初一数学三线八角与平行线
2021年初中数学人教版特色小组课程：第2讲：三线八角定平行——平行线及其判定《讲义教师版》
第2讲三线八角定平行——平行线及其判定学习目标1.理解三线八角的意义，掌握平行公理及其推论；2.掌握平行线的判定方法入门测单选题练习1.三条直线a、b、c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是（）.A．a⊥b B．a∥bC．a⊥b或a∥b D．无法确定【答案】B【解析】题干解析:解：由于直线a、b都与直线c平行，依据平行公理的推论，可推出a∥b．故选B．练习2.（2021春∙封开县期末）如图，已知∠2=110°，要使a∥b，则须具备另一个条件（）A．∠3=70°B．∠3=110°C．∠4=70°D．∠1=70°【解析】题干解析:当∠3=70°，∠2=110°时，∠2+∠3=180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行），填空题练习1.下列说法中：（1）在同一平面内，经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）两个相等的角是对顶角；（3）一个锐角的补角一定比这个角的余角大90°；（4）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；（5）三条直线两两相交，一定有三个交点．正确的说法是．（填入你认为正确的说法的序号）【答案】（3）、（4）【解析】题干解析:解：（1）在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故（1）错误；（2）对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，故（2）错误；（3）一个锐角的补角一定比这个角的余角大90°，故（3）正确；（4）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故（4）正确；（5）三条直线两两相交，有三个交点或一个交点，故（5）错误；故答案为：（3），（4）．练习2.如图，共有___组平行线段．【答案】9【解析】题干解析:图中的平行线段有AD∥EF；BD∥EF；DE∥FB；DE∥FC；DF∥AE；DF∥EC；DE∥BC；DF∥AC；EF∥AB．共有9对．解答题练习1.我们已经掌握“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”这一判定两直线平行的方法．如图，已知直线AB和直线外一点C，请按照上述方法利用三角尺过点C画AB的平行线．（保留作图痕迹，不用写作法）．【答案】解：如图所示：EF为所求作的图形．【解析】题干解析:利用直角三角板过点C作CD⊥AB，再利用直角三角板过点C作EF⊥CD．情景导入中国最早的风筝据说是有古代哲学家墨翟制作的，风筝的骨架构成了多种关系的角。
苏教版七年级下册数学知识点总结
第七章 平面图形的认识（二）一、知识点：1、“三线八角”① 如何由线找角：一看线，二看型。
同位角是“F ”型；内错角是“Z ”型；同旁内角是“U ”型。
② 如何由角找线：组成角的三条线中的公共直线就是截线。
2、平行公理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
简述：平行于同一条直线的两条直线平行。
补充定理：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也平行。
简述：垂直于同一条直线的两条直线平行。
34、图形平移的性质：图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行（或在同一直线上）并且相等。
5、三角形三边之间的关系：三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边。
若三角形的三边分别为a 、b 、c ，则b a c b a +<<-6、三角形中的主要线段：三角形的高、角平分线、中线。
注意：①三角形的高、角平分线、中线都是线段。
②高、角平分线、中线的应用。
7、三角形的内角和：三角形的3个内角的和等于180°；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。
8、多边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）•180°；任意多边形的外角和等于360°。
第八章幂的运算幂（power）指乘方运算的结果。
a n指将a自乘n次(n个a相乘）。
把a n看作乘方的结果，叫做a的n次幂。
对于任意底数a,b，当ｍ，ｎ为正整数时，有:aｍ•a n=a m+n (同底数幂相乘,底数不变,指数相加)aｍ÷a n=a m-n (同底数幂相除,底数不变,指数相减)(aｍ)n=a mn (幂的乘方,底数不变,指数相乘)(ab)n=a n a n (积的乘方,把积的每一个因式乘方,再把所得的幂相乘)a0=1(a≠0) (任何不等于0的数的0次幂等于1)a-n=1/a n (a≠0) (任何不等于0 的数的-n次幂等于这个数的n次幂的倒数)科学记数法:把一个绝对值大于10(或者小于1)的整数记为a×10n的形式(其中1≤|a|＜10),这种记数法叫做科学记数法.复习知识点：1.乘方的概念:a中，a 叫做底数，求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
(完整版)平行线与三线八角
平行线与三线八角平行线在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。
如图，直线a与直线b互相平行，记作“a ∥b”。
念为a平行于b。
1.根据所学的知识，在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有几种呢？两种：平行或相交。
2.利用直尺和三角板画已知直线的平行线。
（1）工具：直尺、三角板（2）方法：一“落”把三角尺一边落在已知直线上；二“靠”用直尺紧靠三角尺的另一边；三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；四“画”沿三角尺过已知点的边画直线。
例1：请你根据上述方法练习画平行线：已知:直线a ，,点B,，点C.（1）过点B画直线a的平行线,能画几条?（2）过点C画直线a的平行线,它与过点B且与直线a平行线的直线平行吗?思考：上图中，①过点B画直线a的平行线，能画条；②过点C画直线a的平行线，能画条；③你画的两条直线有什么位置关系？。
练习：1.在同一平面内,一条直线和两条平行线中的一条直线相交,那么这条直线与平行线中的另一条必__________.cba 2.两条直线相交,交点的个数是______,两条直线平行,交点的个数是_____个. 3.在同一平面内，与已知直线L 平行的直线有 条，而经过L 外一点，与已知直线L 平行的直线有且只有 条。
平行公理及推论①公理内容： 。
②比较平行公理和垂线的第一条性质：共同点:都是“有且只有一条直线”,这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的.不同点:平行公理中所过的“一点”要在已知直线外, 垂线性质中对“一点”没有限制,可在直线上,也可在直线外.例2、下列命题：（1）长方形的对边所在的直线平行； （2）经过一点可作一条直线与已知直线平行；（3）在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交； (4)经过一点可作一条直线与已知直线垂直． 其中正确的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．43、推论： 。
①符号语言：∵b∥a，c∥a（已知） ∴b∥c（如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行）例3、（1）下列推理正确的是 （ ）A 、因为a//d, b//c,所以c//dB 、因为a//c, b//d,所以c//dC 、因为a//b, a//c,所以b//cD 、因为a//b, d//c,所以a//c （2）在同一平面内有三条直线,若其中有两条且只有两条直线平行,则它们交点的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.3个 （3）下列说法正确的有( ) ①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种; ③若线段AB 与CD 没有交点,则AB ∥CD; ④若a ∥b,b ∥c,则a 与c 不相交.A.1个B.2个C.3个D.4个1.平行公理是：经过一点，一条直线与这条直线平行.2.在同一平面内，两条不重合直线的位置关系有和两种.3.因为AB∥CD，CD∥EF，所以∥ . 推理理由( ).4.判断下列语句：(1)过两条平行线AB、CD外一点P，作一条直线MN，使MN∥AB，且MN∥CD；(2)过两条平行线AB、CD外一点P，作直线MN，使MN∥AB，∵AB∥CD，∴M N∥CD；(3)过两条平行线AB、CD外一点P，作一条直线EF，使EF⊥AB，且EF⊥CD；(4)过两条平行线AB、CD外一点P，作一条直线EF，使EF⊥AB，∵AB∥CD，∴EF⊥CD.其中，正确的是( )A.(1)(2)B.(3)(4)C.(1)(3)D.(2)(4)三线八角提问： 1两条直线相交后产生了几个角?每两个角之间的关系是什么?2三条直线之间也可以有什么样的位置关系?三线八角的意义(2)内错角(3)同旁内例4、如图1，直线a、b被直线c所截，∠1和∠2是，∠3和∠4是，∠3和∠2是。
【七年级寒假班讲义】第6讲 三线八角及平行线的判定(教师版)
初一数学寒假班（教师版）- 1 -- 2 -同位角、内错角、同旁内角(三线八角) 若直线a ，b 被直线l 所截：（1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做 同位角．（如15∠∠和）（2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角 叫做内错角．（如35∠∠和）（3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的 一对角互为同旁内角．（如36∠∠和） 注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系．知识结构三线八角及平行线的判定模块一：三线八角的意义知识精讲1 2 3 4 5 6 7 8- 3 -【例1】填空【例1】如图，∠2与∠3是_______角．∠2与∠4是_______角． ∠2与∠5是_______角． ∠1与∠5是_______角． ∠3与∠5是_______角． ∠3与∠7是_______角． ∠3与∠8是_______角．∠2与∠8是_______角．【难度】★【答案】邻补角、对顶角、同旁内角、同位角、内错角、同位角、同旁内角、内错角． 【解析】考查线八角的角的概念． 【总结】考查三线八角的本概念．【例2】填空(1)∠B 和∠1是两条直线________和_______被第三条直线_______所截构成的_______角． (2)∠ACB 与∠7是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角． (3)∠3与∠5是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角． (4)∠3与∠B 是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角． (5)∠2与∠7是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角． 【难度】★【答案】（1）BC 、DE 、AB 、同位角；（2）BC 、DE 、AC 、同位角；（3）BA 、CA 、DC 、内错角； （4）DC 、BC 、BA 、同旁内角； （5）DC 、AC 、DE 、内错角． 【解析】考查线八角的角的概念． 【总结】考查三线八角的本概念．【例3】如图，同旁内角有()对． A ．4对 B ．3对C ．2对D ．1对【难度】★ 【答案】B【解析】任意两个角都互为同旁内角，共3对．例题解析1234 8 765 7612354ABCDE- 4 - 【总结】考查同旁内角的概念．【例4】如图，同位角共有()对． A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【难度】★【答案】B【解析】同位角像F 形，由F 形找同位角． 【总结】考查同位角的概念．【例5】如图，是同位角关系的是()．A ．∠3和∠4B ．∠1和∠4C ．∠2和∠4D ．不存在【难度】★【答案】B【解析】A 是内错角；B 内错角；C 同旁内角． 【总结】考查同位角的概念．【例6】如图，内错角共有()对． A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【难度】★★【答案】D【解析】∠EDB 与∠DBC 、∠EDB 与∠DBA 、 ∠FDB 与∠DBC 、∠FDB 与∠DBA ，共4对 【总结】考查内错角的概念．【例7】如图，同旁内角共有()对． A ．10对B ．8对C ．6对D ．4对【难度】★★【答案】C【解析】四边形内有4组，四边形上方和右边各有一组， 共6组．【总结】考查同旁内角的判定．【例8】如图，∠1与∠2是两条直线____和____被第三条直线______所截构成的_____角．∠3与∠4是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角．【难度】★★【答案】AD 、BC 、AC 、内错角；AB 、CD 、AC 、内错角． 【解析】内错角像字母Z ．【总结】考查内错角的特点及判定．2341 ABC EFD A BCEFD1432ABCD- 5 -【例9】 如图，∠C 的同位角有_____________________，同旁内角是____________________，∠1与∠2是___________角．直线AB 和CD 被AD 所截，∠A 的内错角是___________，∠A 与∠ADC 是_______角． 【难度】★★【答案】∠ADE 、∠BDE ；∠ABC 、∠DBC 、∠ADC 、∠BDC ； 内错角；∠ADE ；同旁内角．【解析】同位角像字母F ，内错角像字母Z ，同旁内角像字母U ． 【总结】考查基本角的特点．【例10】如图，∠1的同位角是∠______，∠1的内错角是∠______，∠1的同旁内角是∠_____， ∠1的对顶角是∠______，∠1的邻补角是∠______．【难度】★★★【答案】∠DEB 、∠EBH ；∠AEF 、∠IBF ；∠BEF 、∠EBF ； ∠CFG ；∠CFD 、∠GFH ．【解析】同位角像字母F ，内错角像字母Z ，同旁内角像字母U ， 找的时候要注意找全． 【总结】考查基本角的特点及概念．【例11】 如图，DC 垂直于AE ，已知∠DCE 的同位角是它的一半，∠B =2∠ACB ，试判断△ABC 的形状．【难度】★★★【答案】等腰直角三角形．【解析】∵DC ⊥AE ，∴∠DCE =90°∠DCE 的同位角是∠BAC ，由题已知∠BAC =45°， ∴∠B +∠ACB =180°-45°=135°又∵∠B =2∠ACB ∴∠B =90°，∠ACB =45° ∴△ABC 为等腰直角三角形 【总结】考查同位角的概念及三角形的类型判定．1、平行线的定义同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．知识精讲模块二：平行线的意义和性质ABCDE12AB DE FCG1H IABC DE2、平行线的基本性质（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；（2）平行线之间的距离处处相等；（3）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）．（4）同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．（5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离，平行线间的距离处处相等．例题解析【例12】已知直线a//b，b//c，那么a________c．【难度】★【答案】平行【解析】平行于同一条直线的两直线平行．【总结】考查平行线的传递性．【例13】a、b、c是直线，且a//b，b⊥c，则a与c的位置关系是________．【难度】★【答案】垂直【解析】∵a∥b，b⊥c，∴a⊥c．【总结】考查直线的位置关系．【例14】下列说法中，正确的是（）．A．两直线不相交则平行B．两直线不平行则相交C．若两线段平行，那么它们不相交D．两条线段不相交，那么它们平行【难度】★【答案】C【解析】两条直线还可能重合，所以A、B错；D错误．【总结】考查同一平面内线段、直线的位置关系．【例15】在同一平面内，有三条直线，其中只有两条是平行的，那么交点有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个【难度】★【答案】C【解析】第三条直线与这两条直线都相交，所以有两个交点．【总结】考查直线的位置关系及交点个数．- 6 -- 7 -【例16】下列说法中，错误的有（）．①若a 与c 相交，b 与c 相交，则a 与b 相交； ②若a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种 A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【难度】★★【答案】A【解析】①a 与b 可能平行，错误；②平行线的传递性，正确；③这个点必须不在已知直线 上，错误；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，错误． 【总结】考查同一平面内两直线的位置关系．【例17】如图，按要求画平行线．（1）过P 点画AB 的平行线EF ； （2）过P 点画CD 的平行线MN ． 【难度】★★ 【答案】如右图． 【解析】如右图．【总结】考查基本的作图能力．【例18】如图，点A ，B 分别在直线1l ，2l 上， （1）过点A 画到2l 的垂线段； （2）过点B 画直线CD ∥1l ． 【难度】★★ 【答案】如右图． 【解析】如右图．【总结】考查基本的作图能力，此题中注意垂线段是一条线段，不要画成直线．平行线的三种判定方法：（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．知识精讲模块三：平行线的判定CDEFMN- 8 - 简单地说，同位角相等，两直线平行．（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单地说，内错角相等，两直线平行．（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单地说，同旁内角互补，两直线平行．【例19】如图，请写出能判定CE ∥AB 的一个条件______________． 【难度】★【答案】∠DC E=∠A 等．【解析】可以通过同位角相等两直线平行来判定．【总结】考查平行线的判定定理的运用，答案不唯一，只要成立即可．【例20】如图，AB ∥CD ， AC ⊥BC ，∠BAC =65°，则∠BCD =_______度． 【难度】★【答案】25°． 【解析】因为AB ∥CD （已知），所以ACE BAC ∠=∠（两直线平行，内错角相等），因为∠BAC =65°（已知）， 所以65ACE ∠=（等量代换）． 因为AC ⊥BC （已知）， 所以90ACB ∠=（垂直的意义） 因为180ACE ACB BCD ∠+∠+∠=（邻补角的意义）， 所以180659025BCD ∠=--=（等式性质）． 【总结】考查平行线的性质及邻补角性质的综合运用．【例21】如图，下列说法错误的是（ )．A ．∠1和∠3是同位角；B ．∠1和∠5是同位角；C ．∠1和∠2是同旁内角；D ．∠5和∠6是内错角．【难度】★【答案】B 【解析】同位角像字母Z ． 【总结】考查同位角的概念．【例22】已知，△ABC 中，DE 垂直于AC 于E ，△ACB=90°，试说明DE△BC 的理由． 【难度】★★【答案】略． 【解析】因为DE ⊥AC （已知），所以90AED ∠=（垂直的意义）．例题解析CA BD E ABCDE 12 34 5 6 ABC DE- 9 -因为∠ACB =90°（已知），所以∠ACB =∠AED （等量代换）， 所以DE ∥BC （同位角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及垂直的意义的综合运用．【例23】如图，∠5=∠CDA =∠ABC ，∠1=∠4，∠2=∠3，∠BAD +∠CDA =180°，填空：∵∠5=∠CDA （已知）∴_______//_______（内错角相等，两直线平行） ∵∠5=∠ABC （已知）∴_______//_______（同位角相等，两直线平行） ∵∠2=∠3（已知）∴_______//_______（内错角相等，两直线平行） ∵∠BAD +∠CDA =180°（已知）∴_______//_______（同旁内角互补，两直线平行） ∵∠5=∠CDA （已知），又∵∠5与∠BCD 互补，∠CDA 与_______互补（邻补角定义） ∴∠BCD =∠6（等角的补角相等）∴_______//_______（同位角相等，两直线平行） 【难度】★★【答案】AD 、BC ；AB 、CD ；AB 、CD ；AB 、CD ；∠6；AD 、BC ． 【解析】解题时要看清题目，根据条件判断出哪一组直线平行，不能混淆． 【总结】考查平行线的判定定理的运用．【例24】如图，AB ⊥BC ，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，那么BE 与DF 平行吗?为什么? 【难度】★★ 【答案】平行【解析】因为AB ⊥BC （已知），所以∠ABC =90°（垂直的意义），即3490∠+∠=（角的和差） 因为∠2=∠3（已知）， 所以2490∠+∠=（等量代换）因为∠1+∠2=90°（已知）， 所以∠1=∠4（同角的余角相等）， 所以BE ∥DF （同位角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及垂直的综合运用，注意分析题目中条件．AB CDEF4321435261ABCD E【例25】如图，∠2=3∠1，且∠1+∠3=90°，试说明//AB CD．【难度】★★【答案】略【解析】因为∠2=3∠1（已知），∠2+∠1=180°（邻补角的意义），所以∠1=45°，∠2=135°（等式性质）．又因为∠1+∠3=90°（已知），所以∠3=45°（等式性质），所以∠2+∠3=180°（等式性质），所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理的运用．【例26】已知∠1=∠2，DE平分∠BDC，DE交AB于点E，试说明AB//CD．【难度】★★【答案】略．【解析】因为DE平分∠BDC（已知），所以∠2=∠EDC（角平分线的意义）因为∠1=∠2（已知），所以∠1=∠EDC（等量代换）所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及角平分线的意义的综合运用．【例27】已知AC、BC分别平分∠QAB、∠ABN，且∠1与∠2互余，试说明PQ//MN．【难度】★★【答案】略【解析】因为AC、BC分别平分∠QAB、∠ABN（已知）所以∠1=12∠QAB，∠2=12∠ABN（角平分线的意义）因为∠1+∠2=90°（互余的意义）所以∠QAB+∠ABN=180°（等式性质）所以PQ∥MN（同旁内角互补，两直线平行）【总结】考查平行线的判定及角平分线的意义的综合运用，注意分析条件，得出角度间的关系．【例28】如图，直线AB分别与直线CD、EF交于点O、点E，GO⊥OH，OH平分∠AOC，且∠EDO与∠GOB互余，试说明OH //EF．【难度】★★★【答案】略【解析】因为GO⊥OH（已知），所以90GOH∠=（垂直的意义），因为OH平分∠AOC（已知），A BCDEFGHOABCP Q M N21A BC DEF123ABCDEFG21- 10 -所以AOH COH ∠=∠（角平分线的意义）．因为180BOC COA ∠+∠=（邻补角的意义），所以∠GOB +∠HOC =90°（等式性质） 因为∠EDO +∠GOB =90°（已知）所以∠EDO =∠HOC （同角的余角相等）所以OH ∥EF （同位角相等，两直线平行）【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及同角的余角相等的综合运用，解题时认真分析，找出角度间的关系．【例29】如图，∠ABE =∠E +∠D ，试说明AB //CD 的理由． 【难度】★★★【答案】略【解析】因为180D E ECD ∠+∠+∠=（三角形内角和等于180°） 又180ECD DCB ∠+∠=（邻补角的意义） 所以∠DCB =∠E +∠D （等式性质） 因为∠ABE =∠E +∠D （已知） 所以∠DCB =∠ABE （等量代换）， 所以AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及三角形内角和的综合运用，综合性较强，解题时要认真分析．【习题1】观察图，下列说法中，正确的是（ ）．A ．3∠和4∠是内错角B ．1∠和4∠是同位角C ．5∠和2∠是内错角D ．4∠和6∠是同旁内角 【难度】★【答案】D【解析】考查同位角、内错角和同旁内角的概念及判定．【习题2】如图，能使AB ∥CD 的条件是()．A. ∠1=∠BB ．∠3=∠AC ．∠1+∠2+∠B =180°D ．∠1=∠A【难度】★【答案】C【解析】同旁内角互补，两直线平行，C 选项满足条件． 【总结】考查平行线的判定定理的运用．随堂检测ABCDE1 7 3 56 24321ABCDE- 12 - 53486721【习题3】一学员在广场上练习驾车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度是()A ．第一次向左拐，第二次向右拐B ．第一次向右拐，第二次向左拐C ．第一次向右拐，第二次向右拐D ．第一次向左拐，第二次向左拐【难度】★【答案】A【解析】B 向左拐了50°，C 、D 都朝相反方向开去． 【总结】考查平行线的判定定理在实际问题中的运用． 【习题4】如图，在下列条件中，能判定AB //CD 的是（）A ．∠1=∠3B ．∠2=∠3C ．∠1=∠4D ．∠3=∠4 【难度】★ 【答案】C【解析】A 错误；B 能推出AD ∥BD ；D 错误． 【总结】考查平行线的判定定理的运用．【习题5】如图，图中所标号的8个角，是∠1的同位角的是_________；∠3的内错角是 _________；∠7的同旁内角是_________；∠4的同位角是_________；∠6的内错角是_________；∠2的同旁内角是_________．【难度】★【答案】∠2；∠5；∠6、∠8；∠3、∠7； ∠4；∠5．【解析】考查同位角、内错角、同旁内角的概念．【习题6】如图，已知直线b ⊥a ，c ⊥a ．那么直线b 与c 平行吗？如果平行，请给出证明；如果不平行，举出反例．【难度】★★ 【答案】平行．【解析】因为b ⊥a ，c ⊥a （已知）， ∴∠1=∠2=90°（垂直的意义）， ∴b ∥c （同位角相等，两直线平行）．【总结】考查平行线的判定定理及垂直的意义的综合运用．3030501305013050130abc123421ABCDF E21DCBA【习题7】如图，已知AC ⊥AE ，BD ⊥BF ，∠1=35°，∠2=35°，AC 与BD 平行吗?AE 与BF平行吗?为什么? 【难度】★★ 【答案】平行．【解析】因为∠1=35°，∠2=35°（已知），所以∠1=∠2（等量代换），因为AC ⊥AE ，BD ⊥BF （已知）， 所以90DBF CAE ∠=∠=（垂直的意义） 所以∠NBF =∠BAE （等式性质） 所以AE ∥BF （同位角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及垂直的意义的综合运用．【习题8】如图，∠1+∠2=180°．AE 与FC 会平行吗? 说明理由． 【难度】★★【答案】平行．【解析】因为∠1+∠2=180°（已知），∠2+∠BDC =180°（邻补角的意义） 所以∠1=∠BDC （同角的补角相等） 所以CF ∥AE （同位角相等，两直线平行） 【总结】考查平行线的判定定理的运用．【习题9】根据图完成下列填空（括号内填写定理或公理） （1）∵∠1=∠4（已知）∴_________∥_________（）（2）∵∠ABC +∠_________=180°（已知）∴AB ∥CD （）（3）∵∠_________=∠_________（已知）∴AD ∥BC （）（4）∵∠5=∠_________（已知）∴AB ∥CD （）【难度】★★【答案】（1）AB ∥CD 、内错角相等，两直线平行； （2）∠BCD 、同旁内角互补，两直线平行； （3）∠2=∠3、内错角相等，两直线平行； （4）∠ABC 、同位角相等，两直线平行． 【解析】考查平行线的判定定理的综合运用．ABC DEF 12NM54321ABCDE- 14 -【习题10】已知DE ⊥BC ，FG ⊥BC ，∠DEH =∠GFC ，试说明EH ∥FC 的理由．【难度】★★ 【答案】略．【解析】因为DE ⊥BC ，FG ⊥BC （已知） 所以∠DEC =∠FGC =90°（垂直的意义）所以∠GFC +∠FCG =90°（三角形内角和等于180°）因为∠DEH =∠GFC （已知）， 所以∠HEC =∠FCG （等角的余角相等） 所以EH ∥FC （内错角相等，两直线平行） 【总结】考查平行线的判定定理的运用．【习题11】 已知∠EDC +∠B =180°，∠EDC =∠A ，试说明AE //BC 的理由． 【难度】★★【答案】略【解析】因为∠EDC +∠B =180°，∠EDC =∠A （已知） 所以∠A +∠B =180°（等量代换）所以AE ∥BC （同旁内角互补，两直线平行） 【总结】考查平行线的判定定理的运用．【习题12】已知：∠ABC ＝∠ADC ，BF 和DE 分别平分∠ABC 和∠ADC ，12∠=∠．试说明DE ∥BF 的理由． 【难度】★★ 【答案】略【解析】因为BF 和DE 分别平分∠ABC 和∠ADC （已知） 所以112ADC ∠=∠，12ABF ABC ∠=∠（角平分线的意义）因为∠ABC ＝∠ADC （已知），所以∠1=∠ABF （等式性质） 因为∠1=∠2（已知）， ∴∠2=∠FBA （等量代换） 所以DE ∥BF （同位角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及角平分线意义的综合运用．【习题13】已知直线a ，b ，c 被直线d 所截，01334180∠=∠∠+∠=，，试说明a ∥c ．【难度】★★【答案】略． 【解析】因为∠1=∠3（已知）ABCDE 82453671a bcd BCD EF GH 12ABCDEF2431EDCBA所以a ∥b （同位角相等，两直线平行）因为∠3+∠4=180°（已知），∠3+∠5=180°（邻补角的意义） 所以∠4=∠5（同角的补角相等） 所以b ∥c （同位角相等，两直线平行） 所以a ∥c （平行的传递性）【总结】考查平行线的判定定理及平行的传递性的综合运用．【作业1】下列说法中正确的是（ ）A ．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C ．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则两条直线平行【难度】★【答案】D【解析】A 这个点必须是直线外的点，错误；B 同位角相等的前提是两直线平行，错误； C 垂直于同一条直线的两条直线互相平行，错误；故选D 【总结】考查平面内直线的位置关系．【作业2】在同一平面内，若a ⊥b ，c ⊥b 则a 与c 的关系是（）A ．平行B ．垂直C ．相交D ．以上都不对【难度】★【答案】A【解析】垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【总结】考查平面内直线的位置关系．【作业3】如图，∠ADE 和∠CED 是（ ）A ．同位角B ．内错角C ．同旁内角D ．互为补角【难度】★【答案】B 【解析】内错角像字母Z ．【总结】考查内错角的特点及判定．【作业4】如图，属于内错角的是（）A ．∠1和∠2B ．∠2和∠3C ．∠1和∠4D ．∠3和∠4【难度】★课后作业- 16 - α【答案】D【解析】内错角像字母Z ． 【总结】考查基本角的特点．【作业5】下列有关垂直相交的说法：①同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条也垂直； ③同一平面内， 一条直线不可能与两条相交直线都垂直； 其中说法正确个数有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【难度】★★【答案】B【解析】①、③正确，②要在同一平面内才成立，故选C ． 【总结】考查平面内直线的位置关系．【作业6】下列语句：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（ ）A ．①、②是正确的命题B ．②、③是正确命题C ．①、③是正确命题D ．以上结论皆错【难度】★★【答案】A【解析】①正确；②两直线平行，同旁内角互补，此时又相等，所以两个角分别为90°， 即垂直，正确；③这个点必须是直线外的一点，错误，故选A ． 【总结】考查平面内直线的位置关系．【作业7】如图，能与α∠构成同旁内角的角有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【难度】★★【答案】A 【解析】同旁内角像字母U【总结】考查基本角的特点及判定．NMFEDCBAHGNMFE DCB A【作业8】如图，AB ⊥BD ，CD ⊥MN ，垂足分别是B 、D 点，∠FDC =∠EBA ．（1）判断CD 与AB 的位置关系； （2）BE 与DF 平行吗?为什么? 【难度】★★【答案】（1）平行 （2）平行【解析】（1）因为AB ⊥BD ，CD ⊥MN （已知），所以CD ∥AB （垂直于同一条直线的两条直线互相平行）；（2）因为∠CDM =∠ABM 90 （垂直的意义），又∠FDC =∠EBA （已知）， 所以∠MDF =∠MBE （等式性质） 所以BE ∥DF （同位角相等，两直线平行） 【总结】考查平行线的判定定理及垂直的综合运用．【作业9】 如图CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，∠1=∠2，试说明DG //BC 的理由． 【难度】★★ 【答案】略【解析】因为CD ⊥AB ，EF ⊥AB （已知），所以EF ∥CD （垂直于同一条直线的两条直线互相平行） 所以∠2=∠DCB （两直线平行，同位角相等）因为∠2=∠1（已知）， 所以∠1=∠DCB （等量代换） 所以DG ∥BC （内错角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业10】如图，AB 、CD 被EF 所截，MG 平分∠BMN ，NH 平分∠DNM ，已知∠GMN +∠HNM =90°，试问：AB ∥CD 吗？请说明理由．【难度】★★★ 【答案】平行．【解析】因为MG 平分∠BMN ，NH 平分∠DNM （已知） 所以∠BMN =2∠GMN ，∠DNM =2∠HNM （角平分线的意义）因为∠FMG +∠HNM =90°（已知） 所以∠BMN +∠DNM =180°（等式性质） 所以AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行） 【总结】考查平行线的判定定理及角平分线的综合运用．12ABCDE FG- 18 -【作业11】 如图， ∠B =∠C ，∠A =∠D ，试说明AE //DF ． 【难度】★★★ 【答案】略【解析】因为180A B AEB ∠+∠+∠=，180C D CFD ∠+∠+∠=（三角形内角和等于180°） 又1180AEB ∠+∠=，2180CFD ∠+∠=（邻补角的意义） 所以1A B ∠=∠+∠，2C D ∠=∠+∠（等式性质）因为∠B =∠C ，∠A =∠D （已知）， 所以12∠=∠（等式性质）， 所以AE ∥DF （内错角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及三角形内角和定理的综合运用，综合性较强，建议老师选择性讲解．【作业12】如图，已知：∠B +∠D ＝∠BED ．AB 与CD 平行吗，说明理由． 【难度】★★★ 【答案】略【解析】过点E 作EF ∥AB ，则∠B =∠BEF （两直线平行，内错角相等）因为∠BED =∠BEF +∠FED =∠B +∠D （已知）， 所以∠FED =∠D （等式性质）所以CD ∥EF （内错角相等，两直线平行） 所以AB ∥CD （平行的传递性）【总结】考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用，教师可选择性的讲解．21ABCDE FABCDEF。
平行线及三线八角
你能说出∠1与∠5的 如图:在“三线八角”中，
2
c 1
5
同位角形如字母“F ”
“三线八角”中 有同位角 4 对
内
a 2
3 4 6 b 7 8 c 1
错
角
如图:在“三线八角”中， 同位角形如字母“F ”， 内错角像个什么呢？ 它太像个字母 Z了！
被截两直线 “内”的涵义： a,b之间;
联想思考
♐
5
我们称∠3和∠5为内错角
5
“三线八角” 小结
两直线被第三直线所截, 构成的八个角中， ① 位于两直线同一侧、 且在第三直线同一旁的两个角， 叫做 同位角 ;
C
2
E 1 4 5 D
3
6
之间 , ② 位于两直线 两侧 且在第三直线的 的
两个角,叫做 内错角 ;
A
B
7 F
8 同位角是
之间 , ③ 位于两直线 同旁 且在第三直线的 的 两个角,叫做 同旁内角 ;
2
6 F
A
8
② 内错角有2对：∠7和∠2, ∠5和∠4.
③ 同旁内角有2对：∠7和∠4, ∠5和∠2
“错”的涵义： 截线c(第三直 线)的两侧.
找一找:其中还有内错角 吗?
同 旁 内 角
同 旁 内 角像什么呢？
它太像字母 U了！
找一找: 如图
a 3 4 6 b 7 8 5 2 c 1
猜想 怎样称呼
“∠4 与 ∠5 ” ? “∠ 3 与 ∠ 6” ?
3
4
∠ 3 与 ∠ 5 是内错角; ∠ 与∠ 6 是内错角; 4 两条被截线之间 ; “内”的涵义? 同旁内 ∠4 与 ∠5 是 角; 截线的同旁 “同旁”的涵义: 同旁内 ∠3 与 ∠6 是 角;
初一平行线的判定及性质
平行线的判定及性质一、知识概述1、在“三线八角”中，同位角、内错角、同旁内角的识别角的名称位置特征图形结构特征同位角在截线同侧在被截线同一方形如字母“F”(或倒置)内错角在截线两侧(交错)夹在两条被截线之间形如字母“Z”(或反置)同旁内角在截线同侧夹在两条被截线之间形如字母“U”2、平行线的判定方法平行线的判定定理：定理1：同位角相等，两直线平行．定理2：内错角相等，两直线平行．定理3：同旁内角互补，两直线平行．另外：1、平行于同一直线的两条直线相互平行（平行线的传递性）2、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行（经常出现在图中有3条平行线的题目中）3、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等性质2：两直线平行，内错角相等性质3：两直线平行，同旁内角互补二、例题讲解例1、如图，直线AB、CD、EF相交，①指出∠3与其它角（带标号的），是什么关系的角；②图中共有多少对同位角、内错角和同旁内角.变式：如图，AB、CD被EF、EG所截，在∠1～∠6的6个角中，同位角、内错角、同旁内角的对数分别是（）A．8、12、8B．8、2、8 C．3、3、2D．12、12、8例2、已知平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中有几条平行？例3、如图，CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，则∠AGD与∠ACB相等吗?请说明理由.解: ∠AGD= ∠ACB.理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB(已知)，∴∠EFB=∠CDF=90°(垂直的意义)，∴CD//EF( )∴∠2=( ) ( )∵∠1= ∠2(已知).∴∠1= ∠BCD( )∴DG//BC( )∴∠AGD= ∠ACB( )例4、如图，已知∠B=110°∠BCG=110°∠BCD=150°∠D=100°，求证：DE∥AB 证明：∵∠B=∠BCG=110°（）∴AB∥FG（）∴∠BCF+ ∠B =180°（）即∠BCF= 180°—∠B = 180°—110°= 70°∵∠BCD=150°∴∠FCD= ∠BCD—∠BCF= 150°—70°= 80°又∵∠D=100°∴（∠＋∠）=100°＋80°=180°∴FG∥ED（）∴AB∥ED（）变式1：如图，已知∠1＋∠2=∠APC，试说明AB∥CD的理由．变式2：如下图，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G．课外拓展：例1、如图，B 处在A 处的南偏西450方向，C 处在B 处的北偏东800方向.（1）求∠ABC.（2）要使CD ∥AB ，D 处应在C 处的什么方向？例2、在小学我们就知道“三角形三个内角的和等于1800”，现在你能用学过的知识说明理由吗？例3、如图(1)，线段AB//CD ，点P 是AB 、CD 间的－个点． (1)试判断∠A 、∠C 与∠APC 的数量关系；(2)如果点P 移动到线段AC 的左侧，那你发现的上述结论还成立吗?说明理由；(3)如果点P 移到两平行线的同侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由．12ACB FG E DAB 北 南DABC练习：1、如图1，已知直线a∥b,c∥d，∠1=115°，则∠2=_____，∠3=_____.2、如图2，∠1=82°，∠2=98°，∠3=80°,则∠4的度数为_____.3、如图3，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.图1 图2 图34、如图，AB∥CD，AD∥BC，则图中与∠A相等的角有_____个.5、如图，标有角号的7个角中共有_____对内错角，_____对同位角，_____对同旁内角.6、下列结论中，正确的个数是多少个（）（1）在同一平面内不相交的两条线段必平行；（2）在同一平面内不相交的两条直线必平行；（3）在同一平面内不平行的两条线段必相交；（4）在同一平面内不平行的两条直线必相交．A．1 B．2 C．3 D．4 7、如图，下列能判定AB∥CD的条件有（）个．（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．A、1B、2C、3D、48、下列四个图中若∠1=∠2，能够判定AB∥CD的是（）A ．B ．C ．D ．9、如图15，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数.10、如图已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°．试证AB∥EF．。
三线八角和平行的条件
翰林教育授课案卷学生姓名年级初一辅导科目数学辅导教师袁慧授课时间年月日时至时课题三线八角及平行的条件教学构想教学目标熟练识别三线八角，并会用同位角、内错角、同旁内角判定两直线平行教学重点熟练识别三线八角，并会用同位角、内错角、同旁内角判定两直线平行教学难点熟练识别三线八角，并会用同位角、内错角、同旁内角判定两直线平行教学环节(120分钟）一、认识同位角1、【画一画】两条直线AB、 CD与直线EF相交，交点分别为E F如图8.1-4则称直线AB 、CD 被直线EF所截，直线EF为截线。
图8.1-4【说一说】二条直线AB 、CD 被直线EF所截可得8个角，即所谓“三线八角”。
这八个角中对顶角、邻补角各有哪些？【分析】这八个角中有对顶角：∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8。
邻补角有：∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠5与∠6，∠6与∠7，∠7与∠8，∠8与∠5。
【总结】同位角：两条直线被第三条直线所截，在二条直线的同侧，且在第三条直线的同旁翰林教育授课案卷教学环节（12 0分钟）的二个角叫同位角。
如图中的∠1与∠5分别在直线AB、 CD的上侧，又在第三条直线EF的右侧，所以∠1与∠5是同位角，它们的位置相同，在图中还有∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7也是同位角。
【练习】如图8.1-5中，同位角各有多少对？2、认识同位角的注意点看两个角是不是同位角，（1）看它们是不是在一条直线的同侧，（2）看截它们的两条直线是什么，这两个角是不是在截它们的直线的同旁。
也就是说，是否满足“F”型。
二、探索“同位角相等，两直线平行”1、操作引入：（1）利用三角板和直尺画平行线：（2）观察：∠1与∠2相等时，所画的直线a、b是否平行？（3）探索：∠1与∠2不相等，所画的直线a、b平行吗？cba1a1b1a21211111211b1c图8.1—6c翰 林 教 育 授 课 案 卷N1PMQF ED CBA定义：两条直线a 、b 被第三条直线所截而成的8个角中，像∠1与∠2这样的一对角称为同位角。
平行线概念、基本事实及三线八角课件.
平行线概念、基本事实及三线八角课件.一、教学内容本节课将深入探讨平行线的概念、基本事实以及三线八角的关系。
教学内容主要基于教材第3章“几何图形与证明”的第2节“平行线与相交线”。
详细内容包括：1. 平行线的定义与性质；2. 判断两条直线是否平行的方法；3. 三线八角的概念及其应用；4. 平行线的判定与性质的应用。
二、教学目标1. 让学生掌握平行线的定义，理解平行线的性质；2. 使学生学会判断两条直线是否平行的基本方法；3. 培养学生运用三线八角关系解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：判断两条直线是否平行的方法，三线八角的关系。
教学重点：平行线的定义与性质，平行线判定方法的运用。
四、教具与学具准备1. 教师准备：多媒体课件、几何画板、直尺、量角器；2. 学生准备：直尺、量角器、练习本。
五、教学过程1. 导入：通过展示实际生活中的平行线实例，引导学生发现平行线的特点，激发学生的学习兴趣。
2. 基本概念讲解：（1）平行线的定义：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线。
（2）平行线的性质：同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
3. 判断两条直线是否平行的方法：（1）同位角相等法；（2）内错角相等法；（3）同旁内角互补法。
4. 三线八角关系：（1）两条平行线与第三条直线交于两点，所形成的八个角中，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；（2）运用三线八角关系解决实际问题。
5. 例题讲解：选取具有代表性的例题，结合平行线的定义、性质和判定方法进行讲解。
6. 随堂练习：布置一些有关平行线与三线八角关系的练习题，让学生独立完成，并及时给予反馈。
六、板书设计1. 平行线的定义与性质；2. 判断两条直线是否平行的方法；3. 三线八角关系；4. 例题解析；5. 随堂练习。
七、作业设计1. 作业题目：（1）判断下列各题中，哪些直线是平行线，并说明理由；（2）已知直线a、b平行，求证：∠1=∠2，∠3=∠4；（3）运用三线八角关系，求出图中所有未知角的度数。
有关三线八角的几何证明
第一讲有关三线八角的几何证明一.三线八角模型两条直线被第三条直线所截，产生两个交点，形成了八个角（不可分的）：同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线 EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线 EF的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；二.平行线判定定理：如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是否能证明这两条直线平行呢？两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行:平行线判定定理1 :同位角相等，两直线平行如图所示，只要满足 1 = 2 （或者 3 ==8）,就可以说AB//CD平行线判定定理2 :内错角相等，两直线平行如图所示，只要满足 6 = 2 （或者 5 = 平行线判定定理4）,就可以说AB//CD3 :同旁内角互补，两直线平行如图所示，只要满足5+ 2 = 180 （或者 6+ 4 = 180 ）,就可以说 AB//CD是内错角 平行线判定定理4 :两条直线同时平行于第三条直线，两条直线平行 三•平行线的性质定理 两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系: 两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等；两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。
概念巩固1.如图，下面结论正确的是（ ）A.是同位角 B.C.是同位角D. 是内错角2.如图，图中同旁内角的对数是（）4.如图，图中的内错角的对数是（）A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对3.如图，能与 构成同位角的有（ A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对⑴ ⑵5.如图（1）所示，同位角共有（）6 .下图中，/ 1和/2是同位角的是C.定理应用 7 •一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（）A .第一次向右拐40。
3三线八角平行线性质
A．同位角一定相等B．内错角一定相等
C．同旁内角一定互补D．以上结论都不对
5．（2015春•漳州期末）如图，与∠1是同旁内角的是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
6．（2015春•鄂州校级期中）下列命题中，真命题有（ ）
（1）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
（2）两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
（3）经过两点有一条直线，并且只有一条直线；
（4）如果一条直线和两条直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2015春•琼海期中）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是（ ）
A．∠1与∠2是邻补角B．∠1与∠3是对顶角
精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级：七年级 课 时 数：3
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
授课类型
T（同步）
C（专题）
T（能力）
授课日期及时段
教学目的
1.预习平行线，三线八角
教学内容
【知识点梳理】
1、生活中的平行线
2、平行线的概念
平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
10．（2014春•富顺县校级期末）如图所示，同位角一共有对，内错角一共有对，同
旁内角一共有有对．
11．（2014春•狮子山区校级期中）观察图，并完成下面的填空：
（1）∠1与是同位角；
（2）∠2与是内错角；
（3）∠5与是同旁内角．
7、如图，长方体ABCD-EFGH，
（1）图中与棱AB平行的棱有哪些 ？
（2）图中与棱AD平行的棱有哪些？
01三线八角、平行线的判定(教师)初一数学尖子班
三线八角、平行线的判定【知识点归纳】 一、三线八角：1、同位角：如果其中的两个角都在第三条直线l 的同旁，且又在直线a 、b 的同一侧，这两个角叫做同位角．．．. （类似字母“F ”） 如3∠与7∠等。
2、内错角：如果其中的两个角分别在第三条直线l 的两旁，且又在直线a 、b 之间，这两个角叫做内错角．．．. （类似字母“Z ”） 如2∠与8∠等。
3、同旁内角：如果其中的两个角都在第三条直线l 的同旁，且又在直线a 、b 之间，这两个角叫做同旁内．．．角．. （类似字母“C ”） 如3∠与8∠等。
（请找出其它的同位角、内错角、同旁内角）二、平行线的定义及判定方法1、平行线的定义：同一平面内．．．．．不相交的两条直线叫做平行线。
“平行”用符号“∥”表示.2、结论：（1）平行线的传递性：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
（2）平行线的基本性质： 经过直线．．外．的一点，有且只有一条直线与已知直线平行. 3、平行线的判定方法：（1） 同位角相等，两直线平行. （2） 内错角相等，两直线平行.（3） 同旁内角互补，两直线平行.4、结论：同一平面内．．．．．，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. （为什么？）（同位角相等，两直线平行）例1. 如图，1∠和B ∠是直线________和_________被直线_________所截而成的____________；A ∠和1∠是直线________和________ 被直线_________所截而成的____________； 1∠和2∠是直线_________和_________被直线_________所截而成的____________.（第1题） （第2题）例2. 看图填空：（1）∵3∠=∠A （已知），∴ ___ ∥ ___ . （ ）； （2）∵2∠4∠=（已知），∴ ______∥ _______ . （ ）； （3）∵︒=∠+∠1806C (已知），∴ ___ ∥ ___ （ ）.例3. 如图，已知A 、B 、C 三点在同一条直线上，︒=∠70A ，︒=∠40ABE ，BF 平分EBC ∠.试说明AD ∥BF 的理由.（第3题）BC1. 如图所示，同位角共有（ ）A .6对B .8对C .10对D .12对2. 如图所示，图中1∠与2∠是_________与_________被________所截得的_________角；3∠和4∠是_________与_________被__________所截得的_________角.3. 如图所示，下列条件中，能判断直线21//l l 的是（ ） A.32∠=∠B.31∠=∠C.18054=∠+∠ D.42∠=∠4. 如图，已知21∠=∠，43∠=∠，说明：EF AB //。
10.2平行线及三线八角 -
构成的八个角中，
① 位于两直线同一侧、
且在第三直线同一旁的两个角，
叫做 同位角 ;
② 位于两直线 之间 , 且在第三直线的 两侧的
A
C
2
E 1
34
65
78
D B
两个角,叫做 内错角 ;
F
③ 位于两直线 之间 , 且在第三直线的 同旁的
同位角是 F 形状
两个角,叫做 同旁内角 ;
内错角是Z 形状
U 同旁内角是 形状
acb
由此可见：平行具有 传递性
同 位角
如图:在“三线八角”中，你能说出∠1与∠5的位
a
2
c 1
置关系吗？ 1.它们位于直线a、b同一侧;
3
2.直线c同旁。
4 65
我们称∠1与∠5是同位角。
b 78
同位角形如字母“F ”
“三线八角”中 有同位角 4 对
内错角
♐ 联想思考
如图:在“三线八角”中，
a
2
c 1
同位角形如字母“F ”，
内错角像个什么呢？
3 4
它太像个字母 Z了！
65 b 78 我们称∠3和∠5为内错角
“内”的涵义：被截两直线 a,b之间;
“错”的涵义：截线c(第三直 线)的两侧.
找一找:其中还有内错角 吗?
同旁内角
同 旁 内 角像什么呢？
它太像字母 U了！
找一找: 如图
a
2
c 1
结论：在同一平面内，两直线的位置关系有 平行与相交还有重合三种。
2、平行线的画法：
（1）放 （2）靠
A p.
（3）推
（4）画
l’ l
B
动手实践 过直线ＡＢ外一点Ｐ作直线ＡＢ的平行线，
10.2.1 平行线的概念、三线八角
4
B
E
C
1 A
3
6
2
7
5
8 F
D
10.2.1 平行线的概念、三线八角
同位角的概念和识别
没
1、都在被截直线AB、
有 公
A
E
共
2
CD 同一方(上方) 的_______________. 2、在截线EF的
顶 点
34
B _同__旁__(右__侧__)__.
的 角 的 位 置 关
C
5 6
78 F
∠2和∠6 D ∠3和∠7
DE被直线AB所截形成的．
∠C与∠CAE是内错角，∠C与∠CAD是同旁内角，B它们都是直线BC，C
DE被直线AC所截形成的.
另外，∠B与∠C是同旁内角，它们是直线AB，AC被直线BC所截形成的．
∠B与∠BAC是同旁内角，它们是直线AC，BC被直线AB所截形成的 .
∠C与∠BAC是同旁内角，它们是直线AB，BC被直线AC所截形成的．
10.2.1 平行线的概念、三线八角
课堂小结
平行线 的概念
在同一平面内，不相交的两 条直线叫做平行线
平行线 及三线 八角
平行线 的性质
1.经过直线外一点，有且只有一条 直线与已知直线平行.
2.如果两条直线都与第三条直线平 行，那么这两条直线互相平行.
三线八角
同位角、内错角、同旁内角
5. 如图，两只手的食指和大拇指在同一个平面 内，它们构成的一对角可看成是_内__错__角___．
10.2.1 平行线的概念、三线八角
6. 如图，直线DE截AB ，AC，构成8个角，指出所有 的同位角，内错角，同旁内角.
解：两条直线是AB，AC，截线DE，所以8个角
【沪科版】初一七年级数学下册《10.2 第1课时 平行线的概念、基本性质及三线八角》教学设计教案
10．2平行线的判定第1课时平行线的概念、基本事实及三线八角1．理解并掌握平行线的概念及基本事实，同位角、内错角和同旁内角的概念及性质；2．能够运用平行线及三线八角解决实际问题．(重点、难点)一、情境导入观察下列图片，想一想如果手扶式电梯左右扶手之间的宽度不相等会怎样，如果铁轨两条轨道之间的距离不相等会怎样？二、合作探究探究点一：平行线的概念、画法及基本事实【类型一】平行线的概念同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是()A．平行或垂直B．平行或相交C．平行、相交或垂直D．相交解析：在同一平面内两条不重合的直线的位置关系是平行或相交．故选B.方法总结：本题考查了对平行线和相交线的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．【类型二】平行线的画法如图所示，在∠AOB内有一点P.(1)过P画l1∥OA；(2)过P画l2∥OB.解：如图所示．方法总结：运用三角板作平行线注意直尺的使用，以确保作出的两条直线为平行线．【类型三】平行线的基本事实如图，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C、D、E三点是否共线？解析：可假设C、D、E三点不共线，则过点C就有两条直线与第三条直线平行，与平行的基本事实矛盾．解：C、D、E三点共线．理由如下：因为CD∥AB，CE∥AB，根据平行的基本事实，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行知CD与CE是同一条直线，所以C、D、E三点共线．探究点二：同位角、内错角、同旁内角【类型一】同位角、内错角、同旁内角的判断如图，下列说法错误的()A．∠A与∠B是同旁内角B．∠3与∠1是同旁内角C．∠2与∠3是内错角D．∠1与∠2是同位角解析：根据同位角、内错角、同旁内角的基本模型判断．A中∠A与∠B形成U型，是同旁内角；B中∠3与∠1形成U型是同旁内角；C中∠2与∠3形成Z型，是内错角；D 中∠1与∠2是邻补角，题设说法错误．故选D.【类型二】同位角、内错角、同旁内角的识别如图，找出图中∠DEA，∠ADE的同位角、内错角和同旁内角．解析：结合图形，找出“三线八角”．解：图中∠DEA的同位角为∠C、内错角为∠BDE、同旁内角为∠A和∠ADE；∠ADE 的同位角为∠B、内错角为∠CED、同旁内角为∠AED和∠A.方法总结：两个角的公共边所在直线为截线，其余两边所在直线是被截的两直线，在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．变式【类型三】答案不唯一的图形问题如图所示，直线DE与∠O的两边相交，则∠O的同位角是________，∠8的同旁内角是________．解析：直线DE与∠O的两边相交，则∠O的同位角是∠5和∠2，∠8的同旁内角是∠1和∠O.故答案为∠5和∠2，∠1和∠O.易错点拨：找某角的同位角，同旁内角时，应从各个方位观察，避免漏数．三、板书设计1．平行线的概念和基本事实在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．本节课学习了两个内容：平行线的概念及基本事实和认识同位角、内错角、同旁内角．教学中可让学生自己画平行线，结合图形说出平行线的基本事实．“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角的识别是难点也是易错点，让学生在学习中不断纠错，不断进步。
数学七年级下册三线八角
数学七年级下册三线八角一、三线八角的概念。
1. 三线。
- 在平面内，两条直线被第三条直线所截，这里的三条直线就简称为“三线”。
例如直线a、b被直线c所截，直线a、b是被截直线，直线c是截线。
2. 八角。
- 这三条直线相交形成八个角。
根据角的位置关系，可以分为同位角、内错角和同旁内角。
- 以直线a、b被直线c所截为例：- 同位角：在截线c的同侧，并且在被截直线a、b的同一方的两个角。
例如∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角。
同位角的形状像字母“F”（可以是倒置、斜置等情况）。
- 内错角：在截线c的两侧，并且在被截直线a、b之间的两个角。
如∠3与∠5，∠4与∠6是内错角。
内错角的形状像字母“Z”（同样可以有不同的放置角度）。
- 同旁内角：在截线c的同侧，并且在被截直线a、b之间的两个角。
像∠3与∠6，∠4与∠5是同旁内角。
同旁内角的形状像字母“U”（也会有不同的摆放形式）。
二、三线八角的识别方法。
1. 先找截线。
- 在复杂的图形中，要准确识别三线八角，首先要确定哪条是截线。
截线是与另外两条直线都相交的直线。
例如在一个三角形和一条直线相交的图形中，如果我们要研究三角形的两条边与这条直线所形成的角的关系，这条直线就是截线。
2. 再根据位置确定角的类型。
- 确定截线后，观察角相对于被截直线和截线的位置。
- 如果角在截线同侧且在被截直线同一方，就是同位角；如果在截线两侧且在被截直线之间，就是内错角；如果在截线同侧且在被截直线之间，就是同旁内角。
三、三线八角的性质在解题中的应用。
1. 平行线下的三线八角性质。
- 如果两条被截直线平行（假设a∥ b，被直线c所截）：- 同位角相等，即∠1=∠5，∠2 = ∠6，∠3=∠7，∠4=∠8。
- 内错角相等，∠3=∠5，∠4=∠6。
- 同旁内角互补，∠3+∠6 = 180^∘，∠4+∠5=180^∘。
- 这些性质可以用来求解角的度数。
例如已知a∥ b，∠1 = 70^∘，求∠5的度数。
最新人教版七年级数学上册三线八角与平行判定教案
三线八角与平行线的判定定理【学习目标】：1、知道什么是同位角、内错角、同旁内角.通过比较、观察、掌握同位角、内错角、同旁内角的特征，能正确识别图形中的同位角、内错角和同旁内角.2、理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的位置关系；3、理解并掌握平行公理及其推论的内容；【重点难点】：1、同位角、内错角、同旁内角的识别。
2、平行线的概念与平行公理；3、两直线平行的判定定理【复习引入】1、如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置．若∠AED′=50°，则∠DEF等于（）A．50°B．65°C．75°D．60°2、把一副三角板按如图方式的位置摆放，则形成两个角，设分别是∠α，∠β，若∠α=55°，则∠β=（）A. 25°B. 35°C. 45°D. 55°【知识授新】1.三线八角如图，将木条，与木条c钉在一起，若把它们看成三条直线则该图可说成“直线和直线与直线c相交”.构成了小于平角的角共有个，通常将这种图形称作为“三线八角”。
其中直线，称为两被截线，直线c称为截线。
如图“直线，被直线所截”形成的图形2.同位角∠1与∠5这对角在两被截线AB,CD的，在截线EF的，形如“”字型.具有这种关系的一对角叫同位角。
3.内错角∠3与∠5这对角在两被截线AB,CD的，在截线EF的，形如“”字型.具有这种关系的一对角叫内错角。
a ba bab4.同旁内角∠3与∠6这对角在两被截线AB,CD的，在截线EF的，形如“”字型.具有这种关系的一对角叫同旁内角。
5.归纳总结同位角、内错角、同旁内角的特征:同位角：“F”字型，“同旁同侧”“三线八角”内错角：“Z”字型，“之间两侧”同旁内角：“U”字型，“之间同侧”【典例引领】如图，指出下图中的同位角，内错角，同旁内角【强化练习】1.如图，下列说法不正确的是（）A、∠1与∠2是同位角B、∠2与∠3是同位角C、∠1与∠3是同位角D、∠1与∠4不是同位角2.如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠A和是同位角，∠A和是内错角,∠A和（）是同旁内角.3.如图, 直线DE截AB, AC, 构成八个角:①指出图中所有的同位角、内错角、同旁内角.②∠A与∠5, ∠A与∠6, ∠A与∠8, 分别是哪一条直线截哪两条直线而成的什么角？【知识授新】1.同一平面内两条直线的位置关系平面内任意两条直线的位置关系除平行外，还有哪些呢？平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
三线八角及平行线的判定
同位角、内错角、同旁内角(三线八角) 若直线a ，b 被直线l 所截：（1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做 同位角．（如15∠∠和）（2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角 叫做内错角．（如35∠∠和）（3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．（如36∠∠和） 注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系．a【例1】填空如图，∠2与∠3是_______角．∠2与∠4是_______角．∠2与∠5是_______角．∠1与∠5是_______角．∠3与∠5是_______角．∠3与∠7是_______角．∠3与∠8是_______角．∠2与∠8是_______角．【例2】看图填空(1)∠B和∠1是两条直线________和_______被第三条直线_______所截构成的_______角．(2)∠ACB与∠7是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角．(3)∠3与∠5是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角．(4)∠3与∠B是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角．(5)∠2与∠7是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角．【例3】如图，同旁内角有( )对．A．4对B．3对C．2对D．1对【例4】如图，同位角共有( )对．A．1对B．2对C．3对D．4对【例5】如图，是同位角关系的是( )．A．∠3和∠4 B．∠1和∠4B．C．∠2和∠4 D．不存在【例6】如图，内错角共有( )对．A．1对B．2对C．3对D．4对【例7】如图，同旁内角共有( )对．A．10对B．8对C．6对D．4对【例8】如图，∠1与∠2是是两条直线____和____被第三条直线______所截构成的_____角．∠3与∠4是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角．【例9】如图，∠C的同位角有_____________________，同旁内角是_____________________，∠1与∠2是___________角．直线AB和CD被AD所截，∠A∠A与∠ADC是_______角．【例10】如图，∠1的同位角是∠______，∠1的内错角是∠______，∠1的同旁内角是∠_____，∠1的对顶角是∠______，∠1的邻补角是∠______．【例11】如图，DC垂直于AE，已知∠DCE的同位角是它的一半，∠B=2∠ACB，试判断△ABC的形状．1、平行线的定义同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 2、平行线的基本性质（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； （2）平行线之间的距离处处相等；（3）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）． （4）同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．（5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离，平行线间的距离处处相等．【例12】已知直线a //b ，b //c ，那么a ________c ．【例13】a 、b 、c 是直线，且a //b ，b ⊥c ，则a 与c 的位置关系是________． 【例14】下列说法中，正确的是（）． A ．两直线不相交则平行B ．两直线不平行则相交C ．若两线段平行，那么它们不相交D ．两条线段不相交，那么它们平行【例15】在同一平面内，有三条直线，其中只有两条是平行的，那么交点有（）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例16】下列说法中，错误的有（）．①若a 与c 相交，b 与c 相交，则a 与b 相交； ②若a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种 A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【例17】如图，按要求画平行线．（1）过P 点画AB 的平行线EF ； （2）过P 点画CD 的平行线MN ．【例18】如图，点A ，B 分别在直线1l ，2l 上，（1）过点A画到l的垂线段；2（2）过点B画直线CD∥l．1平行线的三种判定方法：（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单地说，同位角相等，两直线平行．（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单地说，内错角相等，两直线平行．（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单地说，同旁内角互补，两直线平行．【例19】如图，请写出能判定CE∥AB的一个条件______________．【例20】如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC =65°，则∠BCD =_______度．【例21】如图，下列说法错误的是（)．A．∠1和∠3是同位角；B．∠1和∠5是同位角；C．∠1和∠2是同旁内角；D．∠5和∠6是内错角．【例22】已知，△ABC中DE垂直于AC与E，∠ACB=90°，试说明DE∥BC的理由．【例23】如图，∠5=∠CDA =∠ABC，∠1=∠4，∠2=∠3，∠BAD+∠CDA=180°，填空：∵∠5=∠CDA（已知）∴_______//_______（内错角相等，两直线平行）∵∠5=∠ABC（已知）∴_______//_______（同位角相等，两直线平行）∵∠2=∠3（已知）∴_______//_______（内错角相等，两直线平行）∵∠BAD+∠CDA=180°（已知）∴_______//_______（同旁内角互补，两直线平行）∵∠5=∠CDA（已知），又∵∠5与∠BCD互补，∠CDA与_______互补（邻补角定义）∴∠BCD=∠6（等角的补角相等）∴_______//_______（同位角相等，两直线平行）【例24】如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，那么BE与DF平行吗?为什么?【例25】如图，∠2=3∠1，且∠1+∠3=90°，试说明//AB CD．【例26】已知∠1=∠2，DE平分∠BDC，DE交AB于点E，试说明AB//CD．【例27】已知AC、BC分别平分∠QAB、∠ABN，且∠1与∠2互余，试说明PQ//MN．【例28】如图，直线AB分别与直线CD、EF交于点O、点E，GO⊥OH，OH平分∠AOC，且∠EDO与∠GOB互余，试说明OH//EF．【例29】如图，∠ABE=∠E+∠D，试说明AB//CD的理由．【习题1】观察图，下列说法中，正确的是（）．A．3∠是内错角∠和4B．1∠和4∠是同位角C．5∠是内错角∠和2D．4∠和6∠是同旁内角【习题2】如图，能使AB∥CD的条件是( )．A.∠1=∠B B．∠3=∠AC．∠1+∠2+∠B=180°D．∠1=∠A【习题3】一学员在广场上练习驾车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度是( )F E21DCBA53486721A ．第一次向左拐，第二次向右拐B ．第一次向右拐，第二次向左拐C ．第一次向右拐，第二次向右拐D ．第一次向左拐，第二次向左拐【习题4】如图，在下列条件中，能判定AB //CD 的是（）A ．∠1=∠3B ．∠2=∠3C ．∠1=∠4D ．∠3=∠4【习题5】如图，图中所标号的8个角，是∠1的同位角的是_________；∠3的内错角是 _________；∠7的同旁内角是_________；∠4的同位角是_________；∠6的内错角是 _________；∠2的同旁内角是_________．【习题6】如图，已知直线b ⊥a ，c ⊥a ．那么直线b 与c 平行吗？如果平行，请给出证明； 如果不平行，举出反例．【习题7】如图，已知AC ⊥AE ，BD ⊥BF ，∠1=35°，∠2=35°，AC 与BD 平行吗?AE 与BF平行吗?为什么?【习题8】如图，∠1+∠2=180°．AE 与FC 会平行吗? 说明理由．30o 30o 50o 130o 50o 130o 50o 130o ab c12【习题9】根据图完成下列填空（括号内填写定理或公理） （1）∵∠1=∠4（已知）∴_________∥_________（）（2）∵∠ABC +∠_________=180°（已知）∴AB ∥CD （）（3）∵∠_________=∠_________（已知）∴AD ∥BC （）（4）∵∠5=∠_________（已知）∴AB ∥CD （）【习题10】已知DE ⊥BC ，FG ⊥BC ，∠DEH =∠GFC ，试说明EH ∥FC 的理由．【习题11】 已知∠EDC +∠B =180°，∠EDC =∠A ，试说明AE //BC 的理由．【习题12】已知：∠ABC ＝∠ADC ，BF 和DE 分别平分∠ABC 和∠ADC ，12∠=∠．试说明DE ∥BF 的理由．【习题13】已知直线a ，b ，c 被直线d 所截，01334180∠=∠∠+∠=，，试说明a ∥c ．2431E DCB Aα【作业1】下列说法中正确的是（ ）A ．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C ．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则两条直线平行【作业2】在同一平面内，若a ⊥b ，c ⊥b 则a 与c 的关系是（）A ．平行B ．垂直C ．相交D ．以上都不对【作业3】如图，∠ADE 和∠CED 是（ ）A ．同位角B ．内错角C ．同旁内角D ．互为补角【作业4】如图，属于内错角的是（）A ．∠1和∠2B ．∠2和∠3C ．∠1和∠4D ．∠3和∠4【作业5】下列有关垂直相交的说法：①同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条也垂直； ③同一平面内， 一条直线不可能与两条相交直线都垂直； 其中说法正确个数有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【作业6】下列语句：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（ ）A ．①、②是正确的命题B ．②、③是正确命题C ．①、③是正确命题D ．以上结论皆错【作业7】如图，能与α∠构成同旁内角的角有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个N M F E D C B A H G N M F E DC B A 【作业8】如图，AB ⊥BD ，CD ⊥MN ，垂足分别是B 、D 点，∠FDC =∠EBA ．（1）判断CD 与AB 的位置关系；（2）BE 与DF 平行吗?为什么?【作业9】 如图CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，∠1=∠2，试说明DG //BC 的理由．【作业10】如图，AB 、CD 被EF 所截，MG 平分∠BMN ，NH 平分∠DNM ，已知∠GMN +∠HNM =90°，试问：AB ∥CD 吗？请说明理由．【作业11】 如图， ∠B =∠C ，∠A =∠D ，试说明AE //DF ．【作业12】如图，已知：∠B+∠D＝∠BED．AB与CD平行吗，说明理由．。
初一三线八角
2 4 1 EDC 2
1 2 3 4 1800 1 B 2
狼牙模型 Q 1 2 1800 1 B
F
2
狼牙模型 Q 1 2 1800 1 B 2B 2
B 720
E
A
13
Q
B
24 D
长方体中，直线AD和直线CE永不相交，不是平行线，为异面直线。
那么直线AD和直线EF是否为平行线呢？ 直线AD和EF在一个平面内，不相交，∴AD∥EF
A D
B
L1
C
L2 F
E
平行线的性质：
公理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
如图：直线L1∥L2，直线L1、L2被第三条直线 L3所截
L3
则同位角 ∠1=∠5 ∠2=∠6
同平行于一条直线的两条直线平行 同一平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行
例题：
1. 证明：三角形内角和=1800
过点A作L1∥于BC。
∵ L1//BC ∴ ∠1 = ∠B
∠2 = ∠C ∵∠1 + ∠BAC + ∠2 =180° ∴ ∠B + ∠BAC +∠C = 180°
即三角形内角和=1800
1
L1
3
2 4
L2
6 5
8 7
平行线的性质： 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
L3
1
L1
3
2 4
L2
6 5
8 7
平行线的判定定理：5个 两条直线线被第三条直线所截，若同位角相等，则两直线平行 两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则两直线平行 两条直线被第三条直线所截，若同旁内角互补，则两直线平行
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E65︒O ADC B同位角 内错角 同旁内角与平行线课堂练习1、（1）如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOC ＝50°，求∠BOD 、∠AOD 、∠BOC 的度数.解：∵∠BOD 与∠AOC 是对顶角 ∴ ＝ ＝ °（ ） ∵ 与 是邻补角∴∠AOD ＝180°－∠AOC ＝180°－50°＝130° ∵ 与 是对顶角 ∴∠BOC ＝∠AOD ＝130°（ ）（2）、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOC. 已知∠BOE=65°,求∠AOD 、∠AOC 的度数.（3）下列说法中正确的是（ ）A ．有且只有一条直线垂直于已知直线。
B ．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离。
C ．互相垂直的两条直线一定相交。
D ．直线c 外一点A 与直线c 上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3cm ，则点A 到直线c 的距离是3cm 。
2．如图，计划把河水引到水池A 中，先引AB ⊥CD ，垂足为B ，然后沿AB 开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是_________________________________________.3．如图，OA ⊥OB ，OC ⊥OD ．若∠AOD ＝144°，则∠BOC ＝______．4、如图，OA ⊥OB ，OC ⊥OD ，垂足均为O ．则∠BOC ＋∠AOD 等于…………（ ）（A ）150° （B ）160° （C ）170° （D ）180°5．如图，如果D 是BC 的中点，那么B 、C 两点到直线AD 的距离相等．试写出已知，求证，并补全图形（不证明）．一、三线八角1.中国最早的风筝据说是由古代哲学家墨翟制作的，风筝的骨架构成了多种关系的角。
50︒OADC B第2题第3题第4题第5题a1a2a38765432187654321ABCDEa1a2a3876543212．讨论：两条直线和第三条直线相交的关系如图：两条直线a1 , a2和第三条直线a3相交。
a1a2a387654321其中直线 a1 与直线 a3 相交构成四个角，直线 a2 与直线 a3 相交构成四个角。
所以这个问题我们经常就叫它“三线八角”问题。
3.了解 “三线八角”：如图：直线 a1 , a2 被直线 a3 所截，构成了八个角。
1）. 观察∠ 1与∠5的位置：它们都在第三条直线 a3 的同旁，并且 分别位于直线 a1 , a2 的相同一侧，这样的一对角叫做“同位角”。
类似位置关系的角在图中还有吗？如果有，请找出来？2）. 观察∠ 3与∠5的位置：它们都在第三条直线 a3 的异侧，并且都位于两条直线 a1 , a2 之间，这样的一对角叫做“内错角”。
类似位置关系的角在图中还有吗？如果有，请找出来？3）. 观察∠ 2与∠5的位置：它们都在第三条直线 a3 的同旁，并且都位于两条直线 a1 , a2 之间，这样的一对角叫做“同旁内角”。
例1：如图：请指出图中的同位角、内错角和同旁内角。
例2：请找出以上各对关系角成立时的其余各对关系角。
a1a2876543211）.其中：∠1与∠5 ；∠4与∠6是直线 和直线 被直线 所截得到的同旁内角。
此时三线构成了 个角。
此时，同位角有： ，内错角有： 。
2）.其中： ∠1与∠A 是直线 和直线 被直线 所截得到的同旁内角。
此时三线构成了 个角。
此时，同位角有： ，内错角有： 。
3）.其中： ∠5与∠A 是直线 和直线 被直线 所截得到的同旁内角。
此时三线构成了 个角。
此时，同位角有： ，内错角有： 。
4.练习 1）.看图填空：（1）若ED ，BC 被AB 所截，则∠1与 是同位角。
（2）若ED ，BC 被AF 所截，则∠3与 是内错角。
（ 3）∠1 与∠3是AB 和AF 被 所截构成的 角。
（4）∠2与∠4是 和 被BC 所截构成的 角。
2）. 如下图：直线AB 、CD 被直线 AC 所截，所产生的内错角是 。
如下图：直线AD 、BC 被直线 DC 所截，产生了 角，它们是 。
例2：如图：直线DE 交∠ABC 的边BA 于F 。
如果内错角∠1与∠2相等，那么与∠1相等的角还有吗？与∠1互补的角有吗？如果有，请写出来，并说明你的理由。
E二、平行线的判定------同位角相等，两直线平行例.判断下列语句是否正确，并说明理由．(1)．两条直线不相交，就叫平行线． (2)．与一条直线平行的直线只有一条．(3)．如果直线 、 都和 平行，那么 、 就平行． 1．请说出画两条平行线的方法：2．平行线的判定方法1：语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简单地说：同位角相等，两直线平行。
几何叙述：∵∠1＝∠2∴l 1∥l 2 （同位角相等，两直线平行） 3．课堂练习：例1 . 已知直线l 1，l 2被l 3所截，如图，∠1＝45°，oo A BL 1L 2（图形的平移变换）抽象成几何图形AB21L 1L 2a b c12若∠1＝∠2则b c 12a c b 若a⊥b,b⊥c 则a c A BC D 123若∠ ∠ 则AD∥BC A B C D 123若∠1＝∠2 则 ∥ 若 = 则AB ∥DC课堂练习1．如图1，直线、被直线所截．（1）量得，，就可以判定，它的根据是什么？（2）量得，，就可以判定，它的根据是什么？2．如图2，是的延长线，量得．（1）从，可以判定哪两条直线平行？它的根据是什么？（2）从，可以判定哪两条直线平行？它的根据是什么？图1 图23．如图3所示，由，可判断哪两条直线平行？由，可判断哪两条直线平行？4．如图4，已知，，吗？为什么？三、平行线的判定1、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥b 。
2、两条直线的位置关系（1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。
（2）因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）（3）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线） 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行如左图所示，∵b ∥a ，c ∥a ∴b ∥c 注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。
5、如图，问21l l 与平行的条件是什么?三线八角分为三类角，1）当同位角相等时，两直线平行，2）内错角或同旁内角具有什么关系时，也能判定两直线平行呢? 内错角或同旁内角设法转化为利用同位角相等．6、判定方法1）判定方法二：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则两条直线平行． 几何语言的表述方法 ∵∠3=∠4∴AB ∥CD （内错角相等，两条直线平行）例.○1∠1=121°， ∠2＝120°，∠3＝120°。
说出其中的平行线，并说明理由。
②在左图中，直线AB 与CD 被直线EF 所截，若∠2+∠4=180°，则AB 与CD 平行吗？E F 4A B C D1 32 1l2l12 3E F G A BC D13 2H a b ca b l 12 3 4 5 6 7 8判定方法三：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则两条直线平行．几何语言的表述方法∵∠2+∠4=180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两条直线平行）例2．如图，∠C+∠A=∠AEC。
判断AB与CD是否平行，并说明理由。
例3 如图∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=∠C，∠B=∠D，那么AB∥CD ，AD∥BC．请说明理由。
7、应用举例，变式练习1）、如图⑴∠1=∠A，则GC∥AB，依据是；⑵∠3=∠B，则EF∥AB，依据是；⑶∠2+∠A=180°，则DC∥AB，依据是；⑷∠1=∠4，则GC∥EF，依据是；⑸∠C+∠B=180°，则GC∥AB，依据是；⑹∠4=∠A，则EF∥AB，依据是；2）如图4，，，吗？3)．，当时，就能使．四、实数复习(一)、基础测试图4 ACDBEACDBEFDAB CA BFEG D C1 2341．算术平方根：如果一个正数x 等于a ，即x 2=a ，那么这个x 正数就叫做a 的算术平方根，记作 ，0的算术平方根是 。
2．平方根：如果一个数x 的 等于a ,即x 2=a 那么这个数a 就叫做x 的平方根（也叫做二次方根式），正数a 的平方根记作 ．一个正数有 平方根，它们 ；0的平方根是 ；负数 平方根．特别提醒：负数没有平方根和算术平方根．3．立方根：如果一个数x 的 等于a ，即x 3= a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根，记作 ．正数的立方根是 ，0的立方根是 ，负数的立方根是 。
4、实数的分类_________⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎭⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎫⎧⎨⎬⎪⎩⎪⎭⎩______整数____________有限小数或循环小数______实数负分数____________________________________________ 5．实数与数轴：实数与数轴上的点______________对应．6．实数的相反数、倒数、绝对值：实数a 的相反数为______；若a,b 互为相反数，则a+b=______；非零实数a的倒数为_____(a ≠0)；若a ，b 互为倒数，则ab=________。
7.______(0)||______(0)a a a ≥⎧=⎨<⎩8. 数轴上两个点表示的数，______边的总比___边的大；正数_____0，负数_____0，正数___负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而____。
9．实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用．_______(0,_______(0,0).a b a b =≥≥=≥> (二)、专题讲解：专题1 平方根、算术平方根、立方根的概念若a ≥0，则a的平方根是a；若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a【例1______ 【例2】327 的平方根是_________(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 那么下列各式属于最简二次根式的是（ ）A 【例4】（2010山东德州）下列计算正确的是（Ａ）020= （Ｂ）331-=- 3= =【例5】（2010年四川省眉山市）A ．3B ．3-C ．3±D ． 9 专题2 实数的有关概念无理数即无限不循环小数，初中主要学习了四类：含π的数，如：12,2ππ等；特定结构的数，例0.010 010 001…等；某些三角函数，如sin60º，cos45 º等。