x
PQ y0 - y1
2
x=x1
PQ=x0 -x1
练习1 5
(1)点P(-1,2)到直线3x=2的距离是__3____. 4
A(1,2)
2
x-2y+5=0
5
-1
5
15
例5的变式练习 求过点A(-1,2)且与原点的距离等于3
A(1,2)
2
-3 -1
无解
3
16
练习3 如图，P（2,3），Q（3,2）直线l经过
点Q，且点P到直线l的距离最大，求直线l的方程 y
P
l
R
o
Q
x
x-y-1=0
17
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
10
练习2
14 53
1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是___5_3__;
2 13 2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是__1_3_.
注：用两平行线间距离公式须将方程中 x、y的系数化为 相等。
11
例4、过点P（1，2），且与点A（2，3） 和B（4，-5）距离相等的直线L的方程。
例题分析
例2:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求 ABC的
1
当A=0或B=0时,直线方程为
y=y1或x=x1的形式.
y y=y1
o
P (x0,y0)
Q(x0,y1) x
y (x1,y0)
Q
P(x0,y0)
o
x
PQ y0 - y1
2
x=x1
PQ=x0 -x1
练习1 5
(1)点P(-1,2)到直线3x=2的距离是__3____. 4
A(1,2)
2
x-2y+5=0
5
-1
5
15
例5的变式练习 求过点A(-1,2)且与原点的距离等于3
A(1,2)
2
-3 -1
无解
3
16
练习3 如图，P（2,3），Q（3,2）直线l经过
点Q，且点P到直线l的距离最大，求直线l的方程 y
P
l
R
o
Q
x
x-y-1=0
17
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
10
练习2
14 53
1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是___5_3__;
2 13 2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是__1_3_.
注：用两平行线间距离公式须将方程中 x、y的系数化为 相等。
11
例4、过点P（1，2），且与点A（2，3） 和B（4，-5）距离相等的直线L的方程。
例题分析
例2:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求 ABC的
点到直线的距离公式PPT课件
第4页/共11页
例1 求点P(1,2)到直线l：2x+y+1=0的距离。 解 由点到直线的距离公式，得
211 2 1
d
5,
22 12
所以点P(1,2)到直线l的距离为 5.
第5页/共11页
例2 若向量 =(2,3), 直角三角形，求k的值.
=(1,k), k∈ R，ΔABC为
分析：
C
y
B
以A为原点建立直角坐标系， 应该有四个解.AΒιβλιοθήκη x第6页/共11页
C
y
B
A
x
第7页/共11页
例3 求过点A(-1,2),且平行于向量a=(3,1)的直线方程.
分析：在所求直线上任取一点P,则 写出方程.
∥a ,利用向量平行的条件
解:设点P(x,y)是所求直线上的任意一点,则 =(x+1,y-2). ∥a
所求直线的方程为
第8页/共11页
练习 求过点P(1,-1),且与向量n=(4,-3)垂直的直线方程. 解:设点Q(x,y)是所求直线上的任意一点,则 =(x-1,y+1).
2利用直线的法向量用两向量垂直的充要条件可求直线方程
若M(x0y0)是平面上一定点,它到直线l:Ax+By+C=0的距离d为
d | Ax0 By0 C | A2 B2
试用向量方法给出简单的证明
第1页/共11页
证明 如图, M(x0,y0) 是直线外一定点,P(x,y)是直线上任意
一点,由直线l:Ax+By+C=0,可以取它的方向向量v=(B,-A). y
设n=(A,B),因为
n·v=(A,B) ·(B,-Aa)
=AB-BA=0
例1 求点P(1,2)到直线l：2x+y+1=0的距离。 解 由点到直线的距离公式，得
211 2 1
d
5,
22 12
所以点P(1,2)到直线l的距离为 5.
第5页/共11页
例2 若向量 =(2,3), 直角三角形，求k的值.
=(1,k), k∈ R，ΔABC为
分析：
C
y
B
以A为原点建立直角坐标系， 应该有四个解.AΒιβλιοθήκη x第6页/共11页
C
y
B
A
x
第7页/共11页
例3 求过点A(-1,2),且平行于向量a=(3,1)的直线方程.
分析：在所求直线上任取一点P,则 写出方程.
∥a ,利用向量平行的条件
解:设点P(x,y)是所求直线上的任意一点,则 =(x+1,y-2). ∥a
所求直线的方程为
第8页/共11页
练习 求过点P(1,-1),且与向量n=(4,-3)垂直的直线方程. 解:设点Q(x,y)是所求直线上的任意一点,则 =(x-1,y+1).
2利用直线的法向量用两向量垂直的充要条件可求直线方程
若M(x0y0)是平面上一定点,它到直线l:Ax+By+C=0的距离d为
d | Ax0 By0 C | A2 B2
试用向量方法给出简单的证明
第1页/共11页
证明 如图, M(x0,y0) 是直线外一定点,P(x,y)是直线上任意
一点,由直线l:Ax+By+C=0,可以取它的方向向量v=(B,-A). y
设n=(A,B),因为
n·v=(A,B) ·(B,-Aa)
=AB-BA=0
点到直线的距离公式教学课件
点到直线距离公式的几何意义点到直线距离公式的扩展点到直线距离公式的练习与习题总结与回顾
01
CHAPTER
引言
几何学是数学的一个重要分支，它研究的是空间中形状、大小和关系的问题。
点到直线的距离公式是几何学中的一个基本概念，它描述了点到直线最近的点的距离。
02
详细描述：基础练习题主要针对点到直线距离公式的理解和应用，包括给定点和直线，求点到直线的距离等基础题目。
03
总结词：公式应用
04
详细描述：通过基础练习题，学生可以掌握点到直线距离公式的应用，学会将实际问题转化为数学模型，提高解决实际问题的能力。
02
01
04
03
总结词：变形公式
详细描述：进阶练习题注重公式的综合应用，题目涉及的知识点较多，需要学生具备较强的数学思维和综合能力。
公式符号
公式定义
推导过程
点到直线的距离公式是通过利用向量叉积的性质和点到直线距离的几何意义推导得出的。
关键步骤
首先，将直线方程转化为参数方程形式，然后利用向量叉积的性质计算出点P到直线上的向量与直线的法向量的点积，最后通过几何意义得出点到直线的距离公式。
应用场景
点到直线的距离公式在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
具体应用举例
在解析几何中，可以用来计算点到直线的最短距离；在物理学中，可以用来计算点到直线的力场强度；在工程学中，可以用来计算点到直线的障碍物距离等。
03
CHAPTER
点到直线距离公式的几何意义
在二维平面内，直线是由无数个点组成的，这些点满足某个固定条件（如两点确定一条直线）。
直线
点
距离
在几何学中，点被视为最基本的图形元素，代表一个位置。
01
CHAPTER
引言
几何学是数学的一个重要分支，它研究的是空间中形状、大小和关系的问题。
点到直线的距离公式是几何学中的一个基本概念，它描述了点到直线最近的点的距离。
02
详细描述：基础练习题主要针对点到直线距离公式的理解和应用，包括给定点和直线，求点到直线的距离等基础题目。
03
总结词：公式应用
04
详细描述：通过基础练习题，学生可以掌握点到直线距离公式的应用，学会将实际问题转化为数学模型，提高解决实际问题的能力。
02
01
04
03
总结词：变形公式
详细描述：进阶练习题注重公式的综合应用，题目涉及的知识点较多，需要学生具备较强的数学思维和综合能力。
公式符号
公式定义
推导过程
点到直线的距离公式是通过利用向量叉积的性质和点到直线距离的几何意义推导得出的。
关键步骤
首先，将直线方程转化为参数方程形式，然后利用向量叉积的性质计算出点P到直线上的向量与直线的法向量的点积，最后通过几何意义得出点到直线的距离公式。
应用场景
点到直线的距离公式在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
具体应用举例
在解析几何中，可以用来计算点到直线的最短距离；在物理学中，可以用来计算点到直线的力场强度；在工程学中，可以用来计算点到直线的障碍物距离等。
03
CHAPTER
点到直线距离公式的几何意义
在二维平面内，直线是由无数个点组成的，这些点满足某个固定条件（如两点确定一条直线）。
直线
点
距离
在几何学中，点被视为最基本的图形元素，代表一个位置。
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交 直 线 l于 点 Ｍ （ ｘ 0 ， ｙ 1 ） , Ｎ （ ｘ 1 ， ｙ 0 ） ． y
P(x0, y0 )
·
M (x0 , y1) Q
N ( x1, y0 )
O
x
l
.
由 A x 1 B y 0 C 0 ,A x 0 B y 1 C 0 ,
y
得 x1ByA 0C,y1AxB 0C.
y
●p(3,5)
O
3x-4y-5=0
x
H
P ( 3 ,5 )
.
1．由PH⊥L，可知PH所在直线的斜率为 4
3
2．求出PH的方程即4x+3y-3=0.
3.由L和PH所在直线的方程 3x-4y-5=0，
4x+3y-3=0，
解得H点的坐标为
H 27 , 11 25 25
4．用两点间的距离公式，求出点P到L的距离
第2课时 点到直线的距离公式
.
工厂在公路的一侧，准备修一条水泥路和公路连接，请 问怎样修才能使工厂距离公路最近，请画出所修的路线. 你认为哪种方案最节省材料？你的理由是什么？
工厂
.
最短距离应是垂线段AB，所画的这条线段我们给它 起了一个名字，叫作——点到直线的距离！我们本 节课来研究它！
A 工厂
可得它的斜率是
A B
, 直线ＰＱ的方程是 yy0 BA(xx0),
即 B xA yB x 0A y 0,与AxByC0联立，解得
xB2x0A2ABB y02AC,yA2y0A2ABB x02BC
Q (B 2 x 0 A 2 A B B y 0 2 A C ,A 2 y 0 A 2 A B B x 0 2 B C )
Ax0 By0 C A2 B2 .
思路2：三角形的面积公式 一般地，对于直线
l : A x B y C 0 ( A 0 , B 0 ) 外 一 点 P ( x 0 ,y 0 ) ,
过 点 P 作 P Q l , 垂 足 为 Q , 过 点 P 分 别 作 y 轴 , x 轴 的 平 行 线 ,
|P Q |(x 0 B 2 x 0 A 2 A B B y 0 2 A C ) 2 (y 0 A 2 y 0 A 2 A B B x 0 2 B C ) 2
A 2(A (x A 0 2 B B y 2 0 ) 2C )2B 2(A (x A 0 2 B B y 2 0 ) 2C )2
PH 3272511234 25 25 5
.
如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l的垂线段PQ
的长度，其中Q是垂足.
y
P
l
Q
o
x
思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎样 求点P到直线l的距. 离?
当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式.
y
y=y1
.
|PQ|=|PMcos |
Py
1 Q
l 已知P(x0,y0),设M(x1,y1)
∵PM∥Oy，∴x1=x0 将M(x0,y1)代入l的方程得
M O
x
y1
Ax0 C B
PM y0y1
y0
Ax0 C B
Ax0 By0 C B
又 co 1sco s11 tg 21 1B A 2 2
B A 2B2
P(x0, y0 )
所 以 PNx1x0
Ax0By0C. A
M (x0 , y1)
Q
PMy1y0
Ax0By0C B
l
O
N ( x1, y0 ) x
PQ是RtΔPMN斜边上的高,由三角形面积可知
P M P N
P Q
P M P N A x 0 B y 0 C .
M N
P M 2P N 2
A 2 B 2
CF⊥AB于F.以BC所在直线为x F
P
轴，以BC的中垂线为y轴，建 B
立直角坐标系如图.
OC
x
E
.
设A(0,b),B（-a,0),C(a,0)(a>0,b>0),则直线AB
方程为bx-ay+ab=0,直线AC方程为bx+ay-ab=P到直线AB，AC的距离分别为
B
.
1.知道点到直线的距离公式的推导过程. （重点） 2.会利用点到直线的距离公式求点到直线的距离.
（难点）
.
思考1：如何计算点P(-3，5)到直线L:3x-4y-5=0的距
离呢？
提示：过点P作PH⊥L，垂足为 H，则点P到直线L的距离就是线 段PH的长．
通过求点H的坐标，用两点间 的距离公式求PH．
.
思路3：解直角三角形法
P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, AB≠0,倾斜角设为
Py
ll
yP
1
1
M O
Q
1=
x
Q
M
1=
-
x
O
过P作PM⊥x轴交l于M，构造直角△PQM
锐角1与倾斜角有何关系？|PQ|=|PMcos 1 |
如果l的倾斜角是钝角呢？ cos 1 =|cos |
怎样用|PM|表示|PQ|？
公式:
y
思路1：
直线 l的方程
P(x0, y0 )
垂线段法
直线 l的斜率
Q
O
l
l PQ
x
点P 的坐标 直线 P Q 的斜率
直线 l的方程
直线 P Q 的方程
交点
点 P 的坐标
点 Q的坐标
两点间距离公式
点 P , Q 之间的距离 P Q （ P 到l的距离） .
若直线不平行于坐标轴(即A ≠0且B≠0),由 AxByC0
PQ PM co sA0x B0y C
.
A2B2
由此我们得到，
点 P(x0, y0 ) 到直线 l:AxByC0的距离 d Ax0 By0 C . A2 B2
直线方程为 一般式
点到直线的距离公式
.
例1.(1)求原点到直线l1:5x-12y-9=0的距离； (2)求点P(-1,2)到直线l2:2x+y-10=0的距离 .分析：根据点到直线的距离公式求解．
.
【变式练习】
求下列点到直线的距离： (1)(0,0),3x-2y+4=0 (2)(2,-3),x=y
答案: (1) 4 1 3 (2)
52
13
2
.
例2.用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点
到两腰的距离之差等于一腰上的高.
y
证明：在△ABC中，AB=AC，
P为BC延长线上一点，
A
PD⊥AB于D，PE⊥AC于E， D
o
p(x0,y0)
Q(x0,y1)
x
y
Q(x1,y0) P(x0,y0)
o
x
PQ y0-y1
.
x=x1
PQ x0 -x1
练一练
5
(1)点P(-1,2)到直线3x=2的距离是___3 ___.
4 (2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是___3 ___.
.
下面设A≠0,B ≠0, 我们进一步探求点到直线的距离
P(x0, y0 )
·
M (x0 , y1) Q
N ( x1, y0 )
O
x
l
.
由 A x 1 B y 0 C 0 ,A x 0 B y 1 C 0 ,
y
得 x1ByA 0C,y1AxB 0C.
y
●p(3,5)
O
3x-4y-5=0
x
H
P ( 3 ,5 )
.
1．由PH⊥L，可知PH所在直线的斜率为 4
3
2．求出PH的方程即4x+3y-3=0.
3.由L和PH所在直线的方程 3x-4y-5=0，
4x+3y-3=0，
解得H点的坐标为
H 27 , 11 25 25
4．用两点间的距离公式，求出点P到L的距离
第2课时 点到直线的距离公式
.
工厂在公路的一侧，准备修一条水泥路和公路连接，请 问怎样修才能使工厂距离公路最近，请画出所修的路线. 你认为哪种方案最节省材料？你的理由是什么？
工厂
.
最短距离应是垂线段AB，所画的这条线段我们给它 起了一个名字，叫作——点到直线的距离！我们本 节课来研究它！
A 工厂
可得它的斜率是
A B
, 直线ＰＱ的方程是 yy0 BA(xx0),
即 B xA yB x 0A y 0,与AxByC0联立，解得
xB2x0A2ABB y02AC,yA2y0A2ABB x02BC
Q (B 2 x 0 A 2 A B B y 0 2 A C ,A 2 y 0 A 2 A B B x 0 2 B C )
Ax0 By0 C A2 B2 .
思路2：三角形的面积公式 一般地，对于直线
l : A x B y C 0 ( A 0 , B 0 ) 外 一 点 P ( x 0 ,y 0 ) ,
过 点 P 作 P Q l , 垂 足 为 Q , 过 点 P 分 别 作 y 轴 , x 轴 的 平 行 线 ,
|P Q |(x 0 B 2 x 0 A 2 A B B y 0 2 A C ) 2 (y 0 A 2 y 0 A 2 A B B x 0 2 B C ) 2
A 2(A (x A 0 2 B B y 2 0 ) 2C )2B 2(A (x A 0 2 B B y 2 0 ) 2C )2
PH 3272511234 25 25 5
.
如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l的垂线段PQ
的长度，其中Q是垂足.
y
P
l
Q
o
x
思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎样 求点P到直线l的距. 离?
当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式.
y
y=y1
.
|PQ|=|PMcos |
Py
1 Q
l 已知P(x0,y0),设M(x1,y1)
∵PM∥Oy，∴x1=x0 将M(x0,y1)代入l的方程得
M O
x
y1
Ax0 C B
PM y0y1
y0
Ax0 C B
Ax0 By0 C B
又 co 1sco s11 tg 21 1B A 2 2
B A 2B2
P(x0, y0 )
所 以 PNx1x0
Ax0By0C. A
M (x0 , y1)
Q
PMy1y0
Ax0By0C B
l
O
N ( x1, y0 ) x
PQ是RtΔPMN斜边上的高,由三角形面积可知
P M P N
P Q
P M P N A x 0 B y 0 C .
M N
P M 2P N 2
A 2 B 2
CF⊥AB于F.以BC所在直线为x F
P
轴，以BC的中垂线为y轴，建 B
立直角坐标系如图.
OC
x
E
.
设A(0,b),B（-a,0),C(a,0)(a>0,b>0),则直线AB
方程为bx-ay+ab=0,直线AC方程为bx+ay-ab=P到直线AB，AC的距离分别为
B
.
1.知道点到直线的距离公式的推导过程. （重点） 2.会利用点到直线的距离公式求点到直线的距离.
（难点）
.
思考1：如何计算点P(-3，5)到直线L:3x-4y-5=0的距
离呢？
提示：过点P作PH⊥L，垂足为 H，则点P到直线L的距离就是线 段PH的长．
通过求点H的坐标，用两点间 的距离公式求PH．
.
思路3：解直角三角形法
P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, AB≠0,倾斜角设为
Py
ll
yP
1
1
M O
Q
1=
x
Q
M
1=
-
x
O
过P作PM⊥x轴交l于M，构造直角△PQM
锐角1与倾斜角有何关系？|PQ|=|PMcos 1 |
如果l的倾斜角是钝角呢？ cos 1 =|cos |
怎样用|PM|表示|PQ|？
公式:
y
思路1：
直线 l的方程
P(x0, y0 )
垂线段法
直线 l的斜率
Q
O
l
l PQ
x
点P 的坐标 直线 P Q 的斜率
直线 l的方程
直线 P Q 的方程
交点
点 P 的坐标
点 Q的坐标
两点间距离公式
点 P , Q 之间的距离 P Q （ P 到l的距离） .
若直线不平行于坐标轴(即A ≠0且B≠0),由 AxByC0
PQ PM co sA0x B0y C
.
A2B2
由此我们得到，
点 P(x0, y0 ) 到直线 l:AxByC0的距离 d Ax0 By0 C . A2 B2
直线方程为 一般式
点到直线的距离公式
.
例1.(1)求原点到直线l1:5x-12y-9=0的距离； (2)求点P(-1,2)到直线l2:2x+y-10=0的距离 .分析：根据点到直线的距离公式求解．
.
【变式练习】
求下列点到直线的距离： (1)(0,0),3x-2y+4=0 (2)(2,-3),x=y
答案: (1) 4 1 3 (2)
52
13
2
.
例2.用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点
到两腰的距离之差等于一腰上的高.
y
证明：在△ABC中，AB=AC，
P为BC延长线上一点，
A
PD⊥AB于D，PE⊥AC于E， D
o
p(x0,y0)
Q(x0,y1)
x
y
Q(x1,y0) P(x0,y0)
o
x
PQ y0-y1
.
x=x1
PQ x0 -x1
练一练
5
(1)点P(-1,2)到直线3x=2的距离是___3 ___.
4 (2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是___3 ___.
.
下面设A≠0,B ≠0, 我们进一步探求点到直线的距离