高考数学-计数原理-3-排列组合

专项-排列组合

知识点

一、排列

定义:一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中

取出m 个元素的一个排列；排列数用符号m n A 表示

对排列定义的理解：

定义中包括两个基本内容：①取出元素②按照一定顺序。因此，排列要完成的“一件事情”是“取出m 个元素，再按顺序排列”

相同的排列：元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同。若只有元素相同或部分相同，而排列顺序不相同，都是不同的排列。比如abc 与acb 是两个不同的排列

描述排列的基本方法：树状图

排列数公式：),)(1()2)(1(*∈+-⋅⋅⋅--=N m n m n n n n A m n 我们把正整数由1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示，即12)2()1(!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯-⨯=n n n n ，并规定1!0=。

全排列数公式可写成!n A n n =.

由此，排列数公式可以写成阶乘式：

)!(!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -=

+-⋅⋅⋅--=（主要用于化简、证明等）

二、组合 定义:一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；组合数用符号m n C 表示

对组合定义的理解：

取出的m 个元素不考虑顺序，也就是说元素没有位置要求，无序性是组合的特点.

只要两个组合中的元素完全相同，则不论元素的顺序如何，都是相同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合

排列与组合的区别：主要看交换元素的顺序对结果是否有影响，有影响就是“有序”，是排列问题；没影响就是“无序”，是组合问题。

组合数公式：

),()!(!!!)1()2)(1(n m N m n m n m n m m n n n n A A C m m m n m n

≤∈-=+-⋅⋅⋅--==*，且 变式：),,()!

()1()2)(1()!(!!n m N m n C m n m n n n m n m n C m n n m n ≤∈=-+⋅⋅⋅--=-=

*-且

组合数的两个性质

1、m n n m n C C -=

①计算m n C 时，若2n m ＞，通常不直接计算m n C ，而改为计算m n n C -，这样可以减少计算量

②为了使这个公式在n m =时也成立，我们规定10=n C ，这只是一个规定，并没有实际的组合意义

2、11-++=m n m n m n C C C

题型一 投信问题

【例1】

1、个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同.

（1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？

（2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？

2、五位旅客到一个城市出差，这个城市有6家旅馆，有多少种住宿方法？

3、12名旅客在一辆火车上，共有六个车站，有多少种下车方案？

4、3个同学在一座只有两个楼梯的楼上下楼，有几种下楼方案？

题型二染色问题

1、如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.

2. 如图所示，用五种不同的颜色分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．

3.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．

题型三相邻问题、间隔问题、特殊位置问题，特殊元素问题、甲不在某位乙不在某位问题

有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

（1）选其中5人排成一排；

（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；

（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；

（4）全体排成一排，女生必须站在一起；

（5）全体排成一排，男生互不相邻；

（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.

（7）甲必须站在中间

（8）甲不能站在开头,乙不站在排尾。

题型四顺序一定问题

1、7名同学排成一排，甲必须在乙的左边，有多少种排队方法？

2、7名同学排成一排，甲在乙的左边，乙在丙的左边，共有几种排队方法？

题型五平均分配与不平均分配问题

1、有6本书，平均分成三组，共有多少种分配方法？

2、有6本书，平均分成三组，共有多少种分配方法？

3、六本不同的书分成1本，2本，3本，共有多少种分配方法？

4、六本不同的书分成1本，2本，3本，然后分给甲、乙、丙三位同学，共有多少种分配方法？

5、6本不同的书，分成两个1本，一个四本三组，分给三位同学，共有多少种不同的分发？

题型六综合

1、用0、1、

2、

3、

4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：

（1）奇数；（2）偶数；（3）大于3 125的数.

2、（12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？

（1）男运动员3名，女运动员2名；

（2）至少有1名女运动员；

（3）队长中至少有1人参加；

（4）既要有队长，又要有女运动员.