全国优质课一等奖课件曲线与方程三个课时
合集下载
曲线与方程优秀课件公开课定稿.ppt
.精品课件.
1
(2)圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为?
y
.C
为什么?
x
圆C 平面内，到定点C(a,b)的距离等于定长r （x a)2 (y b)2 r2
曲线
条件
方程
得出关系：
（1）圆上点的坐标都是方程（x a)2 ( y b)2 r2 的解.
（2）以方程（x a)2 (y b)2 r2 的解为坐标的点都在圆上.
y
f(x,y)=0
❖ (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. ❖ 那么,这个方程f(x,y)=0叫做这条曲线C的方程0;
x
这条曲线C叫做这个方程f(x,y)=0的曲线. 解释：1.“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”
阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线 上所有的点都符合这个条件而毫无例外.
2.1.1曲线和方程
(1)第一、三象限里两轴间夹角平分线的方程是 ?
yl
为什么?
0x
第一、三象限角平分线 l 点的横坐标与纵坐标相等 x-y=0
曲线上的点
条件
方程的解
得出关系：
（1） l 上点的坐标都是方程x-y=0的解
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在l 上
∴说直线 l 的方程是 x y 0 ,又说方程 x y 0 的直线是 l .
解:(1)不正确，应为x=3,
(2)不正确,应为y=±1.
(3)正确.
(4)不正确,应为x=0(-3≤y≤0).
.精品课件.
6
练习2:下述方程表示的图形分别是下图 中的哪一个？
① x - y =0 ② |x|-|y|=0 ③ x-|y|=0
Y
Y
曲线与方程 课件(共35张PPT)
曲线与方程
最新考纲展示
1．了解方程的曲线与 曲线的方程的对应关系．
2.了解解析几何的基本 思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法．
3.能够根据所给条件选 择适当的方法求曲线的轨 迹方程．
一、曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方
程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
(2)证明：设 E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，
y＝k1x＋3，
由y92＋x2＝1
⇒(k21＋9)x2＋6k1x＝0，①
解得 x＝0 或 x＝－k216＋k19. 所以 xE＝－k216＋k19，yE＝k1－k216＋k19＋3＝2k721－＋39k21， ∴E－k126＋k19，2k721－＋39k21. ∵k1k2＝－9，∴k2＝－k91.用 k2＝－k91替代①中的 k1， 同理可得 Fk126＋k19，3kk2121－ ＋297. 显然 E，F 关于原点对称，∴直接 EF 必过原点 O.
曲线的交点问题(师生共研)
例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2，曲线 x2sin θ＋y2cos θ＝1 和 x2cos θ－y2sin θ＝1 有 4 个不同的交点．
(1)求θ的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围．
解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x ， y) 满 足 方 程 组 x2sin θ＋y2cos θ＝1， x2＝sin θ＋cos θ， x2cos θ－y2sin θ＝1， 即y2＝cos θ－sin θ.
D．以上答案都不对
(2)(2015年广州模拟)下列说法正确的是( )
A．△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方
最新考纲展示
1．了解方程的曲线与 曲线的方程的对应关系．
2.了解解析几何的基本 思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法．
3.能够根据所给条件选 择适当的方法求曲线的轨 迹方程．
一、曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方
程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
(2)证明：设 E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，
y＝k1x＋3，
由y92＋x2＝1
⇒(k21＋9)x2＋6k1x＝0，①
解得 x＝0 或 x＝－k216＋k19. 所以 xE＝－k216＋k19，yE＝k1－k216＋k19＋3＝2k721－＋39k21， ∴E－k126＋k19，2k721－＋39k21. ∵k1k2＝－9，∴k2＝－k91.用 k2＝－k91替代①中的 k1， 同理可得 Fk126＋k19，3kk2121－ ＋297. 显然 E，F 关于原点对称，∴直接 EF 必过原点 O.
曲线的交点问题(师生共研)
例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2，曲线 x2sin θ＋y2cos θ＝1 和 x2cos θ－y2sin θ＝1 有 4 个不同的交点．
(1)求θ的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围．
解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x ， y) 满 足 方 程 组 x2sin θ＋y2cos θ＝1， x2＝sin θ＋cos θ， x2cos θ－y2sin θ＝1， 即y2＝cos θ－sin θ.
D．以上答案都不对
(2)(2015年广州模拟)下列说法正确的是( )
A．△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方
全国优质课一等奖高中物理必修一《曲线运动》精美课件
C 迹可能是( )
[针对训练6].天车吊着货物正在沿水平方向向右匀速行 驶，同时天车上的起吊电动机吊着货物正在匀速上升，
C 则地面上的人观察到货物运动的轨迹是图( )
第五章 抛体运动
体育竞技中有大量的抛体运动,他们的轨迹是曲线
第1节 曲线运动
一、曲线运动
1.定义：运动轨迹是曲线的运动 思考：物体在
2.位移：表示各时刻的位置
不同时刻的位
y
置如何确定呢？
A
C
B
0
x
讨论:放手的位置不同,飞出去的方向相同吗?说明什么? 速度方向时刻改变, 如何确定各时刻的运动方向？
②合力必指向运动轨迹凹侧（内侧）
③F合与v成锐角加速曲线，成钝角减速曲 线，一直成直角速率不变。
a=0
匀速直线运动
F合（a） v共线
直线 运动 a≠0
a恒定 a变化
匀变速直线运动 变加速直线运动
F合（a） v不共线
曲线 运动
a恒定 a变化
匀变速曲线运动 变加速曲线运动
曲线运动的性质
[精典示例]
A 例1:关于运动的性质，以下说法中正确的是( )
第1节 曲线运动
一、曲线运动
二、曲线运动条件 1.条件：物体的F合(a)方向与v方向不在一条直线上。
思考1：做曲线运动的物体运动轨迹、速度方向与 其所受合力方向三者位置关系如何？
v1
G
Hale Waihona Puke v2VGF
G v3 物体运动轨迹夹在速度方向和合力方向之间
思考2：做曲线运动的物体运动轨迹弯曲方向与其 所受合力方向有什么关系呢？
[针对训练4].(对曲线运动条件的理解)质点在某一平面内 沿曲线由P运动到Q，如果用v、a、F分别表示质点运动 过程中的速度、加速度和受到的合力。则下列选项中可
[针对训练6].天车吊着货物正在沿水平方向向右匀速行 驶，同时天车上的起吊电动机吊着货物正在匀速上升，
C 则地面上的人观察到货物运动的轨迹是图( )
第五章 抛体运动
体育竞技中有大量的抛体运动,他们的轨迹是曲线
第1节 曲线运动
一、曲线运动
1.定义：运动轨迹是曲线的运动 思考：物体在
2.位移：表示各时刻的位置
不同时刻的位
y
置如何确定呢？
A
C
B
0
x
讨论:放手的位置不同,飞出去的方向相同吗?说明什么? 速度方向时刻改变, 如何确定各时刻的运动方向？
②合力必指向运动轨迹凹侧（内侧）
③F合与v成锐角加速曲线，成钝角减速曲 线，一直成直角速率不变。
a=0
匀速直线运动
F合（a） v共线
直线 运动 a≠0
a恒定 a变化
匀变速直线运动 变加速直线运动
F合（a） v不共线
曲线 运动
a恒定 a变化
匀变速曲线运动 变加速曲线运动
曲线运动的性质
[精典示例]
A 例1:关于运动的性质，以下说法中正确的是( )
第1节 曲线运动
一、曲线运动
二、曲线运动条件 1.条件：物体的F合(a)方向与v方向不在一条直线上。
思考1：做曲线运动的物体运动轨迹、速度方向与 其所受合力方向三者位置关系如何？
v1
G
Hale Waihona Puke v2VGF
G v3 物体运动轨迹夹在速度方向和合力方向之间
思考2：做曲线运动的物体运动轨迹弯曲方向与其 所受合力方向有什么关系呢？
[针对训练4].(对曲线运动条件的理解)质点在某一平面内 沿曲线由P运动到Q，如果用v、a、F分别表示质点运动 过程中的速度、加速度和受到的合力。则下列选项中可
高中数学课件-曲线与方程优秀课件公开课
RM
0Q
x
x0 y0 k, x0 y0 k
即(x0,y0)是方程xy= ±k的解.
（2）设点M1(x1,y1)是方程xy=±k的解.则 x1y1=±k，
即 x1 y1 k.
无解不是点
而 x1 , y1 正是点M1到纵轴，横轴的距离，因此点M1到
这两条直线的距离的积是常数k,点M1是曲线的点.
4.查漏除杂，作答
第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研 究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但 这种方法有一般性.
求曲线的方程可以这样一般地尝试,注意其中的步骤:
求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:
√ √ 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点 M 的坐标 (x, y) ;
由(1）（2)可知，满足条件的点的轨迹方程是xy=±k.
例2 :判断下列命题是否正确 (1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程 为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方 程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)， D为BC中点，则中线AD的方程x=0
练习3:设圆M的方程为(x 3)2 ( y 2)2 2 ,直线l 的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( C )
A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上； C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上
练习4:已知方程 mx 2 ny2 4 0 的曲线经过 点 A(1,2), B(2,1) ,则 m =__4___, n =___4___.
2.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”
曲线与方程Ⅲ公开课一等奖课件省赛课获奖课件
ex5．已知直线方程为x y a 0，圆的 方程为x2 y 2 9，问a为何值时， 直线被圆截得的线段长为2 5？
解： 圆心O(0，0)，r 3
y
圆心到直线的距离
弦心距d a
C
2
RtACO中，a 2 5 9
O
A
x
2
a 2 2
二、求直线被二次曲线截得的弦长
1、 运用弦长公式求弦长 弦长公式：AB (1 k 2 )(x1 x2 )2
ex2．求曲线C1：x2 y2 5与曲线C2： xy 2的交点坐标．
(三)鉴别直线与曲线的交点的个数
判别两曲线的交点个数，只要判别方程组
F1 (x, F2 (x,
y) y)
0 解的个数 0
例2．已知抛物线的方程是y x 2，当b为何值时，
直线y 2x b与抛物线有两个不同的交点？
两个相同的交点(一个交点) ? 没有交点？
y) y)
0 解的个数 0
例1．已知曲线C的方程是4x3 y 0，直线
l的方程是y x 0，求直线l与曲线
C的交点坐标．
交点(0,0)或(1 , 1)或( 1 , 1) 22 2 2
阐明：求交点要写成坐标形式．
ex1．求曲线C1：y2 x3 0与曲线C2： y 2 x 0的交点坐标．
解：x 2
4y2
1
(4k 2
1)x2
8kx 3
0
y kx 1
(8k)2 4(4k 2 1) 3 0
4k 2 3 k 3
当k
3
2
时，直线与曲线只有一个交点
2
ex4．当a为何值时，直线y ax 1与曲线
y 2 2x恰有一个交点?
解： y 2 y
高中数学曲线与方程公开课精品课件(2024)
对称性
$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$ ( 其中 $a > b > 0$，$a$ 和 $b$ 分别为椭 圆的长半轴和短半轴)
椭圆关于 $x$ 轴和 $y$ 轴对称。
焦点性质
离心率
椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于 长轴长。
$e = frac{c}{a}$，其中 $c$ 为焦距，$e$ 的取值范围为 $0 < e < 1$。
。
解答题解析
选取高考中涉及曲线与方程的典 型解答题，进行详细解析和讲解 ，并给出相应的解题思路和技巧
点到直线距离公式 设点$P(x_0, y_0)$到直线$Ax + By + C = 0$的距离为d，则$d = frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{sqrt{A^2 + B^2}}$。
9
典型例题解析
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
例题1
求过点$P(2,3)$且与直 线$3x - 4y + 5 = 0$ 平行的直线方程。
2024/1/26
10
03
圆与方程
2024/1/26
11
圆的标准方程
定义
平面上到一个定点F的距离等于定 长r（r>0）的点的集合叫做圆， 定点F叫做圆心，定长r叫做圆的
半径。
2024/1/26
标准方程
(x - a)² + (y - b)² = r² ，圆心O（ a，b），半径r。
方程特点
圆的标准方程是一个关于x和y的二 次方程，其左边是一个完全平方的 形式，右边是半径的平方。
多媒体辅助教学法
曲线和方程省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
第4页
学情是教师组织教学依据
以前，学生已知，在建立了直角坐标系后， 平面内点和有序实数对之间建立了一一对应关系， 已经有了用方程（有时以函数式形式出现）表示 曲线感性认识（尤其是二元一次方程表示直线）， 现在要深入研究平面内曲线和含有两个变数方程 之间关系，是由直观表象上升到抽象概念过程， 对学生有相当大难度。学生在学习时轻易产生问 题是，不了解“曲线上点坐标都是方程解”和 “以这个方程解为坐标点都是曲线上点”这两句 话在揭示“曲线和方程”关系时各自所起作用。 本节课教学目标也只能是初步领会，要求学生能 答出曲线和方程间必须满足两个关系时才能称作 “曲线方程”和“方程曲线”，二者缺一不可， 并能借助实例指出两个关系区分.
第8页
教学过程
• 1.创设情境，复习导入 • 2.新课学习 • 3.知识应用 • 4.课堂练习 • 5.课堂小结 • 6.布置作业
第9页
1、创设情境，复习导入——以旧带新，提出 问题
画出方程x–y = 0表示直线
1、直线上点坐标都是方程解； 2、以这个方程解为坐标点都在直线上。 即：直线上全部点集合与方程解集合之间建立了一一对应关系。 也即：
第6页
教学难点突 破
怎样利用定义验证曲线是方程 曲线，方程是曲线方程是本节难 点.因为学生在作业中轻易犯想当 然错误，通常在由已知曲线建立 方程时候，不验证方程解为坐标 点在曲线上，就断然得出所求是 曲线方程.这种现象在高考中也屡 见不鲜.
第7页
教学法分析
新课程强调教师要调整自己角色，改变 传统教育方式，教师要由传统意义上知识传 授者和学生管理者，转变为学生发展促进者 和帮助者，简单教书匠转变为实践研究者， 或研究实践者，在教育方式上，也要表达出 以人为本，以学生为中心，让学生真正成为 学习主人而不是知识奴隶，基于此，本节课 遵照了概念学习四个基本步骤，重点采取了 问题探究和启发式相结合教学方法。
曲线和方程第三课时PPT优选课件
六 K P B ta P n ) B t (a P X n A 4 ( )5
1tan (PA)X 1 KP A 1tan (PA)X 1KPA
y 设点P(x, y)
P
X2+(y-1)2=2 (y>0)
Ao B x
2020/10/18
堂堂清－－自主 合作 交流 16
练 习
已知：圆x2+y2=4,过点A(4,0)作圆的割 线ABC,求弦BC的中点P的轨迹方程？
分析：P设 (x, y)
几何条件不易求出
P关于 (1,2的) 对称点坐( 标，是)
在 在 xy2 yx23 2x上 上 5
4(2 y =x(x 2)2x y)3(24( 2yx)2 ) 25
2020/10/18
堂堂清－－自主 合作 交流 5
已知定 A(点 4和 ,0)圆 x2y24上动B， 点 点P分AB 之比2： 1为 ，求 P的轨迹方
参数法
2020/10/18
堂堂清－－自主 合作 交流 10
过P点 1(1作 ,5)直x轴 线于 交 A ， 点 过 P2(2 点 作 ,7)
直P线 1A 的垂线 y轴。 于 B， 交 点 M 点 在线 A上 B 段，
. 且 BM 1 2M。 A求M 动 的点 轨迹P。 2(2,7)
参数法
.. B P1(1,5)
研究作业：
1.证明曲线曲线y=x2关于y =x的对称图形 的方程是y2=x
2.证明曲线y=x3x关于点(1,2)的对称曲线 的方程是4 y=(2x)3 (2x)
2020/10/18
堂堂清－－自主 合作 交流 22
2020/10/18
堂堂清－－自主 合作 交流 23
谢谢您的聆听与观看
1tan (PA)X 1 KP A 1tan (PA)X 1KPA
y 设点P(x, y)
P
X2+(y-1)2=2 (y>0)
Ao B x
2020/10/18
堂堂清－－自主 合作 交流 16
练 习
已知：圆x2+y2=4,过点A(4,0)作圆的割 线ABC,求弦BC的中点P的轨迹方程？
分析：P设 (x, y)
几何条件不易求出
P关于 (1,2的) 对称点坐( 标，是)
在 在 xy2 yx23 2x上 上 5
4(2 y =x(x 2)2x y)3(24( 2yx)2 ) 25
2020/10/18
堂堂清－－自主 合作 交流 5
已知定 A(点 4和 ,0)圆 x2y24上动B， 点 点P分AB 之比2： 1为 ，求 P的轨迹方
参数法
2020/10/18
堂堂清－－自主 合作 交流 10
过P点 1(1作 ,5)直x轴 线于 交 A ， 点 过 P2(2 点 作 ,7)
直P线 1A 的垂线 y轴。 于 B， 交 点 M 点 在线 A上 B 段，
. 且 BM 1 2M。 A求M 动 的点 轨迹P。 2(2,7)
参数法
.. B P1(1,5)
研究作业：
1.证明曲线曲线y=x2关于y =x的对称图形 的方程是y2=x
2.证明曲线y=x3x关于点(1,2)的对称曲线 的方程是4 y=(2x)3 (2x)
2020/10/18
堂堂清－－自主 合作 交流 22
2020/10/18
堂堂清－－自主 合作 交流 23
谢谢您的聆听与观看
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
为___(_x___a_)_2___( _y__b__)2___r_2__.
为什么? 全国优质课一等奖课件曲线与方程 三个课时
思考?
坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0
如果点 ( x 0 , y 0 ) 是这条直线上的任点，则 x 0 y 0 ，那么它的坐标
( x 0 , y 0 ) 是方程x-y=0的解； 反之，如果 ( x 0 , y 0 ) x 是方程x-y=0的解，即 0 y 0 ， 那么以这个解
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程
为x+ y =0;
不是
(3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴，y轴的距
离乘积为1的点集其方程为y= 。 是
y
y
y
1
1
1
-1 0
x 1
x
-2 -1 0 1 2
x
-2 -1 0 1 2
⑴
⑵ 全国优质课一等奖课件曲线与方程
⑶
三个课时
练习2:下述方程表示的图形分别是下图 中的哪一个？
A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲 线C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全 部
全国优质课一等奖课件曲线与方程 三个课时
因为点 M 与 x 轴的距离为 y 0 , 与 y 轴的距离为 x 0 , 所以 x 0 • y 0 k ,即 ( x 0 , y 0 ) 是方程 xy k 的解。
y
M
o
x
全国优质课一等奖课件曲线与方程 三个课时
(2)设M 点 1的坐 (x1,标 y1)是方 xy程 k的解 即 x1y1k,即 x1•y1k
而x1, y1正是点M1到纵轴、横轴的距离， 因此点M1到两条直线的距离的 是积 常数k, 点M1是曲线上的点。 由(1),(2)可知， xyk是与两条坐标轴。 的 的积为常k(k数0)的点的轨迹方程。
全国优质课一等奖课件曲线与方程 三个课时
归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设 M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线.
y
f(x,y)=0
说明:
0
x
1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反全映国优质的课一是等奖数课件量曲线与关方程系所表示的图形.
三个课时
2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” ,
① x - y =0 ② |x|-|y|=0 ③ x-|y|=0
Y
Y
1
1
Y
Y
1
1
O
1X
A
O
1 X -1 O
1X O
1X
-1 -1
B
C
D
①表示 B ②表示 C ③表示 D
全国优质课一等奖课件曲线与方程 三个课时
练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程
f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( D)
(xa)2(yb)2r2
全国优质课一等奖课件曲线与方程 三个课时
思考? 圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:
(xa)2(yb)2r2
（2）方程 (xa)2(yb)2r2表示如图的圆
图像上的点M与此方程 (xa)2(yb)2r2 有什么关系？
y
··M
满足关系：
0
x
（1）如果 M (x0 , y0 )是圆上的点，那么 M (x0 , y0 ) 一定是这个方程的解
2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
全国优质课一等奖课件曲线与方程 三个课时
复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程
为_____y___k_x___b
2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的
直线方程是___x__-
解:(1)不正确，，应为x=3,
(2)不正确, 应为y=±1.
(3)正确.
(4)不正确, 应为x=0(-3≤y≤0). 全国优质课一等奖课件曲线与方程 三个课时
例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k.
证明： (1)如图，设 M ( x 0 , y 0 ) 是轨迹上的任意一点，
第二步，设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明 点 M (x0,y0)在曲线C上.
全国优质课一等奖课件曲线与方程 三个课时
练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是 所列出的方程吗？为什么？
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折
线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是
在曲线C 上的 充要条件 是 f(x0, y0)=0
全国优质课一等奖课件曲线与方程 三个课时
例1 :判断下列命题是否正确 (1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程 为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方 程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)， D为BC中点，则中线AD的方程x=0
为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条直线上。
y
l x-y=0
含有关系：
（1） l上点的坐标都是方程x-y=0的解
0x
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都
在 l上
∴说直线 l 的方程是 x y 0 ,又说方程 x y 0 的直线是 l .
全国优质课一等奖课件曲线与方程 三个课时
圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:
（2）如果 M (x0 , y0 )是方程(xa)2(yb)2r2 的解，那么以它为坐
标的点一定在圆上。
全国优质课一等奖课件曲线与方程 三个课时
定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看
作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下 的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是
说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.
（点不比解多）
（纯粹性）.
3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”, 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.
（解不比点多）
（完备性）.
由曲线的方程的定义可知:
如果曲线C的方程是 f(x,y)=0，那么点P0(x0 ,y0)
为什么? 全国优质课一等奖课件曲线与方程 三个课时
思考?
坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0
如果点 ( x 0 , y 0 ) 是这条直线上的任点，则 x 0 y 0 ，那么它的坐标
( x 0 , y 0 ) 是方程x-y=0的解； 反之，如果 ( x 0 , y 0 ) x 是方程x-y=0的解，即 0 y 0 ， 那么以这个解
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程
为x+ y =0;
不是
(3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴，y轴的距
离乘积为1的点集其方程为y= 。 是
y
y
y
1
1
1
-1 0
x 1
x
-2 -1 0 1 2
x
-2 -1 0 1 2
⑴
⑵ 全国优质课一等奖课件曲线与方程
⑶
三个课时
练习2:下述方程表示的图形分别是下图 中的哪一个？
A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲 线C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全 部
全国优质课一等奖课件曲线与方程 三个课时
因为点 M 与 x 轴的距离为 y 0 , 与 y 轴的距离为 x 0 , 所以 x 0 • y 0 k ,即 ( x 0 , y 0 ) 是方程 xy k 的解。
y
M
o
x
全国优质课一等奖课件曲线与方程 三个课时
(2)设M 点 1的坐 (x1,标 y1)是方 xy程 k的解 即 x1y1k,即 x1•y1k
而x1, y1正是点M1到纵轴、横轴的距离， 因此点M1到两条直线的距离的 是积 常数k, 点M1是曲线上的点。 由(1),(2)可知， xyk是与两条坐标轴。 的 的积为常k(k数0)的点的轨迹方程。
全国优质课一等奖课件曲线与方程 三个课时
归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设 M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线.
y
f(x,y)=0
说明:
0
x
1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反全映国优质的课一是等奖数课件量曲线与关方程系所表示的图形.
三个课时
2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” ,
① x - y =0 ② |x|-|y|=0 ③ x-|y|=0
Y
Y
1
1
Y
Y
1
1
O
1X
A
O
1 X -1 O
1X O
1X
-1 -1
B
C
D
①表示 B ②表示 C ③表示 D
全国优质课一等奖课件曲线与方程 三个课时
练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程
f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( D)
(xa)2(yb)2r2
全国优质课一等奖课件曲线与方程 三个课时
思考? 圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:
(xa)2(yb)2r2
（2）方程 (xa)2(yb)2r2表示如图的圆
图像上的点M与此方程 (xa)2(yb)2r2 有什么关系？
y
··M
满足关系：
0
x
（1）如果 M (x0 , y0 )是圆上的点，那么 M (x0 , y0 ) 一定是这个方程的解
2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
全国优质课一等奖课件曲线与方程 三个课时
复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程
为_____y___k_x___b
2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的
直线方程是___x__-
解:(1)不正确，，应为x=3,
(2)不正确, 应为y=±1.
(3)正确.
(4)不正确, 应为x=0(-3≤y≤0). 全国优质课一等奖课件曲线与方程 三个课时
例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k.
证明： (1)如图，设 M ( x 0 , y 0 ) 是轨迹上的任意一点，
第二步，设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明 点 M (x0,y0)在曲线C上.
全国优质课一等奖课件曲线与方程 三个课时
练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是 所列出的方程吗？为什么？
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折
线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是
在曲线C 上的 充要条件 是 f(x0, y0)=0
全国优质课一等奖课件曲线与方程 三个课时
例1 :判断下列命题是否正确 (1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程 为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方 程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)， D为BC中点，则中线AD的方程x=0
为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条直线上。
y
l x-y=0
含有关系：
（1） l上点的坐标都是方程x-y=0的解
0x
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都
在 l上
∴说直线 l 的方程是 x y 0 ,又说方程 x y 0 的直线是 l .
全国优质课一等奖课件曲线与方程 三个课时
圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:
（2）如果 M (x0 , y0 )是方程(xa)2(yb)2r2 的解，那么以它为坐
标的点一定在圆上。
全国优质课一等奖课件曲线与方程 三个课时
定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看
作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下 的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是
说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.
（点不比解多）
（纯粹性）.
3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”, 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.
（解不比点多）
（完备性）.
由曲线的方程的定义可知:
如果曲线C的方程是 f(x,y)=0，那么点P0(x0 ,y0)