数学里的钟表问题 “钟面角”

钟表问题“钟面角”

日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，然而我们对钟表表面上的时针、分针、秒针之间的夹角（即“钟面角”）问题可能并没有在意．其实钟面角中蕴涵着丰富的数学知识，我们一起来探究一下“钟面角”问题吧．

一、认识“钟面角”

要分析钟面角，我们首先要结合其图形特点，寻找并发现它们的变化规律．

⑴钟表的表面特点：钟表的表面都是一个圆形，共有12个大格，每个大格间有5个小格．圆形的表面恰好对应着一个周角360°，每个大格对应30°角，每个小格对应6°角．表面一般有时针、分针、秒针三根指针．

⑵钟表时针、分针、秒针的转动情况：时针每小时转1大格，每12分钟转1小格，每12个小时转1个圆周；分针每5分钟转一大格，每1分钟转1小格，每小时转1个圆周；秒针5秒钟转1大格，每1秒钟转1小格，每1分钟转一个圆周．

⑶时针、分针、秒针的转速：有了以上的认识，我们很容易计算出相应指针的转速：①钟表的时针转速为：30°/小时或0.5°/分钟；②分针的转速为：6°/分钟或0.1°/秒钟；③秒针的转速为：6°/秒．

有了这些对钟面角的基本认识，我们就可以探究与钟面角有关的问题了．

二、解决与钟面角有关的数学问题

⒈计算从某一时刻到另一时刻，时针（分针）转过的角度

⑴公式法：时（分）针从某一时刻到另一时刻转过的角度=时（分）针转过的时间×时（分）针的转速（注意统一单位）．

⑵观察法：若时（分）针转过了a大格b小格，则时（分）针从某一时刻到另一时刻转过的角度为：30a+6b°．

例1.⑴从3：15到7：45，时针转过度．

⑵从1：45到2：05，分针转过度．

分析：⑴从3：15到7：45，时针走过的时间为4.5小时（270分钟），∴时针转过的角度为：4.5×30°=135°（或270×0.5°=135°）

或用观察法：时针共走了4大格2.5小格，∴时针转过的角度为：4×30+2.5×6=135°．⑵从1：45到2：05，分钟走过的时间为20分钟，∴分针转过的角度为：20×6°=120°．

或用观察法：分针共走了4个大格（或20小格）∴分针转过的角度为：4×30°=120°（或：20×6°=120°）．

⒉计算某一时刻时针（分针）与分针（秒针）之间的夹角

⑴求差法：以0点（12时）为基准到某一时刻止，时针转过的角度与分针在整点后的时间转过的角度差，即时针、分针之间的夹角．

⑵观察法：某一时刻时针、分针相差a个大格b个小格，时针分针的钟面角=30a+6b°．

例2．⑴4：00点整，时针、分针的夹角为．

⑵11：40，时针、分针的夹角为．

分析：⑴4：00整，时针、分针相差4个大格，夹角为：4×30°=120°．

⑵①作差法：11：40，以0点（12时）为基准

时针转过的角度为：11×30°=350°

分针转过的角度为：40×6°=240°

∴时针、分针的夹角为：350°－240°=110°

②观察法：11：40分针、时针相隔3个大格，∴时针、分针的夹角为：3×30°=110°

⒊求时针、分针成特殊角时对应的时间

方程思想：时针、分针成特殊角时对应的时间问题，通常以0点（12时）为基准将时针、分针所转过的角度可看成一个追及问题，从而借助方程进行求解．

相等关系：①整点后分针转过的角度－整点后时针转过的角度=整点时分针、时针的夹角（分针需追赶的角度）+a时x分分针与指针的夹角（分针应多转的角度）

②或：分针整点后转过的角度—时针从0点基准到现在时刻转过的角度=所成的特殊角

例3．你能用一元一次方程解决下面的问题吗？（课本习题P114页第8题）

在3时和4时之间的哪个时刻，钟的分针与时针：⑴重合；⑵成平角；⑶成直角．

分析：⑴重合：设3时x分时针、分针重合．3时整，时针、分针的夹角为90°．即在后x分钟，分针要比时针多走90°，分针才能追及时针重合．

从3时整到3时x分，分针走过6x度角，时针走过0.5x度角．依题意有

6x－0.5x=90 解得：x≈16

⑵分针与时针成平角：设3时x分时针、分针成平角，即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走180°．依题意有

6x－0.5x=90+180 解得：x≈49

⑶分针与时针成直角：应分两种情况讨论．

①分针在时针的顺时针方向垂直．此时钟面角为90°．即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走90°．依题意有

6x－0.5x=90+90180 解得：x≈33

②分针在时针的逆时针方向垂直．此时钟面角为270°．即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走270°．依题意有

6x－0.5x=90+90180 解得：x≈65（不合题意，舍去）

⒋钟面角的综合应用

例4.在一个圆形时钟的表面，OA表示秒钟，OB表示分钟（O为两针的旋转中心）．若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒后，△OAB的面积第一次达到最大？

分析：△OAB的面积最大，设OA边上的高为h，则h总小于等于OB，只有当OA⊥OB时，h=OB，此时△OAB的面积最大．

12点整，分针、秒针重合，设经过x秒，分针、秒针第一次垂直，△OAB的面积第一次达到最大．此时秒针走过角度为6x，分针走过的角度为0.1x．依题意有

6x—0.1x=90 解得x=15

即经过15秒后，△OAB的面积第一次达到最大．

钟表夹角问题公式

钟面上分12大格60小格。每1大格均为360除以12等于30度。每过一分钟分针走6度，时针走0.5度，能追5.5度。公式可这样得来：

X时时，夹角为30X度。

Y分，也就是分针追了时针5.5Y度。可用：整点时的度数30X减去追了的度数5.5Y。如果减得的差是负数，则取绝对值，也就是直接把负号去掉，因为度数为非负数。

因为时针与分针一般有两个夹角，一个小于180度，一个大于180度，(180度时只有一个夹角)

因此公式可表示为：|30X-5.5Y|或360-|30X-5.5Y|度。||为绝对值符号。如：2：10，可代入得：60-55=5度。大于180度的角为：355度。如：11：20，330-110=220度，小于180的角：360-220=140度。：

比方说现在是X时Y分（X要小于等于12），

则时针过数字X为Y/60 * 30 = Y/2度

而分针指在Y/5

所以时钟和分针的夹角= (Y/5 - X)*30 - Y/2 = 11Y/2 - 30X 度

我们先设求m时n分时指针夹角度数，先求m时n分时针分针相对于12时转过的相对度数：时针转过的度数为0.5（60+n）°，分针转过的度数为6n°，再用时针与分针转过的相对度数大值减小值，如果大于180°，再用360°减去所求差，求出的为最后结果。

这样我们就可以得出公式：