数学建模森林救火问题
数学建模_森林救火建模
面积是不断扩大的，因而B（t）应是时间t
的单调递增的函数，即
dB0,0t dt
t2
精品课件
从火灾发生到消防队员到达并开始救火这段 时间内，火势是越来越大的，即
d2B dt2
0,0t
t1
开始救火以后，即 t1 t t2 员灭火
时，如果队
能力足够强，火势会越d2来B越小，即
β是火势蔓延速度，而λ是每个队员的平均灭火速
度，同时也说明这个最优解满足约束条件，结果是
合理的.
② 派出的队员数的另一部分，即在最低限度基础
之上的人数，与问题的各个参数有关.当队员灭 火速度λ和救援费用系数C3增大时，队员数减 少；当火势蔓延速度β、开始救火时的火势b及 损失费用系数C1增加时，消防队员人数增加； 当救援费用系数C2增大时，队员人数也增大.
精品课件
③改进方向：
i 取消树木分布均匀、无风这一假设，考虑更一般 情况； ii 灭火速度是常数不尽合理，至少与开始救火时的火势有关； iii 对不同种类的森林发生
火灾，派出的队员数应不 同，虽然β（火势蔓延速 度）能从某种程度上反映 森林类型不同，但对β相 同的两种森林，派出的队 员也未必相同； iv 决定派出队员人数时，人 们必然在森林损失费和救 援费用之间作权衡，可通 过对两部分费用的权重来
其中只有派出的消防队员的人数是未知的.
问题归结为如下的最优化问题：
mxin0 C(x)
s.t.x 0.
精品课件
（4）模型求解
这是一个函数极值问题. 令dC 0
dx
容易解得
x C1b22C32C 2 2b
精品课件
（5）模型分析与改进
森林救护模型
森林救火模型
问题分析： 与课本上讲述相同——损失费与森林烧毁面积成正比，烧毁面积与救火时间、灭火时间、失火时间有关。
灭火时间与参与灭火消防队员人数有关。
救援费与参与救火人员数量有关。
经过题目改动，救火速率与开始救火时的火势有关，即与开始救火时间有关，与森林一烧毁面积有关。
因此设失火时刻t=0，开始救火时刻t=1t ，灭火时刻t=2t ，森林烧毁面积在t 时刻为B （t ）。
模型假设：基本参考课本不变，灭火速率由λ改为λ∝B ’（t ）即dt dB 。
因为火势大的话较难抑制火势，火势大救火速率就较低，所以将救火速率“λ=b dt dB 0
+λ”其中0λ为灭火速率的相关系数，b 为火势常
数应为火势为零时该式不成立。
模型构成：根据假设条件虽然救火速率变化但变为与救火时刻1t 相关的伪常数与火势蔓延速率曲线影响不大。
根据以上条件C （x ）=x c x b dt
dB x x b dt dB 30
120
2121211t c 2t c 2t c +-++-++βλββλββ）（
C(x)即为这个数学问题的优化模型函数。
模型求解：为求x 使C(x)达到最小，即令x d dC
=0，求函数在区间
最值。
得到x 的最优解为203122101
022)(b dt dB c t c t b
dt dB c b dt dB x +++++=λλβλβ
结果解释：首先。
森林救火模型
森林救火模型问题提出：森林失火了，消防队接到报警后应派多少消防队员去救火呢？一、问题分析:派出的队员越多，森林损失越小，但是救援开支会越多，所以需要综合考虑森林的损失费和救援费与队员人数之间的关系，以总费用最少来决定派出队员的数目。
损失费通常正比于森林烧毁面积，而烧毁面积与失火、灭火时间有关，灭火时间又取决于消防队员数目，队员越多，灭火时间越短。
而救援费既与消防队员人数有关，又与灭火时间长短有关。
记失火时刻为0=t ，开始救火时刻为1t t =，设在时刻t 森林烧毁面积为)(t B ，则造成损失的森林烧毁面积为)(2t B ，建模要对函数)(t B 的形式作出合理的简单假设。
研究dt dB 比)(t B 更为直接和方便，dtdB 是单位时间烧毁面积，表示火势蔓延的程度。
在消防队员到达之前，即21t t t ≤≤时，火势越来越大，即dt dB随t 的增加而增加；开始救火后，即21t t t ≤≤，如果消防队员救火能力足够强，火势会越来越小，即dtdB应该减小，并且当2t t =时，有0dtdB=。
救援费可以分为两个部分：一部分是灭火材料的损耗和消防队员的薪金等，与队员数量及灭火时间有关；另外一部分是运送队员一次性支出，只与消防队员人数有关。
二、模型假设：1、森林中树木分布均匀，而且火灾是在无风条件下发生的。
2、损失费与森林烧毁面积)(2t B 成正比，比例系数1c 为单位烧毁面积的损失费。
3、从失火到开始救火这段时间（10t t ≤≤）内，火势蔓延程度dtdB与时间t 成正比，比例系数β为火势蔓延速度，即：;0,1t t t dtdB≤≤=β 4、派出消防队员x 名，开始救火后（1t t ≥），火势蔓延速度降为 x λβ-，其中λ为每个队员的平均灭火速度，显然有x λβ<。
因 为要扑灭森林大火，灭火速度必须大于火势蔓延速度，否则火势 将难以控制。
5、每个消防队员单位时间费用为2c （包括灭火材料的消耗及消防队 员的薪金等），救火时间为12t t -；每个队员的一次性支出为3c （运送队员、器材一次性支出）。
数学建模(微积分)三
2 L R ( x1 x2 ) 15 14 x1 32 x2 8x1 x2 2 x12 10 x2 ( x1 x2 ) 2 15 13x1 31x2 8 x1 x2 2 x12 10 x2
L 4 x1 8 x2 13 x1 L 8 x1 20 x2 31 x2
2 2 x12 10 x2 ( x1 x2 1.5)
dL dx 4 x1 8 x2 13 0 1 dL 8 x1 20x2 31 0 dx2 dL x x 1.5 0 1 2 d
L Lmax
数学建模讲座
(2)若提供的广告费用为1.5万元，则问题化为在条件
x1 x2 1.5 下求利润函数 L 的极大值.
2 L 15 13x1 31x2 8x1x2 2x12 10x2 构造拉格朗日函数
L( x1 , x2 , ) 15 13x1 31x2 8x1 x2
x1 0 x2 1.5
L Lmax
宁波职业技术学院数学教研室
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可口可乐罐头为什么是这种样子?
竞赛题目 论文一 论文二
宁波职业技术学院数学教研室
数学建模讲座
药物在体内的分布与排除
• 药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量) • 血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计 • 药物在体内吸收、分布和排除过程 ——药物动力学 • 建立房室模型——药物动力学的基本步骤 • 房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀 分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移 • 本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和 周边室(四肢、肌肉等)
问题分析
数学建模—森林救火
森林救火一、问题重述森林失火了！消防站接到报警后派多少消防队员前去救火呢？派的队员越多，森林损失越小，但是救援的开支会越大，所以需要综合考虑森林损失费和救援费与消防员人数之间的关系，以总费用最小来决定派出队员的数目，且消防队员的灭火速度与开始救火时的火势有关。
二、问题分析损失费通常正比于森林烧毁的面积，而烧毁面积与失火、灭火的时间有关，灭火时间又取决于消防队员的数量，队员越多灭火越快。
救援费既与消防队员人数有关，又与灭火时间长短有关。
记失火时刻为t=0,救火时刻t=t1,灭火时刻t=t2，时刻t森林烧毁面积为B（t）。
三、基本假设1.损失费与森林烧毁面积B（t2）成正比，比例系数c1为烧毁单位面积的损失费；2.从失火到开始救火这段时间（0~t1）内，火势蔓延程度dB/dt 与时间t成正比，比例系数β称火势蔓延速度；3.每个消防员的救火能力λ与到达时的火势b成反比，即消防员到达时火势越大消防员救火能力越小，不妨设λ(b)=λ`/(b+1)，其中λ`表示火势很小的时候一个消防队员正常的灭火能力，分母b+1是防止b→0时，λ→∞；4.派出χ名消防队员，开始救火以后（t>t1)火势蔓延速度降为β-λ(b)*χ,显然要有β<λ(b)*χ；5.每个消防队员单位时间的费用为c2,于是每个队员的救火费用是c2（t2-t1）；每个队员的一次性支出是c3;四、模型建立根据假设条件2，3，火势蔓延程度dB/dt在0≤t≤t1线性地增加，在t1≤t≤t2线性地减小。
dB/dt ~ t 的图形如图1所示。
图一记t=t1时dB/dt=b。
烧毁面积B（t2）为dB/dt在0~t2上的积分，恰是图中三角形的面积，显然有B（t2）=1/2*b*t2,而t2满足（1）于是（2）根据假设条件1，5，森林损失费为c1*B(t2),救援费为c2*χ*(t2—t1)+c3*χ，将（1），（2）代入，得到救火总费用为（3）C(χ)即为这个优化模型的目标函数。
数学建模森林救火问题
数学建模森林救火问题集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]森林救火问题的研究【摘要】：森林救火问题是一个优化问题，经过分析我们决定采用极值法和定积分的方法来求森林烧毁的面积，从而解决该问题，通过对问题的剖析，得出表达式：救火的总费用=单位森林面积损失费×损失面积+每个队员的单位时间灭火费用⨯人数⨯灭火时间+单位人数一次性支出×参加救火的消防员人数.对各个量进行分析，得知森林损失面积较为难求，于是我们将其单独考虑。
在有风的情况下，火势蔓延速度是增加的更快，所以损失面积的表达式图像我们可以近似的看成是一个扇形，由于面积不容易求出，于是我们想到了采用定积分的方法来求扇形图形面积，最后可以求出总费用的表达式，变化出消防员人数的表达式，再用极值法讨论出最佳的人数，从而解决了这个问题【 Summary: the forest fire problem is an optimization problem, after analyses, we decided to use extreme method and the definite integral method to find the area of forest burned, so as to solve the problem, through an analysis of the problem, that expression:Fire total cost = Units forest area losses ×Loss area Every team member the cost per unit of time fighting number extinguishing time + unit number of one-time expenditures × participated in fire fighting, the number of firemen .On various levels, the area of forest loss was more difficult to find, so we will which separate consideration. In windy conditions, the spread rate is increasing faster, so the loss of expression image we can approximate as a fan, because the area is not easy to find, so we expect the use of the definite integral method to get the final fan-shaped pattern area, you can find out the totalcost of an expression, change the number of firemen, then uses the expressions extreme method discussed the best, in order to solve this problem【关键词】森林救火优化模型极值问题：1.问题重述森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火。
森林救火模型
森林救火模型问题提出：森林失火了，消防队接到报警后应派多少消防队员去救火 呢？一、问题分析:派出的队员越多，森林损失越小，但是救援开支会越多，所以需要综合考虑森林的损失费和救援费与队员人数之间的关系，以总费用最少来决定派出队员的数目。
损失费通常正比于森林烧毁面积，而烧毁面积与失火、灭火时间有关，灭火时间又取决于消防队员数目，队员越多，灭火时间越短。
而救援费既与消防队员人数有关，又与灭火时间长短有关。
记失火时刻为0=t ，开始救火时刻为1t t =，设在时刻t 森林烧毁面积为)(t B ，则造成损失的森林烧毁面积为)(2t B ，建模要对函数)(t B 的形式作出合理的简单假设。
研究dt dB 比)(t B 更为直接和方便，dtdB 是单位时间烧毁面积，表示火势蔓延的程度。
在消防队员到达之前，即21t t t ≤≤时，火势越来越大，即dt dB 随t 的增加而增加；开始救火后，即21t t t ≤≤，如果消防队员救火能力足够强，火势会越来越小，即dtdB 应该减小，并且当2t t =时，有0dtdB =。
救援费可以分为两个部分：一部分是灭火材料的损耗和消防队员的薪金等，与队员数量及灭火时间有关；另外一部分是运送队员一次性支出，只与消防队员人数有关。
二、模型假设：1、森林中树木分布均匀，而且火灾是在无风条件下发生的。
2、损失费与森林烧毁面积)(2t B 成正比，比例系数1c 为单位烧毁面积 的损失费。
3、从失火到开始救火这段时间（10t t ≤≤）内，火势蔓延程度dtdB 与时间t 成正比，比例系数β为火势蔓延速度，即：;0,1t t t dtdB ≤≤=β 4、派出消防队员x 名，开始救火后（1t t ≥），火势蔓延速度降为x λβ-，其中λ为每个队员的平均灭火速度，显然有x λβ<。
因 为要扑灭森林大火，灭火速度必须大于火势蔓延速度，否则火 势 将难以控制。
5、每个消防队员单位时间费用为2c （包括灭火材料的消耗及消防队员的薪金等），救火时间为12t t -；每个队员的一次性支出为3c （运 送队员、器材一次性支出）。
森林救火模型
森林救火模型问题提出：森林失火了，消防队接到报警后应派多少消防队员去救火 呢？一、问题分析:派出的队员越多，森林损失越小，但是救援开支会越多，所以需要综合考虑森林的损失费和救援费与队员人数之间的关系，以总费用最少来决定派出队员的数目。
损失费通常正比于森林烧毁面积，而烧毁面积与失火、灭火时间有关，灭火时间又取决于消防队员数目，队员越多，灭火时间越短。
而救援费既与消防队员人数有关，又与灭火时间长短有关。
记失火时刻为0=t ，开始救火时刻为1t t =，设在时刻t 森林烧毁面积为)(t B ，则造成损失的森林烧毁面积为)(2t B ，建模要对函数)(t B 的形式作出合理的简单假设。
研究dt dB 比)(t B 更为直接和方便，dtdB 是单位时间烧毁面积，表示火势蔓延的程度。
在消防队员到达之前，即21t t t ≤≤时，火势越来越大，即dt dB 随t 的增加而增加；开始救火后，即21t t t ≤≤，如果消防队员救火能力足够强，火势会越来越小，即dtdB 应该减小，并且当2t t =时，有0dtdB =。
救援费可以分为两个部分：一部分是灭火材料的损耗和消防队员的薪金等，与队员数量及灭火时间有关；另外一部分是运送队员一次性支出，只与消防队员人数有关。
二、模型假设：1、森林中树木分布均匀，而且火灾是在无风条件下发生的。
2、损失费与森林烧毁面积)(2t B 成正比，比例系数1c 为单位烧毁面积 的损失费。
3、从失火到开始救火这段时间（10t t ≤≤）内，火势蔓延程度dtdB 与时间t 成正比，比例系数β为火势蔓延速度，即：4、派出消防队员x 名，开始救火后（1t t ≥），火势蔓延速度降为x λβ-，其中λ为每个队员的平均灭火速度，显然有x λβ<。
因 为要扑灭森林大火，灭火速度必须大于火势蔓延速度，否则火 势 将难以控制。
5、每个消防队员单位时间费用为2c （包括灭火材料的消耗及消防队员的薪金等），救火时间为12t t -；每个队员的一次性支出为3c （运 送队员、器材一次性支出）。
数学建模森林救火问题之欧阳地创编
森林救火问题的研究【摘要】：森林救火问题是一个优化问题，经过分析我们决定采用极值法和定积分的方法来求森林烧毁的面积，从而解决该问题，通过对问题的剖析，得出表达式：救火的总费用=单位森林面积损失费×损失面积+每个队员的单位时间灭火费用⨯人数⨯灭火时间+单位人数一次性支出×参加救火的消防员人数.对各个量进行分析，得知森林损失面积较为难求，于是我们将其单独考虑。
在有风的情况下，火势蔓延速度是增加的更快，所以损失面积的表达式图像我们可以近似的看成是一个扇形，由于面积不容易求出，于是我们想到了采用定积分的方法来求扇形图形面积，最后可以求出总费用的表达式，变化出消防员人数的表达式，再用极值法讨论出最佳的人数，从而解决了这个问题【Summary: the forest fire problem is an optimization problem, after analyses, we decided to use extreme method and the definite integral method to find the area of forest burned, so as to solve the problem, through an analysis of the problem, thatexpression:Fire total cost = Units forest area losses×Loss area Every team member the cost per unit of time fighting number extinguishing time + unit number of one-time expenditures × participated in fire fighting, the number of firemen .On various levels, the area of forest loss was more difficult to find, so we will which separate consideration. In windy conditions, the spread rate is increasing faster, so the loss of expression image we can approximate as a fan, because the area is not easy to find, so we expect the use of the definite integral method to get the final fan-shaped pattern area, you can find out the total cost of an expression, change the number of firemen, then uses the expressions extreme method discussed the best, in order to solve this problem【关键词】森林救火优化模型极值问题：1.问题重述森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火。
数学建模森林救火建模
③改进方向：
i 取消树木分布均匀、无风这一假设，考虑更一般 情况； ii 灭火速度是常数不尽合理，至少与开始救火时的火势有关； iii 对不同种类的森林发生火 灾，派出的队员数应不同， 虽然β（火势蔓延速度） 能从某种程度上反映森林 类型不同，但对β相同的 两种森林，派出的队员也 未必相同； iv 决定派出队员人数时，人 们必然在森林损失费和救 援费用之间作权衡，可通 过对两部分费用的权重来 体现这一点.
dt
（3）模型建立
总费用由森林损失费和救援费组成.由假设2，森 林损失费等于烧毁面积B（t2）与单位面积损失费C1 的积，即C1B(t2)；由假设5，救援费为 C2x(t2-t1)+C3x，因此，总费用为
C( x) c1 B(t 2 ) c2 x(t 2 t1 ) c3 x
dB 由假设3，4，火势蔓延速度 dt 在 0 t t1 内线性地 增加，t1时刻消防队员到达并开始救火，此时火势 用b表示，而后，在 t1 t t 2 内，火势蔓延的速度 线性地减少（如下图）
dB 0,0 t t 2 dt
从火灾发生到消防队员到达并开始救火这段时 间内，火势是越来越大的，即
d 2B 0,0 t t1 2 dt
开始救火以后，即 t1 t t 2时，如果队员灭火 能力足够强，火势会越来越小，即
d 2B 0, t1 t t 2 2 dt
森林救火模型
森林失火了！消防站接到火警后，立 即决定派消防队员前去救火.一般情况下， 派往的队员越多，火被扑灭的越快，火灾 所造成的损失越小，但是救援的开支就越 大；相反，派往的队员越少，救援开支越 少，但灭火时间越长，而且可能由于不能 及时灭火而造成更大的损失，那末消防站 应派出多少队员前去救火呢
存储模型、森林救火(数学建模)
问题
3.3 森林救火
森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。
问题 记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 分析 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t).
• 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定. • 救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定.
2）t1tt2, 降为-x (为队员的平均灭火速度）
3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费） 4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3
火势以失火点为中心，
均匀向四周呈圆形蔓延，
假设1） 的解释
半径 r与 t 成正比
r
B
面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比.
模型建立
假设1） 假设2）
dB
bt1,
t t b
2 1 x
b
dt
t
t t 1
2 1 x 0
t1
x
t2 t
B(t2)
t2 0
B(t)dtb2t
2
t12
2
2t12 2(x)
假设3）4） f 1 ( x ) c 1 B ( t 2 )f , 2 ( x ) c 2 x ( t 2 t 1 ) c 3 x 目标函数——总费用 C (x)f1(x)f2(x)
第三章 简单的优化模型
3.1 存贮模型 3.3 森林救火
供应链与物流管理
经济、管理科学近几十年获得了飞速 发展，并取得丰硕的成果。这些成果 的重要标志之一就是更加数学化和定 量化。
下面介绍供应链与物流管理中的一个 典型模型：存储模型
数学建模经典习题
(5)
其中 A ( H L) / C B( H / L 1), B L / C
2.4：节水洗衣机
分析与求解
第k轮的洗净效果为
I. 最少洗衣轮数
xk 1 Qvk 1 Qvk xk Avk B 0 vk 1 k 0,1, 2,, n 1
uk L vk 为离散的变量！ H L
f1 ( x) c1B(t2 ), f 2 ( x) c2 x(t2 t1 ) c3 x
C( x) f1 ( x) f 2 ( x)
目标函数——总费用
模型建立
2
目标函数——总费用
2 2
c1 t1 c1 t1 c2 t1 x C ( x) c3 x 2 2(x ) x
5 6
6 8
8 10
10 14
104
2.4：节水洗衣机
分析与求解
II. 算法
选用一种非线性规划算法，
对 n N0 , N0 1, N0 2,, N 分别求解;
N 0 是满足(6)式或(7)式的最小整数.
选出最好的结果.
凭常识洗衣的 轮数不应太多 比如可取N 10
注意不必使用混合整数非线性规划算法， 那将使问题复杂化。
面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比.
模型建立
b b t1 , t 2 t1 x
b
假设1）
dB dt
假设2）
t 2 t1
B(t2 )
假设3）4）
t2
x
t1
0
x
t1
t2 t
0
bt2 t12 2t12 B(t )dt 2 2 2(x )
基于数学建模解决森林救火问题的中庸之道
基于数学建模解决森林救火问题的中庸之道森林大火已经变得极其频繁，破坏了大量的自然资源和生态系统，给人们带来了巨大的危害。
因此，救火成为当务之急，为了更加有效地救火，我们必须开发适当的方法和技术，并利用他们来解决紧急的森林救火问题。
数学建模作为一种多学科的研究方法，可以提供有助于理解森林救火问题的有效方法。
数学建模运用数学和计算机模拟技术来把复杂的现实系统可视化，研究系统内部动态变化的过程，以改善森林救火的可行性。
此外，基于中庸之道的数学建模也有助于理解和解决森林救火问题。
中庸之道提倡一种普遍适用、宽容包容的技术，认为把握好中庸之道，就能够更有效地获取策略，并能够尊重各方的利益平衡。
在森林救火的应用中，中庸之道可以帮助研究者选择恰当的救火方案，以及如何克服由于资源有限，地形险要等原因带来的救火困难。
基于数学建模的中庸之道也能够准确地模拟森林大火的发展趋势，其中可以考虑到一些复杂的场景，如森林救火中航空器的运行、可能出现的异常情况和复杂的天气等，以分析救火过程中的不确定性，从而更精确地规划出有效的救火方案，并进行有效的控制。
然而，基于数学建模解决森林救火问题的中庸之道也有一定的局限性，首先是模型的建立过程仍受到各种模型参数的影响，如果这些参数的设定不当则可能导致森林救火的运行结果无效。
其次，改善森林救火问题的过程并不仅仅是数学模型的建立，而是一种复杂的多学科综合活动，其中还包括科学家在实践中采取的技术措施以及地方政府等部门的指导和参与。
总之，基于数学建模解决森林救火问题的中庸之道是一种有效且具有普遍性的方法，可以并兼顾民众的利益，从而有效地解决森林大火的问题。
但是，要有效地利用中庸之道来解决森林大火的问题，仍然需要结合其他学科的研究，以更全面地考虑和解决森林救火问题。
只有这样，才能够更有效地抗击森林大火，保护人们的生命和财产，实现对森林资源的可持续利用。
数学建模森林救火问题
森林救火问题的研究（一）【】：森林救火问题是一个优化问题，经过分析我们决定采用极值法和定积分的方法来求森林烧毁的面积，从而解决该问题，通过对问题的剖析，得出表达式：救火的总费用=单位森林面积损失费×损失面积+每个队员的单位时间灭火费用⨯人数⨯灭火时间+单位人数一次性支出×参加救火的消防员人数.对各个量进行分析，得知森林损失面积较为难求，于是我们将其单独考虑。
在有风的情况下，火势蔓延速度是增加的更快，所以损失面积的表达式图像我们可以近似的看成是一个扇形，由于面积不容易求出，于是我们想到了采用定积分的方法来求扇形图形面积，最后可以求出总费用的表达式，变化出消防员人数的表达式，再用极值法讨论出最佳的人数，从而解决了这个问题【Summary: the forest fire problem is an optimization problem, after analyses, we decided to use extreme method and the definite integral method to find the area of forest burned, so as to solve the problem, through an analysis of the problem, that expression:Fire total cost = Units forest area losses×Loss area Every team member the cost per unit of timefighting number extinguishing time + unit numberof one-time expenditures × participated in fire fighting, the number of firemen .On various levels, the area of forest loss was more difficult to find, so we will which separate consideration. In windy conditions, the spread rate is increasing faster, so the loss of expression image we can approximate as a fan, because the area is not easy to find, so we expect the use of the definite integral method to get the final fan-shaped pattern area, you can find out the totalcost of an expression, change the number of firemen, then uses the expressions extreme method discussed the best, in order to solve this problem【关键词】森林救火优化模型极值问题：1.问题重述森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火。
森林救火数学模型模型
Matlab求解 syms c1 c2 c3 t1 p l x C=(c1*p*t1^2)/2+(c1*p^2*t1^2)*0.5/(l*x-p)+(c2*p*t1*x)/(l*xp)+c3*x pretty(C) F=diff(C,x) pretty(F) solve(F)
C1b 2C2 b x 2 2C3
森林救火模型
森林失火了！一般情况下，派往的队员越多，火被扑 灭的越快，火灾所造成的损失越小，但是救援的开支 就越大；相反，派往的队员越少，救援开支越少，但 灭火时间越长，而且可能由于不能及时灭火而造成更 大的损失。所以具体需要派遣多少消防队员需要综合 分析。
问题分析：救火的总费用由损失费和救援费两部分组成.损失费由森林被 烧毁的面积大小决定 ，而烧毁面积与失火、灭火（指火被扑灭）的时间 （即火灾持续的时间）有关，灭火时间又取决于参加灭火的队员的数目， 队员越多灭火越快.救援费除与队员人数有关外，也与灭火时间长短有关. 救援费可具体分为两部分：一部分是灭火器材的消耗及消防队员的薪金 等，与队员人数及灭火时间均有关；另一部分是运送队员和器材等一次 性支出，只与队员人数有关。
损失费（烧毁面积）
总费用 器材消耗 队员薪金 救援费 一次性支出
灭火点
B B(t2)
救火点（t1 达到极值）
0
t1
t2
t
dB dt
b
x
0
t1
t2 t
dB dt
b
x
0
t1
t2 t
1 b b b C ( x) bC1 ( ) C2 x C3 x 2
利用等高线理论求解的简单优化模型
3.2.2 利用等高线理论求解的简单优化模型
消费者均衡模型 市场上有甲、乙两种产品可供消费者选择， 问 市场上有甲、乙两种产品可供消费者选择，一 题 个消费者应当如何合理分配自己所拥有的资金, 个消费者应当如何合理分配自己所拥有的资金, 以达到最大满意度？ 以达到最大满意度？ 问题分析 影响消费者分配资金方案的因素有 1)消费者拥有的资金数 1)消费者拥有的资金数 2)两种产品的价格 2)两种产品的价格 3)消费者判断合理的标准 消费者所认为的最满意) 消费者判断合理的标准(消费者所认为的最满意 3)消费者判断合理的标准 消费者所认为的最满意
Max z = 1500 x1 + 2500 x2 3 x1 + 2 x2 ≤ 65 2 x + x ≤ 40 1 2 s.t. 3 x2 ≤ 75 x1 , x2 ≥ 0
模型求解
B A C Z=70000
O Z=0
D Z=30000
根据图解法可得Max z=70000,此时x1=5,x2=25
产品甲 产品乙 设备能力（小时） 设备A 设备B 设备C 3 2 0 2 1 3 2500 65 40 75
利润（元/件） 1500
问题：工厂应如何安排生产可获得最大的总利润？
模型假设 设变量xi为第i种产品的生产件数(i=1,2)； 获取的利润为z. 模型建立 在设备生产时间受限制下寻求每周利润最大化。
可得
∂U = λ p1 ∂ q1 ∂U = λp2 ∂q2 p1q1 + p 2 q 2 = I
可得
∂U ∂U ∂ q1 ∂q2 = p1 p2
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数学建模森林救火问题 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
森林救火问题的研究
【摘要】：森林救火问题是一个优化问题，经过分析我们决定采用极值法和定积分的方法来求森林烧毁的面积，从而解决该问题，通过对问题的剖析，得出表达式：救火的总费用=单位森林面积损失费×损失面积+每个队员的单位时间灭火费用⨯人数⨯灭火时间+单位人数一次性支出×参加救火的消防员人数.
对各个量进行分析，得知森林损失面积较为难求，于是我们将其单独考虑。
在有风的情况下，火势蔓延速度是增加的更快，所以损失面积的表达式图像我们可以近似的看成是一个扇形，由于面积不容易求出，于是我们想到了采用定积分的方法来求扇形图形面积，最后可以求出总费用的表达式，变化出消防员人数的表达式，再用极值法讨论出最佳的人数，从而解决了这个问题
【 Summary: the forest fire problem is an optimization problem, after analyses, we decided to use extreme method and the definite integral method to find the area of forest burned, so as to solve the problem, through an analysis of the problem, that expression:
Fire total cost = Units forest area losses ×
Loss area Every team member the cost per unit of time fighting number extinguishing time + unit number of one-time expenditures × participated in fire fighting, the number of firemen .
On various levels, the area of forest loss was more difficult to find, so we will which separate consideration. In windy conditions, the spread rate is increasing faster, so the loss of expression image we can approximate as a fan, because the area is not easy to find, so we expect the use of the definite integral method to get the final fan-
shaped pattern area, you can find out the total
cost of an expression, change the number of firemen, then uses the expressions extreme method discussed the best, in order to solve this problem
【关键词】
森林救火优化模型极值问题：
1.问题重述
森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队
员前去救火。
一般情况下，派往的队员越多，火被扑灭的
越快，火灾所造成的损失越小，但是救援的开支就越大；
相反，派往的队员越少，救援开支越少，但灭火时间越长，而且可能由于不能及时灭火而造成更大的损失，那末消防站应派出多少队员前去救火呢？
2.问题分析
如题中所述，森林救火问题与派出的消防队员的人数密切相关，应综合考虑森林损失费和救援费，以总费用最小为目标来确定派出的消防队员的人数使总费用最小。
由此看来这就是一个优化问题了。
救火的总费用由损失费和救援费两部分组成。
损失费由森林被烧毁的面积大小决定，而烧毁面积与失火、灭火（指火被扑灭）之间的时间差（即火灾持续的时间）有关，灭火时间又取决于参加灭火的队员的数目，队员越多灭火越快。
救援费除与队员人数有关外，也与灭火时间长短有关。
救援费可具体分为两部分：一部分（f 1(x)）是灭火器材的消耗和消防队员的薪金等，这些与队员人数及灭火时间有关；另一部分(f 2(x))是运送队员和器材等一次性支出，只与队员人数有关。
对f 1(x)分析
f 1(x)=森林单位面积损失费×损失面积
其中森林单位面积损失费用是固定的，我们需要考虑的就是设计模型求解损失面积。
对2(x)分析
f 2(x)=单位人数一次性支出×参加救火的消防员人数
单位人数一次性支出也是一定的，人数为待求量。
由此f 2(x)表达式的确立并不困难。
综上可知，问题的关键在确定森林损失面积的表达式：
3. 符号说明
x：消防员人数
R 为燃烧半径
S：森林烧毁的面积
λ：消防队员平均灭火速度
ν0火在无风状态下的自燃速度ν1风的速度
a１：火灾中森林单位面积的损失
a2：每个队员的单位时间灭火费用
a3：每个消防员一次性费用4. 模型假设
1)森林损失面积为扇形且角度θ不变
2)风速不变
3)消防员足够多
4)消防员平均救火速度v不变
0tt 1, dS/dt 与 t 成正比，系数ν0+ν1= U
(火势蔓延速度）
5) t 1tt 2, ν0+ν1降为ν0+ν1-λx (v 为队员的平均灭
火速度）
6) f 1(x )与R(t 2)成正比，系数 a １(烧毁单位面积损失费）
7) 每个队员的单位时间灭火费用a 2, 一次性费用 a 3 5图像分析和模型求解：
根据假设的图像我们还可以得到进一步的图像；
n
像如下：
6.模型求解分析：
设火灾发生时刻为t=0，开始救火时刻为t =t1，灭火时刻为t =t2，t 时刻森林烧毁面积为S（t），则造成损失的被烧毁的森林的面积为S（t2），其导数是森林被烧毁的速度，也表示了火势蔓延的程度。
从火灾发生时刻开始到火被扑灭的过程中，被烧毁的森林的面积是不断扩大的，因而S（t）应是时间t的单调非减的函数，即从火灾发生到消防队员到达并开始救火这段时间内，火势是越来越大
的，即。
开始救火以后，即t=t1时，如果队员灭火能力足够强，火势会越来越小，即t1~t2，并且当t =t2时，火势停止蔓延。
7.模型评价：
8.参考文献；。